Как найти примерное значение логарифма - Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Логарифмом положительного числа (c) по основанию (a) ((a>0, aneq1)) называется показатель степени (b), в которую надо возвести основание (a), чтобы получить число (c) ((c>0)), т.е.

(a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)

Объясним проще. Например, (log_{2}{8}) равен степени, в которую надо возвести (2), чтоб получить (8). Отсюда понятно, что (log_{2}{8}=3).

Примеры:	(log_{5}{25}=2)	т.к. (5^{2}=25)
	(log_{3}{81}=4)	т.к. (3^{4}=81)
	(log_{2})(frac{1}{32})(=-5)	т.к. (2^{-5}=)(frac{1}{32})

Аргумент и основание логарифма

Любой логарифм имеет следующую «анатомию»:

Аргумент логарифма обычно пишется на его уровне, а основание – подстрочным шрифтом ближе к знаку логарифма. А читается эта запись так: «логарифм двадцати пяти по основанию пять».

Как вычислить логарифм?

Чтобы вычислить логарифм – нужно ответить на вопрос: в какую степень следует возвести основание, чтобы получить аргумент?

Например, вычислите логарифм: а) (log_{4}{16}) б) (log_{3})(frac{1}{3}) в) (log_{sqrt{5}}{1}) г) (log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}) д) (log_{3}{sqrt{3}})

а) В какую степень надо возвести (4), чтобы получить (16)? Очевидно во вторую. Поэтому:

(log_{4}{16}=2)

б) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (frac{1}{3})? В минус первую, так как именно отрицательная степень «переворачивает дробь» (здесь и далее пользуемся свойствами степени).

(log_{3})(frac{1}{3})(=-1)

в) В какую степень надо возвести (sqrt{5}), чтобы получить (1)? А какая степень делает любое число единицей? Ноль, конечно!

(log_{sqrt{5}}{1}=0)

г) В какую степень надо возвести (sqrt{7}), чтобы получить (sqrt{7})? В первую – любое число в первой степени равно самому себе.

(log_{sqrt{7}}{sqrt{7}}=1)

д) В какую степень надо возвести (3), чтобы получить (sqrt{3})? Из свойств степени мы знаем, что корень – это дробная степень, и значит квадратный корень – это степень (frac{1}{2}).

(log_{3}{sqrt{3}}=)(frac{1}{2})

Пример: Вычислить логарифм (log_{4sqrt{2}}{8})

Решение:

(log_{4sqrt{2}}{8}=x)		Нам надо найти значение логарифма, обозначим его за икс. Теперь воспользуемся определением логарифма: (log_{a}{c}=b) (Leftrightarrow) (a^{b}=c)
((4sqrt{2})^{x}=8)		Что связывает (4sqrt{2}) и (8)? Двойка, потому что и то, и другое число можно представить степенью двойки: (4=2^{2}) (sqrt{2}=2^{frac{1}{2}}) (8=2^{3})
({(2^{2}cdot2^{frac{1}{2}})}^{x}=2^{3})		Слева воспользуемся свойствами степени: (a^{m}cdot a^{n}=a^{m+n}) и ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n})
(2^{frac{5}{2}x}=2^{3})		Основания равны, переходим к равенству показателей
(frac{5x}{2})(=3)		Умножим обе части уравнения на (frac{2}{5})
(x=1,2)		Получившийся корень и есть значение логарифма

Ответ: (log_{4sqrt{2}}{8}=1,2)

Foxford

Зачем придумали логарифм?

Чтобы это понять, давайте решим уравнение: (3^{x}=9). Просто подберите (x), чтобы равенство сработало. Конечно, (x=2).

А теперь решите уравнение: (3^{x}=8).Чему равен икс? Вот в том-то и дело.

Самые догадливые скажут: «икс чуть меньше двух». А как точно записать это число? Для ответа на этот вопрос и придумали логарифм. Благодаря ему, ответ здесь можно записать как (x=log_{3}{8}).

Хочу подчеркнуть, что (log_{3}{8}), как и любой логарифм – это просто число. Да, выглядит непривычно, но зато коротко. Потому что, если бы мы захотели записать его в виде десятичной дроби, то оно выглядело бы вот так: (1,892789260714…..)

Пример: Решите уравнение (4^{5x-4}=10)

Решение:

(4^{5x-4}=10)		(4^{5x-4}) и (10) никак к одному основанию не привести. Значит тут не обойтись без логарифма. Воспользуемся определением логарифма: (a^{b}=c) (Leftrightarrow) (log_{a}{c}=b)
(log_{4}{10}=5x-4)		Зеркально перевернем уравнение, чтобы икс был слева
(5x-4=log_{4}{10})		Перед нами линейное уравнение. Перенесем (4) вправо. И не пугайтесь логарифма, относитесь к нему как к обычному числу.
(5x=log_{4}{10}+4)		Поделим уравнение на 5
(x=)(frac{log_{4}{10}+4}{5})		Вот наш корень. Да, выглядит непривычно, но ответ не выбирают.

Ответ: (frac{log_{4}{10}+4}{5})

Десятичный и натуральный логарифмы

Как указано в определении логарифма, его основанием может быть любое положительное число, кроме единицы ((a>0, aneq1)). И среди всех возможных оснований есть два встречающихся настолько часто, что для логарифмов с ними придумали особую короткую запись:

Натуральный логарифм: логарифм, у которого основание – число Эйлера (e) (равное примерно (2,7182818…)), и записывается такой логарифм как (ln{a}).

То есть, (ln{a}) это то же самое, что и (log_{e}{a}), где (a) – некоторое число.

Десятичный логарифм: логарифм, у которого основание равно 10, записывается (lg{a}).

То есть, (lg{a}) это то же самое, что и (log_{10}{a}), где (a) – некоторое число.

Основное логарифмическое тождество

У логарифмов есть множество свойств. Одно из них носит название «Основное логарифмическое тождество» и выглядит вот так:

Это свойство вытекает напрямую из определения. Посмотрим как именно эта формула появилась.

Вспомним краткую запись определения логарифма:

если (a^{b}=c), то (log_{a}{c}=b)

То есть, (b) – это тоже самое, что (log_{a}{c}). Тогда мы можем в формуле (a^{b}=c) написать (log_{a}{c}) вместо (b). Получилось (a^{log_{a}{c}}=c) – основное логарифмическое тождество.

Остальные свойства логарифмов вы можете найти здесь. С их помощью можно упрощать и вычислять значения выражений с логарифмами, которые «в лоб» посчитать сложно.

Пример: Найдите значение выражения (36^{log_{6}{5}})

Решение:

(36^{log_{6}{5}}=)		Сразу пользоваться свойством (a^{log_{a}{c}}=c) мы не можем, так как в основании степени и в основании логарифма – разные числа. Однако мы знаем, что (36=6^{2})
(=(6^{2})^{log_{6}{5}}=)		Зная формулу ((a^{m})^{n}=a^{mcdot n}), а так же то, что множители можно менять местами, преобразовываем выражение
(=6^{2cdotlog_{6}{5}}=6^{log_{6}{5}cdot2}=(6^{log_{6}{5}})^{2}=)		Вот теперь спокойно пользуемся основным логарифмическим тождеством.
(=5^{2}=25)		Ответ готов.

Ответ: (25)

Как число записать в виде логарифма?

Как уже было сказано выше – любой логарифм это просто число. Верно и обратное: любое число может быть записано как логарифм. Например, мы знаем, что (log_{2}{4}) равен двум. Тогда можно вместо двойки писать (log_{2}{4}).

Но (log_{3}{9}) тоже равен (2), значит, также можно записать (2=log_{3}{9}) . Аналогично и с (log_{5}{25}), и с (log_{9}{81}), и т.д. То есть, получается

(2=log_{2}{4}=log_{3}{9}=log_{4}{16}=log_{5}{25}=log_{6}{36}=log_{7}{49}…)

Таким образом, если нам нужно, мы можем где угодно (хоть в уравнении, хоть в выражении, хоть в неравенстве) записывать двойку как логарифм с любым основанием – просто в качестве аргумента пишем основание в квадрате.

Точно также и с тройкой – ее можно записать как (log_{2}{8}), или как (log_{3}{27}), или как (log_{4}{64})… Здесь мы как аргумент пишем основание в кубе:

(3=log_{2}{8}=log_{3}{27}=log_{4}{64}=log_{5}{125}=log_{6}{216}=log_{7}{343}…)

И с четверкой:

(4=log_{2}{16}=log_{3}{81}=log_{4}{256}=log_{5}{625}=log_{6}{1296}=log_{7}{2401}…)

И с минус единицей:

(-1=) (log_{2})(frac{1}{2})(=) (log_{3})(frac{1}{3})(=) (log_{4})(frac{1}{4})(=) (log_{5})(frac{1}{5})(=) (log_{6})(frac{1}{6})(=) (log_{7})(frac{1}{7})(…)

И с одной третьей:

(frac{1}{3})(=log_{2}{sqrt[3]{2}}=log_{3}{sqrt[3]{3}}=log_{4}{sqrt[3]{4}}=log_{5}{sqrt[3]{5}}=log_{6}{sqrt[3]{6}}=log_{7}{sqrt[3]{7}}…)

И так далее.

Любое число (a) может быть представлено как логарифм с основанием (b): (a=log_{b}{b^{a}})

Пример: Найдите значение выражения (frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})

Решение:

(frac{log_{2}{14}}{1+log_{2}{7}})(=)		Превращаем единицу в логарифм с основанием (2): (1=log_{2}{2})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{2}+log_{2}{7}})(=)		Теперь пользуемся свойством логарифмов: (log_{a}{b}+log_{a}{c}=log_{a}{(bc)})
(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{(2cdot7)}})(=)(frac{log_{2}{14}}{log_{2}{14}})(=)		В числителе и знаменателе одинаковые числа – их можно сократить.
(=1)		Ответ готов.

Ответ: (1)

Смотрите также:
Логарифмические уравнения
Логарифмические неравенства

Источник

Как примерно узнать значение логарифма?

Динар Хабибуллин

Знаток

(289),
закрыт

8 лет назад

есть log3(4) и log3(5) , как узнать их примерное значение? (мне не нужен ответ, мне нужно объяснение)
мне надо для того, чтобы поставить значения в правильном порядке на луч в С3

Styx

Гений

(83658)

9 лет назад

Вы в курсе, ЧТО ВЫ НЕ ТО!! ! делаете, чтобы на ось наносить НЕ ЭТО вам знать нужно, а СВОЙСТВА лог функции, а именно, что если основание больше 1, то ФУНКЦИЯ ВОЗРАСТАЕТ и log3(4)< log3(5)
Учебник откройте, а вам тут насоветуют…

Источник

Вычисление логарифмов: способы, примеры, решения

Вычисление логарифмов по определению

В простейших случаях возможно достаточно быстро и легко выполнить нахождение логарифма по определению. Давайте подробно рассмотрим, как происходит этот процесс.

Его суть состоит в представлении числа b в виде a c , откуда по определению логарифма число c является значением логарифма. То есть, нахождению логарифма по определению отвечает следующая цепочка равенств: log_ab=log_aa c =c .

Итак, вычисление логарифма по определению сводится к нахождению такого числа c , что a c =b , а само число c есть искомое значение логарифма.

Учитывая информацию предыдущих абзацев, когда число под знаком логарифма задано некоторой степенью основания логарифма, то можно сразу указать, чему равен логарифм – он равен показателю степени. Покажем решения примеров.

Найдите log₂2 −3 , а также вычислите натуральный логарифм числа e 5,3 .

Определение логарифма позволяет нам сразу сказать, что log₂2 −3 =−3 . Действительно, число под знаком логарифма равно основанию 2 в −3 степени.

Аналогично находим второй логарифм: lne 5,3 =5,3 .

log₂2 −3 =−3 и lne 5,3 =5,3 .

Если же число b под знаком логарифма не задано как степень основания логарифма, то нужно внимательно посмотреть, нельзя ли прийти к представлению числа b в виде a c . Часто такое представление бывает достаточно очевидно, особенно когда число под знаком логарифма равно основанию в степени 1 , или 2 , или 3 , …

Вычислите логарифмы log₅25 , и .

Несложно заметить, что 25=5 2 , это позволяет вычислять первый логарифм: log₅25=log₅5 2 =2 .

Переходим к вычислению второго логарифма . Число можно представить в виде степени числа 7 : (при необходимости смотрите степень с дробным показателем ). Следовательно, .

Перепишем третий логарифм в следующем виде . Теперь можно увидеть, что , откуда заключаем, что . Следовательно, по определению логарифма .

Коротко решение можно было записать так: .

log₅25=2 , и .

Когда под знаком логарифма находится достаточно большое натуральное число, то его не помешает разложить на простые множители. Это часто помогает представить такое число в виде некоторой степени основания логарифма, а значит, вычислить этот логарифм по определению.

Найдите значение логарифма .

Разложение на простые множители числа под знаком логарифма имеет вид 7776=2 5 ·3 5 , откуда следует, что 7776=6 5 . Полученное выражение несложно представить в виде степени числа . Так как , то (в последнем переходе мы использовали свойство степени в степени ). Таким образом, . На этом вычисление логарифма завершено.

В заключение этого пункта отметим, что мы не ставили целью рассмотреть все способы представления числа под знаком логарифма в виде некоторой степени основания. Наша цель заключалась в том, чтобы дать самые часто используемые варианты действий, приводящие к результату при вычислении логарифмов по определению.

Как решать «вложенные» логарифмические уравнения

Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого логарифма. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы.Сегодня мы продолжаем изучать логарифмические уравнения и разберем конструкции, когда один логарифм стоит под знаком другого. Оба уравнения мы будем решать с помощью канонической формы. Напомню, если у нас есть простейшее логарифмическое уравнение вида log _a f ( x ) = b , то для решения такого уравнения мы выполняем следующие шаги. В первую очередь, нам нужно заменить число b :

Заметьте: a b — это аргумент. Точно так же в исходном уравнении аргументом является функция f ( x ). Затем мы переписываем уравнение и получаем вот такую конструкцию:

log _a f ( x ) = log _a a b

Уже затем мы можем выполнить третий шаг — избавится от знака логарифма и просто записать:

В результате мы получим новое уравнение. При этом никаких ограничений на функцию f ( x ) не накладывается. Например, на ее месте также может стоять логарифмическая функция. И тогда мы вновь получим логарифмическое уравнение, которое снова сведем к простейшему и решим через каноническую форму.

Впрочем, хватит лирики. Давайте решим настоящую задачу. Итак, задача № 1:

Как видим, перед нами простейшее логарифмическое уравнение. В роли f ( x ) выступает конструкция 1 + 3 log₂ x , а в роли числа b выступает число 2 (в роли a также выступает двойка). Давайте перепишем эту двойку следующим образом:

Важно понимать, что первые две двойки пришли к нам из основания логарифма, т. е. если бы в исходном уравнении стояла 5, то мы бы получили, что 2 = log₅ 5 2 . В общем, основание зависит исключительно от логарифма, который изначально дан в задаче. И в нашем случае это число 2.

