Как найти предельную функцию функциональной последовательности

Найти предельную функцию (f(x)) последовательности ({f_{n}(x)}) на множестве (E), если:

1. $$
   f_{n}(x) = frac{n + 1}{n + x^{2}}, E = mathbb{R};nonumber
   $$
2. $$
   f_{n}(x) = n sin frac{1}{nx}, E = (0, + infty).nonumber
   $$

1. (vartriangle) Так как (f_{n}(x) = displaystylefrac{1 + displaystylefrac{1}{n}}{1 + frac{displaystyle x^{2}}{n}}), то (f(x) = 1).
2. Используя асимптотическую формулу (sin t sim t) при (t rightarrow 0), получаем (displaystyle n sin frac{1}{nx} sim nfrac{1}{nx}) при (n rightarrow infty), если (x neq 0).Поэтому (f(x) = displaystylefrac{1}{x}). (blacktriangle)

Доказать, что последовательность ({f_{n}(x)}) равномерно сходится на множестве (E), и найти ее предельную функцию (f(x)), если:

1. (displaystyle f_{n}(x) = frac{n + 1}{n + x^{2}}, E = [-1, 1];)
2. (displaystyle f_{n}(x) = sqrt{x^{2} + frac{1}{n}}, E = mathbb{R};)
3. (displaystyle f_{n}(x) = frac{operatorname{arctg} n^{2}x}{sqrt[3]{n + x}}, E = [0, +infty));
4. (displaystyle f_{n}(x) = n sin frac{1}{nx}, E = [1, +infty)).

1. (vartriangle) В этом случае (f(x) = 1) (пример 1) и (|f_{n}(x)-f(x)| = displaystylefrac{1-x^{2}}{n + x^{2}} leq frac{1}{n}), так как (|x| leq 1). Следовательно,
   $$
   frac{n + 1}{n + x^{2}} rightrightarrows 1, x in [-1, 1].nonumber
   $$
2. Используя неравенство (x^{2} + displaystylefrac{1}{n} leq left(|x| + frac{1}{sqrt{n}}right)^{2}), получаем (0 leq displaystylesqrt{x^{2} + frac{1}{n}}-sqrt{x^{2}} leq |x| + frac{1}{sqrt{n}}-|x| = frac{1}{sqrt{n}}), откуда следует, что
   $$
   sqrt{x^{2} + frac{1}{n}} rightrightarrows |x|, x in mathbb{R}.nonumber
   $$
3. Так как (0 leq operatorname{arctg} x leq displaystylefrac{pi}{2}) и (sqrt[3]{n + x} geq sqrt[3]{n}) при (x > 0), то (0 leq f_{n}(x) leq displaystylefrac{pi}{2sqrt[3]{n}}), откуда получаем (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in E).
4. В этом случае (f(x) = displaystylefrac{1}{x}) (пример 1). Используя неравенство (|sin t-t| leq displaystylefrac{t^{2}}{2}, t in mathbb{R}) (пример разобран здесь), получаем
   $$
   |f_{n}(x)-f(x)| = n left|sin frac{1}{nx}-frac{1}{nx}right| leq frac{n}{2(nx)^{2}} leq frac{1}{2n},nonumber
   $$
   так как (x geq 1). Следовательно,
   $$
   n sin frac{1}{nx} rightrightarrows frac{1}{x}, x in [1, +infty). blacktrianglenonumber
   $$

(circ) Обозначим (sigma_{n} = displaystylesup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)|). Тогда условие eqref{ref4} означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists n_{varepsilon}: forall n geq n_{varepsilon} rightarrow sigma_{n} < varepsilon.label{ref5}
$$

