Как найти предельную абсолютную погрешность приближенного числа

Абсолютная и
относительная погрешность числа.

В качестве
характеристик точности приближенных
величин любого происхождения вводятся
понятия абсолютной и относительной
погрешности этих величин.

Обозначим через
а приближение
к точному числу А.

Определени.
Величина
называется
погрешностью приближенного числаа.

Определение.
Абсолютной погрешностью

приближенного
числа а
называется
величина
.

Практически точное
число А обычно
неизвестно, но мы всегда можем указать
границы, в которых изменяется абсолютная
погрешность.

Определение.
Предельной абсолютной погрешностью

приближенного
числа а
называется
наименьшая из верхних границ для величины
,
которую можно найти при данном способе
получения числаа.

На практике в
качестве

выбирают одну
из верхних границ для
,
достаточно близкую к наименьшей.

Поскольку
,
то.
Иногда пишут:.

Абсолютная
погрешность
– это разница между результатом измерения

и истинным
(действительным) значением
измеряемой
величины.

Абсолютная
погрешность и предельная абсолютная
погрешность не достаточны для
характеристики точности измерения или
вычисления. Качественно более существенна
величина относительной погрешности.

Определение.
Относительной погрешностью

приближенного
числа а назовем
величину:

Определение.
Предельной относительной погрешностью

приближенного
числа а назовем
величину

Так как
.

Таким образом,
относительная погрешность определяет
фактически величину абсолютной
погрешности, приходящейся на единицу
измеряемого или вычисляемого приближенного
числа а.

Пример.
Округляя
точные числа А до трех значащих цифр,
определить

абсолютную Dи относительную
δ погрешности полученных приближенных

чисел.

Дано:

А=-13,327

Найти:

∆-абсолютная
погрешность

δ –относительная
погрешность

Решение:

=|А-а|

А=а±.

a=-13.3

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a0

*100%=0.203%

Ответ: =0,027;
δ=0.203%

2.Десятичная запись приближенного числа. Значащая цифра. Верные знаки числа(определение верных и значащих цифр, примеры; теория о связи относительной погрешности и числа верных знаков).

Верные знаки числа.

Определение.
Значащей цифрой приближенного числа а
называется
всякая цифра, отличная от нуля, и нуль,
если он расположен между значащими
цифрами или является представителем
сохраненного десятичного разряда.

Например, в числе
0,00507 =
имеем
3 значащие цифры, а в числе 0,005070=значащие цифры,
т.е. нуль справа, сохраняя десятичный
разряд, является значащим.

Условимся впредь
нули справа записывать, если только они
являются значащими. Тогда, иначе говоря,

значащими являются
все цифры числа а,
кроме нулей слева.

В десятичной
системе счисления всякое число а
может быть
представлено в виде конечной или
бесконечной суммы (десятичной дроби):

где
,
– первая значащая
цифра, m –
целое число, называемое старшим десятичным
разрядом числа а.

Например, 518,3
=,
m=2.

Пользуясь записью

,
введем понятие о верных десятичных
знаках (в значащих цифрах) приближенно-

го числа.

Определение.
Говорят, что в приближенном числе а
формы

n –
первых значащих цифр
,

где i=
m, m-1,…, m-n+1 являются
верными, если абсолютная погрешность
этого числа не превышает половины
единицы разряда, выражаемого n-й
значащей цифрой:

В противном случае
последняя цифра

называется
сомнительной.

При записи
приближенного числа без указания его
погрешности требуют, чтобы все записанные
цифры

были верными. Это
требование соблюдено во всех математических
таблицах.

Термин “n
верных знаков”
характеризует лишь степень точности
приближенного числа и его не следует
понимать так, что n
первых значащих
цифр приближенного числа а
совпадает с
соответствующими цифрами точного числа
А.
Например, у чисел А=10,
а=9,997 все
значащие цифры различны, но число а
имеет 3 верных
значащих цифры. Действительно, здесь
m=0 и
n=3
(находим
подбором).

На практике
отыскание n из

при
известных

и
m требует
решения нелинейного неравенства, что
составляет непростую задачу. Правильный
выбор n возможен
из тривиального линейного равенства
по следующей методике.

Величину

записываем в
виде
,
где 0,05<d≤0,5,
что всегда возможно. Тогда в

неравенство для

коэффициентов
выполняется (d≤1/2), основания степеней
справа и слева одинаковы , поэтому можем
приравнять показатели степеней: s=m-n+1,
поэтому n=m-s+1.

ТЕОРЕМА 1 .
Если положительное приближенное число
а имеет
n верных
десятичных знаков, то для относительной
погрешности

этого числа
справедлива оценка:

где

– первая значащая
цифра числа а.

Доказательство.
Пусть число а
определено
формулой

со знаком +
перед скобкой.
По условию а
имеет n
верных знаков,
следовательно

Тогда

Следствие.
В качестве предельной относительной
погрешности числа а
можно принять

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

ПРИБЛИЖЕННЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности
2. Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений.
3. Вычисление погрешностей величин и арифметических действий
4. Методы оценки погрешности приближенных вычислений

1. Приближенное значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

Решение практических задач, как правило, связано с числовыми значениями величин. Эти значения получаются либо в результате измерения, либо в результате вычислений. В большинстве случаев значения величин, которыми приходится оперировать, являются приближенными.

