Пределы числовых последовательностей
Содержание
Предел числовой последовательности
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Число a называют пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , …
если для любого положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число a является пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
То же самое соотношение можно записать следующим образом:
an → a при 
.
Словами это произносится так: «an стремится к a при n , стремящемся к бесконечности».
ЗАМЕЧАНИЕ. Если для последовательности
a1 , a2 , … an , …
найдется такое число a , что an → a при , то эта последовательность ограничена.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Говорят, что последовательность
a1 , a2 , … an , …
стремится к бесконечности, если для любого положительного числа C найдется такое натуральное число N , что при всех n > N выполняется неравенство
| an| > C .
Условие того, что числовая последовательность
a1 , a2 , … an , … ,
стремится к бесконечности, записывают с помощью обозначения
или с помощью обозначения
при .
ПРИМЕР 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство
ПРИМЕР 3. Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство
ПРИМЕР 5 . Последовательность
– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
a1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .
Если при существуют такие числа a и b , что
и 
,
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Если, кроме того, выполнено условие
то при существует предел дроби
причем
Для любой непрерывной функции f (x) справедливо равенство
Вывод формулы для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии
Рассмотрим геометрическую прогрессию
b1 , b2 , … bn , … ,
знаменатель которой равен q .
Для суммы первых n членов геометрической прогрессии
Sn = b1 + b2 + … + bn , n = 1, 2, 3, …
справедлива формула
Если для суммы всех членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии ввести обозначение
S = b1 + b2 + … + bn + … ,
то будет справедлива формула
В случае бесконечно убывающей геометрической прогрессии знаменатель q удовлетворяет неравенству
| q | < 1 ,
поэтому, воспользовавшись cвойствами пределов числовых последовательностей и результатом примера 3, получаем
Итак,
Примеры вычисления пределов последовательностей. Раскрытие неопределенностей
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Если при нахождении предела дроби выясняется, что и числитель дроби, и знаменатель дроби стремятся к 
, то вычисление такого предела называют раскрытием неопределенности типа 
.
Часто неопределенность типа удается раскрыть, если и в числителе дроби, и в знаменателе дроби вынести за скобки «самое большое» слагаемое. Например, в случае, когда в числителе и в знаменателе дроби стоят многочлены, «самым большим» слагаемым будет член с наивысшей степенью.
ПРИМЕР 6. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами степеней:
ОТВЕТ. 
ПРИМЕР 7 . Найти предел последовательности
ОТВЕТ. 
В следующих двух примерах показано, как можно раскрыть неопределенности типа
.
ПРИМЕР 8 . Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби к общему знаменателю:
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
ОТВЕТ. 
ПРИМЕР 9. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. В рассматриваемом примере неопределенность типа возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, умножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
Из-за большого размера формул подробные вычисления видны только на устройствах с разрешением экрана по ширине не менее 768 пикселей (например, на стационарных компьютерах, ноутбуках и некоторых планшетах). На Вашем мобильном устройстве отображается только результат описанных операций.
Преобразуем дробь, вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и «самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а затем сокращая дробь на n2:
Теперь, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
ОТВЕТ. 
ПРИМЕР 10. Найти предел последовательности
РЕШЕНИЕ. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, … выполнено равенство
,
получаем
ОТВЕТ. 1 .
Число e. Второй замечательный предел
Рассмотрим последовательность
 |
(1) |
В дисциплине «Математический анализ», которую студенты естественнонаучных и технических направлений высших учебных заведений изучают на 1 курсе, доказывают, что последовательность (1) монотонно возрастает и ограничена сверху. Из теоремы Вейерштрасса о монотонных и ограниченных последовательностях, доказательство которой выходит за рамки школьного курса математики, вытекает, что последовательность (1) имеет конечный предел. Этот предел принято обозначать буквой e.
Таким образом, справедливо равенство
 |
(2) |
причем расчеты показывают, что число
e = 2,718281828459045…
и является иррациональным и трансцендентным числом.
Число e играет исключительно важную роль в естествознании и, в частности, служит основанием натуральных логарифмов и основанием показательной функции
y = e x,
которую называют «экспонента».
Число e также является пределом последовательности
|
|
(3) |
что позволяет вычислять число e с любой точностью. Конечно же, доказательство формулы (3) выходит за рамки школьного курса математики.
ЗАМЕЧАНИЕ. Предел (2), в котором для последовательностей раскрывается неопределенность типа 
, называют вторым замечательным пределом. В разделе нашего справочника «Пределы функций» можно ознакомиться со вторым замечательным пределом для функций.
Пусть аргумент
принимает все значения изнатурального
ряда
(1)
члены которого мы представляем себе
упорядоченными по возрастанию (т.е.
большее число
следует за меньшим
).
Если каждому
по некоторому правилу или закону
поставлено в соответствие
,
то говорят, что задана последовательность
.
(2)
Например:
(3)
Определение 1.Число
называется пределом последовательности,
если для любого сколь угодно малого
положительного
найдется такой номер
,
что для всех
выполняется неравенство:
.
(4)
Тот факт, что число
является пределом последовательности
,
записывается так:
.
(5)
Неравенство (4) эквивалентно неравенствам
или
.
Последние неравенства означают, что
элемент
находится в
–окрестности числа
.
–окрестностьючисла
называется интервал
.
Поэтому определение предела
последовательности можно сформулировать
также и следующим образом:
Определение 2. Последовательность
имеет предел, если существует число
такое, что в любой
–окрестности числа
находятся все элементы последовательности
,
начиная с некоторого номера.
Теоремы о пределах последовательности.
Теорема 1.Если последовательность
имеет предел, то он единственный.
Теорема 2.Если последовательность
имеет предел, то она ограничена.
Теорема 3.Предел суммы (разности)
двух последовательностей равен
сумме (разности) пределов этих
последовательностей.
.
Теорема 4.Предел произведения двух
последовательностей равен произведению
пределов этих последовательностей.
.
Теорема 5. Предел частного двух
последовательностей равен частному
пределов этих последовательностей (при
условии, что знаменатель не обращается
в нуль).
.
Теорема 6.Если для двух последовательностей
и
и
,
члены последовательности
удовлетворяют неравенству
,
тогда
.
Бесконечно малые и бесконечно большие
величины.
Определение 3.Последовательность
называется бесконечно малой, если
.
Последовательность
называется бесконечно большой, если
.
-
Сумма конечного числа бесконечно малых
величин есть величина бесконечно малая. -
Произведение конечного числа бесконечно
малых величин есть величина бесконечно
малая. -
Произведение конечной величины на
бесконечно малую величину есть величина
бесконечно малая. -
Сумма конечного числа бесконечно
больших величин есть величина бесконечно
большая. -
Произведение конечного числа бесконечно
больших величин есть величина бесконечно
большая. -
Произведение конечной величины на
бесконечно большую величину есть
величина бесконечно большая. -
Если
является бесконечно большой величиной,
то ее обратная величинабудет бесконечно малой.
является бесконечно большой величиной,
будет бесконечно малой.
Предел последовательности
Число
.
Предел данной последовательности равен
где число
-основание
натурального логарифма.
При вычислении пределов типа (6) следует
использовать следующие свойства:
1.
(7)
2.
(8)
3.
(9)
4.
(10)
Приведем несколько примеров вычисления
пределов последовательности.
Пример 1
Вычислить предел последовательности
.
Решение:
В данном примере последовательность
представляет собой рациональную дробь,
для вычисления пределов такого вида
необходимо знаменатель и числитель
дроби разделить на
в наивысшей степени. В нашем примере
это
.
Так как
,
если
,
а
–
ограниченная величина.
Ответ:
Пример 2
Вычислить предел последовательности
Решение:
Аналогичный прием во многих случаях
можно применять и для дробей, содержащих
иррациональности.
Ответ:
Пример 3
Вычислить предел последовательности
.
Решение:
Для вычисления подобных пределов с
неопределенностью
,
необходимо умножить и разделить
на его сопряженное. Это необходимо для
того, чтобы воспользоваться формулой
«разность квадратов»
и, избавившись от квадратного корня,
получить дробь.
Ответ:
Пример
4
Вычислить
предел последовательности
.
Решение:
Для
вычисления подобных пределов необходимо
умножить и разделить
на неполный квадрат суммы. Это необходимо
для того, чтобы воспользоваться формулой
«разность кубов»
и, избавившись от кубических корней,
получить дробь. Неполным квадратом
суммы в нашем примере является:
Ответ:
Пример
5
Вычислить
предел последовательности
Решение:
Последовательность
–
является арифметической прогрессией
с разностью
.
Сумма
первых членов арифметической прогрессии
находится по формуле:
(11)
Т.е.
тогда
Ответ:
Пример
6
Вычислить
предел последовательности
Решение:
Напомним,
что
(12)
(13)
Ответ:
Пример
7
Вычислить
предел последовательности
Решение:
Для вычисления предела преобразуем
к виду (6). С этой целью выделим в числителе
выражение, стоящее в знаменателе и
почленно разделим, а затем воспользуемся
свойствами (7)-(10):
Ответ:
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Предел последовательности
- Определение последовательности
- Предел последовательности
- Как доказать сходимость последовательности к пределу?
- Ограниченные и неограниченные последовательности
- Как доказать неограниченность последовательности?
- Примеры
п.1. Определение последовательности
С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:
Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента (y_n=f(n), ninmathbb{N}).
Значения (y_1,y_2,…,y_n,…) называют членами последовательности.
В символе (y_n) число (n) называют индексом последовательности.
Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.
Например:
1) Формула (y_n=frac1n, ninmathbb{N}) задает бесконечную последовательность дробей:
| (1,) | (frac12,) | (frac13,) | (…,) | (frac1n,) | (…) |
| 1 | 2 | 3 | … | n | … |
2) Формула (y_n=(-1)^n, ninmathbb{N}) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:
| -1, | 1, | -1, | 1, | -1, | 1, | … |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
3) Рекуррентная формула (y_1=1, y_2=1, y_(n+2)=y_(n+1)+y_n) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:
| 1, | 1, | 2, | 3, | 5, | 8, | … |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
4) Описание «число π точностью до (10^{-n})» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:
| 3,1; | 3,14; | 3,141; | 3,1415; | 3,14159; | 3,141592; | … |
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | … |
Этот ряд можно также задать формулой (y_n=frac{[picdot 10^n]}{10^n}), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.
п.2. Предел последовательности
Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.
Например:
В приведенных примерах мы видим, что последовательность (y_n=frac1n) сходится к 0, а приближение числа π (y_n=frac{[picdot 10^n]}{10^n}) конечно же сходится к π.
Говорят, что у таких последовательностей есть конечный предел, и записывают это так: $$ lim_{nrightarrowinfty}frac1n=0, lim_{nrightarrowinfty}frac{[picdot 10^n]}{10^n}=pi $$
Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности (lim_{nrightarrowinfty}y_n=0), последовательность называется бесконечно малой.
Число (binmathbb{R}) называют пределом последовательности (left{y_nright}), если последовательность (left{y_n-bright}) является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого номера (N_{varepsilon}), меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа (varepsilongt 0): $$ lim_{nrightarrowinfty}y_n=bLeftrightarrow forallvarepsilongt 0 exists N_{varepsilon}inmathbb{N}: ngeq NRightarrow |a_n-b|lt varepsilon $$
Промежуток ((b-varepsilon; b+varepsilon)) $$ b-varepsilonlt y_nlt b+varepsilon $$ называют ε-окрестностью точки b.
п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?
Разберем данное выше определение предела на конкретном примере.
Пусть (y_n=frac{1}{n+4}). Докажем, что предел этой последовательности b=0.
Найдем номер (N_{varepsilon}) члена последовательности, который первым окажется меньше одной тысячной. Т.е. «заранее взятое число» у нас ε=0,001, а ε-окрестность окружает точку предела (b=0: -varepsilonlt y_nltvarepsilon).
Решаем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon): begin{gather*} left|frac{1}{n+4}-0right|lt 0,001Rightarrow frac{1}{n+4}lt 0,001Rightarrow n+4gt frac{1}{0,001}=1000\ ngt 996Rightarrow N_{varepsilon}=997 end{gather*} Значит, начиная с (N_{varepsilon}=997), все (y_n=frac{1}{n+4}, ngeq N_{varepsilon}=997) будут меньше ε=0,001.
Если попробовать еще больше приблизиться к пределу b=0, например с ε=0,00001, стартовый номер (N_{varepsilon}) для членов последовательности, которые умещаются в 100 раз меньшей ε-окрестности, очевидно, увеличится.
Теперь найдем общую формулу зависимости (N_{varepsilon}) для последовательности (y_n=frac{1}{n+4}) с пределом b=0: begin{gather*} left|frac{1}{n+4}-0right|lt varepsilon Rightarrow frac{1}{n+4}lt varepsilonRightarrow n+4gt frac{1}{varepsilon}\ ngtfrac1varepsilon-4Rightarrow N_{varepsilon}=left[frac1varepsilon-4right]+1 end{gather*} где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.
| (varepsilon) | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| (N_{varepsilon}) | 7 | 97 | 997 | 9997 | 99997 | 999997 |
| (lg varepsilon) | -1 | -2 | -3 | -4 | -5 | -6 |
| (lg N_{varepsilon}) | 0,845 | 1,987 | 2,999 | 4,000 | 5,000 | 6,000 |
И построим график (в логарифмическом масштабе): 
Мы видим, что чем меньше ε, тем больше (N_{varepsilon}). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно (lim_{nrightarrowinfty}frac{1}{n+4}=0)
Ведь для любого сколь угодно малого (varepsilongt 0) мы можем указать такой номер (N_{varepsilon}=left[frac1varepsilon-4right]+1), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_{varepsilon}) разность (left|frac{1}{n+4}-0right|), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.
Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.
п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности
Последовательность (left{y_nright}) называется ограниченной сверху, если существует такое число (Minmathbb{R}), что для любого номера (n, y_nleq M).
Последовательность (left{y_nright}) называется ограниченной снизу, если существует такое число (minmathbb{R}), что для любого номера (n, y_ngeq m).
Последовательность (left{y_nright}) называется ограниченной, если она ограничена сверху и ограничена снизу, т.е. для любого номера (n, mleq y_nleq M).
Последовательность (left{y_nright}) называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого (Mgt 0) найдется такой номер (N_M), что для любого (ngeq N_Mcdot|y_n|gt M)
Например:
1) последовательность (y_n=frac1n) ограничена сверху (M=y_1=1) и ограничена снизу (m=lim_{nrightarrowinfty}y_n=0). Т.е. (0lt y_nleq 1, forall n) – последовательность ограничена.
2) последовательность (y_n=(-1)^n) ограничена сверху (M=1) и ограничена снизу (m=-1). Т.е. (-1leq y_nleq 1, forall n) – последовательность ограничена.
3) последовательность чисел Фибоначчи (y_1=1, y_2=1, y_{n+2}=y_{n+1}+y_n) ограничена снизу (m=1), но неограничена сверху. Т.е. последовательность неограничена: (lim_{nrightarrowinfty}=+infty)
Неограниченную последовательность также называют бесконечно большой (стремящейся к бесконечности) и в зависимости от знаков (y_n) при (nrightarrow infty) используют запись: $$ lim_{nrightarrowinfty}y_n=+infty text{или} lim_{nrightarrowinfty}y_n=-infty $$
п.5. Как доказать неограниченность последовательности?
Разберем данное выше определение неограниченности (стремления к бесконечности) на конкретном примере.
Пусть (y_n=n^2). Докажем, что последовательность неограничена.
Найдем номер (N_M) члена последовательности, который первым окажется больше (M=100) – нашего «сколько угодно большого числа».
Согласно определению, подставляем значения в неравенство (|y_n|gt M): begin{gather*} |n^2|gt 100Rightarrow n^2gt 100Rightarrow ngt 10\ N_M=11 end{gather*} Т.е. все (y_n), начиная с 11-го, будут больше 100.
Выведем общую формулу для (N_M): begin{gather*} |n^2|gt MRightarrow n^2gt MRightarrow ngtsqrt{M}\ N_M=[sqrt{M}]+1 end{gather*} где квадратные скобки обозначают целую часть числа.
Например:
| (M) | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
| (N_M) | 4 | 11 | 33 | 101 | 317 | 1001 |
Таким образом, мы доказали, что действительно (lim_{nrightarrowinfty}n^2=+infty)
Ведь для любого сколь угодно большого (Mgt 0) мы можем указать такой номер (N_M=[sqrt{M}]), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_M, y_n=n^2gt M), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.
п.6. Примеры
Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажите, что:
a) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{n+1}{3-2n}=-frac12 )
По условию: $$ y_n=frac{n+1}{3-2n}, b=-frac12 $$ Находим (N_{varepsilon}) для произвольного ε>0 из неравенства (|y_n-b|ltvarepsilon)
$$ left|frac{n+1}{3-2n}+frac12right|ltvarepsilonRightarrow left|frac{2n+2+3-2n}{2(3-2n)}right| lt varepsilonRightarrow frac52left|frac{1}{3-2n}right|lt varepsilon $$ Знаменатель у дроби под модулем при (ngeq 2) отрицательный . Поэтому, раскрывая модуль, получаем: begin{gather*} frac52left|frac{1}{3-2n}right|=frac{5}{2(2n-3)}lt varepsilonRightarrow 2n-3gt frac{5}{2varepsilon}Rightarrow ngtfrac12left(frac{5}{2varepsilon}+3right)\ N_{varepsilon}=left[frac12left(frac{5}{2varepsilon}+3right)right]+1 end{gather*} Например:
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| (N_{varepsilon}) | 15 | 128 | 1253 | 12503 | 125003 | 1250003 |
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[frac12left(frac{5}{2varepsilon}+3right)right]+1), начиная с которого
(left|frac{n+1}{3-2n}+frac12right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}geq 2).
Что и требовалось доказать.
б) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{n^2+1}{3n^2+n+1}=frac13 )
По условию: $$ y_n=frac{n^2+1}{3n^2+n+1}, b=frac13 $$ Записываем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon):
$$ left|frac{n^2+1}{3n^2+n+1}-frac13right|ltvarepsilonRightarrow left|frac{3n^2+3-3n^2-n-1}{3(3n^2+n+1)}right| lt varepsilonRightarrow frac13left|frac{2-n}{3n^2+n+1}right|lt varepsilon $$ Раскрываем модуль: $$ frac13cdot left|frac{2-n}{3n^2+n+1}right|=frac{n-2}{3(3n^2+n+1)}lt varepsilon $$ Усилим неравенство, чтобы было легче найти (N_{varepsilon}). Заметим, что для (ngeq 3): begin{gather*} frac{n-2}{3(3n^2+n+1)}geqfrac{1}{3(3n^2+n+1)} = frac{1}{9left(n^2+frac n3+frac13right)}gtfrac{1}{9(n^2+2n+1)}=frac{1}{9(n+1)^2}\ frac{1}{9(n+1)^2}ltfrac{n-2}{3(3n^2+n+1)}lt varepsilonRightarrowfrac{1}{9(n+1)^2}lt varepsilonRightarrow (n+1)^2gtfrac{1}{9varepsilon}\ n+1gtfrac{1}{3sqrt{varepsilon}}Rightarrow ngtfrac{1}{3sqrt{varepsilon}}-1\ N_{varepsilon}=left[frac{1}{3sqrt{varepsilon}}-1right]+1 =left[frac{1}{3sqrt{varepsilon}}right], N_{varepsilon}geq 3 end{gather*} Например:
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| (N_{varepsilon}) | 3 | 3 | 11 | 33 | 105 | 333 |
Показанный приём с усилением неравенства часто применяется в математическом анализе. Найденное (N_{varepsilon}) немного больше «точного» значения, которое следует из исходной дроби (frac{n-2}{3(3n^2+n+1)}), но наша задача в том, чтобы обоснованно построить любое выражение для стартового номера (N_{varepsilon}) в зависимости от ε.
Если найденный номер будет немного больше исходного – не страшно; главное, чтобы он 1) был обоснован; 2) гарантировал размещение всех последующих (y_n, ngeq N_{varepsilon}) в ε окрестности предела b.
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[frac{1}{3sqrt{varepsilon}}right]), начиная с которого (left|frac{n^2+1}{3n^2+n+1}-frac13right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}geq 3).
Что и требовалось доказать.
в) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{3^n+1}{3^n}=1 )
По условию: $$ y_n=frac{3^n+1}{3^n}, b=1 $$ Записываем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon):
begin{gather*} left|frac{3^n+1}{3^n}-1right|ltvarepsilonRightarrow left|frac{3^n+1-3^n}{3^n}right|ltvarepsilonRightarrow frac{1}{3^n}lt varepsilonRightarrow 3^ngt frac1varepsilon\ ngtlog_3frac1varepsilonRightarrow ngt -log_3varepsilon\ N_{varepsilon}=left[-log_3varepsilonright]+1 end{gather*} Например:
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| (N_{varepsilon}) | 3 | 5 | 7 | 9 | 11 | 14 |
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[-log_3varepsilonright]), начиная с которого (left|frac{3^n+1}{3^n}-1right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}).
Что и требовалось доказать.
г) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}=frac15 )
По условию: $$ y_n=frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}, b=frac15 $$ Записываем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon):
begin{gather*} left|frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}-frac15right|ltvarepsilonRightarrow frac15left|frac{sqrt{n}-sqrt{n}-1}{sqrt{n}+1}right|ltvarepsilon Rightarrow frac{1}{5(sqrt{n}+1)}ltvarepsilonRightarrow sqrt{n}+1gtfrac{1}{5varepsilon}\ sqrt{n}gtfrac{1}{5varepsilon}-1Rightarrow ngtleft(frac{1}{5varepsilon-1}right)^2\ N_{varepsilon}=left[left(frac{1}{5varepsilon}-1right)^2right]+1 end{gather*} Например:
| ε | 0,1 | 0,01 | 0,001 | 0,0001 | 0,00001 | 0,000001 |
| (N_{varepsilon}) | 2 | 362 | 39602 | 3996002 | 4·108 | 4·1010 |
Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[left(frac{1}{5varepsilon}-1right)^2right]), начиная с которого (left|frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}-frac15right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}).
Что и требовалось доказать.
Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) ( lim_{nrightarrowinfty}2^n=+infty )
По условию: (y_n=2^n)
Записываем неравенство (|y_n|gt M):
begin{gather*} 2^ngt MRightarrow ngt log_2M\ N_M=left[log_2Mright]+1 end{gather*} Например:
| M | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
| NM | 4 | 8 | 11 | 14 | 18 | 21 |
Таким образом, для любого сколь угодно большого (Mgt 0) мы можем указать такой номер (N_M=left[log_2Mright]+1), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_M, y_n=2^ngt M).
Что и требовалось доказать.
б) ( lim_{nrightarrowinfty}sqrt{n+1}=+infty )
По условию: (y_n=sqrt{n+1})
Записываем неравенство (|y_n|gt M):
begin{gather*} sqrt{n+1}gt MRightarrow n+1gt M^2Rightarrow ngt M^2 -1\ N_M=left[M^2-1right]+1=left[M^2right] end{gather*} знак целой части оставляем, т.к. (Minmathbb{R}) – не обязательно целое.
Например:
| M | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 |
| NM | 100 | 10 000 | 1 000 000 | 108 | 1010 | 1012 |
Таким образом, для любого сколь угодно большого (Mgt 0) мы можем указать такой номер (N_M=left[M^2right]), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_M, y_n=sqrt{n+1}gt M).
Что и требовалось доказать.
Число a называется пределом числовой последовательности {xn}, если для любого как угодно малого положительного числа ε>0 найдется натуральное число N=N(ε), такое что при всех n>N выполняется неравенство |xn-a|<ε.
Если a является пределом последовательности то этому соответствует запись
Вычисление предела числовой последовательности
Пример 1 Легкое задание, которое учит выносить доминантные множители в дробях, которые дают наибольший вклад при номере, стремлящемся к бесконечности, и упрощать на них
В этом вся сложность алгоритма вычисления предела последовательности при переменной стремящейся к бесконечности, но бывают исключения, о которых поговорим делее.
Если последовательность сходится, то она имеет конечный лимит. Если предел равен бесконечности, то говорят, что такая последовательность расходится.
Для установления сходимости последовательностей нужно хорошо уметь находить пределі, что мы с Вами постоянно совершенствуем.
Пример 2 Имеем неопределенность вида бесконечность минус бесконечность (∞-∞), поэтому теорему о разнице пределов здесь применять нельзя. Преобразуем выражение, умножением и делением на сопряженное выражение. Для вычисления значения предела упрощаем дробь на выражение, что вносит наибольший вклад при аргументе стемящемся к бесконечности. Как выносить множители из под корня Вы должны научиться самостоятельно, без этого трудно будет раскрывать пределы с корнями.
Пример 3 Разницу корней в знаменателе дроби не уножаєм на сопряженное выражение, а просто номер n выносим из под корня (внимательно посмотрите как это делать), а дальше упрощаем с n выделенным в числителе
Пример 4 Последовательность из частки иррациональных выражений имеет конечную границу, если степень номера n в знаменателе равен степени в числителе (или больше). Его выделяем по указанной в методике формуле, и упрощаем
Пример 5 Найти предел последовательности 
Вычисления: Проанализировав, как меняются слагаемые для всех номеров k=2,3,4 можем записать формулу
Таким образом исходную сумму сводим к виду
Единого устоявшегося алгоритма, как раскрывать такие суммы нет. Порой можно увидеть простые схемы чередования слагаемых, в других заданиях бывает нужно вычислить суммы арифметических или геометрических прогрессий. Лишь бы оценить сверху, что последовательность ограничена, и к какому значению стремится.
Пример 6 Лимит последовательности из частки показательных выражений вычисляют путем выделения и упрощения доминантных множителей в числителе и знаменателе дроби. В заданном лимите основания равны 2 и 4, их можно свести к общему 4 в (высшем) степени ровному n. Все остальное и даст значение к которому стремится дробь.
Пример 7 Предел последовательности из разности бесконечно больших дробей раскрываем методом сведения их к общему знаменателю и упрощения в числителе и знаменателе множителя, что вносит главный вклад
Пример 8 Найти лимит последовательности
Вычисления: Представим общий член последовательности {xn} в виде
По теореме о границе показательной функции, она равна показателю от границы основы, если степень конечна. Отсюда lim{xn}=(3/4)^5.
Пример 9 В такого сорта заданиях вынесения n в главной степени за скобки в числителе и знаменателе дроби к упрощению не приведет. Попробуйте проверить самостоятельно, остается взглянуть в формулы сокращенного умножения и расписать разницы и суммы в кубе и в четвертой степени по следующим формулам
Таким образом, получим слагаемые с противоположными знаками, которые в сумме дадут 0, остальные слагаемые в предельном переходе упростятся по приведенной выше методике.
И напоследок, еще несколько решений на предел последовательности, которые предлагаем разобрать самостоятельно.
10 
11 
12 
13 
