Как найти приращение кинетической энергии

Как найти приращение кинетической энергии

Если
тело некоторой массы m двигалось
под действием приложенных сил, и его
скорость изменилась от дото
силы совершили определеннуюработу A.

Работа
всех приложенных сил равна работе
равнодействующей силы (см.
рис. 1.19.1).

Рисунок
1.19.1.

Работа
равнодействующей
силы. .A = F1s cos α1 + F2s cos α2 = F1ss + F2ss = Fрss = Fрs cos α

Между
изменением скорости тела и работой,
совершенной приложенными к телу силами,
существует связь. Эту связь проще всего
установить, рассматривая движение тела
вдоль прямой линии под действием
постоянной силы В
этом случае векторы
силыперемещенияскоростии
ускорениянаправлены
вдоль одной прямой, и тело совершает
прямолинейное равноускоренное движение.
Направив координатную ось вдоль прямой
движения, можно рассматриватьF, s, υ и a как
алгебраические величины (положительные
или отрицательные в зависимости от
направления соответствующего вектора).
Тогда работу силы можно записать
как A = Fs.
При равноускоренном движении
перемещение s выражается
формулой 

Отсюда
следует, что 

Это
выражение показывает, что работа,
совершенная силой (или равнодействующей
всех сил), связана с изменением квадрата
скорости (а не самой скорости).

Физическая
величина, равная половине произведения
массы тела на квадрат его скорости,
называется кинетической
энергией тела: 

Работа
приложенной к телу равнодействующей
силы равна изменению его кинетической
энергии. 

Это
утверждение называют теоремой
о кинетической энергии.
Теорема о кинетической энергии справедлива
и в общем случае, когда тело движется
под действием изменяющейся силы,
направление которой не совпадает с
направлением перемещения.

Кинетическая
энергия – это энергия движения.
Кинетическая энергия тела массой m,
движущегося со скоростью равна
работе, которую должна совершить сила,
приложенная к покоящемуся телу, чтобы
сообщить ему эту скорость:

Если
тело движется со скоростью то
для его полной остановки необходимо
совершить работу

16. Закон сохранения полной механической энергии. Закон сохранения энергии.

Сумма
кинетической и потенциальной энергий
системы тел называется полной
механической энергиейсистемы.

E = Ep + Ek

Учитывая,
что при совершении работы A = ΔEk и,
одновременно, A = – ΔEp,
получим: ΔEk =
– ΔEp или Δ(Ek + Ep)=0
– изменение суммы кинетической и
потенциальной энергий (т.е. изменение
полной механической энергии) системы
равно нулю.

ΔEk =
– ΔEp

Значит,
полная энергия системы остается
постоянной:  

E = Ep + Ek = const. В
замкнутой системе, в которой действуют
только консервативные силы, механическая
энергия сохраняется. (Или: полная
механическая энергия системы тел,
взаимодействующих силами упругости
и гравитации, остается неизменной
при любых взаимодействиях внутри
этой системы).

E = Ep + Ek = const

Например,
для тела, движущегося под действием
силы тяжести (падение; тело, брошенное
под углом к горизонту, вертикально
вверх или движущееся по наклонной
плоскости без трения): .

Соседние файлы в предмете Физика

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

§7. Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки и следствия

Напомним вывод этой теоремы. По второму закону Ньютона

`m Delta vec v = vec F Delta t`.

Умножим обе части этого равенства скалярно на `vec v`, получим

`m (vec v * Delta vec v) = (vec F * vec v Delta t)`.

Это соотношение устанавливает равенство `Delta K = Delta A` на каждом элементарном перемещении приращения кинетической энергии

`Delta K = m ((vec v + Delta vec v)^2)/2 – m ((vec v)^2)/2 ~~ m(vec v * Delta vec v)`

и работы равнодействующей

`Delta A = (vec F * Delta vec r) = (vec F * vec v Delta t)`

на этом перемещении.

Суммируя такие равенства вдоль произвольной траектории,  приходим к теореме об изменении кинетической энергии на конечных перемещениях:

На любых перемещениях приращение кинетической энергии материальной точки равно сумме работ всех сил

`K_2 – K_1 = sum_i A_i`.

Если среди сил есть потенциальные, то работа такой силы традиционно принимается равной взятому с обратным знаком приращению потенциальной энергии $$ A=-left({П}_{2}-{П}_{1}right)$$.

Из этих соотношений получаем теорему об изменении полной механической энергии (суммы кинетической и потенциальной энергий) материальной точки

$$ left({П}_{2}+{K}_{2}right)-left({П}_{1}+{K}_{1}right)=$$`sum_i A_(i  sf”непотенц”)`,

т. е. на любых перемещениях приращение полной механической энергии материальной точки равно сумме работ всех не потенциальных сил.

Отсюда следует: если не потенциальные силы отсутствуют или их работа равна нулю, то полная механическая энергия материальной точки, сохраняется.

