Как найти повторный интеграл

В многовариантном исчислении повторный интеграл является результатом применения интегралов к функциям более чем одной переменной (например, или ) таким образом, что каждый из интегралов рассматривает некоторые переменные как заданные константы. Например, функция , если считается заданным параметром, может быть интегрирована относительно , . Результат является функцией от , поэтому её интеграл можно рассматривать. Если это будет сделано, результатом будет повторный интеграл

Ключевым моментом в понятии повторных интегралов является то, что он отличается от кратного интеграла

В общем, хотя эти два могут быть разными, теорема Фубини утверждает, что при определенных условиях они эквивалентны.

Также используются альтернативное обозначение для повторных интегралов:

В обозначениях, в которых используются круглые скобки, повторные интегралы вычисляются в соответствии с порядком операций, указанным в скобках, начиная с самого внутреннего интеграла за пределами. В альтернативной записи написания , в первую очередь вычисляется самое вложенное подынтегральное выражение.

Примеры[править | править код]

Простое вычисление[править | править код]

Для повторного интеграла

интеграл

сначала вычисляется, а затем результат используется для вычисления интеграла относительно y.

В этом примере опущены константы интегрирования. После первого интегрирования по x нам необходимо строго ввести “постоянную” функцию от y. То есть, если бы мы дифференцировали эту функцию по x, любые члены, содержащие только y, исчезли бы, оставив исходное подынтегральное выражение. Аналогично для второго интеграла нужно ввести “постоянную” функцию x, потому что мы интегрировали по y. Таким образом, неопределенное интегрирование не имеет большого смысла для функций нескольких переменных.

Важность порядка[править | править код]

Порядок, в котором вычисляются интегралы, важен в повторных интегралах, особенно когда подынтегральное выражение не является непрерывным в области интегрирования. Примеры, в которых разный порядок приводит к разным результатам, обычно относятся к таким сложным функциям, как приведенный ниже.

Пусть последовательность , такая, что . Пусть непрерывная функция, не обращающаяся в ноль на интервале и где-либо еще; такая, что для каждого . Обозначим

В предыдущей сумме для каждого конкретного хотя бы один член отличен от нуля. Для этой функции бывает, что

^[1]

Примечания[править | править код]

Вычислять двойные интегралы как пределы интегральных сумм весьма затруднительно, поэтому возникает естественная задача о разработке техники двойного интегрирования, минуя непосредственное суммирование и предельный переход.

Важнейшим результатом в этом направлении является формула сведения двойного интеграла к повторному. Определим понятие повторного интеграла.

Пусть на отрезке заданы непрерывные функции и такие, что , , и пусть на области (рис.29.1.) определена функция .

Если для любого фиксированного функция , как функция переменной , интегрируема на отрезке , т.е. при любом существует интеграл , и функция интегрируема на отрезке , то интеграл называется повторным интегралом и
обозначается через .

При этом называется внутренним интегралом; и — внутренними, и — внешними пределами интегрирования. Если внутренние пределы интегрирования в повторном интеграле могут быть как постоянными, так и переменными, то внешние пределы постоянны всегда.

Для вычисления повторного интеграла надо последовательно взять два обычных определенных интеграла. Сначала берется внутренний интеграл , в котором переменная считается постоянной. Затем берется внешний интеграл, т.е. полученное выражение, зависящее от , интегрируется по от до .

Рассмотрим пример вычисления повторного интеграла.

Пример №29.1.

Вычислите повторный интеграл .

Решение:

Сначала найдем внутренний интеграл, считая постоянным:

Затем найдем внешний интеграл, т.е. полученную функцию проинтегрируем по . Тогда

Для сокращения записи все вычисления можно записать следующим образом:

Ответ: .

Следует заметить, что для функции , определенной на области понятие повторного интеграла вводится аналогично рассмотренному ранее. При этом повторный интеграл обозначается через .

Здесь при вычислении внутреннего интеграла постоянной считается переменная .

Эта лекция взята с главной страницы на которой находится курс лекций с теорией и примерами решения по всем разделам высшей математики:

Предмет высшая математика

Другие лекции по высшей математике, возможно вам пригодятся:

6

ЛЕКЦИЯ 1

Двойные
интегралы. Определение
двойного интеграла и его свойства.
Повторные интегралы. Сведение двойных
интегралов к повторным. Расстановка
пределов интегрирования. Вычисление
двойных интегралов в декартовой системе
координат.

