Как найти приращение функции формула

Как найти приращение функции формула

Содержание:

  • Приращение аргумента и функции
  • Определение производной
  • Дифференцирование функции

Пусть задана некоторая функция $y=f(x)$. Возьмем какое-нибудь
значение $x_{0}$ из области определения этой функции:
$x_{0} in D[f]$ . Соответствующее значение функции в этой точке
будет равно $y_{0}=fleft(x_{0}right)$ .

Приращение аргумента и функции

Определение

Приращением аргумента называется разность между двумя значениями аргумента: “новым” и “старым”.

Обычно обозначается как $Delta x=x_{1}-x_{0}$ .

Пример

Задание. Найти приращение аргумента $x$, если он переходит от значения 3 к значению 3,2.

Решение. Искомое приращение: $Delta x=3,2-3=0,2$ .

Ответ. $Delta x=0,2$

Зададим аргументу $x_{0}$ приращение
$Delta x$. А тогда значение функции в новой точке
$fleft(x_{0}+Delta xright)$.

Определение

Приращением функции $y=f(x)$ в точке
$x_{0}$, соответствующее приращению аргумента
$Delta x=x-x_{0}$, называется величина:

$Delta y=fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)$

Иллюстрация приращения аргумента и функции

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 396 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Найти приращение функции $y=2 x^{2}$
при $x_{0}=3$ и
$Delta x=0,1$

Решение. Подставляя в формулу, получаем, что приращение функции:

$Delta y=y(3+0,1)-y(3)=2 cdot(3+0,1)^{2}-2 cdot 3^{2}=1,22$

Ответ. $Delta y=1,22$

Определение производной

Определение

Производной $y^{prime}(x)$ от функции
$y=f(x)$ в точке
$x_{0}$ называется предел отношения
приращения функции $Delta y$ к приращению аргумента
$Delta x$ : 
$frac{Delta y}{Delta x}$ при
$Delta x rightarrow 0$, если он существует, то есть:

$y^{prime}left(x_{0}right)=f^{prime}left(x_{0}right)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{fleft(x_{0}+Delta xright)-fleft(x_{0}right)}{Delta x}$

или

$y^{prime}left(x_{0}right)=lim _{x rightarrow x_{0}} frac{f(x)-fleft(x_{0}right)}{x-x_{0}}$

Пример

Задание. Найти производную функции $y=x^{2}+3 x$
в точке $x_{0}=0$.

Решение. Найдем приращение заданной функции в точке $x_{0}$ :

$Delta y=y(0+Delta x)-y(0)=y(Delta x)-y(0)=$

$=(Delta x)^{2}+3 Delta x-0=Delta x(Delta x+3)$

Тогда

$y^{prime}(0)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta x(Delta x+3)}{Delta x}=lim _{Delta x rightarrow 0}(Delta x+3)=0+3=3$

Ответ. $y^{prime}(0)=3$

Дифференцирование функции

Определение

Операция нахождения производной функции называется дифференцированием этой функции.

Функция $y=f(x)$ имеет производную на интервале
$(a ; b)$ или называется дифференцируемой в этом
интервале, если производная $f^{prime}(x)$ существует в каждой точке этого интервала.

Функция $y=f(x)$ имеет в точке
$x$ бесконечную производную, если в этой точке
$f^{prime}(x)=lim _{Delta x rightarrow 0} frac{Delta y}{Delta x}=infty$ .

Теорема

(О непрерывности функции в точке)

Если функция $y=f(x)$ имеет конечную производную в
точке $x_{0}$ , то она непрерывна в этой точке.

Замечание. Обратное заключение не всегда верно: если функция $y=f(x)$
непрерывна в некоторой точке $x_{0}$ , то она может
и не иметь производной в этой точке.

Определение

Функция $y=f(x)$ называется дифференцируемой
в точке $x$, если приращение функции,
соответствующее приращению аргумента, можно представить в виде:

$Delta y=A cdot Delta x+alpha(Delta x) cdot Delta x$

где $A$ – число, не зависящее от
$Delta x$,
$alpha(Delta x)$ – б.м. функция при
$Delta x rightarrow 0$.