Это утверждение –  закон сохранения полной механической энергии материальной точки.

На заснеженном склоне с углом наклона `alpha` к горизонту коэффициент трения скольжения лыжника на высотах меньших `h` равен `mu_1 (mu_1 >  “tg”  alpha)`, на больших высотах коэффициент трения скольжения лыжника равен `mu_2 (mu_2 < “tg”  alpha)`. С какой высоты `H` следует стартовать лыжнику с нулевой начальной скоростью, чтобы доехать до основания склона с нулевой конечной скоростью?

По условию `mu_2 < “tg”  alpha`, `mu_1 > “tg” alpha`. Тогда при спуске лыжника на верхнем участке склона `F_(sf”тр”2) = mu_2 mg cos alpha < mg sin alpha`, лыжник движется равноускорено. На нижнем участке склона

`F_(sf”тр”1) = mu_1 mg cos alpha > mg sin alpha`,

лыжник движется равнозамедленно. При движении лыжника по склону от старта до финиша:

приращение потенциальной энергии, отсчитанной от нуля у основания склона, равно $$ {П}_{2}-{П}_{1}=-mgH$$,

приращение кинетической энергии  `K_2 – K_1 = 0`, работа силы трения скольжения

`A_12 =- mu_2 mg cos alpha * (H – h)/(sin alpha) – mu_1 mg cos alpha h/(sin alpha) =`

`=- (mg)/(“tg”  alpha) (mu_2 H + (mu_1 – mu_2) h)`.

По теореме об изменении полной механической энергии

$$ left({K}_{2}+{П}_{2}right)-left({K}_{1}+{П}_{1}right)={A}_{12}$$.

В рассматриваемом случае `- mgH =- (mg)/(“tg”  alpha) (mu_2 H + (mu_1 – mu_2 )h)`.

Отсюда `H = (mu_1 – mu_2)/(“tg”  alpha – mu_2) h`.

Источник

Содержание:

Теорема об изменении кинетической энергии:

Для рассмотрения теоремы об изменении кинетической энергии необходимо ввести новое понятие «работа силы» и рассмотреть некоторые простейшие способы ее вычисления.

Работа силы

Работа силы на каком-либо перемещении является одной из основных характеристик, оценивающих действие силы на этом перемещении. Рассмотрим элементарную работу, полную работу и мощность.

Элементарная работа силы

Элементарная работа Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике— проекция силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике на направление скорости точки приложения силы или на направление элементарного перемещения, которое считается направленным по скорости точки.

Элементарная работа является скалярной величиной. Ее знак определяется знаком проекции силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, так как перемещение Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике принимаем положительным. При Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике элементарная работа Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, а при Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, наоборот, Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — угол между силой Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и направлением скорости точки  Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то  выражение (40) можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

В этой формуле величины Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике положительны и знак Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике определяется знаком Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Если Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — острый угол, то Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике положительна; если Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике тупой угол, то Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике отрицательна.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 60

Итак, элементарная работа силы равна произведению элементарного перемещения на проекцию силы на это перемещение. Отметим частные случаи, которые можно получить из (41):

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Таким образом, если сила перпендикулярна элементарному перемещению, то ее элементарная работа равна нулю. В частности, работа нормальной составляющей к скорости силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике всегда равна нулю.

Приведем другие формулы для вычисления элементарной работы силы. Из кинематики точки известно, что Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике; Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Следовательно, Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

После этого, согласно (41), элементарная работа

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на дифференциал радиуса-вектора точки приложения силы.

Так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то, согласно (42),

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Элементарная работа равна скалярному произведению элементарного импульса силы на скорость точки.

Если силу Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и радиус-вектор Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике разложить по осям координат, то

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Из последней формулы имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Подставляя в (42) значения Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Формулу (44) называют обычно аналитическим выражением элементарной работы. Хотя выражение для элементарной работы (44) по форме и напоминает полный дифференциал функции координат точки, в действительности в общем случае элементарная работа не является полным дифференциалом. Элементарная работа является полным дифференциалом функции координат точки только для специального класса сил — так называемых стационарных потенциальных сил, которые рассмотрены ниже.

Полная работа силы

Для определения полной работы силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике на перемещении от точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике до точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике разобьем это перемещение на Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике перемещений, каждое из которых в пределе переходит в элементарное. Тогда работу Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике можно выразить формулой

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — работа на Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике-м элементарном перемещении, на которые разбито полное перемещение.

Так как сумма в определении работы является интегральной суммой определения криволинейного интеграла на участке кривой Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то, используя для элементарной работы формулу (40), получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Используя другие выражения для элементарной работы, полную работу силы можно представить также в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где момент времени Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике соответствует точке Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, а момент времени Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — точке Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Формула (47) особенно удобная для вычисления работы силы, когда сила известна как функция времени. Отметим, что из определения элементарной и полной работы следует:

  1. работа равнодействующей силы на каком-либо перемещении равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении;
  2. работа силы на полном перемещении равна сумме работ этой же силы на составляющих перемещениях, на которые любым образом разбито все перемещение.

Первое свойство, очевидно, достаточно доказать только для элементарной работы равнодействующей силы.

Если сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является равнодействующей силой системы сил Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, приложенных к рассматриваемой точке, то она выражается геометрической суммой этих сил. Тогда по определению элементарной работы силы имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Первое свойство доказано.

Второе из отмеченных свойств непосредственно следует из возможности разбиения любым образом полного промежутка интегрирования на составляющие, причем определенный интеграл по полному промежутку интегрирования равен сумме интегралов по составляющим. Единицей полной работы, так же как и элементарной, в СИ является джоуль: Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Если проекция силы на направление скорости Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является величиной постоянной, то из (45) получим

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике—путь, пройденный точкой.

Так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то последнюю формулу можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Следует отметить, что в этой формуле как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, так и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике могут быть переменными, но Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является постоянной величиной. Это выполняется, если Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике постоянны. Если дополнительно угол Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике или Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то тогда

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

причем эта формула применима как для прямолинейного, так и для криволинейного движения. Для этого необходимо, чтобы сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике была постоянной по модулю и все время направленной по касательной к траектории точки. В случае прямолинейной траектории сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, следовательно, должна быть все время направлена по траектории в одну и ту же сторону.

Мощность

Мощность силы или работоспособность какого-либо источника силы часто оценивают той работой, которую он может совершить за единицу времени.

Итак, по определению, мощность

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Учитывая (43) для элементарной работы, мощность Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Таким образом, мощность равна скалярному произведению силы на скорость точки. Из формулы (48) получаем, что чем больше скорость, тем меньше сила при одной и той же мощности. Следовательно, если от источника силы с заданной мощностью нужно получить большую силу, то ее можно получить только при малой скорости. Так, например, когда железнодорожному локомотиву надо увеличить силу тяги, то для этого надо уменьшить скорость поезда.

В СИ единицей мощности является ватт: Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Примеры вычисления работы силы

Работа силы в общем случае зависит от характера движения точки приложения силы. Следовательно, для вычисления работы надо знать движение этой точки. Но в природе имеются силы и примеры движения, для которых работу можно вычислить сравнительно просто, зная начальное и конечное положение точки.

Рассмотрим работу силы тяжести и линейной силы упругости, изменяющейся по закону Гука, и вычисление работы силы, приложенной к какой-либо точке твердого тела в различных случаях его движения. В качестве простейших примеров движения укажем случаи, когда работа равна нулю. Так, работа любой силы равна нулю, если она приложена все время в неподвижной точке или в точках, скорость которых равна нулю, как, например, в случае, когда сила все время приложена в мгновенном центре скоростей при плоском движении тела или все время в точках, лежащих на мгновенной оси вращения, в случае вращения тела вокруг неподвижной точки. Эти случаи возможны в задачах, когда рассматривают работу силы трения в точке соприкосновения двух тел при отсутствии скольжения одного тела по другому. При этом работа силы трения равна нулю.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 61

Работа силы тяжести

Силу тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике материальной точки массой Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике вблизи поверхности Земли можно считать постоянной, равной Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, направленной по вертикали вниз. Если взять оси координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, у которых ось Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике направлена по вертикали вверх (рис. 61), то

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Вычисляя работу Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике на перемещении от точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике до точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике по формуле (46), имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

или

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — высота опускания точки.

При подъеме точки высота Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является отрицательной. Следовательно, в общем случае работа силы тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике равна

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Работа силы тяжести равна произведению этой силы на высоту опускания (работа положительна) или высоту подъема (работа отрицательна). Из формулы (50) следует, что работа силы тяжести не зависит от формы траектории между точками Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, и если эти точки совпадают, то работа силы тяжести равна нулю (случай замкнутого пути). Она равна нулю, если точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике лежат в одной и той же горизонтальной плоскости.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 62

Если имеем систему Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике материальных точек, то для каждой точки с массой Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике будем иметь работу ее силы тяжести

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — начальная и конечная координаты точки.

Работа всех сил тяжести системы материальных точек

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — масса системы точек; Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — начальная и конечная координаты центра масс системы точек. Вводя обозначение для изменения высоты центра масс Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Из (50′) следует, что для перемещений точек системы, при которых Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, работа сил тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Работа линейной силы упругости

Линейной силой упругости (или линейной восстанавливающей силой) называют силу, действующую по закону Гука (рис. 62):

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — расстояние от точки равновесия, где сила равна нулю, до рассматриваемой точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике; Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике—постоянный коэффициент жесткости.

