Как найти пределы двукратного интеграла

Двойные интегралы используют в математике, механике, физике. С его помощью можно решить огромное количество непростых задач. Ниже приведено 10 примеров на двойные и тройные интегралы, которые в значительной степени облегчат подготовку к контрольной работе или экзамену. Примеры взяты из индивидуальной работы по высшей математики.

ВАРИАНТ – 12

Двойной интеграл

ЗАДАНИЕ 1.18 Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

Решение: Сначала записываем область интегрирования, которая ограничена границами

где y=2/x – гипербола.
y=-x²-4x-3 – парабола с вершиной в точке S (-2;1), ветками вниз.
Чтобы знать, как расставить пределы интегрирования при изменении порядка интегрирования изобразим область интегрирования на плоскости
Выражаем полученные функции через переменную y: 
y=2/x, отсюда x=2/y; y=-x²-4x-3, отсюда , перед радикалом стоит знак “+” поскольку часть параболы находится в правой (положительной по x=-2) части полуплоскости.
Из рисунка видим, что при изменении порядка интегрирования область необходимо разделить на три части: D=D₁+D₂+D₃.
Расставим пределы интегрирования в каждой области:

Изменяем порядок интегрирования функции
Как видите ничего сложного нет, главное представлять график функции и иметь точки их пересечения – пределы интегрирования.

ЗАДАНИЕ 2.19 Найти площадь плоской фигуры, заданной следующими условиями, : y=2^x, y=5, 2x-2y+3=0.
Решение: Прежде всего выполняем построение всех кривых, чтобы видеть как будут изменяться пределы интегрирования
Дальше найдем точки пересечения графиков заданных функций :
1 и 2

отсюда

Дальше точки пересечения 2 и 3 функций

отсюда

Напоследок пересечение 1 и 3 ф-й

отсюда

Заданную область будем разбивать на две области: D=D₁+D₂.
Расставим пределы для каждой из областей:

Через двойной интеграл находим площадь фигуры которая  ограничена заданными кривыми, :
Функции не тяжелые для интегрирования, поэтому в предпоследнем выражении подставьте пределы самостоятельно.
При округлении площадь криволинейной трапеции равна 2,037 единиц квадратных.

ЗАДАНИЕ 3.20 Найти двойной интеграл по области D, ограниченной указанными линиями: D: y=x²-1, y=3.
Решение: Найдем точки пересечения графиков заданных функций: y=x²-1 и y=3:
3=x²-1, x²-4=0, (x-2)(x+2)=0, x=-2; x=2.
Параболу и прямую изобразим графически
Расставим пределы интегрирования в заданной области D:

Вычислим двойной интеграл по области которая ограничена параболой и прямой:
Определенный интеграл равен I=224/15=14,9 (3).

ЗАДАНИЕ 4.21 Найти двойной интеграл, используя полярные координаты:

Решение: Построим область интегрирования, которая ограничена кривыми

где y=R²– x², x²+y²=R²

Получили круг с центром в точке O (0;0) и радиусом R (нижняя половина).
Используя замену переменных

перейдем к полярной системе координат (СК).
При этом подынтегральную функцию следует умножить на якобиан перехода, который находим через определитель из производных:

Перепишем подинтегральную функцию в полярной СК :

Пределы интегрирования при переходе к полярной системе координат изменятся на следующие:

Вычислим двойной интеграл:
Он равен I=Pi/4*sin (R²).

ЗАДАНИЕ 5.22 Вычислить площадь области D, ограниченной указанными линиями: D: x³=3y, y²=3x.
Решение: Найдем точку пересечения двух графиков : x₁=0, y₁=0; x₂=3, y₂=3.
Графики кривой в декартовой системе координат имеет вид
Расставим пределы интегрирования в области D:

Найдем площадь криволинейной трапеции которая ограничена указанными линиями:
Площадь равна 3 единицы квадратные.

ЗАДАНИЕ 6.23 Используя двойной интеграл, вычислить, перейдя к полярным координатам, площадь плоской фигуры : (x²+y²)³=4a²xy (x²-y²).
Решение: Сначала построим чотирёх лепесток

Перейдем к полярной системе координат:

Якобиан перехода из предыдущих примеров равен I=r.
Найдем пределы интегрирования в новой системе координат

Переменные приобретают значение:

Расставляем пределы интегрирования в двойном интеграле, таким образом найдем четверть площади плоской фигуры.
Дальше результат умножим на 4:
Площадь равна S=a² единиц квадратных.

Внимательно проанализируйте как определять пределы интегрирования. Это тяжелее всего, что может быть в подобных задачах.
Как вычислить определенный интеграл, как правило, должны знать все студенты. Здесь лишь расширяется его приложение.

Тройной интеграл

ЗАДАНИЕ 8.25 Расставить пределы интегрирования в тройном интеграле , если область V ограничена указанными поверхностями: V: x=2 y=3x, z=4 (x²+y²).
Нарисовать область интегрирования.
Решение: Уравнение поверхности в пространстве z=4 (x²+y²) – эллиптический параболоид.
График параболоида и проекция в декартовую плоскость тела имеют вид
Пределы интегрирования расставим следующим образом:
V:
Расставляем пределы интегрирования в соответствии с областью

ЗАДАНИЕ 9.6 Вычислить тройные интегралы:

где V:
Решение: Выполним построение области интегрирования
Заданная область V является параллелепипедом, поэтому без трудностей расставляем пределы интегрирования и от внутреннего к внешнему находим интеграл

Вычисления не сложны, поэтому превращение в формуле проанализируйте самостоятельно.

Вычисление двойных интегралов с помощью повторного интегрирования

Пусть
функция

определена в области

,

где

и

–
непрерывные функции на отрезке

.

Область, в которой
всякая прямая параллельная оси
,
проходящая через внутреннюю точку
области, пересекает ее границы в двух
точках, называется правильной
относительно
оси

(рис.3).

Аналогично
определяется о
бласть
правильная
относительно оси
:

где
функции

и

–
непрерывные функции на отрезке

(рис.4).

Выражения
вида

,

называются
повторными
интегралами
от функции

по

области
.

Теорема.
Двойной интеграл от непрерывной функции

по
правильной области

равен повторному интегралу от этой
функции по области
.

=
.

Если
область правильная относительно оси
,
то двойной интеграл вычисляется как
повторный вида

=

В
случае, когда область

не является правильной, ее разбивают
на части, каждая из которых является
правильной.

Частный
случай. Если
область интегрирования есть прямоугольник,
ограниченный прямыми

то
формула преобразования двойного
интеграла в повторный имеет вид

.

Если
кроме того, в подынтегральной функции
переменные разделены, то есть
,
то двойной интеграл превращается в
произведение двух определенных
интегралов:

.

Пример.
Найти
,
где

–
область, ограниченная линиями

(рис.5).

Решение.
=

=

Пример.
Найти
,
где

–
квадрат

(рис.6).

Решение.

=

=

Представление
двойного интеграла в виде повторного

=

называют
расстановкой пределов интегрирования
в определенном порядке. Задача расстановки
пределов интегрирования допускает
несколько вариантов.

1.
Задан двойной интеграл по области
.
Расставить пределы интегрирования в
том и другом порядке.

Пример. Область

лежит в правой полуплоскости (т.е.

и
ограничена

кривыми:

(рис.7). В двойном интеграле

расставить пределы интегрирования в
одном и другом порядке.

Решение.
Запишем неравенства, которым должны
удовлетворять координаты точек области
:

или

Расставим
пределы интегрирования

=
=

2.
Задан двойной интеграл по области
.
Расставить пределы интегрирования в
каком-либо порядке.

В
этом случае выбирают порядок
интегрирования, при котором интеграл
имеет наиболее простое представление.
Выбор может определяться как видом
области интегрирования, так и свойствами
подынтегральной функции. Например,
расстановка пределов в одном порядке
требует разбиения множества

на меньшее число составляющих, чем
расстановка в другом порядке.

Пример. Расставить
пределы интегрирования в интеграле

,
где

–
область ограниченная линиями:
,

,

(рис.8).

Решение.
Для расстановки пределов интегрирования
в порядке

можно не разбивать

на составляющие области, а для другого
порядка расстановки пределов такое
разбиение необходимо. Исходя из этого
выбираем порядок
.
Решая систему

получаем координаты точек пересечения:
.
Следовательно,

и

=
.

3.Задан
повторный интеграл
.
Поменять порядок интегрирования.

Для
решения такой задачи сначала делают
переход от заданного повторного интеграла
к двойному, то есть восстанавливают по
данным пределам область интегрирования

:

=
.
Условия на координаты точек (

множества

получаем исходя из заданного повторного
интеграла


.
В полученном двойном интеграле проведем
расстановку пределов интегрирования
в требуемом порядке. Таким образом,
считая область

правильной относительно обеих осей

и
,
получаем цепочку равенств

=
=
.

Пример. Изменить
порядок интегрирования в повторном
интеграле
.

Решение.
Запишем условие на координаты точек

из множества
,
по которому берется

интеграл:

(рис.9).

Область

правильная как относительно оси
,
так и относительно оси

.
Так как при интегрировании в порядке

верхняя граница области

задается двумя различными функциями,
представим множество

в виде
,
где

Итак,

=
.

Двойной
интеграл в полярной системе координат

Выведем
формулу перехода от декартовых координат
к полярным в двойном интеграле.

Пусть

– непрерывная функция на ограниченной
замкнутой области
.
Так как при определении двойного
интеграла предел последовательности
интегральных сумм не зависел от способа
разбиения области

на
части

,
то разобьем область

на

концентрическими окружностями

и лучами

(рис.10). Тогда площадь

с
точностью до бесконечно малых более
высокого порядка малости чем

.
Таким образом, двумерный элемент
площади в полярных координатах
запишется в виде

.

Пусть теперь
область

правильная относительно
,
то есть любой луч, исходящий из полюса
и проходящий через внутреннюю точку
области пересекает границу области
только в двух точках. В этом случае
область

можно задать множеством

(рис.11).
Тогда повторный интеграл по области

представим в виде

Е
сли
любая окружность с центром в начале
координат, проходящая через внутреннюю
точку области пересекает линию границы
в двух точках, то есть область

есть множество:

,
(рис.12), то повторный интеграл примет
вид

=

В
случае, когда полюс лежит внутри области

и любой луч пересекает границу не более
чем в одной точке (рис.13), для вычисления
удобно использовать формулу

Пример.
Вычислить двойной интеграл

в

полярной
системе координат по области
,
ограниченной линиями
,
расположенной в I
квадранте (рис.14).

Решение.

Пример. Вычислить
двойной интеграл

в полярной системе координат по области
,
ограниченной окружностью

(рис.15).

Решение.
Перейдем к полярным координатам c
полюсом в точке

:
Угол

изменяется от

до

Подставляя полярные

координаты
в уравнение окружности, получим
,
откуда

или

– уравнение окружности в полярных
координатах. Двойной интеграл по области

сводится повторному

=

Замена
переменных в двойном интеграле.

Рассмотрим
двойной интеграл вида
.
Замена переменных в двойном интеграле
состоит в переходе от

переменных

и

к новым переменным

и

по формулам

,
.
При этом каждая точка

области

соответствует некоторой точке

области
,
а каждая точка

области

переходит в некоторую точку

области

Функции

называют также отображением области

плоскости

на область

плоскости
.
Пусть отображение удовлетворяет
следующим условиям:

1.
Отображение взаимно однозначно, то есть
различным точкам

области

соответствуют различные точки

области

.

2.Функции

имеют
в области

непрерывные частные производные первого
порядка.

3.
Якобиан отображения

отличен от нуля во всех точках области
.

Тогда
справедливо равенство

=

Эта
формула называется формулой замены
переменных в

двойном
интеграле.

Замечание.
При переходе к полярной системе координат
якобиан перехода имеет вид

Приложения
двойных интегралов.

Двойные
интегралы применяются для вычисления
площадей плоских фигур и поверхностей,
объемов пространственных тел, механических
величин связанных с непрерывным
распределением массы в плоской области,
а также для решения многих других задач.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Кратные интегралы разбиваются на соответствующее количество обычных определенных.
Пределы внутреннего интеграла определяются “как бы лучом”, проходящим область насквозь: линия, на которой луч “входит” в фигуру – нижний предел, на которой “выходит” – верхний.
Пределы внешнего интеграла – просто по границам области по соответствующей оси, как в обычном определенном интеграле.

Важно отметить то, что раскрывать кратные интегралы можно в любой последовательности (можно менять порядок интегрирования): внешним может являться интеграл как по dx, так и по dy (а внутренний, соответственно, наоборот).
Если раскрывать, начиная с dx, то луч “проходит” снизу вверх; если с dy – слева-направо.

Иногда область может быть необходимо разделить на несколько частей (по аналогии с подсчетом площадей с помощью обычного определенного интеграла). Твой пример – как раз такой случай.

Ну и само собой, непосредственное вычисление начинается с внутреннего интеграла, в результате получается некоторая функция, которую мы потом еще раз интегрируем (внешним интегралом) и в ответе получаем просто число.

Содержание:

В теории определенного интеграла для нахождения площади криволинейной трапеции вводится понятие интегральной суммы, пределом которой является определенный интеграл. Определенный интеграл существует для трех типов функций: непрерывных, кусочно-непрерывных и монотонных. Задача интегрирования может быть также сформулирована и для функции n переменных, заданной в ограниченной области

Интегрирование функций многих переменных

Понятие двумерной интегральной суммы, пределом которой является двойной интеграл, можно ввести на основе задачи об объеме тела.

Задача: Найти объем тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью

Для этого разобьем основание S на конечное число элементарных ячеек и в каждой из этих ячеек выберем точку Объем такого элемента равен Объем всей фигуры можно приближенно найти как сумму с любой степенью точности в зависимости от числа ячеек и, соответственно, их размера. Если предположить, что число элементарных ячеек бесконечно возрастает, а их диаметр при этом является величиной бесконечно малой, то можно получить точное выражение для объема всей фигуры:

Таким образом, двойной интеграл имеет простой геометрический смысл, он выражает объем криволинейного цилиндрического бруса, ограниченного сверху непрерывной поверхностью , снизу – конечной замкнутой областью S плоскости и с боков – прямой цилиндрической поверхностью, построенной на границе объекта S и имеющей образующие, перпендикулярные плоскости .

Двумерной интегральной суммой от данной функции определенной на области S называется сумма парных произведений площадей элементарных ячеек области S на значения функции в точке

Двойным интегралом от функции определенной на области S называется предел соответствующей двумерной интегральной суммы при неограниченном возрастании числа N элементарных ячеек и стремлении к нулю их наибольшего диаметра при условии, что этот предел существует и не зависит от способа разбиения области S на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Теорема. Если область S с кусочно-непрерывной границей I ограничена и замкнута, а функция непрерывна в области S, то двойной интеграл

, т.е. предел соответствующей двумерной интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области S на элементарные ячейки и выбора точек в них.

Так как значение двойного интеграла не зависит от вида элементарных ячеек, то в дальнейшем целесообразно пользоваться наиболее удобным для декартовой системы координат разбиением на прямоугольную сетку, образованную пересечением двух систем прямых, параллельных соответственно координатным осям Ох и Оу. В этом случае элементарными ячейками являются прямоугольники, со сторонами . Таким образом, в обозначении интеграла можно учесть что Тогда:

Для вычисления двойного интеграла применяется процедура повторного интегрирования.

Предположим для определенности, что область интегрирования S представляет собой криволинейную трапецию: где – однозначные непрерывные функции на отрезке [а,b]. Важно отметить, что вертикаль, проходящая через любую точку х па отрезке [а,b) оси Ох, пересекает границу области интегрирования S только в двух точках: в точке входа Такая область называется стандартной относительно оси Оу.

