Как найти предел функции онлайн с решением

Предел по-шагам

Примеры пределов

Что умеет калькулятор пределов?

• Детальное решение для указанных методов:
  • Правило Лопиталя
  • Теорема о двух милиционерах
  • Второй замечательный предел
  • Разложение функции на множители
  • Использование замены
  • Первый замечательный предел
• Типы пределов:
  • От одной переменной
  • На бесконечности
  • Односторонние пределы
• Строит график функции и её предела
• Предлагает другие пределы

Подробнее про Предел функции.

Указанные выше примеры содержат также:

• модуль или абсолютное значение: absolute(x) или |x|
• квадратные корни sqrt(x),
  кубические корни cbrt(x)
• тригонометрические функции:
  синус sin(x), косинус cos(x), тангенс tan(x), котангенс ctan(x)
• показательные функции и экспоненты exp(x)
• обратные тригонометрические функции:
  арксинус asin(x), арккосинус acos(x), арктангенс atan(x),
  арккотангенс acot(x)
• натуральные логарифмы ln(x),
  десятичные логарифмы log(x)
• гиперболические функции:
  гиперболический синус sh(x), гиперболический косинус ch(x),
  гиперболический тангенс и котангенс tanh(x), ctanh(x)
• обратные гиперболические функции:
  гиперболический арксинус asinh(x), гиперболический арккосинус acosh(x),
  гиперболический арктангенс atanh(x), гиперболический арккотангенс acoth(x)
• другие тригонометрические и гиперболические функции:
  секанс sec(x), косеканс csc(x), арксеканс asec(x),
  арккосеканс acsc(x), гиперболический секанс sech(x),
  гиперболический косеканс csch(x), гиперболический арксеканс asech(x),
  гиперболический арккосеканс acsch(x)
• функции округления:
  в меньшую сторону floor(x), в большую сторону ceiling(x)
• знак числа:
  sign(x)
• для теории вероятности:
  функция ошибок erf(x) (интеграл вероятности),
  функция Лапласа laplace(x)
• Факториал от x:
  x! или factorial(x)
• Гамма-функция gamma(x)
• Функция Ламберта LambertW(x)
• Тригонометрические интегралы: Si(x),
  Ci(x),
  Shi(x),
  Chi(x)

Правила ввода

Можно делать следующие операции

2*x

– умножение

3/x

– деление

x^2

– возведение в квадрат

x^3

– возведение в куб

x^5

– возведение в степень

x + 7

– сложение

x – 6

– вычитание

Действительные числа

вводить в виде 7.5, не 7,5

Постоянные

pi

– число Пи

e

– основание натурального логарифма

i

– комплексное число

oo

– символ бесконечности

Что такое предел? Понятие предела

Все без исключения где-то в глубине души понимают, что такое предел, но как только слышат «предел функции» или «предел последовательности», то возникает легкая растерянность.

Не волнуйтесь, это всего лишь от незнаний! Через 3 минуты прочтения ниженаписанного, вы станете грамотнее.

Важно раз и навсегда понять, что имеют в виду, когда говорят о каких-то предельных положениях, значениях, ситуациях и вообще, когда по жизни прибегают к термину предела.

Взрослые люди это понимает интуитивно, а мы разберем на нескольких примерах.

Пример первый

Вспомним строки из песни группы «Чайф»: «… не доводи до предела, до предела не доводи …».

В данном случае по задумке автора предельная ситуацию в отношениях между людьми – это расставание.

Автор как бы предупреждает, что в результате последовательности конкретных действий мы придем к конкретному результату – расставанию.

Пример второй

Наверняка вы слышали фразу о предельно устойчивом положении предмета в пространстве.

Вы сами можете без труда смоделировать такую ситуацию с подручными вещами.

Например, слегка наклоните пластиковую бутылку и отпустите её. Она обратно встанет на днище.

Но есть такие предельные наклонные положения, за границами которых она просто упадет.

Опять же предельное положение в данном случае — это нечто конкретное. Важно это понимать.

Можно много приводить примеров использования термина предела: предел человеческих возможностей, предел прочности материала и так далее.

Ну а с беспределами так вообще каждый день сталкиваемся)))

Но сейчас нас интересуют предел последовательности и предел функции в математике.

Предел числовой последовательности в математике

Предел (числовой последовательности) — одно из основных понятий математического анализа. На понятии предельного перехода базируются сотни и сотни теорем, определяющие современную науку.

Сразу конкретный пример для наглядности.

Допустим есть бесконечная последовательность чисел, каждое из которых в два раза меньше предыдущего, начиная с единицы: 1, ½, ¼, …

Так вот предел числовой последовательности (если он существует) – это какое-то конкретное значение.

