Как найти предел функции с корнями

Уважаемые студенты!
Заказать решение задач по 200+ предметам можно здесь всего за 10 минут.

Пределы с корнями: примеры решений

Среди задач на решение пределов попадаются пределы с корнями. В результате подстановки значения $ x $ в функцию получаются неопределенности трёх видов:

1. $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $ 
2. $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $
3. $ bigg [infty-infty bigg ] $

Перед тем, как приступить к решению определите тип своей задачи

Тип 1 $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Для того, чтобы раскрывать такие неопределенности необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению содержащему корень.

Пример 1

Найти предел с корнем $$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} $$

Решение

Подставляем $ x to 4 $ в подпределельную функцию: $$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} = frac{0}{0} = $$ Получаем неопределенность $ [frac{0}{0}] $. Домножим числитель и знаменатель на выражение сопряженное к нему, так как он содержит корень: $ 4+sqrt{x+12} $ $$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{(4-sqrt{x+12})(4+sqrt{x+12})} = $$ Используя формулу разности квадратов $ (a-b)(a+b) = a^2-b^2 $ приведем предел к следующему виду: $$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{16-(x+12)} = $$ Раскрываем скобки в знаменателе и упрощаем его: $$ = lim limits_{x to 4} frac{(x-4)(4+sqrt{x+12})}{4-x} = $$ Сокращам функцию в пределе на $ x-4 $, имеем: $$ = -lim limits_{x to 4} (4+sqrt{x+12}) = -(4+sqrt{4+12}) = -8 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ lim limits_{x to 4} frac{x-4}{4-sqrt{x+12}} = -8 $$

Тип 2 $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ]  $

Пределы с корнем такого типа, когда $ x to infty $ вычислять нужно по-другому в отличии от предыдущего случая. Необходимо определить старшие степени выражений числителя и знаменателя. Затем вынести самую старшую из двух степеней за скобки и сократить.

Пример 2

Решить предел с корнем $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2+5x+2}{sqrt{x+6}} $$

Решение

Вставляем $ x to infty $ в предел и получаем $ [frac{infty}{infty}] $. Определяем, что в числителе старшая степень это $ x^2 $, а в знаменателе $ sqrt{x} $. Выносим их за скобки:  $$ lim limits_{x to infty} frac{x^2(1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2})}{x^2(sqrt{frac{x}{x^4}+frac{6}{x^4})}} = $$ Теперь выполняем сокращение: $$ = lim limits_{x to infty} frac{1+frac{5x}{x^2}+frac{2}{x^2}}{sqrt{frac{1}{x^3}+frac{6}{x^4}}} = $$ Снова подставляем $ x to infty $ в предел, имеем: $$ = frac{1 + 0 + 0}{ sqrt{0 + 0}} = lbrack frac{1}{0} rbrack = infty $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2+5x+2}{sqrt{x+6}} = infty $$

Тип 3 $ bigg [infty-infty bigg ] $

Этот вид пределов часто попадается в дополнительных заданиях на экзамене. Ведь часто студенты не правильно вычисляют пределы такого типа. Как решать пределы с корнями данного вида? Всё просто. Необходимо умножить и разделить функцию, стоящую в пределе, на выражение сопряженное к ней.

Пример 3

Вычислить предел корня $$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x $$

Решение

При $ x to infty $ в пределе видим: $$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x = [infty – infty] = $$ После домножения и разделения на сопряженное имеем предел: $$ lim limits_{x to infty} frac{(sqrt{x^2-3x}-x)(sqrt{x^2-3x}+x)}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$ Упростим числитель, используя формулу разности квадратов: $ (a-b)(a+b)=a^2-b^2 $ $$ = lim limits_{x to infty} frac{(x^2-3x)-x^2}{sqrt{x^2-3x}+x} =  $$ После раскрытия скобок и упрощения получаем: $$ lim limits_{x to infty} frac{-3x}{sqrt{x^2-3x}+x} = $$ Далее выносим $ x $ за скобки и сокращаем: $$ = lim limits_{x to infty} frac{-3x}{x(sqrt{1-frac{3}{x}}+1)} = lim limits_{x to infty} frac{-3}{sqrt{1-frac{3}{x}}+1} = $$ Снова подставляем $ x to infty $ в предел и вычисляем его: $$ = frac{-3}{sqrt{1-0}+1} = -frac{3}{2} $$

Ответ

$$ lim limits_{x to infty} sqrt{x^2-3x}-x = -frac{3}{2} $$

Простое объяснение принципов решения пределов с корнями и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Содержание:

1. Примеры с решением
2. Раскрытие неопределенностей вида

При вычислении предела вначале проверяют принадлежит ли точка области определения. Если то предел равен значению функции в точке

(это объясняется непрерывностью элементарной функции на своей области определения)

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Примеры с решением

Пример 1:

Вычислить:

a)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Правило сохраняет силу, если Запись например, означает, что когда абсолютное значение

неограниченно возрастает, функция стремится к нулю (это ясно из графика функции).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Пример 2:

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Пример 3:

Найти

Решение:

При подстановке в значение функции вместосимвола бесконечности, результат может оказаться не конечным числом. Например:

Что считать ответом в этом случае?

При вычислении подобных пределов пользуются одним из следующих правил (в приводимых ниже формулах с означает число):

Приведенные формулы следуют из соображений здравого смысла. Например, первая из приведенных формул по существу утверждает, что если одна из функций становится очень большой и положительной, а другая ограничена, то сумма их становится очень большой и положительной.

Те же соображения приводят и к формальному доказательству: надо только вместо «очень больших» значений говорить о «больших любого заданного числа».

Применим эти правила для вычисления пределов, которые были оставлены без вычисления:

Соображениями здравого смысла руководствуются и при вычислении пределов от функций при Надо проследить ио графику функции куда стремится значение функции, если аргумент стремится к

Пример 4:

Вычислить:

а)

б)

в)

Решение:

а) При знаменатель неограниченно растет, т.е. является величиной бесконечно большой, а обратная величина бесконечно малой. Произведение бесконечно малой на ограниченную величину (постоянная — частный случай ограниченной еличины) есть величина бесконечно малая, и предел ее при равен нулю. Следовательно,

Этот же ответ получается при применении последнего из приведенных выше правил

б)

в)

Приведенные рассуждения не являются строгими. Однако они вполне достаточны для приложений и интуитивно понятны . Как уже было отмечено ранее, выражение при можно считать равным

Выражение взято в скобки, чтобы подчеркнуть условность записи.

Пример 5:

Найти:

а)

б)

в)

Решение:

а)

б)

в)

Имеются случаи, не охватываемые правилами из предыдущего параграфа. Не существует «общей формулы» для выражения . В самом деле, пусть где —целое число. Частное этих функций. при является частным бесконечно малых. Оно может стремиться к нулю (при), или (при ), или (при ). Поэтому выражение и подобные ему называются неопределенностями. К неопределенностям относятся следующие выражения:

Как для случая неопределенности вида встретившейся при сравнении бесконечно малых, здесь для раскрытия неопределенности уже недостаточно знать лишь пределы функций и а нужно учесть и закон их изменения. Примеры раскрытия неопределенностей приведены ниже.

Пример 6:

Найти

Решение:

Непосредственной подстановкой вместо аргумента его предельного значения вычислить предел нельзя, поскольку получается неопределенность вида

Разложим числитель и знаменатель на множители, чтобы сократить дробь на общий множитель, стремящийся к нулю. Нужно иметь в виду, что здесь не производится сокращение на нуль, что недопустимо. По определению предела функции аргумент стремится к своему предельному значению, никогда не принимая этого значения (вспомним, что в определении предела по Коши оэтому до перехода к пределу можно произвести сокращение на множитель, стремящийся к нулю. Имеем:

Пример 7:

Найти

Решение:

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю

Разложим квадратный трехчлен в числителе на линейные множители по формуле где и – корни трехчлена. Разложив на множители и знаменатель, сократим на получим

Пример 8:

Найти

Решение:

и

Пример 9:

Найти

Решение:

Пределы числителя и знаменателя при равны нулю. Умножим числитель и знаменатель на сопряженный знаменателю множитель и затем, сократив дробь на получим:

Пример 10:

Найти

Решение:

Когда числитель и знаменатель дроби стремятся к нулю, получается неопределенность вида Желая избавится от иррациональности в знаменателе, преобразуем данное выражение:

Перейдя к пределу, получим

В предыдущих примерах неопределенность вида раскрывалась путем выделения в числителе и знаменателе общего множителя. Однако этот прием «срабатывает» не во всех случаях. Например, в случае предела неясно, как выделить общий множитель. Этот предел можно вычислить с помощью принципа замены эквивалентных. Вычислим этот предел другим способом — сведением к пределу

называемому 300 лет назад первым замечательным пределом. Доказательство равенства нетрудно и опирается оно не приводится.