Пусть X – точное значение некоторой величины, а х – наилучшее из известных ее приближенных значений. В этом случае погрешность (или ошибка) приближения х определяется разностью Х-х. Обычно знак этой ошибки не имеет решающего значения, поэтому рассматривают ее абсолютную величину:

Величина ех, называемая абсолютной погрешностью приближенного значения х, в большинстве случаев остается неизвестной, так как для ее вычисления нужно точное значение X. Вместе с тем, на практике обычно удается установить верхнюю границу абсолютной погрешности, т.е. такое (по возможности наименьшее) число  для которого справедливо неравенство

Число  в этом случае называется предельной абсолютной погрешностью, или границей абсолютной погрешности приближения х.

Таким образом, предельная абсолютная погрешность приближенного числа х – это всякое число , не меньшее абсолютной погрешности ех этого числа.

Пример: Возьмем число . Если же вызвать  на индикатор 8-разрядного МК, получим приближение этого числа: Попытаемся выразить абсолютную погрешность значения . Получили бесконечную дробь, не пригодную для практических расчетов. Очевидно, однако, что  следовательно, число 0,00000006 = 0,6 * 10-7 можно считать предельной абсолютной погрешностью приближения , используемого МК вместо числа

Неравенство (2) позволяет установить приближения к точному значению X по недостатку и избытку:

которые могут рассматриваться как одна из возможных пар значений соответственно нижней границы (НГ) и верхней границы (ВГ) приближения х:

Во многих случаях значения границы абсолютной ошибки  так же как и наилучшие значения приближения х, получаются на практике в результате измерений. Пусть, например, в результате повторных измерений одной и той же величины х получены значения: 5,2; 5,3; 5,4; 5,3. В этом случае естественно принять за наилучшее приближение измеряемой величины среднее значение х=5,3. Очевидно также, что граничными значениями величины х в данном случае будут НГХ= 5,2, ВГХ = 5,4, а граница абсолютной погрешности х может быть определена как половина длины интервала, образуемого граничными значениями НГХ и ВГХ,

т.е.

По абсолютной погрешности нельзя в полной мере судить о точности измерений или вычислений. Качество приближения характеризуется величиной относительной погрешности, которая определяется как отношение ошибки ех к модулю значения X(когда оно неизвестно, то к модулю приближения х).

 Предельной относительной погрешностью (или границей относительной погрешности)  приближенного числа называется отношение предельной абсолютной погрешности к абсолютному значению приближения х:

Формула (5) позволяет при необходимости выражать абсолютную погрешность через относительную:

Относительную погрешность выражают обычно в процентах.

Пример  Определим предельные погрешности числа х=3,14 как приближенного значения π. Так как π=3,1415926…., то  |π-3,14|<0,0015927<0,0016=по формуле связи получаем таким образом

1. Верные и значащие цифры. Запись приближенных значений

Цифра числа называется верной (в широком смысле), если ее абсолютная погрешность не превосходит единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Пример. Х=6,328 Х=0,0007 X<0,001 следовательно цифра 8-верная

Пример: А). Пусть 0 = 2,91385,  В числе а верны в широком смысле цифры 2, 9, 1.

Б) Возьмем в качестве приближения к числу = 3,141592… число = 3,142. Тогда  (рис.) откуда следует, что в приближенном значении = 3,142 все цифры являются верными.

В) Вычислим на 8-разрядном МК частное точных чисел 3,2 и 2,3, получим ответ: 1,3913043. Ответ содержит ошибку, поскольку

Рис.  Приближение числа π

разрядная сетка МК не вместила всех цифр результата и все разряды начиная с восьмого были опущены. (В том, что ответ неточен, легко убедиться, проверив деление умножением: 1,3913043 2,3 = 3,9999998.) Не зная истинного значения допущенной ошибки, вычислитель в подобной ситуации всегда может быть уверен, что ее величина не превышает единицы самого младшего из изображенных на индикаторе разряда результата. Следовательно, в полученном результате все цифры верны.

Первая отброшенная (неверная) цифра часто называется сомнительной.

Говорят, что приближенное данное записано правильно, если в его записи все цифры верные. Если число записано правильно, то по одной только его записи в виде десятичной дроби можно судить о точности этого числа. Пусть, например, записано приближенное число а = 16,784, в котором все цифры верны. Из того, что верна последняя цифра 4, которая стоит в разряде тысячных, следует, что абсолютная погрешность значения а не превышает 0,001. Это значит, что можно принять  т.е. а = 16,784±0,001.

Очевидно, что правильная запись приближенных данных не только допускает, но и обязывает выписывать нули в последних разрядах, если эти нули являются выражением верных цифр. Например, в записи = 109,070 нуль в конце означает, что цифра в разряде тысячных верна и она равна нулю. Предельной абсолютной погрешностью значения , как следует из записи, можно считать  Для сравнения можно заметить, что значение с = 109,07 является менее точным, так как из его записи приходится принять, что

Значащими цифрами в записи числа называются все цифры в его десятичном изображении, отличные от нуля, и нули, если они расположены между значащими цифрами или стоят в конце для выражения верных знаков.

Пример  а) 0,2409 – четыре значащие цифры; б) 24,09 – четыре значащие цифры; в) 100,700 – шесть значащих цифр.

Выдача числовых значений в ЭВМ, как правило, устроена таким образом, что нули в конце записи числа, даже если они верные, не сообщаются. Это означает, что если, например, ЭВМ показывает результат 247,064 и в то же время известно, что в этом результате верными должны быть восемь значащих цифр, то полученный ответ следует дополнить нулями: 247,06400.

В процессе вычислений часто происходит округление чисел, т.е. замена чисел их значениями с меньшим количеством значащих цифр. При округлении возникает погрешность, называемая погрешностью округления. Пусть х – данное число, а х1 – результат округления. Погрешность округления определяется как модуль разности прежнего и нового значений числа:

В отдельных случаях вместо ∆окр приходится использовать его верхнюю оценку.

