Как найти поверхностную плотность пластины — Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

25.05.2023
Разное


Тема: Определить поверхностную плотность зарядов  (Прочитано 7437 раз)

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.

1. 34. Определить поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного (ε = 7) конденсатора, заряженного до разности потенциалов U = 200 B, если расстояние между его пластинами равно d = 0,5 мм. Ответ: 3,54 мкКл/м2. Сделать рисунок.


Записан

Решение.
Разность потенциалов между обкладками конденсатора определим по формуле:

[ U=Ecdot d (1). ]

Напряженность поля между двумя пластинами конденсатора определяется по формуле:

[ E=frac{sigma }{varepsilon cdot {{varepsilon }_{0}}}(2). ]

Где: ε = 7 – диэлектрическая проницаемость слюды, ε0 = 8,854∙10-12 Ф/м – электрическая постоянная.
(2) подставим в (1) определим поверхностную плотность зарядов на пластинах плоского слюдяного конденсатора.

[ U=frac{sigma }{varepsilon cdot {{varepsilon }_{0}}}cdot d,sigma =frac{Ucdot varepsilon cdot {{varepsilon }_{0}}}{d}.sigma =frac{200cdot 7cdot 8,85cdot {{10}^{-12}}}{0,5cdot {{10}^{-3}}}=24,78cdot {{10}^{-6}}.
 ]

Оитвет: 24,78 мкКл/м2.

« Последнее редактирование: 16 Августа 2016, 16:26 от alsak »


Записан

Источник

Виталий Викторович Карабут

Эксперт по предмету «Физика»

Задать вопрос автору статьи

Величина и дипольный момент объема

В том случае, если диэлектрик не поляризован, то объемная и поверхностная плотности связанных зарядов равны нулю. В результате процесса поляризации поверхностная плотность всегда отлична от нуля, а объемная лишь иногда. Между поляризованностью (вектором поляризации $overrightarrow{P}$) и поверхностной плотностью связанных зарядов ($sigma $) существует несложная связь. Для того, чтобы ее найти, рассмотрим плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, которая находится в электростатическом поле (рис.1). Выделим в этой пластине элемент объема в виде тонкого цилиндра. Его ось будет параллельна вектору напряженности поля. Основания цилиндра имеют площадь $triangle S$, они совпадают с поверхностями цилиндра.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Рис. 1

Величина выделенного объема равна:

где $l$ — высота цилиндра, $alpha $ — угол между направлением вектора напряженности и вектором внешней нормали к поверхности с положительным зарядом. Дипольный момент выделенного объема равен:

Рассматриваемый объем эквивалентен диполю, заряды которого равны $q=pm {sigma }_{sv}triangle S$ и плечо равно l. Электрический момент этого диполя равен $p_e={sigma }_{sv}triangle Sl$. $P=p_e$, значит:

Из формулы (3) мы видим искомое выражение, которое связывает поверхностную плотность связанных зарядов и модуль вектора поляризации:

где $P_{n }$ – проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. В нашем случае (рис.1) $P_{n }>0$ для правой поверхности, где ${sigma }_{sv}>0$, для левой: $P_{n }

Поверхностная плотность связанных зарядов

Формула (4) справедлива в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик любой формы находится в неоднородном электрическом поле. Под $P_{n }$ в таком случае понимают нормальную составляющую вектора, который берется близко к элементу поверхности, для которого определяют поверхностную плотность связанных зарядов.

«Связь вектора поляризации со связанными зарядами» 👇

Итак, поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков равна:

[{sigma }_{sv}=P_{1n }-P_{2n}=-overrightarrow{n_{12}}left(overrightarrow{P_2}-overrightarrow{P_1}right)left(5right),]

где $overrightarrow{n_{12}}$ — единичный вектор нормали, который направлен из первого диэлектрика во второй.

Плотность объемных связанных зарядов так же связана с вектором поляризации, а именно:

[{rho }_{sv}=-divoverrightarrow{P}left(6right).]

Формула (6) имеет следующий смысл: Точки с положительной дивергенцией вектора поляризации служат источниками поля вектора $overrightarrow{P}$, из таких точек линии поля расходятся. Точки с отрицательной дивергенцией $overrightarrow{P}$ служат стоками поля вектора поляризации, к этим точкам линии сходятся. Это означает, что при поляризации диэлектрика связанные заряды, которые имею знак плюс, смещаются в направлении вектора $overrightarrow{P}$, вернее, в направлении линий его поля. Отрицательные заряды смещаются в противоположном направлении. Как следствие, в местах положительной дивергенции вектора поляризации имеется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной дивергенцией $overrightarrow{P}$ — избыток положительных зарядов.

Пример 1

Задание: Пластины плоского конденсатора заряжены с поверхностной плотностью заряда ?. Между пластинами конденсатора находятся две диэлектрические пластины, проницаемость которых равна ${varepsilon }_1$ и ${varepsilon }_2$. Они плотно прилегают друг к другу. Определить плотности связанных зарядов пластин из диэлектрика на границе их раздела ($sigma ‘$).

Решение:

Рис. 2

Основой для решения задачи служит уравнение — граничное условие для перехода вектора поляризации через границу двух диэлектриков:

[{sigma }_{sv}=P_{1n }-P_{2n}left(1.1right).]

Напряженности поля равны, вне диэлектрика:

[E_{vak}=frac{sigma }{{varepsilon }_0}left(1.2right),]

внутри первого диэлектрика:

[E_1=frac{sigma }{{varepsilon }_1{varepsilon }_0}left(1.3right),]

внутри второго диэлектрика:

[E_2=frac{sigma }{{varepsilon }_2{varepsilon }_0}left(1.4right).]

Зная, что вектор поляризации в случае изотропного диэлектрика связан с напряженностью соотношением:

[P={varepsilon }_0varkappa E left(1.5right).]

Используя (1.3), (1.4) и (1.5) запишем:

[P_1=frac{{varkappa }_1sigma }{{varepsilon }_1}left(1.6right),]

[P_2=frac{{varkappa }_2sigma }{{varepsilon }_2}left(1.7right).]

Найдем поверхностные плотности связанных зарядов для первого диалектика (верхняя) свободная поверхность:

[{sigma }_{sv1}=-P_1=-sigma left(1-frac{1}{{varepsilon }_1}right)left(1.8right).]

для второго диалектика (нижняя) свободная поверхность:

[{sigma }_{sv2}=P_2=-sigma left(1-frac{1}{{varepsilon }_2}right)left(1.9right).]

На границе раздела двух диэлектриков получим, что поверхностная плотность зарядов равна:

[{sigma }_{sv}=-у_{sv1}-у_{sv2}=frac{varepsilon_1-varepsilon_2}{varepsilon_1 varepsilon_2}sigma left(1.10right).]

Ответ: ${sigma }_{sv}=frac{varepsilon_1-varepsilon_2}{varepsilon_1 varepsilon_2}у.$

Пример 2

Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью$ varepsilon $ заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна $rho $. Толщина пластины 2а. Найдите объемную плотность связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость вещества вне пластины равна единице.

Решение:

Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты. Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского – Гаусса и она равна:

[left{ begin{array}{c}
E=frac{rho x}{{varepsilon varepsilon }_0},|x| a end {array}
right.left(2.1right),]

где $sigma$=$rho cdot a$ — поверхностная плотность заряда

Используя уравнение:

[P={varepsilon }_0varkappa E left(2.2right).]

Найдем модуль вектора поляризации:

[left{ begin{array}{c}
P=frac{rho varkappa x}{varepsilon},|x| a end{array}
right.left(2.3right),]

Объемная плотность связанных зарядов равна:

[{rho }_{sv}=-divoverrightarrow{P}left(2.4right).]

Для нашего случая (2.4) преобразуется в:

[{rho }_{sv}=-frac{dP}{dx}=-frac{rho varkappa}{varepsilon },]

где $varepsilon =1+varkappa , to varkappa =varepsilon -1$.

Ответ: ${rho }_{sv}=-frac{с(varepsilon -1)}{varepsilon}.$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Связь вектора поляризации со связанными зарядами — справочник студента

Рассмотрим плоскопараллельный слой однородного изотропного диэлектрика находящийся в однородном электрическом поле, созданном в вакууме. Пусть вектор напряженности поля составляет угол Q с нормалью. В однородном изотропном диэлектрике вектор поляризации будет направлен по вектору напряженности (рис.39).

В результате поляризации на гранях диэлектрика появятся поляризационные заряды с поверхностной плотностью :



Поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора поляризации на направление нормали к поверхности диэлектрика. Физический смысл этой величины в том, что она равна величине заряда, который смещается через единичную площадку в направлении нормали к ней.

Рассмотрим случай диэлектрика с неполярными молекулами, хотя полученные результаты будут справедливы для всех изотропных диэлектриков. Выделим некоторый объем в диэлектрике, ограниченный поверхностью S (рис.40).

Из рис.40 видно, что через те участки поверхности, где напряженность направлена вовнутрь, часть отрицательных зарядов покинет рассматриваемый объем, а через участки, где напряженность направлена наружу, в область войдет дополнительно отрицательный заряд.

Если вошедший и вышедший заряды не равны друг другу, то внутри области

появится объемный поляризационный заряд , а на ее поверхности – поверхностный поляризационный заряд .




  • Теорема Остроградского-Гаусса для вектора поляризации: поток вектора поляризации через любую замкнутую поверхность равен полному поляризационному заряду внутри этой поверхности, взятому с противоположным знаком.
  • В дифференциальной форме: или
  • Физический смысл этого выражения в том, что источниками линий вектора поляризации являются только связанные заряды.
  • При поляризации диэлектрика поверхностные поляризационные заряды возникают всегда, а объемные поляризационные заряды могут возникать только в неоднородных диэлектриках или в неоднородных полях.