Теорема. Если для функции f(x,y) определенной в области S (стандартной относительно оси Оу), существует двойной интеграл и существует интеграл то .

При этом, интеграл называется повторным.

Таким образом, вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух интегралов: вначале находится внутренний интеграл по переменной у (при этом переменная х рассматривается как постоянная величина); после этого полученное выражение повторно интегрируется по переменной х.

Задача вычисления кратного интеграла может быть обобщена на n-мерный случай и аналогично решена путем сведения кратного интеграла к повторному. Пусть функция у = f(M) определена и ограничена в замкнутой области . Область D разбивается на N элементарных частей пересечением любой пары элементарных частей будет множество точек, размерность которого не превышает n -1.

В каждой элементарной части выбирается точка и составляется интегральная сумма: где – объемная мера области ; V-объемная мера области D.

Для того чтобы вычислить интегральную сумму, необходимо, чтобы элементарные части допускали исчисление объемной меры в достаточно простой и редуктируемой форме.

n-кратным интегралом функции у = f(M) по области D называется предел интегральной суммы при и, соответственно, – наибольшая протяженность элементарной области для данного разбиения.

Этот предел не должен зависеть от способов разбиения D на части и от выбора точек в каждой из них. Указанный интеграл можно представить в следующим образом:

По форме этот интеграл сходен с определенным интегралом , который также является пределом интегральной суммы:

где

Очевидно, что в n-кратном интеграле, как и в случае определенного интеграла, интегральные суммы ограничены снизу и сверху значениями сумм Дарбу

Свойствами одномерных сумм Дарбу обладают и n -мерные суммы. При этом для любой ограниченной функции:

Необходимым и достаточным условием интегрируемости функции является условие , что эквивалентно выражению:

Величина , называется колебанием функции в элементарной области и является величиной положительной при любом i.

В результате можно установить, что к числу интегрируемых функций будут относиться функции, непрерывные на замкнутой области D. При вычислении n-кратный интеграл сводится к повторному интегралу, т.е. вычислению обычного интеграла от внутреннего интеграла кратности n -1.

Свойства n-кратного интеграла

1. Интеграл по области, имеющей нулевую «объемную» меру в , равен нулю. При этом к областям с нулевой «объемной» мерой в , относятся разнообразные множества, которые заданы в пространстве , (m
2. Если две функции f(M) и g(M) интегрируемы в D, то сумма этих функций также интегрируема в D и
3. Если функция f(M) интегрируема в D, а С – постоянная величина, то функция С f(M) также интегрируема в D и
4. Пусть область D является объединением областей и , а пересечение этих областей есть множество S, размерность которого меньше N. Если функция f(M) интегрируема в D, то она интегрируема в и и при этом
5. Если функция f(M) определена и интегрируема в D, и при этом (за исключением, быть может, некоторой части D с размерностью меньше n), то
6. Если две функции /fМ) и g(M) определены и интегрируемы в D, причем то
7. Если функция f(M) определена и интегрируема в D, то также интегрируема в D, причем
8. Если функция f(M) = С является постоянной , то .
9. Если функция f(M) определена и интегрируема в D и ограничена снизу и сверху значениями к к К, соответственно

Понятие о двойном интеграле

Мы рассматривали определенный интеграл, как предел суммы для случая, когда функция f(x) определена на отрезке , который называется отрезком интегрирования. В настоящем параграфе мы обобщим понятие интеграла на случай, когда областью интегрирования является некоторая область на плоскости, или некоторая область в пространстве, при этом мы будем пользоваться интуитивным представлением площади и объема.

Пусть – ограниченная плоская область (см. рис. 21.3). Рассмотрим функцию z = f{x,y), определенную и непрерывную в области , ограниченной замкнутой линией L. Разобьем область о на элементарные области , произвольной формы, при-чем через , обозначим сами элементарные области и их площади. В каждой из элементарных областей произвольно выберем точки , и вычислим значения функции в этих точках: . Составим сумму произведений значений функции на площади :

которая называется интегральной суммой.

