Как найти поток вектора пойнтинга

Вектор Пойнтинга (также вектор Умова — Пойнтинга) — вектор плотности потока энергии электромагнитного поля, компоненты которого входят в состав тензора энергии-импульса электромагнитного поля^[1].

Вектор Пойнтинга S можно определить через векторное произведение двух векторов:

(в системе СГС),

(в Международной системе единиц (СИ)),

где E и H — векторы напряжённости электрического и магнитного полей соответственно. В СИ величина S имеет размерность Вт/м².

В случае квазимонохроматических электромагнитных полей справедливы следующие формулы для усреднённой по периоду комплексной плотности потока энергии^[2]:

(в системе СГС),

(в системе СИ),

где E и H — векторы комплексной амплитуды электрического и магнитного полей соответственно. В этом случае чёткий физический смысл имеет только действительная часть комплексного вектора S — это вектор усреднённой за период плотности потока энергии. Физический смысл мнимой части зависит от конкретной задачи.

Модуль вектора Пойнтинга равен количеству энергии, переносимой через единичную площадь, нормальную к S, в единицу времени. Своим направлением вектор определяет направление переноса энергии.

Поскольку тангенциальные к границе раздела двух сред компоненты E и H непрерывны (см. граничные условия), то нормальная составляющая вектора S непрерывна на границе двух сред.

Вектор Пойнтинга и импульс электромагнитного поля[править | править код]

В силу симметричности тензора энергии-импульса все три компоненты вектора пространственной плотности импульса электромагнитного поля равны соответствующим компонентам вектора Пойнтинга, делённым на квадрат скорости света:

(в системе СИ)

В этом соотношении проявляется материальность электромагнитного поля.

Поэтому, чтобы узнать импульс электромагнитного поля в той или иной области пространства, достаточно проинтегрировать вектор Пойнтинга по объёму.

История[править | править код]

Общее представление о потоке механической энергии в пространстве впервые было введено Н. А. Умовым в 1874 году для упругих сред и вязких жидкостей. На этом основании в более старых русскоязычных публикациях вектор плотности потока энергии любой физической природы называется вектором Умова^[3]. В 1884 году Д. Г. Пойнтингом^[4] были разработаны представления о плотности потока электромагнитной энергии. Поэтому вектор плотности потока электромагнитной энергии многими называется вектором Пойнтинга.

Сами же законы сохранения и превращения энергии, где присутствует понятие плотности потока какого-либо вида энергии, используются, как правило, без указания имен первооткрывателей, поскольку законы сохранения являются следствием других уравнений и дополнительных условий.

См. также[править | править код]

• Теорема Пойнтинга

Источники[править | править код]

I. Краткие теоретические сведения

Максвелл
обобщил закон полного тока, предположив,
что переменное электрическое поле, так
же как и электрический ток, является
источником магнитного поля. Количественной
мерой магнитного действия переменного
электрического поля служит ток смещения.
Током смещения сквозь замкнутую
поверхность называется физическая
величина, равная потоку вектора плотности
тока смещения сквозь эту поверхность

где
.Учет токов смещения
приводит к тому, что токовые силовые
линии становятся замкнутыми. Токи
смещения “проходят” в тех участках,
где нет проводников, например между
обкладками заряжающегося или разряжающегося
конденсатора.

Вектор Умова-Пойнтинга – вектор потока
энергии:

.

Теорема Пойнтинга: убыль энергии
за единицу времени в данном объеме равна
потоку энергии сквозь поверхность,
ограничивающую этот объем, плюс работа
в единицу времени (т.е. мощностьР),
которую поле производит над зарядами
вещества внутри данного объема.

,

где
–
элемент поверхности.

Объемная плотность энергии электромагнитного
поля:

.

Соотношения, связывающие составляющие
электромагнитной волны:

.

Фазовая
скорость распространения электромагнитной
волны в среде:

.

II. Примеры решения задач

Пример
9.1.
Плоский конденсатор с круглыми обкладками
радиуса
медленно заряжают. Пренебрегая краевыми
эффектами (рассеянием поля), показать,
что скорость возрастания энергии
электрического поля конденсатора равна
потоку вектора Пойнтинга через его
боковую поверхность.

Решение.