Теорема

(О необходимом и достаточном условии дифференцируемости)

Для того чтобы функция $y=f(x)$ была дифференцируемой
в точке $x$, необходимо и достаточно,
чтобы $y=f(x)$ имела в этой точке конечную производную.

Теорема устанавливает, что для функции $y=f(x)$
дифференцируемость в данной точке $x$ и существование конечной производной в этой точке – понятия равносильные.

Читать дальше: односторонние производные.

Источник

Приращение функции f(x) в точке x_{0} —
функция, обычно обозначаемая {displaystyle Delta _{x_{0}}f}
от новой переменной {displaystyle Delta _{x_{0}}x=x-x_{0}}, определяемая как

{displaystyle Delta _{x_{0}}f(Delta _{x_{0}}x)=f(x)-f(x_{0})}

Переменная {displaystyle Delta _{x_{0}}x=x-x_{0}} называется приращением аргумента.

В случае, когда ясно о каком значении x_{0} идёт речь,
применяется более короткая запись.

{displaystyle Delta f(Delta x)=Delta _{x_{0}}f(Delta _{x_{0}}x).}

Примеры использования[править | править код]

  • Говорят, что первоначальное значение аргумента x_{0} получило приращение Delta x. Вследствие этого значение функции f получило приращение
{displaystyle Delta f(Delta x)=f(x_{0}+Delta x)-f(x_{0})}

См. также[править | править код]

  • Дифференциал

Литература[править | править код]

  • Г. И. Архипов, В. А. Садовничий, В. Н. Чубариков. Лекции по математическому анализу: Учебник для университетов и пред. вузов. — Москва:
    Высшая школа, 1999. — 656 с.

Формула

Это статья-заготовка по математике. Помогите Википедии, дополнив эту статью, как и любую другую.
Источник

Приращение
функции

Не всегда в жизни нас интересуют точные
значения каких-либо величин. Иногда интересно узнать изменение этой величины,
например, средняя скорость автобуса, отношение величины перемещения к
промежутку времени и т.д. Для сравнения значения функции в некоторой точке со
значениями этой же функции в других точках, удобно использовать такие понятия,
как «приращение функции» и  «приращение аргумента».

Понятия “приращение функции” и “приращение
аргумента”

Допустим, х – некоторая
произвольная точка, которая лежит в какой-либо окрестности точки х0.
Приращением аргумента в точке х0 называется разность х-х0.
Обозначается приращение следующим образом: ∆х.

·        
∆х=х-х0.

Иногда эту величину еще
называют приращением независимой переменной в точке х0. Из формулы
следует: х = х0+∆х. В таких случаях говорят, что начальное значение
независимой переменной х0, получило приращение ∆х.

Если мы изменяем аргумент, то
и значение функции тоже будет изменяться.

·        
f(x) – f(x0) = f(x0 + ∆х) – f(x0).

Приращением
функции f в точке x0, соответствующим
приращению ∆х называется разность f(x0 + ∆х) – f(x0).
Приращение функции обозначается следующим образом ∆f. Таким образом получаем,
по определению:

·        
∆f= f(x0 +∆x) – f(x0).

Иногда, ∆f еще называют
приращением зависимой переменной и для обозначения используют ∆у, если функция
была, к примеру, у=f(x).

Геометрический смысл приращения 

Посмотрите на следующий
рисунок.

http://www.nado5.ru/images/geometricheskiy-smisl-prirasheniya-funkcii.jpg

Как видите, приращение
показывает изменение ординаты и абсциссы точки. А отношение приращения функции
к приращению аргумента определяет угол наклона  секущей, проходящей через
начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим примеры приращения функции и аргумента

Пример
1. Найти приращение аргумента ∆х и приращение функции ∆f в
точке х0, если f(х) = х2, x0=2  a) x=1.9
b) x =2.1

Воспользуемся формулами,
приведенными выше:

a) ∆х=х-х0 = 1.9 –
2 = -0.1;

·        
∆f=f(1.9) – f(2) = 1.92 – 22 =
-0.39;

b) ∆x=x-x0=2.1-2=0.1;

·        
∆f=f(2.1) – f(2) = 2.12 – 22 =
0.41.