Заметим, что выражение взято в скобки, поскольку писать нельзя! Скобки в записи подчеркивают ее условность. Равенство означает, что в данном конкретном случае неопределенность раскрыта и значение соответствующего предела равно единице.

Пример 11:

Найти

Решение:

Пример 12:

Найти

Решение:

Пример 13:

Найти

Решение:

При числитель и знаменатель — величины бесконечно большие. Поэтому при непосредственной подстановке символа вместо получаем выражение которое представляет собой неопределенность. Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

Пример 14:

Найти

Решение:

При непосредственной подстановке символа вместо получаем неопределенность вида Для вычисления предела этой функции нужно и числитель и знаменатель разделить на (наивысшую степень аргумента в знаменателе):

(при слагаемые — величины бесконечно малые и, следовательно, их пределы равны нулю).

Пример 14:

Наити

Решение:

Вообще, предел отношения полиномов при равен отношению коэффициентов при старших членах, если степени числителя и знаменателя одинаковы, и равен нулю или бесконечности, если степень числителя соответственно меньше или больше знаменателя.

Пример 15:

Найти

Решение:

Пример 16:

Найти

Решение:

В подобных примерах полезно иметь в виду, что функция где — многочлен степени стремится к бесконечности так же, как и функция Это позволяет выделить высшую степень входящую в данное выражение, и разделить числитель и знаменатель на эту степень В данном примере надо делить на

Неопределенности вида и путем преобразования можно привести к неопределенности вида или которая раскрывается уже известными способами.

Покажем на примерах, как находятся такие пределы.

Пример 17:

Найти

Решение:

Произведем вычитание дробей, получим

Пример 18:

Найти

Решение:

Пример 19:

Найти

Решение:

(сделали замену ).

Пример 20:

Найти

Ответ:

Раскрытие неопределенностей вида

Рассмотрим последовательность где

Может показаться, что неограниченное возрастание показателя степени должно повлечь неограниченное возрастание целочисленной функции Но рост показателя компенсируется тем, что основание стремится к В результате последовательность оказывается возрастающей и ограниченной. А всякая ограниченная и возрастающая последовательность имеет конечный предел. Предел, к торому стремится при обозначается

Обозначением числа и его широким применением во многих вопросах математики мы обязаны Эйлеру. Это число иррационально и с точностью до шестой значащей цифры равно

Функция имеет пределом число не только при целочисленных значениях но и тогда, когда стремится к бесконечности, пробегая числовую прямую непрерывно. Более того, аргументможет принимать как положительные, так и отрицательные значения, лишь бы неограниченно росло по абсолютному значению. Чтобы отмстить это обстоятельство, заменим букву буквой и напишем:

или короче

Этот предел часто используется в математике для раскрытия неопределенности и именуется вторым замечательным пределом

Пример 21:

Найти пределы:

а)

б)

Решение:

а)

б)

Пример 22:

Найти пределы

а)

б)

Решение:

а) При основание степени стремится к единице, а показатель стремится к бесконечности. Следовательно, имеем неопределенность вида Представим основание в виде суммы единицы и некоторой бесконечно малой величины:

тогда

б)

Число во многих случаях выгодно брать за основание логарифмов. Логарифм от с основанием носит название натурального логарифма и обозначается Показательная функция широко используется в науке и называется экспоненциальной. Другое обозначение этой функции –

Неопределенности вида и можно свести к неопределенности вида следующим образом:

Пределы с корнями могут подпадать под случай отношения двух многочленов, когда

и тогда сравниваются старшие степени числителя и знаменателя. Если же при вычислении предела с корнями получается неопределенность, то в этом случае, чаще всего, избавляются от иррациональности, умножая числитель и знаменатель дроби на сопряженное к выражению, содержащему иррациональность.

Пример №1

Задание

Вычислить предел

Решение

Ответ

Пример №2

Задание

Вычислить предел с корнем

Решение

Ответ

Пример №3

Задание

Вычислить предел

Решение

Ответ

Пример №4

Задание

Вычислить предел с корнем

Решение

Ответ

Пример №5

Задание

Вычислить предел

Решение

Ответ

____________________________

Остались вопросы?

Нужен репетитор?

Пишите в Instagram @diplom_tut

____________________________

Пределы с иррациональностями. Первая часть.