Если (f_{n}(x) rightrightarrows f(x)), (x in E), то
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} rightarrow |f_{n}(x)-f(x)| < frac{varepsilon}{2},nonumber
$$
откуда следует, что (sigma_{n} leq displaystylefrac{varepsilon}{2} < varepsilon) для (n geq N_{varepsilon}). Поэтому неравенство (sigma_{n} < varepsilon) выполняется при всех (n geq N_{varepsilon}), где (n_{varepsilon} = N_{varepsilon}). Обратно, если выполняется условие eqref{ref4} или равносильное ему условие eqref{ref5}, то, используя неравенство (|f_{n}(x)-f(x)| leq sigma_{n}) для (x in E), (n in mathbb{N}), получаем (|f_{n}(x)-f(x)| < varepsilon) для (x in E), (n geq n_{varepsilon}), то есть (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in E). (bullet)

Доказать, что последовательность ({f_{n}(x)}) сходится равномерно на множестве (E), и найти предельную функцию (f(x)), если:

1. (f_{n}(x) = displaystylefrac{2n^{2}x}{1 + n^{alpha}x^{2}}), (alpha > 4), (E = mathbb{R});
2. (f_{n}(x) = displaystyle x^{n}-x^{n + 1}), (E = [0, 1]);
3. (f_{n}(x) = displaystyle nx^{2}e^{-nx}), (E = [2, +infty)).

1. (vartriangle) Если (x = 0), то (f_{n}(0) = 0) для всех (n in mathbb{N}), и поэтому (displaystylelim_{n rightarrow infty}f_{n}(0) = f(0) = 0). Если (x neq 0), то (|f_{n}(x)| leq displaystylefrac{2n^{2}|x|}{n^{alpha}x^{2}} = frac{2}{|x|n^{alpha-2}}), откуда следует, что (f_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty), так как (alpha > 4). Таким образом, предельная функция (f(x) = 0), (x in mathbb{R}).

   Так как при (x neq 0) справедливо неравенство (1 + n^{alpha}x^{2} geq 2n^{alpha/2}|x|), причем это неравенство обращается в равенство лишь в случае, когда (n^{alpha}x^{2} = 1), то есть (|x| = n^{-alpha/2}), то
   $$
   |f_{n}(x)-f(x)| leq frac{2n^{2}|x|}{2n^{alpha/2}|x|} = frac{1}{n^{alpha/2-2}}, x neq 0.nonumber
   $$
   Следовательно, (displaystylesup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)| = frac{1}{n^{alpha/2-2}} rightarrow 0) при (n rightarrow infty), если (alpha > 4), и поэтому (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in R).

2. Если (x in [0, 1)), то (x^{n} rightarrow 0) при (n rightarrow infty), и поэтому (f_{n}(x) rightarrow 0) при (n rightarrow infty). Если (x = 1), то (f_{n}(1) = 0), и поэтому (f(1) = 0). Следовательно, (f(x) = 0), (x in [0, 1]).Чтобы вычислить (displaystylesup_{x in E} |f_{n}(x)-f(x)| = sup_{x in E} |f_{n}(x)|), найдем точки экстремума функции (f_{n}(x)).Уравнение (f_{n}'(x) = nx^{n-1}-(n + 1)x^{n} = x^{n-1}(n-x(n + 1)) = 0) имеет внутри отрезка [0,1] единственный корень (x_{n} = displaystylefrac{n}{n + 1}), причем (f_{n}(x_{n}) = displaystyleleft(frac{n}{n + 1}right)^{n}frac{1}{n}). Заметим, что (f_{n}'(x) > 0) при (x in (0, x_{n})) и (f_{n}'(x) < 0) при (x in (x_{n}, 1)). Поэтому (displaystylesup_{x in E} f_{n}(x) = max_{x in E} f_{n}(x) = f_{n}(x_{n} < frac{1}{n}) для всех (n in mathbb{N}) и, согласно теореме 1, (f_{n}(x) rightrightarrows 0), (x in [0, 1]).
3. Учитывая, что (te^{-alpha t} rightarrow 0) при (t rightarrow +infty) (если (alpha > 0)), находим (lim_{n rightarrow infty} f_{n}(x) = f(x) = 0), (x in [0, +infty]).
4. Так как (f_{n}'(x) = nxe^{-nx}(2-xn) < 0) при (x > displaystylefrac{2}{n}), то функция (f_{n}(x)) является убывающей на промежутке (displaystyleleft[frac{2}{n}, +inftyright)), и поэтому
   $$
   sup_{x in E} f_{n}(x) leq f_{n}left(frac{2}{n}right) = frac{4}{n}e^{-2} rightarrow 0 mbox{при} n rightarrow infty.nonumber
   $$По теореме 1 последовательность ({f_{n}(x)}) равномерно сходится к (f(x) = 0) на множестве (E = [2, +infty)). (blacktriangle)

(критерий Коши равномерной сходимости последовательности)

Чтобы последовательность функций ({f_{n}(x)}) сходилась равномерно на множестве (E), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow |f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| < varepsilon.label{ref6}
$$

(circ) Необходимость. Пусть (f_{n}(x) rightrightarrows f(x)), (x in E). Тогда по определению равномерной сходимости
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall k geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |f_{k}(x)-f(x)| < frac{varepsilon}{2}.label{ref7}
$$
В частности, eqref{ref7} выполняется при (k = n), если (n geq N_{varepsilon}), и при (k = n + p) для (p in mathbb{N}), то есть
$$
|f_{n}(x)-f_(x)| < frac{varepsilon}{2},quad |f_{n + p}(x)-f_(x)| < frac{varepsilon}{2},nonumber
$$
откуда следует, что
$$
|f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| = |(f_{n + p}(x)-f(x))-(f_{n}(x)-f_(x))| leq\
leq |f_{n + p}(x)-f(x)| + |f_{n}(x)-f_(x)| < frac{varepsilon}{2} + frac{varepsilon}{2} = varepsilon,nonumber
$$
то есть выполняется условие eqref{ref6}.

Достаточность. Заметим, что числовая последовательность ({f_{n}(x_{0})}), где (x_{0}) — фиксированная точка множества (E), удовлетворяет условию Коши eqref{ref6} и в силу критерия Коши для числовой последовательности существует конечный
$$
lim_{n rightarrow infty}f_{n}(x_{0}).label{ref8}
$$
Так как предел eqref{ref8} существует для каждого (x_{0} in E), то на множестве (E) определена функция (обозначим ее (f(x))), которая является предельной функцией для последовательности ({f_{n}(x)}) на множестве (E).

Запишем условие Коши eqref{ref6} в виде
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow |f_{n + p}(x)-f_{n}(x)| < frac{varepsilon}{2}.label{ref9}
$$
Переходя в неравенстве eqref{ref9} к пределу при (p rightarrow infty) (при каждом фиксированном (n geq N_{varepsilon}) и фиксированном (x in E)) и учитывая, что существует (displaystylelim_{p rightarrow infty}f_{n + p}(x) = f(x)), получаем неравенство
$$
|f(x)-f_{n}(x)| leq frac{varepsilon}{2} < varepsilon,nonumber
$$
справедливое при всех (n geq N_{varepsilon}) и для всех (x in E). Это означает, что
$$
f_{n}(x) rightrightarrows f(x), x in E. bulletnonumber
$$

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на множестве (E) последовательность ({f_{n}(x)}), если:

1. (displaystyle f_{n}(x) = x^{n}-x^{2n}, E = [0, 1];)
2. (displaystyle f_{n}(x) = nsin frac{1}{nx}, E = (0, 1].)

1. (vartriangle) В этом случае предельная функция (f(x) = 0), (x in E). Для любого (k in mathbb{N}) возьмем (n = k), (tilde{x} = 1/sqrt[n]{2}). Тогда (tilde{x} in E) при любом (n in mathbb{N}) и (|f_{n}(tilde{x})-f(tilde{x})| = displaystyle f_{n}left(frac{1}{n}right) = frac{1}{2}-frac{1}{4} = varepsilon_{0}), то есть выполняется условие eqref{ref11}, и поэтому последовательность ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к (f(x) = 0).
2. Здесь предельная функция (f(x) = x^{-1}) на множестве (x > 0) (пример 1). Возьмем (tilde{x} = 1/n). Тогда (|f_{n}(tilde{x})-f(tilde{x})| = |n sin 1-n| geq 1-sin 1 = varepsilon_{0}) для любого (n in mathbb{N}), и поэтому ({f_{n}(x)}) сходится неравномерно на множестве (E) к (x^{-1}). (blacktriangle)

Исследовать на сходимость и равномерную сходимость на указанных множествах ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)), если:

1. (u_{n}(x) = x^{n-1}, E_{1} = (-q, q), mbox{где} 0 < q < 1, E_{2} = (-1, 1));
2. (u_{n}(x) = displaystylefrac{x}{(1 + nx)(1 + (n + 1)x)}, E_{1} = (delta, +infty), mbox{где} delta > 0, E_{2} = (0, +infty));
3. (u_{n}(x) = displaystylefrac{(-1)^{n}}{sqrt{n + x}}, E = (0, +infty)).

1. (vartriangle) В этом случае (S_{n}(x) = displaystylefrac{1-x^{n}}{1-x}), (S(x) = displaystylefrac{1}{1-x}) для любого (x in E_{2}), то есть ряд сходится на множестве (E_{2}), а значит, и на (E_{1}).Для любого (x in E_{1}) выполняется неравенство (|r_{n}(x)| = displaystyleleft|frac{x^{n}}{1-x}right| leq frac{|x|^{n}}{1-|x|}), откуда следует, что (displaystylesup_{x in E}|r_{n}(x)| leq frac{q^{n}}{1-q}), и поэтому выполняется условие eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве (E_{1}).На множестве (E_{2}) ряд сходится неравномерно. В самом деле, возьмем (tilde{x} = displaystyle 1-frac{1}{n}). Тогда (tilde{x} in E) для любого (n in mathbb{N}) и (r_{n}(tilde{x}) = displaystyle nleft(1-frac{1}{n}right)^{n} rightarrow +infty) при (n rightarrow infty), откуда следует, что выполняется условие eqref{ref20}.
2. Так как (u_{n}(x) = displaystylefrac{1}{1 + nx}-frac{1}{1 + (n + 1)x}), то (S_{n}(x) = displaystylefrac{1}{1 + x}-frac{1}{1 + (n + 1)x}). Если (x in E_{2}), то (S_{n}(x) rightarrow S(x)) при (n rightarrow infty), где (S(x) = displaystylefrac{1}{1 + x}), и поэтому (r_{n}(x) = displaystylefrac{1}{1 + (n + 1)x}).На множестве (E_{1}) ряд сходится равномерно, так как (|r_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{1 + (n + 1)delta}), и поэтому выполняется условие eqref{ref18}, а на множестве (E_{2}) — неравномерно, так как (displaystyle r_{n}left(frac{1}{n + 1}right) = frac{1}{2}), и поэтому выполняется условие eqref{ref20}.
3. При каждом (x > 0) последовательность (displaystyleleft{frac{1}{sqrt{n + x}}right}) монотонно стремится к нулю, и поэтому по признаку Лейбница ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty} frac{(-1)^{n}}{sqrt{n + x}}) сходится на множестве (E), причем (|r_{n}(x)| leq |u_{n + 1}(x)| = displaystylefrac{1}{sqrt{n + 1 + x}} leq frac{1}{sqrt{n + 1}}), откуда следует, что выполняется условие eqref{ref18}. Следовательно, ряд сходится равномерно на множестве (E). (blacktriangle)

(критерий Коши равномерной сходимости ряда)

Для того чтобы ряд eqref{ref14} равномерно сходился на множестве (E), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Коши, то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow left|sum_{k = n + 1}^{n + p} u_{k}(x)right| < varepsilon.label{ref21}
$$

(circ) По определению равномерная сходимость ряда eqref{ref14} на множестве (E) означает равномерную сходимость последовательности ({S_{n}(x)}) на (E).

Согласно теореме 2 (S_{n}(x) rightrightarrows S(x)) на (E) тогда и только тогда, когда
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} forall x in E rightarrow |S_{n + p}(x)-S_{n}(x)| < varepsilon.label{ref22}
$$
Так как (S_{n + p}(x)-S_{n}(x) = u_{n + 1}(x) + ldots + u_{n + p}(x)), то условие eqref{ref22} равносильно условию eqref{ref21}. (bullet)

Доказать, что ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) не является равномерно сходящимся на множестве (E), если:

1. (u_{n}(x) = displaystylefrac{n^{2}}{x}e^{-n^{2}/x}, E = (0, +infty));
2. (u_{n}(x) = displaystylefrac{n}{1 + n^{2}x^{2}}operatorname{tg} sqrt{frac{x}{n}}, E = (0, 1));
3. (u_{n}(x) = displaystylefrac{sin nx}{n^{alpha}}, E = [0, 2pi], 0 < alpha leq 1).

1. (vartriangle) Пусть (x_{n} = x^{2}), тогда (u_{n}(x_{n}) = e^{-1}), то есть выполняется условие eqref{ref24}.
2. Возьмем (x_{n} = displaystylefrac{1}{n}) и воспользуемся тем, что (operatorname{tg} x > x) при (0 < x < displaystylefrac{pi}{2}) (этот факт разбирали ранее). Тогда (u_{n}(x_{n}) = displaystylefrac{n}{2}operatorname{tg} frac{1}{n} > frac{1}{2}) при всех (n in mathbb{N}), то есть выполняется условие eqref{ref24}.
3. Возьмем (x_{n} = displaystylefrac{pi}{4(n + 1)}); тогда (x_{n} in E) при любом (n in mathbb{N}). Если (n + 1 leq k leq 2n), то (displaystylefrac{pi}{4} leq kx_{n} leq frac{pi}{4} frac{2n}{n + 1} < frac{pi}{2}), и поэтому (displaystylesin kx_{n} geq sin frac{pi}{4} = frac{1}{sqrt{2}}) откуда следует, что
   $$
   sum_{k = n + 1}^{2n} frac{sin kx_{n}}{k^{alpha}} geq frac{1}{sqrt{2}} sum_{k = n + 1}^{2n} frac{1}{k^{alpha}} geq frac{1}{sqrt{2}} sum_{k = n + 1}^{2n} frac{1}{k} > frac{1}{sqrt{2}}nfrac{1}{2n} = frac{1}{2sqrt{2}},nonumber
   $$
   так как (0 < alpha leq 1). Следовательно, выполняется условие eqref{ref23}, и поэтому ряд не является равномерно сходящимся на множестве ([0, 2pi]) при (alpha in ()0, 1]). (blacktriangle)

(circ) Согласно условию eqref{ref25} для любого (n geq n_{0}), любого (p in mathbb{N}) и для каждого (x in E) выполняется неравенство
$$
left|sum_{k = n + 1}^{n + p}u_{k}(x)right| leq sum_{k = n + 1}^{n + p}|u_{k}(x)| leq sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}.label{ref26}
$$
Из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}a_{n}) следует (свойства сходящихся рядов можно посмотреть здесь), что для него выполняется условие Коши, то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall p in mathbb{N} rightarrow sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k} < varepsilon,label{ref27}
$$
а из eqref{ref26} и eqref{ref27} следует, что для ряда eqref{ref14} выполняется на множестве (E) условие Коши eqref{ref21}, и в силу теоремы 3 этот ряд сходится равномерно на множестве (E).

Абсолютная сходимость ряда eqref{ref14} для каждого (x in E) следует из правого неравенства eqref{ref26}. (bullet)

Доказать, что ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) сходится равномерно на множестве (E), если:

1. (u_{n}(x) = displaystyleln left(1 + frac{x}{nsqrt[3]{n + 1}}right), E = [0, 3]);
2. (u_{n}(x) = displaystylefrac{nx}{n^{2} + x^{2}} operatorname{arctg} frac{x}{n}, E = [-1, 1]);
3. (u_{n}(x) = displaystylefrac{displaystylesin frac{1}{nx}cos nx}{displaystyle4 + ln^{2}(n + 1)x}, E = [1, +infty));
4. (u_{n}(x) = x^{2}e^{-nx}, E = (0, +infty)).

1. (vartriangle) Так как при (t geq 0) справедливо неравенство (ln(1 + t) leq t) (§ 17, пример 1, а)), то (|u_{n}(x)| leq displaystylefrac{x}{nsqrt[3]{n + 1}} leq frac{3}{n^{3/2}}) при всех (x in [0, 3]), и из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{3}{n^{3/2}}) по теореме 4 следует равномерная сходимость ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) на множестве [0,3].
2. Используя неравенство (|operatorname{arctg} t| leq t) для всех (t in mathbb{R}) (§ 17, (19)) и учитывая, что (|x| leq 1) и (n^{2} + x^{2} geq n^{2}), получаем (|u_{n}(x)| leq displaystylefrac{|nx|}{n^{2} + x^{2}} |frac{x}{n}| leq frac{1}{n^{2}}), откуда следует равномерная сходимость ряда на множестве [-1,1].
3. Так как (|sin t| leq |t|) и (|cos t| leq 1) для всех (t in mathbb{R}), а (x geq 1), то (|u_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{nx ln^{2}(n + 1)x} leq frac{1}{n ln^{2}(n + 1)}). Из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty} frac{1}{nln^{2}(n + 1)}) следует равномерная сходимость ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) на множестве ([1, +infty)).
4. На промежутке ((0, +infty)) уравнение (u_{n}'(x) = xe^{-nx}(2-nx) = 0) имеет единственный корень (x = x_{n} = displaystylefrac{2}{n}), причем (u_{n}'(x) > 0) при (x in (0, x_{n})) и (u_{n}'(x) < 0) при (x > x_{n}). Поэтому (displaystylesup_{x in E}|u_{n}(x)| = u_{n}(x_{n}) = frac{4}{n^{2}}e^{-2}), и из сходимости ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{4}{n^{2}}e^{-2}) следует равномерная сходимость ряда (displaystylesum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)) на множестве ((0, +infty)). (blacktriangle)

Ряд
$$
sum_{k = 1}^{infty}a_{k}(x)b_{k}(x),label{ref28}
$$
сходится равномерно на множестве (E), если выполняются условия:

1. последовательность ({B_{n}(x)}), где (B_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}b_{k}(x)) равномерно ограничена на множестве (E), то есть
   $$
   exists M > 0 forall x in E forall n in mathbb{N} rightarrow |B_{n}(x)| leq M;label{ref29}
   $$
2. последовательность ({a_{n}(x)}) монотонна на множестве (E), то есть
   $$
   forall x in E forall n in mathbb{N} rightarrow a_{n + 1}(x) leq a_{n}(x);label{ref30}
   $$
   и равномерно стремится к нулю, то есть
   $$
   a_{n}(x) rightrightarrows 0, qquad x in E.label{ref31}
   $$

(circ) Воспользуемся оценкой
$$
left|sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)right| leq 2M(|a_{n + 1}(x)| + |a_{n + p}(x)|),label{ref32}
$$
полученной при доказательстве признака Дирихле для числовых рядов.

Условие eqref{ref31} означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall k geq N_{varepsilon} forall x in E rightarrow |a_{k}(x)| < frac{varepsilon}{4M};label{ref33}
$$
Из eqref{ref29}, eqref{ref32} и eqref{ref33} следует, что для всех (n geq N_{varepsilon}), для всех (p in mathbb{N}) и для всех (x in E) выполняется неравенство (displaystyleleft|sum_{k = n + 1}^{n + p}a_{k}(x)b_{k}(x)right| leq varepsilon), и в силу критерия Коши ряд eqref{ref28} сходится равномерно на множестве (E). (bullet)

(vartriangle) Если (alpha > 1), то по признаку Вейерштрасса ряд eqref{ref34} сходится абсолютно и равномерно на (mathbb{R}), так как (|sin x| leq 1), а ряд (displaystylesum_{n = 1}^{infty}frac{1}{n^{alpha}}), где (alpha > 1), сходится.

Пусть (0 < alpha < 1). Тогда последовательность ({a_{n}}), где (a_{n} = displaystylefrac{1}{n^{alpha}}), удовлетворяет условиям eqref{ref30}, eqref{ref31}. Полагая (B_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}sin kx) и используя неравенство (|B_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{displaystyleleft|sin frac{x}{2}right|}), справедливое при (x neq pi m), (m in mathbb{Z}), получаем (|B_{n}(x)| leq displaystylefrac{1}{displaystylesin frac{delta}{2}}) для всех (x in E). По признаку Дирихле ряд eqref{ref34} сходится равномерно на множестве (E).

Заметим, что на множестве ([0, 2pi]) ряд eqref{ref34} при (alpha in (0, 1]) сходится неравномерно (пример 8, в)). (blacktriangle)

Ряд eqref{ref28} сходится равномерно на множестве (E), если выполняются условия:

1. ряд
   $$
   sum_{n = 1}^{infty}b_{n}(x),label{ref35}
   $$
   сходится равномерно на множестве (E);
2. последовательность ({a_{n}(x)}) монотонна на множестве (E), то есть
   $$
   forall n in mathbb{N} forall x in E rightarrow a_{n + 1}(x) leq a_{n}(x);label{ref36}
   $$
   и равномерно ограничена, то есть
   $$
   exists M > 0: forall n in mathbb{N}  forall x in E rightarrow |a_{n}(x)| leq M;label{ref37}
   $$

(circ) Пусть (x_{0}) — произвольная точка отрезка ([a, b]). Для определенности будем считать, что (x_{0} in (a, b)).

Нужно доказать, что функция
$$
S(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}(x)nonumber
$$
непрерывна в точке (x_{0}), то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists delta = delta (varepsilon) > 0: forall x in U_{delta}(x_{0}) rightarrow |S(x)-S(x_{0})| < varepsilon,label{ref39}
$$
где (U_{delta}(x_{0}) = (x_{0}-delta, x_{0} + delta) subset [a, b]).

По условию (S_{n}(x) rightrightarrows S(x)), (x in [a, b]), где (S_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}u_{k}(x)), то есть
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n geq N_{varepsilon} forall x in [a, b] rightarrow |S(x)-S_{n}(x)| < frac{varepsilon}{3}.label{ref40}
$$
Фиксируем номер (n_{0} geq N_{varepsilon}). Тогда из eqref{ref40} при (n = n_{0}) получаем
$$
|S(x)-S_{n_{0}}(x)| < frac{varepsilon}{3}label{ref41}
$$
и, в частности, при (x = x_{0}) находим
$$
|S(x_{0})-S_{n_{0}}(x_{0})| < frac{varepsilon}{3}.label{ref42}
$$

Функция (S_{n_{0}}(x)) непрерывна в точке (x_{0}) как сумма конечного числа непрерывных функций (u_{k}(x)), (k = overline{1, n_{0}}). По определению непрерывности
$$
forall varepsilon > 0 exists delta = delta (varepsilon) > 0: forall x in U_{delta}(x_{0}) subset [a, b] rightarrow |S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})| < frac{varepsilon}{3}.label{ref43}
$$

Воспользуемся равенством
$$
S(x)-S(x_{0}) =\= (S(x)-S_{n_{0}}(x)) + (S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})) + (S_{n_{0}}(x_{0})-S(x_{0})).nonumber
$$
Из этого равенства, используя оценки eqref{ref41}—eqref{ref43}, получаем
$$
|S(x)-S(x_{0})| leq\leq |S(x)-S_{n_{0}}(x)| + |S_{n_{0}}(x)-S_{n_{0}}(x_{0})| + |S_{n_{0}}(x_{0})-S(x_{0})| < varepsilon
$$
для любого (x in U_{delta}(x_{0}) subset [a, b]), то есть справедливо утверждение eqref{ref39}.

Так как (x_{0}) — произвольная точка отрезка ([a, b]), то функция S(x) непрерывна на отрезке ([a, b]). (bullet)

(circ) По условию ряд eqref{ref45} сходится равномерно к (S(x)) на отрезке ([a, b]), то есть (S_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n}u_{k}(x) rightrightarrows S(x)), (x in [a, b]). Это означает, что
$$
forall varepsilon > 0 exists N_{varepsilon}: forall n in N_{varepsilon} forall t in [a, b] rightarrow |S(t)-S_{n}(t)| < frac{varepsilon}{b-a}.label{ref47}
$$
Пусть (sigma(x) = displaystyleintlimits_a^x S(t) dt), а (sigma_{n}(x) = displaystylesum_{k = 1}^{n} intlimits_a^x u_{k}(t) dt) — (n)-я частичная сумма ряда eqref{ref44}.

Функции (u_{k}(x)), (k in mathbb{N}), по условию непрерывны на отрезке ([a, b]) и поэтому они интегрируемы на ([a, b]). Функция (S(x)) также интегрируема на ([a, b]), так как она непрерывна на этом отрезке (теорема 7). Используя свойства интеграла, получаем
$$
sigma_{n}(x) = intlimits_a^x sum_{k = 1}^{n}u_{k}(t) dt = intlimits_a^x S_{n}(t) dt.nonumber
$$
Следовательно
$$
sigma(x)-sigma_{n}(x) = intlimits_a^x (S(t)-S_{n}(t)) dt,nonumber
$$
откуда в силу условия eqref{ref47} получаем
$$
|sigma(x)-sigma_{n}(x)| < frac{varepsilon}{b-a} intlimits_a^x dt = frac{varepsilon}{b-a} (x-a) leq varepsilon,nonumber
$$
причем это неравенство выполняется для всех (n geq N_{varepsilon}) и для всех (x in [a, b]). Это означает, что ряд eqref{ref44} сходится равномерно на отрезке ([a, b]), и выполняется равенство eqref{ref46}. (bullet)

(circ) Обозначим через (tau(x)) сумму ряда eqref{ref48}, то есть
$$
tau(x) = sum_{n = 1}^{infty}u_{n}'(x),label{ref53}
$$

По теореме 9 ряд eqref{ref53} можно почленно интегрировать, то есть
$$
intlimits_{x_{0}}^x tau(t) dt = sum_{n = 1}^{infty}intlimits_{x_{0}}^x u_{n}'(t) dt,label{ref54}
$$
где (x_{0}, x in [a, b]), причем ряд eqref{ref54} сходится равномерно на отрезке ([a, b]). Так как (displaystyleintlimits_{x_{0}}^x u_{n}'(t) dt = u_{n}(x)-u_{n}(x_{0})), то равенство eqref{ref54} можно записать в виде
$$
intlimits_{x_{0}}^x tau(t) dt = sum_{n = 1}^{infty}v_{n}(x),label{ref55}
$$
где
$$
v_{n}(x) = u_{n}(x)-u_{n}(x_{0}).label{ref56}
$$
Ряд eqref{ref55} сходится равномерно, а ряд eqref{ref50} сходится (а значит, и равномерно сходится на отрезке ([a, b])). Поэтому ряд eqref{ref49} сходится равномерно на ([a, b]) как разность равномерно сходящихся рядов.

Из равенств eqref{ref55}, eqref{ref56} и eqref{ref52} следует, что
$$
intlimits_{x_{0}}^x tau(t) dt = S(x)-S(x_{0}).label{ref57}
$$

Так как функция (tau(t)) непрерывна на отрезке ([a, b]) по теореме 7, то в силу свойств интеграла с переменным верхним пределом левая часть равенства eqref{ref57} имеет производную, которая равна (tau(x)). Следовательно, правая часть eqref{ref57} — дифференцируемая функция, а ее производная равна (S'(x)). Итак, доказано, что (tau(x) = S'(x)), то есть справедливо равенство eqref{ref51} для всех (x in [a, b]). (bullet)