Пример  Выполним на 8-разрядном МК действие 1/6. На индикаторе высветится число 0,1666666. Произошло автоматическое округление бесконечной десятичной дроби 0,1(6) до числа разрядов, вмещающихся в регистре МК. При этом можно принять

Цифра числа называется верной в строгом смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превосходит половины единицы разряда, в котором стоит эта цифра.

Правила записи приближенных чисел.

1. Приближенные числа записываются в форме х ± х. Запись X = х ± x означает, что неизвестная величина X удовлетворяет следующим неравенствам:     x-x <= X <= x+x

При этом погрешность х рекомендуется подбирать так, чтобы

а) в записи х было не более 1-2 значащих цифр;

б) младшие разряды в записи чисел х и х соответствовали друг другу.

Примеры:  23,4±0,2 ;   2,730±0,017 ;   -6,970,10.

1. Приближенное число может быть записано без явного указания  его  предельной абсолютной погрешности. В этом случае в его  записи  (мантиссе)  должны  присутствовать только верные цифры (в широком смысле, если не сказано обратное). Тогда по самой записи числа можно судить о его точности.

Примеры. Если в числе А=5,83 все цифры верны в строгом смысле, то А=0,005. Запись В=3,2 подразумевает, что В=0,1. А по записи С=3,200 мы можем заключить, что С=0,001. Таким образом, записи 3,2 и 3,200  в теории приближенных вычислений означают не одно и то же.

 Цифры в записи приближенного числа, о которых нам неизвестно, верны они или нет, называются сомнительными. Сомнительные цифры (одну-две) оставляют в  записи чисел промежуточных результатов для сохранения  точности  вычислений.  В окончательном результате сомнительные цифры отбрасываются.

Округление чисел.

1. Правило округления. Если в старшем из отбрасываемых  разрядов  стоит  цифра меньше пяти, то содержимое сохраняемых разрядов числа не изменяется. В противном случае в младший сохраняемый разряд добавляется единица с тем же знаком, что и у самого числа.
2. При округлении числа, записанного в форме х±х, его  предельная  абсолютная погрешность увеличивается с учетом погрешности округления.

Пример: Округлим до сотых число 4,5371±0,0482. Неправильно было бы записать 4,54±0,05 ,  так как погрешность  округленного числа складывается из погрешности исходного числа и погрешности округления.  В данном случае она равна 0,0482 + 0,0029 = 0,0511 .  Округлять погрешности всегда следует с избытком, поэтому окончательный ответ:  4,54±0,06.

Пример  Пусть в приближенном значении а = 16,395 все цифры верны в широком смысле. Округлим а до сотых: a1 = 16,40. Погрешность округления  Для нахождения полной погрешности , нужно сложить c погрешностью исходного значения а1 которая в данном случае может быть найдена из условия, что все цифры в записи а верны: = 0,001. Таким образом, . Отсюда следует, что в значении a1 = 16,40 цифра 0 не верна в строгом смысле.

1. Вычисление погрешностей арифметических действий

1. Сложение и вычитание. Предельной абсолютной погрешностью алгебраической суммы является сумма соответствующих погрешностей слагаемых:

Ф.1                               (X+Y) = Х + Y ,       (X-Y) = Х + Y .

Пример.  Даны приближенные числа Х = 34,38 и Y = 15,23 , все цифры верны в строгом смысле. Найти (X-Y) и (X-Y). По формуле Ф.1 получаем:

(X-Y) = 0,005 + 0,005 = 0,01.

Относительную погрешность получим по формуле связи:

2. Умножение и деление. Если   Х << |Х| и Y << |Y|,   то имеет место следующая формула:

Ф.2                                     (X · Y) = (X/Y) = X + Y.

Пример. Найти (X·Y) и (X·Y) для чисел из предыдущего примера. Сначала с помощью формулы Ф.2 найдем (X·Y):

(X·Y)= X + Y=0,00015+0,00033=0,00048

Теперь (X·Y) найдем с помощью формулы связи:

(X·Y) = |X·Y|·(X·Y) = |34,38 -15,23|·0,00048  0,26 .

3. Возведение в степень и извлечение корня. Если   Х << |Х| , то справедливы формулы

Ф.З

4. Функция одной переменной. 

Пусть даны аналитическая функция f(x) и приближенное число с ± с. Тогда, обозначая через  малое приращение аргумента, можно написать

Если f ‘(с)  0, то приращение функции f(с+) – f(c) можно оценить ее дифференциалом:

f(c+) – f(c)  f ‘(c) ·.

Если погрешность с достаточно мала, получаем окончательно следующую формулу:

Ф.4                                               f(c) = |f ‘(с)|· с .

Пример.  Даны   f(x) = arcsin x , с = 0,5 , с = 0,05 . Вычислить f(с).

Применим формулу Ф.4:    

5. Функция нескольких переменных.

Для функции нескольких переменных f(x1, … , хn) при xk= ck ± ck справедлива формула, аналогичная Ф.4:

Ф.5             f(c1, … ,сn)  l df(c1, … ,сn) | = |f ‘x1 (с1)|·с1+… + |f ‘xn (сn)|· сn.

Пример  Пусть х = 1,5, причем  т.е. все цифры в числе х верны в строгом смысле. Вычислим значение tg x. С помощью МК получаем: tgl,5= 14,10141994. Для определения верных цифр в результате оценим его абсолютную погрешность:  отсюда следует, что в полученном значении tgl,5 ни одну цифру нельзя считать верной.

1. Методы оценки погрешности приближенных вычислений

Существуют строгие и нестрогие методы оценки точности результатов вычислений.

