Как найти приведенную погрешность примеры

Нам нужно на некоторое время оторваться от рассмотрения методов измерений и вернуться с погрешностям. Я знаю, погрешности любят не многие, но уметь работать с ними необходимо. Большинство современных измерительных приборов состоят из нескольких компонентов (узлов), которые объединены в единое целое. Мы не раз говорили, что итоговая погрешность измерения равна сумме погрешностей метода, методики, измерительных преобразователей, приборов, методов обработки результата. Но не разбирались, а как именно эта сумма вычисляется? Сегодня этим и займемся.

В статье не получится избежать математики, но она будет довольно простой.

Еще раз, кратко, о погрешностях

Давайте вспомним, что мы уже знаем о погрешностях из того, что нам сегодня потребуется. Прежде всего, погрешности можно разделить на абсолютную, относительную, приведенную

Приведенная погрешность отличается от относительной тем, что знаменателем является не истинное, а нормирующее значение величины. Чаще всего, в качестве нормирующего значения выступает верхний предел соответствующего поддиапазона измерительного прибора.

Я уже рассказывал, зачем потребовалась приведенная погрешность. Дело в том, что мы не можем по результату измерения и параметрам погрешности прибора определить истинное значение величины. Не смотря на то, что приведенные выше формулы позволяют, на первый взгляд, усомниться в этом утверждении. Однако, погрешности это случайные величины, работать с которыми нужно по правилам математической статистики. И это очень важно.

Вы можете даже возмутиться “Как так, мы же знаем, что погрешность может быть систематической и случайной! Получается, что и систематическая погрешность случайна? Автор ничего не перепутал?”. Нет, автор ничего не перепутал. Давайте разберемся и вы сами все увидите.

Действительно, погрешность измерительного прибора, да и собственно измерения, можно представить как сумму систематической и случайной погрешностей. Причем для систематическая погрешность может быть как неизменной, так и изменяющейся. Примером неизменной систематической погрешности является “смещение нуля”, например, смещение начального положения стрелки прибора относительно нулевого деления. Примером изменяющейся систематической погрешности может быть “смещение нуля” в цифровом приборе, например, зависящее от температуры.

Систематическая погрешность конкретного экземпляра прибора прогнозируема в конкретных условиях измерения. И мы можем провести процедуру калибровки (не путать с регулировкой!) для определения систематической погрешности. Проблема в том, что это будет касаться лишь конкретного экземпляра прибора в условиях метрологической лаборатории. Для другого экземпляра прибора, других условий, или через некоторое время, погрешность может измениться. Причем не только по величине, но и по знаку. Но он останется прогнозируемой. В отличии от погрешности случайной.

То есть, для измерительных приборов в целом, а не конкретного экземпляра в конкретных условиях, даже систематическая погрешность будет величиной случайной, задающей границы возможных погрешностей для каждого конкретного экземпляра. И в паспортах измерительных приборов погрешность указывается именно как максимальная, определяющая границы, а не точное значение погрешности.

Систематическая погрешность может быть уменьшена с помощью различных ухищрений. Точно так же, как случайная погрешность может быть снижена с помощью вычисления среднего арифметического. Но сегодня мы этих вопросов касаться не будем.

Погрешности узлов измерительных приборов

Все сказанное выше применимо не только к измерительным приборам в целом, но и к отдельным компонентам приборов. За исключением приведенной погрешности, конечно. Давайте рассмотрим самый простой пример – постоянный резистор. Например, металлопленочный резистор MBB0207 сопротивлением 100 кОм. Вот документация на него

Эти резисторы обладают точностью сопротивления 1%. То есть, для нашего резистора реальное сопротивление будет лежать в диапазоне от 99 кОм до 101 кОм. Но это еще не все. Любой резистор имеет ненулевое значение ТКС (температурный коэффициент сопротивления). В данном случае – 5 Ом на каждый градус Цельсия (для сопротивления 100 кОм). Но и это еще не все. Резисторы подвержены старению, причем скорость старения зависит от рассеиваемой резистором мощности. Для нашего резистора сопротивление может измениться а пределах 0.25% за 1000 часов работы при рассеивании номинальной мощности. И на 0.5% за 8000 часов. В документации все указано.

Таким образом, не только реальное сопротивление может отличаться от номинала, но оно зависит и от температуры, и от времени наработки. Давайте посмотрим, что это для нас означает. Пусть рабочая температура резистора достигает 50 градусов. Номинальное сопротивление указывается для 25 градусов, так что при 50 градусах сопротивление изменится на

5 * 25 = 125 Ом

что составляет 0.125%. С одной стороны, это мало, по сравнению с точностью сопротивления. Но, с другой стороны, это может потребоваться учитывать. 1000 часов это примерно 1 квартал (3 месяца) ежедневной работы по 8 часов в день. Не много, но изменение сопротивления может достигать 0.25%. Итого, для заданных рабочих условий через примерно 3 месяца работы точность сопротивления резистора будет не 1%, а 1.375%!

Несколько неожиданный результат для части читателей. Но совершенно закономерный. Прецизионные резисторы не только имеют более высокую начальную точность, но и меньший ТКС. Например, С2-29В группы С имеет ТКС 10ppm, что в 5 раз ниже. Прецизионные резисторы и меньше изменяют сопротивление при старении. Но и это еще не все. На сопротивление влияет и атмосферное давление. И влажность воздуха, что наиболее значимо для высокоомных резисторов. Сопротивление резистора зависит и от приложения механической нагрузки.

Но давайте не будем слишком углубляться. Все эти тонкости нужны профессионалам, которые разрабатывают высокоточные устройства. Большинству читателей достаточно иметь представление, что оказывает влияние на сопротивление резистора, которое указано его маркировкой.

Давайте теперь рассмотрим простейший делитель напряжения, например, 1:10. Верхнее плечо будет иметь сопротивление 900 кОм, а нижнее 100 кОм. Да, я знаю, что 900 кОм не входит в стандартный ряд, нам сейчас это не важно. Точность 1%, резисторы новые, температура 25 градусов. То есть, сопротивление резистора верхнего плеча будет лежать в диапазоне от 891 кОм до 909 кОм. А нижнего плеча, как мы уже считали, в диапазоне от 99 кОм до 101 кОм.

Пусть на делитель подано напряжение 10 В, какое напряжение мы можем получить на выходе? Расчетное, исходя из номинальных сопротивлений резисторов, 1 В. А с учетом погрешностей? Мы не можем точно сказать. Мы можем лишь определить границы диапазона, когда отклонения сопротивлений резисторов максимальны и имеют разные знаки. Выходное напряжение будет лежать в диапазоне от 0.98 В до 1.02 В.

Давайте оценим относительную погрешность выходного напряжения. В обоих случаях отклонение составляет 0.02 В. То есть, относительная погрешность (модуль относительной погрешности) 2%. Все точно так, как и говорил в статье про учет тепла про расходомеры. И все верно, но с одним небольшим нюансом – это предельные границы, максимальная погрешность, самый плохой случай.

Суммирование арифметическое и геометрическое

Приведенный выше пример определения погрешности делителя напряжения является пессимистичным. Такой пессимизм действительно бывает нужен для задач требующих максимальной точности. Но во многих случаях достаточной будет оценка “типового случая”. Что же это за случай такой?

Давайте вспомним, что даже систематическая погрешность для каждого отдельного экземпляра будет случайной величиной для большой выборки (например, партии измерительных приборов или резисторов)

Если измерить сопротивления резисторов в большой партии и построить график плотности вероятности (гистограмму), то мы увидим хорошо знакомое нам нормальное распределение. Часть резисторов будет иметь сопротивление выше номинала (отклонение положительное), часть ниже (отклонение отрицательное). Для большинства резисторов отклонения будут малы, значительно меньше предельно допустимой погрешности. Резисторы, отклонение сопротивления которых превышает установленные границы (в нашем примере 1%) являются браком.

Эти границы, которые заданы как предельная величина отклонения, являются одновременно и доверительным интервалом. Мы видим, что вероятность рассмотренных ранее предельных случаев меньше, чем вероятность малых отклонений. Поэтому и отклонение выходного напряжения, ожидаемое, вероятно будет меньше, чем предельные случаи. И это действительно так.

Давайте вспомним, что в теории вероятности суммирование статистически независимых (некоррелированных) случайных величин осуществляется путем сложения их дисперсий. Отклонения сопротивлений наших резисторов действительно независимы и, как мы уже видели, являются случайными в большой партии. А значит, мы можем выполнять суммирование отклонений, погрешностей, как суммирование дисперсий.

На практике более привычным является среднеквадратичное отклонение, которое равняется квадратному корню из дисперсии. И мы получаем классическую формулу геометрической суммы. Поскольку для резисторов погрешность указана как относительная, то как сумму относительных погрешностей. Вот так это выглядит в общем виде

Да, корень квадратный из суммы квадратов. И мы можем сказать, для нашего делителя напряжения итоговая погрешность равна 1.41%, а не 2%. Это более оптимистичный вариант оценки погрешности, который можно назвать тем самым “типовым случаем”. Повторю, что такое определение суммарной погрешности возможно только для независимых погрешностей, причем с нормальным законом распределения плотности вероятности. Иначе формула будет иной. Кроме того, вспомним, что доверительный интервал суммы не равен сумме доверительных интервалов.

А теперь подумаем, являются ли отклонения сопротивлений резисторов вызванные изменением температуры независимыми? Это не такой простой вопрос. Но во многих случаях их нельзя считать независимыми. А значит, для суммирования нам придется использовать обычное арифметическое суммирование. Другими словами, мы должны по разному учитывать влияние различных составляющих погрешности каждого компонента на итоговую погрешность. Неверно просто взять суммарную погрешность отдельного компонента и рассчитать итоговую погрешность прибора через геометрическую сумму.

Это верно не только для вычисления погрешности измерительного прибора, но и для оценки погрешности всего измерительного эксперимента. То есть, погрешность измерения некоторой величины (прямая или косвенная) будет вычисляться как сумма всех погрешностей. Причем сумма геометрическая. Но некоторые составляющие этой погрешности могут суммировать и арифметически.

Коротко о записи результатов измерений с погрешностью

Существует старый спор между сторонниками “много знаков лучше” и сторонниками “без лишних знаков”. Метрология на стороне последних.

Как вы помните, результат измерений может быть весьма “точным” по виду, но весьма посредственным по своему содержанию. Магия большого количества отображаемых на дисплее цифрового прибора цифр совратила не мало неокрепших умов. Разрешающая способность может быть большой, но вот точность не обязательно соответствует разрядности. А о том, что погрешность прибора определяется суммой погрешностей, забывают многие.

Запись результата измерения, если говорить строго, должна включать в себя и указание погрешности. Причем запись не должна вызывать ложного чувства повышенной точности. Например,

12.5 В ± 1 В

неправильно, так как десятые доли вольта указанная погрешность делает недостоверными. Правильно будет

12 В ± 1 В

Другой пример,

134 В ± 1%

правильный, так как 1% равняется 1.34 В, что делает последнюю цифру результата достоверной. Но

134 В ± 10%

будет неверно, так как абсолютное значение погрешности составит 13.4 В, а значит, последняя цифра результата недостоверна. Правильно будет

130 В ± 10%

Это кажется мелочами и излишним педантизмом, но это не так. При этом результаты измерений, которые используются в дальнейших расчетах для получения итогового результата, не должны округляться. Округляется только собственно итоговый результат. Дело в том, что округление промежуточных результатов вычислений и измерений вносит дополнительную погрешность. А ошибки имеют свойство накапливаться.

О погрешности равной половине цены деления шкалы

Весьма распространенным заблуждением является утверждение, что погрешность измерительного прибора всегда равна половине деления шкалы, половине цены деления. Это верно лишь для случаев, когда в паспорте прибора нет указания погрешности в явном виде. Если погрешность указана явно, следует руководствоваться именно ей, а не вглядываться деления шкалы!

Заключение

Да, как всегда кратко и довольно упрощенно. Но затронутые сегодня вопросы являются важными. Причем именно с практической точки зрения.

До новых встреч!

Физические величины и погрешности их измерений — Задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Сразу оговоримся, что при выборе измерительного оборудования часто нужно также знать диапазон измерения и какое именно значение интересует: например, среднеквадратическое значение (СКЗ) измеряемой величины в определённом интервале времени, или требуется измерять среднеквадратическое отклонение (СКО) (для измерения переменной составляющей величины), или требуется измерять мгновенное (пиковое) значение.

• При измерении переменных физических величин (например, напряжение переменного тока) требуется знать динамические характеристики измеряемой физической величины: диапазон частот или максимальную скорость изменения физической величины,
• Эти данные, необходимые при выборе измерительного оборудования, зависят от физического смысла задачи измерения в конкретном физическом эксперименте,

Итак, повторимся: задачей физического эксперимента является определение числового значения измеряемых физических величин с заданной точностью. Эта задача решается с помощью прямых или косвенных измерений, При прямом измерении осуществляется количественное сравнение физической величины с соответствующим эталоном при помощи измерительных приборов.

• Отсчет по шкале прибора указывает непосредственно измеряемое значение.
• Например, термометр дает значения измеряемой температуры, а вольтметр – значение напряжения.
• При косвенных измерениях интересующая нас физическая величина находится при помощи математических операций над непосредственно измеренными физическими величинами (непосредственно измеряя напряжение U на резисторе и ток I через него, вычисляем значение сопротивления R = U / I ).

Точность прямых измерений некоторой величины X оценивается величиной погрешности или ошибки, измерений относительно действительного значения физической величины X Д, Действительное значение величины X Д (согласно РМГ 29-99 ) – это значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него.

• Различают абсолютную (∆ X) и относительную (δ) погрешности измерений.
• Абсолютная погрешность измерения – это п огрешность средства измерений, выраженная в единицах измеряемой физической величины, характеризующая абсолютное отклонение измеряемой величины от действительного значения физической величины: ∆X = X – X Д,

Относительная погрешность измерения – это п огрешность измерения, выраженная отношением абсолютной погрешности измерения к действительному значению измеряемой величины. Обычно относительную погрешность выражают в процентах: δ = (∆X / Xд) * 100%, При оценке точности косвенных измерений некоторой величины X 1, функционально связанной с физическими величинами X 2, X 3,, X 1 = F (X 2, X 3, ), учитывают погрешности прямых измерений каждой из величин X 2, X 3, и характер функциональной зависимости F (),

Как вычислить погрешность измерений?

Измерение физических величин основано на том, что физика исследует объективные закономерности, которые происходят в природе. Найти значение физической величины — умножить конкретное число на единицу измерения данной величины, которая стандартизирована ( эталоны ).

расположение наблюдателя относительно измерительного прибора: если на линейку смотреть сбоку, погрешность измерений произойдёт по причине неточного определения полученного значения;деформация измерительного прибора: металлические и пластиковые линейки могут изогнуться, сантиметровая лента растягивается со временем;несоответствие шкалы прибора эталонным значениям: при множественном копировании эталонов может произойти ошибка, которая будет множиться;физический износ шкалы измерений, что приводит к невозможности распознавания значений.

Рассмотрим на примере измерения длины бруска линейкой с сантиметровой шкалой. Рис. (1). Линейка и брусок Внимательно рассмотрим шкалу. Расстояние между двумя соседними метками составляет (1) см. Если этой линейкой измерять брусок, который изображён на рисунке, то правый конец бруска будет находиться между (9) и (10) метками.

У нас есть два варианта определения длины этого бруска. (1). Если мы заявим, что длина бруска — (9) сантиметров, то недостаток длины от истинной составит более половины сантиметра ((0,5) см (= 5) мм). (2). Если мы заявим, что длина бруска — (10) сантиметров, то избыток длины от истинной составит менее половины сантиметра ((0,5) см (= 5) мм).

Погрешность измерений — это отклонение полученного значения измерения от истинного. Погрешность измерительного прибора равна цене деления прибора. Для первой линейки цена деления составляет (1) сантиметр. Значит, погрешность этой линейки (1) см. Если нам необходимо произвести более точные измерения, то следует поменять линейку на другую, например, с миллиметровыми делениями. Рис. (2). Деревянная линейка Если же необходимы ещё более точные измерения, то нужно найти прибор с меньшей ценой деления, например, штангенциркуль. Существуют штангенциркули с ценой деления (0,1) мм и (0,05) мм, Рис. (3). Штангенциркуль На процесс измерения влияют следующие факторы: масштаб шкалы прибора, который определяет значения делений и расстояние между ними; уровень экспериментальных умений. Считается, что погрешность прибора превосходит по величине погрешность метода вычисления, поэтому за абсолютную погрешность принимают погрешность прибора.

В чем измеряется погрешность?

Погрешность средств измерения и результатов измерения. Погрешности средств измерений – отклонения метрологических свойств или параметров средств измерений от номинальных, влияющие на погрешности результатов измерений (создающие так называемые инструментальные ошибки измерений).

1. Погрешность результата измерения – отклонение результата измерения от действительного (истинного) значения измеряемой величины.
2. Инструментальные и методические погрешности.
3. Методическая погрешность обусловлена несовершенством метода измерений или упрощениями, допущенными при измерениях.
4. Так, она возникает из-за использования приближенных формул при расчете результата или неправильной методики измерений.

Выбор ошибочной методики возможен из-за несоответствия (неадекватности) измеряемой физической величины и ее модели. Причиной методической погрешности может быть не учитываемое взаимное влияние объекта измерений и измерительных приборов или недостаточная точность такого учета.

Например, методическая погрешность возникает при измерениях падения напряжения на участке цепи с помощью вольтметра, так как из-за шунтирующего действия вольтметра измеряемое напряжение уменьшается. Механизм взаимного влияния может быть изучен, а погрешности рассчитаны и учтены. Инструментальная погрешность обусловлена несовершенством применяемых средств измерений.

Причинами ее возникновения являются неточности, допущенные при изготовлении и регулировке приборов, изменение параметров элементов конструкции и схемы вследствие старения. В высокочувствительных приборах могут сильно проявляться их внутренние шумы. Статическая и динамическая погрешности.

Статическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения, то есть при измерении постоянных величин после завершения переходных процессов в элементах приборов и преобразователей. Статическая погрешность средства измерений возникает при измерении с его помощью постоянной величины. Если в паспорте на средства измерений указывают предельные погрешности измерений, определенные в статических условиях, то они не могут характеризовать точность его работы в динамических условиях. Динамическая погрешность измерений – погрешность результата измерений, свойственная условиям динамического измерения. Динамическая погрешность появляется при измерении переменных величин и обусловлена инерционными свойствами средств измерений. Динамической погрешностью средства измерений является разность между погрешностью средсва измерений в динамических условиях и его статической погрешностью, соответствующей значению величины в данный момент времени. При разработке или проектировании средства измерений следует учитывать, что увеличение погрешности измерений и запаздывание появления выходного сигнала связаны с изменением условий.

Статические и динамические погрешности относятся к погрешностям результата измерений. В большей части приборов статическая и динамическая погрешности оказываются связаны между собой, поскольку соотношение между этими видами погрешностей зависит от характеристик прибора и характерного времени изменения величины.

Как найти абсолютную погрешность измерительного прибора?

Абсолютную погрешность прямых измерений определяют суммой абсолютной инструментальной погрешности и абсолютной погрешности отсчёта Δx = Δ и x + Δ о x при условии, что случайная погрешность и погрешность вычисления или отсутствуют, или незначительны и ими можно пренебречь.

Что такое погрешность метода измерений?

По источнику возникновения — Инструментальная погрешность Эта погрешность определяется несовершенством прибора, возникающим, например, из-за неточной калибровки, Методическая погрешность Методической называют погрешность, обусловленную несовершенством метода измерений.

Что такое погрешность измерительного прибора?

Определение — Проводя измерение параметров рынка, маркетолог получает результаты в виде таблиц, графиков и пр. Эти данные он предоставляет заказчику. Но в отчетах не все специалисты указывают важную величину — погрешность, о которой клиент не подозревает.

Как определить погрешность деления?

Как определить погрешность и объем жидкости — Погрешность равна половине цены деления мензурки. В нашем случае погрешность составляет 2,5 мл. Чтобы определить объем, берем ближайшее число от верхней границы жидкости (на рисунке — это значение 40 мл) и прибавляем количество штрихов (на рисунке — 2 штриха) по 5 мл: V = 40 + 2 × 5 = 50 мл.

Как рассчитывается приведенная погрешность?

Программа КИП и А Дмитрий Бебякин, инженер — метролог, ИЛИМ Позволю себе вначале небольшое отступление. Такие понятия как погрешность, класс точности довольно подробно описываются в нормативной документации ГОСТ 8.009-84 «Нормируемые метрологические характеристики средств измерений», ГОСТ 8.401-80 «Классы точности средств измерений.

1. Общие требования» и им подобных.
2. Но открывая эти документы сразу возникает чувство тоски Настолько сухо и непонятно простому начинающему «киповцу», объяснены эти понятия.
3. Давайте же пока откинем такие вычурные и непонятные нам определения, как « среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности » или « нормализованная автокорреляционная функция » или « характеристика случайной составляющей погрешности от гистерезиса — вариация Н выходного сигнала (показания) средства измерений » и т.п.

Попробуем разобраться, а затем свести в одну небольшую, но понятную табличку, что же такое «погрешность» и какая она бывает. Погрешности измерений – отклонения результатов измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности неизбежны, выявить истинное значение невозможно.

1. Абсолютная погрешность: Δ = X д — X изм, выражается в единицах измеряемой величины, например в килограммах (кг), при измерении массы. где X д – действительное значение измеряемой величины, принимаются обычно показания эталона, образцового средства измерений; X изм – измеренное значение.
2. Относительная погрешность: δ = (Δ ⁄ X д ) · 100, выражается в % от действительного значения измеренной величины.
3. Приведённая погрешность: γ = (Δ ⁄ X н ) · 100, выражается в % от нормирующего значения. где X н – нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и Δ, обычно принимается диапазон измерения СИ (шкала).

По характеру проявления:

• систематические (могут быть исключены из результатов);
• случайные;
• грубые или промахи (как правило не включаются в результаты измерений).

В зависимости от эксплуатации приборов:

• основная – это погрешность средства измерения при нормальных условиях; (ГОСТ 8.395-80)
• дополнительная погрешность – это составляющая погрешности средства измерения, дополнительно возникающая из-за отклонения какой-либо из влияющих величин от нормативного значения или выход за пределы нормальной области значений. Например: измерение избыточного давления в рабочих условиях цеха, при температуре окружающего воздуха 40 ºС, относительной влажности воздуха 18% и атмосферном давлении 735 мм рт. ст., что не соответствует номинальным значениям влияющих величин при проведении поверки.

Наимено вание погреш ности	Формула	Форма выражения, записи	Обозначение класса точности
В докумен тации	На сред стве изме рений
Абсолют ная	Δ = X д — X изм	Δ = ±50 мг Примеры: Номинальная масса гири 1 кг ±50 мг Диапазон измерения весов среднего III класса точности от 20 г до 15 кг ±10 г	Класс точности: М 1 Класс точности: средний III Примечание: на многие виды измерений есть свои НД по выражению погрешностей, здесь для примера взято для гирь и весов.	М 1
Относи тельная	δ = (Δ ⁄ X д ) · 100	δ = ±0,5 Пример: Измеренное значение изб. Как вычислить абсолютную погрешность формула? Поиск: Абсолютная погрешность Δ измерений, выражаемая в единицах измеряемой величины, представляется разностью между измеренным и истинным (действительным) значениями измеряемой величины: Δ = х изм — х и (х д ). Чему равна абсолютная погрешность? При измерении каких-либо величин важным понятием является понятие о погрешности. Это связано с тем, что абсолютно точно измерить какую либо величину невозможно. Поэтому вводят понятие погрешности. Есть очень много видов погрешности, связанных с человеческим фактором или процессом измерения. Для чего нужна погрешность измерений? Каждое физическое измерение в исследованиях и промышленности сопровождается определенной погрешностью. Даже незначительные колебания в условиях окружающей среды могут влиять на измерение и вызывать отклонения, которые делают результат измерения ненадежным. Для получения правильных результатов измерений необходимо учитывать связанную с результатами погрешность. Погрешность измерений указывает на недостающую информацию о настоящем значении измеряемой величины. Она определяется параметром, выраженным в процентах и относящимся к результату измерения, который обозначает отклонение значений, которое обоснованно можно присвоить измеряемой величине на основе имеющейся информации. Другими словами, это диапазон, в пределах которого с определенной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины. Как найти абсолютную погрешность пример? Абсолютная погрешность — Абсолютной погрешностью числа называют разницу между этим числом и его точным значением. Рассмотрим пример : в школе учится 374 ученика. Если округлить это число до 400, то абсолютная погрешность измерения равна 400-374=26. Для подсчета абсолютной погрешности необходимо из большего числа вычитать меньшее. Существует формула абсолютной погрешности. Обозначим точное число буквой А, а буквой а – приближение к точному числу. Приближенное число – это число, которое незначительно отличается от точного и обычно заменяет его в вычислениях. Тогда формула будет выглядеть следующим образом: Δа=А-а. Как найти абсолютную погрешность по формуле, мы рассмотрели выше. На практике абсолютной погрешности недостаточно для точной оценки измерения. Редко когда можно точно знать значение измеряемой величины, чтобы рассчитать абсолютную погрешность. Измеряя книгу в 20 см длиной и допустив погрешность в 1 см, можно считать измерение с большой ошибкой. Но если погрешность в 1 см была допущена при измерении стены в 20 метров, это измерение можно считать максимально точным. Поэтому в практике более важное значение имеет определение относительной погрешности измерения. Записывают абсолютную погрешность числа, используя знак ±. Например, длина рулона обоев составляет 30 м ± 3 см. Границу абсолютной погрешности называют предельной абсолютной погрешностью. Как определить цену деления и погрешность? Найти две соседних отметки шкалы, возле которых написаны величины, соответствующие этим отметкам шкалы; найти разность этих величин; сосчитать количество промежутков между величинами отметок шкалы; полученную разность величин разделить на количество промежутков. Что такое максимальная погрешность измерений? Предельная погрешность измерения в ряду измерений – максимальная погрешность измерения (плюс, минус), допускаемая для данной измерительной задачи. Как рассчитывается приведенная погрешность? Программа КИП и А Дмитрий Бебякин, инженер — метролог, ИЛИМ Позволю себе вначале небольшое отступление. Такие понятия как погрешность, класс точности довольно подробно описываются в нормативной документации ГОСТ 8.009-84 «Нормируемые метрологические характеристики средств измерений», ГОСТ 8.401-80 «Классы точности средств измерений. Общие требования» и им подобных. Но открывая эти документы сразу возникает чувство тоски Настолько сухо и непонятно простому начинающему «киповцу», объяснены эти понятия. Давайте же пока откинем такие вычурные и непонятные нам определения, как « среднее квадратическое отклонение случайной составляющей погрешности » или « нормализованная автокорреляционная функция » или « характеристика случайной составляющей погрешности от гистерезиса — вариация Н выходного сигнала (показания) средства измерений » и т.п. Попробуем разобраться, а затем свести в одну небольшую, но понятную табличку, что же такое «погрешность» и какая она бывает. Погрешности измерений – отклонения результатов измерения от истинного значения измеряемой величины. Погрешности неизбежны, выявить истинное значение невозможно. Абсолютная погрешность: Δ = X д — X изм, выражается в единицах измеряемой величины, например в килограммах (кг), при измерении массы. где X д – действительное значение измеряемой величины, принимаются обычно показания эталона, образцового средства измерений; X изм – измеренное значение. Относительная погрешность: δ = (Δ ⁄ X д ) · 100, выражается в % от действительного значения измеренной величины. Приведённая погрешность: γ = (Δ ⁄ X н ) · 100, выражается в % от нормирующего значения. где X н – нормирующее значение, выраженное в тех же единицах, что и Δ, обычно принимается диапазон измерения СИ (шкала). По характеру проявления: систематические (могут быть исключены из результатов); случайные; грубые или промахи (как правило не включаются в результаты измерений). В зависимости от эксплуатации приборов: основная – это погрешность средства измерения при нормальных условиях; (ГОСТ 8.395-80) дополнительная погрешность – это составляющая погрешности средства измерения, дополнительно возникающая из-за отклонения какой-либо из влияющих величин от нормативного значения или выход за пределы нормальной области значений. Например: измерение избыточного давления в рабочих условиях цеха, при температуре окружающего воздуха 40 ºС, относительной влажности воздуха 18% и атмосферном давлении 735 мм рт. ст., что не соответствует номинальным значениям влияющих величин при проведении поверки. Наимено вание погреш ности Формула Форма выражения, записи Обозначение класса точности В докумен тации На сред стве изме рений Абсолют ная Δ = X д — X изм Δ = ±50 мг Примеры: Номинальная масса гири 1 кг ±50 мг Диапазон измерения весов среднего III класса точности от 20 г до 15 кг ±10 г Класс точности: М 1 Класс точности: средний III Примечание: на многие виды измерений есть свои НД по выражению погрешностей, здесь для примера взято для гирь и весов. М 1 Относи тельная δ = (Δ ⁄ X д ) · 100 δ = ±0,5 Пример: Измеренное значение изб. Как вычислить погрешность функции? Главная страница УЧЕБНЫЕ МАТЕРИАЛЫ ПРОГРАММА КУРСА КОНСПЕКТЫ ЛЕКЦИЙ ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАНЯТИЯ ВОПРОСЫ К ЗАЧЁТУ РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА Кафедра физхимии ЮФУ (РГУ) ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ И ПРОГРАММИРОВАНИЕ Материалы к лекционному курсу Лектор – Щербаков И.Н. Пусть X – некоторая величина, истинное значение которой известно или неизвестно и равно x*, Число x, которое можно принять за значение величины X, мы будем называть ее приближенным значением или просто приближенным числом. Число x называют приближенным значением по недостатку, если оно меньше истинного значения ( x < x* ), и по избытку, если оно больше ( x > x* ). Например, число 3,14 является приближенным значением числа π по недостатку, а 2,72 – приближенным значением числа е (основание натурального логарифма) по избытку. Абсолютная погрешность приближенного числа есть абсолютная величина разности между истинным значением величины и данным ее приближенным значением. Δx = | x * – x | Поскольку истинное значение величины обычно остается неизвестным, неизвестной остается также и абсолютная погрешность. Вместо нее приходится рассматривать оценку абсолютной погрешности, так называемою предельную абсолютную погрешность, которая означает число, не меньшее абсолютной погрешности (далее, в том случае, если это не принципиально, будем под абсолютной погрешностью понимать именно предельную абсолютную погрешность). Абсолютная погрешность приближенного числа не в полной мере характеризует его точность. Действительно, погрешность в 0,1 г слишком велика при взвешивании реактивов для проведения микро-синтеза, допустима при взвешивании 100 г колбасы, и не может быть замечена при измерении массы, например, железнодорожного вагона. Более информативным показателем точности приближенного числа является его относительная погрешность, Относительной погрешностью δx приближенного значения величины X называют абсолютную величину отношения его абсолютной погрешности к истинному значению этой величины. Часто эту относительную погрешность выражают в процентах. C учетом положительности абсолютной погрешности можно записать: δx = Δx / | x* | Ввиду того, что фактически вместо абсолютной погрешности приходится рассматривать предельную, относительную погрешность также заменяют предельной относительной погрешностью, которая означает число, не меньшее относительной погрешности. Более того, при отыскании предельной относительной погрешности приходится заменять неизвестное истинное значение величины x* приближенным – x, Последняя замена обычно не отражается на величине относительной погрешности ввиду близости этих значений и малости абсолютной погрешности. δx = Δx / | x | Например, для приближенного значения π = 3,14 предельная абсолютная погрешность составляет 0,0016, а относительная – 0,00051 или 0,051%. Выражение относительной погрешности в процентах иногда называют процентной погрешностью. Как рассчитать абсолютную погрешность? Абсолютная погрешность Δ измерений, выражаемая в единицах измеряемой величины, представляется разностью между измеренным и истинным (действительным) значениями измеряемой величины: Δ = х изм — х и (х д ). Adblock detector

