Как найти проекции точек на цилиндре

Проекции точек на поверхностях геометрических тел

Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.

Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.

Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки.

Рассмотрим проекции точки на геометрических телах. Проецирование точек на поверхности цилиндра  Последовательность проецирования точек Заданы фронтальные проекции а″ и b″ точек А и В, лежащие на боковой поверхности цилиндра. Проекция а″ находится на видимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана без скобок), b″ находится на невидимой части поверхности цилиндра (на плоскости V показана в скобках). 1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью. 2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).

Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта. 

Проецирование точек на поверхности призмы  Последовательность проецирования точек Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности шестигранной призмы. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы). 2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.

Проецирование точек на поверхности пирамиды

Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.

Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.

Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.

Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.

Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них. 

Способ I. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″. 2. Проводят вертикальную линию связи из проекции f″ до пересечения с основанием на плоскости H в точке f′. 3. Точку f′ соединяют с вершиной пирамиды s′. На нее проводят вертикальную линию связи из проекции а″ до пересечения в точке а′. 4. Проекции точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

Способ II. 1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″. 2. Опустив из точки 1″ вертикальную линию связи до пересечения с соответствующим ребром на плоскости H, получают горизонтальную проекцию точки 1′. 3. Для нахождения проекции 2′ проводят из точки 1′ вспомогательную прямую, параллельную основанию до пересечения с ребром. 4. Горизонтальную проекцию а′ определяют, опустив вертикальную линию связи из точки а″ до пересечения со вспомогательной прямой 1′2′. 5. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи.

На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?

Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами. Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А. В способе II через точку А проводят вспомогательную плоскость, которая пересечет конус по окружности, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

Дано: 
– цилиндр. i

П₁

А

Построить:
недостающие
проекции точки А.

1.Найдите
горизонтальную проекцию точки А₁.

Точка А
принадлежит боковой поверхности
цилиндра, которая проецируется на П₁
в окружность.

Из фронтальной
проекции точки А₂
проведите вертикальную линию связи до
пересечения с горизонтальной проекцией
цилиндра. Обозначьте горизонтальную
проекцию точки А₁

2. Найдите
профильную проекцию точки А₃.

Из фронтальной
проекции точки А₂
проведите горизонтальную линию связи.

На горизонтальной
плоскости проекций замерьте расстояние
от Х до А₁
( т.е. координату Y).

На профильной
плоскости проекций отложите координату
Y
от оси Z
вправо по линии связи и обозначьте
точку А₃.

А₂

А₃

А₁

7.6 Сфера

Сфера образуется
вращением окружности вокруг диаметра,
который одновременно является осью
вращения i
(рис.56).

образующая

i

О

Рис.56

7.7 Проекции сферы

Сфера проецируется
на плоскости проекций П₁,
П₂,
П₃
в виде окружностей одинакового диаметра.

1.Спроецируйте
фронтальный меридиан.

Фронтальный
меридиан проецируется на плоскость
П₂
в окружность, совпадающую с фронтальной
проекцией сферы, а на П₁
и П₃
в виде отрезков прямых, равных по длине
диаметру сферы.

2. Постройте
комплексный чертеж фронтального
меридиана «m».

3.Спроецируйте
экватор.

Экватор проецируется
на плоскость П₁
в окружность, совпадающую с горизонтальной
проекцией сферы, а на П₂
и П₃
в виде отрезков прямых, равных по длине
диаметру сферы.

4. Постройте
комплексный чертеж экватора «n».

5. Спроецируйте
профильный меридиан.

Профильный меридиан
проецируется на плоскость П₃
в окружность, совпадающую с профильной
проекцией сферы, а на П₁
и П₂
в виде отрезков прямых, равных по длине
диаметру сферы.

6. Постройте
комплексный чертеж профильного
меридиана «k».

7.8 Точка на поверхности сферы

Точка принадлежит
поверхности сферы, если она принадлежит
линии этой поверхности.

В качестве линии
берется параллель, проходящая через
данную точку. Радиус параллели R
замеряют от оси вращения до образующей
сферы (рис.57).

Рис.57

7.9 Построение проекций точки на поверхности сферы

R

1 Случай

Дано: 
– сфера

А


Построить
недостающие проекции точки А.