По определению (13.2) вектор Пойнтинга
равен

.

Поэтому
сначала необходимо определить взаимное
расположение векторов
и.

Пусть для определенности верхняя
пластина конденсатора имеет положительный
заряд. Следовательно, вектор
направлен вниз. Поскольку конденсатор
медленно заряжают, то напряженность
электрического поля возрастает, т.е.
вектортакже направлен вниз. Далее, используя
уравнение Максвелла,
определим, что векторсонаправлен с.
Поэтому линии напряженности магнитного
поля представляют собой окружности,
плоскости которых перпендикулярны
силовым линиям электрического поля, а
направление определяется по правилу
правого винта (см. рис. 10.1). Таким образом,
на боковой поверхности векторнаправлен внутрь конденсатора. Найдем
его потоксквозь эту поверхность:

,

где
–
площадь боковой поверхности конденсатора.

Из теоремы о циркуляции вектора
следует:

,

где
–
площадь поверхности, натянутой на контур.
Тогда

Подстановкой
получим

,

где
– объем конденсатора.

С другой стороны,
,
т.е потокравен изменению энергии электромагнитного
поля внутри конденсатора. Тогда

,

и есть изменение
энергии электрического поля конденсатора.
Таким образом, мы видим, что поток вектора
Пойнтинга через боковую поверхность
конденсатора равен скорости изменения
электрической энергии внутри конденсатора.

Пример
9.2.Ток, протекающий по обмотке
длинного прямого соленоида (-радиус
соленоида,–
длина соленоида,–
число витков на единицу длины) меняется
по закону.
Определить скорость возрастания энергии
в соленоиде.

Решение.

При
возрастании тока увеличивается магнитное
поле, а значит, согласно закону
электромагнитной индукции, появляется
вихревое электрическое поле.

На рис. 9.2 изображено взаимное расположение
векторов
и.
Вектор Пойнтинганаправлен внутрь соленоида. Согласно
теореме Пойнтинга :

.

Определим
поток
векторасквозь боковую поверхность соленоида
длиной,
пренебрегая краевыми эффектами:

.

Из закона
электромагнитной энергии
следует:

.

С одной стороны,
.
Учитывая, что,
получим.

Таким
образом, поток равен:

.

Заметим, что
формулу для потока вектора Умова-Пойнтинга
можно записать другим способом:

.

Т.е. скорость
возрастания энергии магнитного поля в
соленоиде равна потоку вектора Пойнтинга
через его боковую поверхность.

Пример
9.3.По прямому проводнику круглого
сечения течет постоянный ток.
Найти поток вектора Пойнтинга через
боковую поверхность участка данного
проводника, имеющего сопротивление.

Решение.

Пусть
по прямому проводу круглого сечения
радиусомтечет ток.
Если проводник идеальный, то электрическое
поле внутри проводника отсутствует.
При учете сопротивления проводника
вдоль него будет действовать некоторое
электрическое поле.
В силу непрерывности тангенциальной
компоненты векторатакое же поле будет и у поверхности
проводника (рис. 9.3). Кроме того, ток
проводимостисоздает магнитное поле,
напряженность которого у поверхности
проводника можно определить из теоремы
о циркуляции:

Векторы
инаправлены так, что вектор Пойнтинганаправлен внутрь проводника перпендикулярно
его поверхности.

Определим поток электромагнитной
энергии сквозь боковую поверхность
участка провода длины
:

(здесь
использована формула
,–
разность потенциалов на концах данного
участка).

Таким
образом, мы приходим к выводу, что при
прохождении постоянного тока через
проводник с сопротивлением
выделяемая в виде теплоты энергия
поступает через боковую поверхность
из окружающего пространства, где движется
энергия электрического и магнитного
поля.

Пример
9.4.Нерелятивистские протоны,
ускоренные разностью потенциалов,
образуют пучок круглого сечения с током.
Найти модуль и направление вектора
Пойнтинга вне пучка на расстоянииот его оси.

Решение.

На рис. 9.4 показано взаимное расположение
векторов
и.
Видно, что вектор Пойнтинга направлен
параллельно скорости движения протонов.

Определим
модуль вектора Пойнтинга

Неизвестное
значение напряженности электрического
поля найдем из теоремы Гаусса. Электрическое
поле, создаваемое протонами, обладает
цилиндрической симметрией, поэтому для
цилиндрической гауссовой поверхности
радиуса
и длиныможно записать

,

где
– заряд внутри этой поверхности, который
в силу равномерного распределения
протонов внутри пучка можно представить
в виде(– линейная плотность заряда). Тогда

.

Учитывая, что
(– скорость движения протонов), найдем

.

Неизвестную напряженность магнитного
поля определим по теореме о циркуляции
для вектора
:

Таким
образом, модуль вектора Пойнтинга равен:

.

Скорость
протонов
легко определить из известного
ускоряющегося потенциала:

Окончательно
имеем:

.

Пример
9.5. Плоский воздушный
конденсатор, обкладки которого имеют
форму дисков радиуса,
подключен к переменному синусоидальному
напряжению частоты(рис. 10.5). Найти отношение амплитудных
значений электрической и магнитной
энергий внутри конденсатора.

Решение.

Электрическая энергия конденсатора,
напряжение на обкладках которого
меняется по закону
,
может быть найдена следующим образом:

,

где использована
формула
,–
расстояние между пластинами конденсатора.

Магнитную энергию в силу зависимости
напряженности магнитного поля от
расстояния до оси конденсатора найдем
путем интегрирования:

.

Неизвестное
значение напряженности магнитного поля
найдем из теоремы о циркуляции:

.

Используя
в качествеэлементарный объем в виде кольца радиуса,
толщиныи высоты,
для которого(рис. 10.5), найдем магнитную энергию
конденсатора:

Таким образом,
отношение амплитудных значений магнитной
и электрической энергии конденсатора
равно:

.

Так как
,
то.

Пример
9.6. На двухпроводной линии (рис.
10.6) ток отстает по фазе от напряжения
на.
Показать, что вектор Пойнтинга каждую
четверть периода изменяет направление
на обратное, и полный поток энергии
равен нулю.

Решение.

Пусть напряжение изменяется по закону
,
тогда

.

Напряженность электрического поля
находим из соотношения:

где
– расстояние между проводниками.

По теореме о циркуляции для напряженности
магнитного поля имеем:

.

Тогда вектор Пойнтинга равен:

.

Таким
образом, период изменения векторав два раза больше периода изменения
тока и напряжения. В первую четверть
периодапоток положителен, а во вторую– отрицателен, и полный поток энергии
за период равен нулю:.

Мгновенная мощность, выделяемая в цепь,

.

Средняя
мощность

.

Если между
током и напряжением разность фаз
,
то поток энергии будет направлен обратно
к генератору в течение некоторой части
периода. Чем меньше,
тем большая энергия поступает к
потребителю и тем меньше потери на
линии.

Пример
9.7.Для передачи энергии используется
коаксиальный кабель. Показать, что
электромагнитная энергия волны,
проходящей через поперечное сечение
кабеля за единицу времени, равна энергии,
которую за это же время отдает источник,
питающий кабель.

Решение.

Коаксиальный кабель представляет собой
систему, состоящую из сплошного проводника
радиусом
и концентрично расположенного с ним
трубчатого проводника радиусом.
Пространство между ними заполнено
диэлектриком. Распределение линий
напряженности электрическойи магнитнойсоставляющих электромагнитного поля
показано на рис. 9.7. Вне кабеля, как
следует из теоремы Гаусса и закона
полного тока, ни электрического, ни
магнитного поля нет.

Определим напряженности электрического
и магнитного поля в точках, расположенных
на расстоянии
от оси кабеля ().
Из теоремы Гаусса:

,

– линейная плотность заряда на внутреннем
сплошном проводнике.

Из закона
полного тока определим:
.

Поток электромагнитной энергии через
поперечное сечение коаксиального кабеля
равен:

.

Неизвестные величины
иопределим из соотношения:

.

Следовательно,
.
Этой же величине равна мощность источника,
питающего кабель, и такая же мощность
выделяется на нагрузке.

Пример
9.8.Вычислить энергию,
проходящую за времячерез единичную площадку, перпендикулярную
направлению распространения волны.

Решение.