1.
ДВОЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1.1.
Определение двойного интеграла

Двойной интеграл
представляет собой обобщение понятия
определенного интеграла на случай
функции двух переменных. В этом случае
вместо отрезка интегрирования будет
присутствовать какая-то плоская фигура.

Пусть
D
– некоторая замкнутая ограниченная
область, а f(x,y)
– произвольная функция, определенная
и ограниченная в этой области. Будем
предполагать, что границы области D
состоят из конечного числа кривых,
заданных уравнениями вида y=f(x)
или x=g(y),
где f(x)
и g(y)
– непрерывные функции.

Р

Рис.
1.1

азобьем область D
произвольным образом на n
частей. Площадь i-го
участка обозначим символом s_i.
На каждом участке произвольно выберем
какую-либо точку P_i,
и пусть она в какой-либо фиксированной
декартовой системе имеет координаты
(x_i,y_i).
Составим интегральную
сумму для функции
f(x,y)
по области D,
для этого найдем значения функции во
всех точках P_i,
умножим их на площади соответствующих
участков s_i
и просуммируем все полученные результаты:

.
(1.1)

Назовем
диаметром
diam(G)
области G
наибольшее расстояние между граничными
точками этой области.

Двойным
интегралом
функции
f(x,y)
по
области
D
называется
предел, к которому стремится
последовательность интегральных
сумм
(1.1) при
неограниченном увеличении числа
разбиений
n
(при
этом

).
Это
записывают следующим образом

.
(1.2)

Заметим,
что, вообще говоря, интегральная сумма
для заданной функции и заданной области
интегрирования зависит от способа
разбиения области D
и выбора точек P_i.
Однако если двойной интеграл существует,
то это означает, что предел соответствующих
интегральных сумм уже не зависит от
указанных факторов. Для
того чтобы двойной интеграл существовал
(или, как говорят, чтобы
функция
f(x,y)
была
интегрируемой
в области D),
достаточно чтобы подынтегральная
функция была непрерывной
в заданной области интегрирования.

П

Рис.
1.2

усть функция f(x,y)
интегрируема в области D.
Поскольку предел соответствующих
интегральных сумм для таких функций не
зависит от способа разбиения области
интегрирования, то разбиение можно
производить при помощи верти­кальных
и горизонтальных линий. Тогда большинство
участков области D
будет иметь прямоугольный вид, площадь
которых равна s_i=x_iy_i.
Поэтому дифференциал площади можно
записать в виде ds=dxdy.
Следовательно, в
декартовой системе координат
двойные
интегралы можно
записывать в виде

.
(1.3)

Замечание.
Если
подынтегральная функция
f(x,y)1,
то
двойной интеграл будет равен площади
области интегрирования:

.
(1.4)

Отметим,
что двойные интегралы обладают такими
же свойствами, что и определенные
интегралы. Отметим некоторые из них.

Свойства
двойных интегралов.

1⁰.
Линейное свойство.
Интеграл от
суммы функций равен сумме интегралов:

;

и
постоянный множитель можно выносить
за знак интеграла:

.

2⁰.
Аддитивное свойство.
Если
область интегрирования D
разбить на две части, то двойной интеграл
будет равен сумме интегралов по каждой
этой части:

.

3⁰.
Теорема о среднем.
Если
функция f(x,y)
непрерывна в области D,
то в этой области найдется такая точка
(),
что:

.

Далее возникает
вопрос: как вычисляются двойные интегралы?
Его можно вычислить приближенно, с этой
целью это разработаны эффективные
методы составления соответствующих
интегральных сумм, которые затем
вычисляются численно при помощи ЭВМ.
При аналитическом вычислении двойных
интегралов их сводят к двум определенным
интегралам.

1.2.
Повторные интегралы

Повторными
интегралами называются интегралы вида

.
(1.5)

В
этом выражении сначала вычисляется
внутренний интеграл, т.е. производится
сначала интегрирование по переменной
y
(при этом переменная
x
считается постоянной величиной). В
результате интегрирования по y
получится некоторая функция по x:

.

Затем
полученную функцию интегрируют по x:

.

Пример
1.1.
Вычислить интегралы:

а)
,
б)
.

Решение.
а) Произведем интегрирование по y,
считая, что переменная x=const.
После этого вычисляем интеграл по x:

.

б)
Так как во внутреннем интеграле
интегрирование производится по переменной
x,
то y³
можно вынести во внешний интеграл как
постоянный множитель. Поскольку y²
во внутреннем интеграле считается
постоянной величиной, то этот интеграл
будет табличным. Производя последовательно
интегрирование по y
и x,
получаем

.

Между
двойными и повторными интегралами
существует взаимосвязь, но сначала
рассмотрим простые и сложные области.
Область называется простой
в каком-либо направлении, если любая
прямая, проведенная в этом направлении,
пересекает границу области не более
чем в двух точках. В декартовой системе
координат обычно рассматривают
направления вдоль осей Ox
и Oy.
Если область является простой в обоих
направлениях, то говорят коротко –
простая область, без выделения направления.
Если область не является простой, то
говорят, что она сложная.

Л

а
б

Рис.
1.4

юбую сложную область можно
представить в виде суммы простых
областей. Соответственно, любой двойной
интеграл можно представить в виде суммы
двойных интегралов по простым областям.
Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать,
в основном, только интегралы по простым
областям.

Теорема.
Если
область интегрирования D
– простая в направлении оси Oy
(см. рис.1.4а), то двойной интеграл можно
записать в виде повторного следующим
образом:

;
(1.6)

если
область интегрирования D
– простая в направлении оси Ox
(см. рис.1.4б), то двойной интеграл можно
записать в виде повторного следующим
образом:

.
(1.7)

Е

простая область

простая область в направлении Oy

простая область в направлении Ox

сложная область

Рис.
1.3

сли область интегрирования
является правильной в обоих направлениях,
то можно произвольно выбирать вид
повторного интеграла, в зависимости от
простоты интегрирования.

1.3.
РАССТАНОВКА ПРЕДЕЛОВ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

1.3.1.
Прямоугольная область интегрирования

П

Рис.
1.5

ри сведении двойных интегралов к
повторным, основная трудность возникает
при расстановке пределов во внутренних
интегралах. Наиболее просто это сделать
для прямоугольных областей (см. рис.
1.5).

Пример
1.2.
Вычислить двойной интеграл

.

Решение.
Запишем двойной интеграл в виде
повторного:

.

1.3.2.
Произвольная область интегрирования

Для того, чтобы
перейти от двойного интеграла к повторному
следует:

1. построить
   область интегрирования;

2. расставить
   пределы в интегралах, при этом следует
   помнить, что пределы внешнего интеграла
   должны быть постоянными величинами
   (т.е. числами) независимо от того, по
   какой переменной вычисляется внешний
   интеграл.

Пример
1.3.
Расставить пределы интегрирования в
соответствующих повторных интегралах
для двойного интеграла

,
если а)

б)

Р

Рис.
1.6

ешение.
а)
Изобразим область интегрирования D
(см. рис.1.6). Пусть интегрирование во
внешнем интеграле производится по
переменной x,
а во внутреннем – по y.
Расстановку
пределов всегда нужно начинать с внешнего
интеграла, в данном
случае с переменной x.
Из рисунка видно, что x
изменяется от 0 до 1, при
этом значения переменной y
будут изменяться от значений на прямой
y=x
до значений на прямой y=2x.
Таким образом, получаем

.

Пусть
теперь интегрирование во внешнем
интеграле производится по y,
а во внутреннем – по x.
В этом случае значения y
будут изменяться от 0 до 2. Однако тогда
верхняя граница изменений значений
переменной x
будет состоять из двух участков x=y/2
и x=1.
Это означает, что область интегрирования
нужно разбить на две части прямой y=1.
Тогда в первой области y
изменяется от 0 до 1, а x
от прямой x=y/2
до прямой x=y.
Во второй области y
изменяется от 1 до 2, а x
– от прямой x=y/2
до прямой x=1.
В результате получим

.

б

Рис.
1.7

) Построим область
интегрирования D
(см. рис.1.7). Пусть во внешнем интеграле
интегрирование производится по x,
а во внутреннем – по y.
В этом случае при изменении x
от –1 до 1 изменения переменной y
сверху будут ограничены двумя линиями:
окружностью и прямой. На отрезке [–1;0]
y
изменяется от y=0
до
;
на отрезке [0;1] переменная y
изменяется от y=0
до y=1–x.
Таким образом,

.

Пусть
теперь во внешнем интеграле интегрирование
производится по y,
а во внутреннем – по x.
В этом случае y
будет изменяться от 0 до 1, а переменная
x
– от дуги окружности
до
прямой x=1–y.
В результате получим

.