Пределы, содержащие иррациональности (или, попросту говоря, корни) крайне популярны у составителей типовых расчётов и контрольных работ по высшей математике. Обычно рассматриваются три группы неопределённостей:

В данной теме мы рассмотрим все три перечисленные выше группы пределов с иррациональностями. Начнём с пределов, содержащих неопределенность вида $frac{0}{0}$.

Раскрытие неопределенности $frac{0}{0}$.

Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:

• Избавляемся от иррациональности, вызвавшей неопределенность, домножая на так называемое “сопряжённое” выражение;
• При необходимости раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
• Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.

Термин “сопряжённое выражение”, использованный выше, будет детально пояснён в примерах. Пока что останавливаться на нём подробно нет резона. Вообще, можно пойти иным путём, без использования сопряжённого выражения. Иногда от иррациональности может избавить удачно подобранная замена. Такие примеры редки в стандартных контрольных работах, поэтому на использование замены рассмотрим лишь один пример №6 (см. вторую часть данной темы).

Нам понадобится несколько формул, которые я запишу ниже:

$$
begin{equation}
a^2-b^2=(a-b)cdot(a+b)
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
a^3-b^3=(a-b)cdot(a^2+ab+b^2)
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
a^3+b^3=(a+b)cdot(a^2-ab+b^2)
end{equation}
$$

$$
begin{equation}
a^4-b^4=(a-b)cdot(a^3+a^2 b+ab^2+b^3)
end{equation}
$$

Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:

$$
begin{equation}
ax^2+bx+c=acdot(x-x_1)cdot(x-x_2)
end{equation}
$$

Формул (1)-(5) вполне хватит для решения стандартных задач, к которым мы сейчас и перейдём.

Пример №1

Найти $lim_{xto 3}frac{sqrt{7-x}-2}{x-3}$.

Решение

Найдём отдельно пределы числителя и знаменателя:

$$
begin{aligned}
& lim_{xto 3}(sqrt{7-x}-2)=sqrt{7-3}-2=sqrt{4}-2=0;\
& lim_{xto 3} (x-3)=3-3=0.
end{aligned}
$$

В заданном пределе мы имеем неопределённость вида $frac{0}{0}$. Раскрыть эту неопределённость нам мешает разность $sqrt{7-x}-2$. Для того, чтобы избавляться от подобных иррациональностей, применяют умножение на так называемое “сопряжённое выражение”. Как действует такое умножение мы сейчас и рассмотрим. Умножим $sqrt{7-x}-2$ на $sqrt{7-x}+2$:

$$(sqrt{7-x}-2)(sqrt{7-x}+2)$$

Чтобы раскрыть скобки применим формулу №1, подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt{7-x}$, $b=2$:

$$(sqrt{7-x}-2)(sqrt{7-x}+2)=(sqrt{7-x})^2-2^2=7-x-4=3-x.$$

Как видите, если умножить числитель на $sqrt{7-x}+2$, то корень (т.е. иррациональность) в числителе исчезнет. Вот это выражение $sqrt{7-x}+2$ и будет сопряжённым к выражению $sqrt{7-x}-2$. Однако мы не вправе просто взять и умножить числитель на $sqrt{7-x}+2$, ибо это изменит дробь $frac{sqrt{7-x}-2}{x-3}$, стоящую под пределом. Умножать нужно одовременно и числитель и знаменатель:

$$ lim_{xto 3}frac{sqrt{7-x}-2}{x-3}= left|frac{0}{0}right|=lim_{xto 3}frac{(sqrt{7-x}-2)cdot(sqrt{7-x}+2)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}$$

Теперь вспомним, что $(sqrt{7-x}-2)(sqrt{7-x}+2)=3-x$ и раскроем скобки. А после раскрытия скобок и небольшого преобразования $3-x=-(x-3)$ сократим дробь на $x-3$:

$$ lim_{xto 3}frac{(sqrt{7-x}-2)cdot(sqrt{7-x}+2)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=
lim_{xto 3}frac{3-x}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=\
=lim_{xto 3}frac{-(x-3)}{(x-3)cdot(sqrt{7-x}+2)}=
lim_{xto 3}frac{-1}{sqrt{7-x}+2}
$$

Неопределенность $frac{0}{0}$ исчезла. Сейчас можно легко получить ответ данного примера:

$$ lim_{xto 3}frac{-1}{sqrt{7-x}+2}=frac{-1}{sqrt{7-3}+2}=-frac{1}{sqrt{4}+2}=-frac{1}{4}.$$

Замечу, что сопряжённое выражение может менять свою структуру – в зависимости от того, какую именно иррациональность оно должно убрать. В примерах №4 и №5 (см. вторую часть данной темы) будет использован иной вид сопряжённого выражения.

Ответ: $lim_{xto 3}frac{sqrt{7-x}-2}{x-3}=-frac{1}{4}$.

Пример №2

Найти $lim_{xto 2}frac{3x^2-5x-2}{sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19}}$.

Решение

Запишем пределы числителя и знаменателя:

$$
begin{aligned}
& lim_{xto 2}(sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19})=sqrt{2^2+5}-sqrt{7cdot 2^2-19}=3-3=0;\
& lim_{xto 2}(3x^2-5x-2)=3cdot2^2-5cdot{2}-2=0.
end{aligned}
$$

Мы имеем дело с неопределённостью вида $frac{0}{0}$. Избавимся от иррациональности в знаменателе данной дроби. Для этого доможим и числитель и знаменатель дроби $frac{3x^2-5x-2}{sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19}}$ на выражение $sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19}$, сопряжённое к знаменателю:

$$
lim_{xto 2}frac{3x^2-5x-2}{sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19}}=left|frac{0}{0}right|=
lim_{xto 2}frac{(3x^2-5x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{(sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19})(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}
$$

Вновь, как и в примере №1, нужно использовать формулу №1 для раскрытия скобок. Подставив в правую часть упомянутой формулы $a=sqrt{x^2+5}$, $b=sqrt{7x^2-19}$, получим такое выражение для знаменателя:

$$
left(sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19}right)left(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19}right)=\
=left(sqrt{x^2+5}right)^2-left(sqrt{7x^2-19}right)^2=x^2+5-(7x^2-19)=-6x^2+24=-6cdot(x^2-4)
$$

Вернёмся к нашему пределу:

$$
lim_{xto 2}frac{(3x^2-5x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{(sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19})(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}=
lim_{xto 2}frac{(3x^2-5x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{-6cdot(x^2-4)}=\
=-frac{1}{6}cdot lim_{xto 2}frac{(3x^2-5x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{x^2-4}
$$

В примере №1 практически сразу после домножения на сопряжённое выражение произошло сокращение дроби. Здесь перед сокращением придётся разложить на множители выражения $3x^2-5x-2$ и $x^2-4$, а уж потом перейти к сокращению. Чтобы разложить на множители выражение $3x^2-5x-2$ нужно использовать формулу №5. Для начала решим квадратное уравнение $3x^2-5x-2=0$:

$$
3x^2-5x-2=0\
begin{aligned}
& D=(-5)^2-4cdot3cdot(-2)=25+24=49;\
& x_1=frac{-(-5)-sqrt{49}}{2cdot3}=frac{5-7}{6}=-frac{2}{6}=-frac{1}{3};\
& x_2=frac{-(-5)+sqrt{49}}{2cdot3}=frac{5+7}{6}=frac{12}{6}=2.
end{aligned}
$$

Подставляя $x_1=-frac{1}{3}$, $x_2=2$ в формулу №5, будем иметь:

$$
3x^2-5x-2=3cdotleft(x-left( -frac{1}{3}right)right)(x-2)=3cdotleft(x+frac{1}{3}right)(x-2)=left(3cdot x+3cdotfrac{1}{3}right)(x-2)
=(3x+1)(x-2).
$$

Теперь настал черёд разложить на множители выражение $x^2-4$. Воспользуемся формулой №1, подставив в неё $a=x$, $b=2$:

$$
x^2-4=x^2-2^2=(x-2)(x+2)
$$

Используем полученные результаты. Так как $x^2-4=(x-2)(x+2)$ и $3x^2-5x-2=(3x+1)(x-2)$, то:

$$
-frac{1}{6}cdot lim_{xto 2}frac{(3x^2-5x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{x^2-4}
=-frac{1}{6}cdot lim_{xto 2}frac{(3x+1)(x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)}
$$

Сокращая на скобку $x-2$ получим:

$$
-frac{1}{6}cdot lim_{xto 2}frac{(3x+1)(x-2)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{(x-2)(x+2)}
=-frac{1}{6}cdot lim_{xto 2}frac{(3x+1)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{x+2}.
$$

Всё! Неопределённость исчезла. Ещё один шаг и мы приходим к ответу:

$$
-frac{1}{6}cdot lim_{xto 2}frac{(3x+1)(sqrt{x^2+5}+sqrt{7x^2-19})}{x+2}=\
=-frac{1}{6}cdotfrac{(3cdot 2+1)(sqrt{2^2+5}+sqrt{7cdot 2^2-19})}{2+2}=
-frac{1}{6}cdotfrac{7(3+3)}{4}=-frac{7}{4}.
$$

Ответ: $lim_{xto 2}frac{3x^2-5x-2}{sqrt{x^2+5}-sqrt{7x^2-19}}=-frac{7}{4}$.

