Как найти потенциал проводящего шара

Найдем
потенциал, создаваемый проводящей
заряженной сферой радиуса R. Как известно,
внутри сферы (при r
< R)
E
= 0;
вне сферы (при r
> R)

С учетом формулы (13.18), связывающей
напряженность и потенциал, находим:

1.

,
отсюда 
= const;

2.

(13.21)

Постоянную
C
выберем из условия, что

при

,
отсюда C
= 0. Потенциал внутри проводящей сферы
имеет одинаковое значение во всех точках
внутри сферы и равен потенциалу на
поверхности:

(13.22)

Потенциал
вне заряженной сферы равен потенциалу
точечного заряда, помещенного в центр
сферы.

На
рис. 13.6 приведен график зависимости
потенциала 
от расстояния до центра сферы r.

Для
проводящего шара получим тот же результат,
что и для сферы.

Найдем
теперь потенциал заряженной бесконечной
плоскости с поверхностной плотностью
заряда 
(рис. 13.7).

Рис.
13.6.

Напряженность
электрического поля плоскости:

.
Потенциал 
получим в виде

(13.23)

Выберем
начало отсчета потенциала так, чтобы
при x
= 0, потенциал был равен 0, тогда C
= 0.

Рис.
13.7. Рис. 13.8.

Потенциал электрического поля заряженной плоскости:

171

(13.24)

Разность
потенциалов между двумя точками поля

(13.25)

Потенциал электрического поля заряженного цилиндра:

Потенциал
заряженного бесконечного цилиндра с
линейной плотностью 
найдем из соотношения:

(13.26)

Потенциал
поля внутри цилиндра (рис. 13.8) является
постоянной величиной при r
< R и равен
потенциалу на поверхности цилиндра,
т.к. E = 0
внутри цилиндра. Потенциал вне заряженного
цилиндра (r
> R):


Если принять, что потенциал j
на поверхности цилиндра (при r
= R)
равен нулю, тогда постоянная

Потенциал
вне цилиндра имеет такую же величину,
как и потенциал заряженной нити,
помещенной на оси цилиндра

(13.27)

Глава 14. Диэлектрики в электростатическом поле

14.1. Проводники и диэлектрики

По
электрическим свойствам твердые тела
можно разделить на проводники и
диэлектрики. Основным отличием
диэлектриков от проводников является
отсутствие в диэлектриках свободных
зарядов, способных перемещаться в
электрическом поле. Проводники содержат
свободные заряды, носителями которых
являются электроны, не связанные с
атомами.

Каждое
вещество может проявлять свойства
диэлектрика и проводника, в зависимости
от внешних условий и времени наблюдения.
Так, заряженный шар из диэлектрика,
например из эбонита, подвешенный на
шелковой нити, может долго сохранять
свой заряд, но через длительное время
заряд все же стечет с поверхности шара.

Если
заряженное тело находится вблизи
другого, первоначально незаряженного
тела, то в проводниках и диэлектриках
происходит электростатическая индукция,
и на соседнем теле появятся заряды
противоположного знака. В проводнике
заряд распределится по поверхности,
внутри проводника заряд будет равен
0, поэтому напряженность электрического
поля E
= 0. В диэлектрике связанные заряды
распределяются по всему объему.

Если
проводник поместить во внешнее
электростатическое поле, то на концах
проводника появятся заряды разного
знака. Если разрезать проводник на две
части, то на каждой останется заряд
одного знака.

В
диэлектрике, помещенном в электростатическое
поле, также появятся на концах разноименные
заряды, но эти заряды нельзя отделить.
В разрезанном диэлектрике суммарный
заряд каждой его части будет равен
нулю.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Решение:


15 Два параллельных тонких кольца радиуса R расположены на расстоянии d друг от друга на одной оси. Найти работу электрических сил при перемещении заряда q_o из центра первого кольца в центр второго, если на первом кольце равномерно распределен заряд q₁, а на втором — заряд q₂.

Решение:

Найдем потенциал, создаваемый зарядом q, находящимся на кольце, в точке А на оси кольца, расположенной на расстоянии
х от его центра (рис. 340, а) и, следовательно, на расстояниях от точек, лежащих на кольце. Разобьем кольцо на отрезки, малые по сравнению с расстоянием r. Тогда заряд , находящийся на каждом отрезке (i — номер отрезка), можно рассматривать как точечный. Он создает в точке А потенциал . Потенциал, создаваемый в точке А всеми отрезками кольца (отстоящими от этой точки на одно и то же расстояние r), будет

В скобках стоит сумма зарядов всех отрезков, т. е. заряд всего кольца q; поэтому

Потенциал Ф₁ поля в центре первого кольца складывается из потенциала, создаваемого зарядом q₁, находящимся на первом кольце, для которого х=0, и потенциала, создаваемого зарядом q₂, находящимся на втором кольце, для которого x=d (рис. 340, б). Аналогично находится потенциал в центре второго кольца:

Окончательно для работы имеем

16 На тонком кольце радиуса R равномерно распределен заряд q. Какова наименьшая скорость υ, которую необходимо сообщить находящемуся в центре кольца шарику массы т с зарядом q_o, чтобы он мог удалиться от кольца в бесконечность?