Данные примеры
показывают, как важно правильно выбирать
порядок интегрирования.

Пример
1.4.
Изменить порядок интегрирования

а)
;
б)
.

Р

Рис.
1.8

ешение.
а)
Построим область интегрирования. На
отрезке [0;1] для x
переменная y
изменяется от прямой y=0
до прямой y=x.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.8). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования

.

б)
Построим область интегрирования. На
отрезке [0;9/16] для y
переменная x
изменяется от прямой x=y
до параболы
;
на отрезке [9/16;3/4] – от прямой x=y
до прямой x=3/4.
В результате получается следующая
область интегрирования (см. рис.1.9). На
основании построенного рисунка,
расставляем пределы интегрирования,

.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #



1.1.2. Как решить двойной интеграл? Повторные интегралы

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, его нужно свести к так называемым повторным интегралам. Сделать это можно двумя способами. Наиболее распространён следующий способ:

Вместо знаков вопроса необходимо расставить пределы интегрирования. Причём одиночные знаки вопроса  у внешнего интеграла – это числа, а двойные знаки вопроса  у внутреннего интеграла – это функции одной переменной .

Откуда взять пределы интегрирования? Они зависят от того, какая в условии задачи дана область . Область  представляет собой обычную плоскую фигуру, с которой вы неоднократно сталкивались, в частности, при вычислении площади плоской фигуры или вычислении объёма тела вращения. Очень скоро вы узнаете, как правильно расставлять пределы интегрирования.

После того, как переход к повторным интегралам осуществлён, следуют непосредственно вычисления: сначала берётся внутренний интеграл , а потом – внешний. Друг за другом. Отсюда и название – повторные интегралы.

Грубо говоря, решение сводится к вычислению двух определённых интегралов. Как видите всё не так сложно и страшно, и если вы совладали с «обыкновенным» определённым интегралом, что мешает разобраться с двумя интегралами?!

Второй способ перехода к повторным интегралам встречается несколько реже:

Что поменялось? Поменялся порядок интегрирования: теперь внутренний интеграл берётся по «икс», а внешний – по «игрек». Пределы интегрирования, обозначенные звёздочками – будут другими! (в общем случае). Одиночные звёздочки внешнего интеграла – это числа, а двойные звёздочки внутреннего интеграла – это обратные функции , зависящие от «игрек».

Какой бы мы ни выбрали способ перехода к повторным интегралам,
окончательный ответ обязательно получится один и тот же:

Пожалуйста, запомните это важное свойство, которое можно использовать, в том числе, для проверки решения.

1.1.3. Алгоритм решения двойного интеграла

1.1.1. Что значит решить двойной интеграл?

| Оглавление |



Полную и свежую версию данного курса в pdf-формате,
а также курсы по другим темам можно найти здесь.

Также вы можете изучить эту тему подробнее – просто, доступно, весело и бесплатно!

С наилучшими пожеланиями, Александр Емелин

Что такое двойной интеграл

Двойной интеграл обобщает понятие определенного интеграла на случай функций двух переменных:

z=f(x,y)z=f(x,y)
и записывается так:

I=∬Df(x,y) dx dyI=iint limits_{D}f(x,y), dx,dy

где DD-двумерная область, по которой происходит интегрирование функции f(x,y).f(x,y).

Для того чтобы вычислить двойной интеграл, переходят к повторному:

∬Df(x,y) dx dy=∫abdx∫c(x)d(x)f(x,y) dy=∫a1b1dy∫c1(y)d1(y)f(x,y) dxiint limits_{D}f(x,y), dx,dy=int_a^b dxint_{c(x)}^{d(x)}f(x,y) dy
=int_{a_1}^{b_1} dyint_{c_1(y)}^{d_1(y)}f(x,y) dx

Вычисляется повторный интеграл также, как и определенный, но поочередно: сначала внутренний, затем внешний.

Пределы интегрирования: a,ba,b – числа; c,dc,d – функции зависят от области DD. Подробнее рассмотрим на примере.

Вычисление двойного интеграла: пример

Рассмотрим пример.

