Как найти проценты огэ

Разберём пять способов решения задач на проценты. Воспользуемся заданием из ОГЭ на тему “Тариф” практикоориентированного блока.

Теперь первые пять заданий в ОГЭ это “Реальная математика”. Там есть тема про тариф для сотовой связи. И четвертый номер в ней – задачи на проценты.

Решим одну из них пятью способами. А Вы (по желанию) напишите в комментариях, каким способом пользуетесь “по жизни”.

Задача:

Условие там такое, что в 2019 году абонентская плата составила 350 рублей.

Как ясно, ищем повышенную плату на 2020 год. Задача несложная, речь идёт больше о методах.

Картинки я вырезала из видео, где разбираю еще несколько задач, которые могут попасться под четвертым номером на ОГЭ. Все видео в контакте.

Первый способ, самый начальный: через один процент. Находим один процент, потом сорок, потом складываем.

Второй способ, как я вижу по людям, самый распространенный: через десять процентов.

Третий способ: пропорцией найти эти сорок процентов и сложить.

Четвертый способ: пропорцией сразу найти 140 % . Выгода в том, что математические операции сокращаются до одной.

Пятый способ: воспользоваться коэффициентом увеличения. Заменяет пропорцию. Так же одно действие, если искать сразу 140 %.

Кто-то из учеников упорно ищут сначала 40 %, а потом прибавляют.

Поделитесь в комментариях, каким способом и почему, Вам легче решать подобные задачи.

Ставьте лайк, подписывайтесь на блок, присоединяйтесь в контакте.

Решение задач на проценты при подготовке к ОГЭ И ЕГЭ по математике

Понятие процента

Одна сотая часть числа называется процентом. Например,
1 процент от 4,   ⋅4=0,01⋅4=0,04

1 процент от 100,   ⋅100=0,01⋅100=1

⋅50=0,02⋅50=1

⋅4=0,25⋅4=1  

Чтобы найти 1% от числа, надо это число умножить на .
Чтобы найти p% от
числа, надо это число умножить на 

Чтобы
найти p% от
числа A,
надо это число умножить на :
p% от A равно  ⋅ A.

Как правило, вместо слова «проценты» употребляют значок %, например,

1% от 4=0,04, 1% от 100=1, 2% от 50=1, 25% от 4=1.

Пример:
5% от 300 равны ⋅300=5⋅3=15.

Проценты
в виде дробей

Проценты можно перевести в дробь. Для этого надо число процентов
разделить на 100.
Например,
39% =  =0,39;
4% == 0,04;
60% = = 0,6.

То есть, 23% от числа — это 0,23 от этого числа.

Простейшие
задачи на проценты

Задача 1. Математический
кружок посещает 1% учащихся
школы. Сколько процентов учащихся не посещают математический кружок?

Решение. Поскольку
все учащиеся школы составляют 100%, то процент учащихся, которые не посещают школу,
рассчитывается так: 100%−1%=99%

Ответ: 99% учащихся не
посещают математический кружок.

Задача 2. На
пришкольном участке ребята посадили огурцы, помидоры и картофель. Огурцами было
занято 8% площади
участка, помидорами — в 3 раза больше, а остальная часть огорода — картофелем.
Ответьте на вопросы:

– какая величина принята за 100%?

– сколько процентов площади участка занято помидорами?

– сколько процентов площади участка занято картофелем?

Решение. В
условии сказано, что огурцами было занято 8% площади участка. Значит, 100% — это площадь
всего участка, на котором посадили огурцы, помидоры и картофель.

Так как помидоры занимают в 3 раз больше площади, чем огурцы, ими
занято 3⋅8%=24%площади.

Чтобы узнать, сколько процентов площади участка занято картофелем,
надо изо всей площади (т.е. 100%) вычесть площади, занятые под огурцы и помидоры: 100%
– (8% + 24%) = 68%.

Задачи на нахождение процента от числа

1% от числа — это одна сотая часть этого числа. Поэтому, чтобы найти 1% от числа, надо
разделить это число на 100. Значит, если мы хотим найти p% от числа, надо
разделить это число на 100 (так мы найдем 1% от него) и умножить на p.

Разделить на 100 и умножить на p — это то же самое, что умножить число на дробь .

Чтобы
найти p% от
числа A,
надо это число умножить на  :
p% от A равно  ⋅A

Правило 1. Чтобы найти данное число процентов от числа, нужно
проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную
дробь.

Задача 1. Длина
туристического маршрута 260 км. За день группа туристов прошла 6% этого маршрута.
Сколько километров прошла группа за этот день?

Решение: Надо
найти 6% от 260. Для этого
нужно 260 умножить
на .

⋅260== 15,6

Значит, за этот день группа прошла 15,6 километров.

Ответ: 15,6 км

Задача 2. Стоимость
проезда на электричке составляет 192 рубля. Детям предоставляется скидка 75%. Сколько рублей
будет стоит проезд на этой электричке для ребенка?

Решение: Сначала
узнаем, сколько процентов от цены билета для взрослого стоит билет для ребенка.
Цена билета для взрослого берется за 100%. Скидка — 75% от этой цены:

100%−75%=25%

То есть, цена детского билета составляет 25% от цены
взрослого билета, который стоит 192 рубля. Надо найти 25% от 192. Для этого умножим 192 на .

⋅192 === 48

Проезд на этой электричке для ребенка стоит 48 рублей.

Ответ: 48р.

Задача 3. Средний
рост девочек возраста Насти равен 150 см. Рост Насти на 8% выше среднего. Какой рост у Насти?

Решение: За 100% принят
средний рост девочек возраста Насти. Так как рост Насти на 8% выше среднего,
то её рост составляет 100% + 8% = 108%  от среднего роста. Значит, надо
найти 108% от 150 см. Для этого
нужно 150 см
умножить на дробь .

⋅150=108 ⋅=54 =162

Рост Насти равен 162 см.

Ответ: 162 см

Задача 4. В
школьной столовой обед стоит 180 рублей и состоит из трех блюд. Цена первого блюда составляет 25% от стоимости
всего обеда, цена второго блюда составляет 30% от стоимости всего обеда. Сколько рублей стоит
третье блюдо?

