Как найти потенциал силового поля

Содержание:

Потенциальное силовое поле:

Для вычисления работы силы на каком-либо перемещении в общем случае необходимо знать закон движения точки на этом перемещении. Есть класс сил, для которых работа не зависит от характера движения точки на рассматриваемом перемещении. Эти силы называют потенциальными, и они имеют важное значение в различных областях механики и физики.

Потенциальное силовое поле и силовая функция

Силовым полем называют часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует определенная сила, зависящая от координат точки и времени. Силовое поле считают стационарным, если действующие силы не зависят от времени. Если же силы зависят от времени, то силовое поле является нестационарным.

Силовое поле называют потенциальным, если имеется силовая функция

Функцию называют силовой функцией.

Рис. 72

Рассмотрим основные свойства силовой функции стационарного силового поля. Из (77) следует, что силовая функция определяется с точностью до постоянной, так как для проекций силы на координатные оси требуются только частные производные по координатам от этой функции и добавление постоянной к функции не влияет на значения . Элементарная работа

т. e.

Таким образом, элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции. Иногда это свойство силовой функции принимают за ее определение; тогда (77) получают из (78).

Полная работа силы на участке от точки до точки 

т.е.

где

Следовательно, полная работа силы на каком-либо перемещении точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой оно совершается, если силовая функция является однозначной.

Из (79) следует, что работа силы в потенциальном силовом поле по любому замкнутому пути равна нулю, так как значение силовой функции в начальной и конечной точках перемещения одинаково, если силовая функция не принимает других значений после возвращения в первоначальную точку.

Силовая функция может принимать другие значения после возвращения в первоначальную точку в зависимости от количества обходов, если область, ограниченная замкнутым путем обхода, содержит в себе специальные особые точки силовой функции.

Если применить понятие вектор-градиента от скалярной функции 

где — единичные векторы, направленные по осям координат, то силу можно выразить как градиент силовой функции :

Определим условия, которые позволяют по силам силового поля устанавливать, будет ли силовое поле потенциальным.

Если силовая функция существует, то

Так как

то

Аналогично,

Таким образом, полученные условия имеют вид

В векторном исчислении доказывается, что условия (80) не только необходимы, но и достаточны для существования силовой функции. Если использовать вектор вихря  от вектора силы

то условия (80) можно выразить более кратко:

Таким образом, для того чтобы силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

Непотенциальными силами являются силы сопротивления, зависящие от скорости, и силы трения. Силы сухого трения не будут потенциальными, так как хотя сила трения постоянна и не зависит от скорости, но направление силы трения от скорости зависит.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Поверхности уровня и силовые линии

Если рассматривать точки потенциального силового поля, в которых силовая функция имеет одно и то же значение, например , то все эти точки располагаются на поверхности, которую называют поверхностью равного уровня или поверхностью уровня.

Уравнение поверхности уровня имеет вид

Отметим некоторые свойства поверхностей уровня.

1.    Работа силы равна нулю, если начальная и конечная точки перемещения лежат на одной поверхности уровня. Действительно,

Если начальная и конечная точки лежат на одной поверхности уровня, то  и, следовательно, . Работа силы на перемещении между точками и не зависит от положения этих точек на своих поверхностях уровня. На любом перемещении между двумя точками рассматриваемых поверхностей уровня она одинакова (рис. 73).

2.    Сила в потенциальном силовом поле всегда перпендикулярна поверхности уровня или, точнее, касательной плоскости поверхности уровня. Действительно, пусть имеем поверхность уровня . Возьмем на ней две бесконечно близкие точки и и вычислим элементарную работу на перемещении между этими точками:

С другой стороны,

Так как и не равны нулю, то и, следовательно, угол между силой и перемещением  , лежащим в касательной плоскости к поверхности уровня, является прямым.

3.    Сила в потенциальном силовом поле всегда направлена в сторону возрастающих значений силовой функции. Для

доказательства этого свойства силы возьмем точку на перпендикуляре к поверхности уровня, восставленном в точку в направлении возрастающих значений силовой функции. Тогда элементарная работа на элементарном перемещении , равном , вычисляется по формуле

так как .

Рис. 73    

Следовательно,;  поэтому угол, равный , исключается и получается, что сила  направлена по  в сторону возрастающих значений силовой функции.

4. Если все силовое поле разбить поверхностями уровня на равных значений так, что для первой поверхности уровня , для второй и последней , то там, где соседние поверхности уровня ближе друг к другу, модуль силы больше, чем в местах, где поверхности уровня дальше отстоят друг от друга. Это свойство можно проверить, если заметить, что работа между точками любых двух соседних поверхностей в этом случае одна и та же. Следовательно, там, где расстояние между поверхностями меньше, сила по числовому значению больше, и наоборот.

Рис. 74

Наряду с поверхностями уровня в силовом поле вводят понятие силовой линии, т. е. такой линии, в каждой точке которой сила направлена по касательной к этой линии (рис. 74). Так как вектор с проекциями на оси всегда направлен по касательной к кривой, то из условия параллельности и следует, что

Эти дифференциальные уравнения относительно координат являются дифференциальными уравнениями силовой линии.

Потенциальная энергия

В случае потенциального силового поля наряду с силовой функцией можно ввести другую функцию, характеризующую запас энергии в данной точке поля,— потенциальную энергию в этой точке (рис. 75), или потенциальную энергию материальной точки в рассматриваемой точке силового поля.

Потенциальной энергией материальной точки в рассматриваемой точке силового поля называют работу, которую совершают силы поля, действующие на материальную точку при перемещении ее из точки в начальную точку , т. е.

или

Рис. 75

Постоянная  одна и та же для всех точек поля, зависящая от того, какая точка поля выбрана за начальную. Очевидно, что потенциальную энергию можно ввести только для потенциального силового поля, в котором работа не зависит от формы перемещения между точками и . Непотенциальное силовое поле не имеет потенциальной энергии, для него не существует и силовой функции.

На основании (77) и (82) имеем:

Из (78), (79) и (82) соответственно получаем

Из приведенных формул следует, что  определяется с точностью до произвольной постоянной, которая зависит от выбора начальной точки, но эта произвольная постоянная не влияет на вычисляемые через потенциальную энергию силы и работу этих сил. Учитывая это, формулу (82) можно выразить так:

или

Потенциальную энергию в какой-либо точке поля с точностью до произвольной постоянной можно определить как значение силовой функции в этой же точке, взятое со знаком минус. По существу, достаточно одной из функций или .

Понятие потенциальной энергии было введено раньше, чем силовая функция. Силовая функция более удобна, так как некоторые формулы, содеражащие эту функцию, не имеют знака минус.

Примеры вычисления силовых функций

Если вычислить силовую функцию, то на основании (82′) будет известна и потенциальная энергия. Вычислим силовые функции однородного поля силы тяжести, силового поля линейной силы упругости и силового поля силы притяжения, действующей по закону Ньютона.

Силовая функция однородного поля силы тяжести. Если ось (рис. 76) направить вертикально вверх, то проекции силы тяжести на координатные оси будут равны

Вычисляя элементарную работу силы , получаем

 

Так как элементарная работа является полным дифференциалом, то силовое поле силы тяжести является потенциальным и силовая функция этого поля определяется по формуле

По формуле (83) определяют силовую функцию однородного поля силы тяжести, т. е. поля, в котором сила тяжести постоянна по модулю и направлению. Уравнение поверхности уровня или , т.е. поверхностями уровня являются горизонтальные плоскости.

Рис. 76

Силовая функция линейной силы упругости

Для линейной силы упругости (см. рис. 62) имеем:

Следовательно

так как .

Силовую функцию линейной силы упругости определяют по формуле

Поверхностями уровня  являются сферы .

Силовая функция силы притяжения по закону Ньютона

Вычислим силовую функцию поля земного притяжения. Если выбрать начало координат в центре Земли (рис. 77), то сила притяжения точки земным шаром .

Сила F направлена к центру Земли; следовательно, вводя единичный вектор по радиусу-вектору от этого центра в рассматриваемую точку , имеем

Проецируя силу на координатные оси, получаем:

Тогда

так как .

Рис. 77

Таким образом, силовая функция силы притяжения, по закону Ньютона,

Постоянную  для, случая Земли можно выразить так:

где —масса Земли; — радиус Земли; —ускорение силы тяжести на поверхности Земли; — масса точки; — постоянная тяготения. Если вместо Земли рассматривается другое небесное тело, изменяется только постоянная .

Силовая функция и потенциальная энергия системы

Для механической системы в потенциальном силовом поле можно ввести силовую функцию как функцию, зависящую от координат всех точек системы, т. е. от положения системы в силовом поле. Если система состоит из точек, то силовая функция зависит в общем случае от координат всех точек. Проекции силы, действующей на каждую точку системы,

Сумма элементарных работ всех сил, действующих на точки системы, определяется по формуле

или

Таким образом, сумма элементарных работ сил поля, действующих на механическую систему, равна полному дифференциалу от силовой функции. Если вычислить сумму работ, которую совершат силы поля, действующие на механическую систему при перемещении системы из положения , в котором имеется силовая функция , в положение , в котором есть силовая функция , то

или

Следовательно, сумма работ сил поля, действующих на систему при перемещении системы из одного начального положения в другое, равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях системы.

Потенциальной энергией системы в рассматриваемом положении  потенциального силового поля называют сумму работ сил поля, действующих на систему, которую эти силы совершают при перемещении системы из рассматриваемого положения в начальное положение , т. е.

где —значение силовой функции для системы сил в положении ; —значение силовой функции в начальном положении.

Из (86) — (89) следует:

Тема:
ОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИ

Лекция
8Д

Потенциальное
силовое поле

1. Потенциальное
   силовое поле и силовая функция.

2. Потенциальная
   энергия.

3. Примеры потенциальных
   силовых полей.

4. Закон сохранения
   механической энергии.

1. Потенциальное
   силовое поле и силовая функция.

Силовым полем
называют часть пространства, в каждой
точке которого на материальную точку
действует определённая сила, зависящая
от координат точки.

Силовое поле
считают стационарным, если действующие
силы не изменяются с изменением времени.
Если же силы зависят от времени, то
силовое поле является нестационарным.

	Стационарное силовое поле называют потенциальным, если существует такая функция U, зависящая от координат точки, через которую проекции силы F на координатные оси в каждой точке поля выражаются так: Где X, Y, Z – проекции силы `F на координатной оси. Функцию U(x,y,z) называют силовой функцией.
Основные свойства силовой функции
1) Элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу от силовой функции.
2) Полная работа силы на каком-либо перемещении точки равна разности значений силовой функции в конечной и начальной точках перемещения и не зависит от формы траектории, по которой оно совершается.
3) Если применить понятие вектора-градиента от силовой функции U то силу `F можно выразить как градиент силовой функции U
Определим условия, которые позволяют по силам силового поля устанавливать, будет ли силовое поле потенциальным.
Если силовая функция U существует, то так как то Аналогично можно получить	или
Или rot`F = 0
Таким образом, для того, чтобы силовое поле было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы оно было безвихревым.

2. Потенциальная
энергия

Потенциальной
энергией П
силового поля в точке М
называется работа, которую совершают
силы поля при перемещении материальной
точки М
в начальную точку М_о.

То есть потенциальную энергию в какой-либо точке поля с точностью до несущественной постоянной можно определить как значение силовой функции в этой же точке, взятое со знаком минус.
Потенциальная энергия точки тогда
Геометрическое место точек в пространстве, в которых потенциальная энергия материальной точки имеет одно и то же значение, определяется из уравнения (5.8) Это уравнение определяет некоторую поверхность в пространстве, которая называется поверхностью равного потенциала или эквипотенциальной поверхностью.

3. Примеры
потенциальных силовых полей

Поле
силы тяжести

	или Тогда уравнение эквипотенциальной поверхности имеет вид
Для механической системы То есть потенциальная энергия механической системы, находится под действием силы тяжести, равна произведению веса системы на высоту её центра тяжести над нулевой эквипотенциальной поверхностью.

Поле
линейной силы упругости

	Так как
Следовательно, поверхностями уровня поля линейной силы упругости являются сферы .

4. Закон сохранения
механической энергии

Для
материальной точки

Теорема об изменении
кинетической энергии запишется:

Если материальная
точка движется в потенциальном силовом
поле, то

Следовательно

или

где h
– постоянная величина

Обозначая Е
– полную
механическую энергию точки

При движении точки
в потенциальном силовом поле её полная
механическая энергия остаётся постоянной
величиной.

Для
механической системы

Теорему об изменении
кинетической энергии для системы можно
записать

Если система
движется в потенциальном силовом поле,
то

где П – потенциальная
энергия внутренних и внешних сил,
действующих на систему. Следовательно,

Полная механическая
энергия при движении системы в
потенциальном силовом поле внешних
и внутренних сил
является постоянной величиной.

Соседние файлы в папке ЛЕКЦИИ ТЕОРМЕХ

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Теория потенциального силового поля
2. Две основные задачи в теории потенциального силового поля
3. Эквипотенциальные поверхности. Потенциальная энергия. Теорема об изменении полной механической энергии
4. Закон сохранения механической энергии. Методологическое значение законов сохранения в механике

Потенциальное силовое поле – это часть пространства, в каждой точке которого на материальную точку действует сила, зависящая от координат точки и времени
Силовое поле называют стационарным, если силы не зависят явно от времени. Если силы зависят от времени явно то поле – нестационарное.

На странице -> решение задач по теоретической механике собраны решения задач и заданий с решёнными примерами по всем темам теоретической механики.

Теория потенциального силового поля

В общем случае сила, действующая на материальную
точку, может быть функцией координат, скорости и времени. Широкое распространение имеют силы, зависящие только от координат материальной точки, которая движется. Эти силы называют позиционными.
К таким силам относятся силы упругости, гравитации, электрического и магнитного полей и
некоторые другие

Силовым полем называют часть пространства, в котором на материальную точку, которая движется в нем действуют силы, которые зависят от координат и времени, но не зависят от скорости:

                                                                                         (18.1)
Если сила явно не зависит от времени, то силовое поле называют стационарным, если
зависит – нестационарным. Понятие силового поля распространяется также на систему материальных точек. В этом случае силовым полем называют часть пространства, в котором на материальные точки системы действуют силы, зависящие от координат точек системы, которые  движутся и от времени:

                                                                             (18.2)
Силовыми полями являются электрические, магнитные, электромагнитные поля, поле гравитации Земли, упругие среды.
 Стационарное силовое поле называют потенциальным, если работа сил поля, которые действуют на материальную точку, не зависит от формы ее траектории, а является однозначной функцией координат начального и конечного положений точки, которая движется. В этом случае каждой точке такого поля соответствует определенное значение работы, которую выполняют силы поля при переходе материальной точки от начала координат в эту точку поля (рис. 18.1). Итак, можно считать  функцию U называют силовой.

Физический смысл силовой функции  заключается в том, что она является работой, выполняемой силой поля при переходе материальной точки с исходного положения в
заданное.

Для удобства рассуждений исходное положение точки совместим с началом осей
координат
Теорема. Работа силы. действующей на материальную точку во время ее движения в потенциальном поле, равна разности силовых функций в ее конечном и начальном положениях.
 Доказательство. Пусть под действием силы материальная точка движется по траектории из исходного положения в конечное Обозначим силовые функции, отвечающие
этим положением, через  и  Учитывая, что соответствует работе сил поля при переходе материальной точки от начала координат в точку  , a – работе силы поля при переходе той самой материальной точки из начала координат в точку
(см. рис. 18.1), для вычисления работы выберем путь от точки О к точки проходящей через точку разбивая на два участка – и  Тогда:

или 

                                                                                                (18.3)

где – работа силы поля на отрезке траектории
 Из соотношения (18.3) имеем:

                                                                              (18.4)
что и требовалось доказать.
 Если рассматривать элементарное перемещение материальной точки по траектории, учитывая, что бесконечно малый прирост функции с точностью до бесконечно малых величин второго порядка малости, совпадает с дифференциалом этой функции, то очевидно, что элементарная работа силы в потенциальном силовом поле равна полному дифференциалу силовой функции, то есть

                                                                                                           (18.5)
Итак, приходим к выводу, что только в потенциальном силовом поле элементарная работа является полным дифференциалом некоторой силовой функции, то есть
 С доказанной теоремы следует, что во время движения материальной точки по замкнутой траектории в потенциальном силовом поле работа сил на этих траекториях равна нулю.

Две основные задачи в теории потенциального силового поля

Две основные задачи, возникающие в теории потенциального силового поля, состоят в том, чтобы:

1) по заданной силой, которая действует на материальную точку, определить силовую функцию;

2) по известной силовой функцией определить силу.
 Первая из этих задач решается просто. Интегрируя (18.5), определяем силовую функцию

                                                                                                                            (18.6)

с точностью до аддитивной постоянной С.
 Чтобы решить вторую задачу, снова воспользуемся соотношением (18.5). при этом элементарную работу выразим по формуле (17.49), а полный дифференциал силовой функции трех переменных представим в развернутом виде:

                                                                                                   (18.7)

Поскольку  то

                                                                               (18.8)

Последнее равенство перепишем так:

                                                                                        (18.9)

Поскольку дифференциалы произвольные и линейно независимы, то в этом равенстве коэффициенты при дифференциалах должны равняться нулю. Отсюда:

                                                                                           (18.10)

Итак, проекции силы равны частным производным от силовой функции по соответствующими координатами.

модуль силы

                                                                                                        (18.11)

а ее направление определим по направляющими косинусами:

                                                                                                 (18.12)

где – орты координатных осей.
 Очевидно, что

                                                                                         (18.13)

Как известно из векторного вычисления, вектор, проекции которого на оси координат выражаются частных производных от скалярной функции координат по координатами,
называется градиентом этой функции, поэтому:

                                                                                              (18.14)

Если в потенциальном силовом поле движется система материальных точек, то

                                                                                              (18.15)

или в векторной форме

                                                                                            (18.16)

С помощью формул (18.10) легко установить аналогичный критерий существования силовой функции.
 Пользуясь свойством вторых смешанных частных производных от силовой функции
по переменным получим:

                                                                                                 (18.17)

или, учитывая выражения (18.10), получим:

                                                                                                    (18.18)

В векторной форме условия (18.18) примут вид:

                                                                  (18.19)

Равенства (18.18) являются необходимыми и достаточными аналитическими условиями существования силовой функции

Пример 1. Проекции силы. 
 Является ли силовое поле, в котором действует сила, потенциальным?
 Решение. Пользуясь аналитическим критерием (18.18), определим частные производные
 от проекций силы по соответствующим координата. Имеем   Как видим, обозначенный критерий не выполняется, поскольку

Итак, рассматриваемое силовое поле не является потенциальным.

Пример 2. Найти такие значения при которых силовое поле будет потенциальным, если
Решение. Согласно критерию потенциальности силового поля (18.18), найдем

По анализу частных производных видим, что равенства

возможные только при и Тогда

Итак, силовое поле, силы  которого удовлетворяют условиям задачи, будет потенциальным только при и

Эквипотенциальные поверхности. Потенциальная энергия. Теорема об изменении полной механической энергии

Эквипотенциальными, или изоповерхностями, или поверхностями уровня называют геометрическое место точек, на котором силовая функция остается постоянной:
                                                                                                  (18.20) Уравнение (18.20) является уравнением семьи эквипотенциальных поверхностей. Если   то эквипотенциальные поверхность называют поверхностью нулевого уровня.
 Поскольку силовая функция, согласно (18.6), определяется с точностью до произвольного постоянного слагаемого, то за нулевой уровень можно взять любую эквипотенциальную поверхность.

Докажем, что сила, действующая в потенциальном поле, направлена ​​нормально к эквипотенциальным поверхностям в сторону увеличения силовой функции. Это облегчает определение вида эквипотенциальной поверхности.
 Поскольку то полный дифференциал ее  Итак, , или 
тогда   Отсюда, Следовательно, сила перпендикулярна к то есть до элементарного перемещения материальной точки вдоль эквипотенциальной поверхности. Например, если груз подвесить к вертикальной пружине, то эквипотенциальными поверхностями для силы упругости будут горизонтальные, параллельные между собой плоскости.

Введение понятия эквипотенциальной поверхности углубляет физический смысл силовой
функции, которую можно рассматривать как роботу, выполняемую силами потенциального силового поля для перемещения материальной точные, (и системы) с любого положения на нулевой эквипотенциальные поверхности в любое положение на заданной эквипотенциальной поверхности.
 Для характеристики свойств .механичного движения в потенциальном силовом поле вводят еще одну функцию. П, которая называется потенциальной энергией материальной точки или системы материальных точек. Потенциальная энергия равна силовой функции со знаком минус:

                                                                                                          (18.21)

Итак, потенциальная энергия – это работа, выполняемая силами потенциального поля во время движения материальной точки из заданного положение в ее исходное положение.

Согласно формуле (18.6),

                                                                                                 (18.22)

Ha основе равенства (18.5)

                                                                                                            (18.23)

Отсюда следует, что

                                                                                                   (18.24)

то есть полная работа силы в потенциальном поле равна разности потенциальной энергии в начальном и конечном положениях точки. Воспользовавшись соотношением (18.10) и учитывая (18.21), выразим проекции силы через потенциальную энергию:

                                                                                            (18.25)

В механике рассматривают сумму кинетической Т и потенциальной П энергий, которую называют полной механической энергией

                                                                                             (18.26)

и разницу кинетической и потенциальной энергий, которую называют кинетическим потенциалом или функцией Лагранжа.

                                                                                                     (18.27)

Эта функция играет важную роль в аналитической механике. Докажем теорему об изменении полной механической энергии.
Теорема. Прирост полной механической энергии системы материальных точек на
произвольном перемещении равен работе не потенциальных сил на этом перемещении.
 Доказательство. Пусть на материальные точки системы действуют потенциальные и не потенциальные силы. Воспользуемся теоремой о изменение кинетической энергии в дифференциальной форме. Эту теорему, с учетом (18.23), можно представить в виде

                                                                                                     (18.28)

где – работа не потенциальных сил. С этого равенства имеем или, с учетом (18.26),

                                                                                                        (18.29)

Интегрируя это равенство, получим

                                                                                                             (18.30)

Теорема доказана.

Закон сохранения механической энергии. Методологическое значение законов сохранения в механике

Теорема. Во время движения материальной точки или системы точек в потенциальном
силовом поле полная механическая энергия остается постоянной.
 Доказательство. Согласно теореме о изменение кинетической энергии (17.43), имеем
На основе равенства (18.23) Сравнивая эти два выражения, получим  Интегрируя это соотношение, получим:

                                                                                                       (18.31)

где – постоянная интеграла энергии, которая определяется из начальных условий.
 Формула (18.31) выражает закон сохранения механической энергии. Этот закон является частным случаем общего закона сохранения и превращения энергии, установленный  в середине XIX в. исследованиями Ю. Майера (1814-1878), Д. Джоуля (1818- 1889), Г. Гельмгольца (1821-1894), У. Ренкина (1820-1872).
 На основе закона сохранения механической энергии силы, имеющие потенциал, называются консервативными. Силы, которые не имеют потенциала, то есть силы, которые зависят от скорости движения материальной точки (силы сопротивления среды), называются рассеивающими или диссипативными. Для этих сил условия закона сохранения механической энергии не выполняются, поскольку часть ее переходит в другую форму энергии, например в тепловую, электрическую и др.

Невозможность построения вечного двигателя следует из теоремы об изменении механической энергии, а также из закона сохранения механической энергии.
 Энергия является общей мерой различных форм движения материи. Закон сохранения и превращения энергии касается всех процессов, происходят в природе – физических, химических, биологических и других, и заключается в том, что энергия, как общая мера движения материи при преобразовании одной ее формы  в другую, не исчезает и не появляется, а переходит в эквивалентных количественных соотношениях.

В законе сохранения механической энергии говорится о превращении кинетической энергии в потенциальную и наоборот. В общем законе сохранения энергии этот результат распространяется на любые формы движения материи – электрическую, тепловую, химическую и др.
 Однако не только закон сохранения, но и теорема об изменении полной механической энергии – это отдельные случаи общего закона сохранения и превращения энергии. Действительно, если в соотношении (18.30) работа потенциальных сил положительная  то происходит приток механической энергии вследствие соответствующего уменьшения энергии других немеханических форм (тепловой, электрической и др.). Если же работа не потенциальные силы отрицательная то происходит рассеивание (диссипация) механической энергии, которая переходит в энергию других видов. Итак, работа – это изменение формы движения, которое рассматривается с его количественной стороны.
Еще в конце первой половины XVIII в. М. В. Ломоносов установил один из общих законов природы – закон сохранения материи и движения. «Все встречающиеся в при роде изменения происходят так, что если к чему-либо нечто прибавилось, то это отнимается у чего-то другого. Так, сколько материи прибавляется к какому-нибудь телу, столько же теряется у другого”.  Поскольку это общий закон природы, то он распространяется и на правила движения: тело, которое своим толчком побуждает другое тело к движению, столько же теряет от своего движения, сколько сообщает другому, которое оно  толкнуло”.
 Очевидно, что все закономерности, характеризующие процессы преобразования и сохранения материи и движения в различных формах, с конкретными проявлениями общего закона сохранения материи и движения. В частности, в теоретической механике рассматриваются законы сохранения различных мер механического движения – количества движения, кинетического момента и механической энергии.

Закон сохранения материи и движения имеет огромное научное и методическое значения,  поскольку является естественно-научной основой материализма. Утверждая, что материя и движение не создаются и не уничтожаются, что материя, которая движется, способна к различным преобразований, и рассматривая материю в органической связи с движением, общий закон сохранения материи и движения является доказательством единства мира и всеобщности движения. Закон сохранения материи и движения во всех своих конкретных проявлениях является теоретической основой различных расчетов в естествознании и технике; эти расчеты связанные с преобразованием материи и движения из одной в другую.
 “Мы не только можем показать преобразования энергии из одной формы в другую, которые
постоянно происходят в природе, – писал Ф. Энгельс, – а даже можем осуществлять их
в лаборатории и промышленности и притом так, что данному количеству энергии в одной форме всегда соответствует определенное количество энергии в какой-то другой форме.

Да, мы можем выразить единицу теплоты в килограмм -метрах, а единицы или любые количества электрической или химической энергии – снова в единицах теплоты, и
наоборот; мы можем так же измерить количество энергии, полученной и потребленной каким ни будь живым организм, и выразить ее в любой единице, например в единицах теплоты”.
 Следует отметить, что общий характер закона сохранения массы и энергии четко понимал М. В. Ломоносов еще в 1748 p., что видно из его письма к Л. Эйлеру.

Пример 3. Телу, находящийся на наклонной плоскости, задана начальная скорость , которая направлена ​​вверх (рис. 18.2). Определить, с какой скоростью тело вернется в исходное положение, если угол трения а угол наклона плоскости , причем

 Решение. Рассмотрим сначала движение тела вверх с исходного положения 1 в конечное
положение 2, которое соответствует остановке тела.
 Применяя теорему об изменении кинетической энергии, имеем

                                                                                                            (1)

где 

Работа выполняется двумя силами: силой тяжести  и силой трения  которая противодействует движению вверх.

Эта работа равна

                                                                                                                (2)

где расстояние между положениями I и 2 тела.
 Согласно закону Амонтона0Кулона сила трения равна:

                                                                                         (3)

где коэффициент трения, равный тангенсу угла трения
 В результате уравнение (1) примет вид:

                                                                (4)

Теперь рассмотрим движение тела вниз из положения 2 в исходное 1.В уравнение (1) в этом случае нужно подставить

Касаемо работы на этом отрезке, то сила тяжести будет выполнять положительную работу, а сила трения- отрицательную, по этому:

                                                           (5)

С выражений (4) и (5) найдем:

                                                                                    (6)

При отсутствии трения будет

                                                                                       (7)

то есть тело вернулось бы в исходное положение с той же скоростью. Наличие трения приводит к тому, что потому что а также предопределяет работу не потенциальных сил, которая определяется общим изменением кинетической энергии, что  возникла под действием силы трения, как при движении тела вверх, так и вниз

                            (8)

Этот результат естественно согласуется с теоремой об изменении полной энергии системы (18.30).
Действительно, при возвращении тела в исходное положение прирост потенциальной энергии
Остается только прирост кинетической энергии, который определяется работой не потенциальных сил и равный

Услуги по теоретической механике:

1. Заказать теоретическую механику
2. Помощь по теоретической механике
3. Заказать контрольную работу по теоретической механике

Учебные лекции:

1. Статика
2. Система сходящихся сил
3. Момент силы
4. Пара сил
5. Произвольная система сил
6. Плоская произвольная система сил
7. Трение
8. Расчет ферм
9. Расчет усилий в стержнях фермы
10. Пространственная система сил
11. Произвольная пространственная система сил
12. Плоская система сходящихся сил
13. Пространственная система сходящихся сил
14. Равновесие тела под действием пространственной системы сил
15. Естественный способ задания движения точки
16. Центр параллельных сил
17. Параллельные силы
18. Система произвольно расположенных сил
19. Сосредоточенные силы и распределенные нагрузки
20. Кинематика
21. Кинематика твердого тела
22. Движения твердого тела
23. Динамика материальной точки
24. Динамика механической системы
25. Динамика плоского движения твердого тела
26. Динамика относительного движения материальной точки
27. Динамика твердого тела
28. Кинематика простейших движений твердого тела
29. Общее уравнение динамики
30. Работа и мощность силы
31. Обратная задача динамики
32. Поступательное и вращательное движение твердого тела
33. Плоскопараллельное (плоское) движение твёрдого тела
34. Сферическое движение твёрдого тела
35. Движение свободного твердого тела
36. Сложное движение твердого тела
37. Сложное движение точки
38. Плоское движение тела
39. Статика твердого тела
40. Равновесие составной конструкции
41. Равновесие с учетом сил трения
42. Центр масс
43. Колебания материальной точки
44. Относительное движение материальной точки
45. Статические инварианты
46. Дифференциальные уравнения движения точки под действием центральной силы и их анализ
47. Динамика системы материальных точек
48. Общие теоремы динамики
49. Теорема об изменении кинетической энергии
50. Теорема о конечном перемещении плоской фигуры
51. Метод кинетостатики
52. Вращения твердого тела вокруг неподвижной точки

Центральная сила — сила, линия действия которой при любом положении тела, к которому она приложена, проходит через точку, называемую центром силы (точка на рис.1)^[1].

Примерами центральных сил являются силы тяготения и Кулона, направленные вдоль линии, соединяющей точечные массы или точечные заряды.

Проще всего центральные силы вводятся для физических систем, состоящих из конечного числа объектов, размерами которых можно пренебречь (материальных точек), или, иногда, некоторых эквивалентных им, состоящих из протяжённых объектов с фиксированной внутренней структурой^[2]. Распределенные системы, в которых действуют центральные силы, в общем случае^[3] не могут быть представлены конечным количеством материальных точек. В случае распределённых систем общим подходом является разбиение их на очень большое (в пределе бесконечное) количество элементов малого (в пределе стремящегося к нулю) размера каждый (которые и рассматриваются как материальные точки), между которыми действуют центральные силы в соответствии с определением, данным выше. Таким образом, в этом случае центральной, собственно, является каждая элементарная сила, а реальная сила является суммой (суперпозицией) таких элементарных сил.

Классическая физика вводит также понятие поля центральной силы для области трёхмерного пространства, в котором действуют центральные силы.
^[4]

(где M – момент сил,  — радиус-вектор с началом в центре силы),
свидетельствующее о равенстве нулю момента силы относительно центра силы:

Силовые поля[править | править код]

Этим полям соответствуют кулоновские силы (силы электростатического взаимодействия) и силы гравитационные (силы Всемирного тяготения). Сходство между ними заключается в том, что они могут быть обнаружены во время взаимодействия материальных объектов, причем в случае гравитации свойством, обуславливающим это взаимодействие, является масса, а в случае кулоновского взаимодействия — заряд, этой массой переносимый. Заряды, не связанные с массой, классической физике неизвестны.

Величина, характеризующая интенсивность центрального силового поля, представляет собой вектор, направленный по линии, соединяющей точечный источник и заданную точку поля.

Потенциальные центральные поля[править | править код]

Работа центральной силы[править | править код]

Элементарная работа силы, в том числе и центральной силы, есть скалярная величина, исчисляемая изменением энергии при перемещении точки приложения силы
(в общем случае изменяющей свою величину и направление), при перемещении на столь малый отрезок своей траектории, что на нём вектор силы может считаться неизменным, то есть на расстояние  :

(5)

где есть угол между этими векторами. Поскольку , то направление отсчёта угла значения не имеет.

При перемещении на расстояние от до , весь пройденный путь можно разбить на элементарных участков. И тогда полная работа будет суммой этих элементарных работ с тем большей точностью, чем на большее количество участков будет разбита траектории, что выражается знаком интеграла, как предела этой суммы :

Рассматривая движение в декартовой системе координат, центральную силу можно представить в виде геометрической суммы её проекций на координатные оси:

где , , суть единичные векторы (орты) для своих осей.

Потенциал поля[править | править код]

Не для всякого поля силы совершаемая ею работа зависит лишь от положения начальной и конечной точек движения. Иными словами, не зависит от формы пути.

Упомянутый интеграл не будет зависеть от формы пути лишь в том случае, если будет существовать некая первообразная функция , в выражении полного дифференциала которой:

её частные производные будут соответствовать проекциями силы (по существующему обычному соглашению — с точностью до знака):

В этом случае функция будет называться потенциальной функцией, а поле силы — потенциальным полем.^[5]

Но это станет возможным лишь при одновременном выполнении равенств:

Для центральных сил это условие выполняется. Поле, в котором выполнены эти условия, называется безвихревым полем. Поэтому потенциальные поля суть поля безвихревые.^[5]

Знак минус в формуле, связывающей потенциальную функцию и силу, определяется желанием отождествить потенциальную функцию с потенциальной энергией^[6] (в противном случае можно было бы обойтись без знака минус, что иногда и делается при введении потенциальной функции чисто формально, особенно для векторного поля, не имеющего характера силы).

Связь с потенциальной энергией естественно осуществляется через работу.

Представляется естественным считать, что вектор напряжённости поля направлен ОТ источника поля, (что привычно принимается при описании электростатического поля при взаимодействии одноимённых зарядов^[7]) Тогда, зафиксировав точку, находящуюся на расстоянии от центрального заряда и предоставив ему свободу, получим, что он под действием силы будет удаляться в бесконечность. При этом совершённая полем работа будет равна:

.

То же можно сказать и в случае, если поле продвинуло тело дальше и, следовательно, проделало больше работы и потому разница работ на пути между точками больше нуля.

И эти работы может быть названа с точностью до постоянной потенциалом точки: и , подразумевая под потенциалом возможность совершить работу, которая для более близкой точки выше, чем у более далёкой.

Тогда совершённая полем работа будет равна разности потенциалов, взятой со знаком «минус»

Таким образом работа силы на пути из начальной точки в конечную равна изменению потенциальной функции, являющейся скалярной функцией расстояния. В таком случае для каждой точки пути можно с точностью до постоянной величины приписать свой потенциал:

Поле как градиент потенциала[править | править код]

В поле центральной силы её составляющая по данной оси представляет собой скорость изменения потенциальной функции по этой же оси или же градиент функции по заданному направлению.

Для описания изменения потенциальной функции по произвольному направлению в теории поля введён векторный дифференциальный оператор, имеющий вид:

Применяя этот оператор к потенциальной функции получаем, что в данной точке поля сила является (с точностью до знака) градиентом потенциала:

Знак минус, по обычному соглашению присутствующий в этой формуле, связан с тем, чтобы функция U могла быть отождествлена с потенциальной энергией (хотя чисто формально потенциальная функция могла бы быть выбрана и с другим знаком, если такого отождествления не предполагается).

Кулоновское поле[править | править код]

Напряженность кулоновского поля определяется вектором , равным:

или, переходя, к скалярной форме записи:

Здесь ;  — заряд тела -источника силы; ,есть расстояние до точки, где определяется интенсивность, а константа зависит от диэлектрической постоянной среды , (для пустого пространства равная 1), в которой существует поле:

, где:

есть диэлектрическая постоянная вакуума. В таком случае для вакуума

= Vm/As в Международной системе единиц^[8],

Кулоновские силы[править | править код]

Объектом действия кулоновского поля является материальное тело, несущее заряд

В таком случае на него действует механическая (ньютонова) сила электрического происхождения, равная произведению величины заряда на напряжённость поля:

или, с учётом ():

или, в скалярном представлении:

Специфической особенностью кулоновского поля является то, что вектор его напряжённости направлен либо ОТ источника поля в случае совпадение знака заряда источника и объекта взаимодействия, либо направлен К источнику в случае разноимённости зарядов. Это значит, что заряженные материальные тела в первом случае будут испытывать отталкивающую силу, а в противоположном — силу сближающую их.

Ещё одним свойством кулоновского поля является техническая возможность выделить область пространства, в котором оно будет в требуемой степени отсутствовать (клетка Фарадея)

Поле гравитации[править | править код]

В русскоязычной литературе интенсивность поля тяготения называют «ускорением свободного падения» , за рубежом иногда её называют напряжённостью гравитационного поля.

Или, переходя к скалярной форме записи:

Здесь ;  — масса тела -источника гравитации; есть расстояние до точки, где определяется интенсивность, а константа есть гравитационная постоянная, равная по современным данным ,
^[9]

Силы гравитации[править | править код]

Объектом действия поля гравитации является материальное тело, имеющее массу

В таком случае на него действует механическая сила, равная произведению массы тела на напряжённость поля. Существенно, что между массой, входящей во второй закон Ньютона и массой того же тела, подверженного действию гравитации, нет никакой разницы в величине.
Тогда, с учётом ():

или, в скалярном представлении:

Специфической особенностью сил гравитации является то, что они всегда являются силами притяжения. Кроме того, силы гравитации всепроникающи, и от них невозможно защититься никаким экраном. Это свойство объединяет силы гравитации с фиктивными силами инерции, существующими в любой неинерциальной системе отсчёта. Подобная аналогия имеет своей основой фундаментальные свойства пространства, изучения которых выходит за рамки классической физики.^[10]

Потенциал поля гравитации[править | править код]

Подставляя в (6) значение силы Всемирного тяготения из (20), получаем с учётом того, что работа была совершена против поля:

(23)

Таким образом каждой точке гравитационного поля можно с точностью до постоянной присвоить свой потенциал, как:

^[11](24)

Движение под действием центральной силы[править | править код]

В общем случае любую траекторию тела, рассматриваемого как материальная точка, можно представить в виде пространственной кривой, состоящей из сопряжённых поворотов в различных плоскостях вокруг мгновенных центров поворота с различными значениями радиуса поворота на том же Рис 1.Применение представления о траектории реального трёхмерного тела смысла не имеет.

Но кривизна траектории отнюдь не значит, что на тело действует некая сила, для каждого момента являющейся силой центростремительной.

Замечание

Последняя оговорка весьма существенна. Так, например, для земного наблюдателя бомба, сброшенная с летящего равномерно и прямолинейно летательного аппарата движется по параболе. Но для пилота она падает вертикально под действием единственной в данном случае силы тяжести (если не принимать во внимание снос из-за сопротивления воздуха). Никаких сил, вызывающих искривление траектории, здесь нет. Центростремительные силы возникают не потому, что траектория крива, но потому, что они являются выражением реально имеющего место силового взаимодействия движущегося объекта со своим окружением.

Считается, что в центре силы находится источник силы, которым может быть тяготеющая масса, либо электрический заряд в случае, если рассматриваемая сила есть характеристика соответствующего силового поля. Центр силы в общем случае не совпадает с мгновенным центром поворота — точка на Рис. Это совпадение имеет место лишь при повороте тела по дуге окружности.
^[4]

Как видно на Рис.1 единственная действующая между телами и сила может быть разложена на две составляющие:
(2)

При этом
есть тангенциальная сила, в зависимости от направления движения тела по своей траектории на рисунке либо тормозящая его движение, либо ускоряющая его.

есть сила, направленная по нормали к касательной к траектории в сторону мгновенного центра и потому являющаяся центростремительной силой.^[12]

Непосредственно из определения понятий о моментах силы и момента количества движения (момента импульса) следует экспериментально подтверждаемый факт, что скорость изменения момента импульса вращающегося тела прямо пропорциональна величине приложенного к телу момента силы :

Однако в поле центральной силы её момент всегда равен нулю (Формула (1)). Из этого непосредственно следует, что при любом движении тела в поле центральной силы момент количества движения движущегося под её действием тела остаётся постоянным:

.
Но, поскольку постоянство вектора есть одновременно и сохранение его направления в пространстве, то заметаемая при движении тела площадка всегда лежит в одной и той же плоскости. Из этого следует, что любая траектория движения тела под действием центральной силы есть плоская кривая.

Наиболее часто движение тел в гравитационном поле изучают в области небесной механики, где преобладают гравитационные воздействия, и потому изучаемая система взаимодействующих сил может рассматриваться как консервативная система, то есть такая, в которой сохраняется полная энергия тела в виде суммы потенциальной и кинетической энергии.^[4]

(25), где:

причём и соответствуют скоростям, создаваемым нормальной и тангенциальной составляющей действующей на тело силы на Рис.1

Воспользовавшись определением кинетического момента: получаем для кинетической энергии тангенциального движения соотношение:

.

А для движения по нормали к траектории:

Тогда выражение для полной энергии тела будет иметь вид:

Введя в рассмотрение эффективный потенциал  :

Получаем возможность связать диапазон изменения длины радиус-вектора траектории тела с запасённой им энергией, что представлено на рис.2^[13]

Так при минимальной энергии движущегося тела тело движется по круговой орбите с радиусом

Если энергия движения тела больше, скажем , траектория тела будет представлять эллипс с малой полуосью и большой .

Наконец, при энергии тела разойдутся, сблизившись на минимальное расстояние

Примечания[править | править код]