В следующем примере рассмотрим случай, когда иррациональности будут присутствовать как в числителе, так и в знаменателе дроби.

Пример №3

Найти $lim_{xto 5}frac{sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16}}{sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9}}$.

Решение

Найдём пределы числителя и знаменателя:

$$
begin{aligned}
& lim_{xto 5}(sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16})=sqrt{9}-sqrt{9}=0;\
& lim_{xto 5}(sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9})=sqrt{16}-sqrt{16}=0.
end{aligned}
$$

Имеем неопределённость вида $frac{0}{0}$. Так как в данном случае корни наличествуют и в знаменателе, и в числителе, то дабы избавиться от неопределённости придется домножать сразу на две скобки. Во-первых, на выражение $sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16}$, сопряжённое числителю. А во-вторых на выражение $sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9}$, сопряжённое знаменателю.

$$
lim_{xto 5}frac{sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16}}{sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9}}=left|frac{0}{0}right|=\
=lim_{xto 5}frac{(sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16})(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})}{(sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9})(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})}
$$

Раскрывая скобки с помощью формулы №1, получим:

$$(sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16})(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})=\

=left(sqrt{x+4}right)^2-left(sqrt{x^2-16}right)^2=x+4-(x^2-16)=-x^2+x+20$$

$$(sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9})(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})=left(sqrt{x^2-3x+6}right)^2-left(sqrt{5x-9}right)^2=x^2-8x+15$$

Возвращаясь к рассматриваемому пределу, имеем:

$$
lim_{xto 5}frac{(sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16})(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})}{(sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9})(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})}=\
=lim_{xto 5}frac{(-x^2+x+20)(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})}
$$

Осталось разложить на множители выражения $-x^2+x+20$ и $x^2-8x+15$. Начнем с выражения $-x^2+x+20$. Чтобы разложить его на множители требуется решить уравнение $-x^2+x+20=0$, а затем воспользоваться формулой №5:

$$
-x^2+x+20=0;\
begin{aligned}
& D=1^2-4cdot(-1)cdot 20=81;\
& x_1=frac{-1-sqrt{81}}{-2}=frac{-10}{-2}=5;\
& x_2=frac{-1+sqrt{81}}{-2}=frac{8}{-2}=-4.
end{aligned} \
-x^2+x+20=-1cdot(x-5)(x-(-4))=-(x-5)(x+4).
$$

Для выражения $x^2-8x+15$ получим:

$$
x^2-8x+15=0;\
begin{aligned}
& D=(-8)^2-4cdot 1cdot 15=4;\
& x_1=frac{-(-8)-sqrt{4}}{2}=frac{6}{2}=3;\
& x_2=frac{-(-8)+sqrt{4}}{2}=frac{10}{2}=5.
end{aligned}\
x^2+8x+15=1cdot(x-3)(x-5)=(x-3)(x-5).
$$

Подставляя полученные разожения $-x^2+x+20=-(x-5)(x+4)$ и $x^2+8x+15=(x-3)(x-5)$ в рассматриваемый предел, будем иметь:

$$
lim_{xto 5}frac{(-x^2+x+20)(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})}{(x^2-8x+15)(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})}=
lim_{xto 5}frac{-(x-5)(x+4)(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})}{(x-3)(x-5)(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})}=\
=lim_{xto 5}frac{-(x+4)(sqrt{x^2-3x+6}+sqrt{5x-9})}{(x-3)(sqrt{x+4}+sqrt{x^2-16})}=
frac{-(5+4)(sqrt{5^2-3cdot 5+6}+sqrt{5cdot 5-9})}{(5-3)(sqrt{5+4}+sqrt{5^2-16})}=-6.
$$

Ответ: $lim_{xto 5}frac{sqrt{x+4}-sqrt{x^2-16}}{sqrt{x^2-3x+6}-sqrt{5x-9}}=-6$.

В следующей (второй) части рассмотрим ещё пару примеров, в которых сопряжённое выражение будет иметь иной вид, нежели в предыдущих задачах. Главное, помните, что цель использования сопряжённого выражения – избавиться от иррациональности, вызывающей неопределённость.