Как найти приближенное значение разности приближенных значений

20 < m < 30.

Заменив потом гирю  10 г  гирей  5 г, и убедимся, что масса детали больше  25 г,

То есть

25 < m < 30.

Положив на чашу весов с гирьками еще  2 г, заметим, что масса
детали меньше чем  27 г.

25 < m < 27.

Поскольку более мелких гирь нет, то процесс определения
массы на этом этапе закончим.

Взвешиваниями мы нашли приближенные значения массы детали
в граммах:

26 г – приближённое значение с
недостачей,

27 г – приближённое значение с излишком.

Другими словами, мы установили границы значения массы в
граммах. Число  26 – нижняя граница, число 
27 –
верхняя граница.

Заметим, что когда бы наименьшая гиря была бы равна  2
г, то границами значения массы детали в граммах были бы числа  25 г  и  27 г, то есть масса была бы определена менее точно.

Зная пределы
значения некоторой величины, можно оценить значение другой величины, которая
зависит от первой.

ПРИМЕР:

Пусть известны приближенные значения (в см) с недостачей и с излишком длины  а  стороны равностороннего треугольника:

5,4 ≤ а ≤ 5,5.

Надо найти пределы периметра  Р.

РЕШЕНИЕ:

Периметр равностороннего треугольника вычисляется по
формуле:

Р = 3а.

Из условия, что  а ≥ 5,4  выплывает, что  3а
≥ 16,2.

Из условия, что  а ≤ 5,5  выплывает, что  3а
≤ 16,5.

Числа  16,2  и  16,5
– приближенные значения периметра  (в см)  с недостачей и излишком:

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

Записать решение можно и так:

5,4 ≤ а ≤ 5,5,

5,4 ∙ 3 ≤ 3а ≤ 5,5 ∙ 3,

то есть

16,2 ≤ Р ≤ 16,5.

ПРИМЕР:

Пусть известны границы какого-то числа  х:

3 < х < 6.

Надо оценить значение выражения  ¹/_х.

РЕШЕНИЕ:

Из условия задачи определяем, что  х –
число положительное.

Поскольку  х ˃ 3, то

¹/_х < ¹/₃.

Поскольку  х < 6, то

¹/_х ˃ ¹/₆.

Выходит, что

¹/₆ < ¹/_х < ¹/₃.

Заменим границы значения выражения  ¹/_х  десятичными дробями. Число  ¹/₆  можно заменить лишь меньшим числом (любым приближением
с недостачей), а число ¹/₃ –
лишь больше (приближением с излишком). Поскольку

¹/₆ =
0,166…   

¹/₃ =
0,333… ,

то границами значения выражения  ¹/_х  могут быть десятичные дроби  0,1  и  0,4.

0,1 < ¹/_х < 0,4.

Заменив нижнюю границу
числом  0,1, а верхнюю – числом  0,4, мы
расширили промежуток, которому принадлежат значения выражения  ¹/_х.

Если бы мы сделали иначе, округлив бесконечные десятичные
дроби

0,166…  и  0,333…

по известным правилам округления, то получили бы, что

0,2 < ¹/_х < 0,3.

Но тогда неизвестное нам точное значение выражения  ¹/_х  могло бы очутиться вне полученных границах.

Способ записи приближённых чисел.

Приближённые
значения обычно записывают так, чтобы по записи можно было судить о точности
приближения.

ПРИМЕР:

На рулоне обоев написано, что его длина равна 

18 ±
0,3 м.

Эта запись означает, что длина рулона равна  18
м  с точностью до  0,3
м, то есть точное значение длины может отличаться от
приближённого значения, равного  18 м, не более чем на 
0,3 м.
Другими словами длина рулона должна находиться между 

18
– 0,3 = 17,7 м  и 

18
+ 0,3 = 18,3 м.

 ПРИМЕР:

Если измеряя длину 
х 
некоторой рейки, выявили, что она больше чем  6,427
м  и меньше чем  6,429
м, то записывают:

х = 6,428 ± 0,001 м.

Говорят, что значение длины рейки найдено с точностью
до 

0,001 м (одного миллиметра).

ПРИМЕР:

При приближённых вычислениях отличают запись  2,4  от  2,40, запись  0,02  от  0,0200  и так далее.

Запись  2,4  означает,
что верны только цифры целых и десятых, истинное же значение числа может быть,
например, 2,43 или  2,38 (при отбрасывании цифры  8  происходит округление в сторону увеличения
предшествующей цифры).

