Как найти предел сложной функции

Определение

Функция

имеет
предел

в
точке

,
предельной
для
области определения функции

,
если для каждой окрестности предела

существует
проколотая окрестность точки

,
образ которой при отображении

является
подмножеством заданной окрестности
точки

.

Пусть
функция у =
φ (x)
непрерывна в точке х₀,
а функция f
(y)
непрерывна в точке у₀
= φ (x₀),
тогда сложная функция f(φ(x))
непрерывна в точке х₀.

  Доказательство.
Выберем произвольную как угодно малую
окрестность U(z₀)
точки z₀
= f
(y₀).
Тогда в силу непрерывности функции f
(y)
найдётся такая окрестность V(y₀)
точки у₀,
что, если у

V(y₀),
то значения функции f
(y)

U(z₀).
Далее, для полученной окрестности V(y₀)
в силу непрерывности функции у
= φ (x)
в точке х₀
существует такая окрестность W(x₀),
что если х

W(x₀),
то значения функции у
= φ(x)

V(y₀).
Следовательно, для произвольной точки
х

W(x₀)
следует z
= f (φ(x))

U(z₀).
Что и требовалось доказать.

  Это
можно записать ещё и так

.

Указанное
выше свойство можно сформулировать в
виде правила замены переменной: пусть
функция у
= φ (x)
непрерывна в точке х₀,
а функция f
(y)
непрерывна в точке у₀
= φ(x₀),
тогда

6. Тригонометрические функции. Непрерывность тригонометрических функций

Рассмотрим
тригонометрические функции sin х,
cos х,
tg х,
ctg х,
sec x,
cosec х.

  Функция
sin х
непрерывна
в любой точке числовой прямой.

  Рассмотрим разность

,

если
|
x − x₀
|
мало, то | sin x
− sin x₀
|
тоже достаточно мало:

(

ε
> 0 ) (

δ
= δ (ε, x₀)
> 0 ) (

| x
– x₀
| < δ ) : | sin x
−
sin x₀
| < ε

Таким
образом, функция sin x
непрерывна в любой точке числовой оси.

  Непрерывность функции cos x
в любой точке числовой оси доказывается
аналогично. Рассмотрим разность

если
|
x −
x₀
|
мало, то |cos x
− cos x₀|
тоже достаточно мало:

(

ε
> 0 ) (

δ
= δ (ε, x₀)
> 0 ) (

| x
– x₀
| < δ ) : | cos x
–
cos x₀
| < ε

  Из
непрерывности функций sin x
и cos x
следует непрерывность функций tg x
и sec x
во всех точках, где cos x
≠ 0, т.е. во всех точках, кроме х
= p/2 + p· k
( k

Z),
и функций ctg x
и cosec x
во всех точках, кроме х
= p· k
(k
= 0, ±1, ±2,… ).

6-7. Непрерывность
тригонометрических функций. Предел
(Sin x)/x при х

1) Sin
x:

Lim Sin x =
Sin x₀
(при
хх₀)

|Sin x-Sin
x₀|=2*|Sin((x-x₀)/2)|*|Cos((x+x₀)/2)|
< 2*|(x-x₀)/2|=|x-x₀|
=> -|x-x₀|<Sin
x-Sin x₀<|x-x₀|
при
хх₀
=> -|x-x₀|0
& |x-x₀|
=> (по
теореме
о
порядковых
св-вах
предела)
(Sin x-Sin x₀)0

2) Cos
x:

Lim Cos x =
Cos x₀
(при
хх₀)

Cos x =
Sin (П/2
– x) = Sin y; Cos x₀
= Sin (П/2
– x₀)
= Sin y₀

|Sin y-Sin
y₀|=2*|Sin((y-y₀)/2)|*|Cos((y+y₀)/2)|
< 2*|(y-y₀)/2|=|y-y₀|
=> -|y-y₀|<Sin
y-Sin y₀<|y-y₀|
при
yy₀
-|y-yo|0
& |y-yo|0
=> (Sin y-Sin y₀)0
=> производим
обратную
замену:
[Sin (П/2
– x)-Sin(П/2
– x₀)]0
=> (Cos x-Cos x₀)0

3) Tg
x – непрерывная
ф-ция исключая точки х = П/2 +2Пк, кZ

4) Ctg
x – непрерывная
ф-ция исключая точки х = Пк, кZ

Теорема:
Lim (Sin x)/x=1 (при х0),
0<x<П/2

Доказательство:

Составляем нер-во
для площадей двух треугольников и одного
сектора (Sсект=х*R²)
откуда и получаем Sinx<x<Tgx, 0<x<П/2. =>
Cos x < (Sin x)/x < 1. Используем теорему о
порядковых св-ах предела ф-ции: Lim Cos
xLim
(Sin x)/x
при x0,
0<x<П/2. Испльзуем непрерывность
Сos1Lim
(Sin x)/x1
=> Lim (Sin x)/x =1, 0<x<П/2

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

В этой заметке речь пойдет о пределах. С ними сталкиваются в 10-11 классах на уроках физики, когда начинают выводить частоту колебаний математического или физического маятников. В математике с пределами сталкиваются, когда учащихся знакомят с производными и дифференцированием. Поэтому эта одно из самых базовых понятий математического анализа, в котором не должно быть пробелов.

Давайте начнем с простых (условно и относительно) пределов, которые вам могут попасться на первом курсе.

С некоторыми из них практически ничего не нужно делать, а только подставить значение…

А другие становятся легче, если разделить на общий одночлен, который представляет собой старшую степень переменной.

В пределах, имеющих радикалы частенько помогает домножение на “сопряженное” выражение. Также упростит понимание таких действий тот факт, если вы хорошо помните формулы сокращенного умножения, в частности разность квадратов.

Структурировать информацию лучше сразу

При переходе к функциям более сложного вида мы обязательно столкнемся с появлением выражений, значение которых не определено. Такие выражения называют неопределенностями.

Перечислим все основные виды неопределенностей:

1) ноль делить на ноль
2) бесконечность делить на бесконечность
3) ноль умножить на бесконечность
4) бесконечность минус бесконечность
5) единица в степени бесконечность
6) ноль в степени ноль формула
7) бесконечность в степени ноль

ВСЕ ДРУГИЕ ВЫРАЖЕНИЯ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЯМИ НЕ ЯВЛЯЮТСЯ И ПРИНИМАЮТ ВПОЛНЕ КОНКРЕТНОЕ КОНЕЧНОЕ ИЛИ БЕСКОНЕЧНОЕ ЗНАЧЕНИЕ.

Раскрывать неопределенности позволяет:

● упрощение вида функции (преобразование выражения с использованием формул сокращенного умножения, тригонометрических формул, домножением на сопряженные выражения с последующим сокращением и т.п.);
● использование замечательных пределов;
● применение правила Лопиталя;
● использование замены бесконечно малого выражения ему эквивалентным (использование таблицы эквивалентных бесконечно малых).

Самым мощным методом является правило Лопиталя, однако и оно не во всех случаях позволяет вычислить предел. К тому же напрямую оно применимо только к первому и второму из перечисленных видов неопределённостей, то есть отношениям, и чтобы раскрыть другие типы, их надо сначала привести к одному из этих.

Правила Лопиталя – очень мощный метод, позволяющий быстро и эффективно устранить указанные неопределенности. Если числитель и знаменатель являются бесконечно малыми или бесконечно большими одновременно, то можно посчитать отношениях производных этих функций. При дифференцировании числителя и знаменателя значение предела не меняется.

Иногда приходится применять правило Лопиталя последовательно несколько раз (делать несколько шагов), если от неопределенности не удается избавиться на первом шаге.Также для вычисления пределов часто используется разложение выражений, входящих в исследуемую неопределённость, в ряд Тейлора в окрестности предельной точки.

Для раскрытия неопределённостей видов 0^0, 1^∞, ∞^0 пользуются следующим приёмом: находят предел (натурального) логарифма выражения, содержащего данную неопределённость. В результате вид неопределённости меняется. После нахождения предела от него берут экспоненту.

Для раскрытия неопределённостей типа ∞/∞ используется следующий алгоритм:
● Выявление старшей степени переменной;
● Деление на эту переменную как числителя, так и знаменателя.Для раскрытия неопределённостей типа 0/0 существует следующий алгоритм:
● Разложение на множители числителя и знаменателя;
● Сокращение дроби.Для раскрытия неопределённостей типа ∞ – ∞ иногда удобно применить следующее преобразование:
● f(x) – g(x) = 1/ (1/f(x) ) – 1/(1/g(x)) = (1/g(x) – 1/f(x))/( (1/g(x)) * (1/f(x)) )

Данный вид неопределённостей может раскрываться с использованием асимптотических разложений уменьшаемого и вычитаемого, при этом бесконечно большие члены одного порядка должны уничтожаться.

При раскрытии неопределённостей также применяются замечательные пределы и их следствия.

Ещё немного примеров для закрепления материала

В пределах могут быть и суммы вместо функций. Подумайте какой подвох в следующем пределе ? Правильно ли получен ноль ?

Вы еще думаете, что пределы – это просто? А как насчет предела с параметром?

Интересная задачка по математике с параметрическим интегралом.
Чему равен предел lim[ I(a) ] при a → 0 если в качестве I(a) выступает интеграл: I(a) = Int( x⁵ ⋅ ( cos(a²x) + sin(5a²x) )^(x/a²) ) dx
в пределах от 2^a до 2^(a+1).

Так как предел считается от параметра, а параметр не зависит от переменной интегрирования, то вполне законно пронести предел внутрь выражения и применить его только к той части, которая представляет наибольшую сложность. Аппроксимация сводит выражение ко второму замечательному пределу. А дальше дело за аккуратными вычислениями интегралов по частям. Придумали другой способ? Напишите в комментариях.

Рассмотрим ещё один сложный предел, для которого вам не помогут табличные бесконечно малые функции в силу их небольшой точности

Интересный предел на базе второго замечательного предела.
Задача: вычислить предел lim(1/n + exp(-1/n))^(n²) при n → ∞

Пределы на базе второго замечательного могут быть очень запутанные. Приведу вам ещё один пример. Что может быть интереснее, чем посидеть зимним вечером за математическим анализом с чашечкой кофе? 🙂

Задание: найти предел

Естественно, интересно решить это аналитически. Потому что вбивать в математические пакеты сможет любой человек. Мы видим, что у нас одна зависящая от x функция возводится в степень другой зависимой от x функции. Уже это должно нам намекнуть “а не второй замечательный предел у нас тут спрятался?”

Конечно же он! Только нужно подойти к нему. Делаем искусственный прием, чтобы отсечь единичку от дроби, а оставшуюся часть заменить на некоторую переменную. Я назвал её t, но можно называть как угодно. Сразу же нужно посмотреть к чему будет стремиться данная переменная, при стремлении x —> 1. Видим, что стремление t происходит в бесконечность, а значит мы уже можем определиться с формой записи второго замечательного предела, под который будем подгонять наши преобразования.

Так как мы пытаемся перейти к t, в степени, в косинусе у нас находится голенькое x, то нам придется выразить его из предшествующей замены переменных. Получается квадратное уравнения, которое дает два корня. Эта неоднозначность не должна вас смущать, так как корень подходит только один, причем положительный для x, т.к. x —> 1 (значит x > 0)

Далее несколько преобразований приводят нас к тому, что у нас получается е в некоторой степени, лимит (предел) которой нам предстоит найти. Но степень оказывается тоже с неопределенностью в знаменателе 0 * infinity. Тогда мы искусственно перебрасываем лишнюю переменную в числитель. Применяем правило Лопиталя-Бернулли (предел отношений функций равен пределу отношения производных этих функций). И у нас получается что-то очень похожее на первый замечательный предел. Но на самом деле уже сюда достаточно подставить t = infinity и получить конечный ответ.

Решение полное будет выглядеть так:

Под вторым замечательным пределам также могут скрывать тригонометрические функции, которые также усложняют жизнь, потому что студенты часто пытаются разрешить их простейшими преобразованиями или разложением в ряд, что не всегда кончается успехом.

Например задание:

Интересный предел. Сложность в том, чтобы вспомнить универсальную тригонометрическую подстановку, затем не побояться её подставить и сделать правильную замену переменных, чтобы выделить второй замечательный предел.

Есть и задачи, где можно применить первый замечательный предел

Очередная интересная задача на нахождение предела. Не особо очевидное применение первого замечательного предела. Конечно же применение правила Бернулли — Лопиталя, возможно, упростило бы нахождение ответа, но разве ценителям математики интересны простые пути? 🙂

На сегодня закончим, ведь тут итак есть над чем задуматься. А с каким самым сложным пределом сталкивались вы на занятиях математикой? Расскажите об этом в комментариях!

Еще много полезного и интересного вы сможете найти на ресурсах:

Репетитор IT mentor в VK

Репетитор IT mentor в Instagram

Physics.Math.Code в контакте (VK)

Physics.Math.Code в telegram

Physics.Math.Code в YouTube

Предел сложной функции

Предел сложной функции

Теорема

Если функция %%y = f(x)%% имеет в точке %%a%% конечный предел %%b%% и не принимает значения %%b%% в некоторой проколотой окрестности %%stackrel{circ}{text{U}}(a)%% этой точки, а функция %%g(y)%% имеет в точке %%b%% конечный предел %%c%%, то сложная функция %%gbig(f(x)big)%% имеет предел в точке %%a%%, равный %%c%%.

---

Эту теорему нетрудно распространить на суперпозицию более двух функций. Она позволяет использовать замену переменных при вычислении пределов сложных функций по формуле
$$
limlimits_{x to a}{gbig(f(x)big)} = limlimits_{y to b}{g(y)}.
$$
При этом говорят, что под знаком предела в левой части сделана замена %%f(x) = y%%. Данная теорема и возможность замены переменных остаются в силе, если хотя бы одна из точек %%a, b, c%% будет соответствовать одной из бесконечных точек %%+infty%% или %%-infty%% (или их объединению %%infty%%) на расширенной числовой прямой.

Пример

Для нахождения предела функции %%arctan(1/(1-x))%% при %%x to 1 – 0%% сделаем замену %%y= 1 / (1 – x)%%.
Тогда при %%x to 1 – 0%% %%y to +infty%% получим
$$
limlimits_{x to 1-0}{arctanfrac{1}{1 – x}} = limlimits_{y to +infty}{arctan y} = frac{pi}{2}.
$$