Решение: Сначала
узнаем, сколько процентов от всей стоимости обеда составляет третье блюдо. Вся
стоимость обеда здесь принята за 100%. Он разделен на три части, которые в сумме дают целое,
то есть их процентные составляющие в сумме дают 100%. Значит, чтобы узнать, сколько процентов стоимости
приходится на третье блюдо, надо из 100% вычесть проценты, приходящиеся на первое и второе
блюдо:

100%−25%−30%=45%

Значит, стоимость третьего блюда составляет 45% от всей
стоимости обеда. Осталось найти 45% от 180 рублей:

⋅180=45 ⋅=45 ⋅ = 81

Третье блюдо стоит 81 рубль.

Ответ: 81р

Задача 5. В
городе N живет 200000 человек.
Среди них 20% детей
и подростков, из которых 60%ходят в школу. Сколько в этом городе школьников?

Решение: Сначала
узнаем, сколько в этом городе детей и подростков. Для этого надо найти 20% от общего
количества жителей города:

⋅ 200000 = 40000

Среди них 60% школьников, то есть нам надо найти 60% от 40000:

⋅ 40000 = 24000

Значит, в этом городе 24000 школьников.
Обратите внимание, что мы сначала нашли 20% от всех жителей, а потом 60% от результата.
Одним выражением это можно было бы записать так:

200000 ⋅⋅= 24000

Ответ: 24000 школьников

Нахождение
числа по его проценту

Здесь
мы рассмотрим случаи, когда известна величина нескольких процентов от числа и
по ним надо найти само число.

Задача
1. В коллекции филателиста 35 марок,
посвящённых знаменательным датам, что составляет 1% всех марок его коллекции. Сколько марок в коллекции
филателиста?

Решение. Поскольку 1% — это одна
сотая от всего количества, то всего марок будет в сто раз больше, чем марок,
посвящённых знаменательным датам, т.е. всего марок  35⋅100=3500.

Ответ: в
коллекции филателиста 3500 марок.

Задача
2. В парке 12 лип, что составляют 8% от числа всех деревьев. Сколько деревьев в парке?

Решение. В
предыдущей задаче нам было известно, сколько составляет 1%, и мы легко узнали
общее количество, умножив данные на 100. Поэтому в данном случае полезно узнать, сколько
деревьев приходится на 1%, для чего 12 (это 8%) нужно разделить на 8:
12:8=1,5. Итак, 1% — это полтора
дерева. Значит всего деревьев — 100⋅1,5=150.

Ответ: в
парке растёт 150 деревьев.

Посмотрим,
что мы сделали, решая задачу в этом примере: мы разделили на 8 и умножили
на 100, т.е.
разделили на  = 0,08.

Из
этого можно сделать вывод:

Правило 2. Чтобы найти число по данным его
процентам, надо выразить проценты в виде дроби, а затем значение процентов
разделить на эту дробь.

Запишем
это формулой. Для этого сначала запишем выражение               “N — это p% от числа X”:

N= ⋅X

Откуда
выразим X:

X=N : =

Посмотрим,
как это работает.

Задача
3. Магазин получил с продуктовой базы 60 т яблок, что
составило 30% от
массы всех полученных фруктов. Сколько тонн фруктов получил магазин?

Решение. Как
подсказывает формула, нам нужно 60 разделить на = 0,3:

60:0,3=200.

Ответ: 200 тонн фруктов
получил магазин.

Задача
4. Товар на распродаже уценили на 15%, при этом он стал
стоить 680 рублей.
Сколько рублей стоил этот товар до распродажи?

Решение: После
уценки на 15% товар
стал стоить 100%−15%=85% от
его цены до распродажи. Значит, нам надо найти число, 85% от которого
составляют 680.
Для этого разделим 680 на :

680: = 800

Значит,
до распродажи этот товар стоил 800 рублей.

Ответ: 800р.

Задача
5. На складе хранилось 100 кг ягод, содержание воды в
которых составляло 99%.
От долгого хранения содержание воды в ягодах сократилось до 98%. Сколько теперь
весят ягоды?

Решение. Так
как содержание воды в 100 кг ягод было 99%, то на сухое вещество приходился 1%веса, т.е. 1 кг. После
хранения воды стало 98%. Значит, на сухое вещество стало приходиться 2%. Но количество
сухого вещества не изменилось (высохла только вода) — его так и осталось 1 кг. Только
теперь этот 1 кг
составляет уже 2% от
веса ягод. Что бы узнать вес усохших ягод, надо 1 кг разделить на 0,02 (это 2%, выраженные дробью):

1:0,02=50.

Ответ: усохшие
ягоды весят 50 кг.

Задача
6. Сколько фунтов зерна нужно смолоть, чтобы после
оплаты работы — 10% от
помола — осталось ровно 100 фунтов муки? Потерь при помоле нет. (Ответ дайте
смешанной дробью.)

Решение. Так
как 100 фунтов
муки должно остаться после оплаты помола (10%), то эти 100 фунтов составляют 90% от целого. Чтобы его найти, нужно 100 (целое)
разделить на  (90%, выраженные
дробью):

100: =100 ⋅= = =111+

Ответ: нужно
смолоть  111 фунтов зерна.

Задача
7.
Вороне где-то Бог послал кусочек сыра,
В нем содержалось 45 процентов
жира
Белка же было 35.
Хотели б массу сыра мы узнать,
Но только знаем с вами мы пока,
Что жира было в нем на 50 г больше, чем белка.
Решение. Заметим, что по условию в сыре содержится на 45% −35 % = 10% больше
жира, чем белка. Там же сказано, что жира было в нем на 50 г больше, чем
белка. Значит, 10% —
это 50 г,
откуда 1% весит 5 г.
Следовательно, масса сыра — 5⋅100=500 г.

Тот
же результат можно было найти, используя формулу нахождения числа по известному
проценту. Известно, что 10% от целого— это 50 г. Значит, чтобы найти всю массу, надо
выразить 10% в
виде дроби (10%= ) и разделить 50 на эту дробь:

50: = 50 ⋅= 500

Ответ: 500г

Задача
8. Свежий виноград содержит 90% воды, а изюм
— 55%.
Сколько изюма получится из 13,5кг винограда? Сколько винограда надо взять, чтобы
получить 10 кг
изюма?