Типы поляризации диэлектрика

Вектор поляризации (Поляризованность) P– векторная характеристика поляризации вещества, равная сумме дипольных моментов молекул вещества, занимающего единичный объём.

Дипольный момент молекулы параллелен и пропорционален напряжённости электрического поля:

где β – поляризуемостьмолекулы. здесь N – число молекул, n – концентрация. Обозначим – диэлектрическая восприимчивость вещества;

В поляризованном диэлектрике на его краях образуются связанные заряды. Каждый из связанных зарядов входит в состав диполя. σсв— поверхностная плотность связанных зарядов. Установим связь между поверхностной плотностью связанных зарядов (σсв) и вектором поляризации( ⃗P ). Вид сбоку на пластину диэлектрика. ⃗E⊥пластине

  1. В общем случае σсв =Pn
  2. Поверхностная плотность связанных зарядов равна проекции вектора поляризации на
  3. внешнюю нормаль (Pn) к поверхности диэлектрика.
  4. Теорема Остроградского-Гаусса для вектора Р: поток поляризованности сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме связанных зарядов, охваченной этой поверхностью, взятой с обратным знаком.

Сторонние и связанные заряды диэлектрика. Вывод теоремы Остроградского-Гаусса для поля в диэлектрике. Вектор электрического смещения н его связь с напряженностью поля. Диэлектрическая проницаемость вещества. Третье уравнение Максвелла.

Сторонние заряды – это заряды, расположенные за пределами диэлектрика, а также заряды, которые хотя и находятся в пределах диэлектрика, но не входят в состав его молекул.

Связанные заряды – это заряды, входящие в состав атомов и молекул диэлектрика. Под действием поля они могут лишь немного смещаться из своих положений равновесия. Плотность связанных зарядов равна по абсолютной величине проекции поляризованности на направление внешней нормали рассматриваемой поверхности

  • ТеоремаОстроградского-Гаусса утверждает: поток вектора напряженности электростатического полячерез произвольную замкнутую поверхностьпрямо пропорционален алгебраической сумме свободных зарядов, расположенных внутри этой поверхности.
  • – электрическое смещение (электрическая индукция);
  • — теорема Остроградского-Гаусса для электрического смещения: поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью.
  • D – это вспомогательная векторная характеристика электрического поля, помогающая расчёту E.Связь напряженности (Е) и вектора электрического смещения (D)
  • Где ε- Относительнаядиэлектри́ческаяпроница́емость среды.

Относительнаядиэлектри́ческаяпроница́емость среды — физическая величина, характеризующая свойства изолирующей (диэлектрической) среды и показывающая, во сколько раз сила взаимодействия двух электрических зарядов в этой среде меньше, чем в вакууме. Значение ε вакуума равно единице, для реальных сред ε > 1. Для воздуха и большинства других газов в нормальных условиях значение ε близко к единице в силу их низкой плотности. Электрическая постояннаяε0 ≈ 8.85·10−12 Ф/м

Третье уравнение Максвелла определяет источники электрического поля. Физический смысл этого уравнения состоит в том, что электрическое поле в некоторой области пространства связано с электрическим зарядом внутри этой поверхности.

Дата добавления: 2016-07-05; просмотров: 2788;

Вектор поляризации. Его связь с поверхностной плотностью связанных зарядов

⇐ ПредыдущаяСтр 26 из 42Следующая ⇒

Вектор поляризации.
Количественное описание производится с помощью вектора
поляризации. Когда внешнего поля нет, суммарный дипольный момент

равен нулю (исключение составляют сегнетоэлектрики, электреты). Под влиянием внешнего электрического поля возникает поляризация, которую характеризуем дипольным моментом единицы объема — вектором

поляризации P :
p
V
P  (2.2.1)
V
Здесь p дипольный момент молекулы. Размерность вектора поляризации равна P q , которая
L2

совпадает с размерностью напряженности электрического поля.

Естественно, что вектор поляризации зависит от внешнего поля, как и наведенный поляризационный заряд (связанный). Поляризация приводит к появлению индукционного связанного заряда на поверхности, а иногда и в объеме. Вектор поляризации зависит от связанного заряда.

Связь между вектором поляризации и поверхностной плотностью заряда.

Рассмотрим диэлектрик, имеющий форму косого параллелепипеда, и поместим его в однородное электрическое поле E (рис. 2.4). На боковых гранях появятся поляризационные заряды с плотностью ’.

Если S — площадь боковой грани, то диэлектрик приобретает дипольный момент, равный ’ Sl , где l -вектор длины параллелепипеда, направленный вдоль электрического поля или, что то же, от отрицательных зарядов к положительным.

Тогда вектор поляризации равен:

P  S l (2.2.2)
V
Здесь объем параллелепипеда определяется как
S – +
E V  SlCos, который можно выразить через
n – S + скалярное произведение вектора нормали к
– E + боковой грани и вектора l :
V  S l ,n (2.2.3)
– + n
Умножим (2.2.2) скалярно на вектор нормали и,
l воспользовавшись (2.2.3), получим:
S
Рис. 2.4. Pn  l ,n (2.2.4)
V

Итак, получаем связь между поверхностной плотностью поляризационного заряда и нормальной

составляющей вектора поляризации Pn:
 Pn  Pn (2.2.5)

Это соотношение справедливо как для положительного, так и отрицательного зарядов. Отметим, что можно интерпретировать уравнение (2.2.5) следующим образом: связанный заряд на поверхности появляется при включении внешнего поля как заряд проходящий (смещаемый) изнутри объема через его поверхность.

Диэлектрики в электрическом поле. Классификация, связанные заряды, вектор поляризованности. Связь между диэлектрической проницаемостью и восприимчивостью, связанными зарядами и поляризованностью

Связанные заряды. В результате процесса поляризации в объеме (или на поверхности) диэлектрика возникают нескомпенсированные заряды, которые называются поляризационными, или связанными.

Частицы, обладающие этими зарядами, входят в состав молекул и под действием внешнего электрического поля смещаются из своих положений равновесия, не покидая молекулы, в состав которой они входят. Связанные заряды характеризуют поверхностной плотностью . Выделим в поляризованном диэлектрике наклонную призму с основанием S и ребром L, параллельным вектору поляризации P (рис. 2.4). В результате поляризации на одном из оснований призмы появятся отрицательные заряды с поверхностной плотностью , а на другой положительные заряды с плотностью . С макроскопической точки зрения, рассматриваемый объем эквивалентен диполю, образованному зарядами и , которые отстоят друг от друга на расстояние L, тогда электрический момент призмы равен .

С другой стороны, электрический момент единицы объема равен , где — угол, между направлением нормали к основанию призмы и вектором P. Произведение есть объем призмы.

Приравняв друг к другу оба выражения для электрического момента, получаем, что поверхностная плотность связанных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации:

  • где n — единичный вектор нормали к поверхности диэлектрика.
  • Если вектор поляризации P различен в разных точках объема диэлектрика, то в диэлектрике возникают объемные поляризационные заряды, объемная плотность которых .

Электрическое поле в диэлектрике. Рассмотрим плоский однородный диэлектрический слой, расположенный между двумя разноименно заряженными плоскостями (рис. 2.5). Пусть напряженность электрического поля, которое создается этими плоскостями в вакууме, равна ,

где — поверхностная плотность зарядов на пластинах (эти заряды называют свободными). Под действием поля диэлектрик поляризуется, и на его гранях появляются поляризационные или связанные заряды. Эти заряды создают в диэлектрике электрическое поле , которое направлено против внешнего поля .

  1. ,
  2. где — поверхностная плотность связанных зарядов. Результирующее поле внутри диэлектрика
  3. .

Поверхностная плотность связанных зарядов меньше плотности свободных зарядов, и не все поле E0 компенсируется полем диэлектрика: часть линий напряженности проходит сквозь диэлектрик, другая часть обрывается на связанных зарядах (рис. 2.5). Вне диэлектрика . Следовательно, в результате поляризации поле внутри диэлектрика оказывается слабее, чем внешнее .

где — диэлектрическая проницаемость среды. Из формулы видно, что диэлектрическая проницаемость показывает, во сколько раз напряженность поля в вакууме больше напряженности поля в диэлектрике. Для вакуума , для диэлектриков .

  • Электрическая поляризуемость среды характеризуется величиной диэлектрической восприимчивости, являющейся коэффициентом линейной связи между поляризацией диэлектрика P и внешним электрическим полем E в достаточно малых полях:
  • Восприимчивость связана с диэлектрической проницаемостью ε соотношением

Электроемкость (определение, единицы измерения). Емкость конденсатора. Плоский конденсатор.

  1. Единицы емкости.
  2. Емкостью 1Ф (фарад) обладает такой проводник, у которого потенциал возрастает на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл.
  3. Емкостью 1Ф обладал бы уединенный шар, радиус которого был бы равен 13 радиусам Солнца.
  4. Емкость Земли 700 мкФ
  5. Если проводник не уединенный, то потенциалы складываются по правилу суперпозиции и емкость проводника меняется.
  6. Конденсаторы (condensare — сгущение).

Можно создать систему проводников, емкость которой не зависит от окружающих тел. Первые конденсаторы — лейденская банка (Мушенбрук, сер. XVII в.).

Конденсатор представляет собой систему из двух проводников, разделенных слоем диэлектрика, толщина которого мала по сравнению с размерами проводников. Проводники наз.

обкладками конденсатора.

