Как найти поворот точки вокруг начала координат

Прежде, чем приступить к рассмотрению новой темы вспомним, что
каждой точке прямой ставится в соответствие некоторая точка окружности.

Также вспомним, что центральный угол, опирающийся на дугу, длина
которой равна радиусу окружности, называется углом в один радиан.

Вспомним формулу перехода от радианной меры к градусной рад  и формулу перехода от градусной меры к радианной  рад.

А теперь на координатной плоскости рассмотрим окружность
единичного радиуса с центром в начале координат. Такую окружность называют
единичной окружностью.

Введём понятие поворота точки единичной окружности вокруг начала
координат на угол  рад, где  – это любое действительное число. Отметим точку . Эта точка расположена на окружности.

Пусть . Представим, что точка, двигаясь по единичной окружности от точки
 против часовой стрелки, прошла путь длиной . Конечную точку пути обозначим .

В таком случае будем говорить, что точка  получена из точки  путём поворота на угол  рад вокруг начала координат.

Теперь пусть . В этом случае поворот на угол  рад будем совершать по часовой стрелке. Точка пройдёт путь длиной
модуль . Конечную точку пути обозначим .

Если же , то точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим некоторые примеры поворотов точки  на некоторый угол.

Итак, при повороте точки  на угол  рад мы совершаем движение против часовой стрелки и получаем точку
.

А при повороте точки  на угол  рад мы двигаемся по часовой стрелке и получаем точку .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот против часовой стрелки на  рад трижды и окажемся в точке .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот по часовой стрелке на  рад трижды и окажемся в точке .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот по часовой стрелке и окажемся в точке .

При повороте точки  на угол  рад мы осуществим поворот против часовой стрелки и снова окажемся
в точке .

Ранее в курсе геометрии вы рассматривали углы от  до . Теперь, используя поворот точки единичной окружности вокруг
начала координат, можно рассматривать углы, которые больше , а также отрицательные углы.

А задавать угол поворота надо в градусах или радианах? Угол
поворота можно задавать и в градусах, и в радианах. Так, например, поворот
точки  на угол  означает то же, что и поворот на . А поворот на  – это поворот на .

Далее приведена таблица поворотов на наиболее часто встречающиеся
углы, выраженные в радианной и градусной мере:

Обратите внимание, что при повороте на , то есть на , точка возвращается в своё первоначальное положение.

А где окажется точка при повороте на ? При повороте на , то есть на , точка также вернётся в своё первоначальное положение.

Давайте рассмотрим пример поворота на угол, который больше . Например, на угол . Представим . Получается, что при повороте на этот угол точка  совершает три полных оборота против часовой стрелки и ещё
проходит путь .

Теперь рассмотрим пример поворота на угол , то есть на угол меньший . Представим . В этом случае точка совершает три полных оборота по часовой
стрелке и ещё проходит путь  в этом же направлении.

Получается, что при повороте точки  на угол  получаем ту же точку, что и при повороте на угол , а при повороте точки  на угол  получаем ту же точку, что и при повороте на угол .

Вообще, если угол  можно представить как , где  – целое число, то при повороте на угол  получаем ту же самую точку, что и при повороте на угол .

Таким образом, можем сделать вывод, что каждому
действительному числу  соответствует единственная точка единичной окружности, получаемая
поворотом точки  на угол  рад.

Однако одной и той же точке  единичной окружности соответствует бесконечное множество
действительных чисел , где  – целое число, задающих поворот точки  в точку .

Найдём координаты точки, полученной поворотом точки  на угол . Представим . Тогда при повороте точки на угол  мы получим ту же самую точку, что и при повороте на угол , то есть точку с координатами .

Найдём координаты точки, полученной поворотом точки  на угол . Представим . Тогда при повороте на  мы получаем ту же самую точку, что и при повороте на , то есть точку с координатами .

И найдём координаты точки, полученной поворотом точки  на угол .

Для этого выполним поворот точки против часовой стрелки на угол , то есть на , и получим точку .  Опустим из неё перпендикуляр  на ось  и рассмотрим прямоугольный треугольник . Так как координаты точки  численно равны длинам катетов этого треугольника, то нам остаётся
найти длины  и .

Гипотенузой этого треугольника является отрезок . Причём , так как это радиус нашей единичной окружности. Угол  равен , так как мы осуществляли поворот на , то есть на .

А мы ведь знаем из геометрии, что катет прямоугольного треугольника,
лежащий против угла в , равен половине гипотенузы. Значит, катет .

Теперь вспомним теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике
квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов (). Запишем её для нашего треугольника: . Выразим неизвестный нам катет : . Подставим значения  и : . Выполним вычисления и в результате получим .