Решение. 13,5 кг винограда
содержат 90% воды
и 10% «сухого
вещества», т.е. 13,5⋅0,9=12,15кг
воды и 1,35 кг
«сухого вещества». В изюме эти 1,35 кг сухого вещества составляют 100%−55%=45% (так
как 55 воды).
Поэтому, масса изюма составляет 1,35: = 3 кг.

В 10 кг изюма
содержится 10⋅0,45=4,5 кг
сухого вещества — это 10% винограда. Значит, нужно взять 4,5: = 45 кг винограда, чтобы
получить 10 кг
изюма.

Ответ: из 13,5 кг винограда
получится 3 кг
изюма; чтобы получить 10 кг изюма, надо взять 45 кг винограда

Смеси и сплавы.
Процентное содержание, концентрация

В
физике, химии и других естественных науках часто встречаются задачи на смеси и сплавы.
Такие задачи встречаются и в экзаменах по математике.

Процентное
содержание вещества это тот процент, который масса вещества составляет от общей
массы раствора или сплава.

Иногда,
вместо “процентное содержание” говорят “концентрация раствора”.

Задача
1. В 1 кг раствора кислоты содержится 200 грамм этой
кислоты. Какова концентрация раствора?

Решение: Концентрация
раствора — это тот процент, который масса вещества составляет от массы всего
раствора. Чтобы его найти, надо разделить массу вещества на массу раствора и
умножить на 100%.
Но сначала выразим массу кислоты и раствора в одних единицах. Масса кислоты
дана в граммах, а раствора в килограммах. Возьмем обе массы в граммах. 
1кг = 1000г,
поэтому масса раствора 1000 грамм.

⋅100%
= 20%

Значит,
процентная концентрация этого раствора 20%.

Ответ: 20%

Задача
2. Процентная концентрация раствора соли 14%. Сколько грамм соли
содержится в 2 кг
этого раствора?

Решение: Масса
соли составляет 14% массы
всего раствора. Масса раствора 2кг =
2000грамм.
Найдем 14% от
этой массы:

⋅ 2000
= 280

Значит,
в 2 кг
этого раствора содержится 280 грамм соли.

Ответ: 280 г

Задача
3. Сплав меди и олова содержит 46% меди. Сколько
процентов приходится на олово, какова масса олова в 10 кг такого сплава?

Решение: Сплав
состоит из олова и меди. Если меди в нем 46%, то оставшиеся 100%−46%=54% приходятся на олово.

Теперь
узнаем, сколько килограмм олова в 10 кг сплава. Для этого надо найти 54% от 10.

⋅ 10
= 5,4

Значит,
олова 10 кг
этого сплава 5,4 кг.

Ответ: олова
в сплаве 54%;
в 10 кг
этого сплава 5,4 кг
олова

Задача
4. (задача 22 2 части). К 3 кг 15%-го раствора кислоты
добавили 7 кг 8%-го раствора этой
кислоты. Какова концентрация получившегося раствора?

Решение: После
того, как оба раствора слили, сложились их массы — масса полученного раствора
составляет 3+7=10 кг.
Масса кислоты в полученном растворе равна сумме масс кислоты в двух исходных
растворах.

Найдем
массу кислоты в обоих растворах.

⋅ 3
= 0,45 — первый раствор содержит 0,45 кг кислоты.

⋅ 7
= 0,56 — второй раствор содержит 0,56 кг кислоты.

Значит,
после сливания в полученном растворе стало 0,45 + 0,56 = 1,01 кг кислоты. И теперь, чтобы узнать
концентрацию полученного раствора, разделим массу кислоты в нем на его полную
массу и умножим на 100%.

⋅100%=10,1%

Концентрация
получившегося раствора равна 10,1%.

Ответ: 10,1%

Задача 5. При
сме­ши­ва­нии пер­во­го рас­тво­ра кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 20%,
и вто­ро­го рас­тво­ра этой же кис­ло­ты, кон­цен­тра­ция ко­то­ро­го 50%, по­лу­чи­ли
рас­твор, со­дер­жа­щий 30% кис­ло­ты. В каком от­но­ше­нии были взяты пер­вый
и вто­рой рас­тво­ры?

Решение. Пусть
пер­вый рас­твор взят в ко­ли­че­стве х   грамм, тогда он со­дер­жит
0,2 х  грамм чи­стой кислоты, а вто­рой рас­твор взят в ко­ли­че­стве у
  грамм, тогда он со­дер­жит 0,5 у  грамм чи­стой кислоты. При
сме­ши­ва­нии двух этих рас­тво­ров по­лу­чит­ся рас­твор мас­сой  х+ у грамм,
по усло­вию задачи, он со­дер­жит 0,3( х+ у) чи­стой кислоты. Следовательно,
можно со­ста­вить уравнение:

 0,2 х + 0,5у =
0,3 (х+ у)

 0,2 х + 0,5у =
0,3х + 0,3у

 0,2
х – 0,3х =  0,3у – 0,5у

  -0,1х = – 0,2у

 х = 2у

Выразим  х
 через у.  Следовательно, отношение, в ко­то­ром были взяты
растворы:  =

Ответ: 

Задание на дом:

1. Име­ет­ся два спла­ва с раз­ным со­дер­жа­ни­ем
меди: в пер­вом со­дер­жит­ся 60%, а во вто­ром — 45% меди. В каком от­но­ше­нии
надо взять пер­вый и вто­рой спла­вы, чтобы по­лу­чить из них новый сплав, со­дер­жа­щий
55% меди?

Решение.