Если заряды пластин конденсатора одинаковы по модулю и противоположны по знаку, то под зарядом конденсатора понимают абсолютное значение заряда одной из его обкладок.

Электроемкостью конденсатора называют отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками: .

При подключении конденсатора к батарее аккумуляторов происходит поляризация диэлектрика внутри конденсатора и на обкладках появляютсязаряды — конденсатор заряжается. Электрические поля окружающих тел почти не проникают через металлические обкладки и не влияют на разность потенциалов между ними.

Связь вектора поляризации со связаными зарядами — Математика

ρb = — ∆(перевернуть) P(СИ и СГС )

оляризация диэлектриков — явление, связанное с ограниченным смещением связанных зарядов в диэлектрике или поворотом электрических диполей, обычно под воздействием внешнего электрического поля, иногда под действием других внешних сил или спонтанно.

Поляризацию диэлектриков характеризует вектор электрической поляризации. Физический смысл вектора электрической поляризации — это дипольный момент, отнесенный к единице объема диэлектрика. Иногда вектор поляризации коротко называют просто поляризацией.

§ Вектор поляризации применим для описания макроскопического состояния поляризации не только обычных диэлектриков, но и сегнетоэлектриков, и, в принципе, любых сред, обладающих сходными свойствами. Он применим не только для описания индуцированной поляризации, но и спонтанной поляризации (у сегнетоэлектриков).

Поляризация — состояние диэлектрика, которое характеризуется наличием электрического дипольного момента у любого (или почти любого) элемента его объема.

Различают поляризацию, наведенную в диэлектрике под действием внешнего электрического поля, и спонтанную (самопроизвольную) поляризацию, которая возникает всегнетоэлектриках в отсутствие внешнего поля. В некоторых случаях поляризация диэлектрика (сегнетоэлектрика) происходит под действием механических напряжений, сил трения или вследствие изменения температуры.

Поляризация не изменяет суммарного заряда в любом макроскопическом объеме внутри однородного диэлектрика.

Однако она сопровождается появлением на его поверхности связанных электрических зарядов с некоторой поверхностной плотностью σ.

Эти связанные заряды создают в диэлектрике дополнительное макроскопическое поле с напряженностью Е1, направленное против внешнего поля с напряженностью Е0. Результирующая напряженность поля Е внутри диэлектрика Е=Е0-Е1.

В зависимости от механизма поляризации, поляризацию диэлектриков можно подразделить на следующие типы:

§ Электронная — смещение электронных оболочек атомов под действием внешнего электрического поля. Самая быстрая поляризация (до 10−15 с). Не связана с потерями. сен мал

§ Ионная — смещение узлов кристаллической структуры под действием внешнего электрического поля, причем смещение на величину, меньшую, чем величина постоянной решетки. Время протекания 10−13 с, без потерь.

§ Дипольная (Ориентационная) — протекает с потерями на преодоление сил связи и внутреннего трения. Связана с ориентацией диполей во внешнем электрическом поле.

§ Электронно-релаксационная — ориентация дефектных электронов во внешнем электрическом поле.

§ Ионно-релаксационная — смещение ионов, слабо закрепленных в узлах кристаллической структуры, либо находящихся в междуузлие.

§ Структурная — ориентация примесей и неоднородных макроскопических включений в диэлектрике. Самый медленный тип.

§ Самопроизвольная (спонтанная) — благодаря этому типу поляризации у диэлектриков, у которых он наблюдается, поляризация проявляет существенно нелинейные свойства даже при малых значениях внешнего поля, наблюдается явление гистерезиса.

Такие диэлектрики (сегнетоэлектрики) отличаются очень высокими значениями диэлектрической проницаемости (от 900 до 7500 у некоторых видов конденсаторной керамики).

Введение спонтанной поляризации, как правило, увеличивает тангенс угла потерь материала (до 10−2)

§ Резонансная — ориентация частиц, собственные частоты которых совпадают с частотами внешнего электрического поля.

§ Миграционная поляризация обусловлена наличием в материале слоев с различной проводимостью, образованию объемных зарядов, особенно при высоких градиентах напряжения, имеет большие потери и является поляризацией замедленного действия.

Поляризация диэлектриков (за исключением резонансной) максимальна в статических электрических полях. В переменных полях, в связи с наличием инерции электронов, ионов и электрических диполей, вектор электрической поляризации зависит от частоты. В связи с этим вводится понятие дисперсии диэлектрической проницаемости.

Диэлектрики Виды диэлектриков и их поляризация Теорема Гаусса для вектора поляризации Вектор электрического смещения Теорема Гаусса для вектора электрического. — презентация

  • 1 Диэлектрики Виды диэлектриков и их поляризация Теорема Гаусса для вектора поляризации Вектор электрического смещения Теорема Гаусса для вектора электрического смещения Условия на границе раздела двух диэлектриков
  • 2 Классы веществ Все известные в природе вещества, в соответствии с их способностью проводить электрический ток, делятся на три основных класса: диэлектрики полупроводники проводники
  • 3 В качестве примеров использования различных диэлектриков можно привести: сегнетоэлектрики – электрические конденсаторы, ограничители предельно допустимого тока, позисторы, запоминающие устройства; пьезоэлектрики – генераторы ВЧ и пошаговые моторы, микрофоны, наушники, датчики давления, частотные фильтры, пьезоэлектрические адаптеры; пироэлектрики – позисторы, детекторы ИК- излучения, болометры (датчики инфракрасного излучения), электрооптические модуляторы.

4 Диэлектрики – вещества, практически не проводящие электрического тока, так как в них отсутствуют свободные заряды, способные перемещаться на значительные расстояния. Тем не менее при внесении диэлектрика в электрическое поле на его поверхности появляются электрические заряды, называемые поляризационными.

5 Смещение электрических зарядов вещества под действием электрического поля, в результате чего на поверхности, а также, вообще говоря, и в его объеме появляются нескомпенсированные заряды, называется поляризацией.

6 ЭЛЕКТРОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ Молекулы некоторых диэлектриков не имеют собственного дипольного момента. Такие молекулы называются неполярными. Центры тяжести положительного и отрицательного зарядов у таких молекул совпадают.

7 При внесении диэлектрика в электрическое поле происходит смещение зарядов в пределах молекулы: положительных – по полю, отрицательных — против поля. Молекула приобретает дипольный момент.

8 ОРИЕНТАЦИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ Молекулы других диэлектриков могут иметь собственный дипольный момент. Центры тяжести положительного и отрицательного зарядов у таких молекул не совпадают. Молекулы называются полярными.

9 ИОННАЯ ПОЛЯРИЗАЦИЯ

10 Этот тип поляризации характерен для твердых диэлектриков, у которых решетка построена из положительных и отрицательных ионов. Подрешетки располагаются таким образом, что электрический момент кристаллов равен нулю. При включении поля подрешетки сдвигаются друг относительно друга, кристалл приобретает электрический момент.

11 Под действием электрического поля в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов, положительных по полю, отрицательных против поля. В результате чего неполярная молекула приобретает дипольный момент.

Полярная молекула обладает собственным дипольным моментом.

В отсутствии поля дипольные моменты полярных молекул ориентированы хаотично, под действием внешнего электрического поля дипольные моменты ориентируются преимущественно по полю.

12 Во всех случаях на поверхности диэлектрика появляются поверхностные связанные заряды.

13 Внутри диэлектрика электрические заряды диполей компенсируют друг друга. Но на внешних поверхностях диэлектрика, появляются заряды противоположного знака (поверхностно связанные заряды).

14 Обозначим напряженность электростатического поля связанных зарядов а напряженность внешнего поля. Результирующее электростатическое поле внутри диэлектрика В проекциях

15 Вектор поляризации Для количественного описания поляризации диэлектрика берут дипольный момент единицы объема где — физически бесконечно малый объем. Вектор поляризации (поляризованность) представим в виде:

16 Другое выражение связано с представлением диэлектрика как смеси двух «жидкостей»: положительной и отрицательной. Если выделить объем то он будет содержать — положительный заряд и — отрицательный заряд.

  1. 17 Для большинства изотропных диэлектриков где — диэлектрическая восприимчивость, а — поляризуемость одной молекулы, которая показывает насколько легко индуцировать электрическим полем дипольный момент у атома.
  2. 18 Теорема Гаусса для вектора поляризации Поток вектора сквозь произвольную замкнутую поверхность равен взятому с противоположным знаком избыточному связанному заряду диэлектрика в объеме, охватываемом поверхностью
  3. 19 Выберем гауссову поверхность, частично охватывающую диэлектрик,
  4. 20 В результате поляризации диэлектрика через сечение проходит: — положительный связанный заряд, — отрицательный связанный заряд.
  5. 21 Суммарный связанный заряд, прошедший через сечение равен Таким образом Просуммировав по всей поверхности, получаем
  6. 22 Вышедший через поверхность заряд равен по модулю, но противоположен по знаку связанному избыточному заряду, оставшемуся внутри поверхности Доказано В дифференциальной форме
  7. 23 Поведение вектора P на границе двух сред Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора поляризации Пренебрегая потоком через боковую поверхность, запишем
  8. 24 Учитывая, что получим или Если вторая среда вакуум, то

25 Рассмотрим поведение вектора на границе раздела двух диэлектриков. В качестве гауссовой поверхности возьмем небольшой цилиндр. Высоту цилиндра будем считать пренебрежимо малой, а настолько малой, чтобы вектор для каждой точки можно было бы считать одинаковым. Нормаль к поверхности всегда будем проводить от первого диэлектрика ко второму.

26 Знак проекции определяет и знак Если то на поверхности диэлектрика находится положительный заряд, если же то отрицательный.