В процессе деления пополам каждое последующее значение последовательности неограниченно приближается к определенному числу.

Несложно догадаться, что это будет ноль.

Важно!

Когда мы говорим о существовании предела (предельного значения), это не значит, что какой-то член последовательности будет равен этому предельному значению. Он может лишь только стремиться к нему.

Из нашего примера это более чем понятно. Сколько бы раз мы не делили единицу на два, мы никогда не получим ноль. Будет лишь число в два раза меньше предыдущего, но никак не ноль!

Предел функции в математике

В математическом анализе безусловно самое важное – это понятие предела функции.

Не углубляясь в теорию, скажем следующее: предельное значение функции не всегда может принадлежать области значений самой функции.

При изменении аргумента, функция будет стремиться к какому-то значению, но может его не принять никогда.

Например, гипербола 1/x не имеет значения ноль ни в какой точке, но она неограниченно стремится к нулю при стремлении x к бесконечности.

Калькулятор пределов

Нашей целью не является дать вам какие-то теоретические знания, для этого есть куча умных толстых книжек.

Но мы предлагаем вам воспользоваться онлайн калькулятором пределов, с помощью которого сможете сравнить ваше решение с правильным ответом.

Помимо всего, калькулятор выдает пошаговое решение пределов, применяя зачастую правило Лопиталя с использованием дифференцирования числителя и знаменателя непрерывной в точке или на некотором отрезке функции.

Решение пределов

Число A называется пределом функции y=f(x) в точке x₀, если для любой последовательности точек из области определения функции, отличных от x₀, сходящейся к точке x₀(lim x_n = x₀), последовательность соответствующих значений функции сходится к числу A.

• Решение онлайн
• Видеоинструкция
• Оформление Word
• Также решают

Если выбрать вид предела, то подробное решение по шагам будет доступно в MS Word:

1. Не знаю

2. Пределы вида (см. пример).

3. Вычислить предел, используя правило Лопиталя.

4. Пределы простейших иррациональности вида

5. Нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела ,

6. Нахождение пределов, используя свойства второго замечательного предела , ,

Для нахождения предела слева используйте знак -, справа: +. Например, 0-, 1+

Примечание: число “пи” (π) записывается как pi, знак ∞ как infinity

Некоторые виды записи пределов

Например, найти предел запишем как x^3/exp(cos(x)). В качестве предела указываем infinity.

см. также нахождение пределов, используя свойства первого замечательного предела и второго замечательного предела.

Примеры.

Вычислить указанные пределы:

1. = .

2. =

3. . Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=4, то 4 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-4). Получаем

.

4. .

5. = =

6. – не существует, так как -1<cos(x)<1.

7. . Обозначим , причем заметим, что при x→16, y→2. Получим:

.

8. . (Ответ получается непосредственно подстановкой (-∞) вместо x.)

9. . Здесь следует рассмотреть односторонние пределы:

; .

Следовательно, – не существует (так как у функции разные односторонние пределы).

Найти пределы функции, не применяя правило Лопиталя.

а) =

Ответ: 1/5

б)

=

Ответ: 1/6

в) = e-2/2 = e-1

Ответ: 1/e

г)

Так как числитель и знаменатель обратились в нуль при x=1, то 1 – корень обоих многочленов, а значит, каждый из них разлагается на множители, одним из которых будет (x-1).

Найдем корни первого многочлена: x2+2x-3=0

D=2²-4•1•(-3)=16

,

Найдем корни второго многочлена: x²-1=(x-1)(x+1)

Получаем:



Ответ: 2

д)

Ответ: 1/10

Задать свои вопросы или оставить замечания можно внизу страницы в разделе Disqus.
Можно также оставить заявку на помощь в решении своих задач у наших проверенных партнеров (здесь или здесь).

Калькулятор лимита с шагами

онлайн калькулятор пределов поможет вам найти предел функции по отношению к переменной. Это онлайн-инструмент, который помогает вам вычислять значение функции, когда вход приближается к определенному значению.

Калькулятор пределов с шагами показывает пошаговое решение пределов вместе с графиком и расширением ряда. Он использует все предельные правила, такие как сумма, произведение, частное и правило Лопиталя, для расчета точного значения.

Вы можете оценить пределы относительно (text{x, y, z, v, u, t}) и (w) с помощью этого калькулятора пределов.

Это не то. С помощью этого инструмента вы также можете найти,

1. Правый предел (+)
2. Левый предел (-)
3. двусторонний предел

Как работает калькулятор лимитов?

Чтобы оценить предел с помощью этого решателя пределов, выполните следующие шаги.