Пусть пер­вый сплав взят в ко­ли­че­стве x кг,
тогда он будет со­дер­жать 0,6x кг меди, а вто­рой сплав взят в ко­ли­че­стве y кг,
тогда он будет со­дер­жать 0,45y кг меди. Со­еди­нив два этих спла­ва,
по­лу­чим сплав меди мас­сой x + y, по усло­вию за­да­чи
он дол­жен со­дер­жать 0,55(x + y) меди. Сле­до­ва­тель­но,
можно со­ста­вить урав­не­ние:
0,6x +0,45y = 0,55(x + y)
Выразим x через y:

х = 2 y

Следовательно, отношение, в ко­то­ром
нужно взять сплавы:   =

 Ответ: 

2. На пост главы
ад­ми­ни­стра­ции го­ро­да пре­тен­до­ва­ло три кан­ди­да­та: Жу­равлёв, Зай­цев,
Ива­нов. Во время вы­бо­ров за Ива­но­ва было от­да­но в 2 раза боль­ше го­ло­сов,
чем за Жу­равлёва, а за Зай­це­ва — в 3 раза боль­ше, чем за Жу­равлёва и Ива­но­ва
вме­сте. Сколь­ко про­цен­тов го­ло­сов было от­да­но за по­бе­ди­те­ля?
Решение:
Заметим, что по­бе­ди­те­лем на вы­бо­рах ока­жет­ся Зайцев. Пусть ко­ли­че­ство
голосов, от­дан­ных за Зай­це­ва равно х. Тогда за Журавлёва и Ива­но­ва
вме­сте от­да­ли  . Про­цент голосов, от­дан­ных за
Зай­це­ва   х : (х + ) 100 = 75%

Ответ: 75%.

3. Имеются два сосуда, содержащие
48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить
вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы
этих растворов, то полученный
раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во
втором растворе?

Решение.

Пусть концентрация
первого раствора – х, концентрация второго раствора – y. Составим систему
уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во
втором растворе содержится  42 0,1= 4,2килограмма кислоты

Ответ: 4,2кг.

Типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ

• Авторы
• Руководители
• Файлы работы
• Наградные документы

Текст работы размещён без изображений и формул.
Полная версия работы доступна во вкладке “Файлы работы” в формате PDF

Введение

В настоящее время людям часто приходится встречаться с понятием «процент». Современный человек должен уметь вычислять скидку на интересующий его товар; решать задачи на смеси, сплавы, растворы, в которых без процентов не обойтись. Например, нужно знать, как правильно приготовить маринад для консервирования, как смешать клей для обоев, как приготовить раствор для заливки фундамента дома, как разбавить уксусную кислоту для употребления в пищу. На этикетках продуктов питания часто указывается массовая доля вещества, например, жира, выраженная в процентах. Задачи на проценты встречаются на ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней. Это, как правило, практико-ориентированные задания. Поскольку мне тоже предстоит сдавать экзамен по математике, я решил рассмотреть задачи на проценты и способы их решения в задачах ОГЭ и ЕГЭ. Так как будущую профессию я хочу связать с экономической специальностью, руководствуясь примером моей мамы, которая работает в банке, я быстро определился с практической частью моего проекта. Я провел интервью с сотрудником банка, которому задал интересующие меня вопросы.

Цель проекта: исследовать типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ.

Задачи проекта:

Изучить историю возникновения процентов.

Проанализировать информационные источники по теме: «Типы задач на проценты и способы их решения в заданиях ОГЭ и ЕГЭ».

Разобрать решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.

Провести интервьюирование сотрудника и клиентов банка ПАО КБ «УБРиР» города Асбеста с целью понять, как начисляются проценты на кредиты и вклады.

Разработать анкету и провести анкетирование среди обучающихся основной школы №12, обработать результаты.

Объект исследования: задачи на проценты.

Предмет исследования: типы задач на проценты и способы их решения.

Гипотеза: опираясь на знания по математике, полученные в 5-6 классах по теме «Проценты», можно решить любую задачу на проценты из банка задач ОГЭ и ЕГЭ.

Методы исследования:

Изучить литературу по данной теме.

Решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.

Интервьюирование сотрудника и клиентов банка ПАО КБ «УБРиР» города Асбеста.

Анкетирование и обработка его результатов.

Теоретическая часть

1. Истрия возникновения процентов

Слово “процент” происходит от латинского “pro centum”, что буквально означает “за сотню” или “со ста”. Процентами очень удобно пользоваться на практике, так как они выражают части целых чисел в одних и тех же сотых долях. Это даёт возможность упрощать расчёты и легко сравнивать части между собой и целыми. Идея выражения частей целого постоянно в одних и тех же долях, вызванная практическими соображениями, родилась ещё в древности у вавилонян, которые пользовались шестидесятеричными дробями. Уже в клинописных табличках вавилонян содержатся задачи на расчет процентов. До нас дошли составленные ими таблицы, которые позволили быстро определять сумму процентных денег. Были известны проценты и в Индии. Индийские математики вычисляли проценты, применяя так называемое тройное правило, т.е. пользуясь пропорцией. Они умели производить более сложные вычисления с применением процентов[19, 3].

Денежные расчёты с процентами были особенно распространены в Древнем Риме. Они называли процентами деньги, которые платил должник заимодавцу за каждую сотню. Римский сенат даже должен был установить максимально допустимый процент, взимаемый с должника, так как некоторые заимодавцы усердствовали в получении процентных денег. От римлян проценты перешли к другим народам.

В средние века в Европе в связи с широким развитием торговли особенно много внимания обращали на умение вычислять проценты. В то время приходилось рассчитывать не только проценты, но и проценты с процентов, т.е. сложные проценты, как называют их в наше время. Отдельные конторы и предприятия для облегчения труда при вычислении процентов разрабатывали свои особые таблицы, которые составляли коммерческий секрет фирмы[5].

Впервые опубликовал таблицы для расчёта процентов в 1584 г. Симон Стевин – инженер из города Брюгге (Нидерланды). Стевин известен замечательным разнообразием научных открытий, в том числе – особой записи десятичных дробей.

Долгое время под процентами понимались исключительно прибыль или убыток на каждые сто рублей. Они применялись только в торговых и денежных сделках. Затем область их применения расширилась, проценты встречаются в хозяйственных и финансовых расчётах, статистике, науке и технике. Ныне процент – это частный вид десятичных дробей, сотая доля целого, принимаемого за единицу [8].

