Как найти пределы пример решения

Как найти пределы пример решения

Простое объяснение принципов решения пределов 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения пределов

Пределом называется значение функции, вычисленное в точке к которой стремиться независимый аргумент.

Нужна помощь в написании работы?

Мы – биржа профессиональных авторов (преподавателей и доцентов вузов). Наша система гарантирует сдачу работы к сроку без плагиата. Правки вносим бесплатно.

Заказать работу

Примеры решений пределов

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 3}(x^{2} - 7x + 4).]

Решение

Заменим в выражении x^{2} - 7x + 4 аргумент x его предельным значением:

    [lim_{x to 3}(x^{2} - 7x + 4) = 3^{2} - tcdot 3 + 4 = -8]

Ответ

    [lim_{x to 3}(x^{2} - 7x + 4) = -8]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2)]

Решение

Заменим в выражении 2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2 аргумент x его предельным значением:

    [lim_{x to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = 2cdot 2^{3} - 7cdot 2^{2} + 4cdot 2 + 2 = -2]

Ответ

    [lim_{x to 2}(2x^{3} - 7x^{2} + 4x + 2) = -2]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 4}(frac{1}{2}x^{3} - x + 2)]

Решение

Заменим в выражении frac{1}{2}x^{3} - x + 2 аргумент x его предельным значением:

    [lim_{x to 4}(frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = frac{1}{2}cdot 4^{3} - 4 + 2 = 30]

Ответ

    [lim_{x to 4}(frac{1}{2}x^{3} - x + 2) = 30]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 3}frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8}]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = 3 в x^{2} + 2x + 8

3^{2} + 2cdot 3 + 8 = 23 neq 0

Вычисляем передел:

    [lim_{x to 3}frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = frac{3^{2} + 3 + 2}{3^{2} + 2cdot 3 + 8} = frac{14}{23}]

Ответ

    [lim_{x to 3}frac{x^{2} + x + 2}{x^{2} + 2x + 8} = frac{14}{23}]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 1}frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4}]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = 1 в x^{3} + x + 4

1^{3} + 1 + 4 = 6 neq 0

Вычисляем предел:

    [lim_{x to 1}frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = frac{1^{2} -3cdot 1 + 2}{1^{3} + 1 + 4} = frac{0}{6} = 0]

Ответ

    [lim_{x to 1}frac{x^{2} - 3x + 2}{x^{3} + x + 4} = 0]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to -1}frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2}]

Решение

Проверяем, не обращается ли в нуль знаменатель дробно-рациональной функции при предельном значении аргумента. Для этого подставим значение x = -1 в 2x^{3} - x^{2} + x + 2

2cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2 = -2 neq 0

Вычисляем предел:

    [lim_{x to -1}frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = frac{(-1)^{2} - (-1) + 1}{2cdot(-1)^{3} - (-1)^{2} - 1 + 2} = frac{3}{-2} = -frac{3}{2}]

Ответ

    [lim_{x to -1}frac{x^{2} - x + 1}{2x^{3} - x^{2} + x + 2} = -frac{3}{2}]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 2}frac{x^{3} - 8}{x - 2}]

Решение

В данном примере знаменатель x - 2 обращается в нуль при предельном значении аргумента x = 2

Преобразуем выражение

    [frac{x^{3} - 8}{x - 2}]

    [lim_{x to 2}frac{x^{3} - 8}{x - 2} = lim_{x to 2}frac{(x - 2)(x^{2} + 2x + 4)}{x - 2} =]

    [lim_{x to 2}(x^{2} + 2x + 4) = 2^{2} + 2cdot 2 + 4 = 12]

Ответ

    [lim_{x to 2}frac{x^{3} - 8}{x - 2} = 12]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to -1}frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}}]

Решение

При x = -1 числитель и знаменатель дроби обращаются в нуль. Для решения задачи необходимо сделать подстановку x = y^{35}. Число 35 является наименьшим общим кратным показателей корней.

x = y^{35}, sqrt[7]{x} = y^{5}, sqrt[5]{x} = y^{7}

    [frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}} = frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}, y rightarrow -1 при x rightarrow -1]

    [lim_{x to -1}frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}} = lim_{y to -1}frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}]

Разделим числитель и знаменатель дроби

    [frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}}]

на 1 + y

В итоге получим:

    [lim_{y to -1}frac{1 + y^{5}}{1 + y^{7}} = frac{5}{7}]

Ответ

    [lim_{x to -1}frac{1 + sqrt[7]{x}}{1 + sqrt[5]{x}} = frac{5}{7}]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to 3}frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12}]

Решение

При x = 3 знаменатель дроби x^{2} - 7x + 12 обращается в нуль, поэтому вычислить непосредственно предел нельзя.

Рассмотрим обратную дробь

    [frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5}]

и её предел при x rightarrow 3

    [lim_{x to 3}frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = frac{3^{2} - 7cdot 3 + 12}{2cdot 3 - 5} = frac{0}{1} = 0]

Т.к.

    [lim_{x to 3}frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} = 0]

, то при x rightarrow 3 функция frac{x^{2} - 7x + 12}{2x - 5} является бесконечно малой, поэтому frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} при x rightarrow 3 является бесконечно большой, а

    [lim_{x to 3}frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = infty]

Ответ

    [lim_{x to 3}frac{2x - 5}{x^{2} - 7x + 12} = infty]

Задача

Найти предел:

    [lim_{x to infty}frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}]

Решение

Разделим числитель и знаменатель дроби на x^{3} – высшую степень x, встречающуюся в дроби

    [frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1}]

    [lim_{x to infty}frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = lim_{x to infty}frac{2 + frac{1}{x} + frac{5}{x^{3}}}{3 + frac{1}{x^{2}} - frac{1}{x^{3}}} = frac{lim_{x to infty}(2 + frac{1}{x} + frac{5}{x^{3}})}{lim_{x to infty}(3 + frac{1}{x^{2}} - frac{1}{x^{3}})}]

При x rightarrow infty frac{1}{x} rightarrow 0, поэтому

    [frac{lim_{x to infty}(2 + frac{1}{x} + frac{5}{x^{3}})}{lim_{x to infty}(3 + frac{1}{x^{2}} - frac{1}{x^{3}})} = frac{lim_{x to infty}2 + lim_{x to infty}frac{1}{x} + lim_{x to infty}frac{5}{x^{3}}}{lim_{x to infty}3 + lim_{x to infty}frac{1}{x^{2}} - lim_{x to infty}frac{1}{x^{3}}} = frac{2}{3}]

Ответ

    [lim_{x to infty}frac{2x^{3} + x^{2} + 5}{3x^{3} + x - 1} = frac{2}{3}]

Источник

Как решать пределы для чайников?

Для тех, кто хочет научиться находить пределы в данной статье мы расскажем об этом. Не будем углубляться в теорию, обычно её дают на лекциях преподаватели. Так что “скучная теория” должна быть у Вас законспектирована в тетрадках. Если этого нет, то почитать можно учебники взятые в библиотеке учебного заведения или на других интернет-ресурсах.

Итак, понятие предела достаточно важно в изучении курса высшей математики, особенно когда вы столкнетесь с интегральным исчислением и поймёте связь между пределом и интегралом. В текущем материале будут рассмотрены простые примеры, а также способы их решения.

Примеры решений

Пример 1
Вычислить а) $ lim_{x to 0} frac{1}{x} $; б)$ lim_{x to infty} frac{1}{x} $
Решение

а) $$ lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty $$

б)$$ lim_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$

Нам часто присылают эти пределы с просьбой помочь решить. Мы решили их выделить отдельным примером и пояснить, что данные пределы необходимо просто запомнить, как правило.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ text{a)} lim limits_{x to 0} frac{1}{x} = infty text{ б)}lim limits_{x to infty} frac{1}{x} = 0 $$
Пример 2
$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} $$
Решение

Внимание “чайникам” 🙂 Чтобы вычислить предел любого типа и вида нужно подставить значение x, указанное под пределом, в функцию, стоящую под знаком предела. Давайте попробуем это сделать:

$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2+2 cdot x+1}{x+1}=frac{1^2+2 cdot 1+1}{1+1} = $$

$$ = frac{4}{2}=2 $$

Как видим в итоге у нас вычислился предел, результатом стала двойка. Хорошо, когда так получается, но бывает так, что результатом становятся неопределенности. Попробуем разобраться с ними – это не так страшно как кажется 🙂
Ответ
$$ lim limits_{x to 1} frac{x^2 + 2x + 1}{x + 1} = 2 $$

Что делать с неопределенностью вида: $ bigg [frac{0}{0} bigg ] $

Пример 3
Решить $ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} $
Решение

Как всегда начинаем с подстановки значения $ x $ в выражение, стоящее под знаком предела. 

$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = frac{(-1)^2-1}{-1+1}=frac{0}{0} $$

Что теперь дальше? Что же должно получиться в итоге? Так как это неопределенность, то это ещё не ответ и продолжаем вычисление. Так как в числители у нас многочлен, то разложим его на множители, помощью знакомой всем формулы ещё со школьной скамьи $$ a^2-b^2=(a-b)(a+b) $$. Вспомнили? Отлично! Теперь вперед и с песней применять её 🙂

Получаем, что числитель $ x^2-1=(x-1)(x+1) $

Продолжаем решать учитывая вышеприведенное преобразование:

$$ lim limits_{x to -1}frac{x^2-1}{x+1} = lim limits_{x to -1}frac{(x-1)(x+1)}{x+1} = $$

$$ = lim limits_{x to -1}(x-1)=-1-1=-2 $$
Ответ
$$ lim limits_{x to -1} frac{x^2-1}{x+1} = -2 $$
Пример 4
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
Решение

$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{0}{0} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{(x-2)(x+2)}{(x-2)^2} = $$

$$ = lim limits_{x to 2}frac{x+2}{x-2} = frac{2+2}{2-2} = frac{4}{0} = infty $$

Бесконечность получилась в результате – это следует из примера 1. Когда число делится на 0 под знаком предела, то получается бесконечность.
Ответ
$$ lim limits_{x to 2}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = infty $$

Устремим предел в последних двух примерах к бесконечности и рассмотрим неопределенность: $ bigg [frac{infty}{infty} bigg ] $

Пример 5
Вычислить $ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} $
Решение

$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = frac{infty}{infty} $

Что же делать? Как быть? Не стоит паниковать, потому что невозможное – возможно. Нужно вынести за скобки и в числителе и в знаменателе икс, а потом его сократить. После этого предел попытаться вычислить. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} =lim limits_{x to infty} frac{x^2(1-frac{1}{x^2})}{x(1+frac{1}{x})} = $$

$$ = lim limits_{x to infty} frac{x(1-frac{1}{x^2})}{(1+frac{1}{x})} = $$

Используя определение из примера 2 и подставляя в место х бесконечность получаем:

$$ = frac{infty(1-frac{1}{infty})}{(1+frac{1}{infty})} = frac{infty cdot 1}{1+0} = frac{infty}{1} = infty $$
Ответ
$$ lim limits_{x to infty} frac{x^2-1}{x+1} = infty $$
Пример 6
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} $$
Решение

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} $$

Чтобы устранить такую неопределенность нужно вынести за скобки икс в числителе и в знаменателе, далее их сократить. В полученное выражение подставить икс равное бесконечности. Пробуем…

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = frac{infty}{infty} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2(1-frac{4}{x^2})}{x^2(1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2})} = $$

$$ lim limits_{x to infty}frac{1-frac{4}{x^2}}{1-frac{4}{x}+frac{4}{x^2}} = frac{1}{1} = 1 $$
Ответ
$$ lim limits_{x to infty}frac{x^2-4}{x^2-4x+4} = 1 $$

Алгоритм вычисления лимитов

Итак, давайте кратко подведем итог разобранным примерам и составим алгоритм решения пределов:

  1. Подставить точку х в выражение, следующее после знака предела. Если получается определенное число, либо бесконечность, то предел решен полностью. В противном случае имеем неопределенность: “ноль делить на ноль” или “бесконечность делить на бесконечность” и переходим к следующим пунктам инструкции.
  2. Чтобы устранить неопределенность “ноль делить на ноль” нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Сократить подобные. Подставить точку х в выражение, стоящее под знаком предела.
  3. Если неопределенность “бесконечность делить на бесконечность”, тогда выносим и в числителе, и в знаменателе x наибольшей степени. Сокращаем иксы. Подставляем значения икса из под предела в оставшееся выражение.

В этой статье Вы ознакомились с основами решения пределов, часто используемых в курсе Математического анализа. Конечно же это не все типы задач, предлагающихся экзаменаторами, а только простейшие пределы. В следующих статьях поговорим о других типах заданий, но сперва необходимо усвоить этот урок, чтобы двигаться далее. Обсудим, что делать, если есть корни, степени, изучим бесконечно малые эквивалентные функции, замечательные пределы, правило Лопиталя.

Если у Вас не получается самостоятельно решить пределы, то не паникуйте. Мы всегда рады помочь!

Источник

Теория пределов – раздел математического анализа. Наряду с системами линейных уравнений и диффурами пределы доставляют всем студентам, изучающим математику, немало хлопот. Чтобы решить предел, порой приходится применять массу хитростей и выбирать из множества способов решения именно тот, который подойдет для конкретного примера.

В этой статье мы не поможем вам понять пределы своих возможностей или постичь пределы контроля, но постараемся ответить на вопрос: как понять пределы в высшей математике? Понимание приходит с опытом, поэтому заодно приведем несколько подробных примеров решения пределов с пояснениями.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Понятие предела в математике

Первый вопрос: что это вообще за предел и предел чего? Можно говорить о пределах числовых последовательностей и функций. Нас интересует понятие предела функции , так как именно с ними чаще всего сталкиваются студенты. Но сначала – самое общее определение предела:

Допустим, есть некоторая переменная величина. Если эта величина в процессе изменения неограниченно приближается к определенному числу a, то a – предел этой величины.

Для определенной в некотором интервале функции f(x)=y пределом называется такое число A, к которому стремится функция при х, стремящемся к определенной точке а. Точка а принадлежит интервалу, на котором определена функция.

Звучит громоздко, но записывается очень просто:

понятие предела для чайников

Lim – от английского limit – предел.

Существует также геометрическое объяснение определения предела, но здесь мы не будем лезть в теорию, так как нас больше интересует практическая, нежели теоретическая сторона вопроса. Когда мы говорим, что х стремится к какому-то значению, это значит, что переменная не принимает значение числа, но бесконечно близко к нему приближается.

Приведем конкретный пример. Задача – найти предел.

вычислить пределы для чайников

Чтобы решить такой пример, подставим значение x=3 в функцию. Получим:

математический анализ пределы для чайников

Кстати, если Вас интересуют базовые операции над матрицами, читайте отдельную статью на эту тему.

В примерах х может стремиться к любому значению. Это может быть любое число или бесконечность. Вот пример, когда х стремится к бесконечности:

пределы с нуля для чайников

Интуитивно понятно, что чем больше число в знаменателе, тем меньшее значение будет принимать функция. Так, при неограниченном росте х значение 1/х будет уменьшаться и приближаться к нулю.

Как видим, чтобы решить предел, нужно просто подставить в функцию значение, к которому стремиться х. Однако это самый простой случай. Часто нахождение предела не так очевидно. В пределах встречаются неопределенности типа 0/0 или бесконечность/бесконечность. Что делать в таких случаях? Прибегать к хитростям!

Решение пределов требует контроля

 

Неопределенности в пределах

Неопределенность вида бесконечность/бесконечность

Пусть есть предел:

пределы с подробным решением для чайников пошагово

Если мы попробуем в функцию подставить бесконечность, то получим бесконечность как в числителе, так и в знаменателе. Вообще стоит сказать, что в разрешении таких неопределенностей есть определенный элемент искусства: нужно заметить, как можно преобразовать функцию таким образом, чтобы неопределенность ушла. В нашем случае разделим числитель и знаменатель на х в старшей степени. Что получится?

пределы объяснение

Из уже рассмотренного выше примера мы знаем, что члены, содержащие в знаменателе х, будут стремиться к нулю. Тогда решение предела:

задания по математике пределы

Для раскрытия неопределенностей типа бесконечность/бесконечность делим числитель и знаменатель на х в высшей степени.

Пределы

 

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Еще один вид неопределенностей: 0/0

В таких случаях рекомендуется раскладывать числитель и знаменатель на множители. Но давайте посмотрим на конкретный пример. Нужно вычислить предел:

предел функции в точке для чайников

Как всегда, подстановка в функцию значения х=-1 дает 0 в числителе и знаменателе. Посмотрите чуть внимательнее и Вы заметите, что в числителе у нас квадратное уравнение. Найдем корни и запишем:

как решать пределы для чайников с корнями

Сократим и получим:

объяснение пределов для чайников

Итак, если Вы сталкиваетесь с неопределенностью типа 0/0 – раскладывайте числитель и знаменатель на множители.

Чтобы Вам было проще решать примеры, приведем таблицу с пределами некоторых функций:

Математика. Таблица пределов

 

Правило Лопиталя в пределах

Еще один мощный способ, позволяющий устранить неопределенности обоих типов. В чем суть метода?

Если в пределе есть неопределенность, берем производную от числителя и знаменателя до тех пор, пока неопределенность не исчезнет.

Наглядно правило Лопиталя выглядит так:

пределы математика для чайников

Важный момент: предел, в котором вместо числителя и знаменателя стоят производные от числителя и знаменателя, должен существовать.

А теперь – реальный пример:

Правило Лопиталя

Налицо типичная неопределенность 0/0. Возьмем производные от числителя и знаменателя:

Правило Лопиталя для чайников

Вуаля, неопределенность устранена быстро и элегантно.

Надеемся, что Вы сможете с пользой применить эту информацию на практике и найти ответ на вопрос “как решать пределы в высшей математике”. Если нужно вычислить предел последовательности или предел функции в точке, а времени на эту работу нет от слова «совсем», обратитесь в профессиональный студенческий сервис за быстрым и подробным решением.

Источник

Добавить комментарий