Пример
2. Вычислить приращение ∆f для функции
f(x) = 1/x в точке х0, если приращение аргумента равняется ∆х.

Опять же, воспользуемся
формулами, полученными выше.

·        
∆f = f(x0 + ∆x) – f(x0) =1/(x0-∆x)
– 1/x0 = (x0 – (x0+∆x))/(x0*(x0+∆x))
= -∆x/((x0*(x0+∆x)).

Пример
3.. Найти приращение функции y=2x2 при x0=3 и Δx=0,1

Решение. Подставляя
в формулу, получаем, что приращение функции:

Δy=y(3+0,1)−y(3)=2⋅(3+0,1)2−2⋅32=1,22

Ответ. Δy=1,22

Источник

При изучении поведения функции y=f(x) около конкретной точки x0, необходимо знать, как меняется значение функции при изменении значения аргумента. Введём следующие понятия.

Пусть функция y=f(x) определена в точках x0 и x1. Разность x1−x0 называют приращением аргумента (при переходе от точки x0 к точке x1), а разность f(x1)−f(x0) называют приращением функции.

graf_pieaug.bmp

Приращение аргумента обозначают Δx, произносят: дельта икс ( Δ — прописная буква; δ — строчная буква греческого алфавита «дельта»). Приращение функции обозначают Δy или Δf.

Итак, x1−x0=Δx, значит, x1=x0+Δx.

f(x1)−f(x0)=Δy, значит, Δy=f(x0+Δx)−f(x0).

Функция

y=f(x)

непрерывна в точке (x=a), когда в этой точке выполняется условие: если

Δx→0

, то 

Δy→0

,

Источник

Приращение функции

Понятие
приращения аргумента и приращения
функции.

Пусть
x – произвольная точка, ледащая в
некоторой окрестности фиксированной
точки x0.
разность x – x0 называется приращение
независимой переменной (
или приращением
аргумента)
в точке x0 и
обозначается Δx. Таким образом, 

Δx = x –x0,

откуда
следует, что

x = x0 +
Δx.

Говорят
также, что первоначальное значение
аргумента x0 получило
приращение Δx. Вследствие этого значение
функции f изменится на величину 

f(x) – f(x0)
= f (x0 +Δx)
– f(x0).

Эта
разность называется приращением
функции f
в точке x0,
соответствующим приращению Δx, и
обозначается символом Δf (читается
«дельта эф»), т.е. по определению 

Δf = f (x0 +
Δx) – f (x0),

откуда 

f (x) = f (x0 +Δx)
= f (x0)
+ Δf.

При
фиксированном x0 приращение Δf есть
функция от Δx. Δf называют также приращение
зависимой переменной и обозначают через
Δy для функции y = f(x) .

Определение
непрерывной в точке функции через
приращение.

Функция f(x) называется непрерывной
в точке x0,
если существует limx → x0 f(x) ,
равный значению функции f(x) в
этой точке:

lim

x → x0

 f(x) = f(x0),

(1)

т.е.

” O( f(x0) )     $ O(x0)
:     x О O(x0) Ю f(x) О O( f(x0)
) .

Производная функции одной переменной

Определение
производной функции в точке.

Пусть
в некоторой окрестности точки 
 определена функция 
 Производной
функции 
 в
точке 
 называется предел,
если он существует,

Геометрический
смысл производной и дифференциала.

Если
функция у = f(x) дифференцируема в точке
x0,
то ее производная в этой точке равна
тангенсу угла наклона касательной к
оси Ох, а дифференциал равен приращению
ординаты касательной

f'(x0)
= tg a.

Уравнения
касательной и нормали к графику функции.

Уравнение
касательной имеет вид:

У
= f'(x0)
• (x – x0)
+ f(x0)

Если
функция у = f(x) имеет в точке x0бесконечную
производную, то ее касательной является
вертикальная прямая х = х0.

Под
нормалью к кривой понимается прямая,
перпендикулярная касательной и проходящая
через точку касания. Если f'(x0) 
 0,
то уравнение нормали имеет вид:

Понятие
дифференцируемости функции в точке.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в
точке x0,
если ее приращение Δy в
точке x0 может
быть представлено в виде: Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx,
где A — некоторое число, независящее
от Δx,
а α(Δx)–
бесконечно малая функция от переменной Δx,
т.е. limΔx→0α(Δx)=0.

