Как найти предел функции в степени

Пределы со степенями: показательная, степенная и показательно-степенная функции

Пределы со степенями бывают различных видов в зависимости от положения неизвестной $x$ в пределе. Рассмотрим примеры решений для следующих ситуаций:

1. Показательная функция
   $$limlimits_{xto a} a^{f(x)} = a^{limlimits_{xto a} f(x)} $$
2. Степенная функция
   $$ limlimits_{xto a} (f(x))^a = bigg(limlimits_{xto a} f(x) bigg)^a $$
3. Показательно-степенная функция
   $$limlimits_{xto a} bigg(f(x)bigg)^{g(x)} = limlimits_{xto a} frac{ln(f(x))}{frac{1}{g(x)}} $$

Пример 1

Найти предел показательной функции $limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}}$

Решение

Подставив точку $x=2$ в предел получим неопределенность $2^{big(frac{0}{0}big)}$. Итак, перенесем знак предела в показатель и попробуем его вычислить путем разложения числителя по формуле разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$. $$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 2^{limlimits_{xto 2} frac{(x-2)(x+2)}{x-2}} = $$ Сокращаем числитель со знаменателем на $x-2$ и вычисляем предел степени. $$ =2^{limlimits_{xto 2} (x+2)} = 2^{2+2} = 2^4 = 16 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$limlimits_{xto 2} 2^{frac{x^2-4}{x-2}} = 16$$

Пример 2

Решить предел степенной функции $limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3$

Решение

Внесем знак предела внутрь скобок, а степень останется при этом снаружи. $$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = $$ При подстановке точки $x=0$ в предел получаем неопределенность $frac{0}{0}$. Для её устранения воспользуемся таблицей эквивалентностей пределов. $$sin x^2 sim x^2$$ $$ 1-cos x sim frac{x^2}{2}$$ Подставляем эквивалентные функции в предел и сокращаем $x$. $$ = bigg(limlimits_{xto 0} frac{x^2}{frac{x^2}{2}}bigg)^3 = bigg(limlimits_{xto 0} frac{2x^2}{x^2} bigg)^3 = 2^3 = 8$$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} bigg(frac{sin x^2}{1-cos x}bigg)^3 = 8$$

Пример 3

Вычислить предел показательно-степенной функции $limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} $

Решение

Если подставим $x=0$, то получим предел ноль в степени ноль $(0^0)$. Превратим это в другую неопределенность $(frac{infty}{infty})$ с помощью третьей формулы. $$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = limlimits_{xto 0} frac{ln (tg ;x)}{frac{1}{sin x}} = frac{infty}{infty} = $$ Используем правило Лопиталя для продолжения решения. По нему, как известно, предел отношения функций равен пределу отношения производных от этих функций. $$ = limlimits_{xto 0} frac{(ln (tg ;x))’}{(frac{1}{sin x})’} = limlimits_{xto 0} frac{frac{frac{1}{cos^2 x}}{tg ;x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = $$ Преобразуем числитель в нормальный вид с помощью формулы $tg ; x = frac{sin x}{cos x}$ и выполняем все необходимые сокращения. $$ = limlimits_{xto 0} frac{frac{1}{sin x cos x}}{-frac{cos x}{sin^2 x}} = -limlimits_{xto 0} frac{sin x}{cos^2 x} = $$ Теперь подставляя точку $x=0$ возможно получить окончательный ответ. $$ = – frac{sin 0}{cos^2 x} = -frac{0}{1} = 0 $$

Ответ

$$limlimits_{xto 0} (tg x)^{sin x} = 0$$

Вычисление пределов степенно-показательных функций

Пусть функции

и

заданы на множестве

и функция

на нем положительна. Функция

называется степенно
– показательной.

Предположим, что

– точка сгущения множества

и существуют конечные пределы

,
,

где
.
Нужно найти

.

Воспользовавшись
тождествами
,
запишем исходное выражение в виде

.

В силу теоремы 6.1
получим

.

При заданных
значениях пределов будем иметь

.

Из проведенного
рассуждения видно, что предположение
о существовании конечных пределов

и

можно отбросить. Действительно, для
нахождения предела выражения

достаточно знать предел произведения

(конечный или бесконечный).