Запись  2,40  означает,
что верны и сотые доли, истинное число может быть  2,403  или  2,398, но не  2,421  и
не  2,382.

То же отличие производится и для целых чисел. Запись  382  означает, что все цифры верны, если же за
последнюю цифру ручаться нельзя, то число округляется, но записывается не в
виде  380,
а в виде  38
∙ 10. Запись же  380  означает, что
последняя цифра  (0)  верна.

Если в числе  4720  верны лишь первые
две цифры, его нужно записать в виде  47 ∙ 10²,
или это число можно также записать в виде 
4,7 ∙
10³  и так далее.

Значащими
цифрами называются все верные цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа.

ПРИМЕР:

В числе 
0,00385  три значащие цифры.

В числе 
0,03085  четыре значащие цифры,

В числе 
2500 – четыре,

В числе 
2,5 ∙
10³ – две.

Число
значащих цифр некоторого числа называется его значностью.

Через то, что мы не
можем выполнить бесконечного процесса деления, то мы должны прекратить деление
на каком-либо десятичном знаке, то есть выполнить приближенное деление. Мы
можем, например, прекратить деление на первом десятичном знаке, то есть
ограничиться десятыми частями; в случае потребности мы можем остановиться на
втором десятичном знаке, ограничиться сотыми частями, и так далее. В таких
случаях говорят о приближенном превращении обычных дробей в десятичные. В этих
случаях говорят, что мы округляем бесконечную десятичную дробь. Округление
делается с той точностью, которая нужна для решения данной задачи.

Вычисления с приближенными
данными.

Вычисления с
приближенными данными постоянно используется в практических задачах, при этом
результат вычислений обычно округляют. Результат действий с приближёнными
числами есть тоже приближённое число. Выполняя некоторые действия над точными числами,
можно так же получить приближённые числа.

При сложении и вычитании приближённых чисел в
результате следует сохранять столько десятичных знаков, сколько их в
приближённом данном с наименьшим числом десятичных знаков, то есть оставляют в
результате столько знаков после запятой, сколько их содержится в менее точном
данном числе.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 17,2  и  у
≈ 8,407.

Найдём приближённое значение суммы  х 
и  у.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х +
у ≈ 25,607.

Из данных приближённых значений  17,2 
и  8,407 
менее точным является первое. Округлив результат по первому данному, то
есть до десятых, получим:

х + у ≈ 25,6.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 6,784  и 

у ≈ 4,91.

Найдём приближённое значение разности  х 
и  у.

РЕШЕНИЕ:

Имеем:

х –
у ≈ 1,874.

Из данных приближённых значений  6,784 
и  4,91 
менее точным является второе. Округлив результат по второму данному, то есть.
до сотых, получим:

х –
у ≈ 1,87.

ПРИМЕР:

Найдите разность приближенных значений 

х = 1,52
± 0,01  и 

у = 0,27
± 0,02.

РЕШЕНИЕ:

Данным приближенным значением отвечают двойные
неравенства

1,51 ≤ х ≤ 1,53  и 

0,25 ≤ у ≤ 0,29.

Умножим все части последнего двойного неравенства на  –1, получим

–0,29 ≤ –у ≤ –0,25.

Прибавив это двойное неравенство к первому, получим

1,22 ≤ х – у ≤ 1,28, или  

х – у = 1,25
± 0,03.

Несколько иначе
поступают при умножении и делении приближённых значений. Здесь округление
производится с учётом относительной точности данных. В
этом случае находят произведение или частное приближённых значений, и результат
округляют по менее точному данному, имея ввиду относительную точность. Для
этого исходные данные и полученный результат записывают в стандартном виде 

а × 10ⁿ,

и множитель  а  результата округляют, оставляя в нём столько
знаков после запятой, сколько их имеет соответствующий множитель в менее точном
данном.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 0,86  и 

у ≈ 27,1.

Найдём приближённое значение произведения  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Перемножив  0,86  и  27,1,  получим:

ху ≈
23,306.

Запишем данные числа и результат в стандартном виде:

0,86 = 8,6 × 10^-1;   

27,1 = 2,71 × 10¹;   

23,306 = 2,3306 × 10¹.

В множителе  8,6  одна цифра после запятой, а в множителе  2,71
две цифры после запятой. Округлим число  2,2306  по первому данному, то есть до десятых.
Получим:

ху ≈ 2,3 × 10¹ = 23.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 60,2  и 

у ≈ 80,1.

Найдём приближённое значение произведения  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Известно, что все выписанные цифры верны, так что
истинные величины могут отличаться от приближённых лишь сотыми, тысячными и так
далее долями.

В произведении получаем 
4822,02. Здесь
могут быть неверными не только цифры сотых и десятых, но и цифры единиц.

Пусть, например, сомножители получены округлением точных
чисел  60,23  и  80,14.
Тогда точное произведение будет  4826,8322, так что цифра единиц в приближённом произведении (2)
отличается от точной цифры  (6)  на  4  единицы.

ПРИМЕР:

Пусть 

х ≈ 563,2  и 

у ≈ 32.

Найдём приближённое значение частного  х  и  у.

РЕШЕНИЕ:

Разделив  563,2  на  32, получим:

х :
у ≈ 17,6.

Запишем данные числа и результат в стандартном виде:

563,2 = 5,632 × 10²;   

32 = 3,2 × 10;   

17,6 = 1,76 × 10.

Из этой записи видно, что число  1,76 
следует округлить по второму данному, то есть до десятых. Получим:

х :
у ≈ 1,8 × 10
≈ 18.

При умножении и делении приближённых чисел нужно в
результатах сохранять столько значащих цифр, сколько их было в приближённом
данном с наименьшим числом значащих цифр.

Таким образом, при
сложении, вычитании, умножении и делении приближённых значений результат
округляется по менее точному данному. При этом при сложении и вычитании данные
числа записываются в десятичных дробях и менее точное данное определяется по
абсолютной точности, а при умножении и делении данные числа записываются в
стандартном виде и менее точное данное определяется по относительной точности.

Теория приближённых
вычислений позволяет:

– зная степень точности данных, оценить степень
точности результатов ещё до выполнения действий;

– брать данные с надлежащей степенью точности,
достаточной для обеспечения требуемой точности результата, но не слишком
большой, чтобы избавить вычислителя от бесполезных расчётов;

– рационализировать сам процесс вычисления,
освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры
результата.

Математика

6 класс

Урок № 69

Приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел

Перечень рассматриваемых вопросов:

– десятичная дробь, приближённое значение, округление;

– значащая цифра десятичной дроби;

– приближение суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Тезаурус

Округление десятичной дроби – замена десятичной дроби приближённым значением с меньшим количеством значащих цифр.

Десятичная дробь – это дробь, записанная в десятичной форме.

Значащая цифра десятичной дроби – это первая слева направо отличная от нуля цифра, а также все следующие за ней цифры.

Список литературы

Обязательная литература:

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К. Потапов, Н. Н. Решетников и др. – М.: Просвещение, 2017, стр. 258.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Математика: тематические тесты.5-6 кл. // П. В. Чулков, Е. Ф. Шершнёв, О. Ф. Зарапина – М.: Просвещение, 2009, стр. 142.

2. Шарыгин И. Ф. Задачи на смекалку: 5-6 кл. // И. Ф. Шарыгин, А. В. Шевкин – М.: Просвещение, 2014, стр. 95.

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Зачастую необходимо быстро прикинуть результат, который получается при сложении, вычитании, умножении или делении двух десятичных дробей. Если дроби имеют много знаков после запятой, выполнить эти действия быстро довольно сложно. Для этого используют правила приближения суммы, разности, произведения и частного двух чисел.

Сумма (разность, произведение, частное) двух чисел считается приближённо равной сумме (разности, произведению, частному) их приближений.

Поясним на примере.

1,45 + 2,32

Округлим данные числа до десятых.

1,45 ≈ 1,5

2,32 ≈ 2,3

Сложим приближённые значения дробей.

1,5 + 2,3 = 3,8

Проверим с исходными числами.

1,45 + 2,32 = 3,77

Округлим сумму до десятых.

3,77 ≈ 3,8

Получили тот же результат.

Итак, чтобы вычислить приближённую сумму или разность двух чисел, надо округлить эти числа с одинаковой точностью, то есть до одного и того же разряда. Затем сложить или вычесть полученные приближения.

Рассмотрим пример.

23,184567 + 4,4486

Округлим эти числа с точностью до одной сотой.

23,184567 ≈ 23,18

4,4486 ≈ 4,45

Найдём сумму приближённых значений.

23,18 + 4,45 = 27,63

23,184567 + 4,4486 ≈ 27,63

Теперь рассмотрим умножение и деление.

Чтобы вычислить приближённое произведение или частное двух чисел, надо округлить эти числа с точностью до одной и той же значащей цифры, перемножить или разделить полученные приближения и результат округлить до той же значащей цифры.

Пусть даны числа.

246,76556 и 0,0078653

Найдём их произведение и частное.

Округлим числа до трёх значащих цифр.

246,76556 ≈ 247

0,0078653 ≈ 0,00787

Вычислим произведение их приближений.

247·0,00787 = 1,94389

Округлим результат также до трёх значащих цифр.

1,94389 ≈ 1,94

Получаем, что

246,76556 · 0,0078653 ≈ 1,94

Вычислим частное приближений этих чисел и тоже округлим его до трёх значащих цифр.

247 : 0,00787 = 31385,00635… ≈ 31400

Получаем, что

246,76556 : 0,0078653 ≈ 31400

Точность вычислений находится в противоречии с простотой вычислений. Чем большим количеством цифр мы пользуемся, тем точнее наш результат.

Пример

Вычислить 2,2637².

Для простоты вычислений округлим до одной значащей цифры.

2,2637 ≈ 2

Тогда 2² = 4.

Округлим до двух значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,3

Тогда 2,3² = 5,29

Округлим до трёх значащих цифр.

2,2637 ≈ 2,26

2,26² = 5,1076

Если же посчитать не приближённый, а реальный результат, то получается

2,2637² = 5,12433769

Видим, что наиболее приближённый к реальному результат дало нам округление до трёх значащих цифр. А самый далёкий от реального результат дало округление до одной значащей цифры.

Разбор заданий тренировочного модуля

Тип 1. Ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Вставьте вместо пропусков верные цифры.

Задание. Вычислите приближённое значение произведения, округлив множители до двух значащих цифр.

2,465·1,923 ≈ …

Решение

Округлим множители до двух значащих цифр.

2,465≈ 2,5

1,923≈1,9

Найдём произведение приближённых значений.

2,5·1,9=4,75

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

4,75≈4,8

Ответ:2,465·1,923 ≈4,8.

Тип 2. Подстановка элементов в пропуски в тексте

Нахождение приближённого значения частного десятичных дробей

Задание. Вставьте вместо пропуска цифру, чтобы получилось верное равенство.

3,_781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Решение. При нахождении приближённого значения частного, числа были округлены до двух значащих цифр. В делимом третья значимая цифра 7, значит, при округлении ко второй цифре прибавили единицу. Получилось 6, значит, исходная цифра – это 5.

Ответ: 3,5781 : 0,00494 ≈ 3,6 : 0,0049

Тип 3. Добавление подписей к изображениям

Нахождение приближённого значения произведения и частного десятичных дробей

Задание. Округлив числа a и b с точностью до двух значащих цифр, найдите и впишите результаты действий.

a = 191,452; b = 0,004868

a : b =

a · b =

Решение

Округлим числа до двух значащих цифр.

191,452 ≈ 190

0,004868 ≈ 0,0049

Найдём частное приближённых значений.

190 : 0,0049 = 38775,5

Округлим до двух значащих цифр.

38775,5… ≈ 39000

Найдём произведение приближённых значений.

190 · 0,0049 = 0,931

Округлим произведение также до двух значащих цифр.

0,931 ≈ 0,93

Ответ:

a : b = 39000

a · b = 0,93

Содержание:

1. Приближённые вычисления
2. Абсолютная и относительная погрешности
3. Выполнение действий над приближёнными числами
4. Выполнение действий без точного учёта погрешности

Приближённые вычисления

Приближённые вычисления — вычисления, в которых данные и результат (или только результат) являются числами, приближенно представляющими истинные значения соответствующих величин. Числовые данные, полученные измерением реальных объектов, редко бывают точными значениями соответствующей величины, а обычно имеют некоторую погрешность

Абсолютная и относительная погрешности

При решении практических задач часто приходится иметь дело с приближёнными значениями разных числовых величин. К ним относятся: результаты измерения разных величин с помощью приборов; значения полученные при считывании на графиках, диаграммах, номограммах; проектные данные; результаты округления чисел; результаты действий над приближёнными числами; табличные значения некоторых величин; результаты вычислений значений функции. Приближённые значения (приближение, приближённые числа) могут значительно отличаться от точных, либо быть близкими к ним.

Для оценки отклонения приближённых чисел от точных используют такие понятия как абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютной погрешностью  приближённой называется модуль разности между точным значением величины  и её приближённым значением х, то есть

Пример.

Абсолютная погрешность приближённого числа  числом 0,44 составляет

Если точное число неизвестно, то найти абсолютную погрешность  невозможно. На практике вводят оценку допустимой при данных измерениях или вычислениях абсолютной погрешности, которую называют пределом абсолютной погрешности и обозначают буквой h. Считают, что h. Как правило, предел абсолютной погрешности устанавливают из практических соображений, например, при измерениях  пределом абсолютной погрешности считают наименьшее деление прибора.

При записи приближённых чисел часто используют понятия верной и сомнительной цифры.

Цифра  называется верной, если предел абсолютной погрешности данного приближения не превышает единицы того разряда, в котором записана эта цифра. В другом случае цифра называется  сомнительной.

Например: в числе две цифры верны, поскольку погрешность 0,04 не превышает единицу разряда десятых. Цифры 9 и 7 верны, поскольку  а цифры 4 и 6 являются сомнительными, поскольку 

В конечной записи приближённого числа сохраняют только верные цифры. Так число  можно записать в виде  , число  в виде  Если в десятичной дроби последние верные цифры — нули, то их оставляют в записи числа.

Например: если , то правильной записью числа будет 0,260.

Если в целом числе последние нули являются сомнительными, их исключают из записи числа.

Именно поэтому при работе с приближёнными числами широко используют стандартную форму записи числа.

Например: в числе  верными являются три первые цифры, а два последних нуля — сомнительные цифры. Запись числа возможна только в виде: 

Следовательно, в десятичной записи приближённого числа последняя цифра указывает на точность приближённости, то есть предел абсолютной погрешности не превышает единицу последнего разряда.

Например:

1. Запись  означает, что , то есть предел абсолютной погрешности h=0,01.

2. Запись 

3. Если 

В десятичной записи числа значимыми цифрами называются все его верные цифры начиная с первой слева, отличной от нуля.

Например: в числе 1,13 — три значимых цифры, в числе 0,017 — две, в числе 0,303 — три, в числе 5,200 — четыре, в числе 25_*10³ — две значимых цифры.

При таком подходе к записи приближенного числа необходимо уметь округлять числа.

Правила округления чисел:

— Если первая цифра, которую отбрасываем является меньше пяти, то в основном разряде, который сохраняется цифра не меняется. Например: 879,673≈879,67.

— Если первая цифра, которую отбрасываем больше пяти, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 456,87≈456,9.

— Если первая цифра, которая отбрасывается пять и за ней есть ещё отличны от нуля, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 1246,5002≈1247.

— Если первая цифра, которая отбрасывается — пять и за ней нет больше никаких цифра, то в последнем разряде, который сохраняется цифра увеличивается на единицу. Например: 0,275≈0,28; 1,865≈1,86.

Абсолютная погрешность не полностью характеризует точность приближения. Например,  будет грубой ошибкой при измерении жука, и незначительной при измерении кита. Тоже самое можно сказать и про предел абсолютной погрешности. Качество (точность) приближённости лучше характеризуется относительной погрешностью.

Относительной погрешностью  (омега) приближённости х величины  называется отношением абсолютной погрешности  этого приближения к модулю приближённого значения х, то есть 

Поскольку абсолютная погрешность  обычно бывает неизвестна, то на практике оценивают модуль относительной погрешности некоторым числом, которое не меньше чем этот модуль: 

Число  называется пределом относительной погрешности.

Предел относительной погрешности можно вычислить по формуле: 

Конечно относительная погрешность выражается в процентах.

С помощью относительной погрешности легко установить точность приближённости.

Пример 1. Найти относительную погрешность числа 

Решение: Имеем 

Следовательно 

Пример 2. Сравнить точность измерения толщины книги d (см) и высоты стола H (см), если известно, что  .

Решение: 

Как видим, точность измерения высоты стола значительно выше.

Выполнение действий над приближёнными числами

Результат арифметических действий над приближёнными числами является также приближённым числом.

Необходимо уметь устанавливать погрешности результатов вычислений. Их находят с точным и без точного учёта погрешностей исходных данных. Правила нахождения погрешностей результатов действий с точным учётом погрешности приведены в таблице (обозначения –  исходные данные;  пределы абсолютных погрешностей относительно чисел; пределы относительных погрешностей).

Пример 3. Вычислить приближение значения выражения  и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадрата числа 5,62 и квадратного корня из числа 18,50.

Найдём границу относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата:

Ответ: 

Пример 4. Вычислить приближение значения выражения   и найти предел погрешностей результата.

Решение: находим значение квадратного корня из числа 6,24 и , имеем:

Граница относительной погрешности результата:

Граница абсолютной погрешности результата: 

Ответ: 

Выполнение действий без точного учёта погрешности

Точный учёт погрешности усложняет вычисление. Поэтому, если не надо учитывать погрешность промежуточных результатов, можно использовать более простые правила. 

Сложение и вычитание приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить слагаемое с наименьшим числом верных десятичных знаков;

б) округлить другие слагаемые так, чтобы каждое из них содержало на один десятичный знак больше чем выделенное;

в) выполнить действия, учитывая все сохранённые десятичные знаки;

г) результаты округлить и сохранить столько десятичных знаков, сколько их есть в приближённом числе с наименьшим числом десятичных знаков.

Умножение и деление приближённых вычислений рекомендуется выполнять так:

а) выделить среди данных чисел, число с наименьшим количеством верных значимых цифр;

б) округлить оставшиеся данные так, чтобы каждое из них содержало на одну значащую цифру больше, чем в выделенном;

в) выполнить действия — сохранить все значимые цифры;

г) сохранять в результате столько значащих цифр, сколько их имеет выделенное число с наименьшим количеством верных значимых цифр.

При возведении в степень приближённого числа в результате сохраняют столько значимых цифр, сколько верных значимых цифр имеет основа степени.

При извлечении корня из приближённого числа в результате сохраняют столько верных цифр, сколько имеет подкоренное число.

При сложении приближенных чисел могут предста­виться два случая: первый, когда все слагаемые даны с одинаковой абсолютной погрешностью, второй — когда погрешность их разная.

В первом случае сумма приближенных чисел нахо­дится по обычному правилу сложения. Если же слагае­мые имеют разную степень точности, то это обстоятель­ство должно быть учтено при сложении. Рассмотрим пример.

Пусть требуется сложить приближенные числа 12,452; 0,74; 15,3 и 10,82.

Если мы станем складывать данные слагаемые по общему правилу сложения и подпишем их одно под дру­гим:

12,452 0,74

+ 15,3 10,82

то сразу же наталкиваемся на затруднение: с чем скла­дывать тысячные доли первого слагаемого? Тысячные доли, очевидно, могут быть <и в остальных слагаемых (или могли быть до округления), но они нам неизвестны, по­этому складывать тысячные доли первого слагаемого не с чем, а просто перенести их в итог—значит, записать за­ведомо неправильную цифру. Сотые доли имеются в пер­вом, втором и четвертом слагаемых, но неизвестно, сколь­ко их в третьем слагаемом, значит, складывать их тоже не имеет смысла. Только десятые доли содержатся в ка­ждом из слагаемых и складывать их можно на общих основаниях.

Таким образом, при сложении приближенных чисел с разным количеством десятичных знаков следует сохра­нить только те из них, которые имеются у всех слагае­мых, остальные отбрасываются с округлением.

Поэтому данный пример должен быть записан так:

12,5 0,7 + 15,3         10,8    

39,3

Если при сложении нескольких приближенных чисел, имеющих большое количество знаков, заданная точность невелика, в наибольшем из слагаемых сохраняют на один знак ‘больше против требуемой точности, остальные знаки отбрасывают с округлением; столько же знаков сохраняют во всех прочих слагаемых, затем производят сложение указанным способом.

Пример 1. Найти сумму приближенных чисел 3,71842 + 0,2464 + 27,114 + 12,86458 с тремя верными знаками.

Поступая по указанному правилу, оставляем в самом большем слагаемом (27,114) четыре цифры, т. е. запи­шем 27,11, затем подписываем под ним остальные сла­гаемые с тем же числом верных знаков и производим сложение как указано выше:

27,11 3,72 + 0,25        12,86

43,9 (4)

Данное правило обычно применяют в том случае, когда число слагаемых не превышает 20; при количестве слагаемых от 20 до 200 следует сохранять в них вместо судной две лишних цифры.

Вычитание приближенных чисел производится на основе изложенных выше правил.

Пример 2. Найти разность приближенных чисел 25,17 — 0,7268.

В данном примере оба числа — приближенные, но в вычитаемом имеются тысячные и десятитысяч­ные доли, в то время как в уменьшаемом верны только десятые и сотые, а тысячные не учтены. Следова­тельно, оба последние знака вычитаемого приходится от­бросить и в качестве вычитаемого принять дробь 0,73.

В результате получим число 24,44, в котором первые три знака вполне точны, а четвертый может считаться только почти точным.