1.   Строгий метод итоговой оценки. Если приближенные вычисления выполняются по сравнительно простой формуле, то с помощью формул Ф.1-Ф.5 и формул связи погрешностей можно вывести формулу итоговой погрешности вычислений. Вывод формулы и оценка погрешности вычислений с ее помощью составляют суть данного метода.

Пример Значения a = 23,1 и b = 5,24 даны цифрами, верными в строгом смысле. Вычислить значение выражения

С помощью МК получаем В = 0,2921247. Используя формулы относительных погрешностей частного и произведения, запишем:

 т.е.

Пользуясь МК, получим 5, что дает . Это означает, что в результате две цифры после запятой верны в строгом смысле: В=0,29±0,001.

2.   Метод строгого пооперационного учета погрешностей. Иногда попытка применения метода итоговой оценки приводит к слишком громоздкой формуле. В этом случае более целесообразным может оказаться применение данного метода. Он заключается в том, что оценивается точность каждой операции вычислений отдельно с помощью тех же формул Ф.1-Ф.5 и формул связи.        

3.   Метод подсчета верных цифр. Данный метод относится к нестрогим. Оценка точности вычислений, которую он дает, в принципе не гарантирована (в отличие  от строгих методов), но на практике является довольно надежной. Суть метода заключается в том, что после каждой операции вычислений в полученном числе определяется количество верных цифр с помощью нижеследующие правил.

П.1. При сложении и вычитании приближенных чисел в результате верными следует считать, те цифры, десятичным разрядам которых соответствуют верные цифры во всех слагаемых. Цифры всех других разрядов кроме самого старшего из них перед выполнением сложения или вычитания должны быть округлены во всех слагаемых.

П.2. При умножении и делении приближенных чисел в результате верными следует считать столько значащих цифр, сколько их имеет приближенное данное с наименьшим количеством верных значащих цифр. Перед  выполнением  этих  действий среди приближенных данных нужно выбрать число с наименьшим количеством значащих цифр и округлить остальные числа так, чтобы они имели лишь на одну значащую цифру больше него.

П.З. При возведении в квадрат или в куб, а также при извлечении квадратного или кубического корня в результате следует считать верными столько значащих цифр, сколько имелось верных значащих цифр в исходном числе.

П.4. Количество верных цифр в результате вычисления функции зависит от величины модуля производной и от количества верных цифр в аргументе. Если модуль производной близок к числу 10k  (k – целое), то в результате количество верных цифр относительно запятой на k меньше (если k отрицательно, то – больше), чем их было в аргументе. В данной лабораторной работе для  определенности  примем соглашение считать модуль, производной близким к 10k , если имеет  место  неравенство:

0,2·10K  < |f ‘(X) |  2·10k  .

П.5. В промежуточных результатах помимо верных цифр следует оставлять одну  сомнительную цифру (остальные сомнительные цифры можно округлять) для сохранения точности вычислений. В окончательном результате оставляют только верные цифры.

Вычисления по методу границ

Если нужно иметь абсолютно гарантированные границы возможных значений вычисляемой величины, используют специальный метод вычислений – метод границ.

Пусть f(x, у) – функция, непрерывная и монотонная в некоторой области допустимых значений аргументов х и у. Нужно получить ее значение f(a, b), где а и b – приближенные значения аргументов, причем достоверно известно, что

Здесь НГ, ВГ – обозначения соответственно нижней и верхней границ значений параметров. Итак, вопрос состоит в том, чтобы найти строгие границы значения f(a, b), при известных границах значений а и b.

Допустим, что функция f(x, у) возрастает по каждому из аргументов x и y. Тогда

f(НГа, НГb< f(a, b)<f(ВГa ВГb).

Пусть f(x, у) возрастает по аргументу х и убывает по аргументу у. Тогда будет строго гарантировано неравенство

f(НГa ВГb)< f(a, b)< f(ВГa, НГb).

Указанный принцип особенно очевиден для основных арифметических действий. Пусть, например, f(x, у)=х + у. Тогда очевидно, что

Точно так же для функции f2(x, у) = х–у (она по х возрастает, а по у убывает) имеем

Аналогично для умножения и деления:

	НГа*НГb<а * b<ВГa*ВГb.
	НГа/ВГb<а / b<ВГa/НГb.

Пример. Вычислите значение где 2,57<=x<=2,58;  1,45<=y<=1,46;  8,33<=z<=8,34

Действие	Содержимое	НГ	ВГ
1	X	2.57	2.58
2	Y	1.45	1.46
3	Z	8.33	8.34
4	x+y	4.02	4.04
5	x-y	1.11	1.13
6	(x-y)z	9.24	9.43
7		2.28	2.35

Пример. В табл.  приведены вычисления по формуле  методом границ. Нижняя и верхняя границы значений a и b определены из условия, что в исходных данных а = 2,156 и b = 0,927 все цифры верны в строгом смысле (∆a = ∆b = 0,0005), т.е. 2,1555<а<2,1565; 0,92650,9275.

	a	b	ea			b2	a+b2		A
НГ	2,1555	0,9265	8,63220	0,96255	9,59475	0,85840	3,01434	1,10338	8,6894
ВГ	2,15,65	0,9275	8,64084	0,96307	9,60391	0,86026	3,01676	1,10419	8,7041

Рис. Связь между абсолютной погрешностью и границами

Таким образом, результат вычислений значения А по методу границ имеет следующий вид:

8,6894 <А< 8,7041.

Раздел
1

Приближенные
числа и действия над ними

Лекция 1.