Точка А – опорная
точка, т.к. принадлежит очерку поверхности
сферы, поэтому для построения проекций
точки не требуется дополнительных
линий.

1. Через точку М
проведите параллель.

2.
Замерьте радиус параллели.

Фронтальная
проекция точки принадлежит фронтальному
меридиану.

Спроецируйте
точку А на горизонтальную и профильную
проекции фронтального меридиана (А₁,
А₃).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных систем автоматизированного проектирования.

Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами  которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)— многочлен n-ой степени и трансцендентные (F(x,y,z)— трансцендентная функция.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l₁,l₂… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону (Рисунок 7.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму — изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в виде одной линии или целого семейства линий (m, n, p…).

Подвижную линию принято называть образующей (l_i), неподвижные – направляющими (m). Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий конгруэнтных профилю резца.

Рисунок 7.1 — Кинематическая поверхность

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на развертывающиеся, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся.

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Такие поверхности носят название циклические (Рисунок 7.2).

 
Рисунок 7.2 — Циклическая поверхность

Если  группировать поверхности по закону движения образующей линии, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

• поверхности вращения;
• винтовые поверхности;
• поверхности с плоскостью параллелизма;
• поверхности параллельного переноса.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас.

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

Например, циклическая поверхность, каркас которой состоит из восьмиугольников (Рисунок 7.3), может быть задан следующим образом:

• Геометрическая часть определителя: три направляющих l, m, n.

• Алгоритмическая часть: выбираем плоскость α; находим точки А, В, С, в которых α пересекает соответственно направляющие l, m, n. Строим восьмиугольник, определяемый тремя найденными точками. Переходим к следующей плоскости и повторяем построение

Рисунок 7.3 –Образование циклической поверхности

7.2. Поверхности вращения

Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).

Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.

Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.

Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения

Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).

Наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом.

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра.

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным.

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра  и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π₁ сплошной зелёной  линией – на плоскости проекции π₂ видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π₃.

Пусть точка А на π₂ видима (Рисунок 7.7). Тогда на π₁ она будет видима, а на π₃ невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового цилиндра не требуется дополнительных построений. На горизонтальной плоскости проекций точки пересечения (1 и 2) находятся сразу. Фронтальные проекции строим по линиям связи.

Но в общем случае, алгоритм решения рассмотрим на следующем упражнении.

Рисунок 7.8 – Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Упражнение

Заданы: прямой круговой цилиндр с осью вращения, перпендикулярной плоскости проекций π₁ и прямая а общего положения (Рисунок 7.8).

Построить точки пересечения прямой а с поверхностью цилиндра.

Решение:

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

1. Заключить прямую во вспомогательную секущую плоскость частного положения σ (горизонтально-проецирующую).
2. Построить фигуру пересечения поверхности цилиндра горизонтально-проецирующей плоскостью: результат пересечения — четырехугольник (на π₂ условно заштрихован).
3. Найти точки «входа» и «выхода» прямой: на пересечении её фронтальной проекции с фронтальными проекциями сторон четырёхугольника (они же — проекции образующей цилиндра);

Прямая а пересекается со сторонами сечения в двух точках – 1 и 2.

Определим видимость участков прямой: очевидно, что между точками 1-2 прямая невидима, а на плоскости проекций π₂ будет ещё невидим участок прямой от точки 1 до левой крайней образующей.

7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра

Упражнение

Заданы: наклонный круговой цилиндр с осью вращения, наклонной к плоскости проекций π₁ и прямая mобщего положения (Рисунок 7.9).

Построить точки пересечения прямой mс поверхностью цилиндра.
Решение:

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

Рисунок 7.9 – Пересечение прямой с наклонным цилиндром

1. Заключить прямую m во вспомогательную плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру – четырехугольник (σ параллельна оси цилиндра или образующим). Эту плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми m∩(1M);
2. Построить горизонтальный след плоскости σ (прямую пересечения σ с плоскостью проекций π₁) как проходящую через горизонтальные следы прямых m и (1M) (точки пересечения прямых с плоскостью проекций π₁ (основания)) – (MN);
3. Найти точки пересечения MN с окружностью основания цилиндра. Через эти точки провести образующие r, по которым плоскость σ пересекает боковую поверхность цилиндра:

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с наклонным цилиндром.