Знак “%” происходит, как полагают, от итальянского слова cento (сто), которое в процентных расчётах часто писалось сокращённо cto. Отсюда путём дальнейшего упрощения в скорописи буквы t в наклонную черту произошёл современный символ для обозначения процента. Существует и другая версия возникновения этого знака. Предполагается, что этот знак произошёл в результате нелепой опечатки, совершенной наборщиком. В 1685 году в Париже была опубликована книга – руководство по коммерческой арифметике, где по ошибке наборщик вместо cto напечатал %. После этой ошибки многие математики также стали употреблять знак % для обозначения процентов, и постепенно он получил всеобщее признание.

Иногда применяют и более мелкие доли целого – тысячные, т.е. десятые части процента. Их называют “промилле” (от латинского pro mille – “с тысячи”), обозначаемые ‰ по аналогии со знаком %. Изобретение математических знаков и символов значительно облегчило изучение математики и способствовало ее дальнейшему развитию.

Таким образом, появились проценты далеко в прошлом и в настоящее время понятие «процент» очень активно используется в банковской системе, в торговле (скидка на товар, различные акции в магазинах и пр.), экономике (налогообложении и пр.), статистике и др. Также понятие процент встречается на ОГЭ по математике.

2. Типы задач на проценты и способы их решения

В настоящие время задачи на проценты в заданиях ОГЭ встречаются под номерами 1-5 и 22, причём в одной задаче сочетаются сразу несколько типов задач на проценты. Также задачи на проценты встречаются в заданиях ЕГЭ базового и профильного уровней. Рассмотрим некоторые из них.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

Способ решения: что бы найти данное число процентов от числа, нужно проценты записать десятичной дробью, а затем число умножить на эту десятичную дробь.

Задача. За месяц на предприятии изготовили 500 приборов. 20% изготовленных приборов не смогли пройти контроль качества. Сколько приборов не прошло контроль качества?

Решение. Нужно найти 20% от общего количества изготовленных приборов. 20% = 0,2. 500 * 0,2 = 100. 100 из общего количества изготовленных приборов контроль не прошло.

Тип 2: Находим число по его проценту (дроби).

Способ решения: Что бы найти число от данного числа процентов, нужно количество процентов записать десятичной дробью, а затем умножить число равное количеству процентов на проценты, записанные десятичной дробью.

Задача. Готовясь к экзамену, школьник решил 38 задач из пособия для самоподготовки. Что составляет 23% числа всех задач в пособии. Сколько всего задач собрано в этом пособии для самоподготовки?

Решение. Мы не знаем, сколько всего задача в пособии. Но зато нам известно, что 38 задач составляют 23% от общего их количества. Запишем 23% в виде дроби: 0,23. Далее нам следует известную нам часть целого разделить на ту долю, которую она составляет от всего целого: 38/0,25 = 38 * 100/25 = 152. Именно 152 задачи включили в этот сборник.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

Способ решения: Число процент, которого нужно узнать, надо сначала разделить на второе число, затем умножить на сто.

Задача. В классе 30 учеников. 14 из них – девочки. Сколько процентов девочек в классе?

Решение. Чтобы узнать, какой процент составляет одно число от другого, нужно то число, процент которого требуется найти, разделить на общее количество и умножить на 100%. Значит, 14/30*100% = 7/15*100% = 7*100%/15 = 47%.

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

Способ решения: нужно к данному числу прибавить это же число делённое на сто и умноженное на количество процентов, на которое должно увеличиться число.

Задача. На прошлогоднем экзамене по математике 140 старшеклассников получили пятерки. В этом году число отличников выросло на 15%. Сколько человек получили пятерки за экзамен по математике в этом году?

Решение. Если некое число а увеличено на х%, то оно увеличилось в (1 + х /100) раз. Откуда а * (1 + х /100). Подставим в эту формулу данные нам по условию задачи цифры и получим ответ: 140 * (1 + 15/100) = 161.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

Способ решения: нужно из данного числа вычесть это же число, делённое на сто и умноженное на количество процентов, на которое должно уменьшиться число.

Задача. Год назад школу закончили 100 ребят. А в этом году выпускников на 25% меньше. Сколько выпускников в этом году?

Решение. Если число а уменьшено на х% и при этом 0 ≤ х ≤ 100, то число уменьшено в (1 – х/100) раз. И нужное нам число находим по формуле а * (1 – х/100). Подставляем цифры из условия задачи и получаем ответ: 100 * (1 – 25/100) = 75.

Тип 6: Задачи на простые проценты.

Способ решения: формула для расчета простых процентов:

A=P*(1+IT), где

T-количество периодов;

                         I-процентная ставка;

                         P-вкладываемая сумма;

                         A-получаемая сумма.

Задача. Родители взяли в банке кредит 5000 рублей сроком на год под 15% ежемесячно. Сколько денег они заплатят банку через год?

Решение. Простые проценты называются так, потому что они начисляются многократно, но всякий раз к исходной сумме. Если обозначить исходную сумму как а, сумму, которая наращивается, как S, процентную ставку как х% и количество периодов начисления процента как у, то формулу можно записать так: S = а * (1 + у * х/100). Теперь подставим сюда цифры из условия задачи и узнаем, сколько денег родители заплатят банку: 

S = 5000 · (1 + 12 · 0,15) = 14000.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

Способ решения: формула для начисления сложного процента:

S=A*(1+R)^T

A- СУММАВКЛАДА;

R- СТАВКА ПРОЦЕНТА;

T- КОЛИЧЕСТВО ПЕРИОДОВ;

S- ПОЛУЧАЕМАЯ СУММА.

Задача. На этот раз сумма кредита 25000 рублей, взятых под те же 15% сроком на 3 месяца. Снова надо узнать, сколько денег придется заплатить банку по истечении срока кредита.

Решение. Сложные проценты отличаются от простых тем, что процент много раз начисляется не к исходной сумме, а к сумме с уже начисленными раньше процентами. Пускай снова S – наращиваемая сумма, а – исходная, х% – процентная ставка, у – количество периодов начисления процента. В этом случае формула принимает вид: S = а * (1 + х/100)^у. Подставляем цифры из условия: S = 25000 * (1 + 15/100)³ = 38021,875 – искомая сумма.

Кстати, простые задачи на проценты можно очень легко решать с помощью пропорции. Этот метод наглядный и дает такой же результат, так что выбирать можно каждому тот способ решения, который кажется проще.

Таким образом, мною выделено семь типов задач на проценты, подробно описан способ их решения и также приведены конкретные примеры.

Практическая часть.

3. Решение задач на проценты из ОГЭ и ЕГЭ.

Мною в теоретической части проекта было выделено семь типов задач на проценты, теперь подробнее рассмотрим решение задач из ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней.

Тип 1: Находим процент (дробь) от числа.

Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.

Задание 3 № 26631

В городе N живет 200 000 жителей. Среди них 15% детей и подростков. Среди взрослых жителей 45% не работает (пенсионеры, студенты, домохозяйки и т. п.). Сколько взрослых жителей работает?

Решение: Численность детей в городе N составляет 200 000   0,15 – это  30 000. Численность взрослого населения 200 000 − 30 000 = 170 000 человек. Из них не работает 170 000*0,45 = 76 500 человек. Значит, работает 170 000 − 76 500 = 93 500 человек.

Ответ: 93 500.

Тип 2: Находим число по его проценту.

Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.

Задание 3 № 77340

В школе 124 ученика изучают французский язык, что составляет 25% от числа всех учеников. Сколько учеников учится в школе?

Решение: Разделим 124 на 0,25:

Значит, в школе учится 496 учеников.

Ответ: 496.

Тип 3: Находим процентное отношение двух чисел (часть от целого числа).

Задача из ОГЭ по математике.

Вариант №11

Задача№3 На сколько процентов сократилась посевная площадь после того, как земледелец устроил терассы. Ответ округлите до десятых.

Решение:

По теореме Пифагора найдём сторону AB

AB²=AC²+BC²=12²+35²=144+1225=1369

AB = 37

2. Найдём посевную площадь

S=40*37=1480 м²

3. Найдём посевную площадь после устройства терасс

S=35*40=1400

4. Составим пропорцию

1480-100%

1400-x%

X=(1400*100)/1480=94.6

5.100-94.6=5.4

Ответ: 5.4

Тип 4: Увеличиваем число на процент.

Задача из ЕГЭ по математике базового уровня.

Задание 3 № 26619

Шариковая ручка стоит 40 рублей. Какое наибольшее число таких ручек можно будет купить на 900 рублей после повышения цены на 10%?

Решение: После повышения цены ручка станет стоить 40 + 0,1·40 = 44 рубля. Разделим 900 на 44:

Значит, можно будет купить 20 ручек.

Ответ: 20.

Тип 5: Уменьшаем число на процент.

Задание из ОГЭ по математике.

Вариант №6. Задача №4. Доставка печи из магазина до участка стоит 500 рублей. При покупке печи ценой свыше 20000 рублей магазин делают 3% скидку на товар и 35% процентов скидку на доставку. Сколько будет стоить доставка печи «кентавр» вместе с доставкой на этих условиях?

Решение:

1. Найдём сколько составляет 3% от 25000.

25000*0,03=750 рубля

2. Вычисляем стоимость печи со скидкой 3%

25000-750=24250 рубля

3. Найдём сколько составляет 35% от 500.

500*0,35=175 рубля

4.Вычисляем стоимость доставки со скидкой 35%.

500-175=325 рубля

5. 24250+375=24575 рубля

Ответ: 24575

Тип 6: Задачи на простые проценты.

Задание из ОГЭ по математике.

Задание 5 № 367104

В таблице даны условия банковского вклада в трех различных банках. Предполагается, что клиент кладет на счет 10 000 рублей на срок 1 год. В каком банке к концу года вклад окажется наибольшим? В ответе укажите сумму этого вклада в рублях.

* В начале года или месяца со счета снимается указанная сумма в уплату за ведение счета
** В конце года вклад увеличивается на указанное количество процентов.

Решение.

Рассмотрим все варианты.

В банке A после снятия суммы в уплату за ведение счета на счету останется 10 000 − 40 = 9 960 руб. К концу года на счету окажется 9 960 + 0,02 · 9 960 = 10 159,2 руб.

В банке Б в качестве платы за ведение счета за год снимается со счета 12 · 8 = 96 руб. Таким образом, проценты начисляются на сумму 10 000 − 96 = 9 904 руб. К концу года на счету окажется 9 904 + 0,035 · 9 904 = 10 250,64 руб.

В банке В плата за ведение счета не взимается, таким образом, проценты будут начисляться на первоначальную сумму. К концу года на счету окажется 10 000 + 0,015 · 10 000 = 10 150 руб.

Ответ: 10 250,64.

Тип 7: Задачи на сложные проценты.

Задача из сборника: Математика. Профильный уровень 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко, М.:Экзамен, 2018

31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5460000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая – 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк х рублей. Какой должна быть сумма х, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

Решение:Sо=So*a=So(1+a)=5460000(1+0,2)=5460000*1,2, где So-сумма кредита, a-процентная ставка, x-определенная сумма ежегодного платежа.

Составляем уравнение

(((5460000*1,2-х)*1,2-х)*1,2-х)=0

((5460000*1,2²-2,2х)*1,2-х)=0

5460000*1,2³-3,64х=0

3,64х=5460000*1,2³

Х==2592000 рублей.

Ответ: 2592000 рублей-сумма ежегодного платежа.

Таким образом, мною было выделено семь типов задач на проценты, рассмотрены задачи с сайтов решу ОГЭ и решу ЕГЭ, сборников под ред. И.В.Ященко Математика: ОГЭ, ЕГЭ базовый и профильный уровень.

Опрос клиентов и сотрудника банка ПАО КБ «УБРиР»

города Асбеста

Для того, что бы узнать, как проценты влияют на банковские операции, мною проведено интервьюирование сотрудника банка ПАО КБ «УБРиР». Также, чтобы узнать владеют ли клиенты банка информацией об операциях с процентами, мною был проведён опрос среди клиентов данного банка. Для этого я разработал сценарий интервью, который представлен в Приложении 1.