Выберем начало координат в точке равновесия Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, тогда

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

После этого работу на перемещении от точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике до точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике определим по формуле

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Выполняя интегрирование, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

По этой формуле вычисляют работу линейной силы упругости пружины при перемещении по любому пути из точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, в которой ее удлинение (начальная деформация) равно Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, в точку Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, где деформация соответственно равна Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. В новых обозначениях (51) принимает вид

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

При перемещении из положения равновесия (пружина не деформирована), где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, в любое положение с деформацией Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике работа линейной силы упругости

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Работа линейной силы упругости на перемещении из состояния равновесия всегда отрицательна и равна половине произведения коэффициента жесткости на квадрат деформации. Из формулы (51) или (52) следует, что работа линейной силы упругости не зависит от формы перемещения и работа по любому замкнутому перемещению равна нулю. Она также равна нулю, если точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике лежат на одной сфере, описанной из точки равновесия.

Работа силы, приложенной к твердому телу

Получим формулы для вычисления элементарной и полной работы силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, которое совершает то или иное движение. Сначала рассмотрим поступательное и вращательное движения тела, а затем общий случай движения твердого тела.

При поступательном движении твердого тела все точки тела имеют одинаковые по модулю и направлению скорости (рис. 63). Следовательно, если сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике приложена к точке Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то, так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике—радиус-вектор произвольной точки твердого тела.

На каком-либо перемещении полная работа

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

При вращении твердого тела вокруг неподвижной оси скорость точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике можно вычислить по векторной формуле Эйлера (рис. 64):

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 63    

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 64

тогда элементарную работу силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике определим по формуле

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

В смешанном векторном произведении, которое выражается в виде определителя, можно переставлять сомножители в круговом порядке:

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

и

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

является моментом силы относительно точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Учитывая, что Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике— момент силы относительно оси вращения Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, окончательно получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной к какой-либо точке тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна произведению момента силы относительно оси вращения на дифференциал угла поворота тела.

Полная работа

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

В частном случае, если момент силы относительно оси вращения является постоянным, т. е. Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, работу определяют по формуле

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — угол поворота тела, на котором вычисляют работу силы.

Так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то мощность в случае вращения твердого тела вокруг неподвижной оси

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Мощность силы, приложенной к вращающемуся вокруг неподвижной оси твердому телу, равна произведению угловой скорости тела на момент силы относительно оси вращения . тела.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 65

Для свободного тела в общем случае движения скорость точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, в которой приложена сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (рис. 65),

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

следовательно,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Учитывая, что

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Но так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — момент силы относительно мгновенной оси относительного вращения вокруг точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — элементарный угол поворота вокруг этой оси, то окончательно получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Таким образом, элементарная работа силы, приложенной в какой-либо точке твердого тела, в общем случае движения складывается из элементарной работы на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

В случае вращения твердого тела вокруг неподвижной точки, выбрав эту точку за полюс Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, по (59) для элементарной работы имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Поворот на угол Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике следует рассматривать в каждый момент времени вокруг своей мгновенной оси вращения.

Формулу (59) применяют и для плоского движения твердого тела, только в этом случае мгновенная ось относительного вращения перпендикулярна плоскости движения и проходит через произвольную точку тела.

При действии на твердое тело системы сил Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике для элементарной работы силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, согласно полученным формулам, имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Элементарная работа системы сил

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

соответственно являются главным вектором и главными моментами системы сил относительно точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и мгновенной оси относительного вращения, проходящей через точку полюс. Таким образом,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

т. е. элементарная работа системы сил, приложенных к свободному твердому телу в общем случае его движения, складывается из элементарной работы главного вектора системы сил на элементарном поступательном перемещении вместе с какой-либо точкой тела и элементарной работы главного момента этих сил относительно выбранной точки на элементарном вращательном перемещении вокруг этой точки.

Работа внутренних сил твердого тела

Докажем, что для твердого тела сумма работ внутренних сил равна нулю при любом его перемещении. Очевидно, достаточно доказать, что сумма элементарных работ всех внутренних сил равна нулю. Рассмотрим две любые точки твердого тела: Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (рис. 66). Так как внутренние силы есть силы взаимодействия точек тела, то для этих двух точек

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Введем единичный вектор Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, направленный по силе Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Тогда

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Сумма элементарных работ сил Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 66

Раскрывая скалярные произведения векторов в скобках, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

так как в кинематике твердого тела доказано, что проекции скоростей любых двух точек твердого тела на направление прямой линии, соединяющей эти точки, равны друг другу при любом движении твердого тела. В полученном выражении в скобках стоит разность этих проекций скоростей двух точек, т. е. величина, равная нулю.

Твердое тело можно считать состоящим из пар взаимодействующих точек, для каждой из которых сумма элементарных работ внутренних сил равна нулю.

Суммируя элементарные работы для всех пар точек, получаем Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Как уже известно, главный вектор и главный момент всех внутренних сил для любой механической системы равны нулю. Сумма работ внутренних сил равна нулю только в случае твердого тела, а для любой механической системы в общем случае она не равна нулю.