7.6. Сферическая поверхность

Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.

Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.

Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).

Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.

Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.

Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности

Прямоугольная проекция шара (сферы) на любую плоскость – есть окружность, которую часто называют очерковой.

Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек

Упражнение

Заданы: сферическая поверхность тремя проекциями (Рисунок 7.11) и фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4.

Необходимо построить горизонтальные и профильные проекции заданных точек.

Решение.

• Проанализируем их расположение на поверхности сферы. Точки 1, 2, 3 лежат на очерковых образующих сферы.
• Точка 1 принадлежит главному меридиану (очерковой окружности на π₂), проекция которого на π₁ совпадает с проекцией горизонтальной оси, на π₃ – с проекцией вертикальной оси.
• Недостающие проекции точки 1 находим посредством линий проекционной связи. Все проекции точки 1 видимы.
• Рассмотрим положение точки 2. Точка 2 принадлежит экватору (очерковой окружности на π₁), проекции которого на π₂ и π₃ совпадают с проекцией горизонтальной оси. Горизонтальная проекция точки 2 строится посредством линии проекционной связи, для построения профильной проекции необходимо измерить расстояние, отмеченное дугой, и отложить его по линии связи от точки О₃ вправо. Профильная проекция точки 2 невидима.
• Точка 3 принадлежит очерковой окружности на π₃, которая также является меридианом, проекции которого на π₂ и π₁ совпадают с проекцией вертикальной оси. Профильная проекция точки строится посредством линии проекционной связи. Для построения горизонтальной проекции точки 3 необходимо расстояние, отмеченное на π₃ двумя засечками,  отложить на π₁ вверх от точки О₁. Горизонтальная и профильная проекции точки 3 видимы.
• Для построения проекций точки 4 необходимо ввести вспомогательную секущую плоскость (зададим плоскость σ//π₁ и σ⊥π₂). Плоскость σ пересекает поверхность сферы по окружности радиусом r. На π₁ строим данное сечение и по линии проекционной связи находим 4₁. Для построения профильной проекции необходимо расстояние, отмеченное засечкой, отложить по линии проекционной связи на π₃ вправо от оси. Все проекции точки 4 видимы.

7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы

Упражнение

Заданы: сфера и  прямая общего положения АВ.

Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).

Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность сферы так, чтобы получались простые фигуры (например, круг, ограниченный окружностью);
2. Построить фигуру пересечения сферы вспомогательной плоскостью;
3. Найти общие точки прямой и контура фигуры (окружность): так как прямая и окружность лежат в одной плоскости, то они, пересекаясь, образуют точки, общие для прямой и сферы, которые и будут являться искомыми точками (Рисунок 7.12).

Решение

• Через прямую проводим плоскость σ. Пусть σ⊥π₁ и пересекает сферу по окружности радиусом r. С – центр окружности сечения ОС⊥σ:

Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы

• Введём π₃⊥π₁ и π₃//σ₁. Построим проекцию окружности сечения на π₃ и проекцию А₃В₃.
• Находим точки их пересечения 1₂ и 2₃.
• Определим видимость участков прямой.
• На π₁ точки 1 и 2 находятся на переднем полушарии, следовательно, на π₂ они видимы.

7.8. Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).

Тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью вершиной и плоскостью, называется конусом.

Плоская фигура, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса.

Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса.

Если основание конуса является кругом, то конус называется круговым.

Если вершина конуса расположена на перпендикуляре к основанию, восстановленному из его центра, то конус называется прямым круговым.

Перемещая точку A» — можно изменять диаметр основания конуса;
перемещая точку O’ — можно менять положение точки на поверхности конуса.

Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности

Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.
Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).

1 способ. Для построения ортогональных проекций точки, расположенной на поверхности конуса,  построим проекции образующей, проходящей через данную точку. При таком положении точки А все её проекции – видимы.

2 способ. Точка А лежит на параллели конуса радиусом r. На π₁ строим проекцию окружности (параллели) и по линии проекционной связи находим А₁. По двум проекциям точки строим третью.

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

1. Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
2. Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое,  (σ=SM∩m).

1. Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
2. Построим горизонтальные проекции этих объектов.
3. Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

1. Построим её горизонтальную проекцию.
2. Соединим точки M₁N₁, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
3. Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
4. На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
5. Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

1. Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
2. Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
3. Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

1. Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
2. Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π₁ произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
3. Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π₃. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ₁ и откладываем его по соответствующей линии связи на π₃. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

7.11. Пересечение сферы плоскостью

Плоскость пересекает поверхность сферы всегда по окружности. Задачу пересечения плоскости со сферой мы рассматривали при решении задачи построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы (см. выше).

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π₂ (Рисунок 7.16).

Рисунок 7.16

1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π₂ (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π₂ и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π₁. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π₁ и π₃ совпадают с линиями проекционной связи.
3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π₁ строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

7.13. Задачи для самостоятельной работы

1. Достроить проекции сферы с заданным вырезом (Рисунок 7.20).

Рисунок 7.20
2-3. Построить три проекции конуса с призматическим отверстием (Рисунки 7.21, 7.22).

Рисунок 7.21

Рисунок 7.22
4. Построить точки «входа» и «выхода» прямой при пересечении её с поверхностью полусферы (Рисунок 7.23).

Рисунок 7.23

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

Содержание:

1. Формы геометрических тел
2. Проекции призм
3. Проекции пирамид
4. Проекции цилиндров
5. Проекции конусов
6. Проекции шара
7. Проекции кольца и тора
8. Комплексные чертежи группы геометрических тел и моделей

Формы деталей, встречающихся в технике, представляют собой сочетание различных геометрических тел или их частей.

Формы геометрических тел

Деталь любой формы можно представить как совокупность отдельных геометрических тел.

Для примера возьмем деталь (рис. 159. а) и проанализируем се форму. Мысленно разделив ее на отдельные элементы, получим следующие гео­метрические тела (рис. 159, б): 1 — усеченный прямой круговой конус с цилиндрическим отвер­стием, 2 — прямой круговой цилиндр, 3 — прямо­угольный параллелепипед, 4 — два прямоугольных параллелепипеда с цилиндрическими отверстия­ми, 5 — два полых полуцилиндра. Для выполне­ния комплексных чертежей необходимо усвоить методы проецирования отдельных геометрических тел, а также точек и линий, расположенных на поверхности этих тел.

Рис. 159

Геометрические тела, ограниченные плоскими многоугольниками, называются многогранниками (рис. 160, а). Эти многоугольники называются гранями, их пересечения — ребрами. Угол, образо­ванный гранями, сходящимися в одной точке — вершине, называется многогранным углом.

Тела вращения ограничены поверхностями, которые получаются в результате вращения ка­кой-либо линии вокруг неподвижной оси (рис. 160, б и в). Линия АВ, которая при своем движении образует поверхность, называется обра­зующей. Наиболее часто встречаются такие тела вращения, как цилиндр, конус, шар, тор.

Рис. 160

Проекции призм

Построение проекций правильной прямой шес­тиугольной призмы (рис. 161) начинается с выпо­лнения ее горизонтальной проекции — правильно­го шестиугольника. Из вершин этого шестиуголь­ника провопят вертикальные линии связи и строят фронтальную проекцию нижнего основания при­змы. Эта проекция изображается отрезком гори­зонтальной прямой. От этой прямой вверх откла­дывают высоту призмы и строят фронтальную проекцию верхнего основания. Затем вычерчива­ют фронтальные проекции ребер — отрезки верти­кальных прямых, равные высоте призмы. Фрон­тальные проекции передних и задних ребер совпа­дают. Горизонтальные проекции боковых граней изображаются в виде отрезков прямых. Передняя боковая грань 1243 изображается на плоскости V без искажения, а на плоскости W— в виде прямой линии. Фронтальные и профильные проекции остальных боковых граней изображаются с иска­жением.

На чертеже оси х, у и z не показывают, что делает чертеж более простым.

Рис. 161

Несколько сложнее построение проекций на­клонной призмы.

