Как найти потенциальную силу пружины

Во многих механизмах используется потенциальная и кинетическая энергия пружины. Их используют для выполнения различных действий. В отдельных узлах они фиксируют детали в определенном положении, не позволяя смещать в какую-либо сторону (барабан револьвера относительно корпуса). Другие пружинные системы возвращают исполнительный механизм в исходное положение (курок ручного огнестрельного оружия). Есть устройства, где узлы с гибкими свойствами совершают перемещения в устойчивое положение (механические стабилизаторы).

Работа связана с изменением геометрических параметров упругого тела. Прилагая нагрузку, заставляют эластичную деталь сжиматься (растягиваться или изгибаться). При этом наблюдается запасание энергии. Возвратное действие сопровождается набором скорости. Попутно возрастает кинетическая энергия.

Потенциальная энергия пружины

Рассматривая в качестве накопителя энергии пружину, следует отметить ее отличительные свойства от иных физических тел, которые могут накапливать энергетический потенциал. Традиционно понимается следующее: для накопления потенциала для последующего движения необходимо совершение движения в силовом поле:

Е_п = F ⋅ l, Дж (Н·м),

где Е_п– потенциальная энергия положения, Дж;
F – сила, действующая на тело, Н;
l – величина перемещения в силовом поле, м.

Энергия (работа) измеряются в Джоулях. Величина представляет произведение силы (Н) на величину перемещения (м).

Если рассматривать условие в поле тяготения, то величина силы находится произведением ускорения свободного падения на массу. Здесь сила веса находится с учетом g:

Е_п = G ⋅ h = m ⋅ g ⋅ h, Дж

здесь G – вес тела, Н;
m – масса тела, кг;
g – ускорение свободного падения. На Земле эта величина составляет g = 9,81 м/с².

Если расстраивается пружина, то силу F нужно определять, как величину, пропорциональную перемещению:

F = K ⋅ x, Н,

где k – модуль упругости, Н/м;
х – перемещение при сжатии, м.

Величина сжатия может изменяться по величине, поэтому математики предложили анализировать подобные явления с помощью бесконечно малых величин (dx) .

При наличии непостоянной силы, зависящей от перемещения, дифференциальное уравнение запишется в виде:

dE_п = k ⋅ x ⋅ dx

здесь dE_п – элементарная работа, Дж;
dx – элементарное приращение сжатия, Н.

Интегральное уравнение на конечном перемещении запишется в виде. Ниже вывод формулы:

Пределами интегрирования является интервал от 0 до х. Деформированная пружина приобретает запас по энергетическим показателям

Окончательно формула для расчета величины потенциальной энергии сжатия (растягивания или изгиба) пружины запишется формулой:

Закон сохранения механической энергии

Закон сохранения энергии существует независимо от желания наблюдателя. Все физические законы имеют статистический характер: существуют только подтверждения их выполнения, нет ни одного адекватно выполненного опыта, при котором наблюдается нарушение этой закономерности. Природные явления только подтверждают сохранность работы и энергозатрат, затраченных на ее выполнение.

На основании изложенного сформулировано положение:

где Е_к – кинетическая энергия, Дж.

Рассматривая перемещения тела, наблюдаются изменения потенциальной и кинетической энергий. При этом сумма значений остается постоянной.

Проще всего проследить за изменениями между разными видами энергетических показателей при рассмотрении движения маятника.

Из крайнего положения (шарик на нити отклонился в одну из сторон, Еп = max) тело движется под действием силы тяжести. При этом снижается запасенная энергия. Движение сопровождается увеличением скорости. Поэтому нарастают показатели динамического перемещения Е_к.

В нижней точке не остается никаких запасенных эффектов от положения шарика. Он опустился да минимума. Теперь Е_к =max.

Поучается, при совершении гармонических колебаний маятник поочередно накапливает то один, то другой вид энергии. Механические превращения из одного вида в другой налицо.