В задачах в качестве механической системы часто рассматривают систему сочлененных твердых тел. При вычислении работы всех сил, приложенных к такой системе тел, очевидно, достаточно учесть работу внутренних сил в местах сочленения твердых тел. Если твердые тела сочленяются с помощью шарниров без трения, сумма работ таких двух внутренних сил равна нулю, так как внутренние силы в точке сочленения, как действие и противодействие, равны по модулю, но противоположны по направлению, а перемещение у точек приложения сил общее.

Таким образом, сочленение твердых тел с помощью шарниров без трения при вычислении работы внутренних сил не нарушает жесткости системы тел, так как сумма работ внутренних сил в этих шарнирах равна нулю при любых перемещениях системы сочлененных твердых тел. Систему сочлененных с помощью таких шарниров твердых тел при вычислении работы всех внутренних сил можно считать одним твердым телом. Это характерно и для случая сочленения системы твердых тел с помощью нерастяжимых нитей, канатов и т. п. В этом случае работа внутренних сил натяжений также равна нулю.

Кинетическая энергия

Кинетическая энергия точки и системы: Кинетической энергией материальной точки называют половину произведения массы точки на квадрат ее скорости, т.е. Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике или Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, так как скалярный квадрат любого вектора равен квадрату модуля этого вектора. Кинетическая энергия является скалярной положительной величиной. В СИ единицей кинетической энергии является джоуль: Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Кинетической энергией системы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике называют сумму кинетических энергий всех точек механической системы, т. е.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Кинетическая энергия как точки, так и системы не зависит от направления скоростей точек. Кинетическая энергия может быть равна нулю для системы только при условии, если все точки системы находятся в покое.

Вычисление кинетической энергии системы (теорема Кёнига)

Разложим движение механической системы на переносное поступательное вместе с центром масс системы и относительное по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс. Аналогично тому, как это производилось при выводе формулы для кинетического момента при таком разложении абсолютного движения, для каждой точки системы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (см. рис. 57) имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

и соответственно

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является относительной скоростью точки, так как подвижная система координат движется поступательно Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и, следовательно, полная производная по времени от Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике совпадает с локальной производной, равной относительной скорости точки.

Подставляя значение скорости Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике в выражение кинетической энергии абсолютного движения системы, т. е. ее движения относительно системы координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, после очевидных преобразований получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Но

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Учитывая, что  Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике—масса системы, и обозначая Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике второе слагаемое в (62), имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Величина Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является кинетической энергией относительного движения системы относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с ее центром масс, или кинетической энергией системы относительно центра масс.

Формула (63) выражает так называемую теорему Кёнига: кинетическая энергия системы в абсолютном движении складывается из кинетической энергии центра масс, если в нем сосредоточить всю массу системы, и кинетической энергии системы относительно центра масс.

Кинетическая энергия твердого тела

При поступательном движении твердого тела кинетическая энергия

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

так как при поступательном движении твердого тела скорости всех точек тела одинаковы, т. е. Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — общая скорость для всех точек тела.

Таким образом, кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении вычисляется так же, как и для одной точки, у которой масса равна массе всего тела.

При вращении тела вокруг неподвижной оси кинетическую энергию можно вычислить, если учесть, что скорость какой-либо точки тела Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике можно выразить (см. рис. 50) как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — кратчайшее расстояние от точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике до оси вращения; Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — угловая скорость тела.

Тогда

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

или

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — момент инерции тела относительно оси вращения Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Следовательно, кинетическая энергия тела при вращательном движении вокруг неподвижной оси равна половине произведения момента инерции тела относительно оси вращения на квадрат угловой скорости тела.

Из сравнения (64) и (65) следует, что эти формулы подобны, только при вращательном движении аналогом массы является момент инерции тела относительно оси вращения, а скорости— угловая скорость тела. Такая аналогия между поступательным и вращательным движениями твердого тела может наблюдаться во многих формулах, относящихся к этим двум движениям.

При плоском движении твердого тела кинетическую энергию можно вычислить по теореме Кёнига. Так как в этом случае относительное движение относительно центра масс (точнее, относительно системы координат, движущейся поступательно вместе с центром масс) является вращением вокруг центра масс с угловой скоростью Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — момент инерции тела относительно оси Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, проходящей через центр масс тела перпендикулярно плоскости движения. Следовательно, на основании (63) для плоского движения тела имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Таким образом, при плоском движении тела кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного движения тела вместе с центром масс и кинетической энергии от вращения вокруг оси, проходящей через центр масс и перпендикулярной плоскости движения.