27 Вектор электрического смещения Рассмотрим теорему Гаусса для электростатического поля, которое в общем случае создается как сторонними, так и связанными зарядами Преобразуем формулу

28 Продолжим преобразования Вектор называют вектором электрического смещения. Вектор электрического смещения вводится для удобства расчета полей в средах.

29 Теорема Гаусса для вектора Приходим к теореме Гаусса для вектора Поток вектора электрического смещения сквозь произвольную замкнутую поверхность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью. В дифференциальной форме

30 В случае изотропных диэлектриков, для которых справедливо получаем Величина называется диэлектрической проницаемостью вещества.

31 Поле вектора также может быть представлено с помощью линий, направление и густота которых определяются точно так же как и для линий вектора Источниками и стоками поля являются только сторонние заряды. Только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора Через область поля, где находятся связанные заряды, линии вектора проходят не прерываясь.

32 Условия на границе раздела двух диэлектрических сред. Найдем циркуляцию вектора вдоль контура, имеющего форму вытянутого прямоугольника. Тангенциальная составляющая вектора не испытывает скачок на границе раздела.

33 Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела. В общем случае на границе раздела могут находиться сторонние заряды.

34 Тогда Если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют, то Нормальная составляющая вектора электрического смещения не испытывает скачок на границе раздела двух сред, если нет сторонних зарядов на границе.

35 Рассмотрим полученные условия Разделим одно на другое, получим

36 Рассмотрим рисунок. Из рис. ясно, что Следовательно,

  • 37 Полученный закон преломления справедлив и для линий вектора электрического смещения
  • 38 Смысл диэлектрической постоянной Поместим диэлектрик в однородное электрическое поле Учтем, что тогда
  • 39 Таким образом, диэлектрическая постоянная показывает во сколько раз ослабляется поле внутри диэлектрика. Умножим обе части на, получим
  • 40

41 СЕГНЕТОЭЛЕКТРИКИ В 1920 г. была открыта спонтанная (самопроизвольная) поляризация. Всю группу веществ, назвали сегнетоэлектрики (или ферроэлектрики).

Все сегнетоэлектрики обнаруживают резкую анизотропию свойств (сегнетоэлектрические свойства могут наблюдаться только вдоль одной из осей кристалла).

У изотропных диэлектриков поляризация всех молекул одинакова, у анизотропных – поляризация, и следовательно, вектор поляризации в разных направлениях разные.

42 Основные свойства сегнетоэлектриков: 1. Диэлектрическая проницаемость ε в некотором температурном интервале велика( ). 2. Значение ε зависит не только от внешнего поля E 0, но и от предыстории образца (явление гистерезиса). 3.

Диэлектрическая проницаемость ε (а следовательно, и Р ) – нелинейно зависит от напряженности внешнего электростатического поля (нелинейные диэлектрики). 4. Наличие точки Кюри — температуры, при которой сегнетоэлектрические свойства исчезают.

  1. 43 Например: Титанат бария — ; Сегнетова соль — Ниобат лития —
  2. 44 ПЕТЛЯ ГИСТЕРЕЗИСА
  3. 45 Стремление к минимальной потенциальной энергии и наличие дефектов структуры приводит к тому, что сегнетоэлектрик разбит на домены
  4. 46 ЭЛЕКТРЕТЫ Среди диэлектриков есть вещества, называемые электреты – диэлектрики, длительно сохраняющие поляризованное состояние после снятия внешнего электростатического поля (аналоги постоянных магнитов).

47 ПЬЕЗОЭЛЕКТРИКИ Некоторые диэлектрики поляризуются не только под действием электрического поля, но и под действием механической деформации. Это явление называется пьезоэлектрическим эффектом.

Явление открыто братьями Пьером и Жаком Кюри в 1880 году. Если на грани кристалла наложить металлические электроды (обкладки) то при деформации кристалла на обкладках возникнет разность потенциалов.

Если замкнуть обкладки, то потечет ток.

49 Возможен и обратный пьезоэлектрический эффект: Возможен и обратный пьезоэлектрический эффект: Возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями. Возникновение поляризации сопровождается механическими деформациями.

Если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электрическому полю Е 0.

Если на пьезоэлектрический кристалл подать напряжение, то возникнут механические деформации кристалла, причем, деформации будут пропорциональны приложенному электрическому полю Е 0.

Сейчас известно более 1800 пьезокристаллов.Сейчас известно более 1800 пьезокристаллов. Все сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствами Все сегнетоэлектрики обладают пьезоэлектрическими свойствами Используются в пьезоэлектрических адаптерах и других устройствах). Используются в пьезоэлектрических адаптерах и других устройствах).

50 ПИРОЭЛЕКТРИКИ Пироэлектричество – появление электрических зарядов на поверхности некоторых кристаллов при их нагревании или охлаждении.

При нагревании один конец диэлектрика заряжается положительно, а при охлаждении он же – отрицательно. Появление зарядов связано с изменением существующей поляризации при изменении температуры кристаллов.

Все пироэлектрики являются пьезоэлектриками, но не наоборот. Некоторые пироэлектрики обладают сегнетоэлектрическими свойствами.

51 ПРИМЕНЕНИЕ ДИЭЛЕКТРИКОВ В качестве примеров использования различных диэлектриков можно привести: сегнетоэлектрики – электрические конденсаторы, ограничители предельно допустимого тока, позисторы, запоминающие устройства; пьезоэлектрики – генераторы ВЧ и пошаговые моторы, микрофоны, наушники, датчики давления, частотные фильтры, пьезоэлектрические адаптеры; пироэлектрики – позисторы, детекторы ИК- излучения, болометры (датчики инфракрасного излучения), электрооптические модуляторы.

Связь вектора поляризации со связанными зарядами

Вы будете перенаправлены на Автор24

Величина и дипольный момент объема

В том случае, если диэлектрик не поляризован, то объемная и поверхностная плотности связанных зарядов равны нулю. В результате процесса поляризации поверхностная плотность всегда отлична от нуля, а объемная лишь иногда. Между поляризованностью (вектором поляризации $overrightarrow

$) и поверхностной плотностью связанных зарядов ($sigma $) существует несложная связь. Для того, чтобы ее найти, рассмотрим плоскопараллельную пластину из однородного диэлектрика, которая находится в электростатическом поле (рис.1). Выделим в этой пластине элемент объема в виде тонкого цилиндра. Его ось будет параллельна вектору напряженности поля. Основания цилиндра имеют площадь $triangle S$, они совпадают с поверхностями цилиндра.

Величина выделенного объема равна:

где $l$ — высота цилиндра, $alpha $ — угол между направлением вектора напряженности и вектором внешней нормали к поверхности с положительным зарядом. Дипольный момент выделенного объема равен:

Рассматриваемый объем эквивалентен диполю, заряды которого равны $q=pm <sigma >_triangle S$ и плечо равно l. Электрический момент этого диполя равен $p_e=<sigma >_triangle Sl$. $P=p_e$, значит:

Из формулы (3) мы видим искомое выражение, которое связывает поверхностную плотность связанных зарядов и модуль вектора поляризации:

где $P_$ – проекция вектора поляризации на внешнюю нормаль к соответствующей поверхности. В нашем случае (рис.1) $P_>0$ для правой поверхности, где $<sigma >_>0$, для левой: $P_

Поверхностная плотность связанных зарядов

Формула (4) справедлива в самом общем случае, когда неоднородный диэлектрик любой формы находится в неоднородном электрическом поле. Под $P_$ в таком случае понимают нормальную составляющую вектора, который берется близко к элементу поверхности, для которого определяют поверхностную плотность связанных зарядов.

Готовые работы на аналогичную тему

Итак, поверхностная плотность связанных зарядов на границе раздела двух диэлектриков равна:

где $overrightarrow>$ — единичный вектор нормали, который направлен из первого диэлектрика во второй.

Плотность объемных связанных зарядов так же связана с вектором поляризации, а именно:

Формула (6) имеет следующий смысл: Точки с положительной дивергенцией вектора поляризации служат источниками поля вектора $overrightarrow

$, из таких точек линии поля расходятся. Точки с отрицательной дивергенцией $overrightarrow

$ служат стоками поля вектора поляризации, к этим точкам линии сходятся. Это означает, что при поляризации диэлектрика связанные заряды, которые имею знак плюс, смещаются в направлении вектора $overrightarrow

$, вернее, в направлении линий его поля. Отрицательные заряды смещаются в противоположном направлении. Как следствие, в местах положительной дивергенции вектора поляризации имеется избыток отрицательных связанных зарядов, а в местах с отрицательной дивергенцией $overrightarrow

$ — избыток положительных зарядов.

Задание: Пластины плоского конденсатора заряжены с поверхностной плотностью заряда ?. Между пластинами конденсатора находятся две диэлектрические пластины, проницаемость которых равна $<varepsilon >_1$ и $<varepsilon >_2$. Они плотно прилегают друг к другу. Определить плотности связанных зарядов пластин из диэлектрика на границе их раздела ($sigma ‘$).

Основой для решения задачи служит уравнение — граничное условие для перехода вектора поляризации через границу двух диэлектриков:

Напряженности поля равны, вне диэлектрика:

внутри первого диэлектрика:

внутри второго диэлектрика:

Зная, что вектор поляризации в случае изотропного диэлектрика связан с напряженностью соотношением:

Используя (1.3), (1.4) и (1.5) запишем:

Найдем поверхностные плотности связанных зарядов для первого диалектика (верхняя) свободная поверхность:

для второго диалектика (нижняя) свободная поверхность:

На границе раздела двух диэлектриков получим, что поверхностная плотность зарядов равна:

Задание: Бесконечная пластина из однородного, изотропного диэлектрика с диэлектрической проницаемостью$ varepsilon $ заряжена равномерно сторонними зарядами, объемная плотность распределения этого заряда равна $rho $. Толщина пластины 2а. Найдите объемную плотность связанных зарядов. Диэлектрическая проницаемость вещества вне пластины равна единице.