В ходе интервью мы выяснили, что в банке предоставляются два вида

платежей по кредитам:

1. Аннуитетный платеж – представляет собой равные ежемесячные транши (платежи), растянутые на весь срок кредитования. В сумму транша включены: часть ссудной задолженности и начисленный процент. При этом, в первые месяцы (или годы) кредита большую часть транша составляют проценты, а меньшую – погашаемая часть основного долга. Ближе к концу кредитования пропорция меняется: большая часть транша идет на погашение «тела» кредита, меньшая – на проценты. При этом общий размер транша всегда остается одинаковым[6, 7].

2. Дифференцированный платеж – представляет собой неравные ежемесячные транши, пропорционально уменьшающиеся в течение срока кредитования. Наибольшие платежи – в первой четверти срока, наименьшие – в четвертой четверти. «Срединные» платежи обычно сравнимы с аннуитетом. Ежемесячно тело кредита уменьшается на равную долю, процент же насчитывается на остаток задолженности. Поэтому сумма транша меняется от выплаты к выплате. Если в задаче присутствуют слова «равными платежами» или «долг уменьшается на одну и ту же величину», то речь идет о дифференцированном платеже.

В ходе интервью сотрудник банка ПАО КБ «УБРиР» представил мне график погашения кредита дифференцированными платежами, который представлен ниже.

Для расчёта доли процентов в дифференцированных платежах использовалась следующая формула:

In – сумма, которая идёт на погашение процентов по кредиту в данный расчётный период;

Sn – остаток задолженности по кредиту;

p – годовая процентная ставка.

Действительно, рассчитаем долю процентов в дифференцированных платежах за первый платёж: .

Расчёт остатка ссудной задолженности:

Sn = 1 200 000 – 100 000 = 1 100 000 руб. 

Расчёт начисленных процентов:

I n = 1 100 000 * 13 % / 12 = 11 917 руб.

В процессе интервью сотрудник банка ПАО КБ «УБРиР» также предоставил информацию, как вычисляется доходность по вкладу. На сайте банка представлены виды вкладов (Приложение 2).

Используя полученные данные, получены следующие расчёты:

Параметры вклада следующие:

Сумма вклада – 200 000 руб.

Срок – 210 дней

Процентная ставка – 6 % годовых.

Для расчета размера дохода по вкладу используем формулу простых процентов.

Первоначальную сумму вклада нужно умножить на годовую процентную ставку и разделить на число дней в текущем году.

Таким образом я узнал, сколько процентов будет начисляться в день.

Затем полученную сумму необходимо умножить на срок вклада.

Например, вы размещаете на вклад 200 000 руб.

Находим, сколько процентов будет начислено в день:

200 000 * 6% / 365 = 32 ,88 руб.

Полученную сумму умножаем на срок вклада – 210 дней.

32,88 * 210 = 6905 руб.

Чтобы узнать, какую сумму выдаст банк при снятии вкладанеобходимо прибавить к ним первоначальную сумму вклада.

В нашем случае – 200 000 руб.

200 000 + 6905 = 206 905 руб.

Таким образом, в ходе интервью с сотрудниками и клиентами банка ПАО КБ «УБРиР» я получил подробную информацию о том, как вычисляются доходность по вкладу и задолженность по кредиту.

5. Анкетирование

Мною была разработана анкета для обучающихся шестых, седьмых и девятых классов:

1.Умеешь ли ты решать задачи на процент?

_____________________________________________________________

2.Решал ли ты задачи на процент на сайте Решу ОГЭ?

_____________________________________________________________

3.Где по-твоему могут встретиться проценты в жизни?

_____________________________________________________________

4.Планируешь ли ты в будущем взять кредит или оформить вклад?

_____________________________________________________________

5.Сможешь ли ты рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу?

Проанализировав результаты анкетирования, получил следующую информацию:

Опрошены обучающиеся шестого, седьмого, девятого классов основной школы № 12. Всего участвовало в анкетировании 72 человека. Результаты представлены ниже:

Для наглядности результатов изобразим результаты в виде диаграмм.

1. Умеешь ли ты решать задачи на проценты?

2. Решал ли ты задачи на проценты на сайте «Решу ОГЭ»?

4. Планируешь ли ты в будущем взять кредит или оформить вклад?

5. Сможешь ли ты рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу

Таким образом, можно сделать вывод, что большинство школьников умеют решать задачи на процент и смогут рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу. Задачи на процент лучше умеют решать ученики из 9 класса, так как скоро им предстоит сдавать ОГЭ, половина учеников седьмого класса начинает готовиться к ОГЭ, а в шестом классе задачи данного типа интересуют меньшие количество обучающихся.

Заключение

В современной жизни очень важно уметь правильно выполнять операции с процентами. Для того чтобы понять, как решаются задачи на проценты, а так же как рассчитать доходность по вкладу или переплату по кредиту, я решил исследовать эту тему.

Работая над проектом, я научился находить информацию, обрабатывать ее и выделять в ней главное. Выяснил, что появились проценты давно, и в настоящее время понятие «процент» очень активно используется в банковской системе, в торговле (скидка на товар, различные акции в магазинах и пр.), экономике (налогообложении и пр.), статистике и др. Также задачи на проценты встречается на ОГЭ и ЕГЭ базового и профильного уровней по математике.

Сегодня трудно найти экономически развитую страну, где отсутствуют кредитные продукты и вклады. В настоящее время существует различные виды кредитов и вкладов. В своей работе я подробно рассмотрел кредит с дифференцированным платежом, а также изучил расчет доходности по вкладу, используя метод простых процентов. В ходе работы выделил наиболее выгодный способ для погашения кредита – с помощью дифференцированного платежа.

Проведя анкетирование среди обучающихся шестых, седьмых, девятых классов основной школы № 12, я выяснил, что не все школьники умеют решать задачи на проценты и смогут рассчитать переплату по кредиту или доходность по вкладу. Задачи на проценты лучше умеют решать только ученики из 9 класса, так как скоро им предстоит сдавать ОГЭ, половина учеников седьмого класса начинает готовиться к ОГЭ, а в шестом классе задачи данного типа интересуют меньшее количество людей.

