Как найти предел функции с дробью

6.1.1. Вычисление предела дробно – рациональной функции при

Пусть и – многочлены соответственно степеней и .

Выражение при может не представлять собой неопределённости или быть отношением двух бесконечно малых. При вычислении могут представляться следующие случаи.

А. Выражение не представляет собой неопределённости, если – не является корнем знаменателя, то есть . В этом случае используют теорему об арифметических действиях над функциями, имеющими предел в точке:

Б. Не представляет никакого труда вычисление предела и в случае, если – корень знаменателя, но не является корнем числителя, то есть , . В этом случае отношение При является бесконечно большой функцией, поэтому .

В. Если же является и корнем числителя и корнем знаменателя: , , то выражение При представляет собой неопределённость типа . В этом случае в числителе и в знаменателе можно выделить общий множитель наибольшей степени и сократить на него. Выделить такой множитель можно либо с помощью деления многочленов на «в столбик», либо путём группировки слагаемых. После сокращения на приходим либо к случаю А, либо к случаю Б.

Пример 1. Вычислить .

Решение. Число не является корнем знаменателя: (случай А), поэтому

.

Пример 2. Вычислить

Решение. Здесь ситуация такая же: число 2 не является корнем знаменателя (хотя и является корнем числителя).

Пример 3. Вычислить

Решение. В данном случае число является корнем знаменателя, но не является корнем числителя (случай Б)

Пример 4. Вычислить

Решение. В этом случае является корнем и числителя, и знаменателя, а значит выражение представляет собой неопределённость . В знаменателе следует выделить множетель . Возможно этот множитель будет входить в некоторой степени (если корни кратные). В числителе выделить такой множитель несложно:

Для того чтобы выделить такой множитель в знаменателе удобно разделить знаменатель на “в столбик”. Такое деление возможно без остатка по следствию из теоремы Безу. Действительно:

Теперь знаменатель можно представить как произведение:

Окончательно:

6.1.2 Вычисление предела дробно – рациональной функции при

Пусть при дробно-рациональная функция представляет собой неопределённость типа . Тогда при вычислении полезно учитывать, что при

Поэтому

Пример 6.

;

Пример 7.

;

Пример 8.

.

Если многочлены в числителе и знаменателе не представлены в стандартном виде, нужно внимательно отнестись к определению старшей степени. Например, выражение является многочленом третьей, а не четвёртой степени.

< Предыдущая		Следующая >

Вычисление пределов. Пределы с неопределенностью

Прежде чем рассказать о вычислении пределов с неопределенностью, хочется верить, что у вас уже есть понимание того, что такое предел и как вычислить элементарные пределы. Если такого понимания нет, то сначала прочитайте статью “Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов”.
Теперь перейдем к рассмотрению пределов с неопределенностью.

Существует группа пределов, когда x , а функция представляет собой дробь, подставив в которую значение х = получим неопределенность вида .

Необходимо вычислить предел

Воспользуемся нашим правилом №1 и подставим в функцию. Как видно мы получаем неопределенность .

В числителе находим х в старшей степени, которая в нашем случае = 2:

То же самое проделаем со знаменателем:

Здесь также старшая степень = 2.

Далее надо из двух найденных степеней выбрать самую старшую. В нашем случае степень числителя и знаменателя совпадают и =2.

Итак, для раскрытия неопределенности нам потребуется разделить числитель и знаменатель на х в старшей степени, т.е. на x 2 :

Существуют также пределы с другой неопределенностью – вида . Отличие от предыдущего случая лишь в том, что х стремится уже не к , а к конечному числу.

Необходимо вычислить предел .

Снова воспользуемся правилом №1 и подставим в место х число -1:

Мы получили неопределенность , для раскрытия которой необходимо разложить числитель и знаменатель на множители, для чего в свою очередь обычно решается квадратное уравнение или используются формулы сокращенного умножения.

В нашем случае решаем уравнение:

.

Если корень не извлекается целый вероятней всего D вычислен неправильно.

Теперь находим корни уравнения:

В знаменателе у нас х + 1, что итак является простейшим множителем.

Тогда наш предел примет вид:

х + 1 красиво сокращается:

Теперь подставим вместо х значение -1 в функцию и получаем:

Рассмотрим основные положения, применяемые при решении различного рода задач с пределами:

Предел суммы 2-х или более функций равен сумме пределов этих функций:

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

За знак предела можно выносить постоянный коэффициент:

Предел произведения 2-х и более функций равен произведению пределов этих функций ( последние должны существовать):

Предел отношения 2-х функций равен отношению пределов этих функций (в том случае, если предел знаменателя 0:

Степень функции, находящейся под знаком предела, применима к самому пределу этой функции (степень должна быть действительным числом):

На этом с вычислением пределов с неопределенностью всё. Еще в статье “Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел” мы отдельно рассматриваем интересную группу пределов. Статья вставит еще один блок для решения большинства пределов, встречающихся не просторах обучения.