Для бесконечной пластины диэлектрика напряженность поля зависит от одной координаты. Допустим, что ось X направлена перпендикулярно к плоскости пластины и ее начало совпадает с центром слоя диэлектрика. Напряженность бесконечной пластины легко находится из теоремы Остроградского – Гаусса и она равна:

где $sigma$=$rho cdot a$ — поверхностная плотность заряда

Найдем модуль вектора поляризации:

Объемная плотность связанных зарядов равна:

Для нашего случая (2.4) преобразуется в:

где $varepsilon =1+varkappa , to varkappa =varepsilon -1$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 04 12 2022

Свободные и связанные заряды

Когда рассматриваются диэлектрики в электростатических полях, следует различать два вида электрических зарядов: свободные и связанные.

Свободные заряды – это заряды, перемещающиеся под действием поля на существенные расстояния.

Например, электроны в проводниках, ионы в газах и заряды, привносимые извне на поверхность диэлектриков, которые нарушают их (диэлектриков) нейтральность. Заряды, входящие в состав нейтральных, в целом, молекул диэлектриков, так же, как ионы, закрепленные в кристаллических решетках твердых диэлектриков около положений равновесия, получили название связанных зарядов.

Поверхностная плотность зарядов

Формула потенциала электростатического поля в диэлектрике φ запишется как:

φ = φ 0 + φ ‘ ( 1 ) с φ 0 , являющимся потенциалом поля, создаваемого свободными зарядами, с
φ ‘ – потенциалом поля, создаваемого связанными зарядами.

φ 0 = ∫ ρ d V R + ∫ σ d S R ( 2 ) , ρ – это объемная плотность свободных зарядов, σ – их поверхностная плотность. Определение потенциала поля связанных зарядов:

φ ‘ = ∫ P → R → R 3 d V ( 3 ) , где P → служит вектором поляризации.

Можно сделать вывод, что из ( 1 ) и ( 3 ) получим:

φ = φ 0 + ∫ P → R → R 3 ( 4 ) .

При использовании теоремы Остроградского-Гаусса с некоторыми формулами векторного анализа имеем совсем иной вид уравнения ( 4 ) :

φ = φ 0 + ∫ ρ s υ R d V + ∫ σ s υ R d V = ∫ ρ s υ + ρ R d V + ∫ σ s υ + σ R d V ( 5 ) ,

где ρ s υ обозначается в качестве средней объемной плотности связанных зарядов, а σ s υ – средняя поверхностная плоскость связанных зарядов. По уравнению ( 5 ) видно, что при наличии диэлектрика электрическое поле совпадает с полем, созданным свободными зарядами плюс поле, которое создается связанными зарядами.

Плотность связанных зарядов

Если P → = c o n s t , то средняя плотность связанных зарядов равняется нулю. Это говорит о том, что накопление зарядов одного знака в диэлектрике не происходит. На границе между поляризованным диэлектриком и вакуумом или металлом сосредоточен поверхностный связанный заряд плотности:

σ s υ = ± P n , – d i v P → = ρ s υ ( 6 ) с P n , являющейся нормальной компонентой вектора поляризованности диэлектрика на его границе с вакуумом.

Функция φ вида ( 7 ) будет решением уравнения:

∇ 2 φ = – 4 π ( ρ + ρ s υ ) ( 7 ) .

При E → = – ∇ φ → d i v E → = – ∇ 2 φ ( 8 ) и ( 6 ) получим:

d i v E → = 4 π ρ – 4 π d i v P → ( 9 ) .

d i v E → + 4 π P → = 4 π ρ ( 10 ) .

Выражение ( 10 ) называют основным дифференциальным уравнением электростатического поля в любой произвольной среде.

Для получения полной системы уравнений электростатики, нужно использовать формулу ( 10 ) с определением, связывающим векторы напряженности электрического поля с векторами поляризации.

Зависимость P → E → представится как:

P i = ε 0 ∑ j χ i j E j + ε 0 ∑ j , k χ i j k E j E k + . . . ( 11 ) , где i , j служат для нумерации компонентов по осям декартовой системы координат ( i = x , y , z ; j = x , y , z ) , χ i j – это тензор диэлектрической восприимчивости.

Если имеется внешнее электрическое поле, вещество становится источником поля, значит, поле изменяется.

Дан плоский конденсатор с пространством, между обкладками которого заполнено однородным изотропным диэлектриком с диэлектрической восприимчивостью χ . На них располагается поверхностный заряд с плотностью σ . Определить напряженность результирующего поля в конденсаторе.

Решение

Если при имеющихся обкладках конденсатора находится вакуум, то напряженность поля, создаваемого заряженными обкладками, запишется как:

E v a k = σ ε 0 с ε 0 = 8 , 85 · 10 – 12 Ф м , являющейся электрической постоянной.

+ q , – q – это заряды, находящиеся на обкладках конденсатора.

E v a k → – напряженность поля, создаваемого обкладками конденсатора.

– q ‘ , + q ‘ – заряды диэлектрика.

E → ‘ – напряженность поля, создаваемого в результате поляризации диэлектрика.

Очевидно, что диэлектрик поляризуется, тогда напряженность уменьшается. Диэлектрик однородный, а поле, создаваемое в плоском конденсаторе, также считается однородным. Отсюда вывод – поляризованность диэлектрика однородна, иначе говоря, отсутствуют объемные связанные заряды ρ s υ = 0 . Имеются только поверхностные с плотностью σ s υ :

Так как известна связь напряженности поля и вектора поляризации для изотропного диэлектрика, то

σ s υ = χ ε 0 E с Е , являющейся проекцией напряженности на внешнюю нормаль к поверхности диэлектрика.

Направление напряженности идет от стороны положительно заряженной пластины к отрицательной. Из σ s υ = χ ε 0 E получаем, что поверхностная плотность связанного заряда на границе с положительно заряженной пластиной отрицательная, а на границе с отрицательной пластиной – положительная. Следовательно, напряженность поля в диэлектрике между этими пластинами равняется напряженности поля в вакууме между ними, но со значением поверхностной плотности заряда, вычисляемой по формуле σ ‘ = σ – σ s υ .

На основании выше сказанного зафиксируем, что напряженность поля в конденсаторе с диэлектриком запишется как:

E = σ – σ s υ ε 0 = σ – χ ε 0 E ε 0 .

Произведем выражение из E = σ – σ s υ ε 0 = σ – χ ε 0 E ε 0 искомой напряженности:

Ответ: E = σ ε 0 ( 1 + χ ) .

[spoiler title=”источники:”]

https://spravochnick.ru/fizika/elektrostatika/svyaz_vektora_polyarizacii_so_svyazannymi_zaryadami/

https://zaochnik.com/spravochnik/fizika/elektricheskoe-pole/svobodnye-i-svjazannye-zarjady/

[/spoiler]

Источник

Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле

111

Заряды в диэлектрике, не входящие в состав его атомов и молекул, называются сторонними зарядами (иногда их условно называют свободными зарядами, хотя в ряде случаев сторонние заряды могут быть и не свободными).

Поляризованность (вектор поляризации) P диэлектрика – это вектор объемной плотности дипольного момента. Численно он равен дипольному моменту единицы объема диэлектрика:

P(r) =

1

∑pi = n < p >,

V

i

где V – физически бесконечно малый объем диэлектрика в окрестности точки с радиус-вектором r, pi – дипольный момент i-той молекулы из этого объема, n – концентрация молекул в диэлектри-

ке, < p > – среднее значение pi в объеме

V.

Плотность объемных связанных зарядов в поляризованном

диэлектрике равна

ρ′ = – div P.

(4.1)

Она отлична от нуля только в случае неоднородной поляризации.

Ниже все связанные (поляризационные) заряды будут обозначаться штрихом (в учебниках встречаются также обозначения индексами “пол” или “св“).

Плотность поверхностных связанных зарядов σ′ на границе раздела двух диэлектриков равна

σ′ = – n12 (P2 – P1) = P1n – P2n,

(4.2)

где n12 – единичный вектор нормали, направленный из первой среды во вторую. Нормальная компонента вектора P испытывает на границе раздела диэлектриков скачок, равный плотности связанного заряда.

Теорема Гаусса для вектора поляризации:

S

где q′ – полный связанный заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S.

Напряженность электрического поля в диэлектрике – это сумма напряженности Е0 поля сторонних зарядов в данной точке в отсутствие диэлектрика и напряженности Е′ от всех связанных зарядов, возникших в результате поляризации диэлектрика:

112

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Е = Е0 + Е′.

Если поляризация вызвана сторонними зарядами, то поле индуцированных связанных зарядов направлено так, что всегда уменьшает напряженность поля сторонних зарядов, т.е. Е < Е0. Поэтому это поле часто называют деполяризующим полем.

Диэлектрическая восприимчивость. Во многих случаях поляризованность P диэлектрика пропорциональна напряженности поля в диэлектрике E, а свойства диэлектрика по всем направлениям можно считать одинаковыми (такой диэлектрик называется линейным изотропным). Для такого диэлектрика

где коэффициент æ называется диэлектрической восприимчивостью. Это соотношение неприменимо к диэлектрикам с постоянной поляризованностью (например, к электретам), когда вектор Р определяется не внешним полем, а внутренними структурными факторами. В общем случае, который мы рассматривать не будем, связь векторов P и E тензорная и при больших величинах Е – нелинейная.