Учитывая, что Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — мгновенный центр скоростей), из (66), используя теорему Штейнера, получаем еще одну формулу для кинетической энергии твердого тела при плоском движении:

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — момент инерции тела относительно оси Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, проходящей через мгновенный центр скоростей перпендикулярно плоскости движения,

Если механическая система состоит из нескольких твердых тел, то следует вычислить кинетическую энергию каждого тела, а затем полученные кинетические энергии сложить. Так определяется кинетическая энергия системы тел.

Теорема об изменении кинетической энергии точки

Для материальной точки массой Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, движущейся под действием силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, основной закон динамики можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Умножая обе части этого соотношения скалярно на дифференциал радиуса-вектора точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

или

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — скорость точки.

Учитывая, что Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике— элементарная работа, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

то окончательно

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Формула (67) выражает теорему об изменении кинетической энергии для точки в дифференциальной форме: дифференциал кинетической энергии точки равен элементарной работе силы, действующей на точку.

Если обе части (67) разделить на Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и учесть, что Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике—мощность, то теорему можно также выразить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Производная по времени от кинетической энергии точки равна мощности, подводимой к этой точке.

Интегрируя обе части (67) от точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике до точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (см. рис. 60), получаем теорему об изменении кинетической энергии точки в конечной форме:

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

т. е. изменение кинетической энергии точки на каком-либо перемещении равно работе силы, действующей на точку на том же перемещении.

  • Заказать решение задач по теоретической механике

Пример 1. Тело, имеющее силу тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, падает без начальной скорости на пружину с высоты Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Определить наибольшее обжатие пружины Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, если статическое сжатие ее под действием силы тяжести этого тела равно Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Массой пружины пренебречь (рис. 67).

Решение. Применим к движению тела теорему об изменении кинетической энергии точки

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

приняв за начальное положение тела начало его падения с высоты Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, а за конечное — момент максимального обжатия пружины. Изменение кинетической энергии за этот промежуток времени равно нулю, так как Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и при наибольшем сжатии пружины Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Следовательно, работа Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. На тело после его соприкосновения с пружиной действуют две силы: сила тяжести тела Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и сила упругости пружины. Сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике совершает работу на перемещении Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, сила упругости — на перемещении Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Следовательно,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 67

Но так как в положении статического равновесия Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Поэтому Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике илиТеорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Решая это квадратное уравнение, имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Знак плюс перед корнем выбран потому, что Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. При Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике наибольшее обжатие пружины Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, т. е. при динамическом действии груза на пружину ее наибольшее обжатие в два раза больше статического обжатия.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 68

Пример 2. Грузу с силой тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, подвешенному в точке Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике на пружине, статическое удлинение которой под действием силы тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике равно Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, сообщена начальная скорость Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике из положения Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике вертикально вниз (рис. 68).

Определить скорость груза в положении Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, если груз, принимаемый за точку, скользит по кольцу радиусом Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике без трения, Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и естественная длина пружины равна Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Решение. Применим к движению груза теорему об изменении кинетической энергии, приняв за начальное положение груза Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и конечное — Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Получим

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Работу совершают сила тяжести груза и сила упругости пружины. Нормальная реакция кольца Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике все время перпендикулярна перемещению, и ее работа равна нулю. Следовательно,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

В рассматриваемом случае

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

поэтому

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

По теореме об изменении кинетической энергии имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

и

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Приложив к точкам системы все внешние и внутренние силы, для каждой точки системы можно выразить теорему об изменении кинетической энергии (67) в форме

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Суммируя правые и левые части этих соотношений по всем точкам системы и вынося знак дифференциала за знак суммы, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

или

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где кинетическая энергия системы

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

элементарная работа внешних и внутренних сил соответственно будет

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Формула (69) и выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в дифференциальной форме: дифференциал от кинетической энергии системы равен сумме элементарных работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему.

Если обе части (69) проинтегрировать между двумя положениями системы — начальным и конечным, в которых соответственно кинетическая энергия Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, то, изменяя порядок суммирования и интегрирования, имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

или

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике —работа внешней силы для точки системы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике при ее перемещении из начального положения Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике в конечное положение Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — соответственно работа внутренней силы, действующей на точку Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Формула (70) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в конечной или интегральной форме: изменение кинетической энергии системы при ее перемещении из одного положения в другое равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на систему, на соответствующих перемещениях точек системы при том же перемещении системы.

Частный случай: Для абсолютно твердого тела сумма работ всех внутренних сил системы равна нулю:

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Следовательно, теорему об изменении кинетической энергии, например, в конечной форме можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Изменение кинетической энергии твердого тела при каком-либо перемещении равно сумме работ всех внешних сил, действующих на тело, на соответствующих перемещениях точек тела при том же перемещении твердого тела.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 69

Таким образом, в отличие от рассмотренных других общих теорем динамики системы в теорему об изменении кинетической энергии могут входить внутренние силы. Они не входят в эту теорему в случае абсолютно твердого тела.

Пример 1. В маятнике Максвелла однородный цилиндр силой тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и радиусом Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике падает вниз без начальной скорости, разматывая нить, намотанную на цилиндр в его среднем сечении.

Определить скорость оси цилиндра в зависимости от высоты ее опускания Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (рис. 69).

Решение. По теореме об изменении кинетической энергии цилиндра как твердого тела имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Так как в начальный момент времени цилиндр покоится, то Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Цилиндр совершает плоское движение. Его кинетическая энергия в момент достижения высоты Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Поэтому

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Внешними силами являются сила тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и сила натяжения нити Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике все время приложена в мгновенном центре скоростей цилиндра, имеющем скорость равную нулю. Работа силы тоже равна нулю. Следовательно,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Подставляя вычисленные величины в теорему об изменении кинетической энергии, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Пример 2. Груз Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, имеющий силу тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, с помощью нити, переброшенной через блок Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, приводит в движение каток Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, катящийся без скольжения по горизонтальной плоскости (рис. 70). Блок Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и каток Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — однородные диски радиусом Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Их силы тяжести равны Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Коэффициент трения качения катка Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Трением в осях катка и блока, а также массой нити пренебречь.

Определить скорость груза Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике в зависимости от его высоты опускания.

В начальный момент система покоится.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 70    

Решение. По теореме об изменении кинетической энергии системы, состоящей из груза, нити, блока и катка, имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, так как вначале система покоилась. Обозначив Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике кинетические энергии груза, блока и катка соответственно после опускания груза на высоту Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Но

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Следовательно,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Так как работа внутренних сил натяжений нити равна нулю, то вообще Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике для всей системы твердых тел, соединенных нитью. Работа сил тяжести блока и реакции оси Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике равны нулю, так как эти силы приложены в неподвижной точке Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Сила тяжести катка Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике перпендикулярна перемещению, а силы Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике приложены в мгновенном центре скоростей и, следовательно, работа их равна нулю. Работу производят сила Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и пара сил с моментом Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, препятствующим качению катка по плоскости. Имеем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — угол поворота катка при опускании груза Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике на Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

то

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Подставляя значения полученных величин в теорему об изменении кинетической энергии, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Заметим, что груз имеет не только силу тяжести Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, совершающую работу, но он еще обладает массой Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и, следовательно, имеет кинетическую энергию. И работа силы тяжести, и кинетическая энергия груза входят в теорему об изменении кинетической энергии.

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении

Теорема об изменении кинетической энергии материальной точки. Пусть точка Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике совершает переносное движение вместе с подвижной системой координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике относительно основной системы координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и относительное движение по отношению к системе координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике (рис. 71). Абсолютным движением точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике является ее сложное движение относительно системы координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Дифференциальное уравнение относительного движения точки Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике в векторной форме можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

где Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике— сила инерции переносного движения точки;  Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике — сила инерции Кориолиса.

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Рис. 71    

Вывод теоремы об изменении кинетической энергии для точки в относительном движении произведем так же, как и вывод аналогичной теоремы в абсолютном движении, умножив обе части (72) скалярно на вектор элементарного относительного перемещения Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, и преобразуем левую часть полученного выражения. Значок Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике над дифференциалом радиуса-вектора Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и других векторов указывает, что при дифференцировании надо брать изменение соответствующего вектора относительно подвижной системы координат Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Таким образом,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

В правую часть входят элементарные работы сил Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике на относительном перемещении Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. Оказывается, что элементарная работа силы инерции Кориолиса на относительном элементарном перемещении всегда равна нулю, так как эта сила перпендикулярна относительной скорости Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и, следовательно, перпендикулярна относительному перемещению Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике. В выражение силы инерции Кориолиса входит векторное произведение Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике, а оно всегда перпендикулярно каждому из векторов сомножителей, в частности Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Итак, теорема об изменении кинетической энергии точки в дифференциальной форме имеет вид

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении точки выражается так же, как и в абсолютном движении, только к элементарной работе приложенной силы добавляют элементарную работу силы инерции переносного движения на относительном перемещении.

Теорема об изменении кинетической энергии системы

Для системы рассмотрим наиболее важный случай, когда в качестве переносного движения берется поступательное движение системы вместе с центром масс и, следовательно, кинетическую энергию системы в абсолютном движении можно вычислить на основании теоремы Кёнига (63): Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Теорему об изменении кинетической энергии системы для абсолютного движения (см. рис. 56) можно представить в виде

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Так как

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

и, следовательно,

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

то, заменяя в (74) Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике и Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике их значениями, получаем

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

По свойству внутренних сил, Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике.

Если теорему об изменении кинетической энергии для центра масс выразить так же, как и для точки, у которой масса равна массе всей системы, и эта точка находится под действием всех внешних сил, действующих на систему, то

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Отбросив в (75) эти члены, получим следующую теорему об изменении кинетической энергии системы в относительном движении по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс:

Теорема об изменении кинетической энергии в теоретической механике

Сравнивая (76) с (74), видим, что теорема об изменении кинетической энергии в относительном движении системы по отношению к системе координат, движущейся поступательно вместе с центром масс системы, формулируется так же, как и для абсолютного движения системы.

