Как найти предел если в знаменателе 0

Сообщения без ответов | Активные темы

Автор	Сообщение
	Заголовок сообщения: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 14:06
Одарённый Зарегистрирован: 31 янв 2015, 18:17 Сообщений: 161 Откуда: Россия Cпасибо сказано: 35 Спасибо получено: 9 раз в 9 сообщениях Очков репутации: 2	При вычислении предела знаменатель превращается в 0, при этом числитель нет, как решать? Lim(((x^3)/(x-2))-(x+3)/(x^3-8)) x [math]to 2[/math]
Вернуться к началу

Nufus	Заголовок сообщения: Re: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 14:19
	Там решение получается – [math]varnothing[/math] + [math]varnothing[/math] Не понимаю, это нужно писать два решения при x 2 с минусом и x 2 с плюсом?
Вернуться к началу

Nufus	Заголовок сообщения: Re: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 14:20
	ой хотела написать – [math]infty[/math] и + [math]infty[/math]
Вернуться к началу

Nufus	Заголовок сообщения: Re: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 14:29
	привела получилась большая дробь в числителе самая большая степень = 5, в знаменателе 3, это нужно поделить на x в степени 5?
Вернуться к началу

mad_math	Заголовок сообщения: Re: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 14:43
	Nufus писал(а): привела получилась большая дробь в числителе самая большая степень = 5, в знаменателе 3, это нужно поделить на x в степени 5? Нет. Получаем, что числитель стремится к числу, отличному от 0, а в знаменателе бесконечно малая функция. Дальше нужно рассматривать односторонние пределы при [math]xto 2+0[/math] и при [math]xto 2-0[/math].
Вернуться к началу

Nufus	Заголовок сообщения: Re: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 14:55
	Ясно спасибо, я так уже решила, но тогда ответ будет при 2+0 [math]infty[/math] , а при 2-0 – [math]infty[/math], правильно или числовые значения писать?
Вернуться к началу

Nufus	Заголовок сообщения: Re: Предел со знаменателем 0 Добавлено: 15 апр 2015, 15:18
Вернуться к началу

Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью “Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов”.
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.

Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .

Пример.

Необходимо вычислить предел

Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .

В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:

То же самое проделаем со знаменателем:

Здесь также старшая степень = 2.

Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.

Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x²:

Ответ: 2/3.

Существуют также пределы с другой неопределенностью – вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.

Пример.

Необходимо вычислить предел .

Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:

Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.

В нашем случае решаем уравнение:

Находим дискриминант:

.

Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.

Теперь находим корни уравнения:

Подставляем:

Числитель разложили.

В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.

Тогда наш предел примет вид:

х + 1 красиво сокращается:

Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:

2*(-1) – 5 = -2 – 5 = -7

Ответ: -7.

Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:

• Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:

  

• Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

  

• За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:

  

• Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):

  

• Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:

  
• Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):

  

На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье “Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел” мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.

Если у вас появились какие то вопросы по вычислению пределов с неопределенностью, то задавайте их в комментариях. Будем рады ответить.

Заметка: Если не хватает времени на учебу, вы можете заказать контрольную работу (http://forstuds.ru/kontrolnaya-rabota-na-zakaz), учтите правда наличие знаний по теме у вас после этого.

Если материал был полезен, вы можете отправить донат или поделиться данным материалом в социальных сетях:

Теоремы о пределах

Пусть

и

, тогда

1)

2)

3)

(при условии, что В ≠ 0)

Пусть х₀
– предел переменной величины х,
то равенство

.
Эта формула выражает очень важное для
вычисления пределов правило: если
функция непрерывна, то при отыскании
ее предела можно вместо аргумента
подставить его предельное значение.

Указанное правило
вычисления пределов нельзя применять
в следующих случаях:

1. Если
   функция при х
   = а не
   определена;

2. Если
   знаменатель дроби при подстановке х
   = а
   оказывается равным нулю;

3. Если
   числитель и знаменатель дроби при
   подстановке х
   = а
   одновременно оказываются равными нулю
   или бесконечности.

В таких случаях
пределы функций находят с помощью
различных искусственных приемов.

Раскрытие
неопределенности вида

С отношением двух
бесконечно больших величин мы встречаемся
в выражениях типа

,
где P_n
(x) и Q_m
(x) –
многочлены. При вычислении предела
необходимо избавиться в числителе либо
в знаменателе от бесконечно большой
величины. Для этого делим числитель и
знаменатель дроби на старшую степень
числителя (либо знаменателя).

Раскрытие
неопределенности

В
некоторых случаях при вычислении
пределов вида

после подстановки а
– предельного значения для х
получается неопределенность 0/ 0, т.е.
f(a)
= 0 и
q(a)
= 0.

