Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью “Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов”.
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.
Существует группа пределов, когда x 
, а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида 
.
Пример.
Необходимо вычислить предел 
Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .
В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:
То же самое проделаем со знаменателем:
Здесь также старшая степень = 2.
Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.
Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x2:
Ответ: 2/3.
Существуют также пределы с другой неопределенностью – вида 
. Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.
Пример.
Необходимо вычислить предел 
.
Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:
Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.
В нашем случае решаем уравнение:
Находим дискриминант:
.
Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.
Теперь находим корни уравнения:
Подставляем:
Числитель разложили.
В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.
Тогда наш предел примет вид:
х + 1 красиво сокращается:
Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:
2*(-1) – 5 = -2 – 5 = -7
Ответ: -7.
Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:
- Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:
- Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
- За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:
- Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):
- Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:
- Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):
0:
На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье “Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел” мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.
Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью
Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов».
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.
Существует группа пределов, когда x 
, а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида 
.
Необходимо вычислить предел 
Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .
В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:
То же самое проделаем со знаменателем:
Здесь также старшая степень = 2.
Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.
Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x 2 :
Существуют также пределы с другой неопределенностью — вида 
. Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.
Необходимо вычислить предел 
.
Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:
Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.
В нашем случае решаем уравнение:
.
Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.
Теперь находим корни уравнения:
В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.
Тогда наш предел примет вид:
х + 1 красиво сокращается:
Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:
Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:
- Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:
Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:
За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:
Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):
Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 
0:
Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):
На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье «Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел» мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.
Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.
Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.
Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:
Вот с фразы «Воспользуемся нашим правилом №1» поподробнее пожалуйста. У вас есть отдельный список таких правил? Хочу себе сделать как бы карманный мини справочник, чтобы всегда был под рукой.
Я так и не понял как вы числитель разложили, будто колоду карт раскидали и все)
Что такое предел функции
В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.
Определение предела функции
Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.
Запись предела:
- предел обозначается значком lim;
- под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x , но не обязательно, например: “ x →1″;
Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):
Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.
x →1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).
Решение пределов
С заданным числом
Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x →1):
Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).
С бесконечностью
В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:
Если x →∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:
- 3 – 1 = 2
- 3 – 10 = -7
- 3 – 100 = -97
- 3 – 1000 – 997 и т.д.
Другой более сложный пример
Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.
Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция неограниченно растет.
С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)
В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.
Пример: давайте вычислим предел ниже.
Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:
Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:
1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).
2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).
3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.
4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.
С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)
И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.
В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.
Пример: Найдем предел функции ниже.
1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.
2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.
В нашем случаем корнями выражения в числителе () являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: .
Знаменатель () изначально является простым.
3. Получаем вот такой видоизмененный предел:
4. Дробь можно сократить на ():
5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:
Предел по-шагам
Результат
Примеры пределов
- Пределы от рациональных дробей на бесконечности
- Пределы от рациональных дробей в конечной точке
- Пределы от дроби в нуле
- Первый замечательный предел
- Второй замечательный предел
- Пределы с квадратными корнями
- Правило Лопиталя
Указанные выше примеры содержат также:
- квадратные корни sqrt(x),
кубические корни cbrt(x) - тригонометрические функции:
синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x) - показательные функции и экспоненты exp(x)
- обратные тригонометрические функции:
арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x), арккотангенс actan(x) - натуральные логарифмы ln(x),
десятичные логарифмы log(x) - гиперболические функции:
гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x), гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x) - обратные гиперболические функции:
asinh(x), acosh(x), atanh(x), actanh(x) - число Пи pi
- комплексное число i
Правила ввода
Можно делать следующие операции
2*x — умножение 3/x — деление x^3 — возведение в степень x + 7 — сложение x — 6 — вычитание Действительные числа вводить в виде 7.5, не 7,5
Чтобы увидеть подробное решение,
помогите рассказать об этом сайте:
источники:
http://microexcel.ru/predel-funktsii/
http://mrexam.ru/limit
Теория пределов – один из разделов математического анализа, который одним под силу освоить, другие с трудом вычисляют пределы. Вопрос нахождения пределов является достаточно общим, поскольку существуют десятки приемов решения пределов различных видов. Одни и те же предела можно найти как по правилу Лопиталя, так и без него. Бывает, что расписание в ряд бесконечно малых функций позволяет быстро получить нужный результат. Существуют набор приемов и хитростей, позволяющих найти предел функции любой сложности. В данной статье попробуем разобраться в основных типах пределов, которые наиболее часто встречаются на практике. Теорию и определение предела мы здесь давать не будем, в интернете множество ресурсов где это разжевано. Поэтому займемся практическим вычислениям, именно здесь у Вас и начинается “не знаю! Не умею! Нас не учили!”