Теорема
о необходимом и достаточном условии
дифференцируемости .

Теорема

Для
того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в
точке x0,
необходимо и достаточно, чтобы она в
этой точке имела конечную
производную.

Доказательство 

Необходимость.
Предположим: функция дифференцируема
в точке x0,
т.е. Δy=A·Δx+α(Δx)·Δx.
Разделив обе части данного равенства
на Δx,
получим: ΔxΔy=A+α(Δx).

Из
определения производной функции в
точке: y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy=limΔx→0(A+α(Δx))=A.

Т.е.
получили, что существует конечная
производная функции в
точке x0 и y/(x0)=A.

Достаточность.
Пусть существует конечная
производная y/(x0)∈R .
Покажем дифференцируемость
функции. y/(x0)=limΔx→0ΔxΔy.

Если
функция f(x) имеет
конечный предел b при Δx→0 ,
то ее можно представить: f(x)=b+α(x)
(α(x)→0) .
Исходя из этого: ΔxΔy=y/(x0)+α(Δx),
где limΔx→0α(Δx)=0, Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx→ A=y/(x0) .
Теорема доказана.

Связь
свойств дифференцируемости и непрерывности
.

Если
функция y=y(x) дифференцируема
в точке x0,
то она и непрерывна в этой
точке.

Справедливость
утверждения следует
из Δy=y/(x0)·Δx+α(Δx)·Δx и limΔx→0Δy=0,
а по определению функция непрерывна,
если малому приращению аргумента
соответствует малое приращение
функции. 

Обратное
утверждение не верно.

Например,
функция y=∣x∣  непрерывна
в точкеx=0,
но не дифференцируема в этой точке. 

Таким
образом, не всякая непрерывная функция
дифференцируема, а любая дифференцируемая
функция непрерывна.

Дифференциал
функции. Физический смысл производной.

Дифференциалом функции f(x)
в точке х называется главня линейная
часть приращения функции.

  Обозначается dy или df(x)

Производная
функции пути по времени есть мгновенная
скорость материальной точки в момент
времени х:

v(x)
= f'(x).

Поскольку
dy = f'(x)dx = v(x)dx, то дифференциал функции
пути равен расстоянию, которое прошла
бы точка за бесконечно малый промежуток
времени dx, если бы она двигалась равномерно
со скоростью, равной величине мгновенной
скорости в момент времени х.

Вторая
производная функции пройденного пути
также имеет простой смысл – это мгновенное
ускорение точки в данный момент времени

a(x)=v'(x)
= f”(x).

Производная
суммы, разности, произведения и частного
функций (все с доказательством кроме
последнего).

Производная
суммы (разности) функций

Производная
алгебраической суммы функций выражается
следующей теоремой.

Производная
суммы (разности) двух
дифференцируемых функций равна сумме
(разности) производных этих функций:

Производная
произведения функций.

Пусть u(x) и u(x) –
дифференцируемые функции. Тогда
произведение функций u(x)v(x) также
дифференцируемо и

Производная
произведения двух функций не равана
произведению производных этих функций.

Производная
частного функций.

Пусть u(x) и u(x) –
дифференцируемые функции. Тогда,
если v(x)
≠ 0,
то производная частного этих функций
вычисляется по формуле

Производная
сложной функции .

“Двухслойная”
сложная функция записывается в виде

где u
= g(x) –
внутренняя функция, являющаяся, в свою
очередь, аргументом для внешней
функции f. 

Если f и g –
дифференцируемые функции, то сложная
функция 
 также
дифференцируема по x и
ее производная равна

Данная
формула показывает, что производная
сложной функции равна произведению
производной внешней функции на производную
от внутренней функции. Важно, однако,
что производная внутренней функции
вычисляется в точке x,
а производная внешней функции – в точке u
= g(x)! 

Определение
логарифмической производной функции.

Логарифмической
производной функции y=f(x) называется
производная ее логарифма. 
 тогда
производная функции y=f(x) может
быть найдена так: 

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Добавить комментарий