Определим энергию
с помощью вектора Пойнтинга:

Так как в
волне выполняется соотношение
,
означающее, что в электромагнитной
волне плотность электрической энергии
в любой момент времени равна плотности
магнитной энергии в той же точке, то

при
условии
.

Заметим, что такой же ответ можно
получить, воспользовавшись формулой
для плотности энергии электромагнитного
поля
:

.

Тогда
.
Таким образом, оба выражения – дляи для–
приводят к одинаковому результату.

Пример
9.9.Между двумя концентрическими
металлическими сферами находится слабо
проводящий диэлектрик. Внутренняя сфера
заряжена. Найти ток смещения через
(произвольную) замкнутую поверхность,
охватывающую внутреннюю сферу.

Решение.

По определение ток смещения
.
Полный ток смещения

.

По теореме
Гаусса,
тогда

.

С
другой стороны, по закону сохранения
заряда

По
закону Ома

,

где
– проводимость, тогда

.

Таким
образом,

.

Вектор
уменьшается, так как число положительных
зарядов уменьшается.

Пример
9.10.
Длинный прямой соленоид радиуса
имеетвитков на единицу длины. По нему течет
ток.
Найти плотность тока смещения в
зависимости от расстояния до оси
соленоида.

Решение.

Из
определения следует, что
.
Электрическое поле возникает в результате
электромагнитной индукцииE,
где
– магнитный поток через окружность
радиуса.
Примагнитный поток.
Поле внутри соленоида равно.
Таким образом, при

,

.

Тогда
плотность тока смещения

.

При
магнитный поток,
так как снаружи соленоида.
Таким образом, при

,

.

Т.е.
тока смещения

.

In physics, the Poynting vector (or Umov–Poynting vector) represents the directional energy flux (the energy transfer per unit area per unit time) or power flow of an electromagnetic field. The SI unit of the Poynting vector is the watt per square metre (W/m²); kg/s³ in base SI units. It is named after its discoverer John Henry Poynting who first derived it in 1884.^[1]: 132 Nikolay Umov is also credited with formulating the concept.^[2] Oliver Heaviside also discovered it independently in the more general form that recognises the freedom of adding the curl of an arbitrary vector field to the definition.^[3] The Poynting vector is used throughout electromagnetics in conjunction with Poynting’s theorem, the continuity equation expressing conservation of electromagnetic energy, to calculate the power flow in electromagnetic fields.

Definition[edit]

In Poynting’s original paper and in most textbooks, the Poynting vector is defined as the cross product^[4][5][6]

where bold letters represent vectors and

• E is the electric field vector;
• H is the magnetic field’s auxiliary field vector or magnetizing field.

This expression is often called the Abraham form and is the most widely used.^[7] The Poynting vector is usually denoted by S or N.

In simple terms, the Poynting vector S depicts the direction and rate of transfer of energy, that is power, due to electromagnetic fields in a region of space that may or may not be empty. More rigorously, it is the quantity that must be used to make Poynting’s theorem valid. Poynting’s theorem essentially says that the difference between the electromagnetic energy entering a region and the electromagnetic energy leaving a region must equal the energy converted or dissipated in that region, that is, turned into a different form of energy (often heat). So if one accepts the validity of the Poynting vector description of electromagnetic energy transfer, then Poynting’s theorem is simply a statement of the conservation of energy.

If electromagnetic energy is not gained from or lost to other forms of energy within some region (e.g., mechanical energy, or heat), then electromagnetic energy is locally conserved within that region, yielding a continuity equation as a special case of Poynting’s theorem:

where is the energy density of the electromagnetic field. This frequent condition holds in the following simple example in which the Poynting vector is calculated and seen to be consistent with the usual computation of power in an electric circuit.