Таким образом, можем записать, что точка  имеет абсциссу, равную длине катета , то есть , и ординату, равную длине катета , то есть .

А сейчас давайте выполним несколько заданий.

Задание первое. Найти
координаты точки, полученной поворотом точки  на угол а) ; б) ; в) .

Решение.

И решим ещё одно задание. Найдите
число , где , и натуральное число , такие, чтобы выполнялось равенство , если а) ; б) .

Решение.

Вечный думатель

Мыслитель

(9020)


14 лет назад

Максим

Мыслитель

(6828)


14 лет назад

Всё очень просто. Координаты точки определяются по формуле:
x=r*cos(альфа)
y=r*sin(альфа) ,
где альфа – угол поворота против часовой стрелки, r – радиус, который в данном случае равен 1. Это следует просто из определения косинуса и синуса.
а) (соs(-3pi/2); sin(-3pi/2))=(0;1)
б) (соs(-13pi/2); sin(-13pi/2))=(0;1)
в) (соs(pi/3); sin(pi/3))=(1/2; (корень из 3)/2)
г)) (соs(-pi/4); sin(-pi/4))=( (корень из 2)/2; -(корень из 2)/2)

Поворот – это движение фигуры в пространстве вокруг неподвижной точки, принадлежащей этому же пространству.

Синтаксис

Координаты – строка, содержащая координаты в виде x:y (где x – абсцисса координаты, y – ордината координаты), разделенные хотя бы одним пробелом

Точка вращения – точка, относительно которой будет осуществляться поворот, всех заданных координат.

Поворот в градусах – поворот фигуры на заданный угол. Если число положительное – то поворот производится ПРОТИВ часовой стрелке, если отрицательный, то ПО часовой стрелке.

Примеры

Пример: задан треугольник следующими координатами A(1:1) B (5:5) C(0:7)

Необходимо повернуть треугольник на 30 градусов против часовой стрелки относительно точки с координатами 3:3

Поворот осей координат

Чтобы найти поворот осей, зададим две системы координат, согласно рисунку

Пусть точка T в новой полярной системе координат имеет полярный радиус r и полярный угол φ. В старой полярной системе координат полярный угол точки T будет равен α+φ, а полярный радиус r будет как в новой системе координат.

Тогда уравнения примут вид:

x = r cos(α+φ)

y = r sin(α+φ)

Применяя тригонометрические тождества суммы двух углов для синуса и косинуса , получим выражения:

x = r (cosα cosφ — sinα sinφ) = r (cosφ) cosα — (r sinφ) sinα

y = r (sinα cosφ — cosα sinφ) = r (cosφ) sinα — (r sinφ) cosα

X = r cosφ и Y = r sinφ

Получим уравнения поворота осей координат

x = X cosα — Y sinα

y = X sinα — Y cosα

Если обозначим следующим образом

x = OK , y = KT — старые координаты точки T
x´= OK´, y´ = KT´ — новые координаты точки T
α — угол поворота осей

тогда ф ормулы поворота осей координат примут вид:

Пример
До поворота осей на угол -30 0 точка L имела абсциссу x=2 и ординату y=0

Требуется найти координаты точки L после поворота осей.

Решение
Подставляя в формулу, находим новые координаты осей x´, y´

Компьютерная Графика

Двумерный алгоритм преобразование в новые координаты

Поворот.

Пусть необходимо повернуть точку P(x, y) вокруг начала координат O на угол (фи) . Изображение новой точки на рис. 2.2. обозначим через P’(x’, y’). Всегда существуют четыре числа a, b, c, d, такие, что новые координаты могут быть вычислены по значениям старых координат x и y из следующей системы уравнений:

(2.1)

Для получения значений a, b, c, d рассмотрим вначале точку (x, y) = (1, 0). Полагая x =1 и y =0 в уравнении (2.1), получим

Но в этом простом случае, как это видно из рис. 2.3(а), значения x’ и y’ равны соответственно Cos (фи) и Sin (фи). Тогда будем иметь:

Аналогичным образом из рис. 2.3(б) следует

Тогда вместо системы уравнений (2.1) можем записать

(2.2)

Система уравнений (2.2) описывает поворот вокруг точки O – начала системы координат. Но часто это не то, что нам нужно. Если требуется выполнить поворот относительно заданной точки, то в этих уравнениях можно заменить: x – на (x-x_o) , y – на (y-y_o), x’ – на (x`-x<sub>o</sub>) и y’ – на (y`-y_o) (сдвигаем систему координат) .

Система уравнений, которая описывает поворот точки вокруг любой точки:

(2.3)

Система уравнений (2.3) неудобна для реализации на PC. Применяем матричную запись.