Решение:
Если заряды q_o и q одного знака, то удалить шарик от кольца в бесконечность можно, сообщив ему бесконечно малую скорость. Если же знаки зарядов разные, то сумма кинетической и потенциальной энергий шарика в центре кольца должна быть равна нулю, так как она равна нулю в бесконечности: , где φ=kq/R — потенциал в центре кольца (см. задачу 17); отсюда

17 На шарик радиуса R=2 см помещен заряд q=4 пКл. С какой скоростью подлетает к шарику электрон, начавший движение из бесконечно удаленной от него точки?

Решение:


18 Между горизонтально расположенными пластинами плоского конденсатора с высоты Н свободно падает незаряженный металлический шарик массы т. На какую высоту h после абсолютно упругого удара о нижнюю пластину поднимется шарик, если в момент удара на него переходит заряд q? Разность потенциалов между пластинами конденсатора равна V, расстояние между пластинами равно d.

Решение:
Внутри конденсатора имеется однородное электрическое поле с напряженностью Е= V/d, направленной вертикально. После удара шарик приобретает заряд того же знака, что и нижняя пластина конденсатора. Поэтому на него будет действовать со стороны электрического поля сила F=qE=qV/d, направленная вверх. Согласно закону сохранения энергии изменение энергии равно работе внешних сил (в данном случае — электрических). Учитывая, что удар абсолютно упругий и что в начальный и конечный моменты шарик имеет лишь потенциальную энергию в поле силы тяжести, получим
откуда

19 Два шарика с одинаковыми зарядами q расположены на одной вертикали на расстоянии Н друг от друга. Нижний шарик закреплен неподвижно, а верхний, имеющий массу m, получает начальную скорость v, направленную вниз. На какое минимальное расстояние h приблизится верхний шарик к нижнему?

Решение:
Согласно закону сохранения энергии

где qV—работа электрических сил, V=kq/H—kq/h — разность потенциалов точек начального и конечного положения верхнего шарика. Для определения h получаем квадратное уравнение:

Решая его, найдем

(знак плюс перед корнем соответствовал бы максимальной высоте, достигнутой шариком, если бы он получил ту же начальную скорость, направленную вверх).

20 Найти максимальное расстояние h между шариками в условиях предыдущей задачи, если неподвижный шарик имеет отрицательный заряд q, а начальная скорость v верхнего шарика направлена вверх.

Решение:


21 Электрон, пролетая в электрическом поле путь от точки а к точке b, увеличил свою скорость с ν_a=1000 км/с до ν_ab = 3000 км/с. Найти разность потенциалов между точками а и b электрического поля.

Решение:
Работа, совершенная над электроном электрическим полем, идет на увеличение кинетической энергии электрона:

откуда

где γ— удельный заряд электрона. Разность потенциалов отрицательна. Так как электрон имеет отрицательный заряд, то скорость электрона увеличивается при его движении в сторону возрастания потенциала.

22 В плоский конденсатор влетает электрон со скоростью ν = 20 000 000 м/с, направленной параллельно пластинам конденсатора. На какое расстояние h от своего первоначального направления сместится электрон за время пролета конденсатора? Расстояние между пластинами d=2 см, длина конденсатора l=5 см, разность потенциалов между пластинами v=200 В.

Решение:
За время пролета t = l/v электрон смещается в направлении действия силы на расстояние

где γ — удельный заряд электрона.

23 Положительно заряженная пылинка массы г находится в равновесии внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально. Между пластинами создана разность потенциалов V₁=6000 В. Расстояние между пластинами d=5см. На какую величину необходимо изменить разность потенциалов, чтобы пылинка осталась в равновесии, если ее заряд уменьшился на q_o=1000 e?

Решение:
На пылинку действуют сила тяжести mg и сила со стороны электрического поля, где —начальный заряд пылинки и E₁ = V₁/d—напряженность электрического поля в конденсаторе.
Чтобы пылинка могла находиться в равновесии, верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена отрицательно. При равновесии
mg = F, или ; отсюда .
Так как уменьшение заряда пылинки на q_o=1000e равносильно увеличению положительного заряда на q_o, то новый заряд пылинки q₂ = q₁+q_o. При равновесии , где V2—новая разность потенциалов между пластинами. Учитывая выражения для q2, q1 и q0, найдем

Таким образом, разность потенциалов нужно изменить на V₂— V₁ = — 980 В (знак минус показывает, что ее нужно уменьшить, так как заряд пылинки увеличился).

24 Решить предыдущую задачу, считая пылинку заряженной отрицательно.

Решение:
Верхняя пластина конденсатора должна быть заряжена положительно. Новый заряд пылинки q₂ = q_1-q_o, где q_o=1000e.
Поэтому (см. задачу 23)

Напряжение между пластинами нужно увеличить на V₂— V₁ = 1460 В.

25 В электрическое поле плоского конденсатора, пластины которого расположены горизонтально, помещена капелька масла, имеющая заряд q=1 е. Напряженность электрического поля подобрана так, что капелька покоится. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V =500 В, расстояние между пластинами d=0,5 см. Плотность масла . Найти радиус капельки масла.

Решение:
При равновесии
откуда

26 Внутри плоского конденсатора, пластины которого расположены вертикально, помещена диэлектрическая палочка длины l=1 см с металлическими шариками на концах, несущими заряды +q и — q(|q|=1 нКл). Палочка может вращаться без трения вокруг вертикальной оси, проходящей через ее середину. Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=10см. Какую работу необходимо совершить, чтобы повернуть палочку вокруг оси на 180° по отношению к тому положению, которое она занимает на рис. 74?

Решение:
Напряженность электрического поля в конденсаторе E=V/d.
Разность потенциалов между точками, где расположены заряды,

где —потенциал в точке расположения заряда + q, а —потенциал в точке расположения заряда — q; при этом . При повороте палочки электрические силы совершают работу по переносу заряда — q из точки а в точку b и заряда + q из точки b в точку а, равную

Знак минус означает, что работу должны совершить внешние силы.

27 Внутри плоского конденсатора помещен диэлектрический стержень длины l=3 см, на концах которого имеются два точечных заряда + q и —q (|q|=8нКл). Разность потенциалов между пластинами конденсатора V=3 В, расстояние между пластинами d=8 см. Стержень ориентирован параллельно пластинам. Найти момент сил, действующий на стержень с зарядами.

Решение:


28 На концах диэлектрической палочки длины l=0,5 см прикреплены два маленьких шарика, несущих заряды — q и +q (|q|=10 нКл). Палочка находится между пластинами конденсатора, расстояние между которыми d=10cм (рис.75). При какой минимальной разности потенциалов между пластинами конденсатора V палочка разорвется, если она выдерживает максимальную силу растяжения F=0,01 Н? Силой тяжести пренебречь.

Решение:


29 Металлический шарик 1 радиуса R₁=1 см прикреплен с помощью диэлектрической палочки к коромыслу весов, после чего весы уравновешены гирями (рис. 76). Под шариком 1 помещают заряженный шарик 2 радиуса R₂=2 см. Расстояние между шариками h = 20 см. Шарики 1 и 2 замыкают между собой проволочкой, а потом проволочку убирают. После этого оказывается, что для восстановления равновесия надо снять с чашки весов гирю массы m = 4мг. До какого потенциала j был заряжен шарик 2 до замыкания его проволочкой с шариком 1?

Решение:
Если до замыкания шарик 2 имел заряд 0, то сумма зарядов шариков 1 и 2 после замыкания q₁+q₂ = q. Потенциалы же их после замыкания одинаковы: . Следовательно, После замыкания шарик 2 действует на шарик 1 с силой
откуда
Начальный потенциал шарика 2

Условие задачи:

Определить потенциал шара радиусом 10 см, находящегося в вакууме, если на расстоянии 1 м от его поверхности потенциал равен 20 В.

Задача №6.3.6 из «Сборника задач для подготовки к вступительным экзаменам по физике УГНТУ»

Дано:

(R=10) см, (l=1) м, (varphi_1=20) В, (varphi_0-?)

Решение задачи:

Потенциал шара (varphi_0) (потенциал в точке A) радиусом (R) и некоторым зарядом (q) определяют по формуле:

[{varphi _0} = frac{{kq}}{R};;;;(1)]

Таким же образом, потенциал шара (varphi_1) на расстоянии (l) от поверхности шара (потенциал в точке B) можно найти по формуле:

[{varphi _1} = frac{{kq}}{{R + l}};;;;(2)]

Поделим (1) на (2), тогда:

[frac{{{varphi _0}}}{{{varphi _1}}} = frac{{R + l}}{R}]

Решение задачи в общем виде выглядит так:

[{varphi _0} = frac{{{varphi _1}left( {R + l} right)}}{R}]

Посчитаем численный ответ:

[{varphi _0} = frac{{20 cdot left( {0,1 + 1} right)}}{{0,1}} = 220;В = 0,22;кВ]

Ответ: 0,22 кВ.

Если Вы не поняли решение и у Вас есть какой-то вопрос или Вы нашли ошибку, то смело оставляйте ниже комментарий.

Смотрите также задачи:

6.3.5 На расстоянии 10 м от центра заряженного металлического шара радиусом 3 м
6.3.7 Металлический шар диаметром 30 см заряжен до потенциала 5400 В. Чему равен
6.3.8 На расстоянии 1 м от центра заряженного металлического шара радиусом 3 м