Как найти поверхностную плотность заряда на шаре

Применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел

Рассмотрим применение теоремы Гаусса для вычисления напряженности электрического поля заряженных тел простой формы: плоскости, сферы, шара, нити, цилиндра

1. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости

Когда заряд распределен по какой-либо поверхности, то для расчета полей удобно ввести поверхностную плотность заряда $sigma$. Выделим на плоской поверхности маленький участок площадью $Delta S$. Пусть заряд этого участка равен $Delta q$. Поверхностной плотностью заряда называют отношение заряда $Delta q$ к площади поверхности, по которой он распределен

$sigma = frac{Delta q}{Delta S}$.

Эта плотность может непрерывно изменяться вдоль поверхности. Конечно, электрический заряд имеет дискретную (прерывную) структуру, так как сосредоточен в элементарных частицах. Но если на поверхности площадью $Delta S$ содержится огромное число элементарных зарядов, то дискретную структуру заряда можно не принимать во внимание. Мы ведь пользуемся понятием плотности, считая, что масса непрерывно распределена в пространстве. А на самом деле все тела состоят из дискретных образований – атомов.

В случае равномерного распределения заряда $q$ по поверхности площадью $S$ поверхностная плотность заряда постоянна и равна $sigma = frac{q}{S} = const$.

Задача 1. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной бесконечной плоскостью. Поверхностная плотность заряда $sigma$.

Для использования этой теоремы для определения напряженности поля, необходимо рассмотреть симметрию поля, которая, очевидно связана с симметрией зарядов. Распределение зарядов не изменится, если плоскость сместить на любой вектор $vec{a}$, лежащий в самой плоскости. Поэтому при таком смещении не изменится и напряженность поля (рис.).

Следовательно, напряженность поля может зависеть только от расстояния до плоскости $h$. Любая прямая, перпендикулярная плоскости является осью симметрии, то есть при повороте плоскости на любой угол относительно любой оси, перпендикулярной плоскости, распределение зарядов не изменяется – следовательно, и вектор напряженности при таком повороте не изменится, поэтому этот вектор должен быть перпендикулярен плоскости. Наконец, заряженная плоскость является плоскостью симметрии для поля. Поэтому в симметричных точках векторы напряженности также симметричны. Выявленные свойства симметрии электрического поля позволяют выбрать поверхность, для которой можно выразить поток вектора напряженности в простой форме. Итак, в качестве такой поверхности выберем поверхность прямого цилиндра, образующие которого перпендикулярны плоскости, а основания площадью $S$ параллельны ей и находятся на равных расстояниях от плоскости.

Прежде всего, заметим, что поток вектора напряженности через боковую поверхность цилиндра равен нулю, так как во всех точках боковой поверхности векторы напряженности $vec{E}$ и нормали $vec{n}$ взаимно перпендикулярны (поэтому $cosalpha = 0$) (рис.).

Поток через верхнее основание цилиндра может быть записан в виде

$Ф_1 = E_1 cdot S$,

так модуль напряженности поля на основании цилиндра постоянен, а по направлению совпадает с вектором нормали. Такое же значение имеет поток через нижнее основание.

Таким образом, суммарный поток вектора напряженности электрического поля через поверхность цилиндра равен

$Ф = E_1 cdot S + E_2 cdot S = 2E cdot S$.

С другой стороны, по теореме Гаусса

$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,

где $q$ – заряд, заключенный внутри поверхности цилиндра:

$q = sigma cdot S$.

Следовательно, $E = frac{sigma}{2varepsilon_0}$.

Главная составляющая успеха – анализ симметрии поля, позволивший разумно выбрать поверхность, для использования теоремы Гаусса. Также обратите внимание, что напряженность данного поля одинакова во всех точках, следовательно, это поля является однородным. Подчеркнем, независимость напряженности поля от расстояния до плоскости $h$ никак не следует из симметрии поля, это результат нашего расчета.

Примечание.

Для плоскости, заряженной отрицательно, результат будет таким же, лишь направление вектора $vec{E}$ изменится на противоположное.

2. Поле равномерно заряженной сферы

Задача 2. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженной сферой радиуса $R$. Суммарный заряд сферы $q$.

Опять начнем с рассмотрения симметрии поля. Очевидно, что поле, также как распределение зарядов имеет сферическую симметрию. Это означает, что модуль вектора напряженности зависит только от расстояния до центра сферы (или во всех точках, находящихся от центра сферы на одном расстоянии, модуль напряженности постоянен), а направление – радиальное, от центра сферы к точке наблюдения. Выберем в качестве замкнутой поверхности, к которой применим теорему Гаусса, сферу, концентрическую с заряженной оболочкой (рис.).