Если внутри однородного и изотропного диэлектрического тела отсутствуют сторонние заряды, то при воздействии на него произвольного электростатического поля в нем возникают только поверхностные связанные заряды σ′ ≠ 0, а плотность объемных связанных зарядов в любой точке равна нулю ρ′ = 0.

Вектор электрического смещения или вектор электрической индукции (оба названия эквивалентны) определяется соотношением

D = ε0E + P.

(4.5)

Если выполняется (4.4), то векторы D и Е связаны линейно:

D = εε0E.

(4.6)

Величина

ε = (1 + æ)

(4.7)

называется относительной диэлектрической проницаемостью (часто ее сокращенно называют проницаемостью диэлектрика).

Вектор D не является чисто полевым вектором, так как он учитывает поляризованность среды. Он является суммой двух совершенно различных по физическому смыслу слагаемых и поэтому не имеет глубокого физического смысла. Однако в математическом отношении использование векторного поля D в ряде случаев упро-

Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле

113

щает расчеты электростатических полей в диэлектриках. Это связано с тем обстоятельством, что в определении вектора D учтен вклад в электрическое поле от связанных зарядов. В однородных изотропных диэлектриках с линейной восприимчивостью, т.е. подчиняющихся соотношению (4.6), источниками векторного поля D являются только сторонние заряды, поэтому в этом случае при нахождении поля D можно как бы “забыть” о существовании связанных зарядов.

Для вектора D имеет место дифференциальное соотношение

где ρ – плотность сторонних зарядов.

Свойства вектора электрического смещения. В диэлектриках, подчиняющихся (4.6), векторное поле D(r) потенциально и аналогично по свойствам электростатическому полю напряженности E(r). Это означает, что rot D = 0, а линии поля D начинаются и заканчиваются на сторонних зарядах (или в бесконечности), а в точках без сторонних зарядов они непрерывны (включая и точки, в которых находятся связанные заряды). Поэтому для нахождения поля D можно использовать все формулы, относящиеся к расчету напряженности электрического поля E в вакууме, только подставлять в них нужно уже не все заряды, а только сторонние заряды, и убрать из этих формул множитель ε0.

Если же соотношение (4.6) в диэлектрике не выполняется, поле D может иметь вихревую компоненту, у которой линии D замкнуты и для возникновения которой не требуются свободные заряды. Например, такова ситуация в электретах, т.е. диэлектриках с постоянной поляризованностью, рассмотренных ниже (задача 4.3.14).

Интегральная электростатическая теорема Гаусса для вектора D:

где q – полный сторонний заряд, находящийся внутри замкнутой поверхности S. Теорема справедлива при любом расположении произвольной поверхности S относительно диэлектрических тел.

Если однородным диэлектриком заполнить весь объем между любыми эквипотенциальными поверхностями поля, существовавшего в отсутствие диэлектрика, то напряженность поля в диэлектрике будет в ε раз меньше, чем она была в соответствующей точке до введения диэлектрика. В частности, для точечного заряда в безгра-

114

ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ничной однородной диэлектрической среде с проницаемостью ε электрическое смещение и напряженность электрического поля будут равны

D(r) =

1

q

и E(r) =

1

q

.

(4.10)

4π

r2

ε r2

4πε

0

Если все пространство между обкладками плоского, цилиндрического или сферического конденсатора заполнить однородным изотропным диэлектриком, то напряженность поля в диэлектрике будет в ε раз меньше, чем напряженность поля в точно таком же конденсаторе до заполнения его диэлектриком, а соответственно, емкости конденсаторов будут в ε раз больше.

Граничные условия. На границе раздела двух диэлектриков 1

и 2:

E2t = E1t ,

(4.11)

D2n –D1n = σ,

(4.12)

где σ – плотность сторонних зарядов на границе раздела, а вектор нормали n направлен из первой среды во вторую.

Если на границе раздела двух диэлектриков отсутствуют сторонние заряды, то нормальная компонента вектора D непрерывна при переходе через границу

Для такого случая выражение для плотности связанных поверхностных зарядов на границе (4.2) можно записать как

σ′ = ε0(E2n – E1n)

(4.14)

Если ε2 > ε1 и поле направлено из первой среды во вторую, то σ′ < 0. Если ε2 > ε1 и поле направлено из второй среды в первую, то σ′ > 0. В том и другом случае поле во второй среде (с большей ε) слабее, чем в первой (где ε меньше). При ε1 > ε2 знаки связанных зарядов надо заменить на противоположные (см. [1] §17).

§4.2 Основные типы задач (классификация)

4.1.Определение плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ поляризационных зарядов в диэлектрике, а также вектора поляризации P.

4.2.Определение напряженности Е, потенциала φ и вектора индукции D в системах с однородными диэлектриками.

Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле

115

4.3.Определение емкости конденсаторов, заполненных неоднородным диэлектриком. Нахождение электрического поля в системах с неоднородным диэлектриком.

4.4.Определение напряженности поля внутри и вне диэлектрических тел, имеющих заданное статическое состояние поляризации.

§ 4.3 Методы решения и примеры решения задач.

Задачи типа 4.1

Определение плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ поляри-

зационных зарядов в диэлектрике, а также вектора поляризации P

Методы решения. Использование формул (4.1) – (4.7). Эффективный прием – приравнять выражения для напряженности поля в диэлектрике, записанные в «макроскопическом» представлении (через известную диэлектрическую проницаемость диэлектрика) и в «микроскопическом» представлении (как суперпозицию напряженностей полей от сторонних и связанных зарядов).

Задача 4.3.1 (базовая задача). Металлическая сфера радиуса

R, несущая заряд q, расположена в безграничной однородной диэлектрической среде с проницаемостью ε. Определить вектор поляризации Р(r) в произвольной точке среды, а также плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ связанных зарядов в диэлектрике.

Решение:

Внутри сферы (r < R) зарядов нет, поэтому по теореме Гаусса напряженность электрического поля там равна нулю.

В произвольной точке, находящейся на расстоянии r > R от центра сферы, напряженность поля в диэлектрике будет такой же, как от точечного заряда q, помещенного в центр сферы, и определяется формулой (4.10). Используя (4.4), (4.7), получаем

Р(r) = (ε – 1)ε0E(r) = (ε – 1)ε0

1 q r

1 ε −1 q r

=

ε

.

4πε0

ε r2

r

4π

r2

r

В нашем случае диэлектрик изотропный и сторонних зарядов внутри него нет, поэтому объемных связанных зарядов в нем не

116 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

возникает: ρ′ = 0. Этот вывод легко проверить независимо, вычисляя дивергенцию вектора Р в сферических координатах

ρ′ = – div P = –

1

∂

r2P = 0.

r2

∂r

Для вычисления поверхностной плотности связанных зарядов σ′ запишем два эквивалентные выражения для напряженности поля E в диэлектрике. Согласно (4.10), поле точечного заряда, эквивалентное полю заряженной сферы, в безграничном диэлектрике в ε раз меньше, чем в той же точке в отсутствие диэлектрика, т.е.

1

q

Е =

.

4πε

0

εr2

С другой стороны, эта напряженность поля реально создается сторонним зарядом q и поляризационным зарядом q′, образовавшимся на сферической границе диэлектрика

1

q + q′

Е = Eq + Eq’ =

.

4πε

0

r2

Приравнивая эти выражения, получаем

q

=

q + q′

и q′

= −

ε −1q

εr2

r2

ε

или σ′ = −

ε −1

σ , где σ =

q

.

ε

4πR2

Ответ: для r > R: σ′ = − ε −1

q

ρ′ = 0;

P(r) =

1

ε −1

q

r

.

ε 4πR2

4π ε r2 r

Замечание 1. Другой способ решения данной задачи основан на использовании соотношения (4.2): σ′ = P1n – P2n. Поляризация внутри металла P1 = 0, а вектор поляризации диэлектрика можно найти

из соотношения , где в силу симметрии задачи вектор

P = ε −1 D

ε

q

электрической индукции вне сферы D = 4πr3 r , а внутри сферы равен нулю.

Замечание 2. Результат справедлив для сферы любого радиуса R. Если устремить R к нулю, то сохранится выражение для вектора

Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле

117

P, а полный поверхностный связанный заряд будет оставаться постоянным: q′ = − ε ε−1q .

Если диэлектрик не безграничный, а представляет собой шаровой слой, внешний радиус которого равен R1 > R, то на внешней границе диэлектрика появляется связанный заряд –q′, равный по величине и противоположный по знаку связанному заряду q′, находящемуся на внутренней поверхности слоя. Равенство этих зарядов сразу следует из теоремы Гаусса для вектора Р (4.3): если в качестве поверхности S взять концентрическую сферу, радиус которой превышает R1, то полный связанный заряд внутри этой сферы равен нулю. За пределами диэлектрического слоя поле выглядит как поле точечного заряда q, расположенного в центре всех сфер, так как в этой области Р = 0.

Задача 4.3.2 (базовая задача). В плоский конденсатор параллельно обкладкам вставлена диэлектрическая пластинка из материала с проницаемостью ε (рис. 4.1). Определить величину вектора поляризации P и плотности поверхностных σ′ и объемных ρ′ связанных зарядов в пластинке. Заряд конденсатора q, площадь пластин S.

Решение

В плоском конденсаторе (рис. 4.1) поле считаем однородным (крае-

выми эффектами, как обычно,

+σ

пренебрегаем). Из симметрии

E0

системы следует, что векторы

всех полей направлены пер-

– – – – – – – – – – – – – ––σ′

Eσ′

пендикулярно к

пластинам

1

ε

+σ′

(т.е. по оси Х на рис.4.1), поля-

+ + + + + + + + + + + + +

ризованность диэлектрика од-

2

n12

нородна и

поэтому

объемная

–σ

х

плотность

связанных зарядов

Рис. 4.1. Направления векторов электри-

равна нулю.

