Как найти пределы с помощью эквивалентных

Таблица эквивалентности пределов

Для раскрытия неопределенностей ноль делить на ноль $[frac{0}{0}]$ очень удобно использовать таблицу эквивалентности пределов. Важно, чтобы аргумент функции стремился к нулю. Только в этом случае возможно делать замену.

Формулы эквивалентности пределов
$ sin x sim x $	$ e^x – 1 sim x $
$ tg ;x sim x $	$ a^x – 1 sim xln a $
$ arcsin x sim x $	$ ln (1+x) sim x $
$ arctg ; x sim x $	$log_a (1+x) sim frac{x}{ln a}$
$ 1- cos x sim frac{x^2}{2} $	$(1+x)^a – 1 sim ax $

Пример 1

Найти пределы используя эквивалентные бесконечно малые функции $limlimits_{xto 0} frac{x sin x^2}{arcsin x} $

Решение

Подставляем точку $x=0$ в предел и получаем неопределенность. $$limlimits_{xto 0} frac{x sin x^2}{arcsin x} = bigg [frac{0}{0} bigg ] $$ Замечаем под пределом две функции, для которых можно использовать формулы эквивалентных бесконечно малых функций. Но перед этим проверим, что аргументы их стремятся к нулю. $$ sin 0^2 = sin 0 = 0 $$ $$ arcsin 0 = 0 $$ Значит для нашей задачи получаем следующие замены. $$ sin x^2 sim x^2 $$ $$ arcsin x sim x $$ Подставим эквивалентности в предел, чтобы вычислить ответ. $$limlimits_{xto 0} frac{x sin x^2}{arcsin x} = lim limits_{x to 0} frac{x cdot x^2}{x} = $$ Сокращаем знаменатель и подставляем в оставшееся выражение под числителем $x=0$. $$ = limlimits_{xto 0} x^2 = 0^2 = 0 $$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ limlimits_{xto 0} frac{x sin x^2}{arcsin x} = 0 $$

Пример 2

Заменяя эквивалентными бесконечно малыми найдите предел $ limlimits_{xto 0} frac{1-cos 4x}{x} $

Решение

В пределе получаем неопределенность ноль делить на ноль $[frac{0}{0}]$. Замечаем, что числитель похож на формулу из таблицы эквивалентности пределов. Подставим в него точку $x=0$. $$ 1- cos (4 cdot 0) = 1-cos 0 = 1 – 1 = 0 $$ Получили, что числитель равен нулю при $x=0$, а это значит допустима замена на бесконечно малую функцию. $$ 1-cos 4x = frac{(4x)^2}{2} = frac{16x^2}{2} = 8x^2 $$ Возвращаемся к пределу, подставляя в него полученное выражение для числителя. $$limlimits_{xto 0} frac{1-cos 4x}{x} = limlimits_{xto 0} frac{8x^2}{x} = limlimits_{xto 0} 8x = 0 $$

Ответ

$$ limlimits_{xto 0} frac{1-cos 4x}{x} = 0 $$

Пример 3

Вычислить предел функции используя эквивалентно малые величины $limlimits_{xto 1} frac{sin (x-1)}{x^2-1} $

Решение

Подставив $x=1$ получаем неопределенность $[ frac{0}{0} ] $. Замечаем, что в числителе присутствует синус, который есть в таблице эквивалентностей. По необходимому условию аргумент синуса должен стремиться к нулю, чтобы применить формулу эквивалентности. Проверим это подставив $x=1$ в него. $$ sin (1-1) = sin 0 = 0 $$ Проверка показала, что формулу можно применить, так как аргумент равен нулю. $$ sin (x-1) sim x-1 $$ $$limlimits_{xto 1} frac{sin (x-1)}{x^2} = limlimits_{xto 1} frac{x-1}{x^2-1} = $$ Применяя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$ для знаменателя упрощаем его. $$ = limlimits_{xto 1} frac{x-1}{(x-1)(x+1)} = limlimits_{xto 1} frac{1}{x+1} = frac{1}{2} $$

Ответ

$$ limlimits_{xto 1} frac{sin (x-1)}{x^2-1} = frac{1}{2} $$

Нахождение пределов с использованием свойств эквивалентных бесконечно малых функций

Задача
№4. Применить
свойства эквивалентных величин к
нахождению пределов:

1)

2)

3)

4)

5)
так как (по теореме о сумме конеч-

ного
числа бесконечно малых)
.

6)
.

7)

Задачи для самостоятельного решения:

1. Найти
   пределы:

1);

2)
;

3)
;

4)
;

5)
;

6)

.

1. Сравнить
   порядок функций:

1)
;

2)
;

3)
;

4)

;

5)

;

6)

.

Занятие
12. Непрерывность и точки разрыва функции.

Для усвоения практического материала
нужно ответить на следующие теоретические
вопросы:

1. Определение
   непрерывности функции в точке.

2. Действия
   над непрерывными функциями.

3. Односторонние
   пределы и односторонняя непрерывность.

4. Непрерывность
   основных элементарных функций.

5. Точки
   разрыва функций и их классификация.

6. Свойства
   функций непрерывных на отрезке.

Типовые задачи

Задача
1.
Используя лишь определение, доказать
непрерывность функции

.

Решение.

Задача
2.
Используя лишь определение, доказать
непрерывность функции

.

Решение.

Задача
3.
Найти
.

Решение.

Так
как

(в
силу непрерывности логарифмической
функции).

Частный
случай:
.

Задача
4.
Найти
.

Решение.

Пусть
,
тогдаи
при(так как показательная функция непрерывна).

Тогда

Частный
случай: если
,
то.

Задача
5.
Исследовать на непрерывность, найти
точки разрыва, указать характер разрыва,
в случае устранимого разрыва доопределить
до непрерывной функцию

.

Решение.

непрерывна
на
.

(точка устранимого разрыва.

Если
,
то функциябудет непрерывной в точке.

Задача
6.
Показать, что для функции
точкаявляется точкой разрыва первого рода.

Решение.

По
определению модуля числа
,
когдаили.

,
когда
или.

Так
как
,
то точка– точка разрыва 1 рода. Конечный скачок
функции.

Данную
функцию нельзя доопределить так, чтобы
она была непрерывной в точке
.

Задача
7.
Исследовать на непрерывность функцию

Решение.

()точка разрыва 2 рода.

В
точке
функция меняет аналитическое выражение.

()конечный разрыв 1 рода.

Скачок
функции
.

Задачи для самостоятельного решения:

1.
Исследовать на непрерывность и изобразить
графически функции:

1)
;

2)
;

3)
;

4)
;

5)

6)

2.
Задана функция
.
При каком выборе параметров, входящих
в определение,будет непрерывной?

1)

2)

Занятие
13. Нахождение производных функции одной
переменной

Для
усвоения практического материала нужно
ответить на следующие теоретические
вопросы:

1. Определение производной функции одной
   переменной.

2. Геометрический, экономический смысл
   производной.

3. Таблица основных производных.

4. Правила дифференцирования.

Типовые задачи

1. Нахождение
   производной функции по определению

Задача № 1.Для функциивычислитьи,
соответствующие изменениям аргумента
отдо.

Решение.

;

Задача № 2. Найти производные функций,
пользуясь определением:

Решение.

Решение.

так как

1. Нахождение производных с помощью таблицы производных

Задача № 3. Найти производные функций:

Задача № 4. Найти угловой коэффициент
секущей к параболе,
если она проходит через точки с абсциссами.

Решение.

Задача № 5. Найти уравнение касательной
и нормали к кривойв точке.

Решение.

Уравнение касательной к кривой в
точке

.

Уравнение нормали к кривой в точке

.

или

– уравнение касательной,

– уравнение нормали.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Эквивалентные функции

Содержание:

• Что такое эквивалентные функции
• Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов
  • Свойства функций
  • Применяемые определения 
  • Применяемые теоремы
• Сравнение функций
  • Сравнение бесконечно малых функций
  • Сравнение бесконечно больших функций
• Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Что такое эквивалентные функции

Определение

Эквивалентность — равнозначность в каком-либо отношении.

Эквивалентные функции позволяют облегчить процесс вычисления пределов с помощью замены множителей в примерах с дробями и произведениями.

Функции α(x) и β(x) называются эквивалентными при x→α, если ( lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}=1.)

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Данное определение применимо к бесконечно большим и малым функциям.

Эквивалентность обозначается знаком ∼, т.е. чтобы показать, что функции α(x) и β(x) эквивалентны, нужно оформить запись следующим образом: α(x)∼β(x)

Для удобства следует использовать специальную таблицу.

Эквивалентные функции и их применение к нахождению пределов

Свойства функций

Основные свойства бесконечно малых функций:

1. (alphasimalpha,;(lim_{xrightarrow a})fracalphaalpha=1.)
2. Если (alphasimbeta и betasimgamma, то alphasimgamma,;(lim_{xrightarrowalpha}fracalphagamma=lim_{xrightarrowalpha}(fracalphabetatimesfracbetagamma)=1times1=1).)
3. Если (alphasimbeta и betasimgamma и betasimgamma, то (lim_{xrightarrowalpha}fracbetaalpha=lim_{xrightarrowalpha}frac1{displaystylefracalphabeta}=1).)
4. Если (alphasimalpha_1 и betasimbeta и lim_{xrightarrowalpha}fracalphabeta=kappa, то и lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha_1}{beta_1}=kappa или lim_{xrightarrowalpha}fracalphabeta=lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha_1}{beta_1}.)

Основные свойства эквивалентных бесконечно больших функций:

1. (frac{alpha(x)-beta(x)}{alpha(x)}=(1-frac{beta(x)}{alpha(x)})overset{x-alpha}{rightarrow0}.)
2. (x = {-b pm sqrt{b^2-4ac} over 2a}alpha(x)simlambdabeta(x), где lambda=lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}.)
3. (alpha(x)+beta(x)simalpha(x).)

Применяемые определения 

Основные определения:

1. Функции (alpha(x) и beta(x)) бесконечно малы при (xrightarrowalpha.)
2. Если есть (lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}=Cneq0,;infty, то alpha(x) и beta(x)) бесконечно малые одного и того же порядка при (xrightarrowalpha ) 
3. Если есть (lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}=0) , то (alpha(x))— величина более высокого порядка малости, чем (beta(x)) при (xrightarrowalpha.)
4. Если (notnilim_{xrightarrowalpha}frac{alpha(x)}{beta(x)}), то бесконечно малые (alpha(x) и beta(x)) несравнимы при (xrightarrowalpha.)
5. Суммой двух бесконечно больших функций при (xrightarrowalpha) является неопределенность.
6. Произведением бесконечно большой функции и функции, имеющей в точке α конечный ненулевой предел, является бесконечно большая функция при (xrightarrowalpha.)

Данных определений будет достаточно для решения пределов с применением понятия эквивалентности.

Применяемые теоремы

Теорема 1 (о замене эквивалентными в произведении и отношении):

Если (alpha_1(x),;alpha_2(x),;beta_1(x),;beta_2(x)) являются бесконечно малыми при (xrightarrowalpha и alpha_1(x)simbeta_1(x),;alpha_2(x)simbeta_2(x)) при (xrightarrowalpha), то

• (alpha_1(x)timesalpha_2(x)simbeta_1(x)timesbeta_2(x);)
• (frac{alpha_1(x)}{alpha_2(x)}simfrac{beta_1(x)}{beta_2(x)}) при (xrightarrowalpha;)
• (lim_{xrightarrowalpha}frac{alpha_1(x)}{alpha_2(x)}=lim_{xrightarrowalpha}frac{beta_1(x)}{beta_2(x)}.)

Теорема 2:

Для того чтобы бесконечно малые функции α(x) и β(x) были эквивалентными при (xrightarrowalpha), нужно, чтобы при (xrightarrowalpha) выполнялось любое из равенств:

• (alpha(x)-beta(x)=circ(alpha(x));)
• (alpha(x)-beta(x)=circ(beta(x)).)

Теорема 3:

Разность двух эквивалентных бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем каждая из них.

Верно и обратное утверждение.

Теорема 4:

Сумма конечного числа бесконечно малых функций разных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Теорема 5 (о замене эквивалентных функций в пределах частного):

Если при (xrightarrow x_0, alpha(x)simalpha_1(x), beta(x)simbeta_1(x)) существует предел (lim_{xrightarrow x_0}frac{a_1(x)}{beta_1(x)},) то существует и предел (lim_{xrightarrow x_0}frac{a(x)}{beta(x)}=lim_{xrightarrow x_0}frac{a_1(x)}{beta_1(x)}.)

Сравнение функций

Сравнение бесконечно малых функций

1. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть конечное ненулевое число, то (alpha(x)) и (beta(x)) называются бесконечно малыми одного и того же порядка.
2. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть ноль, то (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) является бесконечно малой более высокого порядка при (xrightarrowalpha), а (beta(x)) по сравнению с (alpha(x) )— бесконечно малой меньшего порядка.
3. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть бесконечность, то (beta(x)) по сравнению с (alpha(x)) является бесконечно малой более высокого порядка при (xrightarrowalpha), а (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) — бесконечно малой меньшего порядка.

Сравнение бесконечно больших функций

1. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) больше нуля и меньше бесконечности, то (alpha(x)) и (beta(x)) называются бесконечно большими одного и того же порядка.
2. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть бесконечность, то (alpha(x)) по сравнению с (beta(x)) является бесконечно большой более высокого порядка, при (xrightarrowalpha). При этом (beta(x)) имеет меньший порядок роста.
3. Если (lim_{xrightarrowalpha}frac{a(x)}{beta(x)}) есть ноль, то (beta(x)) по сравнению с (alpha(x)) является бесконечно большой более высокого порядка при (xrightarrowalpha.)
4. Если (alpha(x) и beta^n(x)) являются бесконечно большими функциями одного и того же порядка, то функция (alpha(x)) по сравнению с (beta^n(x)) называется бесконечно большой n-ного порядка.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Пример 1

Найти предел:

(lim_{xrightarrow0}frac{lnleft(1+4xright)}{sinleft(3xright)} )

Решение

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций. 

(lnleft(1+alpharight)simalpha,;sinleft(alpharight)simalpha)

Следовательно,

(lim_{xrightarrow0}frac{lnleft(1+4xright)}{sinleft(3xright)}=lim_{xrightarrow0}frac{4x}{3x}=frac43)

Пример 2

Найти предел:

(lim_{xrightarrow0}frac{sqrt[3]{1+x}-1}x)

Решение

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

(sqrt[3]{1+x}sim1+frac x3)

Следовательно,

(lim_{xrightarrow0}frac{sqrt[3]{1+x}-1}x=lim_{xrightarrow0}frac{{(1+x)}^{displaystylefrac13}-1}x=lim_{xrightarrow0}frac{1+{displaystylefrac x3}-1}x=frac13lim_{xrightarrow0}frac xx=frac13)

Пример 3

Найти предел:

(lim_{xrightarrowmathrmpi}frac{1+cosleft(xright)}{{(x-mathrmpi)}^2})

Решение

Произведем замену переменной

 ((x-mathrmpi)=y, где yrightarrow0, если xrightarrowmathrmpi)

Преобразуем выражение.

(L=lim_{xrightarrowmathrmpi}frac{1+cosleft(xright)}{{(x-mathrmpi)}^2}=lim_{yrightarrow0}frac{1+cosleft(y+mathrmpiright)}{y^2})

Применим формулу приведения:

(cosleft(y+mathrmpiright)=-cosleft(yright))

Получим:

(L=lim_{yrightarrow0}frac{1-cosleft(yright)}{y^2})

Воспользуемся таблицей эквивалентных функций.

(1-cosleft(yright)simfrac{y^2}2)

Следовательно,

(L=lim_{yrightarrow0}frac{1-cosleft(yright)}{y^2}=lim_{yrightarrow0}frac{displaystylefrac{y^2}2}{y^2}=frac12)

Текст с ошибкой:

Расскажите, что не так

Определение эквивалентных функций

Эквивалентные функции – это функции, имеющие одинаковое значение. Они могут представлять собой бесконечность малых и больших величин.

Функция может иметь такое понятие лишь при наличии предела. Следует понимать, что одна и та же функция принимает значение малой или большой до бесконечности лишь в единственной точке.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если при x₁, стремящимся к x₂, f(x)~f₁(x) и g(x)~g₁(x) существует предел:

то существует и предел:

Доказательство

Допустим, что следствие этой теоремы часто применяемое. Если мы имеем частное, являющееся результатом произведения функций:

в этом случае, при нахождении предела, можно сделать замену этих функций на эквивалентные:

при этом:

f(x) ~ f₁(x), p(x) ~ p₁(x), … , r(x) ~ r₁(x), g(x) ~ g₁(x), q(x) ~ q₁(x), … , s(x) ~ s₁(x).

Выражения равны друг другу, это значит, что при существовании одного из таких пределов, применимо существование выражения, равного первому. Соответственно, если не существует такой предел, то не может существовать и второй. 

Следует отметить, что можно делать замену как одной величины функции, так и нескольких одновременно. 

Таблица эквивалентных функций

Ниже приведена таблица равнозначных функций и формул при t → 0. В данном случае величина t может представлять собой как переменную, так и до бесконечности малую функцию t = t(x) при x → x₀: 

Эквивалентность при t → 0	Равенство при t → 0
sin t ~ t	sin t = t + 0(t)
arsin t ~ t	arsin t = t + 0(t)
tg t ~ t	tg t = t + 0(t)
artg t ~ t	artg t = t + 0(t)
1-cos t ~	1-cos t = + 0(t2)
et – 1 ~ t	et – 1 = t + 0(t)
at – 1 ~ t ln a	at – 1 = t ln a + 0(t)
ln (1 + t) ~ t	ln (1 + t) = t + 0(t)
loga (1 + t) ~	loga (1 + t) =  + 0(t)
(1 + t)b – 1 ~ bt	(1 + t)b – 1 = bt + 0(t)
sh t ~ t	sh t = t + 0(t)
arsh t ~ t	arsh t = t + 0(t)
th t ~ t	th t = t + 0(t)
arsh t ~ t	arsh t= t + 0(t)
ch t – 1 ~ t2/2	ch t – 1 ~ t2/2 + 0(t2)

Свойства замены функций равносильными доступны для дробных выражений с перемножаемыми величинами и произведений, где необходимо найти предел. 

В этом случае величины в числителе или знаменателе допускается заменить равнозначными функциями. Если математическое выражение представляет собой сумму чисел, замену сделать нельзя.

Примеры решения пределов с помощью эквивалентных функций

Для сравнения рассмотрим несколько примеров.

Пример 1

Вычислить

 

Начнём решение, учитывая, что tg2x ~ 2x, sin3x ~ 3x при x → 0, тогда

 

Пример 2

Найти

Пусть arcsin x = t, тогда x = sin t и t → 0 при x → 0. Исходя из этого:

Значит, arcsin x ~ x при x → 0. 

Пример 3

Вычислить

Решение: если sin (15x) ~ 15x, tg (10x) ~ 10x, тогда

 

Для решения пределов можно использовать онлайн калькуляторы, размещенные на ресурсах в свободном доступе.

Быстрым способом нахождения пределов функций имеющих особенности выда ноль на ноль является применение эквивалентных бесконечно малых функций. Они крайне необходимы если нужно находить границы без применения правила Лопиталя. Эквивалентности заключаются в замене функции ее разложением в ряд Маклорена. Как правило при вычислении предела используют не более двух членов разложения. Для удобства приведем небольшую таблицу эквивалентностей основных функций при движении переменной к нулю

есть еще несколько формул однако они встречаются редко.

Рассмотрим некоторые примеры из сборника задач Дубовика В.П., Юрика И.И. “Высшая математика” для закрепления практических знаний.

———————————–

Пример 1. Найти пределы.

1) (5. 492. 1)

2) (5. 492. 7)

3) (5. 492. 8)

4) (5. 492. 9)

5) (5. 492. 11)

6) (5. 492. 13)

7) (5. 492. 15)

8) (5. 492. 17)

9) (5. 492. 19)

Решение.

1) Согласно правилам разложения в окрестности нуля поведение заданных функций будет следующим

На основе этого предел примет значение

2) Использую правила эквивалентностей преобразим функцию

граница примет значение

3) Преобразуем числитель и знаменатель по правилам

и найдем предел

4) Если Вам встречаются подобные примеры то нужно выполнить следующее: на основе формул разложения упростить числитель

Подстановкой в предел получим

неопределенность вида ноль на ноль . Для ее раскрытия нужно знаменатель разложить на простые множители.

Чтобы не решать квадратное или другие уравнения, которые могут быть, можете смело делить знаменатель на числитель

Подставляем в предел и вычисляем

Такого рода примеры задуманы таким образом что знаменатель или числитель имеют особенности, избавившись от которых без проблем вычисляем пределы.

5) Согласно правилам эквивалентности поведение числителя и знаменателя подменяем функциями

В результате находим предел

6) Производим замену функций эквивалентными

На основе этого получим

7) Для применения правил эквивалентности добавим и вычтем в числителе единицу.

Далее делаем замену

После подстановки в предел получим

8) Преобразуем числитель

Подставим и сведем к первому замечательному пределу

9) Согласно разложению в окрестности нуля получим

Граница примет вид

Применение эквивалентных функций позволяет быстро находить границы функций. Используйте их в тех случаях, когда это необходимо, изучайте и обогащайте знания самостоятельным решением подобных примеров. Это позволит Вам быть спокойными и уверенными при написании контрольных работ и домашних заданий.

———————————–

Посмотреть материалы:

• Числовая последовательность и ее предел
• Правила вычисления пределов последовательности
• Вычисление пределов по правилу Лопиталя
• Предел функции
• Замечательные пределы на примерах