1.1.
Приближенное
значение величины. Абсолютная и относительная погрешности

План лекции

1.       Приближенное значение величины. Погрешность

2.       Численные методы

3.       Абсолютная и относительная погрешности

1. Приближенное значение величины.
Погрешность

В процессе решения задачи вычислитель сталкивается с
различными числами, которые могут быть точными или приближенными. Точные числа
дают истинное значение величины числа, приближенные – близкое к истинному,
причем степень близости определяется погрешностью вычисления.

Например, в утверждениях: «куб имеет 6 граней»; «на руке 5
пальцев»; «в классе 32 ученика»; «в книге 582 страницы» числа 6, 5, 32, 582 –
точные. В утверждениях: «ширина дома 14,25 м»; «вес коробки 50 г»; «в лесу
около 5000 деревьев» числа 14,25; 50; 5000 – приближенные. Измерение ширины
дома производится измерительными средствами, которые сами могут быть неточными;
кроме того, измеритель при измерении допускает ошибку (погрешность). При
взвешивании коробки также допускается ошибка, так как автоматические весы не
чувствительны к увеличению или уменьшению веса на 0,5 г. Произвести точно
подсчет количества деревьев в лесу невозможно, так как некоторые деревья могут
быть подсчитаны дважды; другие совсем не включались в счет; некоторые деревья
были отнесены к кустарникам и исключены из счета, и, наоборот, кустарники
включены в счет количества деревьев.

Во многих случаях жизни невозможно найти точное значение
величины числа и вычислителю приходится довольствоваться его приближенным
значением. Кроме того, очень часто вычислитель сознательно заменяет точное
значение приближенным в целях упрощения вычислений.

Таким образом, приближенным
числом а называется число, незначительно
отличающееся от точного числа А и заменяющее последнее в вычислениях.

При решении той или иной задачи вручную или на
вычислительной машине мы получаем числовой результат, который, как правило, не
является точным, так как при постановке задачи и в ходе вычислений возникают погрешности. Поэтому любая задача, связанная с
массовыми действиями над числами, может быть решена с той или иной степенью
точности. В связи с этим при постановке задачи должна быть указана точность ее
решения, т. е. задана погрешность, максимально допустимая в процессе всех вычислений.

Источниками погрешностей (ошибок) могут быть:

1) неточное отображение реальных процессов с помощью
математики, в связи с чем рассматривается не сам процесс, а его
идеализированная математическая модель. Не всегда реальные явления природы
можно точно отобразить математически. Поэтому принимаются условия, упрощающие
решение задачи, что вызывает появление погрешностей. Некоторые задачи
невозможно решить в точной постановке и они могут заменяться другими задачами,
близкими по результатам первым. При этом также возникают погрешности;

2) приближенное выражение величин, входящих в условие
задачи, вследствие их неточного измерения. Это погрешности исходных данных,
физических констант, чисел π, е и др.;

3) замена бесконечных процессов, пределами которых являются
искомые величины, конечной последовательностью действий. Сюда относятся
погрешности, образующиеся в результате обрыва какого-то бесконечного процесса
на некотором этапе. Например, если в ряде

sin x = x-x3/3!+x5/5!-x7/7!+…

взять определенное количество членов и принять их сумму за
sin х, то мы, естественно, допускаем погрешность;

4) округление исходных данных, промежуточных или
окончательных результатов, когда при вычислениях используется лишь конечное
число цифр числа.

При отбрасывании младших разрядов числа имеет место
погрешность. Пусть, например, число 0,7835478931 требуется записать в ячейку
электронной цифровой вычислительной машины с разрядной сеткой, допускающей
запись семизначного десятичного числа. Поэтому данное число нужно округлить
так, чтобы в нем осталось не более семи знаков после запятой. Тогда округленное
число примет следующий вид: 0,7835479;

5) кроме указанных выше случаев, погрешности могут
появляться в результате действий над приближенными числами. В этом случае
погрешности исходных данных в какой-то мере переносятся на результат
вычислений.

Полная погрешность является результатом сложного
взаимодействия всех видов погрешностей. При решении конкретных задач те или
иные погрешности могут отсутствовать или мало влиять на образование полной
погрешности. Однако для полного анализа погрешностей необходимо учитывать все
их виды.

Во всех случаях полная погрешность не может превышать по
своей абсолютной величине суммы абсолютных величин всех видов погрешностей, но
обычно она редко достигает такой максимальной величины.

Таким образом, погрешности можно подразделить на три
большие группы:

1) исходные, или неустранимые, к которым относятся
погрешности, возникающие в результате приближенного описания реальных процессов
и неточного задания исходных данных, а также погрешности, связанные с
действиями над приближенными числами. Эти погрешности проходят через все
вычисления и, являются неустранимыми;

2) погрешности округления (зарождающиеся), которые
появляются в результате округления исходных данных, промежуточных и
окончательных результатов;

3) остаточные, возникающие в результате замены бесконечных
процессов конечной последовательностью действий;

2. Численные методы

На практике в большинстве случаев найти точное решение
математических задач не удается. Это происходит главным образом не потому, что
мы не умеем это сделать, а поскольку искомое решение обычно не выражается в
привычным для нас элементарных или других известных функциях. Поэтому важное
значение приобрели методы, особенно в связи с возрастанием роли математических
методов в различных областях науки и техники и с появлением высокопроизводительных
ЭВМ.

Под численными методами подразумевается методы решения
задач, сводящиеся к арифметическим и некоторых логическим действиям над
числами, т.е. к тем действиям, которые выполняет ЭВМ.