Задача: вычислить двойной интеграл функции z=x2yz=x^2y по обласли D:x=1,y=x2,y=3D:x=1,y=x^2,y=3}

Сначала нарисуем область:

Теперь запишем двойной интеграл через повторный, интегрируя сначала по yy, потом по xx:

∬Dx2y dx dy=∫a1b1dx∫c1(x)d1(x)x2y dyiint limits_{D}x^2y, dx,dy=int_{a_1}^{b_1} dxint_{c_1(x)}^{d_1(x)}x^2y dy

Посмотрим на нашу область и найдем границы изменения xx:

y=x2y=x^2 и y=3y=3 пересекаются в точках x1=−3,x2=3x_1=-sqrt{3}, x_2=sqrt{3}.

Тогда xx лежит в пределах от −3-sqrt{3} до 1: −3≤x≤1-sqrt{3}leq xleq 1

Теперь нам нужно найти границы изменения yy, в зависимости от xx.

Видно, что yy изменятется от параболы до прямой y=3y=3. Или:

x2≤y≤3x^2leq yleq 3

Подставляем найденные пределы интегрирования в повторный интеграл и вычисляем его:

∫−31dx∫x23x2y dy=∫−31(x2y22∣x23)dx=∫−31(9×22−x62)dx=3×32−x714∣−31=10+1837int_{-sqrt{3}}^{1} dxint_{x^2}^{3}x^2y dy=int_{-sqrt{3}}^{1} (frac {x^2y^2}{2}|_{x^2}^3)dx=int_{-sqrt{3}}^{1} (frac {9x^2}{2}-frac{x^6}{2})dx=frac {3x^3}{2}-frac{x^7}{14}|_{-sqrt{3}}^1=frac{10+18sqrt{3}}{7}

Геометрическим смыслом вычисленного интеграла является объем фигуры с площадью основания – областью DD и высотой h=z(x,y)=x2yh=z(x,y)=x^2y.

Посчитаем этот же интеграл, изменив порядок интегрирования:

∬Dx2y dx dy=∫a1b1dy∫c1(y)d1(y)x2y dxiint limits_{D}x^2y, dx,dy=int_{a_1}^{b_1} dyint_{c_1(y)}^{d_1(y)}x^2y dx

При 0≤y≤1,−y≤x≤y0leq y leq 1, -sqrt{y}leq x leq sqrt{y}

При 1≤y≤3,−y≤x≤11leq y leq 3, -sqrt{y}leq x leq 1

Имеем разные пределы интегрирования для разных частей области DD.

Используя свойства двойного интеграла, можно разбить эту область на две:

∬Dx2y dx dy=∬D1x2y dx dy+∬D2x2y dx dyiint limits_{D}x^2y, dx,dy=iint limits_{D_1}x^2y, dx,dy+iint limits_{D_2}x^2y, dx,dy

Переходим к повторным интегралам и вычисляем их:

I1=∫01dy∫−yyx2y dx=∫01(x3y3∣−yy)dy=∫01(y2y3+y2y3)dy=4y3y21∣01=421I_1=int_0^{1} dyint_{-sqrt{y}}^{sqrt{y}}x^2y dx=int_0^{1} (frac {x^3y}{3}|_{-sqrt{y}}^{sqrt{y}})dy=int_0^1 (frac {y^2sqrt{y}}{3}+frac{y^2sqrt{y}}{3})dy=frac {4y^{3}sqrt{y}}{21}|_0^1=frac{4}{21}

I2=∫13dy∫−y1x2y dx=∫13(x3y3∣−y1)dy=∫13(y2y3+y3)dy=2y3y21+y26∣13=1837+32−221−13=2621+1837I_2=int_1^{3} dyint_{-sqrt{y}}^1x^2y dx=int_1^{3} (frac {x^3y}{3}|_{-sqrt{y}}^1)dy=int_1^3 (frac {y^2sqrt{y}}{3}+frac{y}{3})dy=frac {2y^{3}sqrt{y}}{21}+frac{y^2}{6}|_1^3=
frac{18sqrt{3}}{7}+frac{3}{2}-frac{2}{21}-frac{1}{3}=frac{26}{21}+frac{18sqrt{3}}{7}

I=I1+I2=10+1837I=I_1+I_2=frac{10+18sqrt{3}}{7}

Как мы убедились, результат не зависит от порядка интегрирования.

Для того чтобы посчитать двойной интеграл, необходимо:

1. Построить область интегрирования.
2. При необходимости разбить её на несколько областей.
3. Выбрать порядок интегрирования и перейти к повторному интегралу.
4. Найти пределы интегрирования и вычислить полученные интегралы.

Тест по теме «Вычисление двойных интегралов»