Кинетическая энергия

Движущееся тело характеризуется скалярной величиной (масса) и векторная величина (скорость). Если рассматривать реальное перемещение в пространстве, то можно записать уравнение для определения кинетической энергии:

здесь v – скорость движения тела, м/с.

Использование кинетического преобразования можно наблюдать при колке орехов.

Приподняв камень повыше, далекие предки создавали необходимый потенциал для тяжелого тела.

Приподняв камень на максимальную высоту, разрешают ему свободно падать.

Двигаясь с высоты h, он набирает скорость

Поэтому в конце падения будет получена кинетическая энергия

Рассматривая входящие величины, можно увидеть, как происходит преобразование величин. В конце получается расчетная формула для определения потенциальной энергии.

Даже на уровне вывода зависимостей можно наблюдать выполнение закона сохранения энергии твердого тела.

Использование энергии пружины на практике

Явление преобразования потенциальной энергии пружины в кинетическую используется при стрельбе из лука.

Натягивая тетиву, стреле сообщается потенциал для последующего движения. Чем жестче лук, а также ход при натягивании тетивы, тем выше будет запасенная энергия. Распрямляясь дуги этого оружия, придадут метательному снаряду значительную скорость.

В результате стрела полетит в цель. Ее поражающие свойства определятся величиной кинетической энергии (mv²/2).

Для гашения колебаний, возникающих при движении автомобиля, используют амортизаторы. Основным элементом, воспринимающим вертикальную нагрузку, являются пружины. Они сжимаются, а потом возвращают энергию кузову. В результате заметно снижается ударное воздействие. Дополнительно устанавливается гидроцилиндр, он снижает скорость обратного движения.

Рассмотренные явления используют при проектировании механизмов и устройств для автоматизации процессов в разных отраслях промышленности.

Видео: закон Гука и энергия упругой деформации.

Republished by Blog Post Promoter

Понятие потенциальной энергии пружины

При рассмотрении того, что такое потенциальная энергия пружины следует уделить внимание самому понятию – свойство, которым могут обладать тела при нахождении на земле. Этот момент определяет то, что ей могут обладать самые разнообразные изделия, в том числе рассматриваемое. К особенностям рассматриваемого понятия можно отнести следующее:

1. Потенциальная энергия в рассматриваемом случае формируется по причине изменения состояния. Даже при несущественном смещении витков относительно друг друга считается изменением состояния подобного изделия.
2. Для того чтобы изменить состояние изделия совершается определенное действие. Зачастую для этого проводится прикладывание усилия. При этом важно провести расчет требуемого усилия для сжатия витков.
3. После выполнения определенной работы большая часть усилия, которое было потрачено на выполнение действия высвобождается при определенных обстоятельствах. Как правило, этот процесс предусматривает возврат витков в свое первоначальное положение. Это достигается за счет особой формы изделия, а также применения соответствующего материала, который обладает повышенной упругостью. Именно за счет этого свойства зачастую проводится установка рассматриваемого изделия. Показатель может достигать весьма высоких показателей, которой достаточно для реализации различных задач. Распространенным примером можно назвать установку пружины в запорных и предохранительных элементах, которые отвечают за непосредственное возращение запорного элемента в требуемое положение.

Она также широко применяется при создании самых различных механизмов, к примеру, заводных часов. При проектировании различных механизмов учитывается закон сохранения механической силы, которая характеризуется довольно большим количеством особенностей.

Закон сохранения механической энергии

Согласно установленным законам механическое воздействие консервативной механической системы сохраняется во времени. Этот момент определяет то, что потенциальная энергия деформированной пружины не может возникнуть сама или исчезнуть куда-нибудь. Именно поэтому для ее создания нужно приложить соответствующее усилие.

Рассматриваемый закон относится к категории интегральных равенств. Эта закономерность определяет то, что он складывается их действия дифференциальных законов, является свойством или признаком совокупного воздействия.

Для проведения соответствующих расчетов должна применяться определенная формула. Сила, с которой оказывается воздействие, не является постоянной. Именно поэтому для ее вычисления применяется графический метод. Самая простая зависимость может быть описана следующим образом: F=kx. При применении подобной зависимости построенная координатная линия будет представлена прямой линией, которая расположена под углом относительно системы координат.