Задача
1

1.
Определить максимальную абсолютную,
относительную, приведённую погрешности
и сделать запись результата измерения
напряжения аналоговым вольтметром с
классом точности 1,5 с пределом 1 В для
показания 0,87 В.

Решение

Для
аналогового вольтметра с классом
точности р = 1,5 максимальная абсолютная
погрешность равна (рис. 5.1):

,

где
р – класс точности;

X_N
– нормирующее значение измеряемой
величины, равное пределу измерения

=0,015
В.

Приведённая
погрешность:

Относительная
погрешность:

В
соответствии с правилами округления
результат измерения имеет вид

0,8700,015
В

Задача
2

Определить
абсолютную погрешность и сделать запись
результата измерения напряжения цифровым
вольтметром с классом точности 0,1/0,05 с
пределом 10 В для показания 7,93 В.

Решение

Для
цифрового вольтметра относительная
погрешность равна (рис.5.1):

Здесь
X_K
= 10 В предел измерений;

c/d
= 0,1/0,05
– класс точности;

Х
=7,93 В – показание цифрового вольтметра.

По
относительной погрешности определяется
абсолютная:

=
0,009 В

В
соответствии с правилами округления
результат измерения имеет вид

7,9300,009
В

6.
Раздел
№6. «Обработка результатов прямых
многократных равноточных измерений»

6.1.
Основные положения

При
однократных измерениях оценку погрешности
производят на основе класса точности
используемых средств измерений (раздел
5).

Получаемый
при этом предел допускаемой погрешности
СИ неполно характеризует
качество измерений, т. е. остается
неизвестным закон распределения
вероятностей погрешностей и не ясно,
какая из составляющих систематическая
_с
или случайная 
доминируют в сумме

 =
_с
+

(6.1)

Для
того, чтобы оценить случайную погрешность
и определить более точно
усредненный результат измерения проводят
многократные наблюдения и статистическую
обработку их.

Структура
погрешности в каждой точке шкалы СИ
полностью характеризуется
плотностью распределения вероятностей.
Определение оценки плотности
распределения вероятностей (гистограммы)
требует проведения нескольких сотен
измерений

В
практике электроизмерений чаще всего
имеют дело с нормальным распределением.

Результаты
наблюдений, являющихся случайными
величинами X,
распределены по нормальному закону
(закону Гаусса), если их плотность
вероятностей
имеет вид

X
– математическое ожидание.

Для
решения многих задач не требуется знания
функции и плотности распределения
вероятностей, а вполне достаточными
характеристиками случайных
погрешностей служат их простейшие
числовые характеристики: математическое
ожидание и среднеквадратическое
отклонение. Числовые
вероятностные характеристики погрешностей,
представляющие собой неслучайные
величины, теоретически определяются
при конечном числе опытов.

(6.2)

Где

– дисперсия;

Практически
число опытов всегда ограничено, поэтому
реально пользуются
числовыми характеристиками, которые
принимают за искомые вероятностные
характеристики и называют оценками
характеристик. Определение
оценок числовых характеристик может
быть выполнено по значительно
меньшему числу наблюдений N порядка
10-20).

Пусть
при измерении величины А, N
раз получен ряд значений X₁,X₂,Х₃,
…
X_N.
Если число измерений N достаточно велико,
то за истинное значение измеряемой
величины принимают наиболее достоверное
значение – среднее арифметическое
(действительное)

(6.3)

Зная
среднее арифметическое значение, можно
определить отклонение результата
единичного измерения от среднего
значения

i
=
i-(6.4)

Это
отклонение может быть вычислено для
каждого измерения. Следует помнить, что
сумма отклонения результата измерений
от среднего значения равна нулю, а сумма
их квадратов минимальна. Эти свойства
используются при обработке результатов
измерений для контроля правильности
вычислений.

Среднее
квадратическое отклонение (СКО)
погрешности однократного измерения
σ равно

(6.5)

В
теории случайных погрешностей вводится
также понятие о среднем квадратическом
отклонении среднего арифметического
_х
(средняя квадратическая погрешность
результата измерений)

(6.6)

где
–
оценка средней квадратической погрешности_х

ряда из N измерений.

При
оценке результатов измерений пользуются
понятием предельно допустимой
(максимальной) погрешности ряда измерений

 _макс

= 3 
(6.7)

Рассмотренные
оценки результатов измерений, выражаемые
одним числом, называют точечными
оценками. Поскольку подобную оценку
обычно принимают за действительное
значение измеряемой величины, то
возникает вопрос
о точности и надежности полученной
оценки. Судят об этом по вероятности

того, что результат измерений
(действительное значение) отличается
от истинного не более чем на .
Это можно записать в виде

(6.8)

Вероятность

называется доверительной вероятностью
или
коэффициентом
надежности, а интервал значений от
-
до
+
— доверительным интервалом. Обычно
его выражают в долях средней квадратической
погрешности

(6.9)

где
t_a
(N)
– табулированный
коэффициент распределения Стьюдента,
который зависит
от доверительной вероятности 
и
числа измерений N (таблица 6.1).

Результат
измерения записывается в виде

Х±;
(6.10)

При
расчетах необходимо пользоваться
правилами округления, изложенными
в разделе 5.

Коэффициенты
Стьюдента t_α
для заданных значений 
, N

Таблица
6.1

α N	0,9	0,91	0,92	0,93	0,94	0,95	0,96	0,97	0,98	0,99
5	2,132	2,227	2,333	2,456	2,601	2,776	2,999	3,298	3,747	4,604
6	2,015	2,008	2,191	2,298	2,422	2,571	2,757	3,003	3,365	4,032
7	1,943	2,019	2,105	2,202	2,314	2,447	2,613	2,829	3,163	3,707
8	1,895	1,967	2,047	2,137	2,241	2,365	2,517	2,715	2,998	3,499
9	1,860	1,938	2,005	2,091	2,190	2,306	2,449	2,634	2,896	3,355
10	1,833	1,900	1,973	2,056	2,151	2,262	2,399	2,574	2,821	3,250
11	1,812	1,877	1,949	2,029	2,121	2,228	2,260	2,528	2,764	3,169
12	1,796	1,859	1,929	2,007	2,097	2,201	2,329	2,491	2,718	3,106
13	1,782	1,845	1,913	1,989	2,077	2,179	2,303	2,461	2,681	3,055
14	1,771	1,832	1,899	1,974	2,061	2,160	2,282	2,436	2,650	3,012
15	1,761	1,822	1,888	1,962	2,047	2,145	2,264	2,415	2,624	2,477
16	1,753	1,813	1,878	1,951	2,034	2,131	2,249	2,398	2,602	2,947

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Статья обновлена 10.07.2022

Что такое погрешность измерения

Любой расчет состоит из истинного и вычисляемого значения. При этом всегда должны учитываться значения ошибки или погрешности. Погрешность — это расхождение между истинным значением и вычисляемым. В маркетинге выделяют следующие виды погрешностей.

1. Математическая погрешность. Она описывается алгебраической формулой и бывает абсолютной, относительной и приведенной. Абсолютная погрешность измерения — это разница между вычисляемым и истинным значением. Относительная погрешность вычисляется в процентном соотношении истинного значения и полученного. Вычисление погрешности приведенной схоже с относительной, указывается она также в процентах, но дает разницу между нормирующей шкалой и полученными данными, то есть между эталонными и полученными значениями.
2. Оценочная погрешность. В маркетинге она бывает случайной и систематической. Случайная погрешность возникает из-за любых факторов, которые случайным образом влияют на измерение переменной в выборке. Систематическая погрешность вызывается факторами, которые систематически влияют на измерение переменной в выборке.

Математическая погрешность: формула для каждого типа

Если определение погрешности можно провести точным путем, она считается математической. Зачем нужно вычисление этого значения в маркетинге?

Погрешности возникают настолько часто, что популярной практикой в исследованиях является включение значения погрешности в окончательные результаты. Для этого используются формулы. Математическая погрешность — это значение, которое отражает разницу между выборкой и фактическим результатом. Если при расчетах учитывалась  погрешность, в тексте исследования указывается что-то вроде: «Абсолютная погрешность для этих данных составляет 3,25%». Погрешность можно вычислить с любыми цифрами: количество человек, участвующих в опросе, погрешность суммы, затраченной на маркетинговый бюджет, и так далее.

Формулы погрешностей вычисляются следующим образом.

Абсолютная погрешность измерений: формула

Формула дает разницу между измеренным и реальным значением.

Относительная погрешность: формула

Формула использует значение абсолютной погрешности и вычисляется в процентах по отношению к фактическому  значению.

Приведенная погрешность: формула

Формула также использует значение абсолютной погрешности. В чем измеряется приведенная погрешность? Тоже в процентах, но в качестве «эталона» используется не реальное значение, а единица измерения любой нормирующей шкалы. Например, для обычной линейки это значение равно 1 мм.

Классификация оценочной погрешности

Определение погрешности в оценках — это всегда методическая погрешность, то есть допустимое значение ошибки, основанное на методах проведения исследования. Погрешность метода вызывает два типа погрешностей — случайные и систематические. Таблица погрешностей в графической форме покажет все возможные типы.

Что такое случайная погрешность

Случайная погрешность бывает статической и динамической. Динамическая погрешность возникает, когда мы имеем дело с меняющимися значениями — например, количество человек в выборке при маркетинговом исследовании. Статическая погрешность описывает ошибки при вычислении неизменных величин — вроде количества вопросов в вопроснике. Все они относятся к случайным погрешностям.

Типичный пример возникновения случайной погрешности — настроение участников маркетингового опроса. Как известно, эмоциональный настрой человека всегда влияет на его производительность. В ходе тестирования одни люди могут быть в хорошем расположении духа, а другие — в «миноре». Если настроение влияет на их ответы по заданному критерию выборки, это может искусственно завышать или занижать наблюдаемые оценки. Например, в случае с истинным значением 1 случайная погрешность может дать как -0,8, так и +0,5 к этому числу. Очень часто это случается при оценке времени ответа, например.

Случайная погрешность добавляет изменчивости данным, но не оказывает постоянного влияния на всю выборку. Вместо этого она произвольно изменяет измеряемые значения в диапазоне. В маркетинговой практике считается, что все случайные погрешности в распределении перекрывают друг друга и практически не влияют на конечный результат. Поэтому случайная погрешность считается «шумом» и в расчет не принимается. Эту погрешность нельзя устранить совсем, но можно уменьшить, просто увеличив размер выборки.