Example: Power flow in a coaxial cable[edit]

Although problems in electromagnetics with arbitrary geometries are notoriously difficult to solve, we can find a relatively simple solution in the case of power transmission through a section of coaxial cable analyzed in cylindrical coordinates as depicted in the accompanying diagram. We can take advantage of the model’s symmetry: no dependence on θ (circular symmetry) nor on Z (position along the cable). The model (and solution) can be considered simply as a DC circuit with no time dependence, but the following solution applies equally well to the transmission of radio frequency power, as long as we are considering an instant of time (during which the voltage and current don’t change), and over a sufficiently short segment of cable (much smaller than a wavelength, so that these quantities are not dependent on Z). The coaxial cable is specified as having an inner conductor of radius R₁ and an outer conductor whose inner radius is R₂ (its thickness beyond R₂ doesn’t affect the following analysis). In between R₁ and R₂ the cable contains an ideal dielectric material of relative permittivity ε_r and we assume conductors that are non-magnetic (so μ = μ₀) and lossless (perfect conductors), all of which are good approximations to real-world coaxial cable in typical situations.

The center conductor is held at voltage V and draws a current I toward the right, so we expect a total power flow of P = V · I according to basic laws of electricity. By evaluating the Poynting vector, however, we are able to identify the profile of power flow in terms of the electric and magnetic fields inside the coaxial cable. The electric fields are of course zero inside of each conductor, but in between the conductors () symmetry dictates that they are strictly in the radial direction and it can be shown (using Gauss’s law) that they must obey the following form:

W can be evaluated by integrating the electric field from to which must be the negative of the voltage V:

so that:

The magnetic field, again by symmetry, can only be non-zero in the θ direction, that is, a vector field looping around the center conductor at every radius between R₁ and R₂. Inside the conductors themselves the magnetic field may or may not be zero, but this is of no concern since the Poynting vector in these regions is zero due to the electric field’s being zero. Outside the entire coaxial cable, the magnetic field is identically zero since paths in this region enclose a net current of zero (+I in the center conductor and −I in the outer conductor), and again the electric field is zero there anyway. Using Ampère’s law in the region from R₁ to R₂, which encloses the current +I in the center conductor but with no contribution from the current in the outer conductor, we find at radius r:

Now, from an electric field in the radial direction, and a tangential magnetic field, the Poynting vector, given by the cross-product of these, is only non-zero in the Z direction, along the direction of the coaxial cable itself, as we would expect. Again only a function of r, we can evaluate S(r):

where W is given above in terms of the center conductor voltage V. The total power flowing down the coaxial cable can be computed by integrating over the entire cross section A of the cable in between the conductors:

Substituting the earlier solution for the constant W we find:

that is, the power given by integrating the Poynting vector over a cross section of the coaxial cable is exactly equal to the product of voltage and current as one would have computed for the power delivered using basic laws of electricity.

Other forms[edit]

In the “microscopic” version of Maxwell’s equations, this definition must be replaced by a definition in terms of the electric field E and the magnetic flux density B (described later in the article).

It is also possible to combine the electric displacement field D with the magnetic flux B to get the Minkowski form of the Poynting vector, or use D and H to construct yet another version. The choice has been controversial: Pfeifer et al.^[8] summarize and to a certain extent resolve the century-long dispute between proponents of the Abraham and Minkowski forms (see Abraham–Minkowski controversy).

The Poynting vector represents the particular case of an energy flux vector for electromagnetic energy. However, any type of energy has its direction of movement in space, as well as its density, so energy flux vectors can be defined for other types of energy as well, e.g., for mechanical energy. The Umov–Poynting vector^[9] discovered by Nikolay Umov in 1874 describes energy flux in liquid and elastic media in a completely generalized view.

Interpretation[edit]

The Poynting vector appears in Poynting’s theorem (see that article for the derivation), an energy-conservation law:

where J_f is the current density of free charges and u is the electromagnetic energy density for linear, nondispersive materials, given by

where

• E is the electric field;
• D is the electric displacement field;
• B is the magnetic flux density;
• H is the magnetizing field.^{[10]: 258–260}

The first term in the right-hand side represents the electromagnetic energy flow into a small volume, while the second term subtracts the work done by the field on free electrical currents, which thereby exits from electromagnetic energy as dissipation, heat, etc. In this definition, bound electrical currents are not included in this term and instead contribute to S and u.

For linear, nondispersive and isotropic (for simplicity) materials, the constitutive relations can be written as

where

• ε is the permittivity of the material;
• μ is the permeability of the material.^{[10]: 258–260}

Here ε and μ are scalar, real-valued constants independent of position, direction, and frequency.