Решение пределов с дробями из многочленов

Здесь мы рассмотрим примеры и методы решения пределов функций, составленных из отношений многочленов. Это дроби из многочленов и разности дробей. Обзор и обоснование методов решения таких пределов изложены в разделе Раскрытие неопределенностей с дробями.

Методы решения пределов с дробями из многочленов

1. Рассмотрим предел функции, которая является отношением многочленов:
, где
(1) ,
и – многочлены степеней m и n , соответственно:
;
.

1.1. Пусть есть бесконечность:
.
Тогда возникает неопределенность вида . Для ее раскрытия, нужно числитель и знаменатель дроби разделить на x s , где s – наибольшее из чисел m и n . Примеры ⇓

1.2. Пусть есть конечное число. Найдем значение знаменателя дроби, подставив :
.
1.2.1. Если , то неопределенности нет. Функция определена и непрерывна при . Значение предела равно значению функции в точке :
. Пример ⇓

1.2.2. Если знаменатель равен нулю, а числитель нет: ,
то неопределенность также отсутствует. Предел равен бесконечности:
. Пример ⇓

1.2.3. Пусть теперь и числитель, и знаменатель равны нулю:
.
В этом случае у нас возникает неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, делим числитель и знаменатель на . Деление можно выполнять либо уголком, либо в уме, приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях переменной x . Примеры ⇓

2. Теперь рассмотрим пределы от суммы или разности отношений многочленов. В этом случае, может возникнуть неопределенность вида бесконечность плюс-минус бесконечность: . Для ее раскрытия, нужно привести дроби к общему знаменателю. В результате получим предел от функции вида (1), методы решения которого мы уже рассмотрели. Пример ⇓

Примеры решений

Все примеры Далее мы приводим подробные решения пределов дробей из многочленов.
⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓ ⇓

Пределы при x стремящемся к бесконечности

Пример 1

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов при x стремящемся к бесконечности:
.

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
На основании свойств степенной функции, при . Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Пример 2

Все примеры ⇑ Найти предел функции, которая является отношением многочленов:
.

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применяя арифметические свойства предела функции, находим:
.

Пример 3

Разделим числитель и знаменатель дроби на . При имеем:
.
Применим арифметические свойства предела функции к числителю и знаменателю:
;
.
Применим свойства бесконечно малых и бесконечно больших функций:
.

Мы получили правильную величину предела: . Но бесконечно удаленная точка может включать в себя два частных случая: и . Как , так и являются . Если и, для достаточно больших |x| , , то . Если, для достаточно больших |x| , то .

Выясним, имеет ли наш предел определенный знак? Для этого преобразуем знаменатель и переведем бесконечно большую часть в числитель:
;
.
Поскольку , то . Тогда

.

Пределы в конечной точке

Пример 4. Непрерывные функции

Все примеры ⇑ Найти пределы функции

a) при ; б) при .

а) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Поскольку знаменатель не обращается в нуль, то функция непрерывна в точке . Поэтому предел функции равен ее значению при :
.

б) Найдем значение знаменателя в точке :
.
Здесь также знаменатель не обращается в нуль. Функция непрерывна. Ее предел при равен значению при :
.

Пример 5. Бесконечно большие функции

Все примеры ⇑ Задана функция в виде отношения многочленов:
.
Найти односторонние пределы:
а) ; б) .

Найдем значение знаменателя дроби в точке :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной при . Выясним, есть ли неопределенность вида 0/0 ? Для этого найдем значение числителя в этой точке:
.
Числитель не равен нулю. Поэтому неопределенности вида 0/0 нет. Предел при равен бесконечности:
.

Но нам нужно найти односторонние пределы. Для этого выделим из многочлена в знаменателе множитель . То есть представим знаменатель в следующем виде:
.
Раскрываем скобки:

.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
;
.

Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не обращается в нуль. При , имеем:
.
Тогда
;
при .
а) Подставим :
.
б) Подставим :
.

Примечание.
Если бы знаменатель дроби не равнялся нулю при , то функция была бы непрерывной в точке . В этом случае, пределы слева и справа были бы равны:
.