[spoiler title=”источники:”]

Поворот осей координат

http://codenet.ru/progr/cg/lec_1_2.php

[/spoiler]

Инфоурок

›

Алгебра

›Другие методич. материалы›Методический материал по математике на тему ” Поворот точки вокруг начала координат”

Методический материал по математике на тему ” Поворот точки вокруг начала координат”

Алгебра и начала математического анализа, 10 класс

Урок №29. Радианная мера угла

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1) Понятие тригонометрической окружности;

2) Поворот точки вокруг начала координат;

3) Длина дуги окружности и площадь кругового сектора.

Глоссарий по теме

Окружность – это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиус окружности – отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью.

Дуга окружности – кривая линия, лежащая на окружности и ограниченная двумя точками.

Круговой сектор – часть круга, ограниченная двумя радиусами.

Угол в 1 радиан – центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Колягин Ю.М., Ткачева М.В, Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б. Учебно-методический комплект: Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 10 кл.– М.: Просвещение, 2014.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

На уроках геометрии мы с вами изучали окружность, её элементы, свойства. Повторим понятие окружности. Это замкнутая линия, все точки которой равноудалены от центра.

Радиусом окружности называется отрезок, соединяющий её центр с любой лежащей на окружности точкой.

На окружности можно выделить дугу. А если рассмотреть круг – часть плоскости, ограниченной окружностью – то можно выделить круговой сектор.

«Окружность бесконечно большого круга и прямая линия – одно и то же» Г. Галилей

Действительно, и окружность и прямая – бесконечны. Рассмотрим окружность радиуса, равному 1 единичному отрезку, в прямоугольной системе координат хОу с центром в начале координат. Такую окружность называют единичной или тригонометрической. (рис.1)

Длина этой окружности (в предыдущей задаче велотрека), как мы помним из уроков геометрии, . А учитывая, что R=1, , осями координат она поделена на четыре дуги, которые находятся соответственно в I, II, III и IV координатных четвертях.

Вычислите длину каждой дуги.

Ответ. длина каждой дуги равна части окружности или

Длина полуокружности равна А так как образовался развернутый угол, то 180.

Рассмотрим дугу, равную по длине радиусу единичной окружности. Полученный центральный угол РОМ равен длине дуги МР=R.

рис.3

Определение. Углом в 1 радиан называется центральный угол, опирающийся на дугу, равную по длине радиусу окружности.

Обозначается 1рад.

;

α рад=(180/π α)° (1)

Длину дуги l окружности радиуса R (рис.4)

можно вычислять по формуле(3)

А площадь S кругового сектора радиуса R и дугой рад (рис.5)

находят по формуле: , где (4)

Вернёмся к единичной окружности в координатной плоскости.

Каждая точка этой окружности будет иметь координаты х и у такие, что выполняются неравенства -1≤ х ≤ 1; -1≤ у ≤ 1.

Введём понятие поворота точки. (рис.2)

1. Пусть Тогда точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности против часовой стрелки. Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0) до точки В. Говорят, точка В получена из точки А поворотом на угол
2. Пусть точка А(1;0) будет двигаться по единичной окружности по часовой стрелки . Она пройдёт путь α рад от точки А(1;0)до точки С. Говорят, точка С получена из точки А поворотом на угол – α.

При повороте на 0 рад точка остаётся на месте.

Давайте рассмотрим такой пример:

при повороте точки М(1;0) на угол получается точка N (0;1). В эту же точку можно попасть из точки М(1;0) при повороте на

угол (рис.6)

(рис.6)

Примеры и разбор решения заданий тренировочного модуля

Пример 1.

Найти градусную меру угла, равного рад.

Решение: Используя формулу (1),

находим .

Так как , то рад, тогда (2)

Ответ: .

Пример 2. Найти радианную меру угла, равного 60.

Решение:

Вычисляем по формуле (2): рад

рад

При обозначении мер угла, наименование «рад» опускают.

Ответ: рад, рад.

Пример 3. Найти длину дуги окружности радиуса 6 см, если её радианная мера .

Решение: Используя формулу (3),

получим:

Ответ: .

Пример 4. Найти площадь сектора, если радиус окружности 10 м, а радианная мера центрального угла .

Решение:

По формуле (4) вычисляем

Ответ: 45 м²

Пример 5. Найти координаты точки М, полученной из точки N(1;0) поворотом на угол, равный .

Решение: Абсцисса точки М равна отрезку ОК, ордината отрезку ОТ=МК. Так как то

прямоугольный равнобедренный треугольник ОМК имеет равные катеты и гипотенузу ОМ=R=1. По теореме Пифагора можно найти длины катетов. Они равны Учитывая, что точка М находится в I координатной четверти, её координаты положительны.

На окружности можно найти координаты любой точки.

Ответ: