Как найти поток через поверхность цилиндра - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

1. Определение потока векторного поля

Рассмотрим
векторное поле
,
где проекции– непрерывные функции в некоторой области
(V). Возьмем некоторую
гладкую (кусочно гладкую) двустороннюю
ориентированную поверхность (S)
(то есть двустороннюю поверхность с
выбранным на ней направлением нормали).

Определение.ПотокомПвекторного полячерез двустороннюю ориентированную
поверхность (S)
называется поверхностный интеграл
первого рода по поверхности (S):

.
(1.3)

Здесь
–
орт нормали к выбранной стороне (S);ds– элемент площади
поверхности (S).

Замечание.В
случае замкнутой поверхности ее
ориентируют, направляя нормаль изнутри
области (V) наружу.
Сторона с положительным направлением
нормали называется положительной
стороной поверхности.

Для
потока можно дать следующие записи
через поверхностные интегралы первого
и второго рода
:

(1.3)

где
,,– то есть– проекции площадкина плоскостиOyz,Oxz,Oxyсоответственно.

Пример.Вычислить поток векторного поля–
радиус-вектор точки)
через полную поверхность прямого
кругового цилиндра с высотойHи радиусом основанияR(см. рис.1).

Рис.1.

ешение.Так как поверхность (S)
есть объединение поверхностейи,
то поэтому для потокаП(по свойству
аддитивности) имеем:.
На боковой поверхностинормальпараллельна плоскостиOxy;
следовательно,и поток=.
На нижнем основаниинормальпараллельна
осиOz:.
Тогдаи;
на стороненормальи,
т.е.и.Искомый
поток.
Обратим внимание на то, что.
Ниже увидим, что это не случайно.

2. Способы вычисления потока

1.
Метод проектирования.Пусть поверхность
(S) задана явным
уравнением.
В этом случае орти.
Для потокаП получим формулу:

.
(1.4)

Замечание 1.При проектировании на другие плоскости
в подынтегральную функцию в формуле
(1.4) следует добавить (множителем) проекциюна координатную ось, перпендикулярную
плоскости проектирования.

В формуле (1.4) ()
– область на плоскостиOxy,
в которую проектируется поверхность
(S); произведениеdxdyберется со знаком +, если уголмежду осью Ozи
нормальюострый, и минус, если уголтупой. Символозначает, что в подынтегральную функцию
вместоzнадо подставить.

Замечание 2.Аналогичные формулы можно записать,
если проектировать поверхность (S)
на плоскостиOxzилиOyz.

Замечание 3.В
случае неявного задания поверхности
(S)вектор.

Пример
1.Найти поток векторного полячерез верхнюю сторону треугольникаАВСс вершинами в точках,,(см. рис.2).

Рис.2.

ешение.Составим уравнение
плоскости (поверхности (S)),
проходящей через три заданные точки:

откуда
.
Поверхность (S)
проектируется на плоскостьOxyв область,.
Из условия следует, что нормальобразует острый угол с осьюOz.
Имеем=;
произведениеdxdy,
берем со знаком “+”. Тогда по формуле
(1.4)

Пример 2.Вычислить полячерез замкнутую поверхность (S),
ограниченную цилиндроми плоскостями,.
Положительной стороной (по определению)
считаем внешнюю сторону замкнутой
поверхности.

Решение.Поверхность (S) кусочно
гладкая. Разобъем ее на три части
(см.
рис.3):.
В связи с этим.
1 )Для поверхностиz=0 и.

Рис.3.

огда.
Проекцияповерхности (S) на
плоскостьOxyесть
полукруг,.
С учетом направления нормалидля потокаполучим:.
Переходя к полярным координатам, найдем.2)
Дляи.
Поверхностьпроектируется на плоскостьOxyв область ()
(см.п.1), и поток

=.3)Для,

и
=.
Однозначно поверхностьпроектируется на плоскостьOyzв область (),
ограниченную линиями.