Неопределенность вида 0/0

Пример 6

Найдем значение знаменателя дроби при :

.
Знаменатель дроби равен нулю. Поэтому функция не определена и, следовательно, не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя при :
.
Числитель дроби также равен нулю. Мы имеем неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Ищем разложение знаменателя в виде:
.
Раскрываем скобки и группируем члены с одинаковыми степенями x :

.
Сравнивая левую и правую части, находим:
.
Отсюда ,
.

На практике, нет необходимости выписывать неопределенные коэффициенты разложения, а затем решать систему уравнений. Подобные вычисления легко проводить в уме. Для числителя имеем:
.

Пример 7

Все примеры ⇑ Найти предел отношения многочленов:
.

Найдем значение знаменателя при :
.
Знаменатель равен нулю. Поэтому функция не является непрерывной в точке .

Найдем значение числителя дроби при :
.
Числитель дроби также равен нулю. У нас неопределенность вида 0/0 . Для ее раскрытия, выделим в многочленах множитель .

Вычисления делаем в уме:
,
.
Делим числитель и знаменатель на . Тогда при имеем:
.

Снова находим значения числителя и знаменателя при : ;
.
Опять неопределенность 0/0 . Снова выделяем множитель :
;
.

При имеем:
.
Функция непрерывна в точке , поскольку знаменатель дроби не равен нулю при . Поскольку функции и отличаются только в одной точке ( определена и непрерывна при , а не определена), то их пределы в любой точке равны (см. «Влияние значений функции в конечном числе точек на величину предела»). Находим искомый предел:
.

Пример 8. Неопределенность вида ∞±∞

Все примеры ⇑ Найти предел разности дробей из многочленов:
.

При имеем:
;
;
;
.
Поскольку знаменатель каждой из дробей равен нулю, а числители отличны от нуля, то при , каждая из дробей стремится к бесконечности:
при .
То есть мы имеем неопределенность вида “бесконечность минус бесконечность”.

Для раскрытия неопределенности, приводим дроби к общему знаменателю. Чтобы упростить выкладки, предварительно выделим в знаменателях дробей множитель .
;
;

;
.

Таким образом, задача свелась к вычислению предела от дроби многочленов:
.
Применяем описанные выше методы.

Находим значения числителя и знаменателя при :
;
.
Поскольку числитель и знаменатель равны нулю, то это неопределенность вида 0/0 . В знаменателе множитель уже выделен. Выделим этот множитель в числителе:
.
Находим предел:

.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 23-01-2019

Пределы с иррациональностями. Первая часть.

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

1. Неопределённость вида $frac<0><0>$. Пример: $lim_frac<sqrt<7-x>-2><4-sqrt<13+x>>$.
2. Неопределенность вида $frac<infty><infty>$. Пример: $lim_frac<9cdot sqrt[3]<5x^4-x^2+1>+7cdotsqrt[4]><11cdot sqrt[6]+4x-10>$.
3. Неопределенность вида $infty-infty$. Пример: $lim_left( sqrt-sqrt right)$.

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $frac<0><0>$.

Раскрытие неопределенности $frac<0><0>$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое “сопряжённое” выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин “сопряжённое выражение”, использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $sqrt<7-x>-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое “сопряжённое выражение”. Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $sqrt<7-x>-2$ на $sqrt<7-x>+2$:

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt<7-x>$, $b=2$:

Как видите, если умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $sqrt<7-x>+2$ и будет сопряжённым к выражению $sqrt<7-x>-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $sqrt<7-x>+2$, ибо это изменит дробь $frac<sqrt<7-x>-2>$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

Теперь вспомним, что $(sqrt<7-x>-2)(sqrt<7-x>+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

Неопределенность $frac<0><0>$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:

Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.

Запишем пределы числителя и знаменателя:

Мы имеем дело с неопределённостью вида $frac<0><0>$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $frac<3x^2-5x-2><sqrt-sqrt<7x^2-19>>$ на выражение $sqrt+sqrt<7x^2-19>$, сопряжённое к знаменателю:

Вновь, как и в примере №1, нужно использовать формулу №1 для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt$, $b=sqrt<7x^2-19>$, получим такое выражение для знаменателя:

Вернёмся к нашему пределу:

В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать формулу №5. Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:

Подставляя $x_1=-frac<1><3>$, $x_2=2$ в формулу №5, будем иметь:

$$ 3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left( -frac<1><3>right)right)(x-2)=3cdotleft(x+frac<1><3>right)(x-2)=left(3cdot x+3cdotfrac<1><3>right)(x-2) =(3x+1)(x-2). $$

Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся формулой №1, подставив в неё $a=x$, $b=2$:

Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

Сокращая на скобку $x-2$ получим:

Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:

В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.