В зависимости от сложности задачи, заданной точности,
применяемого метода и т.д. может потребоваться выполнить от нескольких десятков
многих миллиардов действий. Если число действий не превышают тысячи, то с такой
задачей обычно может справиться человек, имя в распоряжении калькулятор и набор
таблиц элементарных функций. Однако без ЭВМ явно не обойтись, если для решения
задач нужно выполнить, скажем, порядка миллиона действий и тем более, когда
решение должно быть найдено в жатые сроки.

Решение, полученное численным методом, обычно является
приближенным, т.е. содержит некоторую погрешность.

Оценка погрешности может быть произведена: с помощью
абсолютной погрешности; с помощью относительной погрешности; с помощью
остаточного члена; с помощью статистических оценок.

При работе с приближенными величинами вычислитель должен
уметь:

а) давать математические характеристики точности
приближенных величин;

б) зная степень точности исходных данных, оценить степень
точности результатов;

в) брать исходные данные с такой степенью точности, чтобы
обеспечить заданную точность результата. В этом случае не следует слишком
завышать точность исходных данных, чтобы избавить вычислителя от бесполезных
расчетов;

г) уметь правильно построить вычислительный процесс, чтобы
избавить его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

3. Абсолютная и относительная
погрешности

Пусть a – точное, вообще говоря, неизвестное
числовое значение некоторой величины.

a* –
известное приближенное числовое значение этой величины (приближенное число).

Абсолютная величина разности между точным числом и его
приближенным значением  называется абсолютной погрешностью приближенного числа:

                                    
                                                                                   (1)

Здесь возможны два случая.

1. Точное чиcло а нам известно. Тогда абсолютная;
погрешность приближенного числа легко находится по формуле (1).

Пример 1. Пусть a
= 784,2737, a* = 784,274; тогда; абсолютная погрешность Δа
= |а- a*| = |784,2737—784,274| = 0,0003.

2. Точное число a нам неизвестно, тогда вычислить
абсолютную погрешность по формуле (1) нельзя. Поэтому пользуются понятием
границы абсолютной погрешности, удовлетворяющей неравенству

|a – a*|  Δ_а*

Граница абсолютной погрешности, т. е. число, заведомо
превышающее абсолютную погрешность (или в крайнем случае равное ей), называется
предельной абсолютной погрешностью.

Следовательно, если Δ_а* – предельная
абсолютная погрешность, то

Δ(а*) = |а- a*| Δ_а*                                                                                                                 (2)

Значение точного числа А всегда заключено в следующих
границах:

a* – Δ_а* a  a* + Δ_а*.                                                                                                            (3)

Выражение a* – Δ_а* есть приближение числа
a по недостатку, а а + Δ_а* – приближение числа a
по избытку. Значение числа a записывается так:

a = а ± Δ_а*                                                                                                                                 (3′)

На
практике часто применяют выражения типа: «с точностью до 0,01»; «с точностью до
1 см и т. д. Это означает, что предельная абсолютная погрешность соответственно
равна 0,01; 1 см и т. д.

Пример 4. Если длина отрезка l = 184 см измерена с точностью до 0,05
см, то пишут l= 184 см ±0,05 см. Здесь предельная абсолютная
погрешность Δ_l*= 0,05 см, а точная величина
длины l отрезка заключена в следующих
границах: 183,95 см  l  184,05 см.

По
абсолютной и предельной абсолютной погрешностям нельзя судить о том, хорошо или
плохо произведено измерение.

Пример 5. Пусть при измерении книги и
длины стола были получены результаты: l₁ =
28,4 ±0,1 (см) и l₂ = 110,3 ±0,1 (см). И в первом, и во
втором случае предельная абсолютная погрешность составляет 0,1 см. Однако
второе измерение было произведено более точно, чем первое.

Для
того чтобы определить качество произведенных измерений, необходимо определить,
какую долю составляет абсолютная или предельная абсолютная погрешность от
измеряемой величины, В связи с этим вводится понятие относительной погрешности.

Относительной
погрешностью _а приближенного числа а называется
отношение абсолютной погрешности Δ_а к модулю точного числа А
(А0), т.е.

_а=                                          (4)

Отсюда

Δ_а = |A| _а                                         (4’)

Число
^*_а, заведомо
превышающее относительную погрешность (или в крайнем случае равное ей),
называется предельной относительной погрешностью:

_а^*_а
.         
                               (5)

Из
соотношений (4) и (5) вытекает, что

^*_а; Δ_а|A| _а*.

Из
определения предельной абсолютной погрешности следует, что Δ_аΔ_а^*_.
Тогда можно записать

Δ_а^*=|A| _а*.          
                        (6)

и
за предельную относительную погрешность приближенного числа а можно
принять

_а* = .                                         (7)

Учитывая,
что А, как правило, неизвестно и  что А  а,
равенства (6) и (7) можно записать так:

Δ_а^*=|a| _а*,                                        
(6′)

_а* = .                                         (7’)

Очевидно, что как
относительная погрешность, так и предельная относительная погрешность
представляют собой отвлеченные числа, не зависящие от единиц, в которых
выражаются результаты измерений.

X	Δx	Y	Δy
50030’10’’	3’’	45015’36’’	2’’

http://umka.nrpk8.ru/library/courses/chm/ch01s04.dbk

1.4. Погрешности приближенных вычислений
Тема 1. Введение. Приближенные числа и действия над ними. Оценка точности вычислений

1.4. Погрешности приближенных вычислений
Понятие о погрешности приближения

Естественно, что приближенное и точное число всегда отличаются друг от друга. Иначе говоря, при приближении возникает некоторая погрешность приближения. Причем, в математике различают относительную и абсолютную погрешность.

Определение

Абсолютной погрешностью (или, просто, погрешностью) приближенного числа называют разность между этим числом и его точным значением (при этом из большего числа вычитается меньшее) .