In principle, this limits Poynting’s theorem in this form to fields in vacuum and nondispersive^{[clarification needed]} linear materials. A generalization to dispersive materials is possible under certain circumstances at the cost of additional terms.^{[10]: 262–264}

One consequence of the Poynting formula is that for the electromagnetic field to do work, both magnetic and electric fields must be present. The magnetic field alone or the electric field alone cannot do any work.^[11]

Plane waves[edit]

In a propagating electromagnetic plane wave in an isotropic lossless medium, the instantaneous Poynting vector always points in the direction of propagation while rapidly oscillating in magnitude. This can be simply seen given that in a plane wave, the magnitude of the magnetic field H(r,t) is given by the magnitude of the electric field vector E(r,t) divided by η, the intrinsic impedance of the transmission medium:

where |A| represents the vector norm of A. Since E and H are at right angles to each other, the magnitude of their cross product is the product of their magnitudes. Without loss of generality let us take X to be the direction of the electric field and Y to be the direction of the magnetic field. The instantaneous Poynting vector, given by the cross product of E and H will then be in the positive Z direction:

Finding the time-averaged power in the plane wave then requires averaging over the wave period (the inverse frequency of the wave):

where E_rms is the root mean square electric field amplitude. In the important case that E(t) is sinusoidally varying at some frequency with peak amplitude E_peak, its rms voltage is given by , with the average Poynting vector then given by:

This is the most common form for the energy flux of a plane wave, since sinusoidal field amplitudes are most often expressed in terms of their peak values, and complicated problems are typically solved considering only one frequency at a time. However, the expression using E_rms is totally general, applying, for instance, in the case of noise whose RMS amplitude can be measured but where the “peak” amplitude is meaningless. In free space the intrinsic impedance η is simply given by the impedance of free space η₀ ≈ 377 Ω. In non-magnetic dielectrics (such as all transparent materials at optical frequencies) with a specified dielectric constant ε_r, or in optics with a material whose refractive index , the intrinsic impedance is found as:

In optics, the value of radiated flux crossing a surface, thus the average Poynting vector component in the direction normal to that surface, is technically known as the irradiance, more often simply referred to as the intensity (a somewhat ambiguous term).

Formulation in terms of microscopic fields[edit]

The “microscopic” (differential) version of Maxwell’s equations admits only the fundamental fields E and B, without a built-in model of material media. Only the vacuum permittivity and permeability are used, and there is no D or H. When this model is used, the Poynting vector is defined as

where

• μ₀ is the vacuum permeability;
• E is the electric field vector;
• B is the magnetic flux.

This is actually the general expression of the Poynting vector^{[dubious – discuss]}.^[12] The corresponding form of Poynting’s theorem is

where J is the total current density and the energy density u is given by

where ε₀ is the vacuum permittivity. It can be derived directly from Maxwell’s equations in terms of total charge and current and the Lorentz force law only.

The two alternative definitions of the Poynting vector are equal in vacuum or in non-magnetic materials, where B = μ₀H. In all other cases, they differ in that S = (1/μ₀) E × B and the corresponding u are purely radiative, since the dissipation term −J ⋅ E covers the total current, while the E × H definition has contributions from bound currents which are then excluded from the dissipation term.^[13]

Since only the microscopic fields E and B occur in the derivation of S = (1/μ₀) E × B and the energy density, assumptions about any material present are avoided. The Poynting vector and theorem and expression for energy density are universally valid in vacuum and all materials.^[13]

Time-averaged Poynting vector[edit]

The above form for the Poynting vector represents the instantaneous power flow due to instantaneous electric and magnetic fields. More commonly, problems in electromagnetics are solved in terms of sinusoidally varying fields at a specified frequency. The results can then be applied more generally, for instance, by representing incoherent radiation as a superposition of such waves at different frequencies and with fluctuating amplitudes.

We would thus not be considering the instantaneous E(t) and H(t) used above, but rather a complex (vector) amplitude for each which describes a coherent wave’s phase (as well as amplitude) using phasor notation. These complex amplitude vectors are not functions of time, as they are understood to refer to oscillations over all time. A phasor such as E_m is understood to signify a sinusoidally varying field whose instantaneous amplitude E(t) follows the real part of E_m e^jωt where ω is the (radian) frequency of the sinusoidal wave being considered.