Найдём пределы числителя и знаменателя:

Имеем неопределённость вида $frac<0><0>$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $sqrt+sqrt$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $sqrt-sqrt<5x-9>$, сопряжённое знаменателю.

Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:

Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:

Осталось разложить на множители выражения $-x^2+x+20$ и $x^2-8x+15$. Начнем с выражения $-x^2+x+20$. Чтобы разложить его на множители требуется решить уравнение $-x^2+x+20=0$, а затем воспользоваться формулой №5:

Для выражения $x^2-8x+15$ получим:

Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.

[spoiler title=”источники:”]

http://1cov-edu.ru/mat-analiz/reshenie-predelov/drobi-iz-mnogochlenov/

http://math1.ru/education/limits/limitirraz.html

[/spoiler]

Простое объяснение принципов решения пределов 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

В данной публикации мы рассмотрим одно из главных понятий математического анализа – предел функции: его определение, а также различные способы решения с практическими примерами.

Определение предела функции

Предел функции – величина, к которой стремится значение данной функции при стремлении ее аргумента к предельной для области определения точке.

Запись предела:

• предел обозначается значком lim;
• под ним добавляется, к какому значению стремится аргумент (переменная) функции. Обычно, это x, но не обязательно, например: “x→1″;
• затем справа дописывается сама функция, например:
  

Таким образом, финальная запись предела выглядит выглядит так (в нашем случае):

Читается как “предел функции при икс, стремящемся к единице”.

x→1 – это значит, что “икс” последовательно принимает значения, которые бесконечно приближаются к единице, но никогда с ней не совпадут (ее не достигнут).

Решение пределов

С заданным числом

Давайте решим рассмотренный выше предел. Для этого просто подставляем единицу в функцию (т.к. x→1):

Таким образом, чтобы решить предел, сперва пробуем просто подставить заданное число в функцию под ним (если икс стремится к конкретному числу).

С бесконечностью

В данному случае аргумент функции бесконечно возрастает, то есть “икс” стремится к бесконечности (∞). Например:

Если x→∞, то заданная функция стремится к минус бесконечности (-∞), т.к.:

• 3 – 1 = 2
• 3 – 10 = -7
• 3 – 100 = -97
• 3 – 1000 – 997 и т.д.

Другой более сложный пример

Для того, чтобы решить этот предел, также, просто увеличиваем значения x и смотрим на “поведение” функции при этом.

• При x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• При x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• При x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Таким образом при “икс”, стремящемся к бесконечности, функция x² + 3x – 6 неограниченно растет.

С неопределенностью (икс стремится к бесконечности)

В данном случае речь идет про пределы, когда функция – это дробь, числитель и знаменатель которой представляют собой многочлены. При этом “икс” стремится к бесконечности.

Пример: давайте вычислим предел ниже.

Решение

Выражения и в числителе, и а знаменателе стремятся к бесконечности. Можно предположить, что в таком случае решение будет таким:

Однако не все так просто. Чтобы решить предел нам нужно сделать следующее:

1. Находим x в старшей степени для числителя (в нашем случае – это два).

2. Аналогичным образом определяем x в старшей степени для знаменателя (тоже равняется двум).

3. Теперь делим и числитель, и знаменатель на x в старшей степени. В нашем случае в обоих случаях – во второй, но если бы они были разные, следовало бы взять наибольшую степень.

4. В получившемся результате все дроби стремятся к нулю, следовательно ответ равен 1/2.

С неопределенностью (икс стремится к конкретному числу)

И в числителе, и в знаменателе представлены многочлены, однако, “икс” стремится к конкретному числу, а не к бесконечности.

В данном случае условно закрываем глаза на то, что в знаменателе стоит ноль.

Пример: Найдем предел функции ниже.

Решение

1. Для начала подставим в функцию число 1, к которому стремится “икс”. Получаем неопределенность рассматриваемого нами вида.

2. Далее раскладываем числитель и знаменатель на множители. Для этого можно воспользоваться формулами сокращенного умножения, если они подходят, или решить квадратное уравнение.

В нашем случаем корнями выражения в числителе (2x² – 5x + 3 = 0) являются числа 1 и 1,5. Следовательно его можно представить в виде: 2(x-1)(x-1,5).

Знаменатель (x – 1) изначально является простым.