Исключая отсюда
x, найдем проекцию
этой линии на плоскостьOyz:.
Для потока получим (напомним Замечание
1: следует учесть, что в этом случае

=.
4) Для потокаполучим.

2.
Метод проектирования на все три
координатные плоскости. Пусть
поверхность (S)
однозначно проектируется на все три
координатные плоскости: (D_xy):z=z(x,y);;.Для
потокаП в этом случае имеем (вторая
формула из (1.3)):

(1.5)

В (1.5) знаки проекций
dydz,dxdz,dxdyвыбираются в
соответствии с сформулированным выше
правилом.

Пример 3.Найти
поток векторачерез часть внешней стороны сферы,
заключенной в первом октанте.

Решение.Имеем.
С учетом того, что поверхность расположена
в первом октанте, проекцииdydz,dxdz,dxdyберем со знаком “+”. По формуле (1.5).
Из уравнения сферы имеем:;;и

.
Очевидно,
.
Вычислим этот интеграл в полярной
системе координат:===.
Следовательно,.

3.
Применение формулы Гаусса-Остроградского.Приведем соответствующую теорему.

Теорема.Если
в некоторой областипроекции полянепрерывны и имеют непрерывные частные
производные,
то поток векторачерез произвольную замкнутую кусочно
гладкую поверхность (S),
расположенную целиком в области,
равен тройному интегралу от суммыпо области (V),
ограниченной поверхностью (S):

(1.6)

–
формула Гаусса-Остроградского.

Замечание.
Подынтегральная функция в тройном
интеграле (1.6) называется дивергенцией
(расходимостью) поля
;
обозначается.

Пример 4.
Вычислить поток векторачерез
замкнутую поверхность,.

Решение. По
формуле (1.6).
Для вычисления этого интеграла применим
сферическую систему координат:,,;.
Таким образом,

Пример 5.Используя формулу Гаусса-Остроградского
(1.6), вычислить поток полячерез верхнюю сторону части поверхности,
расположенную над плоскостьюOxy.

Решение.Для
того, чтобы можно было применить формулу
(1.6), замкнем снизу данную поверхность
куском плоскостиOxy,
который ограничен окружностью,z = 0 . Вычислим
подынтегральную функцию, стоящую под
знаком тройного интеграла:.
Отсюда следует, что потокП=0. По
свойству аддитивности,
откуда искомый поток.
Уравнение поверхностии.
Таким образом,– потокчерез поверхностьz=0 численно равен площади круга;
искомый поток.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Рассмотрим векторное поле , где проекции – непрерывные функции в некоторой области (V). Возьмем некоторую гладкую (кусочно гладкую) двустороннюю ориентированную поверхность (S) (то есть двустороннюю поверхность с выбранным на ней направлением нормали).

Определение. Потоком П векторного поля через двустороннюю ориентированную поверхность (S) называется поверхностный интеграл первого рода по поверхности (S):

. (1.3)

Здесь – орт нормали к выбранной стороне (S); Ds – элемент площади поверхности (S).

Замечание. В случае замкнутой поверхности ее ориентируют, направляя нормаль изнутри области (V) наружу. Сторона с положительным направлением нормали называется положительной стороной поверхности.

Для потока можно дать следующие записи через поверхностные интегралы первого и второго рода :

(1.3¢)

Где , , – то есть – проекции площадки на плоскости Oyz, Oxz, Oxy соответственно.

Пример. Вычислить поток векторного поля – радиус-вектор точки ) через полную поверхность прямого кругового цилиндра с высотой H и радиусом основания R (см. рис.1).

Решение. Так как поверхность (S) есть объединение поверхностей и , то поэтому для потока П (по свойству аддитивности) имеем: . На боковой поверхности нормаль параллельна плоскости Oxy; следовательно, и поток =. На нижнем основании нормаль Параллельна оси Oz: . Тогда и ; на стороне нормаль И , т. е. и .Искомый поток . Обратим внимание на то, что . Ниже увидим, что это не случайно.

< Предыдущая		Следующая >

Источник

Электрический поток – это величина линии потока, пронизывающей поверхность проводника. Давайте обсудим, как найти электрический поток в этой статье.

Электрический поток можно найти, рассчитав общую величину электрического поля, создаваемого проводящим материалом, и плотность зарядов, присутствующих на его поверхности, которая является произведением электрического поля и площади поверхности проводника.

Как найти электрический поток через поверхность?

A проводник находится в электрическом поле, носители заряда начинают дрейфовать и проводить электрический ток.

Направление электрического потока проходит от положительной поверхности к отрицательно заряженной поверхности. Полный электрический поток через проводник зависит от напряженность электрического поля и площадь поверхности проводника, по которому проходит электрический поток.

Рассмотрим небольшой лист, помещенный в электрическое поле так, что линии электрического потока проходят через проводящий лист. Пусть А – площадь листа проводника.

Электрический поток через поверхность

По закону Гаусса,

Φ=Е.да

Φ =EACosθ

Угол θ образован линией электрического поля с нормальной поверхностью заряженного проводника. Если нормаль к поверхности перпендикулярна электрическому полю, то электрический поток будет равен нулю.

Как найти электрический поток через цилиндр?

Электрический поток через цилиндр представляет собой чистую плотность потока со всех поверхностей цилиндра.

Чистый электрический поток можно рассчитать, используя закон Гаусса, который гласит, что чистый электрический поток через проводник является произведением заряда проводника, умноженного на 1/ε₀.

Рассмотрим цилиндр длины ‘l’ и радиуса ‘r’, помещенный в область электрического поля E так, что электрический поток проходит через поверхность A цилиндра и выходит из поверхности B цилиндра.

Электрический поток через цилиндр

Электрический поток через поверхность «А» цилиндра равен

Φ_A=EACosθ

Основание цилиндра имеет круглую форму, следовательно, площадь круглого основания равна πr.². Угол θ, образуемый нормалью поверхности с электрическим потоком, равен 0.

Φ_A=E*πr²Cos0

Φ_A=E*πr² * 1

Φ_A=Eπr²

Точно так же электрический поток через поверхность «B», где линия потока проходит под углом 180 градусов к нормали к поверхности B, равен

Φ_B=E*πr² Cos180

Φ_B=E*πr² (-1)

Φ_B=-Eπr²

Принимая во внимание, что нормаль к поверхности «C» перпендикулярна электрическому полю, следовательно, электрический поток через цилиндрическую поверхность равен

Φ_C=E*πr² Кос 90

Φ_C=E*πr² 0

Φ_C=0

Теперь чистый поток через цилиндр равен

Ф = Ф_A+Ф_B+Ф_C

Φ =Eπr² – Эр²+0

Ф= 0

Следовательно, чистый поток через цилиндр оказывается равным нулю.

Как найти электрический поток через куб?

Куб имеет 6 поверхностей, следовательно, электрический поток через куб будет пропорционален электрическому потоку через эти шесть поверхностей куба.

Это можно рассчитать, применив закон Гаусса, согласно которому электрический поток через поверхность равен заряду, умноженному на обратную величину проницаемости среды.

Рассмотрим куб, помещенный в электрическое поле E. Длина каждой стороны куба равна l. Пусть заряд q находится в центре куба.

Электрический поток через куб с зарядом в центре

По закону Гаусса электрический поток через одну сторону куба должен быть

Ф =q/ε₀

Поскольку у куба 6 сторон, электрический поток будет равен

Ф =q/6ε₀

Предположим, что внутри куба нет заряда, а электрическое поле направлено перпендикулярно двум поверхностям куба и не мешает остальным 4 сторонам куба, как показано на рисунке.

Электрический поток через куб в отсутствие заряда

Линии электрического потока входят с нижней поверхности куба и, следовательно, электрический поток здесь отрицателен, а силовые линии выходят с верхней поверхности куба, поэтому на этой поверхности электрический поток положительный.

Электрический поток на нижней поверхности куба равен

Φ_b=ЭА

Φ_b=-ql²/ε₀

Электрический поток на верхней поверхности куба равен

Φ_t=ЭА

Φ_t= ql²/ε₀

Следовательно, чистый электрический поток через куб равен

Ф = Ф_b+Ф_t

Ф =-ql²/ε₀+ql²/ε₀

Ф =0

Таким образом, суммарный электрический поток в отсутствие заряженной частицы в кубе равен нулю. По закону Гаусса электрический поток через близкие объекты равен заряду, заключенному в этом объекте, и обратной величине проницаемости среды.

Как найти электрический поток через сферу?

В сфере электрическое поле внутри замкнутой сферы равно нулю, поскольку заряды оседают и бегут по поверхности сферы.

Электрический поток через шар при наличии заряда, помещенного внутри шаровой оболочки, равен произведению электрического поля на поверхности шара на площадь поверхности шара.

Рассмотрим сферическую оболочку радиуса «r» и заряд «q», помещенный внутри сферы. Электрическое поле, создаваемое носителем заряда на сфере, равно

Е=1/4ε₀qπr²

Электрический поток через шар

Площадь сферы A=4πr²

Электрический поток – это величина электрического поля через поверхность проводника, тогда мы можем написать,

Ф =ЭА

Подставляя значения, найденные выше, в это, мы получаем

Ф =1/4ε₀qπr² (4πr²)

Ф =q/ε₀

Следовательно, электрический поток через сферу не зависит от радиуса сферы, но зависит от заряда, который она несет, и проницаемости среды.

Как найти электрический поток через квадрат?

Электрический поток через квадрат эквивалентен электрическому потоку, проходящему с одной стороны куба.

Электрический поток через квадрат проходит через две стороны квадратного листа, поэтому площадь здесь удваивается, а электрический поток через квадрат можно найти, применяя закон Гаусса.

Предположим, вы поместили квадратный лист, каждая сторона которого имеет длину «l», в электрическом поле E, и линии электрического потока проходят через этот квадратный лист, как показано на рисунке ниже. Пусть на поверхности квадрата находится заряд q.

Электрический поток через квадратный лист

Электрический поток через квадрат Φ =EA

ЕА=q/ε₀

Поверхностная плотность заряда на квадрате – это заряд, присутствующий на поверхности на единицу площади квадрата, который определяется соотношением

σ=q/A

Где σ – плотность поверхностного заряда

q – заряд квадрата

A – площадь квадрата, равная A =l²

Следовательно, q=σ A

Подставив это в приведенное выше уравнение

ЕА=σ А / ε₀

Электрический поток проходит через обе поверхности квадратного листа, и, следовательно, общая площадь поверхности, через которую проходит электрический поток, равна удвоенной площади поверхности квадрата. Поэтому мы можем написать

E.2A=σ A / ε₀

Отсюда получаем,

Е=σ А / 2ε₀

Это уравнение электрического поля, проходящего через квадрат.

Электрический поток представляет собой произведение электрического поля на площадь поверхности квадрата. Полная площадь поверхности квадрата, через который проходит поток, равна 2I.². Следовательно, мы получаем электрический поток через квадрат как

Φ =EA =σI²/ε₀

Как найти плотность электрического потока?

Линии электрического потока представляют собой воображаемые линии, проходящие через проводник и указывающие направление электрического поля.

Плотность электрического потока — это число электрических потоков, проходящих через единицу площади проводника, и обозначается как произведение диэлектрической проницаемости и электрического поля, в котором находится проводник.

Мы знаем, что электрический поток через близкую поверхность проводника равен

Φ =E.dA

При интегрировании получаем

Φ=ЕА

Если рассматривать замкнутую поверхность как небольшой элемент сферически-симметричной формы, то

Ф=1/4ε₀qπr² (4πr²)

Φ=q/ε₀

Плотность потока прямо пропорциональна электрическому потоку, проходящему через проводник, и обратно пропорциональна площади поверхности проводника.

D α Ф/А

D=ε/A

где ε является константой пропорциональности и называется диэлектрической проницаемостью свободного пространства

Подставляя значение Φ в это уравнение, получаем

Д=qε/ε₀A

потому что Φ =EA=q/ε₀

Е=q/ε₀A

Следовательно, уравнение для плотности электрического потока принимает вид

D=ε₀

Это уравнение для нахождения плотности электрического потока через любой проводящий материал.

Как найти чистый электрический поток?

Чистый электрический поток через любой проводник представляет собой сумму всех электрических потоков, проходящих через все поверхности проводника.

Рассчитав площадь поверхности проводника и зная электрическое поле проводящей поверхности, мы можем рассчитать поток через каждую поверхность проводника, а затем сложить весь поток. Сумма всех потоков через каждую из поверхностей проводника даст нам чистый электрический поток через проводник.

Предположим, у нас есть прямоугольная пластина, помещенная в электрическое поле E, так что электрический поток проходит через две поверхности пластины длиной l, дыханием b и высотой h.

Электрический поток через прямоугольную плиту

Электрическое поле перпендикулярно всем поверхностям пластины и, следовательно, Cos θ = Cos 90⁰=0 и, следовательно, электрический поток через эти поверхности равен нулю Φ =0.

За исключением двух поверхностей, электрический поток проходит через прямоугольную пластину через одну поверхность, следовательно, заряд отрицателен, а электрический поток через эту поверхность равен

Φ₁ =ЭА

Φ₁ =-qI²/ε₀

Поскольку электрический поток уходит с другой поверхности, значит, заряд на этой поверхности пластины положителен и, следовательно, электрический поток равен

Φ₂=qI²/ε₀

Электрический поток через все остальные поверхности равен нулю, и, следовательно, теперь мы можем найти чистый электрический поток через прямоугольную плиту как сумму этих потоков.

Ф=Ф₁+Ф₂

Φ=-qI²/ε₀+qI²/ε₀=0

Чистый электрический поток в пластине равен нулю, поскольку поток входит с одной поверхности и выходит с другой поверхности.

Часто задаваемые вопросы

Каков электрический поток через проводящую сферу радиусом 4.8 см, если заряд 35 мКл?

Данный: г = 4.8 см = 0.048 м

q= 35 мКл

Электрический поток через шар определяется уравнением

Ф =q/ε₀

Ф = 35*10^-6/ 8.85 * 10^-12

Ф =3.95* 10⁶Вм

Электрический поток через шар с зарядом 35 мКл, помещенный внутрь шара, равен 3.95*10⁶Вм

Какова плотность электрического потока через квадратный лист длиной 13 см, имеющий заряд +3 Кл?

Данный: д = +3С

Д=13см=0.13м

Электрическое поле через квадратный лист равно

Е=σ/ε₀

Е=кв/2ε₀A

Е=кв/2εr²

=3/2*8.85*10^-12 * 0.13²

= 10.34 * 10¹²В / м

Плотность электрического потока через квадратный лист равна

D=ε₀E

= 8.85 * 10^-12* 10.34 * 10¹²

=91.51 Н/З

Источник

Слайд 6Если оказывается удобным проектировать поверхность S на координатные плоскости yOz

или xOz, то для вычисления потока П пользуются соответственно формулами:
(4)
или
(5)
Формула

(4) применяется в случае, когда поверхность S проектируется взаимно однозначно в область Dyz плоскости yOz, а значит, ее можно задать уравнением x=φ(y,z); cosα находится как коэффициент при орте i в формуле

Слайд 14Задача 1.
Найти поток вектора а =i через площадку, перпендикулярную

оси Ох, имеющую форму прямоугольника со сторонами, равными 1 и

2 (см. рис.), в положительном направлении оси Ох.