ческого поля конденсатора Е0 и поляри-

Напряженность

поля

зованной диэлектрической пластины Еσ′

внутри диэлектрика E можно

(задача 4.3.2)

выразить

двумя

способами

аналогично задаче 4.3.1. С учетом выбранного направления оси Х и указанных на рис. 4.1 знаков зарядов, имеем:

118 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

E = E − E

=

E0

или

σ

−

σ′

=

σ

,

0

σ′

ε

ε0 ε0

ε0ε

где Е0 = σ/ε0 напряженность в отсутствие диэлектрика., σ = qS – плотность свободного заряда на пластинах конденсатора.

Отсюда находим σ′ = ε ε−1σ .

Вектор поляризации P определим из (4.4): P = æε0E, где

σ

æ = ε – 1, а E – напряженность поля внутри диэлектрика: E = ε0ε .

ε −1

Следовательно, P = ε σ , а направление вектора P совпадает с

направлением поля в конденсаторе. Этот же результат можно получить непосредственно из граничного условия (4.2). В нашем примере для нижней границы пластины можно записать (см. рис. 4.1)

P2 = 0, n12·P1

= σ′ = σ

(ε −1)

> 0.

ε

Положительность результата означает совпадение направлений векторов нормали n12 и P1.

Эти рассуждения не зависят от толщины диэлектрической пластинки. Поэтому полученные выводы применимы и в том случае, когда диэлектрик занимает все пространство между пластинами конденсатора.

Ответ: P =

ε −1

σ ,

σ′ =

ε −1

σ , σ =

q

ε

ε

S

Замечание. Поле вектора электрической индукции D внутри конденсатора однородно и определяется только свободными зарядами пластин: D = σ. Отсюда можно найти поляризацию среды

P = (ε −1)ε

E = (ε −1)ε

D

=

ε −1

σ .

0 ε

ε

ε

0

0

Задача 4.3.3. Точечный заряд q находится в центре шара радиуса R из диэлектрика с проницаемостью ε1. Шар окружен безграничным диэлектриком с проницаемостью ε2 (рис. 4.2). Найти поверхностную плотность связанных зарядов σ′ на границе раздела этих диэлектриков.

Гл.4. Диэлектрики в электростатическом поле

119

Решение

Согласно (4.2) σ′ = P1n – P2n, где P1 и P2 – векторы поляризации обоих диэлектриков у границы r = R. Величины P1 и P2 совпадают с выражениями для поляризации, полученными в предыдущей задаче 4.3.1:

q

ε1

−1

P1(R) =

4πR2

ε

,

1

q

ε2 −

P2(R) =

1

2

4πR

ε2

.

Следовательно,

′

q

1

1

(R) − P2

=

−

ε

ε

σ = P1

(R)

4πR2

2

.

1

′

q

1

1

−

ε

ε

Ответ:

σ =

4πR2

2

.

1

2

ε2

1

n12

R

ε1

q

Рис. 4.2. Система, состоящая из точечного заряда q, диэлектрического шара и безграничного диэлектрика (задача 4.3.3)

Замечание. Величину поляризации сред можно сразу найти из со-

отношения Pi

εi

−1

=

D , где в данном случае для обеих областей

εi

q

вектор электрической индукции D = 4πr3 r .

Задача 4.3.4. Между обкладками плоского конденсатора находятся две прилегающие друг к другу диэлектрические пластинки, проницаемости которых равны ε1 и ε2. На пластинах конденсатора равномерно распределены заряды с поверхностной плотностью σ и –σ. Определить плотности σ′ связанных зарядов на свободных поверхностях диэлектрических пластинок, а также на границе их раздела (рис. 4.3).

Решение

Для определения σ′ используем граничное условие (4.2) для векторов поляризации P1 и P2, а сами величины векторов P1 и P2 найдем из напряженностей соответствующих электрических полей (4.4).

120 ЭЛЕКТРИЧЕСТВО И МАГНЕТИЗМ. МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Учитывая выбранное на рис. 4.3 направление оси Х и знаки за-

рядов, получаем,

что

вне

диэлектрических

пластин E

=

σ

, а

0

ε0

внутри пластинок 1 и 2

E =

σ

,

E

=

σ

,

ε ε

ε

ε

1

2

2

0

1

0

ε1 −1

ε2 −1

откуда следует:

,

P1 = σ

ε

P2 = σ

ε

.

1

2

Используя (4.2), находим:

+σ

1

σ′1 = –P1 = −σ

< 0,

σ′

1−

ε1

1

ε1

1

σ′

1

22

ε

ε2

> 0.

σ′2 = P2 = σ 1−

ε2

σ′

2

На границе раздела ди-

–σ

электриков

х

=

ε1 − ε2

σ .

Рис. 4.3. Плоский конденсатор с двумя

σ′ = – σ′1 – σ′2

ε ε

4.3.4)

диэлектрическими прослойками (задача

1

2

Это следует также из (4.3), если в качестве поверхности S взять поверхность внутри конденсатора, заключающую в себе оба диэлектрика (суммарный связанный заряд внутри такой поверхности должен быть равен нулю). Тот же результат легко получить из граничного условия (4.2), если использовать найденные выше значения P1 и P2.

1

1

ε1 − ε2

−

−

Ответ: σ′1

= −σ 1

ε

,

σ′2

= σ 1

ε

,

σ′ = ε ε

σ .

1

2

1

2

Замечание. Поле вектора электрической индукции D внутри конденсатора однородно и определяется только свободными зарядами пластин: D = σ. Отсюда можно сразу найти поляризацию сред

P =

εi −1 D =

εi −1σ .

i

εi

εi

Задача 4.3.5. Однородный изотропный диэлектрик с проницаемостью ε заполняет все нижнее полупространство. В вакууме на расстоянии h от его поверхности находится точечный заряд q. Определить поверхностную плотность поляризационных (связанных)

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #

Источник

Содержание книги

Предыдующая страница

§10. Проводники и диэлектрики в электростатическом поле

10.6 Описание электрического поля в диэлектриках.

Описание электрического поля в диэлектриках, помимо проблем, рассмотренных при расчете полей в присутствии проводников, усложняется тем, что внутри диэлектриков могут возникать объемные поляризационные заряды. Поэтому мы в состоянии рассмотреть только простейшие задачи, связанные с описанием полей в присутствии диэлектриков.

Прежде всего, мы ограничим рассмотрение однородными и изотропными диэлектриками, то есть веществами, у которых поляризуемость одинакова во всех точках и не зависит от направления поля. Кроме того, будем рассматривать электрические поля только простейшей конфигурации.

Заметим, что среди диэлектриков существуют такие кристаллические диэлектрики, в которых поляризуемость зависит от направления поля (анизотропия). Качественно понять такую зависимость можно – смещение зарядов различно в различных направлениях. В таких диэлектриках направление вектора поляризации может не совпадать с направлением вектора напряженности электрического поля.

Пусть во внешнее однородное электрическое поле помещена плоскопараллельная пластина толщиной h, изготовленная из однородного диэлектрика, причем силовые линии электрического поля перпендикулярны граням пластины.

Под действием электрического поля диэлектрик поляризуется, то есть происходит смещение положительных и отрицательных зарядов. Схематически картину поляризации можно представить следующим образом. Мысленно разделим пластину на две – однородно заряженные (положительно и отрицательно) вложенные друг в друга (рис.261). Объемные плотности зарядов этих воображаемых пластин равны по модулю. Поэтому когда платины полностью вложены одна в другую, то суммарная объемная плотность заряда равна нулю. При наложении внешнего однородного поля происходит малое смещение этих пластин друг относительно друга. В области их перекрытия объемный заряд по-прежнему отсутствует, а там где они расходятся, появляются нескомпенсированные заряды. Так как смещения зарядов крайне малы, то можно считать, что на поверхностях появляются поверхностные заряды, поверхностную плотность которого обозначим σ. Заметим, что в данном случае поляризационные заряды не создают электрического поля вне пластины, поэтому здесь поле остается неизменным.

Свяжем поверхностную плотность индуцированных поляризационных зарядов с величиной вектора поляризации диэлектрика. Для этого выделим в пластине цилиндр, основания которого (площадью ΔS) расположены на гранях пластины. С одной стороны, по определению вектора поляризации P, дипольный момент выделенного цилиндра равен произведению модуля вектора поляризации на объем цилиндра ΔV = hΔS

(~p = P Delta V = P h Delta S) ,

а с другой, по определению дипольного момента, эта же величина равна произведению заряда основания (q = sigma Delta S), на расстояние между зарядами h

(~p = q h = sigma Delta S h) .

Из сравнения этих выражений следует замечательный результат: поверхностная плотность поляризационных зарядов равна модулю вектора поляризации диэлектрика:

(~sigma = P) . (1)

В общем случае вектор поляризации диэлектрика может быть направлен под некоторым углом α к поверхности. Также выделим внутри пластины наклонный цилиндр, основания которого находятся на гранях пластины, а образующие параллельны вектору поляризации (~vec P). В этом случае запишем нормальную к поверхности составляющую дипольного момента выделенного цилиндра в двух формах:

-по определению вектора поляризации

(~p_n = P_n Delta V = P cos alpha h Delta S) ;

– по определению дипольного момента

(~p_n = q h = sigma Delta S h) .