Итак, переписываем наше логарифмическое уравнение с учетом того, что двойка, которая стоит справа, на самом деле тоже является логарифмом. Получим:

Переходим к последнему шагу нашей схемы — избавляемся от канонической формы. Можно сказать, просто зачеркиваем знаки log. Однако с точки зрения математики «зачеркнуть log» невозможно — правильнее сказать, что мы просто просто приравниваем аргументы:

Отсюда легко находится 3 log₂ x :

Мы вновь получили простейшее логарифмическое уравнение, давайте снова приведем его к канонической форме. Для этого нам необходимо провести следующие изменения:

Почему в основании именно двойка? Потому что в нашем каноническом уравнении слева стоит логарифм именно по основанию 2. Переписываем задачу с учетом этого факта:

Снова избавляемся от знака логарифма, т. е. просто приравниваем аргументы. Мы вправе это сделать, потому что основания одинаковые, и больше никаких дополнительных действий ни справа, ни слева не выполнялось:

Вот и все! Задача решена. Мы нашли решение логарифмического уравнения.

Обратите внимание! Хотя переменная х и стоит в аргументе (т. е. возникают требования к области определения), мы никаких дополнительных требований предъявлять не будем.

Как я уже говорил выше, данная проверка является избыточной, если переменная встречается лишь в одном аргументе лишь одного логарифма. В нашем случае х действительно стоит лишь в аргументе и лишь под одним знаком log. Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется.

Тем не менее, если вы не доверяете данному методу, то легко можете убедиться, что х = 2 действительно является корнем. Достаточно подставить это число в исходное уравнение.

Давайте перейдем ко второму уравнению, оно чуть интересней:

Если обозначить выражение внутри большого логарифма функцией f ( x ), получим простейшее логарифмическое уравнение, с которого мы начинали сегодняшний видеоурок. Следовательно, можно применить каноническую форму, для чего придется представить единицу в виде log₂ 2 1 = log₂ 2.

Переписываем наше большое уравнение:

Изваляемся от знака логарифма, приравнивая аргументы. Мы вправе это сделать, потому что и слева, и справа основания одинаковые. Кроме того, заметим, что log₂ 4 = 2:

log_1/2 (2 x − 1) + 2 = 2

Перед нами снова простейшее логарифмическое уравнение вида log _a f ( x ) = b . Переходим к канонической форме, т. е. представляем ноль в виде log_1/2 (1/2)0 = log_1/2 1.

Переписываем наше уравнение и избавляемся от знака log, приравнивая аргументы:

Опять же мы сразу получили ответ. Никаких дополнительных проверок не требуется, потому что в исходном уравнении лишь один логарифм содержит функцию в аргументе.

Следовательно, никаких дополнительных проверок выполнять не требуется. Мы можем смело утверждать, что х = 1 является единственным корнем данного уравнения.

А вот если бы во втором логарифме вместо четверки стояла бы какая-то функция от х (либо 2х стояло бы не в аргументе, а в основании) — вот тогда потребовалось бы проверять область определения. Иначе велик шанс нарваться на лишние корни.

Откуда возникают такие лишние корни? Этот момент нужно очень четко понимать. Взгляните на исходные уравнения: везде функция х стоит под знаком логарифма. Следовательно, поскольку мы записали log₂ x , то автоматически выставляем требование х > 0. Иначе данная запись просто не имеет смысла.

Однако по мере решения логарифмического уравнения мы избавляемся от всех знаков log и получаем простенькие конструкции. Здесь уже никаких ограничений не выставляется, потому что линейная функция определена при любом значении х.

Именно эта проблема, когда итоговая функция определена везде и всегда, а исходная — отнюдь не везде и не всегда, и является причиной, по которой в решении логарифмических уравнениях очень часто возникают лишние корни.

Но повторю еще раз: такое происходить лишь в ситуации, когда функция стоит либо в нескольких логарифмах, либо в основании одного из них. В тех задачах, которые мы рассматриваем сегодня, проблем с расширением области определения в принципе не существует.

Тонкости и хитрости решения

Сегодня мы переходим к более сложным задачам и будем решать логарифмическое уравнение, в основании которого стоит не число, а функция.

И пусть даже эта функция линейна — в схему решения придется внести небольшие изменения, смысл которых сводится к дополнительным требованиям, накладываемым на область определения логарифма.

Логарифмические уравнения. Методы решения

На самом деле существует целая масса подходов: это и разложение на множители, и потенцирование, и замена, и работа с основаниями…

Но все методы решения логарифмических уравнения роднит одно: их цель свести логарифмические уравнения к простейшему виду::

Если уравнение сведено к такому, что слева и справа от знака «равно» стоят логарифмы с одним основанием, то логарифмы мы «зачеркиваем» и решаем оставшееся уравнение.

Однако, тут есть один подводный камень: поскольку логарифм определен только тогда, когда

то после нахождения корней логарифмического уравнения, мы обязаны сделать проверку. Я не поленюсь и повторю еще раз:

В ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЯХ МЫ ВСЕГДА ДЕЛАЕМ ПРОВЕРКУ ПОЛУЧЕННЫХ КОРНЕЙ!!

Те учащиеся, которые игнорируют это требование, как правило допускают глупейшие и непростительные ошибки!

Согласись, обидно решить правильно уравнение, а потом не сделать самую малость: проверку, и записать лишние корни, и записать из-за этого неправильный ответ!

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения

Теперь на основе этих формул(свойств), покажем примеры решения логарифмов.

Примеры решения логарифмов на основании формул

Логарифм положительного числа b по основанию a (обозначается logab) — это показатель степени, в которую надо возвести a, чтобы получить b, при этом b > 0, a > 0, а 1.

Согласно определения logab = x, что равносильно ax = b, поэтому logaax = x.

log749 = 2, т.к. 72 = 49

Десятичный логарифм — это обычный логарифм, в основании которого находится 10. Обозначается как lg.

log10100 = 2, т.к. 102 = 100

Натуральный логарифм — также обычный логарифм логарифм, но уже с основанием е (е = 2,71828… — иррациональное число). Обозначается как ln.

Формулы или свойства логарифмов желательно запомнить, потому что они понадобятся нам в дальнейшем при решении логарифмов, логарифмических уравнений и неравенств. Давайте еще раз отработаем каждую формулу на примерах.

Основное логарифмическое тождество
a logab = b
Пример.
82log83 = (82log83)2 = 32 = 9

Логарифм произведения равен сумме логарифмов loga (bc) = logab + logac
Пример.
log38,1 + log310 = log3 (8,1*10) = log381 = 4

Логарифм частного равен разности логарифмов
loga (b/c) = logab — logac
Пример.
9 log550/9 log52 = 9 log550- log52 = 9 log525 = 9 2 = 81

Свойства степени логарифмируемого числа и основания логарифма

Показатель степени логарифмируемого числа logab m = mlogab

Показатель степени основания логарифма loganb =1/n*logab

loganb m = m/n*logab,

если m = n, получим loganb n = logab

log49 = log223 2 = log23

Переход к новому основанию
logab = logcb/logca,

если c = b, получим logbb = 1

тогда logab = 1/logba

log0,83*log31,25 = log0,83*log0,81,25/log0,83 = log0,81,25 = log4/55/4 = -1

Как видите, формулы логарифмов не так сложны как кажутся. Теперь рассмотрев примеры решения логарифмов мы можем переходить к логарифмическим уравнениям.

Область допустимых значений (ОДЗ) логарифма

Теперь поговорим об ограничениях (ОДЗ – область допустимых значений переменных).

Мы помним, что, например, квадратный корень нельзя извлекать из отрицательных чисел; или если у нас дробь, то знаменатель не может быть равен нулю. Подобные ограничения есть и у логарифмов:

То есть и аргумент, и основание должны быть больше нуля, а основание еще и не может равняться .

Начнем с простого: допустим, что . Тогда, например, число не существует, так как в какую бы степень мы не возводили , всегда получается . Более того, не существует ни для какого . Но при этом может равняться чему угодно (по той же причине – в любой степени равно ). Поэтому объект не представляет никакого интереса, и его просто выбросили из математики.

Похожая проблема у нас и в случае : в любой положительной степени – это , а в отрицательную его вообще нельзя возводить, так как получится деление на ноль (напомню, что ).

При мы столкнемся с проблемой возведения в дробную степень (которая представляется в виде корня: . Например, (то есть ), а вот не существует.

Поэтому и отрицательные основания проще выбросить, чем возиться с ними.

Ну а поскольку основание a у нас бывает только положительное, то в какую бы степень мы его ни возводили, всегда получим число строго положительное. Значит, аргумент должен быть положительным. Например, не существует, так как ни в какой степени не будет отрицательным числом (и даже нулем, поэтому тоже не существует).

В задачах с логарифмами первым делом нужно записать ОДЗ. Приведу пример:

Вспомним определение: логарифм – это степень, в которую надо возвести основание , чтобы получить аргумент . И по условию, эта степень равна : .

Получаем обычное квадратное уравнение: . Решим его с помощью теоремы Виета: сумма корней равна , а произведение . Легко подобрать, это числа и .

Но если сразу взять и записать оба этих числа в ответе, можно получить 0 баллов за задачу. Почему? Давайте подумаем, что будет, если подставить эти корни в начальное уравнение?

– это явно неверно, так как основание не может быть отрицательным, то есть корень – «сторонний».

Чтобы избежать таких неприятных подвохов, нужно записать ОДЗ еще до начала решения уравнения:

Тогда, получив корни и , сразу отбросим корень , и напишем правильный ответ.

Использование свойств логарифмов при вычислении

Мощным инструментом вычисления логарифмов является использование свойств логарифмов .

Некоторые свойства логарифмов позволяют сразу указать значение логарифмов. К таким свойствам относятся свойство логарифма единицы и свойство логарифма числа, равного основанию: log₁1=log_aa 0 =0 и log_aa=log_aa 1 =1 . То есть, когда под знаком логарифма находится число 1 или число a , равное основанию логарифма, то в этих случаях логарифмы равны 0 и 1 соответственно.

Чему равны логарифмы и lg10 ?

Так как , то из определения логарифма следует .

Во втором примере число 10 под знаком логарифма совпадает с его основанием, поэтому десятичный логарифм десяти равен единице, то есть, lg10=lg10 1 =1 .

и lg10=1 .

Отметим, что вычисление логарифмов по определению (которое мы разобрали в предыдущем пункте) подразумевает использование равенства log_aa p =p , которое является одним из свойств логарифмов.

На практике, когда число под знаком логарифма и основание логарифма легко представляются в виде степени некоторого числа, очень удобно использовать формулу , которая соответствует одному из свойств логарифмов. Рассмотрим пример нахождения логарифма, иллюстрирующий использование этой формулы.

Вычислите логарифм .

Число под знаком логарифма и основание логарифма можно записать в виде степени двойки: и . Таким образом, . Для вычисления полученного логарифма воспользуемся свойством логарифма , получаем (при затруднениях с вычислениями смотрите статью действия с обыкновенными дробями ).

Не упомянутые выше свойства логарифмов также используются при вычислении, но об этом поговорим в следующих пунктах.

Зачем в жизни нужны логарифмы?

Я уже говорил, что математики СУПЕРленивые люди? Это правда.

Вот представь себе, им лень умножать и они придумали логарифмы, которые позволяют заменить умножение сложением!

Им еще больше лень возводить в степень и они используют логарифмы, чтобы заменить возведение в степень умножением или делением!

То есть они используют логарифмы, чтобы быстро проделывать громоздкие вычисления.

Пример Найдите корень уравнения.

Здесь для решения данного логарифмического уравнения будем использовать свойство логарифма:

То есть внесем число 3 справа под знак логарифма.

Если показатели степени равны, основания степени равны, то равны числа, получаемые в результате, то есть получим

Делаем проверку:

Получаем:

Ответ:

Степень можно выносить за знак логарифма

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0) (7)

И вновь хотелось бы призвать к аккуратности. Рассмотрим следующий пример:

log a (f (x) 2 =2 log a f(x)

Левая часть равенства определена, очевидно, при всех значениях f(х), кроме нуля. Правая часть — только при f(x)>0! Вынося степень из логарифма, мы вновь сужаем ОДЗ. Обратная процедура приводит к расширению области допустимых значений. Все эти замечания относятся не только к степени 2, но и к любой четной степени.

Формула перехода к новому основанию

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1) (8)

Тот редкий случай, когда ОДЗ не изменяется при преобразовании. Если вы разумно выбрали основание с (положительное и не равное 1), формула перехода к новому основанию является абсолютно безопасной.

Если в качестве нового основания с выбрать число b, получим важный частный случай формулы (8):

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1) (9)

Десятичным логарифмом числа x называется логарифм по основанию 10. Десятичные логарифмы используются довольно часто, поэтому для них введено специальное обозначение: log10x = lg x. Все перечисленные выше формулы сохраняют актуальность для десятичных логарифмов. Например, lg(xy)=lgx+lgy (x>0,y>0) .

Натуральным логарифмом числа x (обозначение lnx) называется логарифм х по основанию e. Число e — иррациональное, приближенно равно 2,71. Например, ln e = 1. Пользуясь формулой (8), можно любой логарифм свести к десятичным или натуральным логарифмам: log a b= lgb lga = lnb lna (a>0,a≠1,b>0)

Несколько простых примеров с логарифмами

Пример 1. Вычислите: lg2 + lg50. Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Мы воспользовались формулой суммы логарифмов (5) и определением десятичного логарифма.

Пример 2. Вычислите: lg125/lg5. Решение. lg125/lg5 = log5125 = 3. Мы использовали формулу перехода к новому основанию (8).

a log a b =b (a>0,a≠1)

log a a=1 (a>0,a≠1)

log a 1=0 (a>0,a≠1)

log a (bc)= log a b+ log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b c = log a b− log a c (a>0,a≠1,b>0,c>0)

log a b p =p log a b (a>0,a≠1,b>0)

log a b= log c b log c a (a>0,a≠1,b>0,c>0,c≠1)

log a b= 1 log b a (a>0,a≠1,b>0,b≠1)

Сложные задачи

Этот урок будет довольно длинным. В нем мы разберем два довольно серьезных логарифмических уравнения, при решении которых многие ученики допускают ошибки. За свою практику работы репетитором по математике я постоянно сталкивался с двумя видами ошибок:

Возникновение лишних корней из-за расширения области определения логарифмов. Чтобы не допускать такие обидные ошибки, просто внимательно следите за каждым преобразованием;
Потери корней из-за того, что ученик забыл рассмотреть некоторые «тонкие» случаи — именно на таких ситуациях мы сегодня и сосредоточимся.

Это последний урок, посвященный логарифмическим уравнениям. Он будет длинным, мы разберем сложные логарифмические уравнения. Устраивайтесь поудобней, заварите себе чай, и мы начинаем.

Первое уравнение выглядит вполне стандартно:

Сразу заметим, что оба логарифма являются перевернутыми копиями друг друга. Вспоминаем замечательную формулу:

Однако у этой формулы есть ряд ограничений, которые возникают в том случае, если вместо чисел а и b стоят функции от переменной х:

Эти требования накладываются на основание логарифма. С другой стороны, в дроби от нас требуется 1 ≠ a > 0, поскольку не только переменная a стоит в аргументе логарифма ( следовательно, a > 0), но и сам логарифм находится в знаменателе дроби. Но log _b 1 = 0, а знаменатель должен быть отличным от нуля, поэтому a ≠ 1.

Итак, ограничения на переменную a сохраняется. Но что происходит с переменной b ? С одной стороны, из основания следует b > 0, с другой — переменная b ≠ 1, потому что основание логарифма должно быть отлично от 1. Итого из правой части формулы следует, что 1 ≠ b > 0.

Но вот беда: второе требование ( b ≠ 1) отсутствует в первом неравенстве, посвященном левому логарифму. Другими словами, при выполнении данного преобразования мы должны отдельно проверить, что аргумент b отличен от единицы!

Вот давайте и проверим. Применим нашу формулу:

[Подпись к рисунку]

А теперь, прежде чем идти дальше, выпишем все требования области определения, накладываемые на исходную задачу:

1 ≠ х − 0,5 > 0; 1 ≠ х + 1 > 0

Вот мы и получили, что уже из исходного логарифмического уравнения следует, что и а, и b должны быть больше 0 и не равны 1. Значит, мы спокойно можем переворачивать логарифмическое уравнение:

Предлагаю ввести новую переменную:

В этом случае наша конструкция перепишется следующим образом:

Заметим, что в числителе у нас стоит разность квадратов. Раскрываем разность квадратов по формуле сокращенного умножения:

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Но в числителе стоит произведение, поэтому приравниваем к нулю каждый множитель:

Как видим, оба значения переменной t нас устраивают. Однако на этом решение не заканчивается, ведь нам требуется найти не t , а значение x . Возвращаемся к логарифму и получаем:

Давайте приведем каждое из этих уравнений к канонической форме:

Избавляемся от знака логарифма в первом случае и приравниваем аргументы:

Такое уравнение не имеет корней, следовательно, первое логарифмическое уравнение также не имеет корней. А вот со вторым уравнением все намного интересней:

Решаем пропорцию — получим:

Напоминаю, что при решении логарифмических уравнений гораздо удобней приводить все десятичные дроби обычные, поэтому давайте перепишем наше уравнение следующим образом:

x 2 + x − 1/2 x − 1/2 − 1 = 0;

x 2 + 1/2 x − 3/2 = 0.

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

Получили два корня — они являются кандидатами на решение исходного логарифмического уравнения. Для того чтобы понять, какие корни действительно пойдут в ответ, давайте вернемся к исходной задаче. Сейчас мы проверим каждый из наших корней на предмет соответствия области определения:

1,5 ≠ х > 0,5; 0 ≠ х > −1.

Эти требования равносильны двойному неравенству:

Отсюда сразу видим, что корень х = −1,5 нас не устраивает, а вот х = 1 вполне устраивает. Поэтому х = 1 — окончательное решение логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

На первый взгляд может показаться, что у всех логарифмов разные основания и разные аргументы. Что делать с такими конструкциями? В первую очередь заметим, что числа 25, 5 и 625 — это степени 5:

А теперь воспользуемся замечательным свойством логарифма. Дело в том, что можно выносить степени из аргумента в виде множителей:

На данное преобразование также накладываются ограничения в том случае, когда на месте b стоит функция. Но у нас b — это просто число, и никаких дополнительных ограничений не возникает. Перепишем наше уравнение:

Получили уравнение с тремя слагаемыми, содержащими знак log. Причем аргументы всех трех логарифмов равны.

Самое время перевернуть логарифмы, чтобы привести их к одному основанию — 5. Поскольку в роли переменной b выступает константа, никаких изменений области определения не возникает. Просто переписываем:

Как и предполагалось, в знаменателе «вылезли» одни и те же логарифмы. Предлагаю выполнить замену переменной:

В этом случае наше уравнение будет переписано следующим образом:

Выпишем числитель и раскроем скобки:

2 ( t + 3) ( t + 2) + t ( t + 2) − 4 t ( t + 3) = 2 ( t 2 + 5 t + 6) + t 2 + 2 t − 4 t 2 − 12 t = 2 t 2 + 10 t + 12 + t 2 + 2 t − 4 t 2 − 12 t = − t 2 + 12

Возвращаемся к нашей дроби. Числитель должен быть равен нулю:

А знаменатель — отличен от нуля:

Последние требования выполняются автоматически, поскольку все они «завязаны» на целые числа, а все ответы — иррациональные.

Итак, дробно-рациональное уравнение решено, значения переменной t найдены. Возвращаемся к решению логарифмического уравнения и вспоминаем, что такое t :

Приводим это уравнение к канонической форме, получим число с иррациональной степенью. Пусть это вас не смущает — даже такие аргументы можно приравнять:

У нас получилось два корня. Точнее, два кандидата в ответы — проверим их на соответствие области определения. Поскольку в основании логарифма стоит переменная х, потребуем следующее:

С тем же успехом утверждаем, что х ≠ 1/125, иначе основание второго логарифма обратится в единицу. Наконец, х ≠ 1/25 для третьего логарифма.

Итого мы получили четыре ограничения:

1 ≠ х > 0; х ≠ 1/125; х ≠ 1/25

А теперь вопрос: удовлетворяют ли наши корни указанным требованиям? Конечно удовлетворяют! Потому что 5 в любой степени будет больше нуля, и требование х > 0 выполняется автоматически.

С другой стороны, 1 = 5 0 , 1/25 = 5 −2 , 1/125 = 5 −3 , а это значит, что данные ограничения для наших корней (у которых, напомню, в показателе стоит иррациональное число) также выполнены, и оба ответа являются решениями задачи.

Итак, мы получили окончательный ответ. Ключевых моментов в данной задаче два:

Будьте внимательны при перевороте логарифма, когда аргумент и основание меняются местами. Подобные преобразования накладывают лишние ограничения на область определения.
Не бойтесь преобразовывать логарифмы: их можно не только переворачивать, но и раскрывать по формуле суммы и вообще менять по любым формулам, которые вы изучали при решении логарифмических выражений. Однако при этом всегда помните: некоторые преобразования расширяют область определения, а некоторые — сужают.

Логарифм: что это? Все формулы. Простейшие уравнения и неравенства

Сейчас речь пойдет о трех страшных буквах: l o g.Существовать в нашем бытии они просто так не могут. Обязательно должен быть какой-нибудь индекс — число снизу (основание логарифма) и число после букв (аргумент логарифма).

Прежде, чем мы перейдем к тому, что такое логарифм, решим парочку подводящих примеров.

Чтобы справиться с этим примером, мы проговариваем в голове: какое число нужно дважды (т.к. корень квадратный) умножить само на себя, чтобы получить 81.

А этот пример можно решить по алгоритму (решения показательных уравнений), а можно так же провести разговор с самим собой (главное не вслух, я считаю это нормально, но кого-то вы можете напугать разговором с самим собой): сколько раз нужно число 3 умножить само на себя, чтобы получить 27. Постепенным перемножением мы дойдем до ответа.

Тогда, если дело касается логарифма:

можно сказать так: в какую степень нужно возвести 3 (число снизу — основание логарифма), чтобы получить 27 (число слева — аргумент логарифма). Не напоминает выше стоящий пример?

На самом деле в этом и заключается основная формула (определение логарифма):

Логарифм говорит нам (кому-то кричит): логарифм числа «b» по основанию «a» равняется числу «c». Тогда без логарифма это можно сформулировать так: чтобы получить число «b», требуется число «a» возвести в степень «c». Логарифм — это действие, обратное возведению в степень.

У отца log есть два родных сына: ln и lg. Так же, как сыновья отличаются возрастом (мы говорим о максимальной точности), так и эти логарифмы отличаются основанием (числовым индексом снизу).

Данные логарифмы придумали для упрощения записи. На самом деле в прикладной математики именно логарифмы по такому основанию встречаются чаще всех остальных. А мы все в глубине души народ ленивый, так что почему бы себе жизнь не упростить?

Что нужно запомнить: ln — это обычный логарифм только по основанию e ( e — это число Эйлера, e = 2,7182…, мой номер телефона, кстати, — это последние 11 цифр числа Эйлера, так что буду ждать звонка).

А lg — это обычный логарифм по основанию 10 (10ая система — это система счисления, в которой мы живем, столько пальцев на руках у среднего человека. В общем 10 — это как 9, только на 1 больше).

Как мы не можем существовать без еды, воды, интернета… Так и логарифм не представляет свое существование без ОДЗ.

Всегда, когда существует логарифм, должно быть:

«Почему это так?» — это первый вопрос, который я предоставляю тебе. Советую начать с того, что логарифм — это обратное действие от возведения в степень.

А теперь разберем теорию на практике:

В какую степень нужно возвести два (число в основании), чтобы получить шестнадцать (аргумент логарифма).

Два нужно четыре раза умножить само на себя, чтобы получить 16.

Нахождение логарифмов через другие известные логарифмы

Информация этого пункта продолжает тему использования свойств логарифмов при их вычислении. Но здесь основное отличие состоит в том, что свойства логарифмов используются для того, чтобы выразить исходный логарифм через другой логарифм, значение которого известно. Приведем пример для пояснения. Допустим, мы знаем, что log₂3≈1,584963 , тогда мы можем найти, например, log₂6 , выполнив небольшое преобразование с помощью свойств логарифма: log₂6=log₂(2·3)=log₂2+log₂3≈ 1+1,584963=2,584963 .

В приведенном примере нам было достаточно использовать свойство логарифма произведения. Однако намного чаще приходится применять более широкий арсенал свойств логарифмов, чтобы вычислить исходный логарифм через заданные.

Вычислите логарифм 27 по основанию 60 , если известно, что log₆₀2=a и log₆₀5=b .

Итак, нам нужно найти log₆₀27 . Несложно заметить, что 27=3 3 , и исходный логарифм в силу свойства логарифма степени можно переписать как 3·log₆₀3 .

Теперь посмотрим, как log₆₀3 выразить через известные логарифмы. Свойство логарифма числа, равного основанию, позволяет записать равенство log₆₀60=1 . С другой стороны log₆₀60=log60(2 2 ·3·5)= log₆₀2 2 +log₆₀3+log₆₀5= 2·log₆₀2+log₆₀3+log₆₀5 . Таким образом, 2·log₆₀2+log₆₀3+log₆₀5=1 . Следовательно, log₆₀3=1−2·log₆₀2−log₆₀5=1−2·a−b .

Наконец, вычисляем исходный логарифм: log₆₀27=3·log₆₀3= 3·(1−2·a−b)=3−6·a−3·b .

Отдельно стоит сказать о значении формулы перехода к новому основанию логарифма вида . Она позволяет от логарифмов с любыми основаниями переходить к логарифмам с конкретным основанием, значения которых известны или есть возможность их отыскать. Обычно от исходного логарифма по формуле перехода переходят к логарифмам по одному из оснований 2 , e или 10 , так как по этим основаниям существуют таблицы логарифмов, позволяющие с определенной степенью точности вычислять их значения. В следующем пункте мы покажем, как это делается.

Методика решения логарифмических уравнений

Разделы: Математика

Введение

Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем как поддержать у студентов интерес к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока. В связи с этим ведутся поиски новых эффективных методов обучения и таких методических приемов, которые активизировали бы мысль студентов, стимулировали бы их к самостоятельному приобретению знаний.

Возникновение интереса к математике у значительного числа студентов зависит в большей степени от методики ее преподавания, от того, на сколько умело будет построена учебная работа. Вовремя обращая внимание студентов на то, что математика изучает общие свойства объектов и явлений окружающего мира, имеет дело не с предметами, а с отвлеченными абстрактными понятиями, можно добиться понимания того, что математика не нарушает связи с действительностью, а, напротив, дает возможность изучить ее глубже, сделать обобщенные теоретические выводы, которые широко применяются в практике.

Участвуя в фестивале педагогических идей “Открытый урок” 2004-2005 учебного года, я представила урок-лекцию по теме “Логарифмическая функция” (диплом № 204044). Считаю этот метод наиболее удачным в данном конкретном случае. В результате изучения у студентов имеется подробный конспект и краткая схема по теме, что облегчит им подготовку к следующим урокам. В частности, по теме “Решение логарифмических уравнений”, которая полностью опирается на изучение логарифмической функции и ее свойств.

При формировании основополагающих математических понятий важно создать у студентов представление о целесообразности введения каждого из них и возможности их применения. Для этого необходимо, чтобы при формулировке определения некоторого понятия, работе над его логической структурой, рассматривались вопросы об истории возникновения данного понятия. Такой подход поможет студентам осознать, что новое понятие служит обобщением фактов реальной действительности.

История возникновения логарифмов подробно представлена в работе прошлого года.

Учитывая важность преемственности при обучении математике в среднем специальном учебном заведении и в вузе и необходимость соблюдения единых требований к студентам считаю целесообразным следующую методику ознакомления студентов с решением логарифмических уравнений.

Уравнения, содержащие переменную под знаком логарифма (в частности, в основании логарифма), называются логарифмическими. Рассмотрим логарифмические уравнения вида:

(1)

Решение этих уравнений основано на следующей теореме.

Теорема 1. Уравнение равносильно системе

(2)

Для решения уравнения (1) достаточно решить уравнение

(3)

и его решения подставить в систему неравенств

(4),

задающую область определения уравнения (1).

Корнями уравнения (1) будут только те решения уравнения (3), которые удовлетворяют системе (4), т.е. принадлежат области определения уравнения (1).

При решения логарифмических уравнений может произойти расширение области определения (приобретение посторонних корней) или сужение (потеря корней). Поэтому подстановка корней уравнения (3) в систему (4), т.е. проверка решения, обязательна.

Пример 1: Решить уравнение

Оба значения х удовлетворяют условиям системы.

Ответ:

Рассмотрим уравнения вида:

(5)

Их решение основано на следующей теореме

Теорема 2: Уравнение (5) равносильно системе

(6)

Корнями уравнения (5) будут только те корни уравнения , которые

принадлежат области определения, задаваемой условиями .

Логарифмическое уравнение вида (5) можно решить различными способами. Рассмотрим основные из них.

1. ПОТЕНЦИНИРОВАНИЕ (применение свойств логарифма).

Пример 2: Решить уравнение

Решение: В силу теоремы 2 данное уравнение равносильно системе:

Всем условиям системы удовлетворяет лишь один корень. Ответ:

2. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ЛОГАРИФМА .

Пример 3: Найти х, если

Значение х = 3 принадлежит области определения уравнения. Ответ х = 3

3. ПРИВЕДЕНИЕ К КВАДРАТНОМУ УРАВНЕНИЮ.

Пример 4: Решить уравнение

Оба значения х являются корнями уравнения.

Ответ:

Пример 5: Решить уравнение

Решение: Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 10 и применим свойство “логарифм степени”.

Оба корня принадлежат области допустимых значений логарифмической функции.

Ответ: х = 0,1; х = 100

5. ПРИВЕДЕНИЕ К ОДНОМУ ОСНОВАНИЮ.

Пример 6: Решить уравнение

Воспользуемся формулой и перейдем во всех слагаемых к логарифму по основанию 2:

Тогда данное уравнение примет вид:

Так как , то это корень уравнения.

Ответ: х = 16

6. ВВЕДЕНИЕ ВСПОМОГАТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ.

Решим способом введения вспомогательной переменной уравнение, заданное в примере 6.

Пусть ; тогда

Учитывая, что

После проверки, проведенной устно, легко убеждаемся в правильности найденного ответа.

Многие уравнения, содержащие переменную не только под знаком логарифма или в показателе степени, удобно решать графически.

Графически решением уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций, заданных в уравнении.

Пример 7: Решить уравнение

Решение: Построим графики функций и y = x

Графики функций не пересекаются, и, значит, уравнение не имеет корней (см. рисунок).

Ответ: корней нет

Пример 8: Найти х, если

Решение: С помощью рассмотренных выше способов корни уравнения найти не удается. Найдем какой-нибудь корень методом подбора.

Пусть, например, х = 10. Проверкой убедимся в том, что 10 – корень уравнения. Действительно,

истинно

Докажем, что других корней данное уравнение не имеет.

Эти корни следует искать во множестве значений х.

Допустимые значения х находятся в промежутке

На этом промежутке функция убывает, а функция возрастает. И, значит, если уравнение имеет решение, то оно единственное.

Логарифмические уравнения и системы

п.1. Методы решения логарифмических уравнений

При решении логарифмических уравнений используются следующие основные методы:
1) переход от логарифмического уравнения к равносильному уравнению (f(x)=g(x)) с системой неравенств, описывающих ОДЗ;
2) графический метод;
3) замена переменной.

п.2. Решение уравнений вида (log_a f(x)=log_a g(x))

Неравенства ( begin f(x)gt 0\ g(x)gt 0 end ) в системе соответствуют ограничению ОДЗ для аргумента логарифмической функции.

Решать логарифмическое уравнение принято в таком порядке:
1) решить систему неравенств и получить промежутки допустимых значений для (x) в явном виде;
2) решить уравнение (f(x)=g(x));
3) из полученных корней выбрать те, что входят в промежутки допустимых значений. Записать ответ.

Однако, если выражения (f(x)) и (g(x)) слишком сложны для явного решения, возможен другой порядок действий:
1) решить уравнение (f(x)=g(x));
2) провести подстановку: полученные корни подставить в выражения для (f(x)) и (g(x)), и проверить, получатся ли положительные значения для этих функций;
3) из корней выбрать те, для которых подстановка оказалась успешной. Записать ответ.

Например:
Решим уравнение (lg(2x+3)+lg(x+4)=lg(1-2x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin 2x+3gt 0\ x+4gt 0\ 1-2xgt 0 end Rightarrow begin xgt-frac32\ xgt-4\ xltfrac12 end Rightarrow -frac32lt xltfrac12Rightarrow xinleft(-frac32;frac12right) )
Решаем уравнение:
(lgleft((2x+3)(x+4)right)=lg(1-2x))
((2x+3)(x+4)=1-2x)
(2x^2+11x+12-1+2x=0)
(2x^2+13x+11=0)
((2x+11)(x+1)=0)
( left[ begin x_1=-5,5\ x_2=-1 end right. )
Корень (x_1=-5,5notin left(-frac32;frac12right),) т.е. не подходит.
Корень (x_2=-1in left(-frac32;frac12right)) – искомое решение.
Ответ: -1

п.3. Решение уравнений вида (log_ f(x)=log_ g(x))

Как и в предыдущем случае, можно сначала найти ОДЗ, а потом решать уравнение.
Или же, можно решить уравнение, а потом проверить требования ОДЗ прямой подстановкой полученных корней.

Например:
Решим уравнение (log_(x^2-4)=log_(2-x))
Найдем ОДЗ в явном виде:
( begin x^2-4gt 0\ 2-xgt 0\ x+5gt 0\ x+5ne 1 end Rightarrow begin xlt -2cup xgt 2\ xlt 2\ xgt -5\ xne -4 end Rightarrow begin -5lt xlt -2\ xne -4 end Rightarrow xin (-5;-4)cup(-4;-2) )
Решаем уравнение:
(x^2-4=2-x)
(x^2+x-6=0)
((x+3)(x-2)=0)
( left[ begin x_1=-3\ x_2=2 – text <не подходит>end right. )
Ответ: -3

В логарифмическом уравнении перед отбрасыванием логарифмов основания обязательно должны быть равны. Не забывайте это проверять!

Например:
Решим уравнение (log_<2>(x+1)=log_<4>(x+3))
Основания (2ne 4), и нельзя сразу написать (x+1=x+3).
Нужно привести к одному основанию, преобразовав левую часть:
(log_2(x+1)=log_<2^2>(x+1)^2=log_4(x+1)^2)
Тогда исходное уравнение примет вид: (log_4(x+1)^2=log_4(x+3))
И теперь: ((x+1)^2=x+3)
(x^2+x-2=0)
((x+2)(x-1)=0)
( left[ begin x_1=-2\ x_2=1 end right. )
Что касается ОДЗ, то её нужно искать для исходного уравнения:
( begin x+1gt 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt -3 end Rightarrow xgt -1 )
Корень (x_1=-2lt -1) – не подходит.
Ответ: 1

Преобразования могут расширить первоначальную область допустимых значений (например, при возведении в квадрат), и вы включите в решение лишние корни.
Преобразования также могут сузить ОДЗ (например, при взятии корня), и некоторые решения окажутся потеряны.
Поэтому ОДЗ определяется для исходного уравнения (выражения, неравенства), а не того, которое получено после преобразований.

п.4. Примеры

Пример 1. Решите уравнения:
a) ( log_2(x+1)-log_2(x-1)=1 )
ОДЗ: ( begin x+1gt 0\ x-1gt 0 end Rightarrow begin xgt -1\ xgt 1 end Rightarrow xgt 1 )
(log_2left((x+1)(x-1)right)=log_22)
(x^2-1=2Rightarrow x^2 =3)
( left[ begin x_1=-sqrt<3>lt 2 – text<не подходит>\ x_2=sqrt <3>end right. )
Ответ: (sqrt<3>)

б) ( 2log_5(x-1)=log_5(1,5x+1) )
ОДЗ: ( begin x-1gt 0\ 1,5x+1gt 0 end Rightarrow begin xgt 1\ xgt-frac23 end Rightarrow xgt 1 )
Преобразуем: (2log_5(x-1)=log_5(x-1)^2)
Получаем: (log_5(x-1)^2=log_5(1,5x+1))
((x-1)^2=1,5x+1)
(x^2-2x+1-1,5x-1=0Rightarrow x^2-3,5x=0Rightarrow x(x-3,5)=0)
( left[ begin x_1=0lt 1 – text<не подходит>\ x_2=3,5 end right. )
Ответ: 3,5

в) ( log_3(3-x)+log_3(4-x)=1+2log_3 2 )
ОДЗ: ( begin 3-xgt 0\ 4-xgt 0 end Rightarrow begin xlt 3\ xlt 4 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (1+2log_3 2=log_3 3+log_3 2^2=log_3(3cdot 4)=log_3 12)
Получаем: (log_3left((3-x)(4-x)right)=log_3 12)
((3-x)(4-x)=12Rightarrow 12-7x+x^2=12Rightarrow x(x-7)=0)
( left[ begin x_1=0\ x_2=7gt 3 – text <не подходит>end right. )
Ответ: 0

г) ( log_2^2x+log_2 x^2+1=0 )
ОДЗ: (xgt 0)
(log_2x^2=2log_2x)
Получаем: (log_2^2x+2log_2x+1=0)
Замена: (t=log_2 x)
(t^2+2t+1=0Rightarrow(t+1)^2=0Rightarrow t=-1)
Возвращаемся к исходной переменной: (log_2x=-1)
(x=2^<-1>=frac12)
Ответ: (frac12)

д) ( x^<lg x>=10 )
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg ⁡x). Тогда (x=10^t)
Подставляем:
((10^t)^t=10Rightarrow 10^=10^1Rightarrow t^2=1Rightarrow t=pm 1)
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin lg x=-1\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^<-1>\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,1\ x_2=10 end right. )
Оба корня подходят.
Ответ:

e) ( sqrtcdot log_5(x+3)=0 )
ОДЗ: ( begin xgeq 0\ x+3gt 0 end Rightarrow begin xgeq 0\ xgt -3 end Rightarrow xgeq 0 )
( left[ begin sqrt=0\ log_5(x+3)=0 end right. Rightarrow left[ begin x=0\ x+3=5^0=1 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=-2lt 0 – text <не подходит>end right. )
Ответ: 0

ж) ( log_<5x-2>2+2log_<5x-2>x=log_<5x-2>(x+1) )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ x+1gt 0\ 5x-2gt 0\ 5x-2ne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xgt -1\ xgtfrac25\ xnefrac35 end Rightarrow begin xgtfrac25\ xnefrac35 end )
Преобразуем: (log_<5x-2>2+2log_<5x-2>x=log_<5x-2>(2x^2))
Подставляем: (log_<5x-2>(2x^2)=log_<5x-2>(x+1))
( 2x^2=x+1Rightarrow 2x^2-x-1=0Rightarrow (2x+1)(x-1)=0 Rightarrow left[ begin x_1=-frac12 – text<не подходит>\ x_2=1 end right. )
Ответ: 1

Пример 2*. Решите уравнения:
a) ( log_4log_2log_3(2x-1)=frac12 )
ОДЗ: ( begin 2x-1gt 0\ log_3(2x-1)gt 0\ log_2log_3(2x-1)gt 0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ 2x-1gt 3^0\ log_3(2x-1)gt 2^0 end Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ 2x-1gt 3^1 end Rightarrow )
( Rightarrow begin xgtfrac12\ xgt 1\ xgt 2 end Rightarrow xgt 2 )
Решаем:
(log_2log_3(2x-1)=4^<1/2>=2)
(log_3(2x-1)=2^2=4)
(2x-1=3^4=81)
(2x=82)
(x=41)
Ответ: 41

б) ( log_2(9-2^x)=25^<log_5sqrt<3-x>> )
ОДЗ: ( begin 9-2xgt 0\ 3-xgt 0 end Rightarrow begin 2^xlt 9\ xlt 3 end Rightarrow begin xltlog_2 9\ xlt 3 end Rightarrow xlt 3 )
Преобразуем: (25^<log_5sqrt<3-x>>=25^<log_<5^2>(sqrt<3-x>)^2>=25^<log_<25>(3-x)>=3-x)
Подставляем: (log_2(9-2^x)=3-x)
(9-2^x=2^<3-x>)
(9-2^x-frac<8><2^x>=0)
Замена: (t=2^xgt 0)
( 9-t-frac8t=0Rightarrow frac<-t^2+9t-8>=0Rightarrow begin t^2-9t+8gt 0\ tne 0 end Rightarrow begin (t-1)(t-8)=0\ tne 0 end Rightarrow left[ begin t_1=1\ t_2=8 end right. )
Возвращаемся к исходной переменной:
( left[ begin 2^x=1\ 2^x=8 end right. Rightarrow left[ begin 2^x=2^0\ 2^x=2^3 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0\ x_2=3 end right. )
По ОДЗ (xlt 3), второй корень не подходит.
Ответ: 0

в) ( lgsqrt+lgsqrt<2x-3>+1=lg 30 )
ОДЗ: ( begin x-5gt 0\ 2x-3gt 0 end Rightarrow begin xgt 5\ xgtfrac32 end Rightarrow xgt 5 )
Преобразуем: (lg 30-1=lg 30-lg 10=lgfrac<30><10>=lg 3)
Подставляем: (lgsqrt+lgsqrt<2x-3>=lg 3)
(frac12lg(x-5)+frac12lg(2x-3)=lg 3 |cdot 2)
(lg(x-4)+lg(2x-3)=2lg 3)
(lgleft((x-5)(2x-3)right)=lg 3^2)
((x-5)(2x-3)=9Rightarrow 2x^2-13x+15-9=0 Rightarrow 2x^2-13x+6=0)
( (2x-1)(x-6)=0Rightarrow left[ begin x_1=frac12lt 5 – text<не подходит>\ x_2=6 end right. )
Ответ: 6

г) ( frac<1><lg x>+frac<1><lg 10x>+frac<3><lg 100x>=0 )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ lg xne 0\ lg 10xne 0\ lg 100xne 0 end Rightarrow begin xgt 0\ xne 1\ 10xne 1\ 100xne 1 end Rightarrow begin xgt 0\ xneleft<frac<1><100>;frac<1><10>;1right> end )
Преобразуем: (lg 10x=lg 10+lg x=1+lg 10)
(lg 100x=lg 100+lg x=2+lg x)
Подставляем: (frac<1><lg x>+frac<1><1+lg x>+frac<3><2+lg x>=0)
Замена: (t=lg x)
begin frac1t+frac<1><1+t>+frac<3><2+t>=0Rightarrow frac1t+frac<1><1+t>=-frac<3><2+t>Rightarrow frac<1+t+t>=-frac<3><2+t>Rightarrow (1+2t)(2+t)=(1+t)\ 2_5t+2t^2=-3t-3t^2Rightarrow 5t^2+8t+2=0\ D=8^2-4cdot 5cdot 2=24, t=frac<-8pm 2sqrt<6>><10>=frac<-4pm sqrt<6>> <5>end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=frac<-4- sqrt<6>><5>\ lg x=frac<-4+ sqrt<6>> <5>end right. Rightarrow left[ begin x=10frac<-4- sqrt<6>><5>\ x=10frac<-4+ sqrt<6>> <5>end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left<10frac<-4pmsqrt<6>><5>right>)

e) ( x^<frac<lg x+7><4>>=10^ <lg x+1>)
ОДЗ: (xgt 0)
Замена: (t=lg x.) Тогда (x=10^t)
Подставляем: begin (10^t)^<frac<4>>=10^\ frac<4>=t+1Rightarrow t(t+7)=4(t+1)Rightarrow t^2+7t-4t-4=0\ t^2+3t-4=0Rightarrow (t+4)(t-1)=0Rightarrow left[ begin t_1=-4\ t_2=1 end right. end Возвращаемся к исходной переменной:
$$ left[ begin lg x=-4\ lg x=1 end right. Rightarrow left[ begin x=10^<-4>\ x=10 end right. Rightarrow left[ begin x_1=0,0001\ x_2=10 end right. $$ Оба корня подходят.
Ответ: (left<0,0001; 10right>)

ж) ( 4^<log_3(1-x)>=(2x^2+2x+5)^ <log_3 2>)
ОДЗ: ( begin 1-xgt 0\ 2x^2+2x+5gt 0 end Rightarrow begin xlt 1\ Dlt 0, xinmathbb end Rightarrow xlt 1 )
По условию: begin log_3(1-x)=log_4left((2x^2+2x+5)^<log_32>right)\ log_3(1-x)=log_32cdotlog_4(2x^2+2x+5) end Перейдем к другому основанию: $$ frac<lg(1-x)><lg 3>=frac<lg 2><lg 3>cdotfrac<lg(2x^2+2x+5)><lg 4> |cdot lg 3 $$ (frac<lg 2><lg 4>=frac<lg 2><lg 2^2>=frac<lg 2><2lg 2>=frac12) begin lg(1-x)=frac12cdotlg(2x^2+2x+5) |cdot 2\ 2lg(1-x)=lg(2x^2+2x+5)\ lg(1-x)^2=lg(2x^2+2x+5)\ (1-x)^2=2x^2+2x+5\ 1-2x+x^2=2x^2+2x+5\ x^2+4x+4=0\ (x+2)^2=0\ x=-2 end Ответ: -2

Пример 3. Решите систему уравнений:
a) ( begin lg x+lg y=lg 2\ x^2+y^2=5 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0\ ygt 0 end )
Из первого уравнения: (lg(xy)=lg 2Rightarrow xy=2)
Получаем: ( begin xy=2\ x^2+y^2=5 end Rightarrow begin y=frac2x\ x^2+left(frac2xright)^2-5=0 end )
Решаем биквадратное уравнение: begin x^2+frac<4>-5=0Rightarrowfrac=0Rightarrow begin x^4-5x^2+4=0\ xne 0 end \ (x^2-4)(x^2-1)=0Rightarrow left[ begin x^2=4\ x^2=1 end right. Rightarrow left[ begin x=pm 2\ x=pm 1 end right. end Согласно ОДЗ, оставляем только положительные корни.
Получаем две пары решений: ( left[ begin begin x=1\ y=frac2x=2 end \ begin x=2\ y=frac22=1 end end right. )
Ответ: (left<(1;2),(2,1)right>)

б) ( begin x^=27\ x^<2y-5>=frac13 end )
ОДЗ: (xgt 0, xne 1)
Логарифмируем: ( begin y+1=log_x27=log_x3^3=3log_x3\ 2y-5=log_xfrac13=log_x3^<-1>=-log_x3 end )
Замена: (z=log_x3) begin begin y+1=3z\ 2y-5=-z |cdot 3 end Rightarrow begin y+1=3z\ 6y-15=-3z end Rightarrow begin 7y-14=0\ z=5-2y end Rightarrow begin y=2\ z=1 end end Возвращаемся к исходной переменной: $$ begin y=2\ log_x3=1 end Rightarrow begin x^1=3\ y=2 end Rightarrow begin x=3\ y=2 end $$
Ответ: (3;2)

в*) ( begin 3(log_y x-log_x y)=8\ xy=16 end )
ОДЗ: ( begin xgt 0, xne 1\ ygt 0, yne 1 end )
Сделаем замену (t=log_x y). Тогда (log_y x=frac<1><log_x y>=frac1t)
Подставим в первое уравнение и решим его: begin 3left(frac1t-tright)=8Rightarrowfrac<1-t^2>=frac83Rightarrow begin 3(1-t^2)=8t\ tne 0 end\ 3t^2+8t-3=0Rightarrow (3t-1)(t+3)=0Rightarrow left[ begin t_1=frac13\ t_2=-3 end right. end Прологарифмируем второе уравнение по (x): $$ log_x(xy)=log_x16Rightarrow 1+log_x y=log_x16Rightarrow 1+t=log_x 16 $$ Получаем: begin left[ begin begin t=frac13\ log_x16=1+t=frac43 end \ begin t=-3\ log_x16=1+t=-2 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x^<frac43>=16 end \ begin t=-3\ x^<-2>=16 end end right. Rightarrow left[ begin begin t=frac13\ x=(2^4)^<frac34>=2^3=8 end \ begin t=-3\ x=(16)^<-frac12>=frac14 end end right. end Возвращаемся к исходной переменной: begin left[ begin begin x=8\ log_x y=frac13 end \ begin x=frac14\ log_x y=-3 end end right. Rightarrow left[ begin begin x=8\ y=8^<frac13>=2 end \ begin x=frac14\ y=left(frac14right)^<-3>=64 end end right. end
Ответ: (left<(8;2),left(frac14; 64right)right>)

г*) ( begin (x+y)cdot 3^=frac<5><27>\ 3log_5(x+y)=x-y end )
ОДЗ: (x+ygt 0)
Прологарифмируем первое уравнение по 3: begin log_3left((x+y)cdot 3^right)=log_3frac<5><27>\ log_3(x+y)+(y-x)=log_3frac<5><27>\ log_3(x+y)-log_3frac<5><27>=x-y end Получаем:(x-y=3log_5(x+y)=log_3(x+y)-log_3frac<5><27>)
Решим последнее уравнение относительно (t=x+y) begin 3log_5 t=log_3 t-log_3frac<5><27>\ 3cdotfrac<log_3t><log_35>-log_3t=-log_3frac<5><27>\ log_3tcdotleft(frac<3><log_35>-1right)=-log_3frac<5><27>\ log_3t=-frac<log_3frac<5><27>><frac<3><log_35>-1>=-frac<(log_35-3)log_35><3-log_35>=log_35\ t=5 end Тогда: (x-y=3log_5t=3log_55=3)
Получаем систему линейных уравнений: begin begin x+y=5\ x-y=3 end Rightarrow begin 2x=5+3\ 2y=5-3 end Rightarrow begin x=4\ y=1 end end Требование ОДЗ (x+y=4+1gt 0) выполняется.
Ответ: (4;1)

[spoiler title=”источники:”]

http://urok.1sept.ru/articles/313550

http://reshator.com/sprav/algebra/10-11-klass/logarifmicheskie-uravneniya-i-sistemy/

[/spoiler]

Источник

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания,
берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта
готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием
сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом
администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта
и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы
принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без
письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой
зрения авторов.

Источник

Логари́фм числа по основанию (от др.-греч. λόγος, «отношение» + ἀριθμός «число»^[1]) определяется^[2] как показатель степени, в которую надо возвести основание , чтобы получить число . Обозначение: $log _{a}b$ , произносится: «логарифм по основанию ».

Из определения следует, что нахождение ${displaystyle x=log _{a}b}$ равносильно решению уравнения $a^{x}=b$ . Например, $log _{2}8=3$ , потому что $2^{3}=8$ .

Вычисление логарифма называется логарифми́рованием. Числа и чаще всего вещественные, но существует также теория комплексных логарифмов.

Логарифмы обладают уникальными свойствами, которые определили их широкое использование для существенного упрощения трудоёмких вычислений^[3]. При переходе «в мир логарифмов» умножение заменяется на значительно более простое сложение, деление — на вычитание, а возведение в степень и извлечение корня преобразуются соответственно в умножение и деление на показатель степени. Лаплас говорил, что изобретение логарифмов, «сократив труд астронома, удвоило его жизнь»^[4].

Определение логарифмов и таблицу их значений (для тригонометрических функций) впервые опубликовал в 1614 году шотландский математик Джон Непер. Логарифмические таблицы, расширенные и уточнённые другими математиками, повсеместно использовались для научных и инженерных расчётов более трёх веков, пока не появились электронные калькуляторы и компьютеры.

Со временем выяснилось, что логарифмическая функция $y=log _{a}x$ незаменима и во многих других областях человеческой деятельности: решение дифференциальных уравнений, классификация значений величин (например, частота и интенсивность звука), аппроксимация различных зависимостей, теория информации, теория вероятностей и т. д. Эта функция относится к числу элементарных, она обратна по отношению к показательной функции. Чаще всего используются вещественные логарифмы с основаниями (двоичный), число Эйлера e (натуральный) и (десятичный логарифм).

Вещественный логарифм[править | править код]

Логарифм вещественного числа ${displaystyle x=log _{a}b}$ по определению есть решение уравнения $a^{x}=b$ . Случай a=1 интереса не представляет, поскольку тогда при bneq 1 это уравнение не имеет решения, а при b=1 любое число является решением; в обоих случаях логарифм не определён. Аналогично заключаем, что логарифм не существует при нулевом или отрицательном ; кроме того, значение показательной функции $a^{x}$ всегда положительно, поэтому следует исключить также случай отрицательного . Окончательно получаем^[5]:

Вещественный логарифм $log _{a}b$ имеет смысл при

Как известно, показательная функция ${displaystyle y=a^{x}}$ (при выполнении указанных условий для ) существует, монотонна и каждое значение принимает только один раз, причём диапазон её значений содержит все положительные вещественные числа^[6]. Отсюда следует, что значение вещественного логарифма положительного числа всегда существует и определено однозначно.

Наиболее широкое применение нашли следующие виды логарифмов:

Свойства[править | править код]

Основное логарифмическое тождество[править | править код]

Из определения логарифма следует основное логарифмическое тождество^[7]:

$a^{log _{a}b}=b$

Следствие: из равенства двух вещественных логарифмов следует равенство логарифмируемых выражений. В самом деле, если ${displaystyle log _{a}b=log _{a}c}$ , то ${displaystyle a^{log _{a}b}=a^{log _{a}c}}$ , откуда, согласно основному тождеству: b=c .

Логарифмы единицы и числа, равного основанию[править | править код]

Два равенства, очевидных из определения логарифма:

$log _{a}1=0;;log _{a}a=1.$

Логарифм произведения, частного от деления, степени и корня[править | править код]

Приведём сводку формул в предположении, что все значения положительны^[8]:

	Формула	Пример	Доказательство
Произведение	${displaystyle log _{a}(xy)=log _{a}(x)+log _{a}(y)}$	${displaystyle log _{3}(243)=log _{3}(9cdot 27)=log _{3}(9)+log _{3}(27)=2+3=5}$
Частное от деления	${displaystyle log _{a}!left({frac {x}{y}}right)=log _{a}(x)-log _{a}(y)}$	$lg left({frac {1}{1000}}right)=lg(1)-lg(1000)=0-3=-3$
Степень	${displaystyle log _{a}(x^{p})=plog _{a}(x)}$	${displaystyle log _{2}(64)=log _{2}(2^{6})=6log _{2}(2)=6}$	Доказательство ${displaystyle log _{a}{x^{p}}=y}$ ${displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${displaystyle a^{frac {y}{p}}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}={frac {y}{p}}}$ ${displaystyle pcdot log_{a}{x}=y}$
Степень в основании	${displaystyle log _{(a^{p})}(x)={frac {1}{p}}log _{a}(x)={frac {log _{a}(x)}{p}}}$	${displaystyle log _{2^{10}}{sin {left({frac {pi }{6}}right)}}={frac {log _{2}{frac {1}{2}}}{10}}=-{frac {1}{10}}=-0{,}1}$	Доказательство ${displaystyle log _{a^{p}}{x}=y}$ ${displaystyle a^{ycdot p}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}=pcdot y}$ ${displaystyle {frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень	${displaystyle log _{a}{sqrt[{p}]{x}}={frac {1}{p}}log _{a}(x)={frac {log _{a}(x)}{p}}}$	$lg {sqrt {1000}}={frac {1}{2}}lg 1000={frac {3}{2}}=1{,}5$	Доказательство ${displaystyle log _{a}{sqrt[{p}]{x}}=y}$ ${displaystyle a^{y}={sqrt[{p}]{x}}}$ ${displaystyle a^{pcdot y}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}=pcdot y}$ ${displaystyle {frac {log_{a}{x}}{p}}=y}$
Корень в основании	${displaystyle log _{sqrt[{p}]{a}}(x)=plog _{a}(x)}$	${displaystyle log _{sqrt {pi }}{(4cdot operatorname {arctg} {1})}=2cdot log _{pi }{left(4cdot {frac {pi }{4}}right)}=2cdot log _{pi }{(pi )}=2}$	Доказательство ${displaystyle log _{sqrt[{p}]{a}}{x}=y}$ ${displaystyle a^{frac {y}{p}}=x}$ ${displaystyle a^{y}=x^{p}}$ ${displaystyle a^{frac {y}{p}}=x}$ ${displaystyle log_{a}{x}={frac {y}{p}}}$ ${displaystyle pcdot log_{a}{x}=y}$

Существует очевидное обобщение приведённых формул на случай, когда допускаются отрицательные значения переменных, например:

$log _{a}|xy|=log _{a}|x|+log _{a}|y|$

$log _{a}!left|{frac {x}{y}}right|=log _{a}|x|-log _{a}|y|$

Формулы для логарифма произведения без труда обобщаются на произвольное количество сомножителей:

$log _{a}(x_{1}x_{2}dots x_{n})=log _{a}(x_{1})+log _{a}(x_{2})+dots +log _{a}(x_{n})$

$log _{a}|x_{1}x_{2}dots x_{n}|=log _{a}|x_{1}|+log _{a}|x_{2}|+dots +log _{a}|x_{n}|$

Вышеописанные свойства объясняют, почему применение логарифмов (до изобретения калькуляторов) существенно облегчало вычисления. Например, умножение многозначных чисел x,y с помощью логарифмических таблиц^[⇨] производилось по следующему алгоритму:

найти в таблицах логарифмы чисел ;
сложить эти логарифмы, получая (согласно первому свойству) логарифм произведения ;
по логарифму произведения найти в таблицах само произведение.

Деление, которое без помощи логарифмов намного более трудоёмко, чем умножение, выполнялось по тому же алгоритму, лишь с заменой сложения логарифмов на вычитание. Аналогично упрощались возведение в степень и извлечение корня.

Замена основания логарифма[править | править код]

Логарифм $log _{a}b$ по основанию можно преобразовать^[5] в логарифм по другому основанию :

$log _{a}b={frac {log _{c}b}{log _{c}a}}$

Следствие (при b=c ) — перестановка основания и логарифмируемого выражения:

$log _{a}b={frac {1}{log _{b}a}}$

См. пример такой перестановки в разделе десятичный логарифм.

Коэффициент ${frac {1}{log _{c}a}}=log _{a}c$ в формуле замены основания называется модулем перехода от одного основания к другому^[9].

Неравенства[править | править код]

Значение логарифма $log _{a}{b}$ положительно тогда и только тогда, когда числа a,b лежат по одну сторону от единицы (то есть либо оба больше единицы, либо оба меньше). Если же a,b лежат по разные стороны от единицы, то логарифм отрицателен^[10].