Пример

При округлении числа 1284 до 1300 абсолютная погрешность составляет 1300-1284=16. А при округлении до 1280 абсолютная погрешность составляет 1280-1284 = 4.

Определение

Относительной погрешностью приближенного числа называется отношение абсолютной погрешности приближенного числа к самому этому (точному) числу.

Пример

При округлении числа 197 до 200 абсолютная погрешность составляет 200-197 = 3. Относительная погрешность равна 3/197 ≈ 0,01523 или приближенно 3/200 ≈ 1,5%.

В большинстве случаев невозможно узнать точное значение приближенного числа, а значит и точную величину погрешности. Однако почти всегда можно установить, что погрешность (абсолютная или относительная) не превосходит некоторого числа.

Например, продавец взвешивает арбуз на чашечных весах. В наборе гирь наименьшая – 50 г. Взвешивание дало 3600 г. Это число – приближенное. Точный вес арбуза неизвестен. Но абсолютная погрешность не превышает 50 г. Относительная погрешность не превышает 50/3600 ≈ 1,4%.

Определение

Число, заведомо превышающее абсолютную погрешность (или в худшем случае равное ей) , называется предельной абсолютной погрешностью.

Определение

Число, заведомо превышающее относительную погрешность (или в худшем случае равное ей) называется предельной относительной погрешностью.

Предельная абсолютная погрешность обозначается греческой буквой Δ – “дельта”. А предельная относительная погрешность – греческой буквой δ (“дельта малая”). Если приближенное число обозначить буквой α, то δ = Δ/ α.

В примере с арбузом за предельную абсолютную погрешность можно взять Δ = 50г, а за предельную относительную – δ = 1,4%.

Погрешность действий над приближенными числами

Предельная абсолютная погрешность суммы (разности) не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.

Пример 1

Пусть даны точные числа и их приближенные значения: 2,463 ≈ 2,46 и 3,208 ≈ 3,21.

Их абсолютные погрешности приближений соответственно равны: 2,463-2,46 = 0,003 и 3,21-3,208 = 0,002.

Рассмотрим сумму приближенных чисел – 2,46+3,21 = 5,67.

Предельная погрешность суммы равна 0,003+0,002 = 0,005.

Если проверить, то получится, что точная сумма будет 2,463+3,208 = 5,671.

Следовательно, точно вычисленная погрешность приближения будет: 5,671-5,67 = 0,001. Действительно 0,001 ≤ 0,005.

Предельная относительная погрешность произведения приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей сомножителей.

Пример 2

Пусть перемножаются приближенные числа 50 и 20 и пусть предельная относительная погрешность первого сомножителя равна 0,4%, а второго 0,5%. тогда предельная относительная погрешность произведения 50*20 = 1000 приближенно равна 0,9%.

Предельная относительная погрешность частного приближенно равна сумме предельных относительных погрешностей делимого и делителя.

Таким образом, легко заметить, что при приближенных вычислениях погрешность может накапливаться!

Лабораторная работа №1

Методы оценки погрешностей

  I.  Описание работы

Тема: Методы оценки погрешностей приближенных величин.

Задание 1. Округляя точные числа до трех значащих цифр, определить абсолютную и относительную погрешности полученных приближенных чисел.

Дано:

Найти:

Решение:

– приближенное значение числа A

Абсолютная погрешность:

Относительная погрешность:

Ответ: ;

Задание 2. Определить абсолютную погрешность приближенных чисел по их относительной погрешности .

Дано:

Найти:

Решение:

Абсолютная погрешность:

Ответ:

Задание 3. Решить задачу.

При измерении длины с точностью до 5 м получено км, а при определении другой длины с точностью до 0.5 см, получено метров. Какое измерение по своему качеству лучше?

Дано: Км, М, М, См

Сравнить: и

Решение: Итак, по 1-му измерению, результат Км = М с точностью до М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

По 2-му измерению, результат Км с точностью до См =М ( – абсолютная погрешность величины ).

Тогда относительная погрешность: %

Так как , то измерение можно считать по качеству лучше, чем .

Ответ: измерение по качеству лучше, чем .

Задание 4. а) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная абсолютная погрешность

Дано:

Найти:

Решение:

По определению, n первые значащие цифры являются верными в узком смысле, если абсолютная погрешность этого числа не превышает половины единицы разряда младшей цифры, считая слева направо.

Абсолютная погрешность: , поэтому значащие цифры 8 и 4 числа 0,00842 верны в узком смысле.

Ответ: число X имеет две верных цифры в узком смысле (8 и 4), то есть

Б) Определить количество верных знаков в числе , если известна его предельная относительная погрешность .

Дано: %

Найти:

Решение:

Предельная абсолютная погрешность:

Только первая значащая цифра 1 числа A верна в узком смысле.

Ответ: число A имеет одну верную цифру в узком смысле (1), то есть

Задание 5. Найти предельные относительные погрешности, допускаемые при взятии вместо чисел 3.1, 3.14, 3.1416:

А) считая, что у них все записанные знаки являются верными;

Б) зная, что

Провести сравнения погрешностей и сделать необходимые выводы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

А) :

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

:

Если считать, что все записанные знаки являются верными в узком смысле, то абсолютная погрешность:

Предельная абсолютная погрешность:

Тогда предельная относительная погрешность:

%

Б) Пусть (прервем запись числа на 7-м знаке после запятой и считаем полученное число точным значением числа ).

Тогда абсолютная погрешность первого представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность второго представления числа : .

Относительная погрешность: %

Абсолютная погрешность третьего представления числа : %.

