Нахождение проекций точек на поверхности конуса
Для нахождения недостающих проекций точек на поверхности конуса могут применяться следующие линии, принадлежащие поверхности конуса: окружность — параллель конуса (рис. 2.7, а), прямая — образующая конуса (рис. 2.7, б). Рассмотрим оба способа.
Пример 2.1. На поверхности конуса заданы проекции А2 и В, (см. рис. 2.7). Найдите недостающие проекции точек Ли В на поверхности конуса.
Рис. 2.7. Нахождение проекций точек на поверхности конуса
Способ 1. На рис. 2.7, а точка А задана проекцией А. Для нахождения недостающих проекций точки А воспользуемся вышеизложенным алгоритмом.
- 1. Через заданную проекцию точки Аг проводим линию, принадлежащую поверхности конуса — параллель.
- 2. Строим проекции параллели на других изображениях конуса. Па виде сверху она представляет собой окружность радиусом Rvна виде слева — отрезок.
- 3. На проекциях линии находим соответствующие проекции точек.
- 4. На пересечении окружности радиусом Л., с вертикальной линией связи, опущенной из А2, отмечаем проекцию Л,.
- 5. На виде сверху измеряем координату от проекции А, до горизонтальной оси и откладываем ее на проведенной линии связи на виде слева — получаем проекцию Л3.
- 6. Отмечаем проекцию А.л как невидимую. Проекция А., задана как видимая, следовательно, точка лежит в той части конической поверхности, которая обращена к наблюдателю (на виде сверху это часть, расположенная ниже горизонтальной оси). Таким образом, на виде слева ее проекция не видна.
Способ 2. Па рис. 2.7, 6 точка В задана проекцией В,. Построение недостающих проекций аналогично построению проекций точки А, за исключением того, что вместо окружности используется образующая конуса, пересекающая его основание в точке 1.
Коническая поверхность вращения
Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криво-линейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.
Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.
Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность Конус с двумя параллельными основаниями, т.е. конус со срезанной вершиной, называют усеченным.
Построение проекций прямого кругового конуса
На рис. 4.71 показан пример построения проекций прямою кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения , заданной высотой
и основанием радиусом
.
Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:
1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса, которая представляет собой окружность заданного радиуса с вершиной
, совпадающей с осью вращения
.
2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса:
- Круг радиуса
является невидимой проекцией основания конуса.
- Круг радиуса
с вершиной конуса
является видимой проекцией боковой поверхности конуса.
- Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса
и
которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.
3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник заданной высоты
, ограниченный:
4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:
- ‘Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.
- Выбрать положение базовой оси
(б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью
вращения на профильной проекции конуса.
- Профильная проекция конуса представляет собой треугольник
ограниченный:
слева и справа очерковыми образующими и
построенными по координате
:
вершиной , лежащей на базовой оси
; горизонтальным отрезком проекцией основания;
профильными проекциями характерных образующих и
, которые совпадают с осью вращения конуса
.
. Запомните характерные признаки очерков прямого круговою конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника.
. Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса окружность основания и две равнобокие трапеции.
Построение проекции точек, лежащих на поверхности конуса
Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.
На рис. 4.71 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и
, заданных фронтальными проекциям
и
но их принадлежности круговым параллелям.
Посфоение горизонтальных проекций заданных точек:
горизонтальные проекции точек и
построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.
Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекции точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки , по их при надежности круговым параллелям:
Графический алгоритм I:
1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели через заданную фронтальную проекцию точки
: проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.
2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели полученным радиусом
.
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки на горизонтальной проекции параллели
Повторить действия графического алгоритма 1 и построить аналогично горизонтальные проекции и
точек
и
.
Построение профильных проекций заданных точек. Точки и
построены по принадлежности характерным образующим:
точка лежит на видимой характерной образующей
, совпадающей с осью конуса;
На рис. 4.72 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки по ее принадлежности образующей
.
- Построение горизонтальной проекции точки по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:
1-е действие. Провести через вершину конуса и заданную невидимую фронтальную проекцию точки
вспомогательную образующую
2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей проходящей через вершину конуса
и вспомогательную точку
, лежащую на основании конуса.
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки по ее принадлежности образующей
.
- Построение профильной проекции невидимой точки
выполняется по принадлежности образующей
, построенной но координате
.
На рис. 4.72 показано построение фронтальной и профильной проекции точки по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:
1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом окружность вспомогательной параллели
или вспомогательную образующую
, на которых лежит горизонтальная проекция точки
.
2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели или вспомогательной образующей
:
параллель провести через вспомогательную точку
на образующей
параллельно основанию конуса;
образующую провести через вспомогательную точку
на основании конуса и вершину конуса
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки по ее принадлежности либо параллели
, либо образующей
.
Конические сечения
Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся):
1-й случаи. Гели секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим (фронтально-проецирующая плоскость
, рис. 4.73).
2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность но окружности (горизонтальная плоскость рис. 4.73).
3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей
, рис.4.74).
4-и случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость параллельна двум образующим —
и
, рис.4.75).
5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе, не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ), рис 4.76).
Рассмотрим построение на проекциях конуса линии пересечения для всех пяти случаев сечений.
1-й и 2-й случаи. На рис. 4.73 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью , проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью
, расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).
Плоскость пересекает поверхность конуса по образующим
, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки
лежащей на основании конуса.
Плоскость пересекает поверхность конуса по окружности радиуса ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.
Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.
3-й случай. На рис. 4.74 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , расположенной параллельно одной образующей конуса
.
Плоскость пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена)
Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:
- проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате
).
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
4-й случай. На рис. 4.75 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью , расположенной параллельно двум образующим конуса
и
.