Любое неравенство для положительных чисел можно логарифмировать. При этом, если основание логарифма больше единицы, то знак неравенства сохраняется, а если основание меньше единицы, знак неравенства меняется на противоположный^[10].

Другие тождества и свойства[править | править код]

Если выражения для основания логарифма и для логарифмируемого выражения содержат возведение в степень, для упрощения можно применить следующее тождество:

${displaystyle {log _{a^{q}}{b}}^{p}={dfrac {p}{q}}log _{a}{b},}$

где

— вещественные числа,

Это тождество сразу получается, если в логарифме слева заменить основание $a^{q}$ на по вышеприведённой формуле замены основания. Следствия:

${displaystyle log _{a^{k}}b={dfrac {1}{k}}log _{a}b;quad log _{sqrt[{n}]{a}}b=nlog _{a}b;quad log _{a^{k}}b^{k}=log _{a}b}$

Ещё одно полезное тождество:

$c^{log _{a}b}=b^{log _{a}c}$

Для его доказательства заметим, что логарифмы левой и правой частей по основанию совпадают (равны ${displaystyle log _{a}bcdot log _{a}c}$ ), а тогда, согласно следствию из основного логарифмического тождества, левая и правая части тождественно равны. Прологарифмировав предыдущее тождество по произвольному основанию , получаем ещё одно тождество «обмена основаниями»:

${displaystyle log _{a}bcdot log _{d}c=log _{d}bcdot log _{a}c}$

Логарифмическая функция[править | править код]

Графики логарифмических функций

Логарифмическая функция обратна к показательной

Основные характеристики[править | править код]

Если рассматривать логарифмируемое число как переменную, мы получим логарифмическую функцию $y=log _{a}x$ . Она определена при . Область значений: . Эта кривая часто называется логарифмикой^[11]. Из формулы замены основания логарифма видно, что графики логарифмических функций с разными основаниями, бо́льшими единицы, отличаются один от другого только масштабом по оси ; графики для оснований, меньших единицы, являются их зеркальным отражением относительно горизонтальной оси.

Из определения следует, что логарифмическая зависимость есть обратная функция для показательной функции ${displaystyle y=a^{x}}$ , поэтому их графики симметричны относительно биссектрисы первого и третьего квадрантов (см. рисунок). Как и показательная, логарифмическая функция относится к категории трансцендентных функций.

Функция является строго возрастающей при a>1 (см. далее графики) и строго убывающей при 0<a<1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Ось ординат ( x=0 ) является вертикальной асимптотой, поскольку:

$lim _{xto 0+0}log _{a}x=-infty$

при

;

$lim _{xto 0+0}log _{a}x=+infty$

при

Производная логарифмической функции равна:

${displaystyle {frac {d}{dx}}log _{a}x={frac {1}{xcdot ln a}}}$

С точки зрения алгебры, логарифмическая функция осуществляет (единственно возможный) изоморфизм мультипликативной группы положительных вещественных чисел и аддитивной группы всех вещественных чисел. Другими словами, логарифмическая функция есть единственное (определённое для всех положительных значений аргумента) непрерывное решение функционального уравнения^[12]:

Натуральный логарифм[править | править код]

Из приведённой выше общей формулы производной для натурального логарифма получаем особенно простой результат:

${displaystyle {dfrac {d}{dx}}ln {left|xright|}={dfrac {1}{x}}}$

По этой причине в математических исследованиях преимущественно используют именно натуральные логарифмы. Они нередко появляются при решении дифференциальных уравнений, исследовании статистических зависимостей (например, распределения простых чисел) и т. п.

Проинтегрировав формулу для производной в интервале от x=1 до x=b , мы получаем:

${displaystyle ln b=int limits _{1}^{b}{dfrac {dx}{x}}}$

Другими словами, натуральный логарифм равен площади под гиперболой ${displaystyle y={dfrac {1}{x}}}$ для указанного интервала x.

Неопределённый интеграл от натурального логарифма легко найти интегрированием по частям:

В математическом анализе и теории дифференциальных уравнений большую роль играет понятие логарифмической производной функции f(x) :

${displaystyle {dfrac {d}{dx}}ln(f(x))={dfrac {f'(x)}{f(x)}}}$

Разложение в ряд и вычисление натурального логарифма[править | править код]

Разложим натуральный логарифм в ряд Тейлора вблизи единицы:

${displaystyle ln(1+x)=x-{dfrac {x^{2}}{2}}+{dfrac {x^{3}}{3}}-{dfrac {x^{4}}{4}}+dots }$

(Ряд 1)

Этот ряд, называемый «рядом Меркатора», сходится при . В частности:

${displaystyle ln 2=1-{dfrac {1}{2}}+{dfrac {1}{3}}-{dfrac {1}{4}}+dots }$

Формула ряда 1 непригодна для практического расчёта логарифмов из-за того, что ряд сходится очень медленно и только в узком интервале. Однако нетрудно получить из неё более удобную формулу:

${displaystyle ln left({dfrac {1+x}{1-x}}right)=2left(x+{dfrac {x^{3}}{3}}+{dfrac {x^{5}}{5}}+{dfrac {x^{7}}{7}}+dots right)}$

(Ряд 2)

Этот ряд сходится быстрее, а кроме того, левая часть формулы теперь может выразить логарифм любого положительного числа ${displaystyle z={dfrac {1+x}{1-x}}}$ , ибо тогда ${displaystyle x={frac {z-1}{z+1}}}$ по абсолютной величине меньше единицы. Данный алгоритм уже пригоден для реальных численных расчётов значений логарифмов, однако не является наилучшим с точки зрения трудоёмкости. Существуют более эффективные алгоритмы^[13].

Десятичный логарифм[править | править код]

Логарифмы по основанию 10 (обозначение: lg x ) до изобретения калькуляторов широко применялись для вычислений. Они обладают преимуществом перед логарифмами с иным основанием: целую часть логарифма числа легко определить^[14]:

Кроме того, при переносе десятичной запятой в числе на разрядов значение десятичного логарифма этого числа изменяется на . Например, . Отсюда следует, что для вычисления десятичных логарифмов достаточно составить таблицу логарифмов для чисел в диапазоне от до ^[14].

Связь с натуральным логарифмом^[15]:

$ln xapprox 2{,}30259 lg x,quad ln x={frac {lg x}{lg e}}=ln 10cdot lg x=(2{,}30259dots )lg x$

$lg xapprox 0{,}43429 ln x,quad lg x={frac {ln x}{ln 10}}=lg ecdot ln x=(0{,}43429dots )ln x$

Поскольку применение логарифмов для расчётов с появлением вычислительной техники почти прекратилось, в наши дни десятичный логарифм в значительной степени вытеснен натуральным^[16]. Он сохраняется в основном в тех математических моделях, где исторически укоренился — например, при построении логарифмических шкал.

Предельные соотношения[править | править код]

Приведём несколько полезных пределов, связанных с логарифмами^[17]:

$lim _{xto 0}{frac {log _{a}(1+x)}{x}}=log _{a}e={frac {1}{ln a}}$

$lim _{xto 0^{+}}x^{b}log _{a}x=0quad (b>0)$

$lim _{xto infty }{frac {log _{a}x}{x^{b}}}=0quad (b>0)$

$ln x=lim _{nto infty }nleft({sqrt[{n}]{x}}-1right)=lim _{nto infty }nleft(1-{frac {1}{sqrt[{n}]{x}}}right)$

$ln x=lim _{hto 0}{frac {x^{h}-1}{h}}$

Другие свойства[править | править код]

Комплексный логарифм[править | править код]

Определение и свойства[править | править код]

Для комплексных чисел логарифм определяется так же, как вещественный. На практике используется почти исключительно натуральный комплексный логарифм, который обозначается и определяется как решение уравнения $e^{w}=z$ (другие, эквивалентные данному, варианты определения приведены ниже).

В поле комплексных чисел решение этого уравнения, в отличие от вещественного случая, не определено однозначно. Например, согласно тождеству Эйлера, ${displaystyle e^{pi i}=-1}$ ; однако также ${displaystyle e^{-pi i}=e^{3pi i}=e^{5pi i}dots =-1}$ . Это связано с тем, что показательная функция вдоль мнимой оси является периодической (с периодом )^[19], и одно и то же значение функция принимает бесконечно много раз. Таким образом, комплексная логарифмическая функция является многозначной.

Комплексный нуль не имеет логарифма, поскольку комплексная экспонента не принимает нулевого значения. Ненулевое можно представить в показательной форме:

$z=rcdot e^{ivarphi }$

Тогда находится по формуле^[20]:

mathrm {Ln} ,z=ln r+ileft(varphi +2pi kright)

Здесь — вещественный логарифм, — произвольное целое число. Отсюда вытекает:

Вещественная часть комплексного логарифма

Из формулы видно, что у одного и только одного из значений мнимая часть находится в интервале . Это значение называется главным значением комплексного натурального логарифма^[11]. Соответствующая (уже однозначная) функция называется главной ветвью логарифма и обозначается ln ,z . Иногда через ln ,z также обозначают значение логарифма, лежащее не на главной ветви. Если — вещественное число, то главное значение его логарифма совпадает с обычным вещественным логарифмом.

Из приведённой формулы также следует, что вещественная часть логарифма определяется следующим образом через компоненты аргумента:

$operatorname {Re} (ln(x+iy))={frac {1}{2}}ln(x^{2}+y^{2})$

На рисунке показано, что вещественная часть как функция компонентов центрально-симметрична и зависит только от расстояния до начала координат. Она получается вращением графика вещественного логарифма вокруг вертикальной оси. С приближением к нулю функция стремится к -infty .

Логарифм отрицательного числа находится по формуле^[20]:

mathrm {Ln} (-x)=ln x+ipi (2k+1)qquad (x>0, k=0,pm 1,pm 2dots )

Примеры значений комплексного логарифма[править | править код]

Приведём главное значение логарифма () и общее его выражение () для некоторых аргументов:

$ln(i)=i{frac {pi }{2}};;mathrm {Ln} (i)=i{frac {4k+1}{2}}pi$

Следует быть осторожным при преобразованиях комплексных логарифмов, принимая во внимание, что они многозначны, и поэтому из равенства логарифмов каких-либо выражений не следует равенство этих выражений. Пример ошибочного рассуждения:

$ipi =ln(-1)=ln((-i)^{2})=2ln(-i)=2(-ipi /2)=-ipi$

— ошибка, которая, однако, косвенно указывает на то, что значения, отличающиеся на , являются логарифмами одного и того же числа.
Отметим, что слева стоит главное значение логарифма, а справа — значение из нижележащей ветви ( k=-1 ). Причина ошибки — неосторожное использование свойства $log _{a}{(b^{p})}=p~log _{a}b$ , которое, вообще говоря, подразумевает в комплексном случае весь бесконечный набор значений логарифма, а не только главное значение.

Комплексная логарифмическая функция и риманова поверхность[править | править код]

Комплексный логарифм (мнимая часть)

В комплексном анализе вместо рассмотрения многозначных функций на комплексной плоскости принято иное решение: рассматривать функцию как однозначную, но определённую не на плоскости, а на более сложном многообразии, которое называется римановой поверхностью^[21]. Комплексная логарифмическая функция также относится к этой категории: её образ (см. рисунок) состоит из бесконечного числа ветвей, закрученных в виде спирали. Эта поверхность непрерывна и односвязна. Единственный нуль у функции (первого порядка) получается при z=1 . Особые точки: z=0 и z=infty (точки разветвления бесконечного порядка)^[22].

В силу односвязности риманова поверхность логарифма является универсальной накрывающей^[23] для комплексной плоскости без точки .

Аналитическое продолжение[править | править код]

Логарифм комплексного числа также может быть определён как аналитическое продолжение вещественного логарифма на всю комплексную плоскость. Пусть кривая Gamma начинается в единице, не проходит через нуль и не пересекает отрицательную часть вещественной оси. Тогда главное значение логарифма в конечной точке кривой Gamma можно определить по формуле^[22]:

${displaystyle ln w=int limits _{Gamma }{du over u}}$

Если Gamma — простая кривая (без самопересечений), то для чисел, лежащих на ней, логарифмические тождества можно применять без опасений, например:

ln(wz)=ln w+ln z,~forall z,win Gamma colon zwin Gamma

Главная ветвь логарифмической функции непрерывна и дифференцируема на всей комплексной плоскости, кроме отрицательной части вещественной оси, на которой мнимая часть скачком меняется на 2pi . Но этот факт есть следствие искусственного ограничения мнимой части главного значения интервалом . Если рассмотреть все ветви функции, то непрерывность имеет место во всех точках, кроме нуля, где функция не определена. Если разрешить кривой Gamma пересекать отрицательную часть вещественной оси, то первое такое пересечение переносит результат с ветви главного значения на соседнюю ветвь, а каждое следующее пересечение вызывает аналогичное смещение по ветвям логарифмической функции^[22] (см. рисунок).

Из формулы аналитического продолжения следует, что на любой ветви логарифма^[19]:

${frac {d}{dz}}ln z={1 over z}$

Для любой окружности , охватывающей точку :

$oint limits _{S}{dz over z}=2pi i$

Интеграл берётся в положительном направлении (против часовой стрелки). Это тождество лежит в основе теории вычетов.

Можно также определить аналитическое продолжение комплексного логарифма с помощью вышеприведённых рядов: ряда 1 или ряда 2, — обобщённых на случай комплексного аргумента. Однако из вида этих рядов следует, что в единице сумма ряда равна нулю, то есть ряд относится только к главной ветви многозначной функции комплексного логарифма. Радиус сходимости обоих рядов равен 1.

Связь с обратными тригонометрическими и гиперболическими функциями[править | править код]

Поскольку комплексные тригонометрические функции связаны с экспонентой (формула Эйлера), то комплексный логарифм как обратная к экспоненте функция связан с обратными тригонометрическими функциями^[24]^[25]:

$operatorname {Arcsin} z=-ioperatorname {Ln} (iz+{sqrt {1-z^{2}}})$

$operatorname {Arccos} z=-ioperatorname {Ln} (z+i{sqrt {1-z^{2}}})$

$operatorname {Arctg} z=-{frac {i}{2}}ln {frac {1+zi}{1-zi}}+kpi ;(zneq pm i)$

$operatorname {Arcctg} z=-{frac {i}{2}}ln {frac {zi-1}{zi+1}}+kpi ;(zneq pm i)$

Гиперболические функции на комплексной плоскости можно рассматривать как тригонометрические функции мнимого аргумента, поэтому и здесь имеет место связь с логарифмом^[25]:

$operatorname {Arsh} z=operatorname {Ln} (z+{sqrt {z^{2}+1}})$

— обратный гиперболический синус

$operatorname {Arch} z=operatorname {Ln} left(z+{sqrt {z^{2}-1}}right)$

— обратный гиперболический косинус

$operatorname {Arth} z={frac {1}{2}}operatorname {Ln} left({frac {1+z}{1-z}}right)$

— обратный гиперболический тангенс

$operatorname {Arcth} z={frac {1}{2}}operatorname {Ln} left({frac {z+1}{z-1}}right)$

— обратный гиперболический котангенс

Исторический очерк[править | править код]

Предшественники[править | править код]

Идейным источником и стимулом применения логарифмов послужил тот факт (известный ещё Архимеду^[26]), что при перемножении степеней их показатели складываются^[27]: ${displaystyle a^{b}cdot a^{c}=a^{b+c}}$ . Индийский математик VIII века Вирасена, исследуя степенные зависимости, опубликовал таблицу целочисленных показателей (то есть, фактически, логарифмов) для оснований 2, 3, 4^[28].

Логарифмическая таблица М. Штифеля, «Arithmetica integra», 1544

Решающий шаг был сделан в средневековой Европе. Потребность в сложных расчётах в XVI веке быстро росла, и значительная часть трудностей была связана с умножением и делением многозначных чисел, а также извлечением корней. В конце века нескольким математикам, почти одновременно, пришла в голову идея: заменить трудоёмкое умножение на простое сложение, сопоставив с помощью специальных таблиц геометрическую и арифметическую прогрессии, при этом геометрическая будет исходной^[26]. Тогда и деление автоматически заменяется на неизмеримо более простое и надёжное вычитание, упростятся также возведение в степень и извлечение корня.

Первым эту идею опубликовал в своей книге «Arithmetica integra» (1544) Михаэль Штифель, который, впрочем, не приложил серьёзных усилий для практической реализации своей идеи^[29]^[30]. Главной заслугой Штифеля является переход от целых показателей степени к произвольным рациональным^[31] (первые шаги в этом направлении сделали Николай Орем в XIV веке и Никола Шюке в XV веке).

Джон Непер и его «удивительная таблица логарифмов»[править | править код]

В 1614 году шотландский математик-любитель Джон Непер опубликовал на латинском языке сочинение под названием «Описание удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio). В нём было краткое описание логарифмов и их свойств, а также 8-значные таблицы логарифмов синусов, косинусов и тангенсов, с шагом 1′. Термин логарифм, предложенный Непером, утвердился в науке. Теорию логарифмов Непер изложил в другой своей книге «Построение удивительной таблицы логарифмов» (лат. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio), изданной посмертно в 1619 году его сыном Робертом.

Судя по документам, техникой логарифмирования Непер владел уже к 1594 году^[32]. Непосредственной целью её разработки было облегчить Неперу сложные астрологические расчёты^[33]; именно поэтому в таблицы были включены только логарифмы тригонометрических функций.

Понятия функции тогда ещё не было, и Непер определил логарифм кинематически, сопоставив равномерное и логарифмически-замедленное движение; например, логарифм синуса он определил следующим образом^[34]:

Логарифм данного синуса есть число, которое арифметически возрастало всегда с той же скоростью, с какой полный синус начал геометрически убывать.

В современных обозначениях кинематическую модель Непера можно изобразить дифференциальным уравнением^[35]:

${frac {dx}{x}}=-{frac {dy}{M}}$

где M — масштабный множитель, введённый для того, чтобы значение получилось целым числом с нужным количеством знаков (десятичные дроби тогда ещё не нашли широкого применения). Непер взял M = 10 000 000.
То есть логарифм есть такая функция y=f(x) , скорость роста которой обратно пропорциональна .

Строго говоря, Непер табулировал не ту функцию, которая сейчас называется логарифмом. Если обозначить его функцию , то она связана с натуральным логарифмом следующим образом^[35]:

operatorname {LogNap} (x)=Mcdot (ln(M)-ln(x))

Очевидно, , то есть логарифм «полного синуса» (соответствующего 90°) есть нуль — этого и добивался Непер своим определением. Также он хотел, чтобы все логарифмы были положительны; нетрудно убедиться, что это условие для выполняется. .

Основное свойство логарифма Непера: если величины образуют геометрическую прогрессию, то их логарифмы образуют прогрессию арифметическую. Однако правила логарифмирования для неперовой функции отличались от правил для современного логарифма, например:

operatorname {LogNap} (acdot b)=operatorname {LogNap} (a)+operatorname {LogNap} (b)-operatorname {LogNap} (1)

Дальнейшее развитие[править | править код]

Как вскоре обнаружилось, из-за ошибки в алгоритме все значения таблицы Непера содержали неверные цифры после шестого знака^[36]. Однако это не помешало новой методике вычислений получить широчайшую популярность, и составлением логарифмических таблиц занялись многие европейские математики. Кеплер в изданный им астрономический справочник 1620 года вставил восторженное посвящение Неперу (не зная, что изобретатель логарифмов уже скончался). В 1624 году Кеплер опубликовал свой собственный вариант логарифмических таблиц (лат. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos)^[37]. Использование логарифмов позволило Кеплеру относительно быстро завершить многолетний труд по составлению Рудольфинских таблиц, которые закрепили успех гелиоцентрической астрономии.

Спустя несколько лет после книги Непера появились логарифмические таблицы, использующие более близкое к современному понимание логарифма. Лондонский профессор Генри Бригс издал 14-значные таблицы десятичных логарифмов (1617), причём не для тригонометрических функций, а для произвольных целых чисел до 1000 (7 лет спустя Бригс увеличил количество чисел до 20000). В 1619 году лондонский учитель математики Джон Спайделл (англ. John Speidell) переиздал логарифмические таблицы Непера, исправленные и дополненные так, что они фактически стали таблицами натуральных логарифмов. У Спайделла тоже были и логарифмы самих чисел до 1000 (причём логарифм единицы, как и у Бригса, был равен нулю) — хотя масштабирование до целых чисел Спайделл сохранил^[38]^[39].

Вскоре выяснилось, что место логарифмов в математике не ограничивается расчётными удобствами. В 1629 году бельгийский математик Грегуар де Сен-Венсан показал, что площадь под гиперболой ${displaystyle y={frac {1}{x}}}$ меняется по логарифмическому закону^[40]. В 1668 году немецкий математик Николас Меркатор (Кауфман) открыл и опубликовал в своей книге Logarithmotechnia разложение логарифма в бесконечный ряд^[41]. По мнению многих историков, появление логарифмов оказало сильное влияние на многие математические концепции, в том числе:

Формирование и признание общего понятия иррациональных и трансцендентных чисел^[42].
Появление показательной функции и общего понятия числовой функции, числа Эйлера, развитие теории разностных уравнений^[43].
Начало работы с бесконечными рядами^[41].
Общие методы решения дифференциальных уравнений различных типов.
Существенное развитие теории численных методов, требуемых для вычисления точных логарифмических таблиц.

До конца XIX века общепринятого обозначения логарифма не было, основание a указывалось то левее и выше символа log, то над ним. В конечном счёте математики пришли к выводу, что наиболее удобное место для основания — ниже строки, после символа log: $log _{a}b$ . Краткие обозначения наиболее употребительных видов логарифма — lg ,;ln для десятичного и натурального — появились намного раньше сразу у нескольких авторов и закрепились окончательно также к концу XIX века^[44].

Близкое к современному понимание логарифмирования — как операции, обратной возведению в степень — впервые появилось у Валлиса (1685) и Иоганна Бернулли (1694), а окончательно было узаконено Эйлером^[36]. В книге «Введение в анализ бесконечных» (1748) Эйлер дал современные определения как показательной, так и логарифмической функций, привёл разложение их в степенные ряды, особо отметил роль натурального логарифма^[45]. Эйлеру принадлежит и заслуга распространения логарифмической функции на комплексную область.

Расширение логарифма на комплексную область[править | править код]

Первые попытки распространить логарифмы на комплексные числа предпринимали на рубеже XVII—XVIII веков Лейбниц и Иоганн Бернулли, однако создать целостную теорию им не удалось — в первую очередь по той причине, что тогда ещё не было ясно определено само понятие логарифма^[46]. Дискуссия по этому поводу велась сначала между Лейбницем и Бернулли, а в середине XVIII века — между Д’Аламбером и Эйлером. Бернулли и Д’Аламбер считали, что следует определить , в то время как Лейбниц доказывал, что логарифм отрицательного числа есть мнимое число^[46]. Полная теория логарифмов отрицательных и комплексных чисел была опубликована Эйлером в 1747—1751 годах и по существу ничем не отличается от современной^[47]. Хотя спор продолжался (Д’Аламбер отстаивал свою точку зрения и подробно аргументировал её в статье своей «Энциклопедии» и в других трудах), подход Эйлера к концу XVIII века получил всеобщее признание.

В XIX веке, с развитием комплексного анализа, исследование комплексного логарифма стимулировало новые открытия. Гаусс в 1811 году разработал полную теорию многозначности логарифмической функции^[48], определяемой как интеграл от ${frac {1}{z}}$ . Риман, опираясь на уже известные факты об этой и аналогичных функциях, построил общую теорию римановых поверхностей.

Разработка теории конформных отображений показала, что меркаторская проекция в картографии, возникшая ещё до открытия логарифмов (1550), может быть описана как комплексный логарифм^[49].

Некоторые практические применения[править | править код]

Логарифмические зависимости в науке и природе[править | править код]

Логарифмические функции распространены чрезвычайно широко как в математике, так и в естественных науках. Часто логарифмы появляются там, где проявляется самоподобие, то есть некоторый объект последовательно воспроизводится в уменьшенном или увеличенном масштабе; см. ниже такие примеры, как рекурсивные алгоритмы, фракталы или раковины моллюсков. Приведём несколько примеров использования логарифмов в разнообразных науках.

Теория чисел[править | править код]

Распределение простых чисел асимптотически подчиняется простым законам^[50]:

Число простых чисел в интервале от 1 до приблизительно равно ${frac {n}{ln n}}$ .
k-е простое число приблизительно равно .

Ещё более точные оценки используют интегральный логарифм.

Нередко возникает задача грубо оценить очень большое число — например, факториал или число Мерсенна с большим номером. Для этого было бы удобно приближённо записать число в экспоненциальном формате, то есть в виде мантиссы и десятичного порядка.

Задача легко решается с применением логарифмов. Рассмотрим для примера 44-е число Мерсенна ${displaystyle M=2^{32582657}-1}$ .

{displaystyle lg Mapprox 32582657cdot lg 2approx 9808357{,}09543}

Следовательно, мантисса результата равна ${displaystyle 10^{0{,}09543}approx 1{,}25.}$ Окончательно получим:

${displaystyle Mapprox 1{,}25cdot 10^{9808357}.}$

Математический анализ[править | править код]

Логарифмы нередко возникают при нахождении интегралов и при решении дифференциальных уравнений. Примеры:

${displaystyle int {operatorname {tg} x},dx=-ln |cos x|+C;quad int {frac {dx}{sqrt {x^{2}+a}}}=-ln left| x+{sqrt {x^{2}+a}} right|+C}$

Теория вероятностей и статистика[править | править код]

В статистике и теории вероятностей логарифм входит в ряд практически важных вероятностных распределений. Например, логарифмическое распределение^[51] используется в генетике и физике. Логнормальное распределение часто встречается в ситуациях, когда исследуемая величина есть произведение нескольких независимых положительных случайных переменных^[52].

Закон Бенфорда («закон первой цифры») описывает вероятность появления определённой первой значащей цифры при измерении реальных величин.

Для оценки неизвестного параметра широко применяются метод максимального правдоподобия и связанная с ним логарифмическая функция правдоподобия^[53].

Флуктуации при случайном блуждании описывает закон Хинчина-Колмогорова.

Информатика и вычислительная математика[править | править код]

В информатике: единица измерения информации (бит). Например, для хранения в компьютере натурального числа (в обычном для компьютера двоичном формате) понадобится $log _{2}N+1$ битов.

Информационная энтропия — мера количества информации.

Оценка асимптотической сложности рекурсивных алгоритмов, основанных на принципе «разделяй и властвуй»^[54] — таких как быстрая сортировка, быстрое преобразование Фурье и т. п.

Обычно числовые значения хранятся в памяти компьютера или специализированного процессора в формате с плавающей запятой. Если, однако, сложение и вычитание для группы данных выполняются редко, а умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня — гораздо чаще, тогда имеет смысл рассмотреть возможность хранения таких данных в логарифмическом формате. В этом случае вместо числа хранится логарифм его модуля и знак, и скорость вычислений благодаря свойствам логарифма значительно повышается^[55]. Логарифмический формат хранения был использован в нескольких системах, где доказал свою эффективность^[56]^[57].

Фракталы и размерность[править | править код]

Логарифмы помогают выразить размерность Хаусдорфа для фрактала^[58]. Например, рассмотрим треугольник Серпинского, который получается из равностороннего треугольника последовательным удалением аналогичных треугольников, линейный размер каждого из которых на каждом этапе уменьшается вдвое (см. рисунок). Размерность результата определяется по формуле:

${frac {ln 3}{ln 2}}approx 1{,}58$

Механика и физика[править | править код]

Принцип Больцмана в статистической термодинамике — одна из важнейших функций состояния термодинамической системы, характеризующая степень её хаотичности.

Формула Циолковского применяется для расчёта скорости ракеты.

Химия и физическая химия[править | править код]

Уравнение Нернста связывает окислительно-восстановительный потенциал системы с активностями веществ, входящих в электрохимическое уравнение, а также со стандартными электродными потенциалами окислительно-восстановительных пар.

Логарифм используется в определениях таких величин, как показатель константы автопротолиза (самоионизации молекулы) и водородный показатель (кислотности раствора).

Теория музыки[править | править код]

Чтобы решить вопрос о том, на сколько частей делить октаву, требуется отыскать рациональное приближение для $log _{2}{frac {3}{2}}approx 0{,}585$ . Если разложить это число в непрерывную дробь, то третья подходящая дробь (7/12) позволяет обосновать классическое деление октавы на 12 полутонов^[59].

Психология и физиология[править | править код]

Человеческое восприятие многих явлений хорошо описывается логарифмическим законом.

Закон Вебера — Фехнера — эмпирический психофизиологический закон, заключающийся в том, что интенсивность ощущения пропорциональна логарифму интенсивности стимула^[60] — громкости звука^[61], яркости света.

Закон Фиттса: чем дальше или точнее выполняется движение организма, тем больше коррекции необходимо для его выполнения и тем дольше эта коррекция исполняется^[62].

Время на принятие решения при наличии выбора можно оценить по закону Хика^[en]^[63].

Биология[править | править код]

Ряд биологических форм хорошо соответствует логарифмической спирали^[64] — кривой, у которой касательная в каждой точке образует с радиус-вектором в этой точке один и тот же угол, то есть прирост радиуса на единицу длины окружности постоянен:

Разное[править | править код]

Число кругов игры по олимпийской системе равно двоичному логарифму от числа участников соревнований, округлённому до ближайшего большего целого^[65].

Логарифмическая шкала[править | править код]

Неравномерная шкала десятичных логарифмов используется во многих областях науки. Для обеспечения вычислений она наносится на логарифмические линейки. Другие примеры:

Акустика — уровень звукового давления и интенсивность звука (децибелы)^[66].
Отношение сигнал/шум в радиотехнике и электросвязи^[67].
Астрономия — шкала яркости звёзд^[68].
Химия — активность водородных ионов (pH)^[69].
Сейсмология — шкала Рихтера^[70].
Оптическая плотность — мера поглощения света прозрачными объектами или отражения света непрозрачными объектами^[71].
Фотографическая широта — характеристика светочувствительного материала^[72].
Шкала выдержек и диафрагм в фотографии^[73].
Теория музыки — нотная шкала, по отношению к частотам нотных звуков^[59].
Сельское хозяйство — основная гидрофизическая характеристика почвы^[74].
Теория управления — логарифмическая амплитудно-фазовая частотная характеристика^[75].

Логарифмическая шкала особенно удобна в тех случаях, когда уровни измеряемой величины образуют геометрическую прогрессию, поскольку тогда их логарифмы распределены с постоянным шагом. Например, 12 полутонов классической октавы образуют (приближённо) такую прогрессию^[59] со знаменателем . Аналогично, каждый уровень шкалы Рихтера соответствует в 10 раз большей энергии, чем предыдущий уровень. Даже при отсутствии геометрической прогрессии логарифмическая шкала может пригодиться для компактного представления широкого диапазона значений измеряемой величины.

Логарифмическая шкала также широко применяется для оценки показателя степени в степенных зависимостях и коэффициента в показателе экспоненты. При этом график, построенный в логарифмическом масштабе по одной или двум осям, принимает вид прямой, более простой для исследования.

Графики трёх функций при различном выборе шкал по осям координат:

Верхний ряд – 1) обе линейные; 2) логарифмическая (x) и линейная (y);
Нижний ряд – 1) линейная (x) и логарифмическая (y); 2) обе логарифмические.

$y=10^{x}$ y=x y=ln x

Логарифмические таблицы[править | править код]

Из свойств логарифма следует, что вместо трудоёмкого умножения многозначных чисел достаточно найти (по таблицам) и сложить их логарифмы, а потом по тем же таблицам (раздел «Антилогарифмы») выполнить потенцирование, то есть найти значение результата по его логарифму. Выполнение деления отличается только тем, что логарифмы вычитаются.

Первые таблицы логарифмов опубликовал Джон Непер (1614), и они содержали только логарифмы тригонометрических функций, причём с ошибками. Независимо от него свои таблицы опубликовал Йост Бюрги, друг Кеплера (1620). В 1617 году оксфордский профессор математики Генри Бригс опубликовал таблицы, которые уже включали десятичные логарифмы самих чисел, от 1 до 1000, с 8 (позже — с 14) знаками. Но и в таблицах Бригса обнаружились ошибки. Первое безошибочное издание на основе таблиц Георга Веги (1783) появилось только в 1857 году в Берлине (таблицы Бремикера)^[76].

В России первые таблицы логарифмов были изданы в 1703 году при участии Л. Ф. Магницкого^[77]. В СССР выпускались несколько сборников таблиц логарифмов^[78]:

Брадис В. М. Четырёхзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Таблицы Брадиса, издаваемые с 1921 года, использовались в учебных заведениях и в инженерных расчётах, не требующих большой точности. Они содержали мантиссы десятичных логарифмов чисел и тригонометрических функций, натуральные логарифмы и некоторые другие полезные расчётные инструменты.
Вега Г. Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Профессиональный сборник для точных вычислений.
Бремикер К. Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Классические шестизначные таблицы, удобные для расчётов с тригонометрическими функциями.
Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М., 1952.

Логарифмическая линейка[править | править код]

В 1620-е годы Эдмунд Уингейт и Уильям Отред изобрели первую логарифмическую линейку, до появления карманных калькуляторов служившую незаменимым расчётным орудием инженера^[79]. С помощью этого компактного инструмента можно быстро производить все алгебраические операции, в том числе с участием тригонометрических функций^[80]. Точность расчётов — около 3 значащих цифр.

Логарифмическая линейка. Умножение 1,3 × 2 или деление 2,6 / 2 (см. шкалы C и D).

Вариации и обобщения[править | править код]

Логарифм как решение уравнения $a^{x}=b$ можно определить не только для вещественных и комплексных чисел.

Можно ввести логарифмическую функцию для кватернионов (см. функции кватернионного переменного). Однако большинство алгебраических свойств логарифма при этом теряется^[81] — например, логарифм произведения не равен сумме логарифмов, и это снижает практическую ценность такого обобщения.
Если — элементы конечной абелевой мультипликативной группы, то логарифм в указанном смысле (если он существует) называется дискретным. Чаще всего он рассматривается для конечной группы кольца вычетов по некоторому модулю, где называется индексом по этому модулю^[82] и играет важную роль в криптографии. В циклических группах логарифм существует, если его основание является первообразным корнем этой группы.
Матричный логарифм: можно определить логарифмы также для матриц^[83].
Можно определить p-адический логарифм^[en] для некоторых p-адических чисел^[84].
Для работы с очень большими числами вводится понятие суперлогарифма, связанное не с возведением в степень, а с операцией более высокого порядка: тетрацией.

См. также[править | править код]

Антилогарифм
Логарифмический вычет
Логарифмический признак сходимости
Логарифмическая бумага
Полилогарифм
Порядок величины
Список интегралов от логарифмических функций

Примечания[править | править код]

↑ Краткий словарь иностранных слов. М.: Русский язык, 1984.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 186.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 184—186.
↑ Швецов К. И., Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
↑ ¹ ² Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 34.
↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.
↑ Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 187.
↑ Элементарная математика, 1976, с. 93f.
↑ ¹ ² Элементарная математика, 1976, с. 89.
↑ ¹ ² Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. Архивировано 16 октября 2013 года.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 159-160.
↑ Sasaki T., Kanada Y. Practically fast multiple-precision evaluation of log(x) (англ.) // Journal of Information Processing. — 1982. — Vol. 5, iss. 4. — P. 247—250. Архивировано 29 июля 2011 года.
↑ ¹ ² Элементарная математика, 1976, с. 94—100.
↑ Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике, 1978, с. 189.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 406.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том I, стр. 164.
↑ Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-20461-3, p. 10.
↑ ¹ ² Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 520-522.
↑ ¹ ² Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 623.
↑ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 92—94.
↑ ¹ ² ³ Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной, 1967, с. 45—46, 99-100.
↑ Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21). Архивировано 2 марта 2022 года.
↑ Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления, 1966, Том II, стр. 522-526.
↑ ¹ ² Корн Г., Корн Т. Справочник по математике, 1973, с. 624.
↑ ¹ ² Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 9.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 206.
↑ Gupta, R. C. (2000), History of Mathematics in India, in Hoiberg, Dale & Ramchandani, Students’ Britannica India: Select essays, New Delhi: Popular Prakashan, с. 329 Архивная копия от 17 марта 2018 на Wayback Machine
↑ История математики, том II, 1970, с. 54—55.
↑ Vivian Shaw Groza, Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics, New York: Holt, Rinehart, Winston, с. 182, ISBN 978-0-03-077670-0, <https://books.google.com/?id=yM_lSq1eJv8C&pg=PA182&dq=%22arithmetica+integra%22+logarithm&q=stifel>
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 210.
↑ Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 13.
↑ История математики, том II, 1970, с. 56.
↑ Хрестоматия по истории математики. Математический анализ. Теория вероятностей / Под ред. А. П. Юшкевича. — М.: Просвещение, 1977. — С. 40. — 224 с.
↑ ¹ ² История математики, том II, 1970, с. 59.
↑ ¹ ² История математики, том II, 1970, с. 61.
↑ Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 39.
↑ История математики, том II, 1970, с. 63.
↑ Charles Hutton. Mathematical Tables. Архивная копия от 11 сентября 2016 на Wayback Machine London, 1811, p. 30.
↑ История математики, том II, 1970, с. 133.
↑ ¹ ² Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов, 1923, с. 52.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 51, 286, 352.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей, 1987, с. 213, 217.
↑ Florian Cajori. A History of Mathematics, 5th ed (англ.). — AMS Bookstore, 1991. — P. 152. — ISBN 0821821024.
↑ Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 25.
↑ ¹ ² История математики, том III, 1972, с. 325—328.
↑ Рыбников К. А. История математики. В двух томах. — М.: Изд. МГУ, 1963. — Т. II. — С. 27, 230—231.
↑ Математика XIX века. Том II: Геометрия. Теория аналитических функций, 1981, с. 122—123.
↑ Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. II. Геометрия. — С. 159—161. — 416 с. Архивировано 16 октября 2015 года.
↑ Дербишир, Джон. Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. — Астрель, 2010. — 464 с. — ISBN 978-5-271-25422-2.
↑ Weisstein, Eric W. Log-Series Distribution (англ.). MathWorld. Дата обращения: 26 апреля 2012. Архивировано 11 мая 2012 года.
↑ Логарифмически нормальное распределение // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. Архивировано 16 октября 2013 года.
↑ Максимального правдоподобия метод // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. Архивировано 16 октября 2013 года.
↑ Harel, David; Feldman, Yishai A. Algorithmics: the spirit of computing. — New York: Addison-Wesley, 2004. — P. 143. — ISBN 978-0-321-11784-7.
↑ N. G. Kingsburg, P. J. W. Rayner. Digital filtering using logarithmic arithmetic (англ.) // Electronics Letters (англ.) (рус. : journal. — 1971. — 28 January (vol. 7). — P. 55.
↑ R. C. Ismail and J. N. Coleman. ROM-less LNS (англ.) // 2011 20th IEEE Symposium on Computer Arithmetic (ARITH). — 2011. — July. — P. 43—51. — doi:10.1109/ARITH.2011.15.
↑ Haohuan Fu, Oskar Mencer, Wayne Luk. Comparing Floating-point and Logarithmic Number Representations for Reconfigurable Acceleration (англ.) // IEEE Conference on Field Programmable Technology : journal. — 2006. — December. — P. 337. — doi:10.1109/FPT.2006.270342. Архивировано 19 января 2012 года.
↑ Иванов М. Г. Размер и размерность // «Потенциал», август 2006.
↑ ¹ ² ³ Шилов Г. Е. Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. Архивная копия от 22 февраля 2014 на Wayback Machine М.: Физматгиз, 1963. 20 с. Серия «Популярные лекции по математике», выпуск 37.
↑ Головин С. Ю. ЗАКОН ВЕБЕРА-ФЕХНЕРА // Словарь практического психолога. Дата обращения: 17 апреля 2012. Архивировано 11 июня 2013 года.
↑ Ирина Алдошина. Основы психоакустики // Звукорежиссёр. — 1999. — Вып. 6. Архивировано 24 апреля 2012 года.
↑ Закон Фиттса // Психологическая энциклопедия. Дата обращения: 17 апреля 2012. Архивировано 2 июля 2015 года.
↑ Welford, A. T. Fundamentals of skill. — London: Methuen, 1968. — P. 61. — ISBN 978-0-416-03000-6.
↑ Логарифмическая спираль // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю. В. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 328. — 847 с. — ISBN 5-85270-278-1. Архивировано 10 сентября 2014 года.
↑ Харин А. А. Организация и проведение соревнований. Методическое пособие. — Ижевск: УдГУ, 2011. — С. 27. Архивировано 24 июля 2020 года.
↑ Децибел // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Учебно-методический комплекс: Методы и средства обработки сигналов. Дата обращения: 28 апреля 2012. Архивировано из оригинала 19 марта 2012 года.
↑ Звёздная величина // Большая советская энциклопедия : [в 30 т.] / гл. ред. А. М. Прохоров. — 3-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1969—1978.
↑ Бейтс Р. Определение рН. Теория и практика. — 2 изд. — Л.: Химия, 1972.
↑ Горкин А. П. Шкала Рихтера // География. — М.: Росмэн-Пресс, 2006. — 624 с. — (Современная иллюстрированная энциклопедия). — 10 000 экз. — ISBN 5-353-02443-5.
↑ Оптическая плотность // Фотокинотехника: Энциклопедия / Гл. ред. Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981. — 447 с.
↑ Фотографическая широта // Фотокинотехника: Энциклопедия / Гл. ред. Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981. — 447 с.
↑ Кулагин С. В. Выдержка // Фотокинотехника: Энциклопедия / Гл. ред. Е. А. Иофис. — М.: Советская энциклопедия, 1981. — 447 с.
↑ Шеин Е. В. Курс физики почв. М.: Изд-во МГУ, 2005. — 432 с. ISBN 5-211-05021-5.
↑ Понятие частотных характеристик. Дата обращения: 28 апреля 2012. Архивировано 24 апреля 2012 года.
↑ История математики, том II, 1970, с. 62.
↑ Гнеденко Б. В. Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
↑ Логарифмические таблицы // Большая советская энциклопедия : [в 51 т.] / гл. ред. С. И. Вавилов. — 2-е изд. — М. : Советская энциклопедия, 1949—1958.
↑ История математики, том II, 1970, с. 65—66.
↑ Березин С. И. Счётная логарифмическая линейка. — М.: Машиностроение, 1968.
↑ David Eberly. Quaternion algebra and calculus (англ.) (2 марта 1999). Дата обращения: 12 апреля 2012. Архивировано 15 сентября 2012 года.
↑ Виноградов И. М. Основы теории чисел. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1952. — С. 97. — 180 с. Архивировано 4 ноября 2011 года.
↑ Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. — М.: Наука, 1967. — 576 с.
↑ p-adic exponential and p-adic logarithm (англ.) // PlanetMath.org. Архивировано 20 июня 2010 года.

Литература[править | править код]

Теория логарифмов

Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М.: Наука, 1978.
- Переиздание: АСТ, 2003, ISBN 5-17-009554-6.
Зайцев В. В., Рыжков В. В., Сканави М. И. Элементарная математика. Повторительный курс. — Издание третье, стереотипное. — М.: Наука, 1976. — 591 с.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Свешников А. Г., Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной. — М.: Наука, 1967. — 304 с.
Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
Шахмейстер А. Х. Логарифмы. Пособие для школьников, абитуриентов и преподавателей. — изд. 5-е. — СПб.: МЦНМО, 2016. — 288 с. — ISBN 978-5-4439-0648-5.

История логарифмов

Абельсон И. Б. Рождение логарифмов. — М.—Л.: Гостехиздат, 1948. — 231 с.
Гиршвальд Л. Я. История открытия логарифмов. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1952. — 33 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. — М.: Наука, 1987. — Т. I. Арифметика. Алгебра. Анализ. — 432 с.
Математика XVII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.
Математика XVIII столетия // История математики / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1972. — Т. III.
Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.). Математика XIX века. Геометрия. Теория аналитических функций. — М.: Наука, 1981. — Т. II.
Успенский Я. В. Очерк истории логарифмов. — Петроград: Научное книгоиздательство, 1923. — 78 с.

Источник