1) Пусть
.
Тогда
.

2) Если
,
то
.

3) Если
,
то
.

Заметим, что
произведение

может оказаться неопределенностью типа
.
Тогда и исходное выражение

представляет собой неопределенность.
Перечислим возникающие здесь
неопределенности.

1) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

2) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

3) Если
,
то вычисление предела

приводит к неопределенности типа
.

Во всех указанных
случаях (,

,

)
можно раскрыть неопределенность

в показателе степени, преобразуя ее к
типу

и используя соответствующие эквивалентные
бесконечно малые.

Замечание 8.3.
Приведенные выше рассуждения справедливы
и для вычисления предела степенно-показательной
функции в бесконечно удаленной точке:
.

Пример 8.2.
Вычислить
.

Решение.
Здесь
,
,
поэтому имеем неопределенность типа
.
Преобразуем выражение под знаком
предела:

.

В показателе
степени имеем неопределенность типа
.
Заменой

при

на эквивалентную бесконечно малую

раскрываем ее:

.

Таким образом,

.

Замечание 8.4.
Аналогично доказывается равенство
.

Пределы

,

образуют две формы
одного и того же равенства, которое
также является замечательным
пределом
и часто служат определением числа
.

Задачи к §8

Задача
1. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем
неопределенность типа
.
Преобразуем числитель дроби к форме
произведения:

.

Затем
заменим бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда
получим

.

Ответ:
.

Задача
2. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Преобразуем знаменатель, воспользовавшись
свойствами логарифмической функции, и
выделим в аргументе логарифма слагаемое,
равное 1:

.

Заменим
бесконечно малую в точке

функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Числитель разложим на множители:

.

Тогда
получим:

.

Ответ:
.

Задача
3. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Функцию

в точке

тоже заменим на эквивалентную бесконечно
малую
.

Тогда

.

Ответ:
.

Задача
4. Вычислить

.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Представим числитель в виде:

.

Затем
заменим его эквивалентной бесконечно
малой в точке

функцией
.

Преобразуем
знаменатель:

и
заменим его на эквивалентную бесконечно
малую
.
Тогда получим

.

Ответ:
.

Задача
5. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Числитель

можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Чтобы
воспользоваться соотношением (8.4),
преобразуем знаменатель:

и
заменим его эквивалентной бесконечно
малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
6. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к выражению

соотношение (8.3), представим его в виде:

,

и
заменим бесконечно малую функцию

эквивалентной бесконечно малой
.
Знаменатель же представим в виде:

и,
используя соотношения (8.2) и (8.8), заменим
его эквивалентной бесконечно малой
.
Учитывая проведенные выкладки и
соотношение (8.4), получим:

.

Ответ:

.

Задача
7. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7, получим

.

Ответ:

.

Задача
8. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя ряд приемов, примененных в
задачах 1–7 и формулы приведения для
тригонометрических функций, получим

.

Ответ:

.

Задача
9. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Чтобы применить к числителю соотношение
(8.2), преобразуем его следующим образом:

.

Теперь
числитель согласно соотношению (8.2)
можно заменить эквивалентной бесконечно
малой
.

Преобразуем
знаменатель

.

Заменяем,
используя соотношение (8.1),

эквивалентной бесконечно малой
.

Тогда

.

Ответ:

.

Задача
10. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя приемы, описанные выше, получим

.

.

Ответ:
.

Задача
11. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Используя теоремы 6.2 и 6.1, получим

.

Получили
неопределенность типа
.
Преобразуем выражение с помощью формул
приведения, затем переходим к эквивалентным
бесконечно малым. В итоге получим

.

Ответ:
.

Задача
12. Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Выделим

в основании степени:

.

Заметим,
что

при
.

Справедлива
цепочка равенств

.

Заменяя
логарифм эквивалентной бесконечно
малой согласно соотношению (8.2) и используя
замечание 6.4 для раскрытия неопределенности,
получим

.

Ответ:
.

Задача
13⁴.
Вычислить
.

Решение.
Здесь имеем неопределенность типа
.
Введем переменную
.
Если
,
то
.

.

Выделим

в основании степени:

,

тогда

.

Заметим,
что

при
.
Заменим функцию

эквивалентной бесконечно малой
,
будем иметь

.