Приемы
раскрытия неопределенности вида 0/0:

1. Пусть
   f(х)
   и q(х)
   –
   многочлены. Если f(a)
   = 0 и q(a)
   = 0, то
   число а
   является
   корнем данных многочленов, т.е. в
   разложении многочленов на множители
   будет присутствовать сомножитель (х
   – а). Сократив
   дробь
   на (х
   – а), получаем новое выражение,
   предел которого равен пределу исходного.

1. Если
   f(х)
   и q(х) содержат иррациональность,
   то избавившись от иррациональности,
   нужно перейти к приему 1).

1. В случае, если
   неопределенность 0/0 содержит
   тригонометрические функции, обычно
   для ее раскрытия используется 1^ый
   замечательный предел.

Раскрытие
неопределенности вида

Для
ее раскрытия используется 2^ой
замечательный предел.

Контрольная работа
№1

Вычислите пределы:

Вариант 1
1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 2 1)

;
2)

;

3)

;4)

;
5)

.

Вариант 3 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 4 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 5 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 6 1)

;
2)

;

3)

;
4)
;
5)

.

Вариант 7 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 8 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 9 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вариант 10 1)

;
2)

;

3)

;
4)

;
5)

.

Вопросы для повторения:

1. Дайте определение
   предела функции в точке.

2. Перечислите свойства
   пределов.

3. Дайте определение
   непрерывной функции.

4. Какие пределы
   называются односторонними?

5. Каких видов бывают
   точки разрыва функции?

6. Сформулируйте и
   запишите первый и второй замечательные
   пределы.

7. Объясните
   основной метод раскрытия неопределенности

   ( 0/0 ).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

В предыдущей статье мы рассказывали, как правильно вычислять пределы элементарных функций. Если же мы возьмем более сложные функции, то у нас в расчетах появятся выражения с неопределенным значением. Они и называются неопределенностями.

Выделяют следующие основные виды неопределенностей:

1. Деление 0 на 0 00;
2. Деление одной бесконечности на другую ∞∞;

3.  0, возведенный в нулевую степень 00;

4.  бесконечность, возведенная в нулевую степень ∞0.

Мы перечислили все основные неопределенности. Другие выражения в различных условиях могут принимать конечные или бесконечные значения, следовательно, они не могут считаться неопределенностями.

Раскрытие неопределенностей

Раскрыть неопределенность можно:

1. С помощью упрощения вида функции (использование формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, дополнительное умножение на сопряженные выражения и последующее сокращение и др. );

2. С помощью замечательных пределов;

3. С помощью правила Лопиталя;

4. Заменив одно бесконечно малое выражение на эквивалентное ему выражение (как правило, это действие выполняется с помощью таблицы бесконечно малых выражений).

Всю информацию, представленную выше, можно наглядно представить в виде таблицы. С левой стороны в ней приводится вид неопределенности, с правой – подходящий метод ее раскрытия (нахождения предела). Этой таблицей очень удобно пользоваться при расчетах, связанных с нахождением пределов.

Разберем пару задач. Эти примеры довольно простые: в них ответ получается сразу после подстановки значений и неопределенности при этом не возникает.

Далее мы приведем примеры решений задач на раскрытие неопределенностей с использованием метода преобразования. На практике выполнять это приходится довольно часто.

Важно отметить, что при решении подобных задач подход с использованием домножения используется очень часто, так что советуем запомнить, как именно это делается.

Далее нам нужно рассмотреть случаи пределов на бесконечности от степенных выражений. Если показатели этих выражений будут больше 0, то предел на бесконечности также окажется бесконечным. При этом основное значение имеет самая большая степень, а остальные можно не учитывать.

Например, limx→∞(x4+2×3-6)=limx→∞x4=∞ или limx→∞x4+4×3+21×2-115=limx→∞x45=∞.

Если под знаком предела у нас стоит дробь со степенными выражениями в числителе и знаменателе, то при x→∞ у  нас возникает неопределенность вида ∞∞. Чтобы избавиться от этой неопределенности, нам нужно разделить числитель и знаменатель дроби на xmax(m,n). Приведем пример решения подобной задачи.

Выводы

В случае с пределом отношений возможны три основных варианта:

1. Если степень числителя равна степени знаменателя, то предел будет равен отношению коэффициентов при старших степенях.

2. Если степень числителя будет больше степени знаменателя, то предел будет равен бесконечности.

3. Если степень числителя меньше степени знаменателя, то предел будет равен нулю.

Другие методы раскрытия неопределенностей мы разберем в отдельных статьях.