Пусть радиус сферы $r$ больше радиуса оболочки $r > R$. Тогда во всех точках этой сферы вектор напряженности направлен вдоль нормали к поверхности, а его модуль постоянен. Поэтому поток вектора напряженности $vec{E}$ через сферу равен произведению модуля напряженности на площадь сферы

$Ф = E cdot S = E cdot 4pi r^2$.

По теореме Гаусса это поток равен $Ф = frac{q}{varepsilon_0}$. Следовательно,

$E cdot 4pi r^2 = frac{q}{varepsilon_0}$, $E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q}{r^2}$.

Полученная формула, соответствует формуле закона Кулона для точечного заряда, следовательно, вне сферы, поле равномерно заряженной сферы, совпадает с полем точечного заряда, помещенного в центре сферы.

Поле внутри заряженной сферической оболочки также должно обладать сферической симметрией. Поэтому, поток вектора напряженности электрического поля через сферу, концентрическую с заряженной оболочкой и расположенную внутри нее (рис.)

также выражается формулой

$Ф = E cdot 4pi r^2$.

Однако внутри этой сферы электрических зарядов нет, поэтому, из теоремы Гаусса следует, что напряженность поля внутри сферы равна нулю. Подчеркнем, если бы теорема Гаусса была не справедлива, то внутри равномерно заряженной оболочки существовало бы электрическое поле.

Таким образом, функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженной сферы радиуса $R$, имеет вид:

$E(r) = 0$, при $r < R$;

$E(r) = frac{kq}{r^2}$, при $r > R$.

Примечание.

1) Очевидно, что для сферы, заряженной отрицательно, формулы остаются справедливыми, только векторы напряженности будут направлены в противоположные стороны (к центру сферы).

2) Если вместо заряда q задана поверхностная плотность заряда $sigma$, то заряд будет равен $q = sigma S = sigma cdot 4pi R^2$, а напряженность

$E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{1}{r^2}sigma 4pi R^2 = frac{sigma R^2}{epsilon_0 r^2}$.

3. Поле равномерно заряженного шара

Для характеристики распределения заряда по объему используется понятие объемной плотности заряда. Объемной плотностью заряда называется отношение заряда $Delta q$ к объему $Delta V$, в котором он распределен:

$rho = frac{Delta q}{Delta V}$.

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд $q$ равномерно распределен по объему $V$, то объемная плотность заряда постоянна и равна:

$rho = frac{q}{V} = const$.

Задача 3. Вычислить напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженным шаром радиуса $R$. Объемная плотность заряда $rho$.

Поле, создаваемое таким шаром, будет центрально-симметричным. Легко понять, что вне шара для поля получится такой же результат, что и для поля вне сферы (см. задачу 2),

$E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q}{r^2}$.

Полный заряд шара

$q = rho V = rho frac{4}{3}pi R^3$.

Тогда

$E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q}{r^2} = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{4pi R^3 rho}{3r^2} = frac{rho R^3}{3varepsilon_0 r^2}$

(при условии, что $r > R$).

Для нахождения поля внутри шара нужно применить теорему Гаусса к потоку напряженности через сферическую поверхность радиусом $r < R$ (рис.).

Поток вектора напряженности поля через поверхность этой сферы

$Ф = E cdot 4pi r^2$.

С другой стороны, по теореме Гаусса

$Ф = frac{q^/}{varepsilon_0}$,

где $q^/ = rho frac{4}{3}pi r^3$

– заряд, заключенный в сфере радиуса $r$. Следовательно,

$E cdot 4pi r^2 = frac{q^/}{varepsilon_0}, E = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{q^/}{r^2} = frac{1}{4pi varepsilon_0}frac{1}{r^2}rho frac{4}{3}pi r^3 = frac{rho cdot r}{3varepsilon_0}$.

Таким образом, внутри равномерно заряженного шара напряженность поля растет линейно с расстоянием от его центра.

Функция, описывающая напряженность поля равномерно заряженного шара радиуса $R$, имеет вид:

$E(r) = frac{rho}{3varepsilon_0}r$, при $r leq R$,

$E(r) = frac{rho R^3}{3varepsilon_0}frac{1}{r^2}$, при $r > R$.

Примечание.

Если вместо объемной плотности заряда $rho$ задан заряд $q$, то объемной плотности заряда будет равна

$rho = frac{q}{V} = frac{q}{frac{4}{3}pi R^3}$,

а напряженность

$E(r) = frac{r}{3varepsilon_0}frac{q}{frac{4}{3}pi R^3} = frac{q}{4pi varepsilon_0 R^3}cdot r = kfrac{q}{R^3}cdot r$, при $r leq R$,

$E(r) = frac{R^3}{3varepsilon_0}frac{1}{r^2}frac{q}{frac{4}{3}pi R^3} = frac{q}{4pi varepsilon_0}cdot frac{1}{r^2} = kfrac{q}{r^2}$, при $r > R$,

4. Поле равномерно заряженной нити

Для характеристики распределения заряда по длине используется понятие линейная плотности заряда. Линейной плотностью заряда называется отношение заряда $Delta q$ к длине $Delta l$, в которой он распределен:

$tau = frac{Delta q}{Delta l}$.

Эта плотность может непрерывно изменяться внутри заряженного тела. Если заряд $q$ равномерно распределен по длине $l$, то линейная плотность заряда постоянна и равна:

$tau = frac{q}{l} = const$.

Задача 4. Найдите напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме бесконечно длинной заряженной нитью с линейной плотностью заряда t.

Проще всего решить задачу с помощью теоремы Гаусса. Вычислим поток напряженности через цилиндр, ось которого совпадает с заряженной нитью (рис.).

Радиус цилиндра $r$, а его высота $l$.

Из соображений симметрии очевидно, что линии напряженности $vec{E}$ перпендикулярны боковой поверхности цилиндра. Поэтому поток напряженности через боковую поверхность цилиндра равен

$Ф = ES = Ecdot 2pi rl$,

поток через основания цилиндра равен нулю ($alpha = frac{pi}{2}$).

С другой стороны, по теореме Гаусса

$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,

где $q = tau cdot l$ – заряд, заключенный внутри цилиндра. Следовательно,

$E cdot 2pi rl = frac{ltau}{varepsilon_0}$,

$E = frac{tau}{2pi varepsilon_0 r} = frac{2kcdot tau}{r}$.

5. Поле равномерно заряженного бесконечного цилиндра

Задача 5. Бесконечно длинный круговой цилиндр радиусом $R$ равномерно заряжен по объему с плотностью $rho$. Найти напряженность электростатического поля в точке, удаленной на расстояние $r$ от оси цилиндра.

Используя симметрию распределения заряда и теорему Гаусса, найдем напряженность электрического поля внутри и вне цилиндра. В качестве поверхности, через которую будем определять поток вектора $vec{E}$, выберем цилиндр радиусом $r$ и высотой $h$, имеющий ту же ось симметрии, что и заданный цилиндр (рис.).

Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор $vec{E}$ совпадает с внешней нормалью к этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поток вектора $vec{E}$ через боковую поверхность цилиндра

$Ф = E_1 cdot S = E_1 cdot 2pi rh$,

поток через основания цилиндра равен нулю ($alpha = frac{pi}{2}$).

Из теоремы Гаусса следует, что

$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,

где $q = rho V = rho pi r^2h$ – заряд, заключенный внутри цилиндра.

Следовательно,

$E_1 cdot 2pi rh = frac{rho pi r^2h}{varepsilon_0}$, и $E_1 = frac{rho r}{2varepsilon_0}$.

Чтобы найти $E_2$ для $r > R$, окружим заданный цилиндр цилиндрической поверхностью радиусом $r > R$ и высотой $h$, ось симметрии которой совпадает с осью цилиндра (см. рис.).

Во всех точках боковой поверхности цилиндра вектор $vec{E}$ совпадает с внешней нормалью к этой поверхности и имеет одинаковую величину. Поток вектора $vec{E}$ через боковую поверхность цилиндра

$Ф = E_2 cdot S = E_2 cdot 2pi rh$,

поток через основания цилиндра равен нулю ($alpha = frac{pi}{2}$).

Из теоремы Гаусса следует, что

$Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,

где $q = rho V = rho pi R^2h$ – заряд, заключенный внутри цилиндра. Следовательно,

$E_2 cdot 2pi rh = frac{rho pi R^2h}{varepsilon_0}$, и $E_2 = frac{rho R^2}{2varepsilon_0 r}$.

6. Дополнительные задачи

Задача 6. Докажите, что система свободных зарядов не может находиться в состоянии устойчивого равновесия. (Теорема Иршноу.)

Предположим противное, то есть какой-либо из зарядов, для определенности положительный, находится в состоянии устойчивого равновесия. По определению устойчивого равновесия, при выведении заряда из этого положения в любом направлении на сколь угодно малую величину, возникает сила, направленная к положению равновесия.

Окружим заряд, замкнутой поверхностью, например, сферой, так, чтобы внутрь ее не попадали другие заряды (рис.).

Очевидно, что для устойчивости необходимо, чтобы поле, создаваемое всеми прочими зарядами кроме рассматриваемого, на поверхности сферы было направлено к положению равновесия (только в этом случае возникает сила, возвращающая заряд в положение равновесия). Отсюда находим, что поток вектора $vec{E}$ через замкнутую поверхность отрицателен.

Но это противоречит теореме Гаусса, согласно которой данный поток, создаваемый зарядами вне сферы, равен нулю. Таким образом, теорема доказана.

Задача 7. С какой силой расталкиваются равномерно заряженные грани куба? Поверхностная плотность заряда $sigma$, длина ребра куба $l$.

Для определенности рассмотрим силу, действующую на верхнюю грань куба. Разобьем эту грань на малые площадки $Delta S_i$ и представим силу, действующую на грань, как сумму $vec{F_i}$ сил, действующих на каждую площадку $Delta S_i$:

$vec{F} = sum vec{F_i}$.

Обозначим через $vec{E_i}$ напряженность электрического поля, создаваемого в области нахождения площадки $Delta S_i$ зарядами всех граней, кроме самой верхней грани (рис.).

Тогда сила

$vec{F_i} = q^/ cdot vec{E_i} = sigma cdot Delta S_i cdot vec{E_i}$,

ее проекция на нормаль к грани $vec{n}$ равна

$F_{in} = sigma cdot Delta S_i cdot E_i^/ cdot cosalpha_i$,

а суммарная сила, действующая на верхнюю грань вдоль нормали $vec{n}$:

$F_n = sum F_{in} = sigma cdot sum{E_i^/ Delta S_i cdot cosalpha_i} = sigma cdot Ф^/$, (1)

где $sum{E_i^/ Delta S_i cdot cosalpha_i} = Ф^/$ – поток вектора $vec{E}$ через верхнюю грань куба, создаваемый зарядами всех других граней.

В качестве замкнутой поверхности для применения теоремы Гаусса выберем куб, размеры которого на бесконечно малую величину превышают размеры рассматриваемого куба, то есть их грани практически совпадают. Тогда поток через верхнюю грань куба внешнего куба равен

$Ф = Ф^/ + Ф^{//}$,

где

$Ф^{//} = E^{//} cdot S_1 = frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot S_1 = frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2$

поток, создаваемый заряженной верхней гранью куба.

Тогда

$Ф = Ф^/ + frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2$, (2)

Воспользуемся теоремой Гаусса для всего куба

$Ф_0 = 6Ф = frac{q}{varepsilon_0}$,

где $q = sigma cdot 6l^2$ – заряд куба.

Тогда

$6Ф = frac{6l^2 cdot sigma}{varepsilon_0}$. (3)

Выразим $Ф^/$ из (2), а $Ф$ из (3)

$Ф^/ = Ф – frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2 = frac{sigma}{varepsilon_0} cdot l^2 – frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2 = frac{sigma}{2varepsilon_0} cdot l^2$.

Учитывая уравнение (1), окончательно находим:

$F_n = frac{sigma^2 cdot l^2}{2varepsilon_0}$.

Задача 8. Грани куба с ребром $a$ однородно заряжены с поверхностной плотностью $sigma$. В центр куба помещен заряд $Q$. С какой силой этот заряд взаимодействует с каждой из граней?

По теореме Гаусса вычислим $Ф$ – поток вектора напряженности, создаваемой зарядом $Q$, через поверхность куба. Он равен $frac{Q}{varepsilon_0}$. С другой стороны

$Ф = 6 cdot displaystylesum_{Delta S} frac{Q}{r^2} cdot Delta S cdot cosalpha$.

В этом выражении $Delta S$ – площадь малого элемента поверхности куба, $r$ – длина вектора, соединяющего заряд $Q$ с этим элементом, $alpha$ – угол, который составляет этот вектор с нормалью к элементу $Delta S$. Суммирование идет по одной из граней куба. Заметим, что сила $F$, действующая на грань куба, задается выражением:

$F = sigma cdot displaystylesum_{Delta S} frac{Q}{r^2} cdot Delta S cdot cosalpha$

Следовательно,

$F = sigma cdot frac{Ф}{6} = frac{sigma Q}{6varepsilon_0}$.