Вычисление пределов методом подстановки
Пример 1. Найти предел функции
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Решение: Такого сорта примеры по теории вычисляют обычной подстановкой
Предел равен 18/11.
Ничего сложного и мудрого в таких пределах нет – подставили значение, вычислили, записали предел в ответ. Однако на базе таких пределов всех приучают, что прежде всего нужно подставить значение в функцию. Далее пределы усложняют, вводят понятие бесконечности, неопределенности и тому подобные.
Предел с неопределенностью типа бесконечность разделить на бесконечность. Методы раскрытия неопределенности
Пример 2. Найти предел функции
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=infinity).
Решение: Задан предел вида полином разделить на полином, причем переменная стремится к бесконечности
Простая подстановка значения к которому следует переменная найти пределов не поможет, получаем неопределенность вида бесконечность разделить на бесконечность.
Пот теории пределов алгоритм вычисления предела заключается в нахождении наибольшего степени “икс” в числителе или знаменателе. Далее на него упрощают числитель и знаменатель и находят предел функции
Поскольку значение 
стремятся к нулю при переменной к бесконечности то ими пренебрегают, или записывают в конечный выражение в виде нулей
Сразу из практики можно получить два вывода которые являются подсказкой в вычислениях. Если переменная стремится к бесконечности и степень числителя больше от степени знаменателя то предел равен бесконечности. В противном случае, если полином в знаменателе старшего порядка чем в числителе предел равен нулю.
Формулами предел можно записать так
Если имеем функцию вида обычный поленом без дробей то ее предел равен бесконечности
Следующий тип пределов касается поведения функций возле нуля.
Пример 3. Найти предел функции
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Решение: Здесь уже выносить старший множитель полинома не требуется. С точностью до наоборот, необходимо найти наименьший степень числителя и знаменателя и вычислить предел
Значение x^2; x стремятся к нулю когда переменная стремится к нулю 
Поэтому ими пренебрегают, таким образом получим
что предел равен 2,5.
Теперь Вы знаете как найти предел функции вида полином разделить на полином если переменная стремится к бесконечности или 0. Но это лишь небольшая и легкая часть примеров. Из следующего материала Вы научитесь как раскрывать неопределенности пределов функции.
Предел с неопределенностью типа 0/0 и методы его вычислений
Сразу все вспоминают правило согласно которому делить на ноль нельзя. Однако теория пределов в этом контексте подразумеваем бесконечно малые функции.
Рассмотрим для наглядности несколько примеров.
Пример 4. Найти предел функции
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Решение: При подстановке в знаменатель значения переменной x = -1 получим ноль, то же самое получим в числителе. Итак имеем неопределенность вида 0/0.
Бороться с такой неопределенностью просто: нужно разложить полином на множители, а точнее выделить множитель, который превращает функцию в ноль.
После разложения предел функции можно записать в виде
Вот и вся методика вычисления предела функции. Так же поступаем если есть предел вида многочлен разделить на многочлен.
Пример 5. Найти предел функции
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Решение: Прямая подстановка показывает
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
что имеем неопределенность типа 0/0.
Разделим полиномы на множитель которій вносит особенность
Есть преподаватели которые учат, что полиномы 2 порядка то есть вида “квадратные уравнения” следует решать через дискриминант. Но реальная практика показывает что это дольше и запутаннее, поэтому избавляйтесь особенности в пределах по указанному алгоритму. Таким образом записываем функцию в виде простых множителей и вічисляем в предел
Как видите, ничего сложного в исчислении таких пределов нет. Делить многочлены Вы на момент изучения пределов умеете, по крайней мере согласно программе должны уже пройти.
Среди задач на неопределенность типа 0/0 встречаются такие в которых нужно применять формулы сокращенного умножения. Но если Вы их не знаете, то делением многочлена на одночлен можно получить нужную формулу.
Пример 6. Найти предел функции
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Решение: Имеем неопределенность типа 0/0. В числителе применяем формулу сокращенного умножения
и вычисляем нужній предел
Метод раскрытия неопределенности умножением на сопряженное
Метод применяют к пределам в которіхнеопределенность порождают иррациональные функции. Числитель или знаменатель превращается в точке вычисления в ноль и неизвестно как найти границу.
Пример 7. Найти предел функции
Lim((sqrt(x+2)-sqrt(7x-10))/(3x-6), x=2).
Решение: Представим переменную в формулу предела
При подстановки получим неопределенность типа 0/0.
Согласно теории пределов схема обхода данной особенности заключается в умножении иррационального выражения на сопряженное. Чтобы выражение не изменилось знаменатель нужно разделить на такое же значение
По правилу разности квадратов упрощаем числитель и вычисляем предел функции
Упрощаем слагаемые, создающие особенность в пределе и выполняем подстановку
Пример 8. Найти предел функции
Lim((sqrt(x-2)-sqrt(2x-5))/(3-x), x=3).
Решение: Прямая подстановка показывает что предел имеет особенность вида 0/0.
Для раскрытия умножаем и делим на сопряженное к числителю
Записываем разницу квадратов
Упрощаем слагаемые которые вносят особенность и находим предел функции
Пример 9. Найти предел функции
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Решение: Подставим двойку в формулу
Получим неопределенность 0/0.
Знаменатель нужно умножить на сопряженный выражение, а в числителе решить квадратное уравнение или разложить на множители, учитывая особенность. Поскольку известно, что 2 является корнем, то второй корень находим по теореме Виета
Таким образом числитель запишем в виде
и подставим в предел
Сведя разницу квадратов избавляемся особенности в числителе и знаменателе
Приведенным образом можно избавиться особенности во многих примерах, а применение надо замечать везде где заданная разница корней превращается в ноль при подстановке. Другие типы пределов касаются показательных функций, бесконечно малых функций, логарифмов, особых пределов и других методик. Но об этом Вы сможете прочитать в перечисленных ниже статьях о пределах.
Вычисления пределов в Мейпл
Данный материал полезен прежде всего для студентов. Возможно в программе обучения, а некоторые для себя изучает математические программы для облегчения обучения и проверки решений. Это могут быть математические пакеты MathСad, Мathematica, Maple. Вычисления пределов в Мейпл достаточно просто организовать даже новичку. Все что нужно – правильно ввести функцию предел которой находим.
> restart;
Предел первой функции из тех которые рассматривали в Мейпл иметь следующую запись. Жмем конце “Enter” и получим конечное значение пределов
> limit((x^2+3*x)/(2*x+5),x=3);
18/11
Предел второй функции получим из записи
> limit((x^2+2*x)/(4*x^2+3*x-4),x=infinity);
1/4
Третий пример примет следующий вид:
> limit((x^2+3*x-5)/(x^2+x+2),x=infinity);
1
Мэйпл без проблем находит первый замечательный предел
> limit(sin(x)/x,x=0);
1
и второй замечательный предел
> limit((1+1/x)^x,x=infinity);
exp(1).
Фрагмент вычисления пределов в математическом пакете Мэйпл приведен ниже
С Мейплом Вы без труда найдете предел логарифма, тригонометрических, экспоненциальных и других функций.
Похожие материалы:
- Числовая последовательность и ее предел
- Правила вычисления пределов последовательности
- Вычисление пределов по правилу Лопиталя
- Второй замечательный предел
- Предел функции с корнями
- Односторонний предел функци
- Эквивалентные бесконечно малые функции при вычислении пределов
В данной статье вы узнаете о том, как решать пределы?
Решение пределов является одним из важных разделов математического и вычислительного анализа. Многие ученики и учащиеся вузов справляются с данной проблемой свободно, когда другие постоянно задают один и тот же вопрос: «Как решать пределы?». Нахождение пределов тема актуальная. Существует множество способов решения пределов. Идентичные пределы можно найти согласно закону Лопиталя и без его помощи. Однако сначала нам следует разобраться, что же такое предел?
Предел имеет три части
Первая — это всем известный значок lim, вторая, это то, что написано под ним.
Например: x -> 1. Данная запись будет читаться так (икс стремиться к 1).
Третья часть это сама функция, которая стоит после знака lim.
Хотелось бы уточнить, значение икс стремится к 1, это то значение x, при котором х принимает определенные значения, которые близки к единице или почти с ней совпадают.
Решать пределы, дело легкое, если в них разобраться.
Первое правило решения пределов
В случае если предоставлена нам функция, попросту подставьте число в функцию. Это элементарные пределы, которые действительно встречаются в примерах и очень часто.
Есть пределы, где х->? Тогда бесконечность это та функция, где икс бесконечно возрастает. Значение такой функции является (1-х). Чтобы решить данный предел, нам необходимо следуя нашему первому правилу подставить значение (1-х) в функцию и получить ответ.
Из вышесказанного, для того чтобы обучиться решать наиболее непростые пределы, вы обязаны помнить правила решение элементарных пределов.
- Правило первое: Дана функция, подставляем число в функцию.
- Правило второе: Дана бесконечность, подставляем (1-х) в функцию.
Как только вы это поймете, то сразу начнете замечать элементарные пределы и сможете их решить. Вот мы и научились решать легкие пределы. Теперь ознакомимся с решением более сложных пределов.