Решение. Согласно определению потока вектора через поверхность S, будем иметь

В нашем случае а=i, п0 =i, так что

Замечание. Выбрав единичный вектор (орт) нормали к площадке S так, что n0= – i, получили бы П = –2.

Учитывая то, что площадь прямоугольника равна 2, получим

Слайд 15Задача 2.
Вычислить поток векторного поля а = r, где

r — радиус-вектор, через прямой круговой цилиндр с высотой h,

радиусом основания R и осью Оz.

Решение. Поверхность S состоит из боковой поверхности σ1, верхнего основания σ2 и нижнего основания σ3 цилиндра.

Искомый поток П в силу свойства аддитивности будет равен

где П1, П2, П3 — потоки данного поля через σ1, σ2, σ3 соответственно.
На боковой поверхности σ1 цилиндра внешняя нормаль n0 параллельна плоскости хОу, и поэтому

Слайд 16На верхнем основании σ2 нормаль n0 параллельна оси и поэтому

можно положить п0 = k. Тогда
На нижнем основании σ3 вектор

а =r перпендикулярен к нормали n0 = -k. Поэтому

Слайд 17Решение. Так как нормаль n к сфере коллинеарна радиусу-вектору r,

то можно взять
Но на сфере S имеем |r| = R,

значит

Слайд 18Искомый поток П будет равен
Так как площадь сферы

Слайд 19Решение. Уравнение плоскости, в которой лежит треугольник АВС, имеет вид

x+y+z=1, откуда z=1-x-y.
Треугольник АВС проектируется взаимно однозначно на плоскость xOy

в область Dxy, которой является треугольник ОАВ.
По условию нормаль n0 к плоскости, в которой лежит треугольник АВС, образует острый угол γ с осью Oz, поэтому

Слайд 20Найдем скалярное произведение
Вычислим искомый поток

Источник

Макеты страниц

Полученный объем и называется потоком жидкости через область

Отправляясь от этого элементарного представления, мы обобщим его на случай произвольного векторного поля и произвольной поверхности

2. Элементарный поток поля.

Рассмотрим в векторном поле небольшую область на кривой поверхности (рис. 158). Возьмем на ней произвольную точку которую назовем опорной точкой.

Рис. 157.

Рис. 158.

Через опорную точку проведем касательную плоскость к поверхности и построим на ней какую-нибудь плоскую площадку (5) с той же площадью, что и площадь области Эту площадку примем за основание цилиндра, образующие которого равны по длине и параллельны по направлению вектору поля в опорной точке. Объем полученного цилиндра и называется элементарным потоком поля через область поверхности

Обозначив через орт нормали поверхности в опорной точке , мы получим для элементарного потока формулу

Замечание 1. Если размеры площадки достаточно малы, то элементарный поток поля скоростей текущей жидкости достаточно точно выражает объем жидкости, проходящей в единицу времени через

Замечание 2. Элементарный поток не является однозначно определенной величиной для данной области Он меняется при изменении опорной точки. Прайда, если размеры области малы, то эти изменения элементарного потока будут незначительными.

Замечание 3. При изменении направления орта нормали на противоположное элементарный поток меняет только свой знак.

Рис. 159.

3. Поток поля через поверхность.

Разобьем область поверхности (рис. 159) произвольным способом на частичных областей Внутри каждой частичной области произвольно зафиксируем опорную точку и определим элементарный поток через эту частичную область:

Определение. Потоком поля В через поверхность называется предел суммы элементарных потоков через частичные области, на которые разбивается область когда число частичных областей неограниченно растет, а длина наибольшей из хорд неограниченно убывает:

Мы знаем, что этот предел поверхностной интегральной суммы не зависит ни от способа дробления области на частичные области, ни от выбора опорных точек внутри частичных областей (см. гл. XIII, § 4) и равен поверхностному интегралу. Получается следующая основная формула потока поля через поверхность