Из сравнения этих выражений следует, что поверхностная плотность поляризационных зарядов равна нормальной составляющей вектора поляризации диэлектрика:

(~sigma = P_n) . (2)

Вернемся к расчету поля внутри диэлектрической пластины. Напряженность электрического поля внутри пластины равно сумме напряженностей внешнего поля (~vec E_0) и поля, создаваемого поляризационными зарядами (~vec E’) (рис. 263)

(~vec E = vec E_0 + vec E’) . (3)

Напряженность поля поляризационных зарядов выражается через поверхностную плотность зарядов σ

(~E’ = frac{sigma}{varepsilon_0}) ,

которая в свою очередь равна модулю вектора поляризации (~sigma = P). Поляризация среды определяется полем внутри нее, то есть величиной суммарной напряженности (~P = chi varepsilon_0 E) . Подставляя значение напряженности E&rsquo в выражение (3), записанное в проекции на направление внешнего поля получим

(~E = E_0 – E’ = E_0 – frac{sigma}{varepsilon_0} = E_0 – frac{P}{varepsilon_0} = E_0 – frac{chi varepsilon_0 E}{varepsilon_0}) . (4)

Обратите внимание, искомая величина напряженности поля внутри диэлектрика входит в обе части уравнения (4). Яркая иллюстрация «зацикленности» – поле внутри зависит от индуцированных зарядов, индуцированные заряды зависят от поля внутри. Однако в данном простейшем случае задача определения поля оказалась разрешимой.

Из уравнения (4) получаем

(~E = frac{E_0}{1 + chi} = frac{E_0}{varepsilon}) . (5)

Из записанных соотношений также можно выразить поверхностную плотность поляризационных зарядов

(~sigma = P = chi varepsilon_0 E = frac{varepsilon – 1}{varepsilon} varepsilon_0 E_0) . (6)

В этих соотношениях обозначено (varepsilon = 1 + chi). Таким образом, поляризационные заряды уменьшают поле внутри диэлектрика в (1 + χ) раз по сравнению с внешним полем. Величина ε = 1 + χ называется диэлектрической проницаемостью вещества. Именно эта величина выступает в качестве основной характеристики электрических свойств веществ и чаще всего приводится в справочниках физических величин.

Диэлектрическая проницаемость веществ может изменяться в широких пределах

– так для газов она отличается от единицы на величину порядка 10-4 – 10-6 (поэтому часто диэлектрическими свойствами газов пренебрегают);
– для жидких и твердых неполярных диэлектриков она составляет несколько единиц (например, для керосина ε = 2);
– для полярных диэлектриков несколько десятков единиц (например, для воды ε = 81);
– есть вещества, для которых диэлектрическая проницаемость составляет величины порядка десятков и сотен тысяч (эти вещества называются сегнетоэлектриками).

Диэлектрическая проницаемость вещества показывает, во сколько раз это вещество уменьшает напряженность электрического поле, при условии, что силовые линии поля перпендикулярны поверхности диэлектрика. Конечно, это уменьшение связано с тем, что на поверхности диэлектрика возникают поляризационные заряды, поле которого направлено противоположно внешнему полю, породившему эти заряды.

Особо подчеркнем, что поле внутри диэлектрического тела зависит от:

– внешнего поля (~vec E_0) ;
– диэлектрической проницаемости вещества;
– формы тела.

Утверждение о том, что диэлектрик всегда уменьшает поле в ε раз, мягко говоря, не всегда справедливо, оно верно тогда когда силовые линии перпендикулярны границам тела, или если эти границы находятся так далеко, что полем поляризационных зарядов можно пренебречь.

Пусть теперь внешнее однородное поле (~vec E_0) направлено под некоторым углом α к нормали поверхности пластины (рис. 264). Напряженность поля внутри пластины и в этом случае сумме напряженностей внешнего поля (~vec E_0) и поля, создаваемого поляризационными зарядами (~vec E’)

(~vec E = vec E_0 + vec E’) .

Напряженность поля создаваемого поляризационными зарядами (~vec E’) направлено перпендикулярно поверхности пластин (не совпадает с направлением внешнего поля (~vec E_0)), поэтому вектор напряженности электрического поля внутри пластины направлен под другим углом к поверхности пластины.

Для определения поля разложим векторы напряженности полей вне и внутри пластины на нормальные (перпендикулярные к поверхности) (~vec E_{0n}, vec E_n) и тангенциальные (параллельные поверхности) (~vec E_{0 tau}, vec E_{tau}) составляющие (рис. 265). Согласно принципу суперпозиции эти компоненты поля можно рассматривать независимо.

Случай нормальных составляющих мы уже рассмотрели и показали, что для напряженностей полей выполняется соотношение (~E_n = frac{E_{0n}}{varepsilon}), которое можно переписать в виде

(~E_{0n} = varepsilon cdot E_n) . (7)

Так как поляризационные заряды создают поле, вектор напряженности которого направлен перпендикулярно поверхности, то тангенциальные составляющие полей вне и внутри пластины будут равны

(~E_{0tau} = E_{tau}) . (8)

Соотношения (7) и (8) определяют законы изменения векторов напряженностей полей на границе диэлектрика (задают граничные условия). Они играют важную роль при расчетах полей в присутствии диэлектриков.

Выразим модуль вектора напряженности поля внутри диэлектрика

(~E = sqrt{E^2_n + E^2_{tau}} = sqrt{left ( frac{E_0 cos alpha}{varepsilon} right)^2 + (E_0 sin alpha)^2} = frac{E_0}{varepsilon} sqrt{cos^2 alpha + varepsilon^2 sin^2 alpha}) .

Как видите, вектор напряженности поля внутри диэлектрика не только не совпадает по направлению с напряженностью внешнего поля, но и его модуль зависит от угла, между напряженностью внешнего поля и вектором нормали к поверхности диэлектрика.

Задания для самостоятельной работы.

  1. Покажите, что на плоской границе двух диэлектриков с диэлектрическим проницаемостями ε1 и ε2 для нормальных составляющих векторов напряженностей полей выполняется граничное условие (~varepsilon_1 E_{1n} = varepsilon_2 E_{2n}) (рис. 266).
  2. Найдите соотношение между углами, которые образуют векторы напряженностей полей с нормалью к границе раздела двух диэлектриков.

Если проводящее тело находится внутри диэлектрика, то на границе проводника и диэлектрика возникают поляризационные заряды, которые уменьшают поле внутри диэлектрика. Найдем поверхностную плотность этих зарядов. Пусть в некоторой точке поверхности проводника поверхностная плотность заряда равна σ0, тогда напряженность поля, создаваемого зарядами на проводнике определяется выражением (~E_0 = frac{sigma_0}{varepsilon_0}) . Это поля выступает в качестве внешнего по отношению к диэлектрику и направлено перпендикулярно границе диэлектрика. Поэтому согласно формуле (6) поверхностная плотность поляризационных зарядов на диэлектрике равна

(~sigma’ = frac{varepsilon – 1}{varepsilon} varepsilon_0 E_0 = frac{varepsilon – 1}{varepsilon} sigma_0) .

Понятно, что эти заряды противоположны по знаку зарядам на проводнике, поэтому суммарная поверхностная плотность заряда в данной точке границы равна

(~sigma_0 – sigma’ = frac{sigma_0}{varepsilon}) .

Вот еще одно явное объяснение уменьшения поля в диэлектрике – на границе проводника и диэлектрика возникают поляризационные заряды противоположного знака, при этом суммарный поверхностный заряд уменьшается в ε раз, соответственно во всех точках внутри диэлектрика поле также уменьшается во столько же раз (конечно, если пренебречь полем зарядов, возникающих на других границах диэлектрика).

Если два небольших заряженных тела (которые можно считать точечными зарядами) находятся внутри бесконечного диэлектрика, то сила взаимодействия между ними уменьшается, по сравнению с силой взаимодействия в вакууме. На границе раздела заряженных тел и диэлектрика возникают поляризационные заряды, которые частично экранируют поля, создаваемые точечными зарядами. Как мы показали, напряженность поля, создаваемого одним из зарядов, уменьшается в ε раз, по сравнением с полем в вакууме. Поэтому сила, действующая на второе тело, также уменьшается в ε раз. Заметьте, что речь идет о силе, действующей на само заряженное тело, без учета сил, действующих на поляризационные заряды, возникшие вблизи этого тела. Ведь эти поляризационные заряды «привязаны» к диэлектрику, а не к рассматриваемому телу. Поэтому сила взаимодействия двух точечных зарядов, находящихся в однородном бесконечном диэлектрике рассчитывается по формуле

(~F = frac{q_1 q_2}{4 pi varepsilon_0 varepsilon r^2}) .

В некоторых учебных и справочных пособиях по физике именно эту формулу приводят в качестве формулировки закона Кулона. Однако, такое расширение закона Кулона нельзя признать удовлетворительным. Во-первых, эта формула получена как следствие применения законов электрического поля и свойств веществ, во-вторых, ее применение требует значительных оговорок – диэлектрик должен быть бесконечным, однородным, для него должна выполняться линейная связь между напряженностью поля и поляризацией диэлектрика. Далее, диэлектрическая проницаемость является усредненной характеристикой вещества, она никоим образом не учитывает атомную структуру строения материи – очень интересный вопрос: «чему равна сила взаимодействия между двумя электронами, находящимися в воде?», ведь размеры электрона намного меньше размеров молекулы воды. Поэтому разумно формулировать, как постулат (подтверждаемый экспериментально) закон Кулона, как закон взаимодействия точечных зарядов в вакууме, а влияние среды на взаимодействие заряженных тел рассматривать отдельно, и полученные результаты рассматривать как следствие из закона Кулона и электрических свойств среды.

Следующая страница

Источник