Приписать подобному устройству потенциальную энергию можно только в том случае, если она равна максимальной работе и не зависит от условной траектории движения. Проведенные исследования указывают на то, что подобная работа подчиняется закону Гука. Для определения основного показателя применяется следующая формула: U=kk2/2.

Для деформирования витков к ним должно быть приложено определенное усилие, так как в противном случае кинетическая сила не возникнет.

Динамика твердого тела

Некоторые определить выражения (определяется при применении наиболее подходящих формул) можно только с учетом правил, касающихся динамики твердых объектов. Этому вопросу посвящен целый раздел. При расчете потенциальной энергии сжатой пружины также применяются некоторые законы этого раздела

Динамика твердого тела рассматривается по причине того, что в большинстве случаев механизм совершает действие, связанное с непосредственным перемещением какого-либо объекта.

Рассматриваемое свойство изделия может изменяться в зависимости от динамики твердого тела. Это связано с тем, что на изделие оказывается и воздействие со стороны окружающей среды. Примером можно назвать трение или нагрев.

Момент силы и момент импульса относительно оси

Рассмотрение деформации пружины проводится также с учетом момента силы и импульса относительно оси. Эти два параметра позволяют рассчитать все требуемые показатели с более высокой точностью. Довольно распространенным вопросом можно назвать чему равен момент силы – векторная величина, которая определяется векторному произведению радиуса на вектор приложенной силы.

Момент импульса – величина, которая применяется для определения количества вращательного движения.

Среди особенностей подобного показателя можно отметить следующее:

1. Масса вращения. Объект может характеризоваться различной массой.
2. Распределение относительно оси. Ось может быть расположена на различном расстоянии от самого объекта.
3. Скорость вращения. Это свойство считается наиболее важным, в зависимости от конструкции он может быть постоянным или изменяться.

Расчет каждого показателя проводится при применении соответствующей формулы. В некоторых случаях проводится измерение требуемых вводных данных, без которых провести вычисления не получится.

Уравнение движения вращающегося тела

Рассматривая подобное свойство также следует уделить внимание уравнению движения вращающегося тела. Не стоит забывать о том, что вращательное движение твердого тела характеризуется наличием как минимум двух точек. При этом отметим нижеприведенные особенности:

1. Прямая, которая соединяет две точки, выступает в качестве оси вращения.
2. Есть возможность провести определение места положения объекта в случае вычисления заднего угла между двумя плоскостями.
3. Наиболее важным показателем можно назвать угловую скорость. Она связана с инерцией, которая возникает при вращении объекта.

Для вычисления угловой скорости применяется специальная формула, которая выглядит следующим образом: w=df/dt. В некоторых случаях проводится вычисление углового ускорения, которое также является важной величиной.

Формулы пружинного маятника в физике

Формулы пружинного маятника

Определение и формулы пружинного маятника

Допустим, что масса груза равна $m$, коэффициент упругости пружины $k$. Масса пружины в таком маятнике обычно не учитывается. Если рассматривать вертикальные движения груза (рис.1), то он движется под действием силы тяжести и силы упругости, если систему вывели из состояния равновесия и предоставили самой себе.

Уравнения колебаний пружинного маятника

Пружинный маятник, совершающий свободные колебания является примером гармонического осциллятора. Допустим, что маятник совершает колебания вдоль оси X. Если колебания малые, выполняется закон Гука, то уравнение движения груза имеет вид:

[ddot{x}+{omega }^2_0x=0left(1right),]

где ${щu}^2_0=frac{k}{m}$ – циклическая частота колебаний пружинного маятника. Решением уравнения (1) является функция:

[x=A{cos left({omega }_0t+varphi right)=A{sin left({omega }_0t+{varphi }_1right) } }left(2right),]

где ${omega }_0=sqrt{frac{k}{m}}>0$- циклическая частота колебаний маятника, $A$ – амплитуда колебаний; ${(omega }_0t+varphi )$ – фаза колебаний; $varphi $ и ${varphi }_1$ – начальные фазы колебаний.

В экспоненциальном виде колебания пружинного маятника можно записать как:

[Re tilde{x}=Releft(Acdot exp left(ileft({omega }_0t+varphi right)right)right)left(3right).]

Формулы периода и частоты колебаний пружинного маятника

Если в упругих колебаниях выполняется закон Гука, то период колебаний пружинного маятника вычисляют при помощи формулы:

[T=2pi sqrt{frac{m}{k}}left(4right).]

Так как частота колебаний ($nu $) – величина обратная к периоду, то:

[nu =frac{1}{T}=frac{1}{2pi }sqrt{frac{k}{m}}left(5right).]

Формулы амплитуды и начальной фазы пружинного маятника

Зная уравнение колебаний пружинного маятника (1 или 2) и начальные условия можно полностью описать гармонические колебания пружинного маятника. Начальные условия определяют амплитуда ($A$) и начальная фаза колебаний ($varphi $).

Амплитуду можно найти как:

[A=sqrt{x^2_0+frac{v^2_0}{{omega }^2_0}}left(6right),]

начальная фаза при этом:

[tg varphi =-frac{v_0}{x_0{omega }_0}left(7right),]

где $v_0$ – скорость груза при $t=0 c$, когда координата груза равна $x_0$.

Энергия колебаний пружинного маятника

При одномерном движении пружинного маятника между двумя точками его движения существует только один путь, следовательно, выполняется условие потенциальности силы (любую силу можно считать потенциальной, если она зависит только от координат). Так как силы, действующие на пружинный маятник потенциальны, то можно говорить о потенциальной энергии.

Пусть пружинный маятник совершает колебания в горизонтальной плоскости (рис.2). За ноль потенциальной энергии маятника примем положение его равновесия, где поместим начало координат. Силы трения не учитываем. Используя формулу, связывающую потенциальную силу и потенциальную энергию для одномерного случая:

[E_p=-frac{dF}{dx}(8)]

учитывая, что для пружинного маятника $F=-kx$,

тогда потенциальная энергия ($E_p$) пружинного маятника равна:

[E_p=frac{kx^2}{2}=frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}left(9right).]

Закон сохранения энергии для пружинного маятника запишем как:

[frac{m{dot{x}}^2}{2}+frac{m{{omega }_0}^2x^2}{2}=const left(10right),]

где $dot{x}=v$ – скорость движения груза; $E_k=frac{m{dot{x}}^2}{2}$ – кинетическая энергия маятника.

Из формулы (10) можно сделать следующие выводы:

• Максимальная кинетическая энергия маятника равна его максимальной потенциальной энергии.
• Средняя кинетическая энергия по времени осциллятора равна его средней по времени потенциальной энергии.

Примеры задач с решением

Читать дальше: формулы равноускоренного прямолинейного движения.

Сила упругости широко используется в технике. Эта сила возникает в упругих телах при их деформации. Деформация – это изменение формы тела, под действием приложенных сил.

Виды деформации

Деформация – это изменение формы, или размеров тела.

Есть несколько видов деформации:

• сдвиг;
• кручение;
• изгиб;
• сжатие/растяжение;

Деформация сдвига возникает, когда одни части тела сдвигаются относительно других его частей. Если подействовать на верхнюю часть картонного ящика, наполненного различными предметами, горизонтальной силой, то вызовем сдвиг верхней части ящика относительно его нижней части.

Сжатие или растяжение легко представить на примере прямоугольного куска тонкой резины. Такая деформация используется, к примеру, в резинках для одежды.

Примеры изгиба и кручения показаны на рисунке 1. Пластиковая линейка, деформированная изгибом, представлена на рис. 1а, а на рисунке 1б – эта же линейка, деформируемая кручением.

В деформируемом теле возникают силы, имеющие электромагнитную природу и препятствующие деформации.

Растяжение пружины

Рассмотрим подробнее деформацию растяжения на примере пружины.

Давайте прикрепим пружину к некоторой поверхности (рис. 2). На рисунке слева указана начальная длина (L_{0}) пружины.

Подвесим теперь к пружине груз. Пружина будет иметь длину (L), указанную на рисунке справа.

Сравним длину нагруженной пружины с длиной свободно висящей пружины.

[ large L_{0} + Delta L = L ]

Найдем разницу (разность) между длинами свободно висящей пружины и пружины с грузом. Вычтем для этого из обеих частей этого уравнения величину (L_{0}).

[ large boxed{ Delta L = L — L_{0} }]

( L_{0} left(text{м} right) )  – начальная длина пружины;

( L left(text{м} right) )  – конечная длина растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) )  – кусочек длины, на который растянули пружину;

Величину ( Delta L ) называют удлинением пружины.

Иногда рассчитывают относительное удлинение. Это относительное удлинение часто выражают десятичной дробью. Или дробью, в знаменателе которой находится число 100 — такую дробь называют процентом.

Примечание: Отношение – это дробь. Относительное – значит, дробное.

[ large boxed{ frac{Delta L }{ L_{0}} = frac{ L — L_{0}}{L_{0} } = varepsilon } ]

( varepsilon ) – это отношение (доля) растяжения пружины к ее начальной длине. Измеряют в процентах и называют относительным удлинением.

Расчет силы упругости

Если растягивать пружину вручную, мы можем заметить: чем больше мы растягиваем пружину, тем сильнее она сопротивляется.

Значит, с удлинением пружины связана сила, которая сопротивляется этому удлинению.

Конечно, если пружина окажется достаточно упругой, чтобы сопротивляться. Например, разноцветная пружина-игрушка (рис. 3), изготовленная из пластмассы, сопротивляться растяжению, увеличивающему ее длину в два раза, практически не будет.

Закон Гука

Английский физик Роберт Гук, живший во второй половине 17-го века, установил, что сила сопротивления пружины и ее удлинение связаны прямой пропорциональностью. Силу, с которой пружина сопротивляется деформации, он назвал ( F_{text{упр}} ) силой упругости.

[ large boxed{ F_{text{упр}} = k cdot Delta L }]

Эту формулу назвали законом упругости Гука.

( F_{text{упр}} left( H right) ) – сила упругости;

( Delta L left(text{м} right) )  – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) )  – коэффициент жесткости (упругости).

Какие деформации называют малыми

Закон Гука применяют для малых удлинений (деформаций).

Если убрать деформирующую силу и тело вернется к первоначальной форме (размерам), то деформации называют малыми.

Если же тело к первоначальной форме не вернется – малыми деформации назвать не получится.

Как рассчитать коэффициент жесткости

Груз, прикрепленный к концу пружины, растягивает ее (рис. 4). Измерим удлинение пружины и составим силовое уравнение для проекции сил на вертикальную ось. Вес груза направлен против оси, а сила упругости, противодействующая ему – по оси.

Так как силы взаимно компенсируются, в правой части уравнения находится ноль.

[ large F_{text{упр}} — m cdot g = 0 ]

Подставим в это уравнение выражение для силы упругости

[ large k cdot Delta L — m cdot g = 0 ]

Прибавим к обеим частям вес груза и разделим на измеренное изменение длины (Delta L ) пружины. Получим выражение для коэффициента жесткости:

[ large boxed{ k = frac{ m cdot g }{Delta L} }]

(g) – ускорение свободного падения, оно связано с силой тяжести.

Соединяем две одинаковые пружины

В задачниках по физике и пособиях для подготовки к ЕГЭ встречаются задачи, в которых одинаковые пружины соединяют последовательно, либо параллельно.

Параллельное соединение пружин

На рисунке 5а представлена свободно висящая пружина. Нагрузим ее (рис. 5б), она растянется на величину (Delta L). Соединим две такие пружины параллельно и подвесим груз в середине перекладины (рис. 5в). Из рисунка видно, что конструкция из двух параллельных пружин под действием груза растянется меньше, нежели единственная такая пружина.

Сравним растяжение двух одинаковых пружин, соединенных параллельно, с растяжением одной пружины. К пружинам подвешиваем один груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две параллельные пружины:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{параллел}} cdot Delta L cdot frac{1}{2}= k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{параллел}} cdot frac{1}{2}= k_{1} ]

Умножим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{параллел}} = 2k_{1} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{параллел}}) двух пружин, соединенных параллельно, увеличился вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Последовательное соединение пружин

Рисунок 6а иллюстрирует свободно висящую пружину. Нагруженная пружина (рис. 6б), растянута на длину (Delta L). Теперь возьмем две такие пружины и соединим их последовательно. Подвесим груз к этим (рис. 6в) пружинам.

Практика показывает, что конструкция из двух последовательно соединенных пружин под действием груза растянется больше единственной пружины.

На каждую пружину в цепочке действует вес груза. Под действием веса пружина растягивается и передает далее по цепочке этот вес без изменений. Он растягивает следующую пружину. А та, в свою очередь, растягивается на такую же величину (Delta L).

Примечание: Под действием силы пружина растягивается и передает эту растягивающую силу далее по цепочке без изменений

Сравним растяжение двух одинаковых последовательно соединенных пружин и растяжение единственной пружины. В обоих случаях к пружинам подвешиваем одинаковый груз весом (mg).

Одна пружина:

[ large k_{1} cdot Delta L = m cdot g ]

Две последовательные пружины:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = m cdot g ]

Так как правые части уравнений совпадают, левые части тоже будут равны:

[ large k_{text{послед}} cdot Delta L cdot 2 = k_{1} cdot Delta L ]

Обе части уравнения содержат величину (Delta L ). Разделим обе части уравнения на нее:

[ large k_{text{послед}} cdot 2 = k_{1} ]

Разделим обе части полученного уравнения на число 2:

[ large boxed{ k_{text{послед}} = frac{k_{1}}{2} } ]

Коэффициент жесткости (k_{text{послед}}) двух пружин, соединенных последовательно, уменьшится вдвое, в сравнении с одной такой пружиной

Потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины

Пружина сжатая (левая часть рис. 7), или растянутая (правая часть рис. 7) на длину (Delta L ) обладает потенциальной возможностью вернуться в первоначальное состояние и при этом совершить работу,  например, по перемещению груза. В таких случаях физики говорят, что пружина обладает потенциальной энергией.

Эта энергия зависит от коэффициента жесткости пружины и от ее удлинения (или укорочения при сжатии).

Чем больше жесткость (упругость) пружины, тем больше ее потенциальная энергия. Увеличив удлинение пружины получим повышение ее потенциальной энергии по квадратичному закону:

[ large boxed{ E_{p} = frac{k}{2} cdot  left( Delta L right)^{2} }]

( E_{p} left( text{Дж} right)) – потенциальная энергия сжатой или растянутой пружины;

( Delta L left(text{м} right) )  – удлинение пружины;

( displaystyle k left(frac{H}{text{м}} right) )  – коэффициент жесткости (упругости) пружины.

Выводы

1. Упругие тела – такие, которые сопротивляются деформации;
2. Во время деформации в упругих телах возникает сила, она препятствует деформации, ее называют силой упругости;
3. Деформация – изменение формы, или размеров тела;
4. Есть несколько видов деформации: изгиб, кручение, сдвиг, растяжение/сжатие;
5. Удлинение пружины – это разность ее конечной и начальной длин;
6. Сжатая или растянутая пружина обладает потенциальной энергией (вообще, любое упруго деформированное тело обладает потенциальной энергией);
7. Система, состоящая из нескольких одинаковых пружин, будет иметь коэффициент жесткости, отличный от жесткости единственной пружины;
8. Если пружины соединяют параллельно – коэффициент жесткости системы увеличивается;
9. А если соединить пружины последовательно – коэффициент жесткости системы уменьшится.

From a taut bowstring sending an arrow flying through the air to a kid cranking a jack-in-the-box enough to make it pop out so fast you can barely see it happening, spring potential energy is all around us.

In archery, the archer draws back the bowstring, pulling it away from its equilibrium position and transferring energy from her own muscles to the string, and this stored energy is called ​spring potential energy​ (or ​elastic potential energy​). When the bowstring is released, this is released as kinetic energy in the arrow.

The concept of spring potential energy is a key step in many situations involving the conservation of energy, and learning more about it gives you insight into more than just jack-in-the-boxes and arrows.

Definition of Spring Potential Energy

Spring potential energy is a form of stored energy, much like gravitational potential energy or electrical potential energy, but one associated with springs and ​elastic​ objects.

Imagine a spring hanging vertically from the ceiling, with somebody pulling down on the other end. The stored energy that results from this can be quantified exactly if you know how far down the string has been pulled, and how that specific spring responds under external force.

More precisely, the potential energy of the spring depends on its distance, ​x​, that it has moved from its “equilibrium position” (the position it would rest at in the absence of external forces), and its spring constant, ​k​, which tells you how much force it takes to extend the spring by 1 meter. Because of this, ​k​ has units of newtons/meter.

The spring constant is found in Hooke’s law, which describes the force required to make a spring stretch ​x​ meters from its equilibrium position, or equally, the opposite force from the spring when you do:

F=-kx

The negative sign tells you that the spring force is a restoring force, which acts to return the spring to its equilibrium position. The equation for spring potential energy is very similar, and it involves the same two quantities.

Equation for Spring Potential Energy

Spring potential energy ​PE​_spring is calculated using the equation:

PE_{spring} = frac{1}{2}kx^2

The result is a value in joules (J), because spring potential is a form of energy.

In an ideal spring – one that is assumed to have no friction and no appreciable mass – this is equal to how much work you did on the spring in extending it. The equation has the same basic form as the equations for kinetic energy and rotational energy, with the ​x​ in place of the ​v​ in the kinetic energy equation and the spring constant ​k​ in place of mass ​m​ – you can use this point if you need to memorize the equation.

Example Elastic Potential Energy Problems

Calculating spring potential is simple if you know the displacement caused by the spring stretch (or compression), ​x​ and the spring constant for the spring in question. For a simple problem, imagine a spring with the constant ​k​ = 300 N/m being extended by 0.3 m: what is the potential energy stored in the spring as a result?

This problem involves the potential energy equation, and you’re given the two values you need to know. You just need to plug in the values ​k​ = 300 N/m and ​x​ = 0.3 m to find the answer:

begin{aligned} PE_{spring} &= frac{1}{2}kx^2 \ &=frac{1}{2}×300 ;text{N/m} × (0.3 ;text{m})^2 \ &= 13.5 ;text{J} end{aligned}

For a more challenging problem, imagine an archer drawing back the string on a bow preparing to fire an arrow, bringing it back up to 0.5 m from its equilibrium position and pulling the string with a maximum force of 300 N.

Here, you’re given the force ​F​ and the displacement ​x​, but not the spring constant. How do you tackle a problem like this? Luckily, Hooke’s law describes the relationship between, ​F​, ​x​ and the constant ​k​, so you can use the equation in the following form:

k=frac{F}{x}

To find the value of the constant before calculating the potential energy as before. However, since ​k​ appears in the elastic potential energy equation, you can substitute this expression into it and calculate the result in a single step:

begin{aligned} PE_{spring}&=frac{1}{2}kx^2 \ &=frac{1}{2}frac{F}{x}x^2 \ &=frac{1}{2}Fx \ &= frac{1}{2}× 300 ;text{N} × 0.5 ;text{m} \ &= 75 ;text{J} end{aligned}

So, the fully taut bow has 75 J of energy. If you then need to calculate the maximum speed of the arrow, and you know its mass, you can do this by applying the conservation of energy using the kinetic energy equation.