Используя
теорему 7.3, окончательно получим

.

Ответ:
.

Задача
14. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Поскольку

,

вычислим
сначала
.
Мы имеем дело с неопределенностью типа
.

Воспользовавшись
последовательно соотношениями (8.2) и
(8.1), будем иметь

.

Ответ:
.

Задача
15. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа
.
Воспользуемся формулой

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.
Для этого требуется раскрыть
неопределенность типа
.
Преобразуем ее в неопределенность типа

и воспользуемся эквивалентностью
бесконечно малых:

.

Ответ:
.

Задача
16. Вычислить
.

Решение.
Здесь возникает неопределенность типа

.
Преобразуем исходное предельное
выражение

.

Вычислим
предел, стоящий в показателе степени.

.

Ответ:
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Содержание:

1. Примеры с решением

Вы знакомы с функциями и т.д. Все эти функции являются частными случаями степенной функции, т.е. функции

где р — заданное действительное число.

Свойства и график степенной функции (1) существенно зависят от свойств степени с действительным показателем и, в частности, от того, при каких значениях х и р имеет смысл степень .

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Перейдем к подробному рассмотрению различных случаев в зависимости от показателя степени р.

1. Показатель — четное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

— является убывающей на промежутке и возрастающей — на промежутке График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис. 13, а).

Возможно вам будут полезны данные страницы:

2. Показатель — нечетное натуральное число.

В этом случае степенная функция , где — натуральное число, обладает следующими свойствами:

• — область определения — множество ;
• — множество значений — множество ;
• — функция — нечетная, так как
• — является возрастающей на всей действительной оси.

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис. 13, 6).

3. Показатель — натуральное число.

В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами:

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции (рис. 14, а).

4. Показатель — натуральное число.

В этом случае степенная функция обладает следующими свойствами: |у=_т

График функции имеет такой же вид, как, например, график функции = (рис. 14, б).

5. Показатель р — положительное действительное нецелое число.

В этом случае функция обладает следующими свойствами:

• — область определения — неотрицательные числа ;
• — множество значений — неотрицательные числа ;
• — является возрастающей на промежутке .

График функции — положительное нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции (при ) или, как, например, график функции (рис. 15, а—6).

6. Показатель р — отрицательное действительное нецелое число.

В этом случае функция обладает следующими свойствами:

• — область определения — положительные числа ;
• — множество значений — положительные числа у > 0;
• — является убывающей на промежутке х > 0.

График функции , где р — отрицательное

нецелое число, имеет такой же вид, как, например, график функции(рис. 15, в).

Примеры с решением

Задача 1.

Решить неравенства: 1) Неравенство имеет смысл при . При х = 0 неравенство не выполняется. При х > 0, возводя неравенство в куб, получаем

Так как откуда . Следовательно,

2) Аналогично, возводя неравенство при в куб, получаем Так как

Ответ.

Решение этой задачи показывает, что график функции лежит выше графика функции у = х при и ниже — при х > 1 (рис. 16, а); график функции лежит выше графика функции у = х при и ниже — при (рис. 16, 6).

Задача 2.

Сравнить числа

Д Так как Функция убывает на промежутке х > 0. Поэтому

Задача 3*.

Найти точки пересечения графиков функций

Для нахождения точек пересечения этих графиков решим уравнение Левая часть этого уравнения имеет смысл при всех х, а правая — только при

При функция совпадает с функцией , поэтому уравнение можно представить в следующем виде:

Возводя это уравнение (при ) в куб, получаем

откуда

Ответ. (0; 0), (1; 1).

Задача 4*.

Построить график функции

Д Заметим, что эта функция четная, так как Поэтому достаточно построить ее график для х > 0, а затем симметрично отразить его относительно оси ординат.

При имеем . Строим график функции (при ), сдвигаем его вверх на единицу и отражаем полученный график относительно оси ординат (рис. 17).

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определенному правилу число у, то говорят, что на этом множестве определена функция.

При этом х называют независимой переменной или аргументом, а у — зависимой переменной или функцией.

Множество значений х, для которых определены значения z/(x), называют областью определения функции.

Для обозначения функции обычно используют буквы т.д. Например, говорят: дана функция , или функция или функция .

Функции могут быть заданы формулами, графиками, таблицами. В 7—9 классах вы познакомились с некоторыми функциями, изучили их свойства и строили графики. Нижеприведенная таблица напомнит вам о них.

В § 6 степень была определена для любого положительного основания и любого действительного показателя. Пусть основание степени а > 0. Тогда каждому соответствует одно определенное число . Тем самым задана функция . Если а = 1, то функция принимает одно и то же значение у = 1 при всех х. Функцию

где а > 0, , называют показательной функцией. Такое название функции объясняется тем, что ее аргументом является показатель степени.

Показательная функция обладает следующими свойствами:

Это свойство следует из того, что степень с положительным основанием определена для любого действительного значения показателя.

• Свойство 2. Множество значений показательной функции — множество положительных чисел.

Второе свойство следует из того, что если , то уравнение имеет корень при любом , т.е. функция принимает любое положительное значение. Это доказывается в курсе высшей математики. При уравнение не имеет корней, так как при любом х.

Третье свойство следует из теоремы и следствия 1.

Задача 1.

Построить график функции

Составим таблицу:

Построим эти точки и проведем через них кривую, учитывая, что функция возрастает (рис. 6). А

Вообще график показательной функции , где а > 1, имеет вид, представленный на рисунке 7.

Этот график расположен выше оси Ох, так как при . С возрастанием аргумента значения функции увеличиваются, так как — возрастающая функция, если а > 1.

Задача 2.

Построить график функции

Составим таблицу:

Построим эти точки и проведем через них кривую (рис. 8).

Вообще график показательной функции , имеет вид, представленный на рисунке 9.

Этот график расположен выше оси Ох, так как при . С увеличением аргумента значения функции уменьшаются, так как

Из свойств 2 и 3 следует, что уравнение , имеет единственный корень т.е. по заданному значению b степени ах показатель степени х однозначно определяется. Геометрически это означает, что прямая пересекает график функции в одной точке, абсцисса которой является корнем уравнения (рис. 10).

Задача 3.

Решить графически уравнение

А Построим графики функций (рис. 11). Из рисунка 7 видно, что графики этих функций пересекаются в одной точке. Следовательно, данное уравнение имеет один корень — абсциссу этой точки. Из рисунка видно, что х = 1.

Проверка показывает, что х = 1 является корнем уравнения.

Показательная функция часто используется при описании различных физических процессов. Так, радиоактивный распад описывается формулой:

где — массы радиоактивного вещества соответственно в момент времени t и в начальный момент времени — период полураспада (промежуток времени, за который первоначальное количество вещества уменьшается вдвое).

С помощью показательной функции выражается давление воздуха в зависимости от высоты и подъема, ток самоиндукции в катушке после включения постоянного напряжения и т.д.

Задача 4*.

Альпинист, находясь на высоте м над уровнем моря определил, что давление воздуха мм рт. ст., а температура 15°С. Каково давление воздуха на высоте = 2300 м при той же температуре?

А Известно, что давление находится по следующей барометрической формуле:

Подставляя в эту формулу данные из условий задачи, имеем

Выполнив вычисления с помощью микрокалькулятора, получим ~ 639 мм рт. ст.

Задача 5*.

Период полураспада плутония равен 140 сут. Сколько плутония останется через 10 лет, если его начальная масса 8 г?

А Воспользуемся формулой (1). В данной задаче = 8 г, t = 10 • 365 (считаем, что в году 365 дней). Т = 140. Тогда

Выполнив вычисления с помощью микрокалькулятора, получим

Предел показательно степенной функции, примеры нахождения

В процессе нахождения предела показательно-степенной функции типа lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) часто работаем с такими степенными неопределенностями, как 1 ∞ , 0 0 , ∞ 0 .

Для их раскрытия необходимо задействовать логарифмирование a = e ln ( a ) , свойство логарифма a · ln ( b ) = ln ( b a ) и применение его предела заданной непрерывной функции, причем ее знак разрешено менять местами.