3. Получаем вот такой видоизмененный предел:

4. Дробь можно сократить на (x – 1):

5. Остается только подставить число 1 в выражение, получившееся под пределом:

Пределы дробно-рациональных функций с квадратичными выражениями

В случае
неопределённости
следует разложить квадратичное выражение
на множители. Для этого можно

а)
воспользоваться тождеством
,
гдеи– корни уравнения,
найденные по формуле;

б)
учесть, что, когда
,
то– один из корней, и другой кореньможно найти по теореме Виета, например,
из равенства,
где;

в)
применить равенство
,
где
.

Пример 7.

(решили уравнения
ии применили 1-й способ).

Пример 8.

.

В уравнении
свободный коэффициент –10 разделили на
коэффициент, стоящий перед(число 4). Результат разделили на известный
корень 2. Получили 2-й корень.

Затем в уравнении
нашли 2-й корень из условия,
где 2 – известный корень, а 6 – свободный
коэффициент (Теорема Виета).

Пример 9.

.

Скобка
получена как,
а остальные найдены 3-м способом.

ПР6. Раскройте
неопределённость
,
разложив дробь на множители:

1) а)
; б); в);
г);

2) а)
; б); в);
г);

3) а)
; б); в);
г);

4) а)
; б); в);
г).

Пример 10.

.

Предел дробно-рациональной функции в бесконечности

Пусть дана функция
(см. стр. 16) и надо найти.
Оказывается, прився дробь ведёт себя так, как отношение
старших степеней:

.

Тогда
.
Обозначим.
Возможны 3 случая:

1)
,
тогда,
где

();

2)
,
тогда,
где

();

3)
,
тогда.

Таким образом,
предел равен

а) бесконечности,
если степень числителя больше, чем
степень знаменателя;

б) 0 в противоположном
случае;

в) отношению
старших коэффициентов, если степени
равны.

ПР7.
Найдите пределы

1) а)
; б); в); г); д);

2) а)
; б); в); г);
д);

3) а)
; б); в); г);
д);

ПР8.
Найдите пределы

1) а)
; б); в);

2) а)
; б); в);

3) а)
; б); в).

Пример 11. Оставив
в числителе и в знаменателе старшие
степени, находим

а)
;

б)
;

в)
.

Пример 12.
Оставив старшие степени, видим, что

а)
;

б)
;

в)
.

Обратите внимание,
что знак бесконечности (если таковая
получается) в ответе не указывается.
Тем не менее, если обе старшие степени
– чётные (или если обе нечётные), очевидно,
их отношение всегда положительно, что
можно учесть.

ПР9. Найдите
пределы функций
в точках,,,,,
а также при.

.

Пределы иррациональных функций

Если функция
содержит корень, подставляем, как обычно,
предельную точку. Сложности связаны с
неопределённостью
,
когда приходится умножать числитель и
знаменатель насопряжённое
выражение.

Выражения сопряжены
относительно
разности квадратов,
если их произведение превращается в
разность квадратов по формуле
.

Примеры сопряжённых выражений

а)
сопряжено с,
при этом;

б)
сопряжено с,
и тогда;

в)
сопряжено с,
поскольку

,

причём под корнем
всё остаётся без изменений;

г)
сопряжено с:

.

ПР10. Найдите
пределы иррациональных функций простой
подстановкой:

1) а)
; б); в); г);

2) а)
; б); в); г);

3) а)
; б); в); г);

4) а)
; б); в); г).

Пример 13.
Подставив указанные точки, находим
значения

а)
;

б)

.

ПР11. Раскройте
неопределённость
,
умножив числитель и знаменатель дроби
на подходящее сопряжённое выражение и
сократив одинаковые скобки:

1) а)
; б); в); г);

2) а)
; б); в); г);

3) а)
; б); в); г);

4) а)
; б); в);

г)
; д); е).

Пример 14.

.

Пример 15.

.

Пример 16.

.

ПР12. Умножьте
числитель и знаменатель на выражение,
сопряжённое к числителю, а затем – на
выражение, сопряжённое к знаменателю.
Сократив скобки, раскройте неопределённость
:

1) а)
; б); в); г);

2) а)
; б); в); г);

3) а)
; б); в);

4) а)
; б); в).

Пример 17.
Умножим, чтобы получить разность
квадратов:

.

Пример 18.
Так же, как в примере 17,

.

Иррациональные
пределы при
в случае неопределённостинаходят подобно рациональным, при помощи
старших степеней, а в случае неопределённостисводят её кпри помощи сопряжённого выражения.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #