Для изучения мнения студентов о проведении определенных мероприятий из совокупности, состоящей из 10 тыс. человек, методом случайного бесповторного отбора опрошено 600 студентов. Из них 240 одобрили план мероприятий. С вероятностью 0,954 определите предел, в котором находится доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности.
Решение:
При собственно-случайном бесповторном отборе среднюю ошибку выборочной доли рассчитывают по формуле:
где
ω – доля единиц выборочной совокупности, обладающих изучаемым признаком,
n – численность выборочной совокупности,
N – численность генеральной совокупности.
Доля студентов одобривших мероприятия из числа опрошенных студентов составила:
Рассчитаем среднюю ошибку выборочной доли:
Предельная ошибка выборочной доли с вероятностью 0,954 составит:
Δ = μ * t = 0,019 * 2 = 0,039 (или 3,9%).
t – коэффициент доверия.
Значение t табличное (смотри Задачу №32).
При Р = 0,954, t = 2,0.
Определим пределы, доли признака в генеральной совокупности следующим образом:
Пределы генеральной доли признака в генеральной совокупности:
0,4 – 0,039 ˂ р ˂ 0,4 + 0,039
или
0,361 ˂ р ˂ 0,439
С вероятностью 0,954 можно утверждать, что доля студентов, одобривших мероприятия, во всей совокупности находится в пределах от 36,1% до 43,9%.
4.7. Оценка генеральной доли
Быстренько освежим в памяти, что такое доля. Вспоминаем 
помидоров на базе, среди которых 
первосортных. Тогда отношение 
является генеральной долей первосортных помидоров. Однако исследовать
все овощи затруднительно, поэтому организуется представительная выборка из 
помидоров, среди которых первосортных окажется 
штук. Отношение 
называется выборочной долей.
Выборочная доля является точечной оценкой генеральной доли и не внушает особого доверия,
поскольку в разных выборках мы будем получать разные значения 
, иногда далёкие от истины. В этой связи более предпочтительно оценить 
интервалом.
Таким образом, наша задача состоит в том, чтобы найти доверительный интервал:
– который с заранее заданной
надёжностью 
накроет истинное значение
генеральной доли.
Далее для удобства я буду опускать подстрочный индекс у выборочной доли: 
.
Точность оценки 
(или предельная ошибка
доли) рассчитывается по формуле 
, где 
– коэффициент доверия, а 
– средняя ошибка доли.
Для нахождения 
корректнее использовать
распределение Стьюдента (таблицу или макет (пункт 2б)), но на практике в большинстве задач объём выборки 
и в ходу распределение нормальное с лапласовским
соотношением 
.
Средняя ошибка доли определяется так:
– для бесповторной выборки;
– для повторной выборки.
В том случае, если генеральная совокупность велика, а выборка малА, то для бесповторной выборки можно использовать и 2-ю
формулу, ибо дробь 
будет близка к нулю. Как видите,
формулы очень похожи, только вместо дисперсии у нас тут произведение 
, и чего томиться, сразу задача:
Пример 29
В целях изучения суточного пробега автомобилей автотранспортного предприятия проведено 10%-ное выборочное обследование 100
автомобилей методом случайного бесповторного отбора, в результате которого получены следующие данные:
С вероятностью 0,954 требуется определить долю машин в генеральной совокупности с пробегом более 180 км.
Решение: вычислим количество автомобилей с пробегом более 180 км по выборке:
. Таким образом:
– выборочная доля автомобилей с
пробегом более 180 километров.
Генеральную долю 
таких автомобилей оценим
с помощью доверительного интервала:
, где 
– предельная ошибка доли.
Для уровня доверительной вероятности 
из соотношения 
определяем знакомый коэффициент доверия:
.
…Студентам-экономистам почему-то любят предлагать нежные значения «гамма» (у них эта задача – чуть ли не обязательная по
предмету). Причём, в методичках прямо так и пишут без пояснений, что вероятности 
соответствует коэффициент 
. И никаких там подстрочных индексов, лапласов или экселев. Запомнил, и всё. Плохо.
Вычислим среднюю ошибку доли. Коль скоро выборка 10%-ная, то объём генеральной совокупности равен 
автомобилей, и для бесповторной выборки:
Таким образом, точность оценки составляет 
и искомый доверительный интервал:
– с вероятностью 95,4% данный интервал
накрывает истинную генеральную долю 
автомобилей с пробегом более 180 км.
Ответ: 
Кстати, тут легко оценить и абсолютное количество таковых машин:
– от 425 до 615 автомобилей в генеральной
совокупности.
Но результат это, конечно, слабоватый. И помочь здесь может увеличение объёма выборки. Родственная формула уже выведена в
предыдущем параграфе, и я просто заменю дисперсию произведением 
:
– здесь по желаемой предельной ошибке
можно вычислить необходимый объём выборки.
И прямо сейчас у вас представится такая возможность.
На десерт:
Пример 30
Методом механического бесповторного отбора проведено однопроцентное обследование веса пирожных, изготовленных кондитерской
фабрикой за сутки. Распределение веса пирожных по весу следующее:
а) С вероятностью 0,9974 определить пределы, в которых будет находиться доля пирожных весом не менее 100 г, во всей
суточной продукции
б) Сколько процентов пирожных нужно проверить, чтобы увеличить точность оценки в 7 раз? (при той же доверительной
вероятности) Оценить целесообразность такого статистического исследования.
Краткое решение и ответ в конце книги.
4.8. Итоги по главе
4.6. Оценка генеральной средней по повторной и бесповторной выборкам
| Оглавление |
Содержание курса лекций “Статистика”
Выборочное наблюдение как источник статистической информации в изучении социально-экономических явлений и процессов
Статистическая методология исследования массовых явлений различает, как известно, два способа наблюдения в зависимости от полноты охвата объекта: сплошное и несплошное. Разновидностью несплошного наблюдения является выборочное, которое в условиях рыночных отношений в России находит все более широкое применение. Переход статистики РФ на международные стандарты системы национального счетоводства требует более широкого применения выборки для получения и анализа показателей СНС не только в промышленности, но и в других секторах экономики.
Под выборочным наблюдением понимается несплошное наблюдение, при котором статистическому обследованию (наблюдению) подвергаются единицы изучаемой совокупности, отобранные случайным способом. Выборочное наблюдение ставит перед собой задачу ‑ по обследуемой части дать характеристику всей совокупности единиц при условии соблюдения всех правил и принципов проведения статистического наблюдения и научно организованной работы по отбору единиц.
К выборочному наблюдению статистика прибегает по различным причинам. На современном этапе появилось множество субъектов хозяйственной деятельности, которые характерны для рыночной экономики. Речь идет об акционерных обществах, малых и совместных предприятиях, фермерских хозяйствах и т.д. Сплошное обследование этих статистических совокупностей, состоящих из десятков и сотен тысяч единиц, потребовало бы огромных материальных, финансовых и иных затрат. Использование же выборочного обследования позволяет значительно сэкономить силы и средства, что имеет немаловажное значение.
Наряду с экономией ресурсов одной из причин превращения выборочного наблюдения в важнейший источник статистической информации является возможность значительно ускорить получение необходимых данных. Ведь при обследовании, скажем, 10% единиц совокупности будет затрачено гораздо меньше времени, а результаты могут быть представлены быстрее, и будут более актуальными. Фактор времени важен для статистического исследования особенно в условиях изменяющейся социально-экономической ситуации.
Реализация выборочного метода базируется на понятиях генеральной и выборочной совокупностей.
Генеральной совокупностью называется вся исходная изучаемая статистическая совокупность, из которой на основе отбора единиц или групп единиц формируется совокупность выборочная. Поэтому генеральную совокупность также называют основой выборки.
Отбор единиц в выборочную совокупность может быть повторным или бесповторным.
При повторном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию, т.е. регистрации значений ее признаков, возвращается в генеральную совокупность и наравне с другими единицами участвует в дальнейшей процедуре отбора. Таким образом, некоторые единицы могут попадать в выборку дважды, трижды или даже большее число раз. И при изучении выборочной совокупности они будут рассматриваться как отдельные независимые наблюдения.
Отметим, что число единиц генеральной совокупности, участвующих в отборе, при таком подходе остается постоянным. Поэтому вероятность попадания в выборку для всех единиц совокупности на протяжении всего процесса отбора также не меняется.
На практике методология повторного отбора обычно используется в тех случаях, когда объем генеральной совокупности не известен и теоретически возможно повторение единиц с уже встречавшимися значениями всех регистрируемых признаков.
Например, при проведении маркетинговых исследований мы не можем сколько-нибудь точно оценить, какое число потребителей предпочитают стиральный порошок конкретной торговой марки, сколько покупателей предпочитают делать покупки именно в данном супермаркете и т.д. Поэтому возможно повторение совершенно идентичных единиц как по причине практически неограниченных объемов совокупности, так и вследствие возможной повторной регистрации. Предположим, при проведении обследования один и тот же покупатель может дважды прийти в магазин и дважды подвергнуться обследованию.
При выборочном контроле качества продукции объем генеральной совокупности также часто не определен, так как процесс производства может осуществляться постоянно, каждый день дополняя генеральную совокупность новыми единицами-изделиями. Поэтому в выборочную совокупность могут попасть два и более изделий с абсолютно одинаковыми характеристиками. Следовательно, и в этом случае при обработке результатов выборки необходимо ориентироваться на методологию, используемую при повторном отборе.
При бесповоротном отборе попавшая в выборку единица подвергается обследованию и в дальнейшей процедуре отбора не участвует. Такой отбор целесообразен и практически возможен в тех случаях, когда объем генеральной совокупности четко определен. Получаемые при этом результаты, как правило, являются более точными по сравнению с результатами, основанными на повторной выборке.
Как уже отмечалось выше, выборочное наблюдение всегда связано с определенными ошибками получаемых характеристик. Эти ошибки называются ошибками репрезентативности (представительности).
Ошибки репрезентативности обусловлены тем обстоятельством, что выборочная совокупность не может по всем параметрам в точности воспроизвести совокупность генеральную. Получаемые расхождения или ошибки репрезентативности позволяют заключить, в какой степени попавшие в выборку единицы могут представлять всю генеральную совокупность. При этом следует различать систематические и случайные ошибки репрезентативности.
Систематические ошибки репрезентативности связаны с нарушением принципов формирования выборочной совокупности. Например, вследствие каких-либо причин, связанных с организацией отбора, в выборку попали единицы, характеризующиеся несколько большими или, наоборот, несколько меньшими по сравнению с другими единицами значениями наблюдаемых признаков. В этом случае и рассчитанные выборочные характеристики будут завышенными или заниженными.
Случайные ошибки репрезентативности обусловлены действием случайных факторов, не содержащих каких-либо элементов системности в направлении воздействия на рассчитываемые выборочные характеристики. Но даже при строгом соблюдении всех принципов формирования выборочной совокупности выборочные и генеральные характеристики будут несколько различаться. Получаемые случайные ошибки могут быть статистически оценены и учтены при распространении результатов выборочного наблюдения на всю генеральную совокупность. Оценка ошибок выборочного наблюдения основана на теоремах теории вероятностей.
При дальнейшем рассмотрении теории и методов выборочного наблюдения используются следующие общепринятые условные обозначения:
N ‑ объем (число единиц) генеральной совокупности;
n ‑ объем (число единиц) выборочной совокупности;
‑ генеральная средняя, т.е. среднее значение изучаемого признака по генеральной совокупности (средняя прибыль, средняя величина активов, средняя численность работников предприятия и т.п.);
‑ выборочная средняя,
т.е. среднее значение изучаемого признака по выборочной совокупности;
М ‑ численность единиц генеральной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака (численность городского населения, численность сельского населения, количество бракованных изделий, число нерентабельных предприятий и т.п.);
р ‑ генеральная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, во всей генеральной совокупности (доля городского населения в общей численности населения, доля бракованной продукции в общем выпуске, доля нерентабельных предприятий в общей численности предприятий и т.п.); определяетcя как
m ‑ численность единиц выборочной совокупности, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака;
w ‑ выборочная доля, т.е. доля единиц, обладающих определенным вариантом или вариантами изучаемого признака, в выборочной совокупности,
определяется как ;
‑ средняя ошибка выборки;
‑ предельная ошибка выборки;
‑ коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности.
Ошибка выборки или отклонение выборочной средней от средней генеральной находится в прямой зависимости от дисперсии изучаемого признака в генеральной совокупности, и в обратной зависимости ‑ от объема выборки.
Таким образом среднюю ошибку выборки можно представить как
(10.1)
При проведении выборочного наблюдения дисперсия изучаемого признака в генеральной совокупности, как правило, не известна. В то же время, между генеральной дисперсией и средней из всех возможных выборочных дисперсий существует следующее соотношение:
(10.2)
В связи с тем, что на практике в большинстве случаев из генеральной совокупности в определенный момент времени производится только одна выборка, дисперсия изучаемого признака по этой выборке и используется при расчете ошибки.
Учитывая, что при достаточно большом объеме выборки отношение 
близко к 1, формула средней ошибки повторной выборки принимает следующий вид:
(10.3)
Где ‑ 
дисперсия изучаемого признака по выборочной совокупности.
При определении возможных границ значений характеристик генеральной совокупности рассчитывается предельная ошибка выборки, которая зависит от величины ее средней ошибки и уровня вероятности, с которым гарантируется, что генеральная средняя не выйдет за указанные границы.
Согласно теореме А.М. Ляпунова, вероятность той или иной величины предельной ошибки, при достаточно большом объеме выборочной совокупности, подчиняется нормальному закону распределения и может быть определена на основе интеграла Лапласа.
Значения интеграла Лапласа при различных величинах t табулированы и представлены в статистических справочниках.
При обобщении результатов выборочного наблюдения наиболее часто используются следующие уровни вероятности и соответствующие им значения t:
Таблица 10.1 ‑ !!!Некоторые значения t
| Вероятность, рi. | 0,683 | 0,866 | 0,954 | 0,988 | 0,997 | 0,999 |
| Значение t | 1,0 | 1,5 | 2,0 | 2,5 | 3,0 | 3,5 |
Например, если при расчете предельной ошибки выборки мы используем значение t=2, то с вероятностью 0,954 можно утверждать, что расхождение между выборочной средней и генеральной средней не превысит двукратной величины средней ошибки выборки.
Теоретической основой для определения границ генеральной доли, т.е. доли единиц, обладающих тем или иным вариантом признака, является теорема Вернули. Согласно данной теореме вероятность получения сколь угодно малого расхождения между выборочной долей и генеральной долей при достаточно большом объеме выборки будет стремиться к единице. С учетом того, что вероятность расхождения между выборочной и генеральной долями подчиняется нормальному закону распределения, эта вероятность также определяется по функции F(t) при заданном значении t.
Процесс подготовки и проведения выборочного наблюдения включает ряд последовательных этапов:
- Определение цели обследования.
- Установление границ генеральной совокупности.
- Составление программы наблюдения и программы разработки данных
- Определение вида выборки, процента отбора и метода отбора
- Отбор и регистрация наблюдаемых признаков у отобранных единиц.
- Насчет выборочных характеристик и их ошибок.
- Распространение полученных результатов на генеральную совокупность.
В зависимости от состава и структуры генеральной совокупности выбирается вид выборки или способ отбора.
К наиболее распространенным на практике видам относятся:
- собственно-случайная (простая случайная) выборка;
- механическая (систематическая) выборка;
- типическая (стратифицированная, расслоенная) выборка;
- серийная (гнездовая) выборка.
Отбор единиц из генеральной совокупности может быть комбинированным, многоступенчатым и многофазным.
Комбинированный отбор предполагает объединение нескольких видов выборки. Так, например, можно комбинировать типическую и серийную, серийную и собственно-случайную выборки. Ошибка такой выборки определяется ступенчатостью отбора.
Многоступенчатым называется отбор, при котором из генеральной совокупности сначала извлекаются укрупненные группы, потом ‑ более мелкие и так до тех пор, пока не будут отобраны те единицы, которые подвергаются обследованию.
Многофазная выборка, в отличие от многоступенчатой, предполагает сохранение одной и той же единицы отбора на всех этапах его проведения; при этом отобранные на каждой стадии единицы подвергаются обследованию, каждый раз – по более расширенной программе.
Собственно-случайная (простая случайная) выборка заключается в отборе единиц из генеральной совокупности наугад или наудачу без каких-либо элементов системности.
Однако прежде чем производить собственно-случайный отбор, необходимо убедиться, что все без исключения единицы генеральной совокупности имеют абсолютно равные шансы попадания в выборку, в списках или перечне отсутствуют пропуски, игнорирования отдельных единиц и т.п. Следует также установить четкие границы генеральной совокупности таким образом, чтобы включение или не включение в нее отдельных единиц не вызывало сомнений. Так, например, при обследовании студентов необходимо указать, будут ли приниматься во внимание лица, находящиеся в академическом отпуске, студенты негосударственных вузов, военных училищ и т.п.; при обследовании торговых предприятий важно определиться, включит ли генеральная совокупность торговые павильоны, коммерческие палатки и прочие подобные объекты.
Технически собственно-случайный отбор проводят методом жеребьевки или по таблице случайных чисел.
Расчет ошибок позволяет решить одну из главных проблем организации выборочного наблюдения – оценить репрезентативность (представительность) выборочной совокупности.
Различают среднюю и предельную ошибки выборки. Эти два вида связаны следующим соотношением:
(10.4)
Величина средней ошибки выборки рассчитывается дифференцированно в зависимости от способа отбора и процедуры выборки.
Так, при собственно-случайном повторном отборе средняя ошибка определяется по формуле:
(10.5)
а при расчете средней ошибки собственно-случайной бесповторной выборки:
(10.6)
Расчет средней и предельной ошибок выборки позволяет определить возможные пределы, в которых будут находиться характеристики генеральной совокупности.
Например, для выборочной средней такие пределы устанавливаются на основе следующих соотношений:
(10.7)
где и 
‑ генеральная и выборочная средняя соответственно;
‑ предельная ошибка выборочной средней.
Пример.
При проверке веса импортируемого груза на таможне методом случайной повторной выборки было отобрано 200 изделий. В результате был установлен средний вес изделия 30 г. при среднем квадратическом отклонении 4 г. С вероятностью 0,997 определите пределы, в которых находится средний вес изделия в генеральной совокупности.
Решение. Рассчитаем сначала предельную ошибку выборки. Так как при р = 0,997, t = 3, она равна:
Определим пределы генеральной средней:
или
Вывод: Следовательно, с вероятностью 0,997 можно утверждать, что средний вес изделий в генеральной совокупности находится в пределах от 29,16 г. до 30,84 г.
Пример 2.
В городе проживает 250 тыс. семей. Для определения среднего числа детей в семье была организована 2%-ная случайная бесповторная выборка семей. По ее результатам было получено следующее распределение семей по числу детей:
Таблица 10.2 ‑ Распределение семей по числу детей в городе N
| Число детей в семье | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Количество
семей |
1000 | 2000 | 1200 | 400 | 200 | 200 |
С вероятностью 0,954 определите пределы, в которых будет находиться среднее число детей в генеральной совокупности.
Решение. В начале на основе имеющегося распределения семей определим выборочные среднюю и дисперсию:
Таблица 10.3 ‑ Вспомогательная таблица для расчета среднего числа детей
|
Число детей в семье, х; |
Количество семей, f |  |
 |
 |
 |
|
0 1 2 3 4 5 |
1000 2000 1200 400 200 200 |
0
2000 2400 1200 800 1000 |
-1,5
-0,5 0,5 1,5 2,5 3,5 |
2,25
0,25 0,25 2,25 6,25 12,25 |
2250 500 300 900 1250 2450 |
|
Итого |
5000 | 7400 | – | – | 7650 |
Вычислим теперь предельную ошибку выборки (с учетом того, что при р = 0,954 t = 2).
Следовательно, пределы генеральной средней:
Таким образом, с вероятностью 0,954 можно утверждать, что среднее число детей в семьях города практически не отличается от 1,5, т.е. в среднем на каждые две семьи приходится три ребенка.
Наряду с определением ошибок выборки и пределов для генеральной средней эти же показатели могут быть определены для доли признака.
В этом случае особенности расчета связаны с определением дисперсии доли, которая вычисляется так:
(10.8)
где 
‑ доля единиц, обладающих данным признаком в выборочной совокупности, определяемая как отношение количества соответствующих единиц к объему выборки.
Тогда, например, при собственно-случайном повторном отборе для определения предельной ошибки выборки используется следующая формула:
(10.9)
Соответственно, при бесповторном отборе:
(10.10)
Пределы доли признака в генеральной совокупности p выглядят следующим образом:
(10.11)
Рассмотрим пример.
С целью определения средней фактической продолжительности рабочего дня в государственном учреждении с численностью служащих 480 человек, в январе 2009 г. было проведена 25%-ная случайная бесповторная выборка. По результатам наблюдения оказалось, что у 10% обследованных потери времени достигали более 45 мин. в день. С вероятностью 0,683 установите пределы, в которых находится генеральная доля служащих с потерями рабочего времени более 45 мин. в день.
Решение. Определим объем выборочной совокупности:
n= 480 х 0,25 = 120 чел.
Выборочная доля w равна по условию 10%.
Учитывая, что при р = 0,683 t=1, вычислим предельную ошибку выборочной доли:
Пределы доли признака в генеральной совокупности:
Таким образом, с вероятностью 0,683 можно утверждать, что доля работников учреждения с потерями рабочего времени более 45 мин. в день находится в пределах от 7,6% до 12,4%.
Мы рассмотрели определение границ генеральной средней и генеральной доли по результатам уже проведенного выборочного наблюдения, при известном объеме выборки или проценте отбора. На этапе же проектирования выборочного наблюдения именно объем выборочной совокупности и требует определения.
Для определения необходимого объема собственно-случайной повторной выборки применяют следующую формулу:
(10.12)
Полученный на основе использования данной формулы результат всегда округляется в большую сторону. Например, если мы получили, что необходимый объем выборки составляет 493,1 единицы, то обследовав 493 единицы мы не достигнем требуемой точности. Поэтому, для достижения желаемого результата обследованием должны быть охвачены 494 единицы.
С другой стороны, рассчитанное значение необходимого объема выборки свободно может быть увеличено в большую сторону на несколько единиц. Если мы располагаем необходимыми ресурсами, если по причинам организационного порядка (компактность расположения единиц, фиксированная нагрузка на каждого регистратора и т.п.) мы вполне можем охватить больший объем, то включение в выборочную совокупность 500 или, например, 550 единиц только уменьшит значения полученных случайной и предельной ошибок.
При определении необходимого объема выборки для определения границ генеральной доли задача оценки вариации решается значительно проще. Если дисперсия изучаемого альтернативного признака неизвестна, то можно использовать ее максимальное возможное значение:
Например, предприятию связи с вероятностью 0,954 необходимо определить удельный вес телефонный разговоров продолжительностью менее 1 минуты с предельной ошибкой 2%. Сколько разговоров нужно обследовать в порядке собственно-случайного повторного отбора для решения этой задачи?
Для получения ответа на поставленный вопрос воспользуемся формулой (10.12) и будем ориентироваться на максимальную возможную дисперсию доли телефонных разговоров такой продолжительности. Расчет приводит к следующему результату:
Таким образом, обследованием должны быть охвачены не менее 2500 разговоров на предмет их продолжительности.
Необходимый объем собственно-случайной бесповторной выборки может быть определен по следующей формуле:
(10.13)
Укажем на одну особенность формулы (10.13). При проведении вычислений объем генеральной совокупности должен быть выражен только в единицах, а не в тысячах или в миллионах единиц.
Например, подставив в данную формулу общую численность населения региона, выраженную в тысячах человек, мы не получим правильное значение необходимой численности выборки, также выраженное в тысячах человек, как это иногда бывает в других расчетах. Результат вычислений будет неверен.
Механическая выборка может быть применена в тех случаях, когда генеральная совокупность каким-либо образом упорядочена, т.е. имеется определенная последовательность в расположении единиц (табельные номера работников, списки избирателей, телефонные номера респондентов, номера домов и квартир и т.п.). Для проведения отбора желательно, чтобы все единицы также имели порядковые номера от 1 до N.
Для проведения механической выборки устанавливается пропорция отбора, которая определяется соотнесением объемов выборочной и генеральной совокупностей.
Так, если из совокупности в 500000 единиц предполагается отобрать 10000 единиц, то пропорция отбора составит
Отбор единиц осуществляется в соответствии с установленной пропорцией через равные интервалы.
Например, при пропорции 1:50 (2%-ная выборка) отбирается каждая 50-я единица, при пропорции 1:20 (5%-ная выборка) – каждая 20-я единица и т.д.
Интервал отбора также можно определить как частное от деления 100% на установленный процент отбора.
Так, например при 2%-ном отборе интервал составит 50 (100%:2%), при 4%-ном отборе ‑ 25 (100%:4%). В тех случаях, когда результат деления получается дробным, сформировать выборку механическим способом при строгом соблюдении процента отбора не представляется возможным.
Например, по этой причине нельзя сформировать 3%-ную или 6%-ную выборки.
Генеральную совокупность при механическом отборе можно ранжировать или упорядочить по величине изучаемого или коррелирующего с ним признака, что позволит повысить репрезентативность выборки. Однако в этом случае возрастает опасность систематической ошибки, связанной с занижением значений изучаемого признака (если из каждого интервала регистрируется первое значение) или его завышением (если из каждого интервала регистрируется последнее значение). Поэтому целесообразно из каждого интервала отбирать центральную или одну из двух центральных единиц.
Например, при 5%-ной выборке интервал отбора составит 20 единиц, тогда отбор целесообразно начинать с 10-й или с 11-й единицы. В первом случае в выборку попадут 10, 30, 50, 70 и с таким же интервалом последующие единицы; во втором случае – единицы с номерами 11,31,51,71 и т.д.
При механической выборке также может появиться опасность систематической ошибки, обусловленной случайным совпадением выбранного интервала и циклических закономерностей в расположении единиц генеральной совокупности. Так, при переписи населения 1989 г. в ходе 25%-го выборочного обследования семей имела место опасность попадания в выборку квартир только одного типа (например, только однокомнатных или только трехкомнатных), так как на лестничных площадках многих типовых домов располагаются именно по 4 квартиры. Чтобы избежать систематической ошибки, в каждом новом подъезде счетчик менял начало отбора.
Для определения средней ошибки механической выборки, а также необходимой ее численности, используются соответствующие формулы, применяемые при собственно-случайном бесповторном отборе(10.6 и 10.13). При этом, определив необходимую численность выборки и сопоставив ее с объемом генеральной совокупности, как правило, приходится производить соответствующее округление для получения целочисленного интервала отбора.
Например, в области зарегистрировано 12000 фермерских хозяйств. Определим, сколько из них нужно отобрать в порядке механического отбора для определения средней площади сельхозугодий с ошибкой ± 2 га. (Р=0,997). По результатам ранее проведенного обследования известно, что среднее квадратическое отклонение площади сельхозугодий составляет 8 га. Произведем расчет, воспользовавшись формулой (10.13).
С учетом полученного необходимого объема выборки (143 фермерских хозяйства) определим интервал отбора: 12000:143=83,9.
Определенный таким способом интервал всегда округляется в меньшую сторону, так как при округлении в большую сторону произведенная выборка не достигнет рассчитанного по формуле необходимого объема.
Следовательно, в нашем примере, из общего списка фермерских хозяйств необходимо отобрать для обследования каждое 83-е хозяйство. При этом процент отбора составит 1,2% (100% : 83).
Типический отбор целесообразно использовать в тех случаях, когда все единицы генеральной совокупности объединены в несколько крупных типических групп.. Такие группы также называют стартами или слоями, в связи с чем типический отбор также называют стратифицированным или расслоенным. При обследованиях населения в качестве типических групп могут быть выбраны области, районы, социальные, возрастные или образовательные группы, при обследовании предприятий – отрасли или подотрасли, формы собственности и т.п.
Рассматривать генеральную совокупность в разрезе нескольких крупных групп единиц имеет смысл только в том случае, если средние значения изучаемых признаков по группам существенно различаются. Например, с большой уверенностью можно предположить, что доходы населения крупного города будут в среднем выше доходов населения, проживающего в сельской местности; численность работников промышленного предприятия в среднем будет выше численности работников торгового или сельскохозяйственного предприятия; средний возраст студентов будет значительно меньше среднего возраста занятого населения и, тем более, пенсионеров. В то же время, нет никакого смысла при выделении типических групп ориентироваться на признак, не связанный или очень слабо связанный с изучаемым.
Отбор единиц в выборочную совокупность из каждой типической группы осуществляется собственно-случайным или механическим способом. Поскольку в выборочную совокупность в той или иной пропорции обязательно попадают представители всех групп, типизация генеральной совокупности позволяет исключить влияние межгрупповой дисперсии на среднюю ошибку выборки. В то же время, в выделенных типических группах обследуются далеко не все единицы, а только включенные в выборку. Следовательно, на величине полученной ошибки будет сказываться различие между единицами внутри этих групп, т.е. внутригрупповая вариация. Поэтому, ошибка типической выборки будет определяться величиной не общей дисперсии, а только ее части – средней из внутригрупповых дисперсий.
При типической выборке, пропорциональной объему типических групп, число единиц, подлежащих отбору из каждой группы, определяется следующим образом:
(10.14)
Где Ni – объем i-ой группы. а ni ‑ объем выборки из i-ой группы.
Пример. Предположим, общая численность населения области составляет 1,5 млн. чел., в том числе городское – 900 тыс. чел. и сельское – 600 тыс. чел. Если в ходе выборочного наблюдения планируется обследовать 100 тыс. жителей, то эта численность должна быть поделена пропорционально объему типических групп следующим образом:
Средняя ошибка типической выборки определяется по формулам:
(10.15)
(10.16)
где 
– средняя из внутригрупповых дисперсий.
При выборке, пропорциональной дифференциации признака, число наблюдений по каждой группе рассчитывается по формуле:
(10.17)
Где 
‑ среднее отклонение признака в i-ой группе.
Cредняя ошибка такого отбора определяется следующим образом:
(10.18)
(10.19)
Отбор, пропорциональный дифференциации признака, дает лучшие результаты, однако на практике его применение затруднено вследствие трудности получения сведений о вариации до проведения выборочного наблюдения.
Таблица 10.4 ‑ Результаты обследования рабочих предприятия
| Цех | Всего рабочих, человек | Обследовано, человек | Число дней временной нетрудоспособности за год | |
| средняя | дисперсия | |||
| I
II III |
1000
1400 800 |
100
140 80 |
18
12 15 |
49
25 16 |
Рассмотрим оба варианта типической выборки на условном примере. Предположим, 10% бесповторный типический отбор рабочих предприятия, пропорциональный размерам цехов, проведенный с целью оценки потерь из-за временной нетрудоспособности, привел к следующим результатам (табл. 10.4)
Рассчитаем среднюю из внутригрупповых дисперсий:
Определим среднюю и предельную ошибки выборки (с вероятностью 0,954):
Рассчитаем выборочную среднюю:
С вероятностью 0,954 можно сделать вывод, что среднее число дней временной нетрудоспособности одного рабочего в целом по предприятию находится в пределах:
Воспользуемся полученными внутригрупповыми дисперсиями для проведения отбора пропорционального дифференциации признака. Определим необходимый объем выборки по каждому цеху:
С учетом полученных значений рассчитаем среднюю ошибку выборки:
В данном случае средняя, а следовательно, и предельная ошибки будут несколько меньше, что отразится и на границах генеральной средней.
Серийный отбор. Данный способ отбора удобен в тех случаях, когда единицы совокупности объединены в небольшие группы или серии. В качестве таких серий могут рассматриваться упаковки с определенным количеством готовой продукции, партии товара, студенческие группы, бригады и другие объединения. Сущность серийной выборки заключается в собственно-случайном или механическом отборе серий, внутри которых производится сплошное обследование единиц.
Поскольку внутри групп (серий) обследуются все без исключения единицы, средняя ошибка серийной выборки (при отборе равновеликих серий) зависит от величины только межгрупповой (межсерийной) дисперсии и определяется по следующим формулам:
(10.20)
(10.21)
Где r ‑ число отобранных серий; R ‑ общее число серий.
Межгрупповую дисперсию вычисляют следующим образом:
(10.22)
где 
‑ средняя i-й серии;
‑ общая средняя по всей выборочной совокупности.
Пример.
В области, состоящей из 20 районов, проводилось выборочное обследование урожайности на основе отбора серий (районов). Выборочные средние по районам составили соответственно 14,5 ц/га; 16 ц/га; 15,5 ц/га; 15 ц/га и 14 ц/га. С вероятностью 0,954 определите пределы урожайности во всей области.
Решение. Рассчитаем общую среднюю:
Межгрупповая (межсерийная) дисперсия равна:
Определим теперь предельную ошибку серийной бесповторной выборки (t = 2 при р = 0,954):
Вывод: Следовательно, урожайность будет с вероятностью 0,954 находиться в пределах:
Определение необходимого объема выборки
При проектировании выборочного наблюдения возникает вопрос о необходимой численности выборки. Эта численность может быть определена на базе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из вероятности, на основе которой можно гарантировать величину устанавливаемой ошибки, и, наконец, на базе способа отбора.
Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности могут быть выведены из соответствующих соотношений, используемых при расчете предельных ошибок выборки. Приведем наиболее часто применяемые на практике выражения необходимого объема выборки:
– собственно-случайная и механическая выборка:
(10.23)
(10.24)
– типическая выборка:
(10.25)
(10.26)
– серийная выборка:
(10.27)
(10.28)
При этом в зависимости от целей исследования дисперсии и ошибки выборки могут быть рассчитаны для средней величины или доли признака.
Рассмотрим примеры определения необходимого объема выборки при различных способах формирования выборочной совокупности.
Пример.
В 100 туристических агентствах города предполагается провести обследование среднемесячного количества реализованных путевок методом механического отбора. Какова должна быть численность выборки, чтобы с вероятностью 0,683 ошибка не превышала 3 путевок, если по данным пробного обследования дисперсия составляет 225.
Решение. Рассчитаем необходимый объем выборки:
Пример.
С целью определения доли сотрудников коммерческих банков области в возрасте старше 40 лет предполагается организовать типическую выборку пропорциональную численности сотрудников мужского и женского пола с механическим отбором внутри групп. Общее число сотрудников банков составляет 12 тыс. чел., в том числе 7 тыс. мужчин и 5 тыс. женщин.
На основании предыдущих обследований известно, что средняя из внутригрупповых дисперсий составляет 1600. Определите необходимый объем выборки при вероятности 0,997 и ошибке 5%.
Решение. Рассчитаем общую численность типической выборки:
Вычислим теперь объем отдельных типических групп:
Вывод: Таким образом, необходимый объем выборочной совокупности сотрудников банков составляет 550 чел., в т.ч. 319 мужчин и 231 женщина.
Пример.
В акционерном обществе 200 бригад рабочих. Планируется проведение выборочного обследования с целью определения удельного веса рабочих, имеющих профессиональные заболевания. Известно, что межсерийная дисперсия доли равна 225. С вероятностью 0,954 рассчитайте необходимое количество бригад для обследования рабочих, если ошибка выборки не должна превышать 5%.
Решение. Необходимое количество бригад рассчитаем на основе формулы объема серийной бесповторной выборки:
Содержание курса лекций “Статистика”
Контрольные задания
Самостоятельно проведите выборочное наблюдение и произведите соответствующие расчеты.
Повторный и бесповторный отбор.
Ошибка выборки
Краткая теория
На основании выборочных данных дается оценка статистических
показателей по всей (генеральной) совокупности. Подобное возможно, если выборка
основывается на принципах случайности отбора и репрезентативности
(представительности) выборочных данных. Каждая единица генеральной совокупности
должна иметь равную возможность (вероятность) попасть в выборку.
При формировании выборочной совокупности используются следующие
способы отбора: а) собственно-случайный отбор; б) механическая выборка; в)
типический (районированный) отбор; г) многоступенчатая (комбинированная)
выборка; д) моментно-выборочное наблюдение.
Выборка может осуществляться по схеме повторного и бесповторного
отбора.
В первом случае единицы совокупности, попавшие в выборку, снова
возвращаются в генеральную, а во втором случае – единицы совокупности, попавшие
в выборку, в генеральную совокупность уже не возвращаются.
Выборка может осуществляться отдельными единицами или сериями
(гнездами).
Собственно-случайная выборка
Отбор в этом случае производится либо по жребию, либо по таблицам
случайных чисел.
На основании приемов классической выборки решаются следующие
задачи:
а) определяются границы среднего значения показателя по генеральной
совокупности;
б) определяются границы доли признака по генеральной совокупности.
Предельная ошибка средней при собственно-случайном отборе
исчисляется по формулам:
а) при повторном отборе:
б) при бесповторном отборе:
где
– численность выборочной совокупности;
– численность генеральной совокупности;
– дисперсия признака;
– критерий кратности ошибки: при
;
при
;
при
.
Значения
определяются
по таблице функции Лапласа.
Границы (пределы) среднего значения признака по генеральной
совокупности определяются следующим неравенством:
где
– среднее значение признака по выборочной
совокупности.
Предельная ошибка доли при собственно-случайном отборе определяется
по формулам:
а) при повторном отборе:
при бесповторном отборе:
где
– доля единиц совокупности с заданным
значением признака в обзей численности выборки,
– дисперсия доли признака.
Границы (пределы) доли признака по всей (генеральной) совокупности
определяются неравенством:
где
– доля признака по генеральной совокупности.
Типическая (районированная) выборка
Особенность этого вида
выборки заключается в том, что предварительно генеральная совокупность по
признаку типизации разбивается на частные группы (типы, районы), а затем в
пределах этих групп производится выборка.
Предельная ошибка средней
при типическом бесповторном отборе определяется по формуле:
где
– средняя из внутригрупповых дисперсий
по каждой типичной группе.
При пропорциональном отборе из групп генеральной совокупности
средняя из внутригрупповых дисперсий определяется по формуле:
где
– численности единиц совокупности групп по выборке.
Границы (пределы) средней по генеральной совокупности на основании
данных типической выборки определяются по тому же неравенству, что при
собственно-случайной выборке. Только предварительно необходимо вычислить общую
выборочную среднюю
из частных выборочных средних
.
Для случая пропорционального отбора это определяется по формуле:
При непропорциональном отборе средняя из внутригрупповых дисперсий вычисляется по
формуле:
где
– численность единиц групп по генеральной
совокупности.
Общая выборочная средняя в этом случае определяется по формуле:
Предельная ошибка доли
признака при типическом бесповторном отборе определяется формулой:
Средняя дисперсия доли
признака из групповых дисперсий доли
при
типической пропорциональной выборке вычисляется по формуле:
Средняя доля признака по
выборке из показателей групповых долей рассчитывается формуле:
Средняя дисперсия доли при
непропорциональном типическом отборе определяется следующим образом:
а средняя доля признака:
Формулы ошибок выборки при типическом повторном отборе будут те же,
то и для случая бесповторного отбора. Отличие заключается только в том, что в
них будет отсутствовать по корнем сомножитель
.
Серийная выборка
Серийная ошибка выборки
может применяться в двух вариантах:
а) объем серий различный
б) все серии имеют
одинаковое число единиц (равновеликие серии).
Наиболее распространенной
в практике статистических исследований является серийная выборка с
равновеликими сериями. Генеральная совокупность делится на одинаковые по объему
группы-серии
и
производится отбор не единиц совокупности, а серий
. Группы (серии) для обследования отбирают в
случайном порядке или путем механической выборки как повторным, так и
бесповторными способами. Внутри каждой отобранной серии осуществляется сплошное
наблюдение. Предельные ошибки выборки
при
серийном отборе исчисляются по формулам:
а) при повторном отборе
б) при бесповторном отборе
где
– число
серий в генеральной совокупности;
– число
отобранных серий;
– межсерийная дисперсия, исчисляемая для случая равновеликих
серий по формуле:
где
–
среднее значение признака в каждой из отобранных серий;
– межсерийная
средняя, исчисляемая для случая равновеликих серий по формуле:
Определение численности выборочной совокупности
При проектировании
выборочного наблюдения важно наряду с организационными вопросами решить одну из
основных постановочных задач: какова должна быть необходимая численность
выборки с тем, чтобы с заданной степенью точности (вероятности) заранее
установленная ошибка выборки не была бы превзойдена.
Примеры решения задач
Задача 1
На основании результатов проведенного на заводе 5%
выборочного наблюдения (отбор случайный, бесповторный) получен следующий ряд
распределения рабочих по заработной плате:
| Группы рабочих по размеру заработной платы, тыс.р. | до 200 | 200-240 | 240-280 | 280-320 | 320 и выше | Итого |
| Число рабочих | 33 | 35 | 47 | 45 | 40 | 200 |
На основании приведенных данных определите:
1) с вероятностью 0,954 (t=2) возможные пределы, в которых
ожидается средняя заработная плата рабочего в целом по заводу (по генеральной
совокупности);
2) с вероятностью 0,997 (t=3) предельную ошибку и границы доли
рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше.
Решение
На сайте можно заказать решение контрольной или самостоятельной работы, домашнего задания, отдельных задач. Для этого вам нужно только связаться со мной:
ВКонтакте
WhatsApp
Telegram
Мгновенная связь в любое время и на любом этапе заказа. Общение без посредников. Удобная и быстрая оплата переводом на карту СберБанка. Опыт работы более 25 лет.
Подробное решение в электронном виде (docx, pdf) получите точно в срок или раньше.
Вычислим среднюю з/п: Для этого просуммируем произведения середин
интервалов и соответствующих частот, и полученную сумму разделим на сумму
частот.
2) Выборочная дисперсия:
Найдем доверительный интервал для средней. Предельная ошибка выборочной
средней считается по формуле:
где
–
аргумент функции Лапласа.
Искомые возможные пределы, в которых ожидается средняя заработная плата
рабочего в целом по заводу:
Найдем доверительный интервал для выборочной доли. Предельная ошибка
выборочной доли считается по формуле:
Доля рабочих с з/п от 320 тыс.р.:
Искомые границы доли рабочих с заработной платой от 320 тыс.руб. и выше:
Задача 2
В
городе 23560 семей. В порядке механической выборки предполагается определить
количество семей в городе с числом детей трое и более. Какова должна быть
численность выборки, чтобы с вероятностью 0,954 ошибка выборки не превышала
0,02 человека. На основе предыдущих обследований известно, что дисперсия равна
0,3.
Решение
Численность
выборки можно найти по формуле:
В нашем случае:
Вывод к задаче
Таким образом численность
выборки должна составить 2661 чел.
Задача 3
С
целью определения средней месячной заработной платы персонала фирмы было
проведено 25%-ное выборочное обследование с отбором
единиц пропорционально численности типических групп. Для отбора сотрудников
внутри каждого филиала использовался механический отбор. Результаты
обследования представлены в следующей таблице:
| Номер филиала |
Средняя месячная заработная плата, руб. |
Среднее квадратическое отклонение, руб. |
Число сотрудников, чел. |
| 1 | 870 | 40 | 30 |
| 2 | 1040 | 160 | 80 |
| 3 | 1260 | 190 | 140 |
| 4 | 1530 | 215 | 190 |
С
вероятностью 0,954 определите пределы средней месячной заработной платы всех
сотрудников гостиниц.
Решение
Предельная
ошибка выборочной средней:
Средняя
из внутригрупповых дисперсий:
Получаем:
Средняя
месячная заработная плата по всей совокупности филиалов:
Искомые
пределы средней месячной заработной платы:
Вывод к задаче
Таким
образом с вероятностью 0,954 средняя месячная заработная плата всех сотрудников
гостиниц находится в пределах от 1294,3 руб. до 1325,7 руб.
Целью
выборочного наблюдения является
определение характеристик генеральной
совокупности – генеральной средней
(
)
и генеральной доли (р).
Характеристики выборочной совокупности
– выборочная средняя (
) и выборочная доля (
)
отличаются от генеральных характеристик
на величину ошибки выборки (
).
Расчет
ошибок при проведении отбора позволяет
решить одну из главных проблем организации
выборочного наблюдения – оценить
репрезентативность (представительность)
выборочной совокупности. Различают
среднюю и предельную ошибки выборки.
Эти два вида ошибок связаны между собой
следующим образом:
,
где
–
предельная ошибка выборки;
–
средняя ошибка выборки;
– коэффициент доверия, связанный с
вероятностью (P)
и определяемый по таблице значений
интегральной функции Лапласа.
Так
как вероятность, с которой гарантируется
ошибка выборки, должна быть близка к 1
(в связи с этим ошибка называется
предельно возможной, т.е. наивероятной),
величина коэффициента доверия при-нимает
определенные значения. Для целых значений
коэффициента уровни вероятности,
наиболее часто используемые в экономических
и социологических исследованиях,
следующие:
|
|
P |
|
1 |
0,683 |
|
2 |
0,954 |
|
3 |
0,997 |
Величина
средней ошибки выборки рассчитывается
дифференцировано в зависимости от
способа и вида отбора (таблица 6.1).
Расчет
средней и предельной ошибок выборки
позволяет определять возможные пределы,
в которых будут находиться характеристики
генеральной совокупности:
Таблица
6.1
Формулы
для определения средней ошибки
выборки
|
Способы |
Виды |
|
|
повторный |
бесповторный |
|
|
Собственно-cлучайный
а)
б) |
|
|
а)
б) |
– – |
|
а)
б) |
|
|
|
где |
||
а)
б) |
|
|
|
где
si |
,
–
,
–Формулы необходимого объема выборки для различных способов формирования выборочной совокупности выводятся из соответствующих соотношений, используются при расчете предельных ошибок выборки.
Таблица
6.2
Формулы
для определения численности выборочной
совокупности
|
Способы |
Виды |
|
|
повторный |
бесповторный |
|
|
1.Собственно-случайный
а)
б) |
|
|
|
2.
а)
б) |
– – |
|
|
3.
а)
б) |
|
|
а)
б) |
|
|
Тесты
1.
По
какой формуле определяются пределы
генеральной средней?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
2.
По какой формуле определяются пределы
генеральной доли?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
3.
Какие ошибки не специфичны для выборочного
наблюдения?
1)
ошибки
регистрации преднамеренные; 2) ошибки
регистрации не-преднамеренные; 3)
случайные ошибки репрезентативности;
4) пре-дельная ошибка выборки.
4.
Как изменится средняя ошибка выборки
при повторном отборе, если объем выборки
увеличить в четыре раза?
1)
уменьшится в 4 раза; 3)
увеличится в 2 раза;
2)
уменьшится в 2 раза; 4)
увеличится в 4 раза.
5.
Какой способ отбора является наиболее
точным?
1)
собственно-случайный; 3)
типический;
2)
механический; 4)
серийный.
6.
Чему равна средняя ошибка выборочной
доли при случайном бесповторном отборе?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
7.
По какой формуле определяется предельная
ошибка выборки для признака при
механическом отборе?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
8.
Какая формула положена в основу
определения необходимого объема
выборочной совокупности при
собственно-случайном повторном отборе?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
9.
Как
определяется предельная ошибка доли
при типическом отборе?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
10.
По какой формуле определяется предельная
ошибка выборки для признака при серийном
повторном отборе?
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
Решение
типовых задач
Пример
1.
Для изучения оснащения заводов основными
производственными фондами было проведено
10%-ное собственно-слу-чайное обследование,
в результате которого получены следующие
данные о распределении заводов по
стоимости фондов:
|
Средняя |
До |
4 |
6 |
Свыше |
Итого |
|
Количество |
7 |
12 |
21 |
10 |
50 |
Определите:
1) с вероятностью 0,997 границы, в которых
будет находиться средняя годовая
стоимость основных фондов заводов в
генеральной совокупности; 2) с вероятностью
0,954 границы, в которых будет находиться
удельный вес заводов со стоимостью
фондов выше 6 млн.грн. в генеральной
совокупности.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