Существует множество пределов с ? Одним из таких вариантов является предел вида ?/?
Такая функция возможна, когда х->?, а предел выражен в виде дроби.
Многие интересуются, просто ли решить такой предел?
Первое, что вы должны запомнить, вам необходимо найти в числителе х по старшинству, т.е. в самой большей степени из всех х, которые есть в числителе.
lim+(х->?)?((2х^2-3х-4)/(3х^2+1+х))^ ?
Мы видим, что старшая степень в числителе это 2
Теперь, нам необходимо сделать тоже самое только со знаменателем. В знаменателе старшая степень тоже 2.
Принцип: Для того чтобы разрешить эту функцию, нам следует и делимое и делитель разделить на х в самой старшей степени в пределе. В случае если бы она равнялась 2. Если бы степень числителя равна была 4, а знаменателя 2, то мы бы выбирали 4. Потому, что это самая старшая степень в данной нам функции. Смотрите, как быстро мы обучились решать пределы вида ?/?
Теперь рассмотрим, решение самых сложных пределов. Это вид 0/0.
Подобные пределы очень напоминают нам решение пределов вида бесконечность на бесконечность. Но есть отличие, которое важно помнить при решении. Когда икс стремится к бесконечности, то он бесконечно увеличивается, а тут он равен 0, т.е. конечному числу.
Чтобы разрешить подобную функцию, нам следует, и числители и знаменатель разложить на множители. Чтобы получить элементарный дискриминант, известный нам с 6 класса. Вычисляем дискриминант и подставляем ответы в нашу функцию. Находим конечный ответ.
Правило: если в числителе или знаменателе можно некое число вынести за данную скобку, то мы, не думая, обязательно выносим.
Существует множество разных способов решения более сложных пределов. Одним из них является метод замены. Заменить любую переменную легче, чем постоянно раскладывать на множители. Очень часто такой способ применяется для того, чтобы из сложного предела сделать первый замечательный предел.
Давайте рассмотрим детальнее на примере
Пример: lim+(х->0)?(arctg4x/7x)^ ?
Решение: Мы видим, что наша функция представлена в виде неопределенности 0/0 , которую мы уже прошли
lim+(х->0)?(arctg4x/7x)^ ? = 0/0
Мы видим в пределе арктангенс, нехорошая функция, от которой нам необходимо избавиться. Очень комфортно нам будет, если мы арктангенс превратим в одну простую и легкую букву.
Сделаем замену: arctg заменим на у. И в процессе решения арктангенс будем именовать как у. Если наш икс стремится к нулю, арктангенс мы заменили на у, тогда записываем, что у тоже стремится к нулю. Все, что нам осталось в знаменателе выразить икс через игрек. Для этого в обе части равенства мы добавляем tg
Выражения приобретёт такой вид:
tg ( arctg4x)=tgy
С левой стороны две функции мы убираем, они взаимообратные и пропадают.
У нас остается:
4х = tgу, отсюда: х= tgy/4
А теперь осталось самое элементарное:
lim+(х->0)?(y/(7*tgy/4))^ ?
Дальше решаем первый замечательный предел.
Идем дальше. В пределах есть не только один замечательный предел, а их оказывается два. Сейчас мы не только разберемся с понятием второго замечательного предела, но и научимся его решать. Второй замечательный предел существует для решения неопределенности вида 1^? В математике она записывается так а(х) ->? Такой вид данной функции самый простой, есть функции и сложнее, самое важное, чтобы она стремилась к бесконечности.
Следует запомнить, что как только наш предел оказывается в степени, это главный знак того, что такое выражение нам поможет решить второй замечательный предел. Сейчас мы подробнее остановимся на примере, который встречается очень часто, советую его изучить детально.
Дан нам предел: lim+(х->?)?((x-2)/(x+1))^(2x+3) ?
Этот предел вида (?/?)^?Второй замечательный предел такой вид не решает, как мы знаем, он решает вид 1^?, для этого нашу функцию необходимо преобразить в другой вид. В знаменателе мы видим х+1, значит, в числителе тоже должно быть х+1
lim+(х->?)?((х+1-3)/(х+1))^(2х+3) ?
Теперь нам необходимо почленно разделить числитель на знаменатель. Тогда же наше основание будет похоже на нашу неопределенность, но там знак минус, который нам мешает. Делаем дробь с тремя этажами и видим нашу неопределённость ?/?. А такую функцию мы уже умеем вычислять. Делим обе части дроби на х, и готово. У нас получился ответ.
Хочу поздравить вас, дорогие читатели, вы научились решать пределы. Надеюсь, моя статья была познавательной, увлекательной и интересной!