Рассмотрим порядок построения проекций на­клонной шестиугольной призмы.

1. Призма, основание которой лежит на плос­кости Н, наклонена к этой плоскости под утлом α (рис. 162, а). Ребра призмы параллельны плоскос­ти V, т.е. являются фронталями.

Вначале выполняется построение горизонталь­ной проекции основания призмы, которое проеци­руется на плоскость Н без искажения (правиль­ный шестиугольник). Фронтальная проекция осно­вания представляет собой отрезок прямой, парал­лельной оси х.

Из точек 1‘, 2′, 3’ фронтальной проекции основания проводят прямые проекции ребер под углом α к оси х и на них откладывают действи­тельную длину бокового ребра призмы.

Строят фронтальную проекцию верхнего осно­вания призмы в виде отрезка прямой, равного и параллельного фронтальной проекции нижнего основания.

Из точек 1, 2, 3, 4. 5. 6 горизонтальной проек­ции нижнего основания проводят прямые — про­екции ребер — параллельно оси х и на них с по­мощью вертикальных линий связи находят шесть точек — горизонтальные проекции вершин верхне­го основания призмы.

2. Прямая правильная шестиугольная призма наклонена под углом α к плоскости Н. Основание призмы наклонено к плоскости Н под углом β (рис. 162, б).

В этом случае необходимо вначале построить фронтальную проекцию основания. Эта проекция представляет собой отрезок, равный расстоянию между параллельными сторонами шестиугольника. Если этот отрезок разделить пополам и из его середины провести линию связи, то на ней будут расположены точки 2 и 5 — горизонтальные про­екции вершин основания призмы. Расстояние между точками 2, 5 равно действительному рас­стоянию между вершинами основания призмы. Так как горизонтальные проекции сторон 16 и 34 представляют собой их действительные длины, то, воспользовавшись этим обстоятельством, мож­но построить полностью горизонтальную проек­цию основания.

Дальнейший процесс построения, показанный на рис. 162, б, аналогичен приведенному на рис. 162, а.

Рис. 162

На комплексных чертежах предметов часто приходится строить проекции линий и точек, расположенных на поверхности этих тел, имея только одну проекцию линии или точки. Рассмотрим решение такой задачи.

Дан комплексный чертеж четырехугольной пря­мой призмы и фронтальная проекция а’ точки А.

Прежде всего надо отыскать на комплексном чертеже две проекции грани, на которой располо­жена точка А. На комплексном чертеже видно (рис. 163, а), что точка А лежит на грани призмы 1265. Фронтальная проекция а’ точки А лежит на фронтальной проекции 1‘2’6’5‘ грани призмы. Горизонтальная проекция 1562 этой грани — отре­зок 56. На этом отрезке и находится горизонталь­ная проекция а точки А. Профильную проекцию призмы и точки А строят, применяя линии связи.

По имеющемуся комплексному чертежу призмы можно выполнить ее изометрическую проекцию по координатам вершин. Для этого вначале строят нижнее основание призмы (рис. 163, б), а затем вертикальные ребра и верхнее основание (рис. 163, в).

По координатам т и п точки А, взятым с ком­плексного чертежа, можно построить аксономет­рическую проекцию этой точки.

Рис. 163

Проекции пирамид

Построение проекций треугольной пирамиды начинается с построения основания, горизонталь­ная проекция которого представляет собой тре­угольник без искажения (рис. 164, а). фронталь­ная проекция основания — отрезок горизонталь­ной прямой.

Из горизонтальной проекции точки s (верши­ны. пирамиды) проводят вертикальную линию связи, на которой от оси х откладывают высоту пирамиды и получают фронтальную проекцию s’ вершины. Соединяя точку s’ с точками 1‘, 2′ и 3′, получают фронтальные проекции ребер пира­миды.

Горизонтальные проекции ребер получают, соединяя горизонтальную проекцию точки s с горизонтальными проекциями точек 1, 2 и 3.

Пусть, например, дана фронтальная проекция а’ точки А, расположенной на грани пирамиды 1s2, и требуется найти другую проекцию этой точки. Для решения этой задачи проведем через а’ произвольную вспомогательную прямую и продолжим ее до пересечения с фронтальными проекциями 1’s’ и 2’s’ ребер в точках п’ и т‘. Затем проведем из точек п’ и т‘ линии связи до пересечения с горизонтальными проекциями 1s и 2s этих ребер в точках п и т. Соединив п с т, получим горизонтальную проекцию вспомогательной прямой, на которой с помощью линии связи найдем искомую горизонтальную проекцию а точки А Профильную проекцию этой точки нахо­дят по линиям связи.

Другой способ решения задачи на построение проекции точки по заданной ее проекции показан на рис. 164, б. Дана четырехугольная правильная пирамида. Через заданную фронтальную проек­цию а’ точки А проводят вспомогательную пря­мую, проходящую через вершину пирамиды и расположенную на ее грани. Горизонтальную проекцию ns вспомогательной прямой находят с помощью линии связи. Искомая горизонтальная проекция а точки А находится на пересечении линии связи, проведенной из точки а’, с горизон­тальной проекцией ns вспомогательной прямой.

Фронтальная диметрическая проекция рассмат­риваемой пирамиды выполняется следующим образом (рис. 164, в).

Вначале строят основание, для чего по оси х откладывают длину диагонали 13, а по оси у — половину длины диагонали 24. Из точки О пере­сечения диагоналей проводят ось z и на ней от­кладывают высоту пирамиды. Вершину S соединя­ют с вершинами основания прямыми линиями — ребрами.

Фронтальную диметрическую проекцию точки А, расположенной на грани пирамиды, строят по координатам, которые берут с комплексного чер­тежа. От качала координат О по оси х отклады­вают координату x_А, из се конца параллельно оси у — половину координаты y_А и из конца этой ко­ординаты параллельно оси z — третью координату z_А. Построение точки В, расположенной на ребре пирамиды, более простое. От точки О по оси х от­кладывают координату x_B и из конца ее проводят прямую, параллельную оси z, до пересечения с ребром пирамиды в точке В.

Рис. 164

Проекции цилиндров

Боковая поверхность прямого кругового цилин­дра получается вращением отрезка АВ образую­щей вокруг оси, параллельной этому отрезку. На рис. 165, а представлена изометрическая проекция цилиндра.

Построение горизонтальной и фронтальной проекций цилиндра показано на рис. 165, б и в.

Построение начинают с изображения основания цилиндра, т.е. двух проекций окружности (рис. 165, б). Так как окружность расположена на плоскости Н, то она проецируется на эту плос­кость без искажения. Фронтальная проекция ок­ружности представляет собой отрезок горизон­тальной прямой линии, равный диаметру окруж­ности основания.

После построения основания на фронтальной проекции проводят две очерковые (крайние) обра­зующие и на них откладывают высоту цилиндра. Проводят отрезок горизонтальной прямой, кото­рый является фронтальной проекцией верхнего основания цилиндра (рис. 165, в).

Рис. 165

Определение недостающих проекции точек А и В, расположенных на поверхности цилиндра, по заданным фронтальным проекциям в данном слу­чае затруднений нс вызывает, так как вся горизонтальная проекция боковой поверхности цилиндра представляет собой окружность (рис. 166. а). Следовательно, горизонтальные проекции точек А и В можно найти, проводя из данных точек а’ и b‘ вертикальные линии связи до их пересечения с окружностью в искомых точ­ках а и Ь.

Профильные проекции точек А и В строят так­же с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи.

Изометрическую проекцию цилиндра вычерчи­вают, как показано на рис. 166, б.

В изометрии точки A и В строят по координа­там. Например, для построения точки В от начала координат О по оси х откладывают координату x_B = n, а затем через ее конец проводят прямую, параллельную оси у, до пересечения с контуром основания в точке 1. Из этой точки параллельно оси x проводят прямую, на которой откладывают координату x_B = h₁ точки В.