Я рассмотрел 7 прототипов задач из ЕГЭ базового и профильного уровня. Все задачи подробно разобраны и дается полное объяснение их решения. При разборе заданий я использовал знания по математике 5 и 6 класса. Но для меня пока сложными являются задания № 17 ЕГЭ по «Финансовой математике». Я уверен, что работа над проектом, полученные знания и умения пригодятся мне на ОГЭ и ЕГЭ по математике. Также я считаю, что эти знания и умения обязательно пригодятся мне в повседневной жизни. Думаю, что без труда смогу научить своих одноклассников решать задачи на проценты. Материал моего проекта будет полезен для обучающихся выпускных классов как пособие для подготовки к ОГЭ и ЕГЭ, к олимпиадам по экономике и математике.

Таким образом, можно сделать вывод, что поставленные задачи

решены и цель достигнута, гипотеза подтвердилась.

Свою будущую профессию я хочу связать с экономической специальностью. Работа над проектом для меня была интересной и увлекательной. И это еще раз подтвердило, что направление моей будущей профессиональной деятельности выбрано правильно.

Список литературы

1. Абчук В. «Занимательная экономика и бизнес», С-П: Тригон,1998.

2. Банковское дело. Справочное пособие. Под ред. Ю. А. Бабичевой- М.:

«Экономика», 1994.

3. Буслаев А.“Сложные проценты”. Газета “Математика” №30. 2002. стр.29

4. Вигман С.Л. Финансы,  кредит, деньги в вопросах и ответах: учеб. пособие.-

М: ТК Велби, Изд-во Проспект, 2010

5.Вигдорчик Е., Нежданова Т. Элементарная математика в экономике и

бизнесе.- М., 1997.

6. Демин Ю. Все о кредитах. Понятно и просто. – СПб.: Питер, 2007

7. Ершов Ю.С. «Финансовая математика в вопросах и ответах», Новосибирск:

Сибирское соглашение, 1999.

8. Кац М. “Проценты”. Газета “Математика” №20. 2004. стр.22; №22. 2004.

стр.29; №23. 2004. стр.28

9. Колягин Ю. М., Ткачёва М. В. и др. Алгебра 7 класс: учебник для общеобразовательных организаций- М.: Просвещение, 2018

10. Лаврушин О.И. Деньги, кредит, банки: Учебник. — М.: Финансы и

статистика, 2000

11. Липцис И.В. «Экономика без тайн», Москва, изд. «Вита» 2004г.

12. Математика. ЕГЭ Профильный уровень 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко,

М.:Экзамен, 2020

13. Математика. ЕГЭ Базовый уровень 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко,

М.:Экзамен, 2020

14. Математика. ОГЭ по математике 50 вариантов, под ред. И.В.Ященко,

М.:Экзамен, 2020

15. Процентные вычисления. 10-11кл.:Учеб.метод.пособие/Г.В.Дорофеев,

Е.А.Седова. – М.: Дрофа, 2003

16. Петрова И.Н.. Проценты на все случаи жизни. М.: «Просвещение», 2006.

17. Савицкая Е.В., Серегина С.Ф. Уроки экономики в школе. – М.: Вита-Пресс,1999.

18. Седова Е.А. Проценты в X классе общеобразовательного направления. //

журнал «Математика в школе».-1994-№4. 

19. Энциклопедия для детей. Т. 11. Математика/Глав. Ред. М.Д. Аксенова. М.: Аванта+, 2001.

20. Сайт решу ОГЭ математика [https://math-oge.sdamgia.ru/]

21. Сайт решу ЕГЭ математика базовый уровень[https://mathb-ege.sdamgia.ru/]

22. Сайт решу ЕГЭ математика профельный уровень[https://math-ege.sdamgia.ru/]

23. Сайт ПАО КБ «УБРиР» [https://www.ubrr.ru/]

Приложение 1

Сценарий интервьюирования сотрудника и

клиентов банка ПАО КБ «УБРиР».

Я на крыльце банка.

Очень часто люди обращаются в банк по разным причинам. В большинстве случаев, для оформления кредита или вклада. В основе данных банковских продуктов лежит начисление процентов. Правильно рассчитать стоимость кредита и доходность по вкладу помогут мне сотрудники Асбестовского офиса Уральского банка реконструкции и развития.

В юридическом отделе спрашиваю у клиента:

– Добрый день. Подскажите, пожалуйста, с какой целью вы посетили банк?

Клиент банка отвечает.

Я:

– На что вы обращаете внимание при выборе того или иного кредита?

Клиент банка отвечает.

В юридическом отделе спрашиваю старшего специалиста по кредитованию юридических лиц:

– Здравствуйте. Пожалуйста, объясните, что такое кредит?

Кредитный специалист отвечает.

Я:

– Клиенты при выборе кредитного продукта, особое внимание обращают на размер процентной ставки и способ начисления процентов. Расскажите, как начисляются проценты в вашем банке при кредитовании?

Кредитный специалист отвечает.

Я:

– Подскажите, возможно ли рассмотреть пример начисления процентов?

Кредитный специалист отвечает.

Я:

– На сайте вашего банка очень большой выбор кредитных продуктов. На мой взгляд, наиболее выгодные условия кредитования предлагаются по кредиту «Бизнес-привилегия». Давайте рассмотрим дифференцированные платежи по данному кредиту.

Специалист банка отвечает.

Я:

– Спасибо большое! Теперь я понял, как начисляются проценты на кредит. А этот график я приложу к своему проекту.

Я спрашиваю у клиента:

– Добрый день. Подскажите, пожалуйста, для чего вы посетили банк?

Клиент банка отвечает.

Я:

– Чем Вы будете руководствоваться, выбирая вклад?

Клиент банка отвечает.

Я подхожу к специалисту банка и спрашиваю:

– Здравствуйте, на сайте банка я познакомился с различными видами вкладов для физических лиц. Меня привлек вклад «Мобильный Он-Лайн». Не могли бы Вы рассказать, как начисляются проценты по этому вкладу? Например, я бы хотел оформить вклад на 200 000 рублей на срок 210 дней.

Специалист отвечает.

Я:

– Действительно, очень легко. Теперь я понял принцип начисления процентов по вкладам. А как узнать какую сумму выдаст банк при снятии вклада?

Специалист отвечает.

Я:

– Спасибо! Теперь я знаю, что такое доходность вклада.

Приложение 2

Просмотров работы: 3318