In the time domain, it will be seen that the instantaneous power flow will be fluctuating at a frequency of 2ω. But what is normally of interest is the average power flow in which those fluctuations are not considered. In the math below, this is accomplished by integrating over a full cycle T = 2π / ω. The following quantity, still referred to as a “Poynting vector”, is expressed directly in terms of the phasors as:

where ^∗ denotes the complex conjugate. The time-averaged power flow (according to the instantaneous Poynting vector averaged over a full cycle, for instance) is then given by the real part of S_m. The imaginary part is usually ignored, however, it signifies “reactive power” such as the interference due to a standing wave or the near field of an antenna. In a single electromagnetic plane wave (rather than a standing wave which can be described as two such waves travelling in opposite directions), E and H are exactly in phase, so S_m is simply a real number according to the above definition.

The equivalence of Re(S_m) to the time-average of the instantaneous Poynting vector S can be shown as follows.

The average of the instantaneous Poynting vector S over time is given by:

The second term is the double-frequency component having an average value of zero, so we find:

According to some conventions, the factor of 1/2 in the above definition may be left out. Multiplication by 1/2 is required to properly describe the power flow since the magnitudes of E_m and H_m refer to the peak fields of the oscillating quantities. If rather the fields are described in terms of their root mean square (RMS) values (which are each smaller by the factor ), then the correct average power flow is obtained without multiplication by 1/2.

Resistive dissipation[edit]

If a conductor has significant resistance, then, near the surface of that conductor, the Poynting vector would be tilted toward and impinge upon the conductor. Once the Poynting vector enters the conductor, it is bent to a direction that is almost perpendicular to the surface.^[14]: 61 This is a consequence of Snell’s law and the very slow speed of light inside a conductor. The definition and computation of the speed of light in a conductor can be given.^[15]: 402 Inside the conductor, the Poynting vector represents energy flow from the electromagnetic field into the wire, producing resistive Joule heating in the wire. For a derivation that starts with Snell’s law see Reitz page 454.^[16]: 454

Radiation pressure[edit]

The density of the linear momentum of the electromagnetic field is S/c² where S is the magnitude of the Poynting vector and c is the speed of light in free space. The radiation pressure exerted by an electromagnetic wave on the surface of a target is given by

Uniqueness of the Poynting vector[edit]

The Poynting vector occurs in Poynting’s theorem only through its divergence ∇ ⋅ S, that is, it is only required that the surface integral of the Poynting vector around a closed surface describe the net flow of electromagnetic energy into or out of the enclosed volume. This means that adding a solenoidal vector field (one with zero divergence) to S will result in another field that satisfies this required property of a Poynting vector field according to Poynting’s theorem. Since the divergence of any curl is zero, one can add the curl of any vector field to the Poynting vector and the resulting vector field S′ will still satisfy Poynting’s theorem.

However even though the Poynting vector was originally formulated only for the sake of Poynting’s theorem in which only its divergence appears, it turns out that the above choice of its form is unique.^{[10]: 258–260, 605–612} The following section gives an example which illustrates why it is not acceptable to add an arbitrary solenoidal field to E × H.

Static fields[edit]

The consideration of the Poynting vector in static fields shows the relativistic nature of the Maxwell equations and allows a better understanding of the magnetic component of the Lorentz force, q(v × B). To illustrate, the accompanying picture is considered, which describes the Poynting vector in a cylindrical capacitor, which is located in an H field (pointing into the page) generated by a permanent magnet. Although there are only static electric and magnetic fields, the calculation of the Poynting vector produces a clockwise circular flow of electromagnetic energy, with no beginning or end.

While the circulating energy flow may seem unphysical, its existence is necessary to maintain conservation of angular momentum. The momentum of an electromagnetic wave in free space is equal to its power divided by c, the speed of light. Therefore the circular flow of electromagnetic energy implies an angular momentum.^[17] If one were to connect a wire between the two plates of the charged capacitor, then there would be a Lorentz force on that wire while the capacitor is discharging due to the discharge current and the crossed magnetic field; that force would be tangential to the central axis and thus add angular momentum to the system. That angular momentum would match the “hidden” angular momentum, revealed by the Poynting vector, circulating before the capacitor was discharged.

See also[edit]

• Wave vector

References[edit]

Further reading[edit]

• Becker, Richard (1982). Electromagnetic Fields and Interactions (1st ed.). Mineola, New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-64290-1.
• Edminister, Joseph; Nahvi, Mahmood (2013). Electromagnetics (4th ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-183149-9.

Вектор Пойнтинга в физике, теория и онлайн калькуляторы

Вектор Пойнтинга (вектор Умова – Пойнтинга)

Перенос энергии бегущей упругой и электромагнитной волной определяют при помощи вектора, который называют вектором потока энергии. Этот вектор обозначим как $overline{S} $(встречается обозначение $overline{P}$) Он показывает количество энергии, протекающее в волне за единицу времени через единицу площади поперечного сечения волны. Для электромагнитных волн данный вектор был введен Пойнтингом в 1884 г. Скорость переноса энергии при помощи вектора Пойнтинга не изменяется и равна характеристической скорости распространения электромагнитной волны в пространстве. Сейчас данный вектор ($overline{S}$) называют вектором Умова – Пойнтинга.

Определение

Величина вектора Умова – Пойнтинга

Правая часть формулы (1) представляет собой векторное произведение векторов, значит, величина вектора Умова – Пойнтинга для электромагнитной волны равна:

[S=EH{sin alpha } left(2right),]

где $alpha $ – угол между векторами $overline{E}$ и $overline{H}$, но $overline{E}bot $ $overline{H}$, следовательно, получаем для электромагнитной волны:

[S=EHleft(3right).]

Вектор $overline{S} $удовлетворяет в свободном пространстве уравнению непрерывности:

[div overline{S}+frac{partial w}{partial t}=0 left(4right),]

где $w$ – объемная плотность энергии электромагнитного поля.

Вектор Умова – Пойнтинга плоской электромагнитной волны

В случае плоской электромагнитной волны величина вектора $overline{S}$ равна:

[P=frac{E^2}{mu {mu }_0u}left(5right),]

где $u$ $=frac{1}{sqrt{{mu }_0mu varepsilon {varepsilon }_0}}$- фазовая скорость распространения электромагнитного возмущения в веществе с диэлектрической проницаемостью $varepsilon $ и магнитной проницаемостью $mu .$

[u=frac{c}{sqrt{varepsilon mu }} left(6right),]

где $c$ – скорость света в вакууме.

Мгновенные величины напряженности магнитного и электрического полей в рассматриваемой волне связаны соотношением:

[sqrt{{varepsilon varepsilon }_0}E=sqrt{mu {mu }_0}Hleft(7right),]

выразим напряженность $H$:

[H=frac{sqrt{{varepsilon varepsilon }_0}E}{sqrt{mu {mu }_0}}(8).]

Учитывая формулу (8) величину вектора $overline{S}$ запишем как:

[S=varepsilon {varepsilon }_0uE^2left(9right).]

В изотропном веществе объемную плотность энергии электромагнитного поля найдем как:

[w=frac{1}{2}left(overline{E}overline{D}+overline{B}overline{H}right)=ее_0=mu {mu }_0H^2=frac{sqrt{varepsilon mu }EH}{c}left(10right).]

Учитывая формулы (6) и (10) запишем еще одно выражение для величины вектора $overline{S}$:

[S=uwleft(11right).]

На практике переходят от мгновенных величин к их средним значениям. Для плоской электромагнитной волны средняя величина по времени вектора Умова – Пойнтинга равна:

[{leftlangle Srightrangle }_t=frac{uvarepsilon {varepsilon }_0E^2}{2}(12).]

Модуль величины $left|{leftlangle Srightrangle }_tright|$ называют интенсивностью ($I$) электромагнитной волны:

[I=left|{leftlangle Srightrangle }_tright|=uleftlangle wrightrangle left(13right).]

Направление вектора Умова – Пойнтинга показывает направление движения энергии в электромагнитном поле. Если изобразить линии, касательные к которым в любой точке совпадут с направлениями вектора $overline{S}$, то такие линии будут являться путями распространения энергии электромагнитного поля. В оптике это лучи.

Примеры задач с решением

Читать дальше: вектор электрической индукции.