Как найти приближенное значение функции формула

Понятие дифференциала функции:

Известно, что если функция , дифференцируема в некоторой точке , то ее приращение в этой точке может быть представлено в виде

где функция такова, что

Слагаемое является линейной функцией от , а слагаемое есть бесконечно малая более высокого порядка, чем бесконечно малая . Поэтому говорят, что величина : составляет главную часть приращения функции в точке .

Определение:

Дифференциалом функции в точке называется линейная относительно функция составляющая главную часть приращения функции в точке .

Дифференциал функции обозначается («де эф от икс нулевое) или («де игрек»)»

Таким образом,

или

Пример:

Найти дифференциал функции .

Решение:

По формуле (3) имеем:

Итак, дифференциал независимого переменного совпадает с его приращением . Поэтому равенство (3) можно записать в виде

Пример:

Найти дифференциал сложной функции .

Решение:

По формуле (4) находим:

Но — поэтому,

Таким образом, форма дифференциала не зависит от того, является аргумент данной функции независимой переменной или функцией другого аргумента. Это свойство дифференциала сложной функции называется инвариантностью формы дифференциала.

Пример:

Найти дифференциал функции

Решение:

По формуле (4) находим:

Геометрический смысл дифференциала

Пусть — дифференцируемая в точке функция, график которой изображен на рис. 74, — касательная к графику функции в точке с абсциссой . Рассмотрим ординату этой касательной, соответствующую абсциссе .

Из прямоугольного треугольника находим . По этому

Таким образом, дифференциал функции в точке равен приращению ординаты касательной, проведенной к графику этой функции в точке , соответствующему приращению ее абсциссы .

Можно показать, что этот вывод не зависит от расположения графика функции и касательной на координатной плоскости.

Дифференциал может быть как меньше приращения функции (см. рис. 74), так и больше (рис. 75). Однако при достаточно малых приращениях можно

принять . Этот вывод следует и из равенств (1) и (2) предыдущего параграфа.

Вычисление дифференциала

Мы установили, что дифференциал функции имеет форму

т. е. дифференциал функции равен произвелдению производной этой функции на дифференциал ее аргумента.

По формуле (1) можно вычислить дифференциал любой дифференцируемой функции. Так, например;

Аналогично, каждой из основных формул дифференцирования можно сопоставить соответствующую формулу для вычисления дифференциала.

Пример:

Найти дифференциал функции

Решение:

По формуле (1) находим:

Пример:

Найти дифференциал функции

Решение:

Находим:

Дифференциалы высших порядков

Из формулы следует, что дифференциал функции зависит от двух переменных, , причем не зависит.

Рассмотрим дифференциал только как функцию от , т. е. будем считать постоянным. В этом случае можно найти дифференциал этой функции.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка, или вторым дифференциалом этой функции и обозначается («де два игрек») или («де два эф от икс»).

Таким образом,
Принято скобки при степенях не писать, поэтому

Аналогично определяются дифференциалы третьего порядка:

Вообще, дифференциалом п-го порядка называется дифференциал от дифференциала порядка:

Таким образом, для нахождения дифференциала п—го порядка функции нужно найти производную п-го порядка от этой функции и полученный результат умножить на .

Пример:

Найти дифференциалы первого, второго и третьего порядка функции

Решение:

Находим соответствующие производные
от данной функции:

Следовательно,

Приложение дифференциала приближенным вычислениям

Рассмотрим функцию , приращение которой

и дифференциал

Выше (§ 2) было установлено, что при достаточно малых — имеем

Так как вычислять значительно проще, чем , то на практике формулу (3) применяют к различным приближенным вычислениям.

Вычисление приближенного значения приращения функции

Пример:

Найти приближенное значение приращения функции .

Решение:

Применив формулу (3), получим:

Посмотрим, какую погрешность мы допустили, вычислив дифференциал данной функции вместо ее приращения. Для этого найдем истинное значение приращения:

Далее, находим абсолютную погрешность приближения:

а затем и относительную погрешность:

Погрешность приближения оказалась довольно малой, что еще раз подтверждает целесообразность применения формулы (3).

Вычисление приближенного числового значения функции

Из формулы (1) имеем

или

Пример:

Найти приближенное значение функции

Решение:

Представим в виде суммы Приняв найдем

Следовательно,

Приближенное вычисление степеней

Рассмотрим функцию Применив формулу (4), получим

или

По этой формуле наводят приближенное значение степеней.

Пример:

Найти приближенное значение степени .

Решение:

Представим данную степень в виде . Приняв по формуле
(5) найдем:

Приближенное извлечение корней

При и формула (5) примет вид

или

Формула (6), известная и по школьному курсу, дает возможность найти приближенные значения различных корней.

Пример:

Найти приближенное значение корня

Решение:

Представим данный корень в виде Приняв по формуле (6) найдем:

Дополнение к дифференциалу

Смотрите также:

Предмет высшая математика

Понятие о дифференциале в высшей математике

Сравнение бесконечно малых величин между собой

I. Мы рассмотрели действия над бесконечно малыми величинами и показали, что в результате сложения, вычитания и умножения их получаются также бесконечно малые величины. Однако частное от деления двух бесконечно малых друг на друга может быть не только бесконечно малой величиной, но и бесконечно большой и конечной.

В самом деле, пусть, например, а — бесконечно малая, тогда и 2а будут также бесконечно малыми. При делении их друг на друга возможны следующие случаи:

1) отношение — бесконечно малая величина,

2) отношение — бесконечно большая величина,

3) отношение — конечная величина.

Первое отношение показывает, что бесконечно малая составляет ничтожно малую часть от а и, следовательно, стремится к нулю значительно быстрее, чем а.

Второе отношение указывает на то, что а, неограниченно уменьшаясь, остается значительно больше, чем , т. е. стремится к нулю медленнее величины .

Сказанное можно иллюстрировать следующей таблицей:

Принято бесконечно малую по отношению к а называть бесконечно малой высшего порядка, а а по отношению к — бесконечно малой низшего порядка.

Что касается третьего отношения, то из него следует, что бесконечно малые 2а и а стремятся к нулю с одинаковой скоростью, так как при их изменении отношение остается постоянным. Такие бесконечно малые имеют, как говорят, одинаковый порядок малости.

Таким образом, частное от деления двух бесконечно малых величин позволяет сравнивать их между собой. Это сравнение особенно полезно в приближенных вычислениях, где отбрасывание бесконечно малых высшего порядка приводит к значительному упрощению вычислений.

II. Возьмем функцию ; ее приращение

Множитель при есть производная данной функции, а потому последнее равенство можно переписать так:

Сравним изменение величины обоих слагаемых правой части равенства (I) с уменьшением . Положив, например,

х = 2 и, следовательно, у’ = 4, составим следующую таблицу значений этих слагаемых:

Как видно из таблицы, слагаемые у’ и уменьшаются с уменьшением , причем первое пропорционально , второе же значительно быстрее.

Покажем, что то же самое справедливо для любой дифференцируемой функции f(x).

Пусть дана функция у = f(х). Ее производная

Согласно определению предела переменной имеем:

где а—бесконечно малая величина при . Отсюда

И здесь при уменьшении первое слагаемое у’ уменьшается пропорционально второе же слагаемое а уменьшается быстрее, так как отношение —бесконечно

малая величина при , т. е. по отношению к у’ величина а — бесконечно малая высшего порядка. Поэтому выражение у’ называют главной частью приращения функции у = f(х).

Определение:

Главная часть у’ приращения функции у = f(х) называется дифференциалом функции.

Дифференциал функции у = f(х) принято обозначать символом dу. Таким образом

Дифференциал аргумента dх принимают равным приращению аргумента т. е.

Поэтому равенство (3) можно переписать в следующем виде:

т. е. дифференциал функции равен произведению производной функции на дифференциал аргумента. Из формулы (4) следует:

Равенство (5) показывает, что производная функции есть отношение дифференциала функции к дифференциалу аргумента. На этом основании производную функции часто выражают в виде и читают: «дэ игрек по дэ икс».

III. Заменив в равенстве (2) символом dу, напишем:

Как было показано выше, — бесконечно малая высшего порядка по отношению к а потому, отбросив в равенстве (6) слагаемое , получим:

В практических вопросах часто используют формулу (7), т. е. берут дифференциал функции вместо ее приращения, делая при этом незначительную ошибку и тем меньшую, чем меньше .

Примечание:

В случае линейной функции . В самом деле, для функции приращение будет:

Множитель есть производная линейной функции; поэтому правая часть последнего равенства выражает дифференциал данной функции, т. е.

Итак, в случае линейной функции

Геометрическое изображение дифференциала

Возьмем функцию у = f(x), график которой изображен на рис. 104.

Пусть абсцисса точки М

тогда ордината ее

Дадим аргументу х приращение и восставим в точке Р1 перпендикуляр Р1М1 к оси Ох, а из точки М проведем . Тогда, как известно,

Проведем в точке М касательную к кривой; полученный при этом отрезок QN, равный приращению ординаты точки М, движущейся по касательной, называется приращением ординаты касательной. Из прямоугольного треугольника МQN имеем:

Но

а, согласно геометрическому смыслу производной,

Поэтому

Но

Следовательно,

Таким образом, если в точке М кривой у = f(х) провести касательную, то дифференциал функции у = f(х) в этой

точке изобразится приращением ординаты касательной, соответствующим приращению ее абсциссы на dx.

Дифференциал функции в данной точке может быть как меньше приращения ее (рис. 104), так и больше (рис. 105).

Дифференциал второго порядка

Дифференциал dy функции у = f(x), называемый первым дифференциалом или дифференциалом первого порядка, представляет собой также функцию x, а потому и от него можно найти дифференциал, который называют вторым дифференциалом или дифференциалом второго порядка. В этом случае пишут d(dy) или короче и читают: «дэ два игрек».

Найдем выражение дифференциала второго порядка от функции через ее производную. Для этого продифференцируем по х равенство.

считая dx постоянным множителем (так как dx не зависит от х):

Но согласно формуле (4)

Поэтому

т. е. дифференциал второго порядка равен произведению второй производной функции на квадрат дифференциала аргумента.

Из равенства (1) следует

Это дает основание для выражения второй производной

функции в виде отношения которое читают так: «дэ дна игрек по дэ икс квадрат».

Приложение дифференциала к приближенным вычислениям

Рассмотрим несколько примеров использования дифференциала в приближенных вычислениях.

а) Определение приращения функции.

Пример:

Найти приближенно приращение функции

при х = 2 и = 0,001.

Решение:

Так как приращение аргумента — величина малая, то согласно формуле (7) можем приращение функции заменить ее дифференциалом.

Дифференциал же данной функции

Заменив в равенстве (1) х и dх их значениями, получим:

Следовательно,

Посмотрим, какую ошибку мы делаем, беря дифференциал вместо приращения. Для этого найдем точное значение приращения функции:

Сравнивая полученное точное значение с приближенным, видим, что допущенная ошибка равна 0,000002. Выражая ее в процентах, найдем:

Ошибка оказалась очень малой.

Пример:

Шар радиуса R = 20 см был нагрет, отчего радиус его удлинился на 0,01 см. Насколько увеличился при этом объем шара?

Решение:

Объем шара определяется по формуле

Каждому значению R по закону, заданному этой формулой, отвечает одно определенное значение v, т. е. v есть функция от R. Следовательно, наша задача сводится к определению приращения функции v при заданном приращении аргумента R. Так как приращение аргумента мало

то мы можем приращение функции заменить ее дифференциалом.

Находим дифференциал функции v.

Но

Поэтому

б) Нахождение числового значения функции. Пусть требуется найти приближенное значение функции

при x1 = 2,001, т. е. найти величину f(2,001). Представим х1 в виде суммы

где 0,001 будем рассматривать как приращение аргумента. Из формулы для приращения функций

найдем:

Полагая малой величиной, можем заменить величиной dу; тогда последнее равенство перепишется в виде

Применив равенство (2) к данному примеру, можем написать:

По

Поэтому

Равенство (2) может служить формулой для приближенного вычисления значения функции.

в) Вычисление по приближенным формулам. Пользуясь формулой (2), выведем приближенные формулы для вычисления некоторых выражений. 1) Возьмем функцию

и положим, что угол х, равный нулю, получает весьма малое приращение а. Применим формулу (2), полагая в ней х = 0 и dx = а. Получим:

Но

и

Поэтому

или

Отсюда следует, что синус очень малого угла приближенно равен самому углу; при этом нужно помнить, что угол должен быть выражен в радианной мере. Так, например, sin 0,003 0,003. В самом деле, выразив данный угол в градусной мере, найдем:

а

2) Возьмем функцию и положим, что х, равный 1, получает весьма малое по сравнению с единицей приращение . Тогда согласно формуле (2) имеем:

Но

и

Поэтому

или

Точно так же можно вывести равенство

По формулам (3) и (4) можно быстро найти приближенную степень числа, близкого к единице; например:

3) Выведем формулу для приближенного вычисления выражения где а имеет малое значение по сравнению с единицей. Для этого представим в виде степени

Но по формуле (3)

или

Аналогично выводится формула

По формулам (5) и (6) можно легко найти приближенное значение корня из числа, близкого к единице; например:

Кривизна кривой

Пусть дана кривая, определяемая уравнением у = f(х) (рис. 106).

Возьмем на ней две точки А и В и проведем в них касательные к кривой. При переходе от точки А к точке В касательная меняет угол наклона к положительному направлению оси абсцисс на некоторую величину. Если обозначим угол наклона касательной в точке А к оси Ох через а, то угол наклона касательной в точке В к той же оси, получив приращение , будет равен а + , а угол между самими касательными, как видно из рисежа, будет . Величину можно рассматривать как угол отклонения касательной от первоначального ее положения.

Разделив на длину дуги АВ = , получим среднюю величину угла отклонения, приходящегося на единицу длины дуги. Отношение называется средней кривизной кривой на ее участке АВ.

Средняя кривизна кривой на разных ее участках может быть различной.

Допустим теперь, что точка В, двигаясь по кривой, неограниченно приближается к точке А и уменьшается, стремясь к нулю; тогда предел отношения будет определять кривизну кривой в точке А. Обозначив кривизну кривой в точке буквой К, будем иметь:

Определение:

Кривизной кривой в данной ее точке А называется предел, к которому стремится средняя кривизна дуги АВ при неограниченном приближении точки В к А.

Согласно определению производной

поэтому

Преобразуем правую часть этого равенства, выразив dа. и ds через производные данной функции у =f(x).

Согласно геометрическому смыслу производной имеем

где а — угол наклона касательной к кривой у =f(х) в точке А к положительному направлению оси абсцисс (рис. 106); отсюда

В этом равенстве аrctg у’ — функция от функции, так как аrctg у’ зависит от у’, a у’ зависит от х. Продифференцируем последнее равенство по аргументу х; получим:

отсюда

Найдем выражение ds через производную функции у =f(x). Для этого возьмем снова тот же участок АВ кривой (рис. 107).

Будем рассматривать длину АВ как приращение дуги , соответствующее приращениям PQ = и RB = . Если достаточно мало, то отрезок дуги АВ можно считать прямолинейным; в этом случае, применяя теорему Пифагора, получим:

или

Разделив обе части равенства на, найдем:

отсюда

Положим, что тогда

Применяя теоремы о пределе корня, суммы и степени , получим:

Но

поэтому равенство (3) примет вид

откуда

Подставив значение da и ds в выражение (1), получим:

Формула (5) позволяет найти кривизну кривой, определяемой уравнением у = f(x), в любой ее точке.

Кривизна окружности

Кривизну окружности можно определить по формуле (5) , но гораздо проще ее найти из следующих рассуждений.

Проведем касательные в двух точках А и В окружности (рис. 108).

Обозначив дугу АВ через , найдем среднюю кривизну

на этом участке; она выразится дробью . Проведя радиусы в точки касания, получим:

так как углы АО1В и образованы взаимно перпендикулярными прямыми. Но, как известно, угол в радиаyной мере измеряется отношением длины дуги к радиусу; следовательно,

откуда

Ясно, что такой же вывод мы получим, взяв другой какой-либо участок окружности. Следовательно,

для любой точки окружности, т. е. кривизна окружности постоянна во всех ее точках и равна обратной величине ее радиуса.

Радиус кривизны кривой

При изучении кривизны кривой подбирают такую окружность, кривизна которой равна кривизне кривой в той или иной ее точке. Центр этой окружнoсти называется центром кривизны кривой в соответствующей точке, радиус—радиусом кривизны кривой в этой точке, а сама окружность— окружностью кривизны (рис. 109).

Определение:

Окружностью кривизны в точке М кривой называется окружность, проходящая через точку М и имеющая с кривой одинаковую кривизну и общую касательную.

Заметим, что центр окружности кривизны всегда располагается со стороны вогнутости кривой.

Кривизна окружности, как мы знаем,

отсюда

Следовательно, и радиус кривизны кривой в точке ее определяется тем же равенством.

Заменив К его значением, взятым из равенства (5) , получим формулу для определения радиуса кривизны кривой в любой ее точке:

Применяя эту формулу к прямой линии, заданной, например уравнением получим:

так как

Это значит, что прямую линию можно рассматривать как окружность бесконечно большого радиуса.

Пример:

Найти радиус кривизны кривой в точке, абсцисса которой равна

Решение:

Найдем сначала первую и вторую производные функции для точки с абсциссой

Подставив значения у’ и у» в формулу (1), получим:

Как найти дифференциал — подробная инструкция

Бесконечно малые величины

Бесконечно малые величины В этом параграфе чаще всего независимое переменное будем обозначать через h.

Определение:

Бесконечно малой величиной вблизи h = a называется функция, зависящая от h и имеющая предел, равный нулю при условии, что независимое переменное стремится к а.

Например, является бесконечно малой величиной при условии, что h стремится к 3; sinh и tgh являются бесконечно малыми при условии, что h стремится к нулю.

Бесконечно малые величины при условии, что независимое переменное стремится к нулю, будем называть «бесконечно малыми», не указывая, а только подразумевая условие . Таким образом, будем говорить, что sinh , tgh , являются «бесконечно малыми», а не бесконечно малыми при условии .

Приведем примеры геометрического и физического содержания.

Пример:

Площадь S прямоугольника со сторонами х и h является бесконечно малой при любых х, так как

Пример:

Объема прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны 3, 2 и 2h, является бесконечно малым, так как

Пример:

Объем v прямоугольного параллелепипеда, ребра которого равны h, 2h и 5h, является бесконечно малым, так как

Пример:

По закону Ома v = Ri, где v — напряжение, R — сопротивление и i — ток. Отсюда следует, что при постоянном сопротивлении напряжение является бесконечно малым относительно тока, так как

Пусть дана бесконечно малая величина а (h), т. е.

Рассмотрим предел отношения

Если этот предел существует и равен нулю, то бесконечно малая величина a (h) называется бесконечно малой более высокого порядка, чем h.

Если предел равен конечному числу то бесконечно малые a (h) и h называются величинами одного порядка; если l =1, то a(h) и h называются эквивалентными бесконечно малыми.

Этот предел может зависеть от других переменных, отличных от h.

Пример:

Пусть Это бесконечно малая величина порядка более высокого, чем h, так как

Пример:

Пусть а(h) = sin 2h; а(h) — бесконечно малая того же порядка, что и h , поскольку

Пример:

а (h) = sin h —бесконечно малая, эквивалентная h , так как

Пример:

a( h ) = l — cos h . Так как

то 1—cos h есть бесконечно малая более высокого порядка, чем h .

В заключение параграфа рассмотрим функцию y = f(x). Пусть приращение независимого переменного равно А, тогда приращение функции равно

Так как приращение h независимого переменного х не зависит от величины х, то для вычисления нужно задать величину х и величину h , т. е. приращение функции одного переменного является функцией двух независимых переменных х и h .

Пример:

Пусть дана функция Ее приращение равно

Если x = 3, а h =1, то

Если же x = 0 и по-прежнему h =1, то

Здесь h сохраняет значение 1, но, поскольку х меняется, изменяется и .

Если x = 2, а h = 1, то

Если же x = 2, а h = 0,5, то

Здесь х сохраняет значение 2, но h меняется, поэтому меняется и .

Если f(х)—функция непрерывная, то, по определению, ее приращение стремится к нулю при условии, что приращение h независимого переменного х стремится к нулю. Поэтому, используя введенное понятие бесконечно малой величины, можно сказать, что приращение непрерывной функции есть величина бесконечно малая относительно приращения независимого переменного.

Дифференциал

Пусть дана непрерывная функция у = f(х), имеющая производную. Тогда, по определению производной,

Поэтому, если в правой части откинем знак предела, то получим ошибку, величина которой зависит и от x и от h. Обозначим эту ошибку через а( x , h ). Тогда вместо равенства (1) можно написать

Про ошибку а( x , h ) мы знаем, что

Это следует из равенства (1). Значит, ошибка а( x , h ) является бесконечно малой относительно приращения h независимого переменного.

Если умножим обе части равенства (2) на h , то получим

или

В левой части равенства (4) стоит приращение функции , а в правой части—два члена: (x)h и а(x , h)h . Оценим порядок малости этих членов:

Очевидно, что первый член

одного порядка с h , т. е. является линейным относительно h , а второй член а(x , h)h является бесконечно малой величиной более высокого порядка относительно h .

Из равенства (4) получаем, что приращение функции с точностью до бесконечно малой высшего порядка равно f'(х)h ; это выражение называется дифференциалом функции.

Определение. Дифференциал есть та часть при-ращения функции , которая линейна относительно h . Таким образом, дифференциал функции равен произведению производной на приращение независимого переменного.

Дифференциал функции обозначают или dy, или df(x), так что

Для симметрии записей вводится определение дифференциала независимого переменного.

Определение:

Дифференциалом независимого переменного называется его приращение.

Дифференциал независимого переменного обозначается dx, так что имеем

Операция нахождения дифференциала называется дифференцированием.

Пример:

Найдем дифференциал функции у = sin х. Так как (sin х)’ = cos х, то dy = dsin х = cos х • h = cos xdx.

Пример:

Вычислим значение дифференциала функции ,если x = 2 и dx = h = 0,1 .

Так как

Подставляя сюда вместо х его значение 2, а вместо dx его значение 0,1, получим

Из определения дифференциала функции следует, что дифференциал функции одного переменного является функцией двух переменных. Из формул (5) и (6) следует, что

Таким образом, производная равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

С этого момента для обозначения производной будем пользоваться и знаком ( )’ и отношением дифференциалов.

Таблица дифференциал

Применение к приближенным вычислениям

Перепишем формулу (4) § 2 в следующем виде:

и для начала посмотрим на примере, как будут выглядеть отдельные ее члены при некоторых числовых значениях х и h.

Пример:

Пусть Положим x = 2 и h = 0,01. Применяя формулу куба суммы, получаем

С другой стороны, применяя формулу (1) и зная, чтополучим

Сравнивая формулы (*) и (**), видим, что в левых частях стоит одно и то же, в правых же частях совпадают первые два члена, следовательно, третий член в формуле (**) равен двум последним членам в формуле (*), т. е.

Вычислим все члены, встречающиеся в этом примере, при указанных числовых значениях х и h:

Если бы мы захотели вычислить не точно, а приближенно с точностью до 0,01, то член а (x, h)h = 0,000601 никакого значения бы не имел, т. е. его можно было бы просто откинуть.

Аналогично в общем случае формулу (1) заменяют приближенной формулой, откидывая бесконечно малую высшего порядка, т. е. член а (x, h)h . Тогда получается приближенная формула

(знак обозначает приближенное равенство). Эту формулу имеет смысл употреблять только при малых значениях величины h, так как в противном случае ошибка может оказаться очень большой.

Приведем примеры применения формулы (2).

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления кубического корня. Возьмем тогда Применяя формулу (2), получаем

Если положить , то полученному результату можно придать следующий вид:

Отсюда видно, что если нам известен кубический корень из числа, то для близких чисел можно с удобством воспользоваться выведенной формулой. Например, зная, что вычисляем Здесь z = 10, h = 3, поэтому получаем

Сделаем проверку, возведя 10,01 в куб. Видим, что вместо 1003 получили число 1003,003001, т. е. ошибка меньше 0,005.

Пример:

Выведем приближенную формулу для вычисления тангенсов малых углов. Так как то применяя формулу (2), получаем

Зная, что tg 0 = 0 и cos 0=1, и полагая в предыдущей формуле x = 0, найдем

Напоминаем, что здесь h есть радианная мера угла. Например, вычислим tg3°. Переведем сначала градусную меру угла в радианную:

тогда

Дифференциал площади криволинейной трапеции

Определение:

Криволинейной трапецией называется плоская фигура, ограниченная с трех сторон прямыми, а с четвертой стороны кривой. При этом две прямые параллельны между собой и перпендикулярны третьей, а кривая пересекается с любой прямой, параллельной боковым сторонам, в одной точке.

Не исключается случай, когда одна или обе боковые стороны обращаются в точку. На рис. 69, 70, 71 изображены криволинейные трапеции.

Все плоские фигуры, с которыми нам придется встречаться, могут быть представлены как совокупность криволинейных трапеций. Например, на рис. 72 фигура разбита на четыре криволинейные трапеции.

Конечная наша цель — определить площадь криволинейной трапеции, но пока эту задачу мы еще не можем решить. Однако мы сумеем найти дифференциал площади криволинейной трапеции. Решим эту задачу, предполагая, что трапеция расположена определенным образом.

Пусть дана криволинейная трапеция АВСD, ограниченная осью Ох, двумя прямыми, перпендикулярными этой оси, и кривой, заданной уравнением у=f(х) (рис. 73).

Будем считать, что прямая АВ неподвижна в процессе всех рассуждений, т. е. абсцисса точки А есть постоянная величина. «Прямую же СD будем двигать, т. е. абсцисса точки D будет переменной. Обозначим ее через х.

Ясно, что площадь криволинейной трапеции АВСD будет изменяться в зависимости от величины х, значит, площадь есть функция х. Обозначим ее F(х). Этой функции мы не знаем, но несмотря на это найдем ее дифференциал.

Дадим х приращение h = DК, тогда площадь F(x) получит приращение ( х ) (это приращение на рис. 73 заштриховано).

При изменении независимого переменного от величины х до х + h (от точки D) до точки К) функция f(х), т. е. ордината точки, лежащей на кривой, также изменяется и при этом достигает наибольшего значения М и наименьшего значения т. На рис. 73 QR = М и NР= т.

Рассмотрим прямоугольник с основанием DК и высотой QR = М , его площадь равна Т1= Мh. Прямоугольнике тем же основанием DK = h и высотой NР = т имеет площадь, равную T2 = тh.

Очевидно, что площадь второго прямоугольника Т2 меньше площади T1 первого на величину (М— т)h . Также очевидно, что площадь второго прямоугольника меньше приращения (x), а площадь первого больше этого приращения, так что

Следовательно, приращение отличается и от площади первого, и от площади второго прямоугольника на величину, меньшую чем (М— т)h .

Обозначим разность между приращением и площадью Т2 через со, тогда

Величина меняется вместе с h и всегда меньше (М— т)h . Обозначим через ) разность между площадью Т1 и приращением , получим:

Остановимся на формуле (1) и проследим, как меняются ее члены при стремлении h к нулю.

Предварительно заметим, что, во-первых, всегда, т. е. при любых значениях x,

и, во-вторых, если , то точка К приближается к точке D. Точка N, абсциссу которой обозначим через , заключена между D и К, поэтому при точка N также приближается к точке D, следовательно,

Функция f(х) предполагается непрерывной. В силу свойств непрерывной функции (см. гл. VI, § 6) находим

а это значит, что можно записать (см. начало § 2 этой главы)

где а—бесконечно малая относительно h. Также можно заключить, что

где —бесконечно малая относительно h.

Исследуем порядок малости членов, стоящих в правой части равенства (1). Для этого найдем следующие пределы:

Первый предел находим непосредственно [применяя (3)]:

Чтобы найти второй предел, найдем сначала [используя (4) и (5)]

Так как удовлетворяет неравенству (2), то

а в силу равенства (7)

Таким образом, установлено, что и mh и являются бесконечно малыми. Кроме того, член со есть бесконечно малая высшего порядка относительно h.

Учитывая все эти рассуждения и применяя равенство (4), можно переписать равенство (1) в виде

В правой части равенства (8) стоят три члена. Каждый из них является бесконечно малым относительно h первый из них линеен относительно h, а два других имеют высший порядок малости.

Применяя результаты § 2, заключаем, что приращение площади криволинейной трапеции равно f(x)h плюс величина высшего порядка относительно h , а поэтому дифференциал площади криволинейной трапеции равен f(x)h , т. е.

Этим результатом мы воспользуемся в следующих главах.

Пример:

Найдем дифференциал площади F криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением , прямой x =1 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.

Применяя только что полученный результат, будем иметь

Пример:

Найти производную от площади криволинейной трапеции, ограниченной осью Ох, кривой, заданной уравнением у = sin x, прямой х = 2 и подвижной прямой, параллельной оси Оу.

Находим дифференциал этой площади: dF = sin x dx, а следовательно и производную:

Применение дифференциала к различным задачам

Рассуждения не только приводят к понятию дифференциала, но в некоторых случаях позволяют найти производную. Предположим, что приращение некоторой функции представлено в виде

где (x) не зависит от h, и

Тогда

откуда

т. е. (x)—производная заданной функции.

Пример:

Найти производную от функции f(x), определенной геометрически как объем, ограниченный:

1) поверхностью Р, полученной от вращения вокруг оси Ох дуги ОА, принадлежащей параболе ;

2) плоскостью П1, перпендикулярной оси Ох и отстоящей от начала координат на расстояние х (рис. 74).

Ясно, что объем зависит от величины х, т. е. является функцией х .

Возьмем произвольное число х. Соответствующее значение функции f(х) будет определяться объемом, ограниченным поверхностью Р и плоскостью П1 . Дадим х приращение h. Объем, т. е. функция f(x), в связи с этим получит приращение . Это приращение показано на рис. 75 и отдельно на рис. 76: оно ограничено поверхностью Р и плоскостями П1 и П2. Плоскости П1 и П2 пересекаются с поверхностью Р по окружностям (так как Р—поверхность вращения). Обозначим эти окружности К1 и К2.

Рассмотрим два цилиндра: первый из них имеет основанием К1, образующую, параллельную оси Ох, и высоту h, второй имеет основанием К2 и образующую, также параллельную оси Ох (рис. 77).

Объем первого цилиндра обозначим через W1 второго — через W2 . Из чертежей ясно, что приращение функции больше объема W1 и меньше объема W2 т. е.

Но oбъемы W1 и W2 легко подсчитать:

Разность объемов W1 и W2 (т. е. объем цилиндрического кольца) равна

Приращение (х) отличается от W1 на некоторую часть разности W2 — W1 поэтому

где— некоторое положительное число, меньшее единицы. Так как

то член —стоящий в правой части равенства (**), является бесконечно малой высшего порядка малости относительно h. Поэтому равенство (**) является частным случаем равенства (*). Следовательно, вывод, который был сделан в начале параграфа, может быть перенесен и на равенство (*), т. е. производная от функции f(х) равна .

В этом примере следует обратить внимание на то, что функция f(х) была определена чисто геометрически, нам не была известна формула, определяющая эту функцию, однако производную мы нашли.

Пример:

Рассмотрим цилиндрическую трубу, у которой радиус внешней поверхности R, радиус внутренней поверхности r, высота H. Найдем объем V материала, из которого сделана эта труба (рис. 78).

Будем называть этот объем объемом цилиндрического слоя. Поскольку объем внешнего цилиндра равен , а объем внутреннего равен, то объем цилиндрического слоя равен

или

Если стенка трубы тонкая, то r и R мало отличаются друг от друга. Обозначим их разность через h (h = R — r). Тогда формула (*) примет вид

или

Второй член, стоящий в правой части равенства (*), второго порядка относительно h. Поэтому при член становится бесконечно малой высшего порядка. Отбрасывая его, мы получим приближенную формулу для подсчета объема тонкого цилиндрического слоя:

Интересно отметить еще один способ получения этой формулы (рис. 79).

Если разрезать трубку вдоль ее образующей и развернуть на плоскость, то получим «почти» прямоугольный параллелепипед с измерениями , h и H. Его объем равен Hh , т. е. как раз тому, что дает формула (***).

Решение заданий и задач по предметам:

• Математика
• Высшая математика
• Математический анализ
• Линейная алгебра

Дополнительные лекции по высшей математике:

1. Тождественные преобразования алгебраических выражений
2. Функции и графики
3. Преобразования графиков функций
4. Квадратная функция и её графики
5. Алгебраические неравенства
6. Неравенства
7. Неравенства с переменными
8. Прогрессии в математике
9. Арифметическая прогрессия
10. Геометрическая прогрессия
11. Показатели в математике
12. Логарифмы в математике
13. Исследование уравнений
14. Уравнения высших степеней
15. Уравнения высших степеней с одним неизвестным
16. Комплексные числа
17. Непрерывная дробь (цепная дробь)
18. Алгебраические уравнения
19. Неопределенные уравнения
20. Соединения
21. Бином Ньютона
22. Число е
23. Непрерывные дроби
24. Функция
25. Исследование функций
26. Предел
27. Интеграл
28. Двойной интеграл
29. Тройной интеграл
30. Интегрирование
31. Неопределённый интеграл
32. Определенный интеграл
33. Криволинейные интегралы
34. Поверхностные интегралы
35. Несобственные интегралы
36. Кратные интегралы
37. Интегралы, зависящие от параметра
38. Квадратный трехчлен
39. Производная
40. Применение производной к исследованию функций
41. Приложения производной
42. Дифференцирование в математике
43. Формулы и правила дифференцирования
44. Дифференциальное исчисление
45. Дифференциальные уравнения
46. Дифференциальные уравнения первого порядка
47. Дифференциальные уравнения высших порядков
48. Дифференциальные уравнения в частных производных
49. Тригонометрические функции
50. Тригонометрические уравнения и неравенства
51. Показательная функция
52. Показательные уравнения
53. Обобщенная степень
54. Взаимно обратные функции
55. Логарифмическая функция
56. Уравнения и неравенства
57. Положительные и отрицательные числа
58. Алгебраические выражения
59. Иррациональные алгебраические выражения
60. Преобразование алгебраических выражений
61. Преобразование дробных алгебраических выражений
62. Разложение многочленов на множители
63. Многочлены от одного переменного
64. Алгебраические дроби
65. Пропорции
66. Уравнения
67. Системы уравнений
68. Системы уравнений высших степеней
69. Системы алгебраических уравнений
70. Системы линейных уравнений
71. Системы дифференциальных уравнений
72. Арифметический квадратный корень
73. Квадратные и кубические корни
74. Извлечение квадратного корня
75. Рациональные числа
76. Иррациональные числа
77. Арифметический корень
78. Квадратные уравнения
79. Иррациональные уравнения
80. Последовательность
81. Ряды сходящиеся и расходящиеся
82. Тригонометрические функции произвольного угла
83. Тригонометрические формулы
84. Обратные тригонометрические функции
85. Теорема Безу
86. Математическая индукция
87. Показатель степени
88. Показательные функции и логарифмы
89. Множество
90. Множество действительных чисел
91. Числовые множества
92. Преобразование рациональных выражений
93. Преобразование иррациональных выражений
94. Геометрия
95. Действительные числа
96. Степени и корни
97. Степень с рациональным показателем
98. Тригонометрические функции угла
99. Тригонометрические функции числового аргумента
100. Тригонометрические выражения и их преобразования
101. Преобразование тригонометрических выражений
102. Комбинаторика
103. Вычислительная математика
104. Прямая линия на плоскости и ее уравнения
105. Прямая и плоскость
106. Линии и уравнения
107. Прямая линия
108. Уравнения прямой и плоскости в пространстве
109. Кривые второго порядка
110. Кривые и поверхности второго порядка
111. Числовые ряды
112. Степенные ряды
113. Ряды Фурье
114. Преобразование Фурье
115. Функциональные ряды
116. Функции многих переменных
117. Метод координат
118. Гармонический анализ
119. Вещественные числа
120. Предел последовательности
121. Аналитическая геометрия
122. Аналитическая геометрия на плоскости
123. Аналитическая геометрия в пространстве
124. Функции одной переменной
125. Высшая алгебра
126. Векторная алгебра
127. Векторный анализ
128. Векторы
129. Скалярное произведение векторов
130. Векторное произведение векторов
131. Смешанное произведение векторов
132. Операции над векторами
133. Непрерывность функций
134. Предел и непрерывность функций нескольких переменных
135. Предел и непрерывность функции одной переменной
136. Производные и дифференциалы функции одной переменной
137. Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
138. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
139. Матрицы
140. Линейные и евклидовы пространства
141. Линейные отображения
142. Дифференциальные теоремы о среднем
143. Теория устойчивости дифференциальных уравнений
144. Функции комплексного переменного
145. Преобразование Лапласа
146. Теории поля
147. Операционное исчисление
148. Системы координат
149. Рациональная функция
150. Интегральное исчисление
151. Интегральное исчисление функций одной переменной
152. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
153. Отношение в математике
154. Математическая логика
155. Графы в математике
156. Линейные пространства
157. Первообразная и неопределенный интеграл
158. Линейная функция
159. Выпуклые множества точек
160. Система координат