Рис. 166

Проекции конусов

Нагляднее изображение прямого кругового ко­нуса показано на рис. 167, а. Боковая поверхность конуса получена вращением отрезка BS вокруг оси, пересекающей отрезок в точке S. Последова­тельность построения двух проекций конуса пока­зана на рис. 167, б и в. Сначала строят две проекции основания. Горизонтальная проекция основа­ния — окружность. Фронтальной проекцией будет отрезок горизонтальной прямой, равный диаметру этой окружности (рис. 167, б). На фронтальной проекции из середины основания восставляют перпендикуляр и на нем откладывают высоту конуса (рис. 167, в). Полученную фронтальную проекцию вершины конуса соединяют прямыми с концами фронтальной проекции основания и по­лучают фронтальную проекцию конуса.

Рис. 167

Если на поверхности конуса задана одна проек­ция точки А (например, фронтальная проекция на рис. 168, а). то две другие проекции этой точки определяют с помощью вспомогательных линий — образующей, расположенной на поверхности ко­нуса и проведенной через точку А, или окружнос­ти, расположенной в плоскости, параллельной основанию конуса.

В первом случае (рис 168. а) проводят фрон­тальную проекцию s’a‘f ’ вспомогательной обра­зующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки f, расположенной на фрон­тальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию sf этой образующей, на которой с помощью линии связи, проходящей через а’, находят искомую точку а.

Во втором случае (рис. 168. б) вспомогательной линией, проходящей через точку А, будет окруж­ность. расположенная на конической поверхности и параллельная плоскости Н. Фронтальная проек­ция этой окружности изображается в виде отрезка Ь’с’ горизонтальной прямой, величина которого равна диаметру вспомогательной окружности. Искомая горизонтальная проекция а точки А на­ходится на пересечении линии связи, опущенной из точки а’, с горизонтальной проекцией вспомо­гательной окружности.

Если заданная фронтальная проекция Ь’ точки В расположена на контурной (очерко­вой) образующей SK, то горизонтальная проекция точки находится без вспомогательных линий (рис. 168. б).

В изометрической проекции точку А, находя­щуюся на поверхности конуса, строят по трем координатам (рис. 168, в): x_А = n, y_А = m, z_А = h. Эти координаты последовательно откладывают по направлениям, параллельным изометрическим осям. В рассматриваемом примере от точки О по оси х отложена координата x_А = n; из конца ее параллельно оси у проведена прямая, на которой отложена координата y_А = m; из конца отрезка, равного т, параллельно оси z проведена прямая, на которой отложена координата z_А = h. В резуль­тате построений получим искомую точку А.

Рис. 168

Проекции шара

На рис. 169, а изображена половина шара, сферическая поверхность этого шара образована вращением четверти окружности АВ вокруг ради­уса АО.

Проекции этой фигуры приведены на рис. 169, б. Горизонтальная проекция — окруж­ность радиуса, равного радиусу сферы, а фрон­тальная — полуокружность того же радиуса.

Если точка А расположена на сферической поверхности (рис. 169, в), то вспомогательная линия Ь’с’, проведенная через эту точку параллельно горизонтальной плоскости проекций, прое­цируется на горизонтальную плоскость проекций окружностью. На горизонтальной проекции вспо­могательной окружности находят с помощью ли­нии связи искомую горизонтальную проекцию а точки А.

Величина диаметра вспомогательной окружнос­ти равна фронтальной проекции Ь’с’.

Рис. 169

Проекции кольца и тора

Поверхность кругового кольца (рис. 170, а) образована вращением образующей окружности ABCD вокруг оси ОО₁.

Тор — поверхность, образованная вращением части дуги окружности, являющейся образующей, вокруг оси ОО₁, расположенной в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр.

Рис. 170

На рис. 171, а и б приведены два вида тора. В первом случае образующая дуга окружности радиуса R отстоит от оси вращения на расстоянии меньше радиуса R, а во втором случае — больше.

В обоих случаях фронтальные проекции тора представляют собой действительный вид двух образующих дуг окружности радиуса R, располо­женных симметрично относительно фронтальной проекции оси вращения. Профильными проекция­ми тора будут окружности.

Круговое кольцо (или открытый тор) имеет горизонтальную проекцию в виде двух концентри­ческих окружностей, разность радиусов которых равна толщине кольца или диаметру образующей окружности (рис. 170, б). Фронтальная проекция ограничивается справа и слева дугами полуокруж­ностей диаметра образующей окружности.

Рис. 171

В случае, когда точка А лежит на поверхности кругового кольца и дана одна се проекция, для нахождения второй проекции этой точки приме­няется вспомогательная окружность, проходящая через данную точку А и расположенная на повер­хности кольца в плоскости, перпендикулярной оси кольца (рис. 172).

Если задана фронтальная проекция а’ точки А, лежащей на поверхности кольца, то для нахожде­ния ее второй проекции (в данном случае — про­фильной) через а’ проводят фронтальную проек­цию вспомогательной окружности — отрезок вер­тикальной прямой линии b‘c‘. Затем строят про­фильную проекцию b“с” этой окружности и на ней, применяя линию связи, находят точку а“.

Если задана профильная проекция а” точки D, расположенной на поверхности этого кольца, то для нахождения фронтальной проекции точки D через d“ проводят профильную проекцию вспомо­гательной окружности радиуса O“d“. Затем через верхнюю и нижнюю точки е” f” этой окружности проводят горизонтальные линии связи до пересечения с фронтальными проекциями образующей окружности радиуса r и получают точки e‘ и f‘. Эти точки соединяют вертикальной прямой, кото­рая представляет собой фронтальную проекцию вспомогательной окружности (она будет невиди­ма). Проводя горизонтальную линию связи из точки d“ до пересечения с прямой e‘f ‘, получаем искомую точку d‘.

Такие же приемы построения применимы и для точек, находящихся на поверхности тора.

Рис. 172

Комплексные чертежи группы геометрических тел и моделей

Для развития пространственного воображения полезно выполнять комплексные чертежи группы геометрических тел и несложных моделей с натуры.

Наглядное изображение группы геометрических тел показано на рис. 173, а. Построение комплек­сного чертежа этой группы геометрических тел следует начинать с горизонтальной проекции, так как основания цилиндра, конуса и шестигранной пирамиды проецируются на горизонтальную плос­кость проекции без искажений. С помощью вертикальных линий связи строят фронтальную проек­цию. Профильную проекцию строят с помощью вертикальных и горизонтальных линий связи (рис. 173, б).

Рис. 173

Чтобы перейти к более сложным моделям, не­обходимо усвоить построение простых комплек­сных чертежей. Проекции моделей следует распо­лагать таким образом, чтобы фронтальная проек­ция давала наиболее полное представление о фор­ме и размерах модели (рис. 174).

Рис. 174

Примеры и образцы решения задач:

• Решение задач по инженерной графике
• Решение задач по начертательной геометрии

Услуги по выполнению чертежей:

1. Заказать чертежи
2. Помощь с чертежами
3. Заказать чертеж в компасе
4. Заказать чертеж в автокаде
5. Заказать чертежи по инженерной графике
6. Заказать чертежи по начертательной геометрии
7. Заказать черчение

Учебные лекции:

1. Инженерная графика
2. Начертательная геометрия
3. Оформление чертежей
4. Чертеж общего вида и сборочный чертеж
5. Техническое рисование
6. Машиностроительные чертежи
7. Геометрические построения
8. Деление окружности на равные части
9. Сопряжение линий
10. Коробовые кривые линии
11. Построение уклона и конусности
12. Лекальные кривые
13. Параллельность и перпендикулярность
14. Методы преобразования ортогональных проекций
15. Поверхности
16. Способы проецирования
17. Метрические задачи
18. Способы преобразования чертежа
19. Кривые линии
20. Кривые поверхности
21. Трёхгранник Френе
22. Проецирование многогранников
23. Проецирование тел вращения
24. Развёртывание поверхностей
25. Проекционное черчение
26. Проецирование
27. Проецирование точки
28. Проецирование отрезка прямой линии
29. Проецирование плоских фигур
30. Способы преобразования проекций
31. Аксонометрическое проецирование
32. Сечение геометрических тел плоскостями и развертки их поверхностей
33. Взаимное пересечение поверхностей тел
34. Сечение полых моделей
35. Разрезы
36. Требования к чертежам деталей
37. Допуски и посадки
38. Шероховатость поверхностей и обозначение покрытий
39. Разъемные и неразъемные соединения деталей
40. Передачи и их элементы