Что такое систематическая погрешность

Систематическая погрешность существует в результатах исследования, если эти результаты показывают устойчивую тенденцию к отклонению от истинных значений. Иными словами, если полученные цифры постоянно выше или ниже расчетных, речь идет о том, что в данных имеется систематическая погрешность.

В маркетинговых исследованиях есть два основных типа систематической погрешности: погрешность выборки и погрешность измерения. 

Погрешность выборки

Погрешность выборки возникает, когда выборка, используемая в исследовании, не репрезентативна для всей совокупности данных. Типы такой погрешности включают погрешность структуры, погрешность аудитории и погрешность отбора.

Погрешность структуры

Погрешность структуры возникает из-за использования неполной или неточной основы для выборки. Распространенным источником такой погрешности в рамках маркетинговых исследований является проведение какого-либо опроса по телефону на основе существующего телефонного справочника или базы данных абонентов. Многие данные там указаны неполно или неточно — например, если люди недавно переехали или изменили свой номер телефона. Также такие данные часто указывают неполную или неверную демографию.

Если в качестве основы для исследования взят телефонный справочник, оно подвержено погрешности структуры, так как не учитывает всех возможных респондентов.

Погрешность аудитории

Погрешность аудитории возникает, если исследователь не знает, как определить аудиторию для исследования. Пример — оценка результатов исследования, проведенного среди клиентов крупного банка. Доля ответов на анкету составила чуть менее 1%. Анализ профессий всех опрошенных показал, что процент пенсионеров среди них в 20 раз выше, чем в целом по городу. Если эта группа значительно различается по интересующим переменным, то результаты будут неверными из-за погрешности аудитории.

Погрешность отбора

Даже если маркетологи правильно определили структуру и аудиторию, они не застрахованы от погрешности отбора. Она возникает, когда процедуры отбора являются неполными, неправильными или не соблюдаются должным образом. Например, интервьюеры при полевом исследовании могут избегать людей, которые живут в муниципальных домах. Потому что, по их мнению, жители вряд ли согласятся пройти такой опрос. Если жители муниципальных домов отличаются от тех, кто проживает в домах бизнес-класса, в результаты опроса будет внесена погрешность отбора.

Как минимизировать погрешность выборки

• Знайте свою аудиторию.
  Знайте, кто покупает ваш продукт, использует его, работает с вами и так далее. Имея базовую социально-экономическую информацию, можно составить стабильную выборку целевой аудитории. Маркетинговые исследования часто касаются одной конкретной группы населения — например, пользователей Facebook или молодых мам.
• Разделите аудиторию на группы.
  Вместо случайной выборки разбейте аудиторию на группы в соответствии с их численностью в общей совокупности данных. Например, если люди с определенной демографией составляют 35% населения, убедитесь, что 35% респондентов исследования отвечают этому условию.
• Увеличьте размер выборки.
  Больший размер выборки приводит к более точному результату.

Погрешность измерения

Погрешность измерения представляет собой серьезную угрозу точности исследования. Она возникает, когда существует разница между искомой информацией — то есть истинным значением, и информацией, фактически полученной в процессе измерения. К таким погрешностям приводят различные недостатки процесса исследования. Погрешность измерения, в основном, вызывается человеческим фактором — например, формулировкой вопросника, ошибками ввода данных и необъективными выводами.

К погрешностям измерения приводят следующие виды ошибок.

Ошибка цели

Ошибка цели возникает, когда существует несоответствие между информацией, фактически необходимой для решения проблемы, и данными , которые собирает исследование. Например, компания Kellogg впустую потратила миллионы на разработку завтраков для снижения уровня холестерина. Реальный вопрос, который нужно было бы задать в исследовании, заключался в том, купят ли люди овсяные хлопья для решения своей проблемы. Ответ «Нет» обошелся бы компании дешевле.

Предвзятость ответов

Некоторые люди склонны отвечать на конкретный вопрос определенным образом. Тогда возникает предвзятость ответа. Предвзятость ответа может быть результатом умышленной фальсификации или неосознанного искажения фактов.

Умышленная фальсификация происходит, когда респонденты целенаправленно дают неверные ответы на вопросы. Есть много причин, по которым люди могут сознательно искажать информацию. Например, они хотят скрыть  или хотят казаться лучше, чем есть на самом деле.

Бессознательное искажение информации происходит, когда респондент пытается быть правдивым, но дает неточный ответ. Этот тип предвзятости может возникать из-за формата вопроса, его содержания или по другим причинам.

Предвзятость интервьюера

Интервьюер оказывает влияние на респондента — сознательно или бессознательно. Одежда, возраст, пол, выражение лица, язык тела или тон голоса могут повлиять на ответы некоторых или всех респондентов.

Ошибка обработки

Примеры включают наводящие вопросы или элементы дизайна анкеты, которые затрудняют запись ответов или приводят к ошибкам в них.

Ошибка ввода

Это ошибки, возникающие при вводе информации. Например, документ может быть отсканирован неправильно, и его данные по ошибке перенесутся неверно. Или люди, заполняющие опросы на смартфоне или ноутбуке, могут нажимать не те клавиши.

Виды проводимых маркетинговых исследований различны, поэтому универсальных рецептов не существует. Мы дадим несколько общих советов, используемых для минимизации систематических погрешностей разного типа.

Как минимизировать погрешность измерения

• Предварительно протестируйте.
  Погрешностей обработки и предвзятости можно избежать, если проводить предварительные тесты вопросника до начала основных интервью.
• Проводите выборку случайным образом.
  Чтобы устранить предвзятость, при выборке респондентов можно включать каждого четвертого человека из общего списка.
• Тренируйте команду интервьюеров и наблюдателей.
  Отбор и обучение тех, кто проводит исследования, должен быть тщательным. Особое внимание нужно уделять соблюдению инструкций в ходе каждого исследования.
• Всегда выполняйте проверку сделанных записей.
  Чтобы исключить ошибки ввода, все данные, вводимые для компьютерного анализа, должны быть перепроверены как минимум дважды.

Мир без ошибок  не может существовать. Но понимание факторов, влияющих на маркетинговые исследования и измеряемые погрешности, имеет важное значение для сбора качественных данных.