Для этого производятся преобразования вида:

lim x → x 0 ( f ( x ) ) g ( x ) = e ln lim x → x 0 f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( ln ( f ( x ) ) g ( x ) = e lim x → x 0 ( g ( x ) ln ( f ( x ) ) ) = = e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x )

Отсюда видно, что задание приводится к нахождению предела заданной функции вида e lim x → x 0 ln ( f ( x ) ) 1 g ( x ) = ∞ ∞ или 0 0 .

Данный случай рассматривает методы:

• непосредственного вычисления;
• использования правила Лопиталя;
• с заменой эквивалентных бесконечно малых функций;
• применение первого замечательного предела.

Для того, чтобы неопределенность была раскрыта, необходимо применять второй замечательный предел, при наличии 1 ∞ .

Рассмотрим теорию на элементарных примерах заданий.

Найти предел заданной функции lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 x 3 + x .

Для решения необходимо произвести подстановку. Получаем :

lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = ( 0 3 + 2 · 0 + 1 ) 3 2 ( 0 3 + 0 ) = 1 ∞

Получение единицы в степени бесконечность называют неопределенностью, значит, необходимо решить другим методом.

Следует произвести преобразования данного предела. Получаем:

lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e ln lim x → 0 ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = = e lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x )

Видим, что преобразование сводится к пределу вида lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) 2 ( x 3 + x ) .

lim x → 0 3 ln ( x 3 + 2 x + 1 2 ( x 3 + x ) = 0 0 = 3 2 lim x → 0 ln ( x 3 + 2 x + 1 ) x 3 + x = = 3 2 lim x → 0 x 3 + 2 x x 3 + x = 3 2 lim x → 0 x 2 + 2 x 2 + 1 = 3 2 · 0 2 + 2 0 2 + 1 = 3

Данные преобразования были выполнены при помощи применения замены логарифма на эквивалентную бесконечно малую функцию.

Тогда исходный предел принимает вид lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = e 3 .

Вычисление данного предела возможно с применением второго замечательного предела. Тогда получаем:

lim x → 0 ( x 2 + 2 x + 1 ) 3 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x ( x 3 + 2 x ) 3 2 ( x 3 + x ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 3 + 2 x ) 2 ( x 3 + x ) = lim x → 0 1 + ( x 3 + 2 x ) ) 1 x 3 + 2 x 3 ( x 2 + 2 ) 2 ( x 2 + 1 ) = = lim x → 0 ( 1 + ( x 3 + 2 x ) 1 x 3 + 2 x 3 = e 3

Найти и вычислить предел lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x

Если произведем подстановку, в результате получим ответ в виде бесконечности в степени ноль, а это является знаком, что необходимо применить другой метод для преобразования. Получаем:

lim x → π 2 ( t g x ) 2 c o s x = ∞ 0 = e ln lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = = e 2 lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e lim x → π 2 ( 2 cos x · ln · ( t g x ) ) = = e 2 lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x

Отсюда видно, что решение сводится к переделу lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = ∞ ∞ .

Для дальнейшего преобразования применим правило Лопиталя, так как получили неопределенность в виде частного бесконечностей. Видим, что

lim x → π 2 ln ( t g x ) 1 cos x = ∞ ∞ = lim x → π 2 = ln ( t g x ) ‘ 1 cos ( x ) ‘ = = lim x → π 2 1 t g ( x ) · 1 cos 2 ( x ) sin ( x ) cos 2 ( x ) = lim x → π 2 cos ( x ) sin 2 ( x ) = cos π 2 sin 2 π 2 = 0 1 2 = 0

Отсюда следует, что пределом показательно-степенной функции является результат, полученный при вычислении. Имеем вы предел вида lim x → π 2 ( t g x ) 2 cos x = e 2 · 0 = e 0 = 1 .

Второй замечательный предел

Обычно второй замечательный предел записывают в такой форме:

Число $e$, указанное в правой части равенства (1), является иррациональным. Приближённое значение этого числа таково: $eapprox718281828459045>$. Если сделать замену $t=frac$, то формулу (1) можно переписать в следующем виде:

Как и для первого замечательного предела, неважно, какое выражение стоит вместо переменной $x$ в формуле (1) или вместо переменной $t$ в формуле (2). Главное – выполнение двух условий:

1. Основание степени (т.е. выражение в скобках формул (1) и (2)) должно стремиться к единице;
2. Показатель степени (т.е. $x$ в формуле (1) или $frac$ в формуле (2)) должен стремиться к бесконечности.

Говорят, что второй замечательный предел раскрывает неопределенность $1^infty$. Заметьте, что в формуле (1) мы не уточняем, о какой именно бесконечности ($+infty$ или $-infty$) идёт речь. В любом из этих случаев формула (1) верна. В формуле (2) переменная $t$ может стремиться к нулю как слева, так и справа.

Отмечу, что есть также несколько полезных следствий из второго замечательного предела. Примеры на использование второго замечательного предела, равно как и следствий из него, очень популярны у составителей стандартных типовых расчётов и контрольных работ.

Сразу отметим, что основание степени (т.е. $frac$) стремится к единице:

При этом показатель степени (выражение $4x+7$) стремится к бесконечности, т.е. $lim_(4x+7)=infty$.

Основание степени стремится к единице, показатель степени – к бесконечности, т.е. мы имеем дело с неопределенностью $1^infty$. Применим формулу (1) для раскрытия этой неопределённости. В основании степени формулы (1) расположено выражение $1+frac$, а в рассматриваемом нами примере основание степени таково: $frac$. Посему первым действием станет формальная подгонка выражения $frac$ под вид $1+frac$. Для начала прибавим и вычтем единицу:

Следует учесть, что просто так добавить единицу нельзя. Если мы вынуждены добавить единицу, то её же нужно и вычесть, дабы не изменять значения всего выражения. Для продолжения решения учтём, что

Продолжим «подгонку». В выражении $1+frac$ формулы (1) в числителе дроби находится 1, а в нашем выражении $1+frac$ в числителе находится $6$. Чтобы получить $1$ в числителе, опустим $6$ в знаменатель с помощью следующего преобразования:

Итак, основание степени, т.е. $1+frac>$, подогнано под вид $1+frac$, который требуется в формуле (1). Теперь начнём работать с показателем степени. Заметьте, что в формуле (1) выражения, стоящие в показатели степени и в знаменателе, одинаковы:

Значит, и в нашем примере показатель степени и знаменатель нужно привести к одинаковой форме. Чтобы получить в показателе степени выражение $frac$, просто домножим показатель степени на эту дробь. Естественно, что для компенсации такого домножения, придется тут же домножить на обратную дробь, т.е. на $frac$. Итак, имеем:

Отдельно рассмотрим предел дроби $frac$, расположенной в степени:

Согласно формуле (1) имеем $lim_left(1+frac>right )^>=e$. Кроме того, $lim_frac=8$, поэтому возвращаясь к исходному пределу, получим:

Полное решение без промежуточных пояснений будет иметь такой вид:

Кстати сказать, вовсе не обязательно использовать первую формулу. Если учесть, что $fracto$ при $xtoinfty$, то применяя формулу (2), получим:

Выражение, стоящее в основании степени, т.е. $7-6x$, стремится к единице при условии $xto$, т.е. $lim_>(7-6x)=7-6cdot1=1$. Для показателя степени, т.е. $frac$, получаем: $lim_>frac=infty$. Итак, здесь мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела.

Для начала отметим, что в формуле (1) переменная $x$ стремится к бесконечности, в формуле (2) переменная $t$ стремится к нулю. В нашем случае $xto$, поэтому имеет смысл ввести новую переменную, чтобы она стремилась или к нулю (тогда применим формулу (2)), или к бесконечности (тогда применим формулу (1)). Введение новой переменной, вообще говоря, не является обязательным, это будет сделано просто для удобства решения. Проще всего новую переменную $y$ ввести так: $y=x-1$. Так как $xto$, то $to$, т.е. $yto$. Подставляя $x=y+1$ в рассматриваемый пример, и учитывая $yto$, получим:

Применим формулу (2). Выражение в основании степени в формуле (2), т.е. $1+t$, соответствует форме выражения в основании степени нашего примера, т.е. $1+(-6y)$ (выражение $-6y$ играет роль $t$). Формула (2) предполагает, что показатель степени будет иметь вид $frac$, т.е. в нашем случае в показателе степени следует получить $frac$. Домножим показатель степени на выражение $frac$. Для компенсации такого домножения нужно домножить показатель степени на обратную дробь, т.е. на выражение $frac=-6y$:

Полное решение без пояснений таково:

Так как $lim_>(cos)=1$ и $lim_>frac>=infty$ (напомню, что $sinto$ при $uto$), то мы имеем дело с неопределённостью вида $1^infty$. Преобразования, аналогичные рассмотренным в примерах №1 и №2, укажем без подробных пояснений, ибо они были даны ранее:

Так как $sin^2x=frac>$, то $cos-1=-2sin^2x$, поэтому:

Здесь мы учли, что $lim_>frac>>=frac$. Подробное описание того, как находить этот предел, дано в соответствующей теме.

Так как при $x>0$ имеем $ln(x+1)-ln=lnleft(fracright)$, то:

Раскладывая дробь $frac$ на сумму дробей $frac=1+frac$ получим:

Так как $lim_>(3x-5)=6-5=1$ и $lim_>frac=infty$, то мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$. Подробные пояснения даны в примере №2, здесь же ограничимся кратким решением. Сделав замену $t=x-2$, получим:

Можно решить данный пример и по-иному, используя замену: $t=frac$. Разумеется, ответ будет тем же:

Выясним, к чему стремится выражение $frac$ при условии $xtoinfty$:

Таким образом, в заданном пределе мы имеем дело с неопределенностью вида $1^infty$, которую раскроем с помощью второго замечательного предела:

Заметили ошибку, опечатку, или некорректно отобразилась формула? Отпишите, пожалуйста, об этом в данной теме на форуме (регистрация не требуется).

Замечательные пределы: Первый и второй замечательный предел.

Понятие замечательных пределов используется на просторах бывшего Советского Союза для обозначения хорошо известных математических тождеств со взятием предела. Замечательны они потому, что они уже доказаны великими математиками и нам нам остается лишь пользоваться ими для удобства нахождения пределов. Из них наиболее известны первый и второй замечательные пределы. Дальнейшее чтение статье будет намного интереснее, если вы уже знакомы с понятием пределов. Если для вас lim , это то что новое, то рекомендуем к прочтению статью «Пределы. Понятие пределов. Вычисление пределов.»

Теперь со спокойной душой переходим к рассмотрению замечательных пределов.
Первый замечательный предел имеет вид .

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к 0.

Необходимо вычислить предел

Как видно, данный предел очень похож на первый замечательный, но это не совсем так. Вообще, если Вы замечаете в пределе sin, то надо сразу задуматься о том, возможно ли применение первого замечательного предела.

Согласно нашему правилу №1 подставим вместо х ноль:

Получаем неопределенность .

Теперь попробуем самостоятельно организовать первый замечательный предел. Для этого проведем нехитрую комбинацию:

Таким образом мы организовываем числитель и знаменатель так, чтобы выделить 7х. Вот уже и проявился знакомый замечательный предел. Желательно при решении выделять его:

Подставим решение первого замечательного примера и получаем:

Как видите – все очень просто.

Второй замечательный предел имеет вид , где e = 2,718281828… – это иррациональное число.

Вместо переменной х могут присутствовать различные функции, главное, чтобы они стремились к .

Необходимо вычислить предел

Здесь мы видим наличие степени под знаком предела, значит возможно применение второго замечательного предела.

Как всегда воспользуемся правилом №1 – подставим вместо х:

Видно, что при х основание степени , а показатель – 4x > , т.е. получаем неопределенность вида :

Воспользуемся вторым замечательным пределом для раскрытия нашей неопределенности, но сначала надо его организовать. Как видно – надо добиться присутствия в показателе, для чего возведем основание в степень 3х, и одновременно в степень 1/3x, чтобы выражение не менялось:

Не забываем выделять наш замечательный предел:

Дальше знак предела перемещаем в показатель:

Вот такие действительно замечательные пределы!
Если у вас остались какие то вопросы по первому и второму замечательным пределам, то смело задавайте их в комментариях.
Всем по возможности ответим.

Также вы можете позаниматься с педагогом по этой теме.

Мы рады предложить вам услуги подбора квалифицированного репетитора в вашем городе. Наши партнеры оперативно подберут для вас хорошего преподавателя на выгодных для вас условиях.