Предел этой интегральной суммы при неограниченном увеличении числа делений и неограниченном уменьшении каждой из элементарных областей , если он существует, называется двукратным (двойным) интегралом от функции f(x,y) и обозначается

Если – максимальное расстояние между двумя точками элементарной области – наибольшее из этих чисел: то неограниченное уменьшение каждой из элементарных областей равносильно тому, что . Тогда можно записать:

где f(х,у) – подынтегральная функция, а – область интегрирования.

Если отнести область к прямоугольной системе координат (см. рис. 21.3), то (элемент площади) и тогда справедливо равенство:

Геометрический смысл двойного интеграла состоит в том, что он равен объему цилиндра с основанием о и ограниченного сверху поверхностью

Вычисление двойного интеграла сводится к вычислению двух определенных интегралов; при вычислении “внутреннего интеграла” (записанного в скобках) х (у) считается постоянным (рис. 21.4):

или (рис. 21.5)

Если область интегрирования о отлична от областей, указанных на рисунках 21.4 и 21.5, то ее разбиваем на части прямыми, параллельными оси Ох и оси Оу, чтобы каждая из полученных частей имела соответствующий вид.

Пример №1

Вычислить двойной интеграл по области, ограниченной линиями:

Решение:

Построим на плоскости хОу область а (см. рис. 21.6).

Из рисунка 21.6 мы видим, что область отлична от областей, указанных на рисунках 21.5 и 21.6, так как ни одну из границ в направлении оси Ох или оси Оу нельзя записать одним уравнением

Поэтому разобьем заданную область на части прямыми

(абсцисса точки пересечения прямых _у = 5х и х + у = 5) и

(абсцисса точки пересечения прямых ). Тогда заданный интеграл будет равен сумме трех интегралов по областям: ABC, CBED, DEF:

• Заказать решение задач по высшей математике

Понятие о тройном интеграле

По аналогии с двойным интегралом вводится понятие тройного интеграла. Пусть задана замкнутая пространственная область V, в которой задана непрерывная функция . Разобьем область V на и элементарных пространственных областей . Составим сумму произведений значений функции на объемы элементарных областей:

которая называется интегральной суммой.

Обозначим – максимальное расстояние между двумя точками элементарной пространственной области -наибольшее из этих чисел: . Предел этой интегральной суммы, при неограниченном увеличении числа делений n и неограниченном уменьшении (при ) каждой из элементарных областей, если он существует, называется трехкратным (тройным) интегралом от функции f (х, у, z) и обозначается

. Итак, по определению:

Если ввести в пространстве прямоугольные координаты, то будет справедливо равенство:

При вычислении тройного интеграла, он сводится к двойному интегралу, путем проектирования поверхности, ограничивающий объем V , на плоскость хОу в виде области и определение координат точек входа и выхода прямой, параллельной оси Oz и проведенной через точку (х, у) области и вычисления интеграла , считая х и у постоянными, а затем вычисляется двойной интеграл:

или

Кратные интегралы (двойные и тройные) удовлетворяют следующим основным свойствам:

1. Постоянный множитель можно выносить за знак кратного интеграла.
2. Кратный интеграл от алгебраической суммы интегрируемых функций равен алгебраической сумме кратных интегралов от отдельных слагаемых.
3. Если подынтегральная функция интегрируема в области, а эта область разбита на две непересекающиеся части, то кратный интеграл по области равен сумме кратных интегралов по непересекающимся частям.

Пример №2

Вычислить тройной интеграл по пространственной области V, ограниченной плоскостями:

Решение:

Область V является треугольной пирамидой (см. рис. 21.7), ограниченной плоскостью х + у + z = 5 . Спроектируем поверхность, ограничивающую объем V, на плоскость хОу, получим греугольник ЛОВ, при этом z будет изменяться от до . Двойной интеграл вычислим, используя формулу (21.3.1).