  • Потенциальное силовое поле
  • Закон сохранения механической энергии
  • Принцип Даламбера
  • Динамические реакции при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси
  • Свойства внутренних сил системы 
  • Дифференциальное уравнение движения системы
  • Теоремы об изменении количества движения и о движении центра масс
  • Теорема об изменении кинетического момента
Источник

2017-05-20   comment

Найти приращение кинетической энергии замкнутой системы из двух шариков с массами $m_{1}$ и $m_{2}$ при их абсолютно неупругом столкновении, если до столкновения скорости шариков были $vec{v}_{1}$ и $vec{v}_{2}$.

Решение:

Для идеально неупругого столкновения, в системе отсчета центра масс, конечная кинетическая энергия сталкивающейся системы (обеих шариков) обращается в нуль. Отсюда исходная кинетическая энергия системы в системе отсчета центра масс полностью превращается во внутреннюю энергию ($Q$) сформированного тела. Следовательно,

$Q = tilde{T}_{i} = frac{1}{2} mu | vec{v}_{1} – vec{v}_{2}|^{2}$

Теперь из закона сохранения энергии $Delta T = – Q = – frac{1}{2} mu | vec{v}_{1} – vec{v}_{2}|^{2}$,

в лабораторной системе тот же результат получается как

$Delta T = frac{1}{2} frac{( m_{1} vec{v}_{1} + m_{2} vec{v}_{2})^{2}}{m_{1} + m_{2}} – frac{1}{2} m_{1} | vec{v}_{1}|^{2} + m_{2} | vec{v}_{2}|^{2} = – frac{1}{2} mu | vec{v}_{1} – vec{v}_{2}|^{2}$

Источник

Приращение – кинетическая энергия

Cтраница 1

Приращение кинетической энергии равно сумме скалярных произведений каждого импульса на среднее арифметическое скоростей точки его приложения непосредственно перед приложением импульса и после него.
 [1]

Приращение кинетической энергии при бесконечно малом перемещении системы равно. Сумма кинетической и потенциальной энергий остается, следовательно.
 [2]

Приращение кинетической энергии системы за некоторый промежуток времени равно сумме работ сил, приложенных к точкам системы, за тот же самый промежуток времени.
 [3]

Приращение кинетической энергии системы равно сумме работ всех заданных активных сил, приложенных к системе.
 [4]

Приращение кинетической энергии отсека за Д7 равно разности кинетических энергий элементов 1 – 1 и 2 – 2, так как в пределах участка 1 – 2 при установившемся движении кинетическая энергия остается постоянной.
 [5]

Приращение кинетической энергии механизма за какой-либо промежуток времени согласно уравнению ( 140) выразится разностью площадей кривых Рд-у ( в) и Яс – Ф ( в), помноженной на соответствующие масштабы. Так, например, на участке 1 – 2 работа приведенных движущих сил выражается площадью ( И 2 2) мм.
 [6]

Приращение кинетической энергии системы за конечное время равно работе всех сил системы на соответствующих перемещениях.
 [7]

Приращение кинетической энергии рабочего тела при его движении по каналу называется располагаемой работой. Из последнего уравнения имеем, что располагаемая работа при адиабатном процессе истечения рабочего тела определяется уменьшением его энтальпии.
 [8]

Приращение кинетической энергии материальной точки на некотором участке траектории равняется работе равнодействующей силы на том же участке траектории.
 [9]

Приращение кинетической энергии материальной точки на конечном перемещении равно сумме работ сил, действовавших на точку на этом перемещении.
 [10]

Приращение кинетической энергии твердого тела ( или неизменяемой системы материальных точек) равно работе всех заданных активных внешних сил, приложенных к телу ( или к неизменяемой системе) на рассматриваемом пути.
 [11]

Приращение кинетической энергии жидкости есть располагаемая полезная внешняя работа, которая может быть произведена потоком жидкости над внешним объектом работы.
 [12]

Приращение кинетической энергии системы материальных точек за некоторый промежуток времени равно сумме работ внешних и внутренних сил, действующих на материальные точки системы в течение рассматриваемого промежутка времени.
 [13]

Если приращение кинетической энергии при каком-либо значении угла 8 5, пройдет через нуль, то это будет означать, что скорость стала равна синхронной ( скольжение s 0) и, следовательно, созданы возможности для вхождения машины в синхронизм.
 [14]

Отсюда приращение кинетической энергии потока газа ( распола гаемая работа) равно работе внешних сил ( piti) плюс работа расширения в процессе 1 – 2 и минус работа ( pzvz), затраченная газом на преодоление сопротивления среды, в которую газ вытекает.
 [15]

Страницы:  

   1

   2

   3

   4

Источник

Добавить комментарий