Относительная погрешность: %

Выводы:

1) Можно заметить, что , то есть ;

, то есть ;

, то есть

Иными словами, для трех чисел их «истинная» относительная погрешность ограничена предельной относительной погрешностью, определенной из условия верности знаков чисел. Причем, для каждого числа две оценки отличаются меньше, чем на порядок. Значит, предположение о верности всех знаков чисел Обосновано.

2) Сравнение относительных погрешностей чисел :

показывает,

Что числа Перечислены

В порядке увеличения точности представления числа ,

То есть точнее , точнее .

Ответ: а)

б)

Задание 6. Найти сумму приближенных чисел , , считая в них все знаки верными, т. е. что абсолютная погрешность каждого слагаемого не превосходит половины единицы младшего разряда этого слагаемого. Определить абсолютную и относительную погрешности суммы.

Дано: , ,

Найти:

Решение:

1) Считаем, что в числах , , все знаки верны в узком смысле, то есть

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

2) Остальные числа округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления

, абсолютная погрешность округления

3) Сложим все эти числа, учитывая все сохраненные знаки:

4) Полученный результат округлим на один знак (формально):

, абсолютная погрешность округления

5) Полную абсолютную погрешность суммы будем складывать из трех компонентов:

A)  суммы предельных абсолютных погрешностей исходных чисел;

B)  абсолютной величины суммы ошибок округления слагаемых;

C)  заключительной погрешности округления результата.

– абсолютная погрешность суммы.

% – относительная погрешность суммы.

Ответ: ; %.

Задание 7. Найти предельную абсолютную и относительную погрешности при вычислении объема прямого кругового цилиндра, если значения его высоты и радиуса основания имеют все верные знаки.

Дано: ,

Найти:

Решение:

,

Примем

1) Так как в числах и все числа верны, то их абсолютные погрешности:

Число с наибольшей абсолютной погрешностью .

Число R округлим, сохраняя один запасный десятичный знак по сравнению с ранее выделенным наименее точным слагаемым :

, абсолютная погрешность округления (округления не требуется)

2) перемножим числа, учитывая все сохраненные знаки:

3) Полученный результат округляем, сохраняя столько значащих цифр, сколько верных цифр имеется в числе H, то есть 2 значащих цифры:

;

Абсолютная погрешность округления

4) Полную абсолютную погрешность произведения будем складывать из двух слагаемых:

A) предельной абсолютной погрешности произведения до его округления;

B) заключительной погрешности округления произведения.

Абсолютную погрешность произведения до округления вычислим на основе предварительно найденной относительной погрешности произведения округленных сомножителей:

%.

Полная абсолютная погрешность

Теперь перейдем к искомому объему.

(Здесь полученный результат округляем до трех значащих цифр).

– предельная абсолютная погрешность объема.

% – предельная относительная погрешность объема.

Ответ: , , %

Задание 8. Привести пример потери точности при вычитании двух близких чисел.

Решение:

Пусть и – два близких числа; примем, что у них одинаковое число знаков после запятой.

Считаем, что все знаки в числах и верны в узком смысле. Тогда абсолютные погрешности:

Относительные погрешности:

%

%

Так как , то

Абсолютная погрешность результата:

Относительная погрешность результата: %

При вычитании двух близких чисел и относительная погрешность возросла на 3 порядка!

Лабораторная работа №2

Метод Гаусса

  I.  Описание работы

Тема: Решение системы линейных неоднородных алгебраических уравнений методом Гаусса (схема единственного деления).

Задание. Решить систему трех уравнений с тремя неизвестными с точностью искомых неизвестных до .

Промежуточные вычисления вести с двумя запасными знаками.

,

Решение:

Исходные данные и все результаты вычислений запишем в таблицу 1.

Прямой ход

1.  Записываем коэффициенты данной системы в трех строках и четырех столбцах раздела 1 таблицы 1.

2.  Суммируем все коэффициенты по строке и записываем сумму в столбце (столбец контроля), например .

3.  Делим все числа, стоящие в первой строке, на и результаты записываем в 4-й строке раздела 1.

4.  Вычисляем и делаем проверку, если вычисления ведутся с 6 и более знаками после запятой, то числа и не должны отличаться более, чем на единицу последнего разряда:

5.  По формулам вычисляем коэффициенты :

Результаты записываем в первые две строки раздела:

6.  Делаем проверку. Сумма элементов каждой строки не должна отличаться от более, чем на 1-2 единицы последнего разряда. Заметим, что ,

,

,

7.  Делим все элементы 1 строки раздела 2 на и результаты записываем в 3 строке раздела 2.

8.  Делаем проверку:

9.  По формулам вычисляем :

Результаты записываем в 1 строку раздела 3.

10. Делаем проверку:

,

11. Делим все элементы 1 строки раздела 3 на и результаты записываем в следующей (второй) строке этого раздела.

12.  Делаем проверку:

Обратный ход

1.  В разделе 4 записываем единицы

2.  Записываем .

3.  Для вычисления и используем лишь строки разделов, содержащие 1.

4.  Вычислим по формуле: .

5.  Вычислим по формуле:

.

6.  Аналогично проводим обратный ход в контрольной системе. Записываем ,

вычисляем и с заменой и на и соответственно:

Делаем обычную проверку по строкам – должно быть , с точностью до 1-2 единиц последнего разряда.

Действительно:

Заполним таблицу 1 результатами вычислений:

Таблица 1

Раз Дел
1	1 2 3
2	2 3
3	3
4		1 1 1	1	1

Округлим полученное решение до , по требованию задачи:

Окончательную проверку точности полученного решения системы выполним подстановкой этого решения в систему. Должно получиться приближенное тождество с точностью до .

Ответ:

< Предыдущая		Следующая >