Как найти пределы гиперболы

Гиперболические функции.

По
определению гиперболическими
называют функции:

(гиперболический
косинус)

(гиперболический
синус)

(гиперболический
тангенс)

(гиперболический
котангенс)

Гиперболические
функции обладают рядом свойств,
аналогичных свойствам тригонометрических
функций. Например, для гиперболических
функций имеют место сложения:

Основное
тождество гиперболической геометрии:

Термин
“гиперболический”
означает, что равенство
,

задают гиперболу, (т.к.

– равнобочная гипербола). Подобно тому
как равенство
,

задают окружность ().

В
заключении рассмотрим вопрос критерия
сходимости числовой последовательности.

Пусть

т.е.:

на ряду с натуральным числом

можно подставить в последнее неравенство
другое натуральное число
,тогда

Мы
получили следующее утверждение:

Если
последовательность

сходится, выполняется условие Коши:

(5)

Числовая
последовательность удовлетворяет
условию Коши называется фундаментальной.
Можно доказать, что и справедлива и
обратное утверждение. Таким образом мы
имеем критерий (необходимое и достаточное
условие) сходимости последовательности.

Критерий Коши.

Для того,
чтобы последовательность имела предел
необходимо и достаточно, что бы она была
фундаментальной.

Второй
смысл критерия Коши.
Члены последовательности

и

где n
и m
– любые
неограниченно сближающиеся при
.

ЛЕКЦИЯ №

Пределы и непрерывность функции. Предел функции в точке

Определение
1. (по Гейне)

Постоянное
число А
называется пределом
функции f(x)
в точке

(или при
)
если для

последовательности

такой, что

и

соответствующая последовательность
значений функций

сходится А.

Пишем:

Определение
2. (по Коши)

Постоянное
число А
называется пределом функции

в точке

(или при
)
если для произвольного числа

найдется число

такое, что из условия

(1) вытекает неравенство
.

Определение
2. (в кванторах)

Комментарий
к определению по Коши.

Означает,
что значение функции

будут как угодно мало отличаться от
постоянного числа А,
если только соответствующее значение
аргумента близки к
.

Доказывается
что определения 1 и 2 эквивалентны.

Геометрическая
интерпретация определения по Коши. Т.к.
неравенство (1) равносильно:

то какова бы ни была полоса, ограниченная
прямыми

и
,
найдется интервал
,
такой что все точки графика

с абсциссами из этого интервала (кроме
быть может точки с абсциссами
)
окажутся внутри данной полосы.

A

Подчеркнем,
что определение Коши не требует, что бы
функция

была определена в точке
,
поэтому в определении речь идет о
проколотой

– окрестности точки

–

(окрестность точки

радиуса
).

.
(
– показывает что
).

Примеры:

1. ,

   

рассмотрим
две последовательности

ясно, что первая последовательность
стремится к 0 при

и вторая так же стремиться к 0 при
.

Но:

;

Очевидно,

,

.

Видим,
что соответствующие последовательности
значений функций имеют разные пределы

.
Таким образом определение Гейне не
удовлетворяет. Следовательно функция

в точке

предела
не имеет.

II.

При

имеем:

Выбираем
произвольно

и положим
,
тогда

влечет или в символах:
,
т.е.
.

Видим,
что предел функции в точке x=3
существует,
а значение функции в этой точке тут
совершенно ни при чем. Мы могли бы
придать функции значение или не придавать
никакое.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Что такое гипербола

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие гиперболы

Гипербола — это множество точек на плоскости, для которых модуль разности расстояний от двух точек (они же — «фокусы») — величина постоянная и меньшая, чем расстояние между фокусами.

Каноническое уравнение гиперболы в алгебре выглядит так:

, где a и b — положительные действительные числа.

Кстати, канонический значит принятый за образец.

В отличие от эллипса, здесь не соблюдается условие a > b, значит а может быть меньше b. А если a = b, то гипербола будет равносторонней.

Мы помним, что гипербола в математике выглядит так y = 1/x, что значительно отличается от канонической записи.

Вспомним особенности математической гиперболы:

• Две симметричные ветви.
• Две асимптоты. Асимптота — это прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Их значение помогает найти специальное уравнение асимптот гиперболы.

Если гипербола задана каноническим уравнением, то асимптоты можно найти так:

Пример 1. Построить гиперболу, которая задана уравнением 5(x^2) — 4(y^2) = 20.

Приведем данное уравнение к каноническому виду (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1.

Чтобы получить «единицу» в правой части, обе части исходного уравнения делим на 20:

Сокращаем обе дроби в уме или при помощи трехэтажной дроби:

Выделяем квадраты в знаменателях:

Готово. Можно начертить гиперболу.

Можно было сделать проще и дроби левой части 5(x^2)/20 — 4(y^2)/20 = 1 сразу сократить и получить (x^2)/4 — (y^2)/5 = 1. Нам повезло с примером, потому что число 20 делится и на 4 и на 5. Рассмотрим пример посложнее.

Пример 2. Построить гиперболу, которая задана уравнением 3(x^2)/20 — 8(y^2)/20 = 1.

1. Произведем сокращение при помощи трехэтажной дроби:
2. Воспользуемся каноническим уравнением
   
   • Найдем асимптоты гиперболы. Вот так:
     Важно! Без этого шага ветви гиперболы «вылезут» за асимптоты.
   • Найдем две вершины гиперболы, которые расположены на оси абсцисс в точках A1(a; 0), A2(-a; 0).

Если y = 0, то каноническое уравнение (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1 превращается в (x^2)/(a^2) = 1, из чего следует, что x^2 = a^2 -> x = a, x = -a.

Данная гипербола имеет вершины A1(2; 0), A2(-2; 0).

Найдем дополнительные точки — хватит двух-трех.

В каноническом положении гипербола симметрична относительно начала координат и обеих координатных осей, поэтому вычисления достаточно провести для одной координатной четверти.

Способ такой же, как при построении эллипса. Из полученного канонического уравнения

на черновике выражаем:

Уравнение распадается на две функции:

— определяет верхние дуги гиперболы (то, что ищем);

— определяет нижние дуги гиперболы.

Далее найдем точки с абсциссами x = 3, x = 4:

Изобразим на чертеже полученные асимптоты y = (√5/2)x, y = -(√5/2)x, вершины A1(2; 0), A2(-2; 0), дополнительные C1, C2 и симметричные им точки в других координатных четвертях. Аккуратно соединяем соответствующие точки у каждой ветви гиперболы.

Может возникнуть техническая трудность с иррациональным угловым коэффициентом √5/2 ≈ 1,12, но это вполне преодолимая проблема.

Действительная ось гиперболы — отрезок А1А2.

Расстояние между вершинами — длина |A1A2| = 2a.

Действительная полуось гиперболы — число a = |OA1| = |OA2|.

Мнимая полуось гиперболы — число b.

В нашем примере: а = 2, b = √5, |А1А2| = 4. И если такую гиперболу повернуть вокруг центра симметрии или переместить, то значения не изменятся.

Форма гиперболы

Повторим основные термины и узнаем, какие у гиперболы бывают формы.

Гипербола симметрична относительно точки О — середины отрезка F’F. Она также симметрична относительно прямой F’F и прямой Y’Y, проведенной через О перпендикулярно F’F. Точка О — это центр гиперболы.

Прямая F’F пересекает гиперболу в двух точках: A (a; 0) и A’ (-a; 0). Эти точки — вершины гиперболы. Отрезок А’А = 2a — это действительная ось гиперболы.

Несмотря на то, что прямая Y’Y не пересекает гиперболу, на ней принято откладывать отрезки B’O = OB = b. Такой отрезок B’B = 2b (также и прямую Y’Y) можно назвать мнимой осью гиперболы.

Так как AB^2 = OA^2 + OB^2 = a^2 + b^2, то из равенства следует: AB = c, то есть расстояние от вершины гиперболы до конца мнимой оси равно полуфокусному расстоянию.

Мнимая ось 2b может быть больше, меньше или равна действительной оси 2а. Если действительная и мнимая оси равны (a = b) — это равносторонняя гипербола.

Отношение F’F/А’А фокусного расстояния к действительной оси называется эксцентриситетом гиперболы и обозначается e. Эксцентриситет равносторонней гиперболы равен √2.

Гипербола лежит целиком вне полосы, ограниченной прямыми PQ и RS, параллельными Y’Y и отстоящими от Y’Y на расстояние OA =A’O = a. Вправо и влево от этой полосы гипербола продолжается неограниченно.

Для тех, кто хочет связать свою жизнь с точными науками, Skysmart предлагает курсы по профильной математике.

Фокальное свойство гиперболы

Точки F1 и F2 называют фокусами гиперболы, расстояние 2c = F1F2 между ними — фокусным расстоянием, середина O отрезка F1F2 — центром гиперболы, число 2а — длиной действительной оси гиперболы (соответственно, а — действительной полуосью гиперболы).

Отрезки F1M и F2M, которые соединяют произвольную точку M гиперболы с ее фокусами, называются фокальными радиусами точки M. Отрезок, соединяющий две точки гиперболы, называется хордой гиперболы.

Отношение e = a/c, где c = √(a^2 + b^2), называется эксцентриситетом гиперболы. Из определения (2a 1 .

Геометрическое определение гиперболы, которое выражает ее фокальное свойство, аналогично ее аналитическому определению — линии, которая задана каноническим уравнением гиперболы:

Рассмотрим, как это выглядит на прямоугольной системе координат:

• пусть центр O гиперболы будет началом системы координат;
• прямую, которая проходит через фокусы (фокальную ось), примем за ось абсцисс (положительное направление на ней от точки F1 к точке F2);
• прямую, перпендикулярную оси абсцисс и проходящую через центр гиперболы, примем за ось ординат (направление на оси ординат выбирается так, чтобы прямоугольная система координат Oxy оказалась правой).

Воспользуемся геометрическим определением и составим уравнение гиперболы, которое выразит фокальное свойство. В выбранной системе координат определяем координаты фокусов F1(-c, 0) и F2(c, 0). Для произвольной точки M(x, y), принадлежащей параболе, имеем:

Запишем это уравнение в координатной форме:

Избавимся от иррациональности и придем к каноническому уравнению гиперболы:

, т.е. выбранная система координат является канонической.

Если рассуждать в обратном порядке, можно убедиться, что все точки, координаты которых удовлетворяют уравнению (x^2)/(a^2) — (y^2)/(b^2) = 1, и только они, принадлежат геометрическому месту точек, называемому гиперболой. Именно поэтому аналитическое определение гиперболы эквивалентно его геометрическому определению.

Директориальное свойство гиперболы

Директрисы гиперболы — это две прямые, которые проходят параллельно оси.

ординат канонической системы координат на одинаковом расстоянии (a^2)/c от нее. Если а = 0, гипербола вырождается в пару пересекающихся прямых, и директрисы совпадают.

Директориальное свойство гиперболы звучит так:

Гиперболу с эксцентриситетом e = 1 можно определить, как геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых отношение расстояния до заданной точки F (фокуса) к расстоянию до заданной прямой d (директрисы), не проходящей через заданную точку, постоянно и равно эксцентриситету e.

Здесь F и d — один из фокусов гиперболы и одна из ее директрис, расположенные по одну сторону от оси ординат канонической системы координат.

На самом деле для фокуса F2 и директрисы d2 условие

можно записать в координатной форме так:

Избавляясь от иррациональности и заменяя e = a/c, c^2 — a^2 = b^2, мы придем к каноническому уравнению гиперболы. Аналогичные рассуждения можно провести для фокуса F1 и директрисы d1:

Построение гиперболы

Чтобы запомнить алгоритм построения гиперболы, рассмотрим чертёж и комментарии к нему.

Построим основной прямоугольник гиперболы и проведем его диагонали. Если продолжим диагонали прямоугольника за его пределы, получим асимптоты гиперболы.

В силу симметрии достаточно построить гиперболу в первой четверти, где она является графиком функции:

Важно учесть, что данная функция возрастает на промежутке [a; ∞], при x = a, y = 0 и ее график приближается снизу к асимптоте y = (b/a) * x. Рисуем график:

Далее построенный в первой четверти график симметрично отображаем относительно оси Ох и получаем правую ветвь гиперболы. Теперь отобразим правую ветвь гиперболы относительно оси Оу.

По определению эксцентриситет гиперболы равен

Зафиксируем действительную ось 2а и начнем изменять фокусное расстояние 2с.

Так как b^2 = c^2 — a^2, то величина b изменится.

При этом ε -> 1, b -> 0 и мнимые вершины B1, B2 стремятся к началу координат, асимптоты приближаются к оси Ох. Основной прямоугольник гиперболы выражается в пределе в отрезок A1A2, а сама гипербола выражается в два луча на оси абсцисс: (-∞; -a] и [a; ∞).

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

При этом ε -> ∞, b -> ∞ и мнимые вершины B1B2 стремятся к бесконечности, асимптоты приближаются к оси Оу. Основной прямоугольник гиперболы вытягивается вдоль оси ординат и ветви гиперболы приближаются к прямым x = +-a и в пределе сливаются с ними. Гипербола выражается в две прямые x = +-a, которые параллельны оси Оу.

Равносторонняя гипербола это такая гипербола, у которой эксцентриситет равен √2. Ее еще называют равнобочной.

Из определения следует, что в равносторонняя гиперболе a = b, поэтому ее каноническое уравнение выглядит так: x^2 — y^2 = a^2

Действительно, ε = c/a = √2, откуда c^2 = 2a^2 и b^2 = c^2 — a^2 = a^2. И так как а и b положительные числа, получаем a = b.

Гипербола

Что такое гипербола? Как построить гиперболу? (Для школьников (7-11 классов)).

Функция заданная формулой (y=frac), где к неравно 0. Число k называется коэффициентом обратной пропорциональности.
Определение гиперболы.
График функции (y=frac) называют гиперболой. Где х является независимой переменной, а у — зависимой.

Что нужно знать, чтобы построить гиперболу?
Теперь обсудим свойства гиперболы:

гипербола, где k y≠0 это вторая асимптота.
И так, асимптоты x≠0 и y≠0 в данном примере совпадают с осями координат OX и OY.
k=1, значит гипербола будет находится в первой и третьей четверти. k всегда находится в числители.
Построим примерный график гиперболы.

Пример №2:
$$y=frac<1>-1$$
Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому х+2 неравен 0.
х+2≠0
х≠-2 это первая асимптота

Находим вторую асимптоту.

Дробь (color <frac<1>>) отбрасываем
Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-2 и y≠-1):

Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому 1+х неравен 0.
1+х≠0
х≠-1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠1 это вторая асимптота.

Строим примерный график, отмечаем асимптоты (красным проведены прямые х≠-1 и y≠1):

3. У гиперболы есть центр симметрии относительно начала координат. Рассмотрим на примере:

Возьмем точку А(1;1) с координатами, которая находится на графике у=1/х. На этом же графике лежит точка B(-1;-1). Видно, что точка А симметрична точке В относительна начала координат.

4. Оси симметрии гиперболы. У гиперболы две оси симметрии. Рассмотрим пример:

Первой осью симметрии является прямая y=x. Посмотрим точки (0,5;2) и (2;0,5) и еще точки (-0,5;-2) и (-2;-0,5). Эти точки расположены по разные стороны данной прямой, но на равных расстояниях от нее, они симметричны относительно этой прямой.

Вторая ось симметрии это прямая y=-x.

5. Гипербола нечетная функция.

6. Область определения гиперболы и область значения гиперболы. Область определения смотрим по оси х. Область значения смотрим по оси у. Рассмотрим на примере:

а) Находим первую асимптоту.
Знаменатель не может равняться 0, потому что на 0 делить нельзя, поэтому x-1 неравен 0.
x-1≠0
х≠1 это первая асимптота.

Находим вторую асимптоту.

Остается y≠ -1 это вторая асимптота.

б) k=-1, значит ветви гиперболы будут находится во второй и четвертой четверти.

в) Возьмем несколько дополнительных точек и отметим их на графике.
х=0 y=0
x=-1 y=-0,5
x=2 y=-2
x=3 y=-1,5

г) Область определения смотрим по оси х. Графика гиперболы не существует по асимптоте х≠1, поэтому область определения будет находится
х ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

д) Область значения смотрим по оси y. График гиперболы не существует по асимптоте y≠ -1, поэтому область значения будет находится
y ∈ (-∞;-1)U(-1;+∞).

е) функция возрастает на промежутке x ∈ (-∞;1)U(1;+∞).

7. Убывание и возрастание функции гиперболы. Если k>0, функция убывающая. Если k Category: 8 класс, База знаний, Уроки Tag: Гипербола Leave a comment

Гипербола: определение, функция, формула, примеры построения

В данной публикации мы рассмотрим, что такое гипербола, приведем формулу, с помощью которой задается ее функция, а также на практических примерах разберем алгоритм построения данного вида графика.

Определение и функция гиперболы

Гипербола – это график функции обратной пропорциональности, которая в общем виде задается следующей формулой:

• x – независимая переменная;
• k ≠ 0;
• при k > 0 гипербола расположена в I и III четвертях координатной плоскости;
• при k 0)
• y = -x (при k Алгоритм построения гиперболы

Пример 1

Дана функция y = 4 /_x. Построим ее график.

Решение

Так как k > 0, следовательно, гипербола будет находиться в I и III координатных четвертях.

Чтобы построить график, сначала нужно составить таблицу соответствия значений x и y. То есть мы берем конкретное значение x, подставляем его в формулу функции и получаем y.

» data-lang=»default» data-override=»<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>

0,5

8

1

4

2

2

4

1

8

0,5

Чтобы построить ветвь в третьей четверти, вместо x в формулу подставляем -x. Так мы вычислим значения y. -0,5 -8 -1 -4 -2 -2 -4 -1 -8 -0,5 Пример 2 Рассмотренный выше пример был одним из самых простых (без смещения асимптот). Давайте усложним задачу и построим гиперболу, заданную функцией ниже: источники: http://tutomath.ru/8-klass/kak-postroit-giperbolu.html http://microexcel.ru/giperbola/ » data-lang=»default» data-override=»<“emptyTable”:””,”info”:””,”infoEmpty”:””,”infoFiltered”:””,”lengthMenu”:””,”search”:””,”zeroRecords”:””,”exportLabel”:””,”file”:”default”>» data-merged=»[]» data-responsive-mode=»2″ data-from-history=»0″>