• Введите функцию в данное поле ввода.
• Выберите соответствующую переменную.
• Введите предельное значение.
• Выберите сторону ограничения. т. е. левое, правое или двустороннее.
• Нажмите кнопку «Рассчитать», чтобы получить результат.
• Используйте кнопку «Сброс», чтобы ввести новые значения, и значок клавиатуры  , чтобы ввести дополнительные значения.

Вы найдете ответ под инструментом. Нажмите «Показать шаги», чтобы просмотреть пошаговое решение.

Что такое предел в исчислении?

Предел функции — это значение, к которому f(x) приближается по мере приближения x к некоторому числу. Пределы можно использовать для определения производных, интегралов и непрерывности, находя предел данной функции. Это написано как:

Если f – функция с действительным знаком, а a – действительное число, то приведенное выше выражение читается как

предел f x, когда x приближается к a, равен L.

Как найти предел? – со ступеньками

Пределы могут применяться в виде чисел, постоянных значений (π, G, k), бесконечности и т. д. Давайте рассмотрим несколько примеров, чтобы узнать, как оценивать пределы.

Пример — правый предел

(lim _{xto :2^+}frac{left(x^2+2right)}{left(x-1right)})

Решение:

Правый предел – это предел функции по мере ее приближения с правой стороны.

Шаг 1: Примените ограничение x➜2 к приведенной выше функции. Поместите предельное значение вместо x.

(lim :_{xto 2^+}frac{left(x^2+2right)}{left(x-1right)})

(=frac{left(2^2+2right)}{left(2-1right)})

Шаг 2: Решите уравнение, чтобы получить результат.

(=frac{left(4+2right)}{left(2-1right)} =frac{6}{1} =6 )

Шаг 3: Запишите выражение с его ответом.

(lim :_{xto ::2^+}frac{left(x^2+2right)}{left(x-1right)}=6)

График

Пример — левосторонний предел

(lim _{xto 3^-}left(frac{x^2-3x+4}{5-3x}right))

Решение:

Левый предел означает предел функции по мере ее приближения с левой стороны.

Шаг 1: Поместите предельное значение в функцию.

(lim _{xto 3^-}left(frac{x^2-3x+4}{5-3x}right))

(=frac{left(3^2-3left(3right)+4right)}{left(5-3left(3right)right)})

Шаг 2: Решите уравнение дальше.

(=frac{left(9-9+4right)}{left(5-9right)})

(=frac{left(0+4right)}{left(-4right)} =frac{4}{-4} =-1 )

Шаг 3: Запишите функцию, как написано ниже.

(lim :_{xto :3^-}left(frac{x^2-3x+4}{5-3x}right)=-1)

График

Пример — двусторонний лимит

( lim _{xto 5}left(cos^3left(xright)cdot sinleft(xright)right) )

Решение:

Двусторонний предел существует, если предел, идущий с обоих направлений (положительного и отрицательного), одинаков. Это то же самое, что лимит.

Шаг 1: Подставьте значение limit в функцию.

(lim _{xto 5}left(cos^3left(xright)cdot sinleft(xright)right))

(=cos^3left(5right)cdot :sinleft(5right))

Шаг 2: Упростите уравнение, как мы это делали в предыдущих примерах.

( lim _{xto 5}left(cos^3left(xright)cdot sinleft(xright)right) )

( =cos^3left(5right):sinleft(5right))

Шаг 3: Приведенное выше уравнение можно рассматривать как окончательный ответ. Однако, если вы хотите решить его дальше, решите тригонометрические значения в уравнении.

(=frac{1141}{50000}cdot :-frac{23973}{25000} =-frac{10941}{500000} )
(lim ::_{xto ::5}left(cos^3left(xright)cdot ::sinleft(xright)right))
(=-0.021882 )

График

Часто задаваемые вопросы

Есть ли у sin x предел?

Грех x не имеет предела. Это связано с тем, что по мере приближения x к бесконечности значение y колеблется между 1 и −1.

Каков предел e до бесконечности?

Предел e до бесконечности (∞) равен e.

Каков предел, когда e^x приближается к 0?

Предел, когда e^x приближается к 0, равен 1.

Каков предел, когда x приближается к бесконечности ln(x)?

Предел ln(x) при стремлении x к бесконечности равен +∞. Предел этого натурального логарифма может быть доказан доведением до абсурда.

• Если x >1ln(x) > 0, предел должен быть положительным.
• Поскольку ln(x2) − ln(x1) = ln(x2/x1). Если x2>x1, разность положительна, поэтому ln(x) всегда возрастает.
• Если lim x→∞ ln(x) = M ∈ R, мы имеем ln(x) < M ⇒ x < eM, но x→∞, поэтому M не может находиться в R, и предел должен быть +∞.