Как найти приближенное значение корня формула - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Вы уже научились находить значения некоторых квадратных
корней. Например, таких как:

Но бывает так, что необходимо найти квадратный
корень из числа, который уже нельзя так сходу определить. Тогда приходят к
нахождению приближённых значений квадратного корня.

Например:

Надо найти .

До этого мы с вами уже говорили, что нет
такого целого числа, квадрат которого бы равнялся двум.

Обратимся к параболе.

Прямая пересекает
параболу в двух точках. Абсцисса первой точки расположена между числами -1 и -2,
абсцисса второй точки между числами 1 и 2.

А т.к. нас интересует арифметический
квадратный корень, то рассматриваем только точку в первой координатной четверти
(т.е. с положительной абсциссой). По рисунку можно лишь сказать, что значение
корня из двух расположено между числами 1 и 2.

Попробуем все же вычислить приближённое
значение с
двумя знаками после запятой. Будем рассуждать следующим образом:

Т.к. нужно вычислить с
точностью до двух знаков после запятой, то мы можем уже остановиться и не
продолжать вычисления дальше. Поэтому имеем

Это и будет ответом. Если бы необходимо было
вычислить ещё более точное значение, нужно было бы продолжать вычисления,
повторяя снова и снова цепочку рассуждений. Данный приём позволяет извлекать арифметический
квадратный корень с любой точностью.

Можно показать наши рассуждения относительно
значения на координатной прямой.

В первом шаге показано, что значение расположено между числами 1 и 2.

Во втором шаге нашли значение корня с
точностью до десятых. И пришли к выводу, что это значение заключено между
числами 1,4 и 1,5.

Затем, в третьем шаге показано, что значение расположено
между числами 1,41 и 1,42 с точностью до сотых. И т.д..

В практических расчётах для нахождения
приближённых значений квадратных корней используют специальные
таблицы или вычислительную технику.

Рассмотрим, как можно находить значения
квадратных корней с помощью калькулятора.

Для этого используют клавишу, на которой
изображён знак квадратного корня. Чтобы извлечь корень из некоторого числа,
нужно ввести это число в калькулятор. Пауза нажать клавишу со знаком корня. И
на экране высветится приближённое значение корня.

Убедимся в правильности работы калькулятора.
Сначала давайте попробуем найти значение корня, которого вы уже
помните наизусть.

Например:

Нужно найти значение .
Конечно, вы с ходу скажите, что оно равно 5. Проверим. Вводим в калькулятор
число 25, затем нажимаем волшебную клавишу со знаком корня и
видим… значение равно 5.

Проверим, правильно ли мы рассуждали
относительно значения .
Вводим число 2 в калькулятор, нажимаем клавишу с корнем и видим
такие цифры: 1, запятая, 4, 1 и дальше ещё много циферок. Обратите внимание, получили
бесконечную непериодическую дробь, т.е. значение –
иррациональное число. Но т.к. нам нужно было найти приближённое
значение с
точностью до сотых, то мы убедились, что .

Задание:

Сравните числа.

Решение:

Источник

Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. Ориентировано на работу с УМК Макарычев. Алгебра 8 класс. Просвещение. Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 28. Нахождение приближенных значений квадратного корня. Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Цель: сформировать представление о приближенном вычислении квадратного корня.
Планируемые результаты: научиться вычислять приближенное значение корня из числа.
Тип урока: урок–исследование.

Ход урока

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).
Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Решите уравнение: а) x² – 0,04 = 0,6; б) (2х – З)² = 16; в) (3х + а)² = 81.
Определите число корней уравнения x² – 4х = а.

Вариант 2

Решите уравнение: а) x² + 0,05 = 0,3; б) (Зх + 2)² = 36; в) (2х – а)² = 49.
Определите число корней уравнения –x² + 6х = а.

III. Работа по теме урока

На предыдущих занятиях мы узнали, что √a может быть целым числом (например, √0 = 0, √9 = 3 и т. д.), обыкновенной дробью (например,

десятичной дробью (например,

и иррациональным числом (например,

Так как иррациональное число является бесконечной десятичной непериодической дробью, то при практических вычислениях возникает вопрос о вычислении приближенного значения арифметического квадратного корня.

Пример 1. Найдем приближенное значение √3 с двумя знаками после запятой.

Оценим подкоренное выражение 3 сначала в целых числах. Так как 1 < 3 < 4, то √1 < √3 < √4 или 1 < √3 < 2. Поэтому десятичная запись числа √З начинается с цифры 1, т. е. √3 ≈ 1,… (рис. а).

Найдем теперь цифру десятых. Для этого будем возводить в квадрат десятичные дроби 1,1; 1,2; 1,3… до тех пор, пока вновь не оценим такими числами подкоренное выражение 3. Имеем 1,1² = 1,21; 1,2² = 1,44; 1,3² = 1,69; 1,4² = 1,96; 1,5² = 2,25; 1,6² = 2,56; 1,7² = 2,89; 1,8² = 3,24. Так как 2,89 < 3 < 3,24 или 1,7² < 3 < 1,8², то 1,7 < √З < 1,8. Значит, √3 ≈ 1,7… (рис. б).

Чтобы найти цифру сотых, будем последовательно возводить в квадрат десятичные дроби 1,71; 1,72; 1,73…, вновь оценивая подкоренное выражение 3. Имеем: 1,71² = 2,9241; 1,72² = 2,9584; 1,73² = 2,9929; 1,74² = 3,0276. Так как 1,73² < 3 < 1,74², то 1,73 < √3 < 1,74 (рис. в). Поэтому √3 ≈ 1,73.

Аналогичным образом можно найти приближенное значение арифметического квадратного корня с любой заданной точностью.

При практических расчетах для нахождения приближенных значений квадратных корней используют специальные таблицы или вычислительную технику.

Пример 2. С помощью калькулятора найдем .

Введем в калькулятор число 27,4 и нажмем клавишу √. На экране появится число 5,234500931 — приближенное значение . Полученный результат округляют до требуемого количества знаков. Округлим, например, этот результат до сотых и получим ≈ 5,23.

IV. Задания на уроке

№ 336 (а, г); 338 (б); 339 (а); 340 (б); 344 (а, б); 345 (а); 348 (б, г).

V. Подведение итогов урока

Домашнее задание: № 336 (в, е); 338 (а); 339 (б); 340 (а); 344 (в, г); 345 (б); 348 (а, в).

Вы смотрели: Поурочное планирование по алгебре для 8 класса. УМК Макарычев (Просвещение). Глава 2. КВАДРАТНЫЕ КОРНИ (19 ч). § 5. Арифметический квадратный корень (5 ч). Урок 28. Нахождение приближенных значений квадратного корня.

Вернуться к Списку уроков Тематического планирования.

Источник

Методы вычисления квадратных корней — это вычислительные алгоритмы для вычисления приближённых значений главных (или неотрицательных) квадратных корней (обычно обозначаемых как , или ${displaystyle S^{1/2}}$ ) вещественного числа. Арифметически это означает, что если дано число , процедура находит число, которое при умножении на себя даёт . Алгебраически это означает процедуру нахождения неотрицательного корня уравнения ${displaystyle x^{2}-S=0}$ . Геометрически это означает построение стороны квадрата с заданной площадью.

Любое вещественное число имеет два корня^[1]. Главное значение квадратного корня большинства чисел является иррациональным числом с бесконечной последовательностью десятичных цифр. Как результат, десятичное представление любого такого квадратного корня может быть вычислено только приближённо с конечной точностью (знаков после запятой). Однако, даже если мы берём корень от полного квадрата целого числа, так что результат имеет конечное представление, некоторые процедуры, используемые для вычисления корня, могут вернуть лишь ряд приближений с возрастающей точностью.

Представление вещественного числа в виде цепной дроби может быть использовано вместо десятичного или двоичного разложения и это представление имеет свойство, что квадратный корень любого рационального числа (который не является полным квадратом) имеет период, то есть периодическое разложение, похожее на то, как рациональные числа имеют повторяющееся разложения десятичной системе счисления.

Большинство общепризнанных аналитических методов являются итеративными и состоят из двух шагов: нахождения подходящего начального значения с последующим итеративным уточнением пока не будет достигнут определённый критерий остановки. Начальным значением может быть любое число, но если оно ближе к конечному значению, число требуемых итераций потребуется меньше. Наиболее известным таким методом, да ещё и удобным для программирования, является метод Ньютона, который основывается на вычислении производной. Несколько методов, такие как обычное деление вручную по схеме Горнера или разложение в ряд, не требуют задание начального значения. В некоторых приложениях требуется найти целочисленный квадратный корень, который является квадратным корнем, округлённым до ближайшего целого (в этом случае может быть использована модифицированная процедура).

Используемый метод зависит от того, как результат будет использован (то есть, насколько точен должен быть результат) и какие средства есть под рукой. Методы можно грубо разбить на те, которые можно выполнить в уме, которые требуют карандаша и листа бумаги, или те, которые реализуются в виде программы и выполняются на компьютерах или других вычислительных устройствах. Могут приниматься в расчёт скорость сходимости (сколько итераций потребуется для достижения заданной точности), вычислительной сложности отдельных операций (таких как деление) или итераций, и распределение ошибок (точность результата).

Процедуры поиска квадратных корней (в частности, корня из 2) известны по меньшей мере со времён древнего Вавилона (17-й век до нашей эры). Метод Герона из Египта первого века был первым проверяемым алгоритмом для вычисления квадратного корня. Современные аналитические методы начались разрабатываться после принятия арабских цифр в Западной Европе в Раннем Ренессансе. В настоящие дни почти все вычислительные устройства имеют функцию быстрого и точного вычисления квадратного корня в виде встроенной конструкции языка программирования, библиотечной функции или аппаратного оператора, которые основываются на описанных ниже процедурах.

Начальная оценка[править | править код]

Многие итеративные алгоритмы вычисления квадратного корня требуют задания начального случайного значения. Это значение должно быть ненулевым положительным числом. Оно должно быть между 1 и , числом, квадратным корень которого мы ищем, поскольку квадратный корень должен быть в этих пределах. Если начальное значение очень далеко от корня, алгоритму потребуется больше итераций. Если начать с ${displaystyle x_{0}=1}$ (или с ), будет отработано лишних примерно ${displaystyle {tfrac {1}{2}}vert log _{2}Svert }$ итераций просто для получения порядка корня. Поэтому полезно иметь грубую оценку корня, которая может иметь слабую точность, но зато легко вычисляется. В общем случае чем точнее оценка, тем быстрее сходимость. Для метода Ньютона (называемого также вавилонским или методом Герона), начальное значение несколько большее корня даёт более быструю сходимость, по сравнению с начальным значением, меньшим корня.

Вообще говоря, оценка рассматривается на произвольном интервале, в котором известно, что в нём содержится корень (таком как ${displaystyle [x_{0},S/x_{0}]}$ ). Получение лучшей оценки вовлекает либо получение более узких границ интервала, либо лучшего функционального приближения к Последнее обычно означает использование для аппроксимации многочленов более высокого порядка, хотя не все аппроксимации используют многочлены. Общие методы оценки бывают скалярные, линейные, гиперболические и логарифмические. Десятичная система счисления обычно используется для оценки в уме или на бумаге. Двоичная система счисления более пригодна для компьютерных оценок. При оценке экспонента и мантисса обычно обрабатываются отдельно.

Десятичная оценка[править | править код]

Обычно число выражается в экспоненциальном виде как ${displaystyle atimes 10^{2n}}$ , где , а n — целое число, тогда оценкой возможного квадратного корня может быть ${displaystyle {sqrt {a}}times 10^{n}}$ , где .

Скалярные оценки[править | править код]

Скалярные методы делят весь диапазон на интервалы и оценка в каждом интервале представлена одним числом. Если диапазон рассматривается как один интервал, то арифметическое среднее (5,5) или геометрическое среднее ( ${displaystyle {sqrt {10}}approx 3{,}16)times 10^{n}}$ являются приемлемыми оценками. Абсолютная и относительная оценка для этих оценок будет отличаться. В общем случае отдельное число будет очень неточно. Более точные оценки разбивают диапазон на два и более интервалов, но скалярная оценка продолжает оставаться очень грубой.

Для двух интервалов, разбитых геометрически, квадратный корень ${displaystyle {sqrt {S}}={sqrt {a}}times 10^{n}}$ можно оценить как^[2].

${displaystyle {sqrt {S}}approx {begin{cases}2cdot 10^{n}&{text{если }}a<10,\6cdot 10^{n}&{text{если }}ageqslant 10.end{cases}}}$

Эта оценка имеет максимальную абсолютную погрешность ${displaystyle 4cdot 10^{n}}$ в точке = 100 и максимальную относительную ошибку в 100% в точке = 1.

Например, для с разложением ${displaystyle 12{,}5348times 10^{4}}$ , оценка будет ${displaystyle {sqrt {S}}approx 6cdot 10^{2}=600}$ . , с абсолютной ошибкой 246 и относительной ошибкой почти 70%.

Линейная оценка[править | править код]

Лучшей оценкой и стандартным методом является линейное приближение функции y = x^2 на малой дуге. Если, как и выше, степень выделена из числа , а интервал сокращён до , можно использовать секущую или касательную где-то вдоль дуги для аппроксимации, но прямая регрессии метода наименьших квадратов будет более точной.

Прямая, получающаяся методом наименьших квадратов, минимизирует среднее расстояние между оценкой и значением функции. Её уравнение — . После преобразования и округления коэффициентов для упрощения вычислений получим

${displaystyle {sqrt {S}}approx (a/10+1{,}2)cdot 10^{n}}$

Это лучшая оценка в среднем, которую можно получить одной попыткой линейной аппроксимации функции y=x^2 в интервале . Оценка имеет максимальную абсолютную ошибку 1,2 в точке a=100 и максимальную относительную ошибку в 30% в точках S=1 и 10^[3].

Чтобы разделить на 10, вычитаем единицу из показателя степени или, образно говоря, передвигаем десятичную запятую на одну позицию влево. Для этой формулы любая добавленная константа, равная 1 плюс маленькое приращение, даёт удовлетворительную оценку, так что запоминать точное число нет необходимости. Аппроксимация (округлённая или не округлённая) с помощью одной прямой, стягивающей область по точности даёт не более одного верного знака. Относительная ошибка более чем 1/2², так что даёт менее 2 битов информации. Точность сильно ограничена, поскольку область охватывает два порядка, что достаточно большая величина для такого рода оценок.

Существенно лучшую оценку можно получить при помощи кусочно–линейной аппроксимации, то есть с помощью нескольких отрезков, которые приближают поддугу исходной дуги. Чем больше отрезков используется, тем лучше приближение. Наиболее употребительно применение касательных. Критичным моментом является как делить дугу и где располагать точки касания. Действенным методом деления дуги от y=1 до y=100 является геометрический — для двух интервалов границей интервалов является квадратный корень исходного интервала, 1*100, то есть и . Для трёх интервалов будут кубические корни — ${displaystyle [1,{sqrt[{3}]{100}}],[{sqrt[{3}]{100}},({sqrt[{3}]{100}})^{2}]}$ , и ${displaystyle [({sqrt[{3}]{100}})^{2},100]}$ , и так далее. Для двух интервалов является очень удобным числом. Легко получить касательные прямые в точках касания и . Их уравнения: и . Обращая уравнения, получим, что квадратные корни равны и . Тогда для ${displaystyle S=acdot 10^{2n}}$ :

${displaystyle {sqrt {S}}approx {begin{cases}(0{,}28a+0{,}89)cdot 10^{n}&{text{если }}a<10,\(0{,}089a+2{,}8)cdot 10^{n}&{text{если }}ageqslant 10.end{cases}}}$

Максимальные абсолютные значения оказываются в правых границах интервалов, в точках a=10 и 100, и равны 0,54 и 1,7 соответственно. Максимальные относительные ошибки появляются на концах интервалов, в точках a=1, 10 и 100, и равны 17%. 17% или 0,17. Они больше, чем 1/10, так что метод даёт точность менее одной значащей цифры.

Гиперболическая оценка[править | править код]

В некоторых случаях может оказаться действенной гиперболическая оценка, поскольку гипербола также является выпуклой кривой и может лежать вдоль дуги Y = x² лучше, чем прямая. Гиперболическая оценка вычислительно более сложная, поскольку для неё нужно деление на число с плавающей запятой. Почти оптимальной гиперболической аппроксимацией к x² на интервале является . После преобразования получим . Тогда для ${displaystyle S=acdot 10^{2n}}$ :

${displaystyle {sqrt {S}}approx left({frac {-190}{a+20}}+10right)cdot 10^{n}}$

Деление с плавающей запятой должно быть с точностью до одного десятичного знака, поскольку вся оценка даёт такую точность, и такое деление можно выполнить в уме. Гиперболическая оценка в среднем лучше, чем скалярная или линейная оценка. Её максимальная абсолютная ошибка составляет 1,58 в точке 100, а максимальная относительная ошибка составляет 16,0% в точке 10. Для худшего случая a=10 оценка равна 3,67. Если начать с 10 и применять итерации Нютона-Рапсона напрямую, требуется две итерации, которые дают 3,66, прежде чем достичь точности гиперболической оценки. Для более типичного случая наподобие 75 гиперболическая оценка даёт 8,00 и требуется 5 итераций Ньютона-Рапсона с начальным значением 75, чтобы получить более точный результат.

Арифметическая оценка[править | править код]

Метод, аналогичный кусочно-линейной аппроксимации, но использующий лишь арифметические операции вместо алгебраических уравнений, использует таблицу умножения в обратную сторону — квадратный корень чисел между 1 и 100 где-то между 1 и 10, так что, поскольку мы знаем, что 25 является точным квадратом (5 × 5) и 36 является точным квадратом (6 × 6), то квадратный корень из числа, которое больше 25, но меньше 36, начинается с цифры 5. Аналогично для чисел между другими квадратами. Этот метод даёт правильный первый знак, но точность его всего одна цифра — первая цифра квадратного корня из 35, например, равна 5, но сам корень из 35 почти равен 6.

Лучше делить интервал между двумя квадратами пополам. Так что корень любого числа между 25 и половины пути до 36 (что есть 30,5) оценивается как 5, остальные числа, большие 30,5 вплоть до 36 оцениваются как 6^[4]. Процедура требует очень мало арифметики для нахождения середины двух произведений из таблицы. Вот таблица таких чисел:

a	nearest square	est.
1 to 2,5	1 (= 1²)	1
2,5 to 6,5	4 (= 2²)	2
6,5 to 12,5	9 (= 3²)	3
12,5 to 20,5	16 (= 4²)	4
20,5 to 30,5	25 (= 5²)	5
30,5 to 42,5	36 (= 6²)	6
42,5 to 56,5	49 (= 7²)	7
56,5 to 72,5	64 (= 8²)	8
72,5 to 90,5	81 (= 9²)	9
90,5 to 100	100 (= 10²)	10

Конечной операцией будет умножение оценки k на степень десятки, делённой пополам, так что для ${displaystyle S=acdot 10^{2n}}$ ,

${displaystyle {sqrt {S}}approx kcdot 10^{n}}$

Метод даёт точность в одну значащую цифру, поскольку он округляет до лучшей первой цифры.

Метод можно распространить до 3 значащих цифр в большинстве случаев, интерполируя между ближайшими квадратами. Если ${displaystyle k^{2}leqslant a<(k+1)^{2}}$ , то примерно равен k плюс дробь, равная разности a и $k^{2}$ , делённой на разность между двумя квадратами:

где ${displaystyle R={frac {(a-k^{2})}{(k+1)^{2}-k^{2}}}}$

Конечной операцией, как и выше, служит умножение результата на степень десятки, делённой пополам

${displaystyle {sqrt {S}}={sqrt {a}}cdot 10^{n}approx (k+R)cdot 10^{n}}$

Число k есть десятичная цифра, а R есть дробь, которую следует превратить в десятичную. Дробь имеет обычно одну цифру в числителе и одну или две цифры в знаменателе, так что преобразование в десятичную дробь можно провести в уме.

Пример: найти квадратный корень из 75. ${displaystyle 75=75times 10^{2cdot 0}}$ , так что a равно 75, а n равно 0. Исходя из таблицы умножения квадратный корень мантиссы должен быть 8 с дробью, поскольку , а , слишком велико. Так что k равно 8 с дробью является десятичным представлением R. Дробь R имеет ${displaystyle 75-k^{2}=11}$ в числителе и ${displaystyle 81-k^{2}=17}$ в знаменателе. 11/17 чуть меньше, чем 12/18, что равно 2/3 или 0,67, так что 0,66 является хорошим предположением (здесь можно ограничиться и предположением поскольку ошибка мала). Так что оценка корня равна . √75 до трёх значащих цифр будет 8,66, так что оценка до трёх значащих цифр хорошая. Не все оценки с помощью такого метода столь точны, но они довольно близки.

Двоичная оценка[править | править код]

Когда работа ведётся в двоичной системе счисления (скажем, в процессоре компьютера), выражается как ${displaystyle atimes 2^{2n}}$ , где ${displaystyle 0{,}1_{2}leqslant a<10_{2}}$ , квадратный корень ${displaystyle {sqrt {S}}={sqrt {a}}times 2^{n}}$ можно оценить величиной

${displaystyle {sqrt {S}}approx (0{,}485+0{,}485cdot a)cdot 2^{n}}$

что является регрессией методом наименьших квадратов по 3 старшим битам. имеет максимальную абсолютную ошибку 0,0408 в точке =2 и максимальную относительную ошибку в 3,0% в точке =1. Для вычислений удобна округлённая оценка (поскольку коэффициенты являются степенями 2)

${displaystyle {sqrt {S}}approx (0{,}5+0{,}5cdot a)cdot 2^{n}}$

^[5]

которая имеет максимальную абсолютную ошибку 0,086 в точке 2 и максимальную относительную ошибку в 6,1% в точках и .

Для ${displaystyle S=125348=1;1110;1001;1010;0100_{2}=1{,}1110;1001;1010;0100_{2}times 2^{16},}$ двоичное приближение даёт ${displaystyle {sqrt {S}}approx (0{,}5+0{,}5cdot a)cdot 2^{8}=1{,}0111;0100;1101;0010_{2}cdot 1;0000;0000_{2}=1{,}456cdot 256=372{,}8.}$ Поскольку , оценка даёт абсолютную ошибку в 19 и относительную ошибку 5,3%. Относительная ошибка чуть меньше 1/2⁴, так что приближение даёт точность до 4+ бит.

Оценку для с точностью до 8 бит можно получить путём просмотра таблицы по старшим 8 битам , учитывая, что старший бит задаётся неявно в большинстве представлений чисел с плавающей запятой, а младшие биты после 8 бит должны быть округлены. Таблица содержит 256 байт заранее вычисленных 8-битных квадратных корней. Например, для индекса 11101101₂, что в десятичной системе равно 1,8515625₁₀, значение в таблице равно 10101110₂, что в десятичной системе равно 1,359375₁₀, квадратному корню числа 1,8515625₁₀ с точностью до 8 бит (2+ десятичных знака).

Вавилонский метод[править | править код]

Полулогарифмические графики сравнения скорости сходимости вавилонского метода нахождения квадратного корня для 100 различных начальных значений. Отрицательное начальное значение приводит к отрицательному корню. Заметим, что более близкие к корню значения сходятся быстрее, и все приближения являются завышенными. В SVG файле наведите курсор мыши на конкретный график, чтобы видеть точки этого графика.

Возможно первым алгоритмом, используемым для аппроксимации , является метод, известный как вавилонский метод, несмотря на то, что нет никаких прямых свидетельств, за исключением гипотетических умозаключений, что вавилонские математики использовали этот метод^[6]. Метод известен также как метод Герона, по имени греческого математика первого столетия Герона, который дал первое явное описание метода в своей работе 60 года Метрика^[7].Основная методика заключается в том, что если x больше квадратного корня неотрицательного вещественного числа S то ${displaystyle {tfrac {S}{x}}}$ будет меньше корня и наоборот. Так что среднее этих двух чисел резонно ожидать более близким к корню (формальное доказательство этого факта основывается на неравенстве о среднем арифметическом, геометрическом и гармоническом, которое показывает, что это среднее всегда больше квадратного корня, что обеспечивает сходимость). Метод эквивалентен использованию метода Ньютона для решения уравнения ${displaystyle x^{2}-S=0}$ .

Точнее, если x является начальным приближением для , а ошибка в нашей оценке, такая что ${displaystyle S=(x+varepsilon )^{2}}$ , мы можем раскрыть скобки и получим

${displaystyle varepsilon ={frac {S-x^{2}}{2x+varepsilon }}approx {frac {S-x^{2}}{2x}},}$

поскольку

Следовательно, мы можем компенсировать ошибку и обновить нашу старую оценку

${displaystyle x+varepsilon approx x+{frac {S-x^{2}}{2x}}={frac {S+x^{2}}{2x}}={frac {{frac {S}{x}}+x}{2}}equiv x_{text{обновлённый}}}$

Поскольку вычисленная ошибка не была точной, она станет нашим следующим приближением. Процесс обновления продолжается пока не достигнем нужной точности. Это алгоритм с квадратичной сходимостью, что означает, что число верных цифр приближения (грубо говоря) удваивается с каждой итерацией. Работает он так:

Начинаем с любого положительного начального значения $x_{0}$ (чем ближе к истинному квадратному корню числа S, тем лучше).
Положим $x_{{n+1}}$ равным среднему между $x_{n}$ и ${displaystyle {tfrac {S}{x_{n}}}}$ (используем среднее арифметическое для аппроксимации среднего геометрического).
Повторяем шаг 2 пока не достигнем нужной точности.

Алгоритм можно представить следующим образом:

${displaystyle x_{0}approx {sqrt {S}},}$

${displaystyle x_{n+1}={frac {1}{2}}left(x_{n}+{frac {S}{x_{n}}}right),}$

${displaystyle {sqrt {S}}=lim _{nto infty }x_{n}.}$

Алгоритм работает также хорошо и для p-адических чисел, но не может быть использован для отождествления вещественных квадратных корней с p-адичными квадратными корнями. Можно, например, построить последовательность рациональных чисел, полученных этим методом, которая сходится к +3 в случае вещественных чисел, но к -3 в 2-адичных числах.

Пример[править | править код]

Для вычисления √S, где S = 125348, с точностью до шести значащих цифр используем метод грубой оценки, описанный выше

${displaystyle {begin{aligned}{begin{array}{rlll}x_{0}&=6cdot 10^{2}&&=600{,}000\[0,3em]x_{1}&={frac {1}{2}}left(x_{0}+{frac {S}{x_{0}}}right)&={frac {1}{2}}left(600{,}000+{frac {125348}{600{,}000}}right)&=404{,}457\[0.3em]x_{2}&={frac {1}{2}}left(x_{1}+{frac {S}{x_{1}}}right)&={frac {1}{2}}left(404{,}457+{frac {125348}{404{,}457}}right)&=357{,}187\[0.3em]x_{3}&={frac {1}{2}}left(x_{2}+{frac {S}{x_{2}}}right)&={frac {1}{2}}left(357{,}187+{frac {125348}{357{,}187}}right)&=354{,}059\[0.3em]x_{4}&={frac {1}{2}}left(x_{3}+{frac {S}{x_{3}}}right)&={frac {1}{2}}left(354{,}059+{frac {125348}{354{,}059}}right)&=354{,}045\[0.3em]x_{5}&={frac {1}{2}}left(x_{4}+{frac {S}{x_{4}}}right)&={frac {1}{2}}left(354{,}045+{frac {125348}{354{,}045}}right)&=354{,}045end{array}}end{aligned}}}$

Поэтому .

Сходимость[править | править код]

Предположим, что x₀ > 0 и S > 0. Тогда для любого n x_n > 0. Относительная ошибка^[en] x_n определена как

${displaystyle varepsilon _{n}={frac {x_{n}}{sqrt {S}}}-1>-1}$

а тогда

${displaystyle x_{n}={sqrt {S}}cdot (1+varepsilon _{n}).}$

Теперь можно показать, что

${displaystyle varepsilon _{n+1}={frac {varepsilon _{n}^{2}}{2(1+varepsilon _{n})}}geqslant 0.}$

а следовательно

${displaystyle varepsilon _{n+2}leqslant min left{{frac {varepsilon _{n+1}^{2}}{2}},{frac {varepsilon _{n+1}}{2}}right}}$

а отсюда следует гарантированная сходимость и эта сходимость квадратичная.

Сходимость в худшем случае[править | править код]

Если использовать метод грубой оценки с вавилонским методом, то наихудшие случаи точности в нисходящей последовательности:

${displaystyle {begin{aligned}S&=1;&x_{0}&=2;&x_{1}&=1{,}250;&varepsilon _{1}&=0{,}250.\S&=10;&x_{0}&=2;&x_{1}&=3{,}500;&varepsilon _{1}&<0{,}107.\S&=10;&x_{0}&=6;&x_{1}&=3{,}833;&varepsilon _{1}&<0{,}213.\S&=100;&x_{0}&=6;&x_{1}&=11{,}333;&varepsilon _{1}&<0{,}134.end{aligned}}}$

А тогда в любом случае

${displaystyle varepsilon _{1}leqslant 2^{-2}.,}$

${displaystyle varepsilon _{2}<2^{-5}<10^{-1}.,}$

${displaystyle varepsilon _{3}<2^{-11}<10^{-3}.,}$

${displaystyle varepsilon _{4}<2^{-23}<10^{-6}.,}$

${displaystyle varepsilon _{5}<2^{-47}<10^{-14}.,}$

${displaystyle varepsilon _{6}<2^{-95}<10^{-28}.,}$

${displaystyle varepsilon _{7}<2^{-191}<10^{-57}.,}$

${displaystyle varepsilon _{8}<2^{-383}<10^{-115}.,}$

Ошибки округления ослабляют сходимость. Рекомендуется хранить по меньшей мере одну лишнюю цифру выше желаемой точности x_n, чтобы минимизировать ошибки округления.

Метод Бакхшали[править | править код]

Этот метод для поиска приближения квадратного корня был написан в древнеиндийской рукописи, называемой манускриптом Бакхшали. Метод эквивалентен двум итерациям вавилонского метода с начальным значением x₀. Таким образом, алгоритм является квадратично сходящимся, что означает, что число верных знаков приближения увеличивается примерно в четыре раза с каждой итерацией^[8]. Представление алгоритма в современной нотации следующее: Следует вычислить , пусть x₀² будет начальным приближением к корню S. Последовательно выполняются итерации

${displaystyle {begin{aligned}a_{n}&={frac {S-x_{n}^{2}}{2x_{n}}},\b_{n}&=x_{n}+a_{n},\x_{n+1}&=b_{n}-{frac {a_{n}^{2}}{2b_{n}}}=(x_{n}+a_{n})-{frac {a_{n}^{2}}{2(x_{n}+a_{n})}}.end{aligned}}}$

Это можно использовать для построения рационального приближения к квадратному корню, начав с целого числа. Если ${displaystyle x_{0}=N}$ — это целое число, выбранное так, что N^2 близко к S, и ${displaystyle d=S-N^{2}}$ — это разность, абсолютная величина которой минимизируется, то первую итерацию можно записать следующим образом:

${displaystyle {sqrt {S}}approx N+{frac {d}{2N}}-{frac {d^{2}}{8N^{3}+4Nd}}={frac {8N^{4}+8N^{2}d+d^{2}}{8N^{3}+4Nd}}={frac {N^{4}+6N^{2}S+S^{2}}{4N^{3}+4NS}}={frac {N^{2}(N^{2}+6S)+S^{2}}{4N(N^{2}+S)}}.}$

Метод Бакхшали может быть обобщён для вычисления произвольного корня, включая дробные корни^[9].

Пример[править | править код]

Используем тот же пример, что был приведён для вавилонского метода. Пусть Тогда первая итерация даёт

${displaystyle {begin{aligned}x_{0}&=600\a_{1}&={frac {125348-600^{2}}{2times 600}}&&=&-195{,}543\b_{1}&=600+(-195{,}543)&&=&404{,}456\x_{1}&=404{,}456-{frac {(-195{,}543)^{2}}{2times 404{,}456}}&&=&357{,}186end{aligned}}}$

Аналогично вторая итерация даёт

${displaystyle {begin{aligned}a_{2}&={frac {125348-357{,}186^{2}}{2times 357{,}186}}&&=&-3{,}126\b_{2}&=357{,}186+(-3{,}126)&&=&354{,}060\x_{2}&=354{,}06-{frac {(-3{,}1269)^{2}}{2times 354{,}06}}&&=&354{,}046end{aligned}}}$

Цифра за цифрой[править | править код]

Это метод последовательного поиска каждой цифры квадратного корня. Метод медленнее вавилонского, но имеет некоторые преимущества

Он проще для вычислений вручную.
Каждый найденный знак корня заведомо верный, то есть он не будет изменён на следующих итерациях.
Если представление квадратного корня имеет конечное число цифр, алгоритм завершается после последней найденной цифры. Таким образом, он может быть использован для проверки, что данное число является полным квадратом.
Алгоритм работает в любой системе счисления, и естественно, работа алгоритма зависит от выбранной системы счисления.

Палочки Непера включают дополнительные средства для выполнения этого алгоритма. Алгоритм вычисления n-го корня цифра за цифрой^[en] является обобщением этого метода.

Основной принцип[править | править код]

Рассмотрим сначала случай нахождения квадратного корня из числа Z, являющегося квадратом двузначного числа XY, где X — это цифра десятков, а Y — цифра единиц. Имеем:

${displaystyle Z=(10X+Y)^{2}=100X^{2}+20XY+Y^{2}}$

Сначала определим значение X. X — это наибольшая цифра, такая что X² не превосходит Z, от которого отброшены две последние цифры.

На следующей итерации соединяем пару цифр, умножая X на 2 и помещая результат в позицию десятков, а затем пытаемся найти, чему же равно Y.

Поскольку в нашем случае ответом является точный квадратный корень, алгоритм останавливается.

Та же идея может быть распространена на вычисление произвольного квадратного корня. Представим, что мы можем найти квадратный корень из N как сумму n положительных чисел, таких что

${displaystyle N=(a_{1}+a_{2}+a_{3}+dotsb +a_{n})^{2}.}$

Путём многократного использования тождества

${displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2},}$

правую часть можно представить в виде

${displaystyle {begin{aligned}&(a_{1}+a_{2}+a_{3}+dotsb +a_{n})^{2}\=&,a_{1}^{2}+2a_{1}a_{2}+a_{2}^{2}+2(a_{1}+a_{2})a_{3}+a_{3}^{2}+dotsb +a_{n-1}^{2}+2left(sum _{i=1}^{n-1}a_{i}right)a_{n}+a_{n}^{2}\=&,a_{1}^{2}+[2a_{1}+a_{2}]a_{2}+[2(a_{1}+a_{2})+a_{3}]a_{3}+dotsb +left[2left(sum _{i=1}^{n-1}a_{i}right)+a_{n}right]a_{n}.end{aligned}}}$

Это выражение позволяет нам найти квадратный корень последовательным подбором значений $a_{i}$ . Предположим, что числа ${displaystyle a_{1},ldots ,a_{m-1}}$ уже подобраны, тогда m-й член задаётся выражением ${displaystyle Y_{m}=[2P_{m-1}+a_{m}]a_{m},}$ , где ${displaystyle P_{m-1}=sum _{i=1}^{m-1}a_{i}}$ является найденным приближением к квадратному корню. Теперь каждый новый подбор a_m должен удовлетворять рекурсии

${displaystyle X_{m}=X_{m-1}-Y_{m},}$

так что ${displaystyle X_{m}geqslant 0}$ для всех при начальном значении ${displaystyle X_{0}=N.}$ Если ${displaystyle X_{n}=0,}$ найден точный квадратный корень. Если нет, то сумма $a_{i}$ даёт подходящую аппроксимацию к квадратному корню и X_n будет ошибкой аппроксимации.

Например, в десятичной системе мы имеем

${displaystyle N=(a_{1}cdot 10^{n-1}+a_{2}cdot 10^{n-2}+cdots +a_{n-1}cdot 10+a_{n})^{2},}$

где ${displaystyle 10^{n-i}}$ являются указателями положения цифр, а коэффициенты ${displaystyle a_{i}in {0,1,2,ldots ,9}}$ . На каждом m-м шаге вычисления квадратного корня находится приближённый квадратный корень. Величина ${displaystyle P_{m-1}}$ и суммируемые члены $Y_{m}$ задаются формулами

${displaystyle P_{m-1}=sum _{i=1}^{m-1}a_{i}cdot 10^{n-i}=10^{n-m+1}sum _{i=1}^{m-1}a_{i}cdot 10^{m-i-1},}$

${displaystyle Y_{m}=[2P_{m-1}+a_{m}cdot 10^{n-m}]a_{m}cdot 10^{n-m}=left[20sum _{i=1}^{m-1}a_{i}cdot 10^{m-i-1}+a_{m}right]a_{m}cdot 10^{2(n-m)}.}$

Поскольку указатели положения $Y_{m}$ имеют чётную степень 10, нам нужно работать только с парой старших цифр в оставшемся члене ${displaystyle X_{m-1}}$ на любом m-м шаге. Раздел ниже систематизирует эту процедуру.

Очевидно, что подобный метод может быть использован для вычисления квадратного корня в любой системе счисления, не обязательно в десятичной. Например, нахождение цифра за цифрой квадратного корня в двоичной системе довольно эффективно, поскольку значение $a_{i}$ ищется в малом наборе цифр {0,1}. Это делает вычисление более быстрым, поскольку на каждом шаге значение $Y_{m}$ либо равно ${displaystyle Y_{m}=0}$ для ${displaystyle a_{m}=0}$ , либо ${displaystyle Y_{m}=2P_{m-1}+1}$ для ${displaystyle a_{m}=1}$ . Факт, что имеется всего две возможности для a_m также делает проще процесс выбора значения a_m на m-м шаге вычислений. Это потому, что нам нужно лишь проверить, что ${displaystyle Y_{m}leqslant X_{m-1}}$ для ${displaystyle a_{m}=1.}$ Если это условие выполняется, мы берём ${displaystyle a_{m}=1}$ ; а если не выполняется, то берём ${displaystyle a_{m}=0.}$ Также факт, что умножение на 2 осуществляется сдвигом влево, помогает при вычислениях.

Десятичная система счисления[править | править код]

Запишем исходное число в десятичном виде. Числа, записываются по аналогии алгоритму деления столбиком, и, как и в длинном делении, квадратный корень будет писаться в верхней строке. Теперь разобьём цифры на пары, начиная с запятой, в обе стороны от неё. Десятичная запятая квадратного корня будет на десятичной запятой квадрата. Одна цифра квадратного корня записывается над парой цифр квадрата.

Начиная с крайне левой позиции выполняем следующую процедуру для каждой пары цифр:

Сносим вниз старшую пару ещё неиспользованных цифр (если все цифры использованы, пишем “00”) и записываем их справа от остатка предыдущего шага (на первом шаге остатка нет). Другими словами, умножаем остаток на 100 и добавляем две цифры. Это будет текущим значением c.
Находим p, y и x следующим образом:
Вычитаем y из c для образования нового остатка.
Если остаток равен нулю и нет больше цифр, которые можно спустить вниз, алгоритм останавливается. В противном случае возвращаемся на шаг 1 и выполняем следующую итерацию.

Примеры[править | править код]

Находим квадратный корень из 152,2756.

          1  2. 3  4 
       /
     /  01 52,27 56

         01                   1*1 <= 1 < 2*2                 x = 1
         01                     y = x*x = 1*1 = 1
         00 52                22*2 <= 52 < 23*3              x = 2
         00 44                  y = (20+x)*x = 22*2 = 44
            08 27             243*3 <= 827 < 244*4           x = 3
            07 29               y = (240+x)*x = 243*3 = 729
               98 56          2464*4 <= 9856 < 2465*5        x = 4
               98 56            y = (2460+x)*x = 2464*4 = 9856
               00 00          Алгоритм останавливается: Ответ 12,34

Двоичная система счисления[править | править код]

Этот раздел использует формализм раздела «Вычисление цифра за цифрой» с небольшими изменениями, что ${displaystyle N^{2}=(a_{n}+dotsb +a_{0})^{2}}$ , а каждое a_m равно $2^{m}$ или .
Теперь мы пробегаем по всем $2^{m}$ от $2^{n}$ вниз до 2^0 и строим приближённое решение ${displaystyle P_{m}=a_{n}+a_{n-1}+ldots +a_{m}}$ в виде суммы всех $a_{i}$ , для которых мы найдём значение.
Чтобы определить, равно ли a_m значению $2^{m}$ или , мы берём ${displaystyle P_{m}=P_{m+1}+2^{m}}$ . Если ${displaystyle P_{m}^{2}leqslant N^{2}}$ (то есть квадрат нашего приближения включая $2^{m}$ не превосходит исходного квадрата), то полагаем ${displaystyle a_{m}=2^{m}}$ , в противном случае полагаем ${displaystyle a_{m}=0}$ и ${displaystyle P_{m}=P_{m+1}}$ .
Чтобы избежать возведения в квадрат ${displaystyle P_{m}}$ на каждом шаге, мы запоминаем разность ${displaystyle X_{m}=N^{2}-P_{m}^{2}}$ и обновляем её на каждой итерации, полагая ${displaystyle X_{m}=X_{m+1}-Y_{m}}$ с ${displaystyle Y_{m}=P_{m}-P_{m+1}=2P_{m+1}a_{m}+a_{m}^{2}}$ .
Первоначально мы устанавливаем ${displaystyle a_{n}=P_{n}=2^{n}}$ для наибольшего с ${displaystyle (2^{n})^{2}=4^{n}leqslant N^{2}}$ .

В качестве дополнительной оптимизации сохраняем ${displaystyle P_{m+1}2^{m+1}}$ и ${displaystyle (2^{m})^{2}}$ , два члена $Y_{m}$ в случае, когда a_m не нуль, в отдельных переменных ${displaystyle c_{m}}$ , ${displaystyle d_{m}}$ :

${displaystyle c_{m}=P_{m+1}2^{m+1}}$

${displaystyle d_{m}=(2^{m})^{2}}$

${displaystyle Y_{m}={begin{cases}c_{m}+d_{m}&{text{если }}a_{m}=2^{m}\0&{text{если }}a_{m}=0end{cases}}}$

${displaystyle c_{m}}$ и ${displaystyle d_{m}}$ можно эффективно обновлять на каждом шаге:

${displaystyle c_{m-1}=P_{m}2^{m}=(P_{m+1}+a_{m})2^{m}=P_{m+1}2^{m}+a_{m}2^{m}={begin{cases}c_{m}/2+d_{m}&{text{если }}a_{m}=2^{m}\c_{m}/2&{text{если }}a_{m}=0end{cases}}}$

${displaystyle d_{m-1}={frac {d_{m}}{4}}}$

Заметим, что

${displaystyle c_{-1}=P_{0}2^{0}=P_{0}=N}$

, что является конечным результатом, возвращаемым функцией, представленной ниже.

Реализация алгоритма на языке C^[10]:

int32_t isqrt(int32_t n) 
{ assert(("входное значение должно быть неотрицательным", n > 0));
  int32_t x = n;    // 
  int32_t c = 0;    // 
  //  начинается с наибольшей степени четырёх <= n
  int32_t d = 1 << 30; // Второй старший бит устанавливаем в 1.
                        // То же самое, что ((unsigned)INT32_MAX + 1) / 2.
  while (d > n) d >>= 2;
  while (d != 0)    // для 
  { if (x >= c + d) // если , то 
    { x -= c + d;       // 
     c = (c >> 1) + d;  // 
   } else
          c >>= 1;      // 
    d >>= 2;            // 
  }
  return c;             // 
}

Можно реализовать более быстрый алгоритм как в двоичной, так и в десятичной системе счисления, если использовать таблицы для выбора, то есть реализация принципа использование больше памяти сокращает время исполнения^[11].

Экспоненциальное тождество[править | править код]

Карманные калькуляторы обычно реализуют хорошие программы вычисления экспоненты и натурального логарифма. Вычисление квадратного корня S тогда производится с помощью свойств логарифмов ( ${displaystyle ln x^{n}=nln x}$ ) и экспоненты ( ${displaystyle e^{ln x}=x}$ ):

${displaystyle {sqrt {x}}=e^{{frac {1}{2}}ln x},,x>0.}$

Или в более общем случае:

${displaystyle {sqrt[{n}]{x}}=e^{{frac {1}{n}}ln x},,x>0.}$

Знаменатель дроби n соответствует степени корня. В случае квадратного корня знаменатель равен 2. То же самое тождество используется для вычисления квадратного корня с помощью таблиц логарифмов или логарифмических линеек.

Такой метод вычисления квадратного корня удобен для калькуляторов, поскольку они обычно не критичны ко времени выполнения операции. Однако ресурсоемкость данного метода делает его малопригодным для использования в ЭВМ, где простые арифметические операции должны обладать минимальными задержками. Тем не менее описанный метод вычисления квадратного корня применялся в ЭВМ ZX Spectrum.

Итеративный метод с двумя переменными[править | править код]

Этот метод применим для поиска квадратного корня из и лучше всего сходится для .
Это, однако, не является существенным ограничением для вычислений на компьютерах, поскольку в представлениях двоичных чисел с плавающей запятой и с фиксированной запятой тривиально умножить на целую степень числа 4, с последующей коррекцией на нужную степень 2 путём изменения экспоненты или сдвигом соответственно. Таким образом, может быть сдвинуто в пределы ${displaystyle {frac {1}{2}}leqslant S<2}$ . Более того, приведённый ниже метод не использует делений общего вида, а только сложение, вычитание, умножение и деление на степень двойки. Последнее из этих действий тривиально реализуется. Недостатком метода является накопление ошибки, в отличие от итеративных методов с одной переменной, таких как вавилонский.

Начальный шаг метода

${displaystyle a_{0}=S,!}$

${displaystyle c_{0}=S-1,!}$

Итерационные шаги

${displaystyle a_{n+1}=a_{n}-a_{n}c_{n}/2,!}$

${displaystyle c_{n+1}=c_{n}^{2}(c_{n}-3)/4,!}$

Тогда ${displaystyle a_{n}rightarrow {sqrt {S}}}$ (при ${displaystyle c_{n}rightarrow 0}$ ).

Заметим, что сходимость ${displaystyle c_{n},!}$ , а потому и ${displaystyle a_{n},!}$ , квадратична.

Доказательство метода достаточно простое. Сначала перепишем итерационное определение ${displaystyle c_{n},!}$ как

${displaystyle 1+c_{n+1}=(1+c_{n})(1-c_{n}/2)^{2},!}$

Теперь «в лоб» доказывается, что

${displaystyle S(1+c_{n})=a_{n}^{2}}$

а потому сходимость ${displaystyle a_{n},!}$ к желаемому результату обеспечивается сходимостью ${displaystyle c_{n},!}$ к 0, что, в свою очередь, вытекает из ${displaystyle -1<c_{0}<2,!}$ .

Этот метод разработали около 1950 года М. В. Уилкс, Д. Дж. Уилер и С. Гилл^[12] для использования в EDSAC, одном из первых электронных компьютеров^[13]. Позднее метод был обобщён на неквадратные корни^[14].

Итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню числа[править | править код]

Далее приведены итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню из S числа, то есть . Если такое значение найдено, находим просто умножением: . Эти итерации используют только умножение и не используют деления. Потому методы быстрее, чем вавилонский метод. Однако методы нестабильны, если начальное значение не близко к обратному к корню значению, итерации расходятся. Поэтому может быть выгодным сначала сделать итерацию вавилонским методом для грубой оценки корня перед началом использования этих методов.

Алгоритм Гольдшмидта[править | править код]

Некоторые компьютеры используют алгоритм Гольдшмидта для одновременного вычисления и .
Алгоритм Гольдшмидта находит быстрее, чем итерация Ньютона-Рапсона, на компьютерах с операциями совмещённого умножения-сложения и имеющих либо конвейерный процессор плавающей запятой, либо два независимых процессора плавающей запятой^[15].

Первый способ записи алгоритма Гольдшмидта начинается с

${displaystyle b_{0}=S}$

${displaystyle Y_{0}approx 1/{sqrt {S}}}$

(обычно используется поиск в таблице)

${displaystyle y_{0}=Y_{0}}$

${displaystyle x_{0}=Sy_{0}}$

и осуществляются итерации

${displaystyle b_{n+1}=b_{n}Y_{n}^{2}}$

${displaystyle Y_{n+1}=(3-b_{n+1})/2}$

${displaystyle x_{n+1}=x_{n}Y_{n+1}}$

${displaystyle y_{n+1}=y_{n}Y_{n+1}}$

пока $b_{i}$ не окажется достаточно близко к 1 или не будет проведено фиксированное число итераций. Итерации сходятся к

${displaystyle lim _{nto infty }x_{n}={sqrt {S}}}$

${displaystyle lim _{nto infty }y_{n}=1/{sqrt {S}}}$

Заметим, что можно опустить вычисление $x_{n}$ или $y_{n}$ , а если оба значения желательны, то ${displaystyle x_{n}=Sy_{n}}$ можно использовать в конце вместо вычисления на каждой итерации.

Второй способ, использующий операции совмещённого умножения-сложения начинается с

${displaystyle y_{0}approx 1/{sqrt {S}}}$

(обычно используется поиск в таблице)

${displaystyle x_{0}=Sy_{0}}$

${displaystyle h_{0}=y_{0}/2}$

и осуществляются итерации

${displaystyle r_{n}=0{,}5-x_{n}h_{n}}$

${displaystyle x_{n+1}=x_{n}+x_{n}r_{n}}$

${displaystyle h_{n+1}=h_{n}+h_{n}r_{n}}$

пока $r_{i}$ не станет достаточно близко к 0, либо не будет осуществлено фиксированное число итераций. Значения сходятся к

${displaystyle lim _{nto infty }x_{n}={sqrt {S}}}$

${displaystyle lim _{nto infty }2h_{n}=1/{sqrt {S}}}$

Ряды Тейлора[править | править код]

Если N является приближением к , лучшее приближения может быть найдено использованием ряда Тейлора функции квадратного корня:

${displaystyle {sqrt {N^{2}+d}}=Nsum _{n=0}^{infty }{frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}{frac {d^{n}}{N^{2n}}}=Nleft(1+{frac {d}{2N^{2}}}-{frac {d^{2}}{8N^{4}}}+{frac {d^{3}}{16N^{6}}}-{frac {5d^{4}}{128N^{8}}}+cdots right)}$

Порядок сходимости равен числу используемых членов ряда. При использовании двух членов метод эквивалентен вавилонскому методу. При использовании трёх членов каждая итерация использует почти столько же операций, сколько использует приближение Бакхшали, но сходимость слабее. Поэтому этот метод не является особенно эффективным способом вычисления. Для максимизации скорости сходимости, следует выбрать N так, чтобы ${displaystyle {frac {|d|}{N^{2}}},}$ было как можно меньше.

Разложение в цепную дробь[править | править код]

Квадратичные иррациональности (числа вида ${displaystyle {frac {a+{sqrt {b}}}{c}}}$ , где a, b и c целые числа), и, в частности, квадратные корни из целых чисел, имеют периодические цепные дроби^[en]. Иногда целью является не нахождение численного значения квадратного корня, а его разложение в цепную дробь, а следовательно его рационального приближения. Пусть S будет положительным числом, корень из которого требуется найти. Теперь пусть a будет начальным приближением, а r будет остаточным членом, тогда мы можем записать ${displaystyle S=a^{2}+r.}$ Поскольку мы имеем ${displaystyle S-a^{2}=({sqrt {S}}+a)({sqrt {S}}-a)=r}$ , мы можем выразить квадратный корень из S как

${displaystyle {sqrt {S}}=a+{frac {r}{a+{sqrt {S}}}}.}$

Применяя это выражение для к знаменателю дроби, получим

${displaystyle {sqrt {S}}=a+{frac {r}{a+(a+{frac {r}{a+{sqrt {S}}}})}}=a+{frac {r}{2a+{frac {r}{a+{sqrt {S}}}}}}.}$

Компактная запись

Числитель/знаменатель разложения для непрерывных дробей (см. слева) затруднительно записывать, а также трудно укладывается в существующую систему форматирования документов. По этой причине была разработана специальная нотация для компактного представления целой и периодической частей непрерывных дробей. Одно из таких соглашений использует лексическую «ломаную линию» для представления черты между числителем и знаменателем, что позволяет записывать дробь горизонтально, а не вертикально:

${displaystyle {sqrt {S}}=a+{frac {r|}{|2a}}+{frac {r|}{|2a}}+{frac {r|}{|2a}}+cdots }$

Здесь каждая горизонтальная черта (в дроби) представлена тремя чертами — двумя вертикальными и одной горизонтальной, которые отделяют от .

Ещё более компактная нотация имеет специальный вид

Для периодических непрерывных дробей (которыми являются все квадратные корни), повторяющаяся часть указывается лишь один раз с чертой над повторяющейся частью:

Для √2 значение равно 1, так что представлением будет

Следуя этим путём мы получаем обобщённую непрерывную дробь^[en] для квадратного корня
${displaystyle {sqrt {S}}=a+{cfrac {r}{2a+{cfrac {r}{2a+{cfrac {r}{2a+ddots }}}}}}}$

Первым шагом вычисления такой дроби для получения квадратного корня является подстановки для корня и выбор числа знаменателей. Например, в канонической форме равен 1 и для √2, равен 1, так что численно непрерывной дробью для 3 знаменателей будет

${displaystyle {sqrt {2}}approx 1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2}}}}}}}$

Шаг 2. Непрерывная дробь свёртывается снизу вверх, один знаменатель за раз, чтобы получить рациональную дробь, числитель и знаменатель которой являются целыми числами. Процесс свёртывания тогда выглядит следующим образом (беря первые три знаменателя):

${displaystyle 1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{2}}}}}}=1+{cfrac {1}{2+{cfrac {1}{frac {5}{2}}}}}}$

${displaystyle =1+{cfrac {1}{2+{cfrac {2}{5}}}}=1+{cfrac {1}{frac {12}{5}}}}$

${displaystyle =1+{cfrac {5}{12}}={frac {17}{12}}}$

Наконец (шаг 3), делим числитель на знаменатель рациональной дроби, чтобы получить приближённое значение корня:

округлено до трёх знаков.

Действительное значение корня √2 равно 1,41 с точностью до трёх значащих цифр. Относительная ошибка равна 0,17%, так что рациональная дробь хороша почти до трёх знаков. Если брать больше знаменателей, получим последовательное улучшение приближения — четыре знаменателя дают дробь ${displaystyle {frac {41}{29}}=1{,}4137}$ , что даёт почти 4 цифры точности, и т.д.

Непрерывные дроби доступны в таблицах по меньшей мере для малых чисел и общеизвестных констант. Для произвольных чисел в десятичной системе счисления предварительно вычисленные значения, скорее всего, бесполезны. Следующая таблица малых рациональных дробей, называемых подходящими дробями, полученных из канонических непрерывных дробей для нескольких констант:

√S	~десятичное	Подходящие дроби
√2	1,41421	${displaystyle {frac {3}{2}},{frac {7}{5}},{frac {17}{12}},{frac {41}{29}},{frac {99}{70}}}$
√3	1,73205	${displaystyle {frac {2}{1}},{frac {5}{3}},{frac {7}{4}},{frac {19}{11}},{frac {26}{15}},{frac {71}{41}},{frac {97}{56}}}$
√5	2,23607	${displaystyle {frac {9}{4}},{frac {38}{17}},{frac {161}{72}}}$
√6	2,44949	${displaystyle {frac {5}{2}},{frac {22}{9}},{frac {49}{20}},{frac {218}{89}}}$
√10	3,16228	${displaystyle {frac {19}{6}},{frac {117}{37}}}$
	1,77245	${displaystyle {frac {2}{1}},{frac {7}{4}},{frac {16}{9}},{frac {23}{13}},{frac {39}{22}}}$
	1,64872	${displaystyle {frac {2}{1}},{frac {3}{2}},{frac {5}{3}},{frac {28}{17}},{frac {33}{20}},{frac {61}{37}}}$
	1,27202	${displaystyle {frac {4}{3}},{frac {5}{4}},{frac {14}{11}}}$

Примечание: Перечислены все подходящие дроби вплоть до знаменателя 99.

В общем виде чем больше знаменатель рациональной дроби, тем лучше аппроксимация. Также можно доказать, что отсечение непрерывной дроби приводит к рациональной дроби, с лучшим приближением к корню любой дроби со знаменателем, меньшим или равным знаменателю этой дроби. Например, никакая дробь со знаменателем, не превосходящем 70, не будет так же хороша, как аппроксимация к √2 числом 99/70.

Метод последовательности Люка[править | править код]

Последовательность Люка первого рода ${displaystyle U_{n}(P,Q)}$ определяется рекуррентным отношением

${displaystyle U_{n}(P,Q)={begin{cases}0&{text{если }}n=0\1&{text{если }}n=1\Pcdot U_{n-1}(P,Q)-Qcdot U_{n-2}(P,Q)&{text{в противном случае}}end{cases}}}$

и его характеристическим многочленом является

${displaystyle x^{2}-Pcdot x+Q=0}$

, он имеет дискриминант ${displaystyle D=P^{2}-4Q}$ и корни

${displaystyle {begin{matrix}x_{1}={dfrac {P+{sqrt {D}}}{2}},&x_{2}={dfrac {P-{sqrt {D}}}{2}}end{matrix}}}$

Всё это даёт следующее положительное значение

${displaystyle lim _{nto infty }{dfrac {U_{n+1}}{U_{n}}}=x_{1}}$

. Так что если мы хотим получить , мы можем выбрать и , а затем вычислить ${displaystyle x_{1}=1+{sqrt {a}}}$ используя ${displaystyle U_{n+1}}$ и $U_{n}$ для больших значений .
Наиболее эффективный способ вычисления ${displaystyle U_{n+1}}$ и $U_{n}$ —

${displaystyle {begin{bmatrix}U_{n}\U_{n+1}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\-Q&Pend{bmatrix}}cdot {begin{bmatrix}U_{n-1}\U_{n}end{bmatrix}}={begin{bmatrix}0&1\-Q&Pend{bmatrix}}^{n}cdot {begin{bmatrix}U_{0}\U_{1}end{bmatrix}}}$

Итог:

${displaystyle {begin{bmatrix}0&1\a-1&2end{bmatrix}}^{n}cdot {begin{bmatrix}0\1end{bmatrix}}={begin{bmatrix}U_{n}\U_{n+1}end{bmatrix}},}$

а тогда при :

${displaystyle {sqrt {a}}={frac {U_{n+1}}{U_{n}}}-1}$

Аппроксимации, зависящие от представления в виде числа с плавающей запятой[править | править код]

Число представляется в виде числа с плавающей запятой как ${displaystyle mtimes b^{p}}$ . Этот формат записи называется также экспоненциальной записью. Квадратный корень из этого числа равен ${displaystyle {sqrt {m}}times b^{tfrac {p}{2}}}$ и аналогичные формулы могут быть представлены для кубических корней и логарифмов. Это не упрощает задачу, но если требуется только аппроксимация, то ${displaystyle b^{tfrac {p}{2}}}$ является хорошей оценкой порядка мантиссы. Далее, понимаем, что некоторые степени p могут оказаться нечётными, тогда для ${displaystyle 3141{,}59=3{,}14159{times }10^{3}}$ вместо работы с дробными степенями основания умножаем на него и вычитаем единицу из степени, делая её чётной. Уточнённое представление превращается в ${displaystyle 31{,}4159{times }10^{2}}$ , так что квадратный корень будет равен ${displaystyle {sqrt {31,4159}}{times }10^{1}}$ .

Если взять лишь целую часть мантиссы, она может принимать значения от 1 до 99 и это можно использовать в качестве индекса в таблице из 99 предварительно вычисленных корней для завершения оценки. Компьютер, использующий шестнадцатеричное основание может потребовать большей таблицы, но при использовании основания 2 таблица будет состоять лишь из трёх величин — возможными битами целой части уточнённого представления мантиссы могут быть 01 (если степень чётная, так что нет никакого сдвига, и заметим, что нормализованное число с плавающей точкой всегда имеет ненулевую старшую цифру), или, если степень была нечётной, 10 или 11, это два первых бита исходной мантиссы. Тогда 6,25 (= 110,01 в двоичном представлении) нормализуется к ${displaystyle 1{,}1001times 2^{2}}$ с чётной степенью, так что парой битов мантиссы будет 01, в то время как 0,625 (= 0,101 в двоичном представлении) нормализуется к ${displaystyle 1{,}01times 2^{-1}}$ с нечётной степенью, так что требуется преобразование числа к ${displaystyle 10{,}1times 2^{-2}}$ , а тогда парой бит будет 10. Заметим, что младший бит порядка отражается в старший бит сгруппированной парами мантиссы. Чётная степень имеет нулевой младший бит и уточнённая мантисса будет начинаться с нуля, в то время как нечётная степень имеет 1 в младшем бите и уточнённая мантисса будет начинаться с 1. Таким образом, когда степень делится пополам, это эквивалентно тому, что младший бит порядка сдвигается в первый бит попарно сгруппированной мантиссы.

Таблица с тремя элементами может быть расширена для включения дополнительных бит мантиссы. Однако в случае компьютеров вместо вычисления интерполяции в таблице часто лучше искать более простой способ вычислений, дающий те же результаты. Всё теперь зависит от точных деталей формата представления чисел и от операций, которые доступны для получения частей числа и работы с ними. Например, Фортран содержит функцию EXPONENT(x) для получения степени. Усилия, потраченные на получение хорошего начального приближения окупаются за счёт исключения дополнительных итераций процесса уточнения, которые потребовались бы в случае плохого приближения.

Многие компьютеры следуют стандарту IEEE для чисел с плавающей запятой^[en] (или достаточно близкое представление) и очень быстрое приближение для квадратного корня может быть получено в качестве стартового значения метода Ньютона. Техника данного приближения вытекает из факта, что формат плавающего числа (по основанию два) аппроксимирует логарифм по основанию 2. То есть, ${displaystyle log _{2}(mtimes 2^{p})=p+log _{2}(m)}$

Так что для 32-битного числа с плавающей запятой в формате IEEE (в котором степень имеет смещение^[en] на 127^[16]) вы можете получить приближённый логарифм путём интерпретации числа как 32-битного целого, умножения его на ${displaystyle 2^{-23}}$ и вычета смещения 127, то есть

${displaystyle x_{text{int}}cdot 2^{-23}-127approx log _{2}(x).}$

Например, число 1,0 в шестнадцатеричной системе имеет вид 0x3F800000, что можно представить как ${displaystyle 1065353216=127cdot 2^{23}}$ , если рассматривать его как целое. Используя вышеприведённую формулу вы получите ${displaystyle 1065353216cdot 2^{-23}-127=0}$ , как и ожидалось от ${displaystyle log _{2}(1{,}0)}$ . Аналогичным образом вы получите 0,5 из 1,5 (=0x3FC00000).

Чтобы получить квадратный корень, делим логарифм на 2 и преобразуем результат обратно. Ниже программа демонстрирует идею. Заметим, что младший бит порядка намеренно переводится в мантиссу. Одним из способов обоснования шагов этой программы, в предположении что является смещением степени, а является числом запоминаемых бит в мантиссе, заключается в доказательстве

${displaystyle (((x_{text{int}}/2^{n}-b)/2)+b)cdot 2^{n}=(x_{text{int}}-2^{n})/2+((b+1)/2)cdot 2^{n}.}$

/* Предполагаем, что плавающее число имеет формат IEEE 754 */
#include <stdint.h>
float sqrt_approx(float z)
{
	union { float f; uint32_t i; } val = {z};	/* Преобразуем тип не меняя битового представления */
	/*
	 * Для обоснования работы кода докажите, что
	 * ((((val.i / 2^m) - b) / 2) + b) * 2^m = ((val.i - 2^m) / 2) + ((b + 1) / 2) * 2^m)
	 * где
	 * b = смещение степени
	 * m = число бит в мантиссе
	 */
	val.i -= 1 << 23;	/* Вычитаем 2^m. */
	val.i >>= 1;		/* Делим на 2. */
	val.i += 1 << 29;	/* Добавляем ((b + 1) / 2) * 2^m. */

	return val.f;		/* Интерпретируем снова как плавающее */
}

Три арифметические операции, образующие ядро функции можно представить в одну строку. Дополнительное уточнение может быть добавлено для уменьшения максимальной относительной ошибки. Таким образом, три операции, не включая приведение к вещественному, можно переписать как

	val.i = (1 << 29) + (val.i >> 1) - (1 << 22) + a;

где a — смещение для уменьшения ошибок аппроксимации. Например, с a = 0 результаты точны для чётных степеней двойки 2 (например, 1,0), но для других чисел результат будет несколько великоват (например, 1,5 для 2,0 вместо 1,414… с ошибкой 6%). При a = −0x4B0D2 максимальная относительная ошибка сокращается до ±3,5%.

Если приближение нужно использовать как начальное значение для метода Ньютона в уравнении ${displaystyle (1/x^{2})-S=0}$ , то обратная форма, показанная в следующем разделе, предпочтительнее.

Обратное значение квадратного корня[править | править код]

Вариант описанной выше процедуры представлен ниже и он может быть использован для вычисления обратного к квадратному корню, то есть ${displaystyle x^{-{1 over 2}}}$ . Этот вариант написал Грег Уолш. Приближение сдвигом даёт относительную ошибку менее 4% и ошибка уменьшается до 0,15% после одной итерации метода Ньютона^[17]. В компьютерной графике это очень эффективный способ нормализации вектора.

float invSqrt(float x) {
    float xhalf = 0.5f * x;
    union {
        float x;
        int i;
    } u;
    u.x = x;
    u.i = 0x5f375a86 - (u.i >> 1);
    /* Следующая строка может быть повторена произвольное число раз для увеличения точности */
    u.x = u.x * (1.5f - xhalf * u.x * u.x);
    return u.x;
}

Некоторые СБИС реализуют нахождение обратной величины к квадратному корню с помощью полиномиальной оценки с последующей итерацией Голдшмидта^[18].

Корень из отрицательного или комплексного числа[править | править код]

Если S<0 , то его главный корень равен

{displaystyle {sqrt {S}}={sqrt {vert Svert }},,i,.}

Если , где a и b вещественные числа и bneq 0 , то его главный корень равен

${displaystyle {sqrt {S}}={sqrt {frac {vert Svert +a}{2}}},+,operatorname {sgn}(b){sqrt {frac {vert Svert -a}{2}}},,i,.}$

Это можно проверить возведением в квадрат^[19]^[20]. Здесь

${displaystyle vert Svert ={sqrt {a^{2}+b^{2}}}}$

является модулем числа S. Главный корень комплексного числа определяется как корень с неотрицательной вещественной частью.

См. также[править | править код]

Алгоритм альфа max плюс бета min^[en]
Целочисленный квадратный корень

Примечания[править | править код]

↑ Кроме главного корня имеется отрицательный квадратный корень, равный по модулю главному корню, но с противоположным знаком, за исключением случая нуль, когда имеется два одинаковых корня, равных нулю.
↑ Множители два и шесть используются ввиду того, что они аппроксимируют среднее геометрическое нижнего и верхнего возможных значений с заданным числом знаков: и .
↑ Неокруглённая оценка имеет максимальную абсолютную ошибку 2,65 в точке 100 и максимальную относительную ошибку в 26,5% в точках y=1, 10 и 100
↑ Если число находится ровно посередине между двумя квадратами, наподобие 30,5, берём большее число, которое в нашем случае 6
↑ Это уравнение касательной прямой к y=x² в точке y=1.
↑ Fowler, Robson, 1998, с. 376.
↑ Heath, 1921, с. 323–324.
↑ Bailey, Borwein, 2012, с. 646–657.
↑ Bucking down to the Bakhshali manuscript. Simply Curious blog (5 июня 2018). Дата обращения: 21 декабря 2020. Архивировано 26 октября 2020 года.
↑ Fast integer square root by Mr. Woo’s abacus algorithm (archived)
↑ Integer Square Root function. Дата обращения: 30 декабря 2021. Архивировано 30 сентября 2007 года.
↑ Wilkes, Wheeler, Gill, 1951.
↑ Campbell-Kelly, 2009.
↑ Gower, 1958, с. 142–143, 1958.
↑ Markstein, Peter (November 2004). Software Division and Square Root Using Goldschmidt’s Algorithms (PDF). 6th Conference on Real Numbers and Computers. Dagstuhl, Germany. CiteSeerX 10.1.1.85.9648. Архивировано (PDF) из оригинала 2022-04-28. Дата обращения 2021-12-30.
↑ К экспоненте числа добавляется 127, что позволяет интерпретировать экспоненту как число без знака.
↑ Fast Inverse Square Root Архивная копия от 6 февраля 2009 на Wayback Machine by Chris Lomont
↑
“High-Speed Double-Precision Computation of Reciprocal, Division, Square Root and Inverse Square Root”
by José-Alejandro Piñeiro and Javier Díaz Bruguera 2002 (abstract)
↑ Abramowitz, Stegun, 1964, с. 17.
↑ Cooke, 2008, с. 59.

Литература[править | править код]

David Fowler, Eleanor Robson. Square Root Approximations in Old Babylonian Mathematics: YBC 7289 in Context // Historia Mathematica. — 1998. — Т. 25, вып. 4. — doi:10.1006/hmat.1998.2209.
Thomas Little Heath. A History of Greek Mathematics. — Oxford: Clarendon Press, 1921. — Т. 2. — С. 323–324.
David Bailey, Jonathan Borwein. Ancient Indian Square Roots: An Exercise in Forensic Paleo-Mathematics // American Mathematical Monthly. — 2012. — Т. 119, вып. 8.
Miltonn Abramowitz, Irene A. Stegun. Section 3.7.26 // Handbook of mathematical functions with formulas, graphs, and mathematical tables. — Courier Dover Publications, 1964. — С. 17. — ISBN 978-0-486-61272-0.
J. C. Gower. A Note on an Iterative Method for Root Extraction // The Computer Journal. — 1958. — Т. 1 1, вып. 3.
M. Campbell-Kelly. Origin of Computing // Scientific American. — 2009. — Сентябрь.
Roger Cooke. Classical algebra: its nature, origins, and uses. — John Wiley and Sons, 2008. — ISBN 978-0-470-25952-8.
M. V. Wilkes, D. J. Wheeler, S. Gill. The Preparation of Programs for an Electronic Digital Computer. — Addison-Wesley, 1951.

СсылкиWeisstein, Eric W. Square root algorithms (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.[править | править код]

Square roots by subtraction
Integer Square Root Algorithm by Andrija Radović
Personal Calculator Algorithms I : Square Roots (William E. Egbert), Hewlett-Packard Journal (may 1977) : page 22
Калькулятор для обучения квадратному корню

Источник

Извлечение квадратного корня «вручную»

На примере
возьмём число 223729. Для извлечения корня мы должны проделать следующие
операции:

А) разбить число
справа на лево на разряды по две цифры в разряде, ставя штрихи наверху- 223729→
22’37’29’. Если бы это было число с нечётным числом цифр, как например,
4765983, то при разбиении к первой цифре слева надо приписать нуль, т.е.
4765983→04’76’59’83’.

Б) Навесить на
число радикал и написать знак равенства:

22’37’29’→=… .

После этого начинаем, собственно, вычислять
корень. Это делается шагами, причём на каждом шаге обрабатывается один разряд
исходного числа, т.е. две очередных цифры слева направо, и получается одна
цифра результата.

Шаг 1 ― извлечение квадратного корня с недостатком из первого разряда:

= 4… (с
недостатком)

Итог шага 1 есть первая цифра искомого числа:

= 4…

Шаг 2 ― первую полученную цифру возводим в
квадрат, приписываем под первым разрядом и ставим знак минус вот так:

= 4…

И производим вычисление так, как это уже
написано.

Шаг 3 ― приписываем справа к результату вычитания
две цифры следующего разряда и слева от получившегося числа ставим вертикальную
черту вот так:

= 4…

637

После этого,
воспринимая цифры, стоящие после знака =, как обычное число, умножаем его на 2
и приписываем слева от вертикальной черты пропуск, в котором ставим точку и под
этой точкой тоже ставим точку:

= 4…

8 637

Поставленная точка обозначает поиск цифры. Эта
цифра будет второй в итоговом числе, т.е. встанет после цифры 4. Ищется она по
следующему правилу:

Это
наибольшая цифра k такая, что число 8k, т.е. число, получающееся из 8 приписыванием цифры k , умноженное на k, не превосходит 637.

В данном случае это цифра 7, т.к.
87∙7=609<637, но 88∙8=704>637. Итак, мы имеем:

= 47..

Шаг 4 ― проведём горизонтальную черту и под ней запишем результат вычитания:

637 – 609 = 28. К числу 28 приписываем
последний разряд исходного подкоренного числа и получим число 2829. Слева от
него проводим вертикальную черту, умножаем теперь уже 47 на 2 и полученное
число 94 приписываем слева от вертикальной черты, оставив место в виде точки
для поиска последней цифры. Цифра 3 подходит в точности без остатка, так как
943∙3=2829, значит, это последняя цифра искомого числа, т.е. = 473.

= 473

87 637

7 609

943 2829

3 2829

В
принципе, если бы остаток получился ненулевой, можно было бы поставить после
найденных цифр числа запятую, списать в качестве следующего разряда два
десятичных знака числа, или два нуля, если таковые отсутствуют, и продолжать
все более и более точно извлекать квадратный корень. Вот например:

= 4,123…

81 100

1 81

822 1900

2 1644

8243 25600

3 24729

871…

Приближенные методы извлечения квадратного корня

(без использования калькулятора).

1 метод.

Древние вавилоняне пользовались следующим способом нахождения
приближенного значения квадратного корня их числа х. Число х они представляли в
виде суммы а²+b, где а²ближайший к числу х
точный квадрат натурального числа а (а²?х), и пользовались формулой . (1)

Извлечем с помощью формулы (1) корень квадратный, например из
числа 28:

Результат извлечения корня из 28 с помощью калькулятора 5,2915026.
Как видим способ вавилонян дает хорошее приближение к точному значению корня.

2 метод.

Исаак Ньютон разработал метод извлечения квадратного корня,
который восходил еще к Герону Александрийскому (около 100
г. н.э.). Метод этот (известный как метод Ньютона) заключается в следующем.

Пусть а₁ — первое приближение числа (в качестве а₁
можно брать значения квадратного корня из натурального числа — точного
квадрата, не превосходящего х) .

Следующее, более точное приближение а₂ числа
найдется по
формуле .

Третье, еще более точное приближение и т.д.

(n+1)-е приближение найдется по формуле .

Нахождение приближенного значения числа методом Ньютона дает следующие результаты:
а₁=5; а₂= 5,3; а₃=5,2915.

–
итерационная формула Ньютона для нахождения квадратного корня из числа х
(n=2,3,4,…, а_n– n-е приближение .

Указанный мною способ позволяет извлекать квадратный корень из
большого числа с любой точностью, правда с существенным недостатком:
громоздкость вычислений.

Список литературы:

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника
алгебры.

2. Ткачева М.В. Домашняя математика.

3. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки.

Источник

Приближённые формулы

Произведение двух чисел, близких к единице
Квадрат и другие степени числа, близкого к единице
Число, обратное числу, близкому к единице
Квадратный корень из числа, близкого к единице
Обобщение приближённых формул
Примеры

Произведение двух чисел, близких к единице

При выведении формул для погрешностей произведения и частного (см. §45 данного справочника) мы использовали понятие «малых величин», влияние которых на результат настолько мало, что им можно пренебречь. Обычно они появляются в формулах как произведения небольших отклонений или степени отклонений. Их вклад в конечный результат «мал» в том смысле, что при округлении мы его всё равно отбрасываем.

Рассмотрим два числа x = 1+α, y = 1+β,

где |α|≪1,|β|≪1 – гораздо меньше единицы (сотые, тысячные и т.д.).

Найдём их произведение:

$$ xy = (1+α)(1+β) = 1+α+β+αβ $$

Произведение αβ $approx$ 0 пренебрежимо мало, и мы получаем:

$$ (1+α)(1+β) approx 1+α+β, quad |α|≪1, |β|≪1 $$

Например:

$1,012 cdot 1,004 approx 1+0,012+0,004 = 1,016$ – значение по приближенной формуле

$1,012 cdot 1,004 = 1,016048$ – точное значение

или

$0,997 cdot 1,003 approx 1-0,003+0,003 = 1,000$ – значение по приближенной формуле

$0,997 cdot 1,003 = 0,999991$ – точное значение

Квадрат и другие степени числа, близкого к единице

Используя формулу для произведения двух чисел, близких к единице, получаем приближенную формулу для квадрата, куба и других степеней таких чисел:

$$ (1+α)^2 approx 1+2α, quad |α|≪1 $$

$$ (1+α)^3 approx 1+3α, quad(1+α)^n approx 1+nα $$

Например:

Степень числа

По приближенной формуле

Расчет на калькуляторе

$1,011^2$

$ approx 1+2 cdot 0,011 = 1,022$

1,022121

$1,011^3$

$ approx 1+3 cdot 0,011 = 1,033$

1,033364331

$1,011^5$

$ approx 1+5 cdot 0,011 = 1,055$

1,056223…

При увеличении степени относительная погрешность возрастает, и точность вычислений падает.

Число, обратное числу, близкому к единице

Пусть $x = 1+α, quad |α|≪1$

Найдём $frac{1}{x}$:

$$ frac{1}{x} = frac{1}{1+α} = frac{1-α}{(1+α)(1-α)} = frac{1-α}{1- underbrace{α^2}_{approx text{0}}} approx 1-α $$

$$ frac{1}{1+α} approx 1-α, |α|≪1 $$

Например:

$ frac{1}{1,001} approx 1-0,001 = 0,999 $

Точное значение: $ frac{1}{1,001}$ = 0,(999000) – периодическая бесконечная дробь

Квадратный корень из числа, близкого к единице

Из формулы для квадрата числа, близкого у единице, получаем:

$$ 1+α approx Biggl( 1+ frac{a}{2} Biggr)^2 gt 0 $$

$$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}, quad |α|≪1 $$

Например:

$ sqrt{1,0014} approx 1+ frac{0,0014}{2} = 1,0007 $

Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{1,0014}$ = 1,0006997551…

или

$ sqrt{0,981} approx 1- frac{0,019}{2} = 0,9905 $

Вычисление на калькуляторе даёт: $sqrt{0,981}$ = 0,990454441…

Обобщение приближённых формул

Формулы для чисел вида x = 1+α, |α|≪1, можно обобщить для чисел вида z = a+b, |b|≪|a|, т.к.

$$ |b|≪|a| Rightarrow frac{|b|}{|a|} ≪1 и frac{z}{a} = frac{a+b}{a} = 1+ frac{b}{a} $$

Заменой $frac{z}{a}$ = x, $frac{b}{a}$ = α одни числа приводятся к другим.

Квадрат

$(1+α)^2 approx 1+2α$

$ (a+b)^2 approx a^2+2ab $

Любая степень $n in Bbb N$

$(1+α)^n approx 1+nα$

$ (a+b)^n approx a^n+na^{n-1} b $

Квадратный корень

$ sqrt{1+α} approx 1+ frac{a}{2}$

$ sqrt{a+b} approx sqrt{a} + frac{b}{2sqrt{a}} $

Обратное число

$ frac{1}{1+α} approx 1-α$

$ frac{1}{a+b} approx frac{1}{a} – frac{b}{a^2} $

Примеры

Пример 1. Найдите приближенное значение выражения.

Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.

	Приближенное значение	Расчет на калькуляторе
$а) 1,006^2$	$(1+0,006)^2 approx 1+2 cdot 0,006 = 1,012$	$ 1,006^2 = 1,012036 $
$б) sqrt{0,9997}$	$ sqrt{1-0,0003} approx 1- frac{1}{2} cdot 0,0003 = 0,99985$	$ sqrt{0,9997} = 0,9998499… $
$в) frac{1}{1,004} $	$ frac{1}{1,004} approx 1-0,004 = 0,996$	$ frac{1}{1,004} = 0,9960159…$
$г) 0,995^5$	$ (1-0,005)^5 approx 1-5 cdot 0,005 = 0,975$	$ 0,995^5 = 0,9752487… $

Пример 2. Найдите приближенное значение выражения, используя обобщенные приближенные формулы. Сравните со значением, полученным с помощью калькулятора.

	Приближенное значение	Расчет на калькуляторе
$а) 4,04^2$	$(4+0,04)^2 approx 4^2+2 cdot 4 cdot 0,04 = 16,32$	$ 4,04^2 = 16,3216 $
$б) sqrt{255}$	$ sqrt{256-1} approx sqrt{256}- frac{1}{2sqrt{256}} = 16- frac{1}{32} approx $ = 16-0,03 = 15,97	$ sqrt{255} = 15,96871… $
$в) frac{1}{9,995} $	$ frac{1}{10-0,005} approx 1-0,004 = 0,996$	$ frac{1}{1,004} = 0,9960159…$
$г) 0,995^5$	$ (1-0,005)^5 approx 1-5 cdot 0,005 = 0,975$	$ 0,995^5 = 0,9752487… $

Источник

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

III. Работа по теме урока

IV. Задания на уроке

V. Подведение итогов урока

Начальная оценка[править | править код]

Десятичная оценка[править | править код]

Скалярные оценки[править | править код]

Линейная оценка[править | править код]

Гиперболическая оценка[править | править код]

Арифметическая оценка[править | править код]

Двоичная оценка[править | править код]

Вавилонский метод[править | править код]

Пример[править | править код]

Сходимость[править | править код]

Сходимость в худшем случае[править | править код]

Метод Бакхшали[править | править код]

Пример[править | править код]

Цифра за цифрой[править | править код]

Основной принцип[править | править код]

Десятичная система счисления[править | править код]

Примеры[править | править код]

Двоичная система счисления[править | править код]

Экспоненциальное тождество[править | править код]

Итеративный метод с двумя переменными[править | править код]

Итеративные методы вычисления обратного к квадратному корню числа[править | править код]

Алгоритм Гольдшмидта[править | править код]

Ряды Тейлора[править | править код]

Разложение в цепную дробь[править | править код]

Метод последовательности Люка[править | править код]

Аппроксимации, зависящие от представления в виде числа с плавающей запятой[править | править код]

Обратное значение квадратного корня[править | править код]

Корень из отрицательного или комплексного числа[править | править код]

См. также[править | править код]

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

СсылкиWeisstein, Eric W. Square root algorithms (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.[править | править код]

Приближённые формулы

Произведение двух чисел, близких к единице

Квадрат и другие степени числа, близкого к единице

Число, обратное числу, близкому к единице

Квадратный корень из числа, близкого к единице

Обобщение приближённых формул

Примеры

Вам также может понравиться

Заговоры как найти телефон

Как составить формуляр образец должностной инструкции

Как найти на своем компьютере название браузера

Добавить комментарий Отменить ответ