Плоскость пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1. 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
На рис 4 75 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости под углом
к оси конуса. При
плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.
5-й ыучай. На рис. 4.76 показано построение проекции конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью пересекающей все образующие конуса под углом
к оси, отличным от прямого.
Плоскость пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и про-межуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Почки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции но координате
(алгоритм I).
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
. Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.
Построении проекции прямого конуса со срезами плоскостями частного положения
На рис. 4.77 показан пример построения проекций прямого круговою конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью
.
Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.
1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания и высоте
фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью
и профильной плоскостью
;
2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выпол-иить графический анализ сечений:
1. Фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей конуса
и пересекает его поверхность по участку параболы
, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения
плоскостей срезов
и
.
- Профильная плоскость
параллельна двум образующим конуса
и
и пересекает его поверхность по участку гиперболы
, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов
и
и плоскости
с основанием конуса (4-4).
3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:
1. Плоскость среза определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы
построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:
- Плоскость среза
определяет вертикальный видимый отрезок
вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки
которой лежат на очерковой окружности основания конуса.
. Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).
4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура:
- Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок
.
- Внутренний контур определяет видимый участок параболы
.
5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, пост-роив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:
1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы , построенный по профильным проекциям обозначенных точек:
- Плоскость среза
определяют видимые участки гиперболы
, ограниченные видимым отрезком
(построен) и видимым отрезком
. точки которого построены но координате
.
6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.
- Профильный очерк определяют:
- Внутренний контур определяют:
7-е действие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).
Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Образовательный сайт для студентов и школьников
Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.
© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института
Сечение поверхности конуса плоскостью общего положения
При пересечении прямого кругового конуса с плоскостью могут образовываться следующие кривые второго порядка: окружность, эллипс, гипербола и парабола. Вид этих кривых зависит от угла наклона секущей плоскости к оси конической поверхности.
Ниже мы рассмотрим задачу, в которой требуется построить проекции и натуральную величину сечения конуса ω плоскостью α . Начальные данные представлены на рисунке ниже.
Определение высшей и низшей точки сечения. Границы видимости
Построение линии пересечения следует начинать с нахождения её характерных точек. Они определяют границы сечения и его видимость по отношению к наблюдателю.
Через ось конической поверхности проведем вспомогательную плоскость γ, параллельную П2. Она пересекает конус ω по двум образующим, а плоскость α по фронтали fγ. Точки 1 и 2 пересечения fγ с образующими являются граничными точками. Они делят сечение на видимую и невидимую части.
Определим высшую и низшую точки линии пересечения. Для этого через ось конуса перпендикулярно h0α введем дополнительную секущую плоскость β. Она пересекает коническую поверхность по образующим SL и SK, а плоскость α по прямой MN. Искомые точки 3 = SL ∩ MN и 4 = SK ∩ MN определяют большую ось эллипса. Его центр находится в точке O, которая делит отрезок 3–4 пополам.
Определение промежуточных точек и построение проекций эллипса
Чтобы построить проекции сечения наиболее точно, найдем ряд дополнительных точек. В случае с эллипсом целесообразно определить величину его малого диаметра. Для этого через центр O проводим вспомогательную горизонтальную плоскость δ. Она пересекает коническую поверхность по окружности диаметром AB, а плоскость α – по горизонтали hδ. Строим горизонтальные проекции окружности и прямой hδ. Их пересечение определяет точки 5′ и 6′ малого диаметра эллипса.
Для построения промежуточных точек 7 и 8 вводим вспомогательную горизонтальную плоскость ε. Проекции 7′ и 8′ определяются аналогично 5′ и 6′, как это показано на рисунке.
Соединив найденные точки плавной кривой, мы получили контур эллиптического сечения. На рисунке он обозначен красным цветом. Фронтальная проекция контура меняет свою видимость в точках 1 и 2, как это было отмечено выше.
Построение натуральной величины сечения методом совмещения
Чтобы найти натуральную величину сечения, повернем плоскость α до совмещения её с горизонтальной плоскостью. В качестве оси вращения будем использовать след h0α. Его положение в процессе преобразований останется неизменным.
Построение начинается с определения направления фронтального следа f1α. На прямой f0α возьмем произвольную точку E и определим её проекцию E’. Из E’ опустим перпендикуляр к h0α. Пересечение данного перпендикуляра с окружностью радиусом XαE» определяет положение точки E’1. Через Xα и E’1 проводим f1α.
Строим проекцию горизонтали h’1δ ∥ h0α, как это показано на рисунке. Точки O’1 и 5′1, 6′1 лежат на пересечении h’1δ с прямыми, проведенными перпендикулярно h0α из O’ и 5′, 6′. Аналогично на горизонтали h’1ε находим 7′1 и 8′1.
Строим проекции фронталей f’1γ ∥ f1α, f’3 ∥ f1α и f’4 ∥ f1α. Точки 1′1, 2′1, 3′1 и 4′1 лежат на пересечении этих фронталей с перпендикулярами, восстановленными к h0α из 1′, 2′, 3′ и 4′ соответственно.
Коническая поверхность вращения
Прямой круговой конус
Коническая поверхность вращения — это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криво-линейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.
Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.
Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность Конус с двумя параллельными основаниями, т.е. конус со срезанной вершиной, называют усеченным.
Построение проекций прямого кругового конуса
На рис. 4.71 показан пример построения проекций прямою кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения , заданной высотой
и основанием радиусом
.
Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:
1-е действие. По заданному условию построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса, которая представляет собой окружность заданного радиуса с вершиной
, совпадающей с осью вращения
.
2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса:
- Круг радиуса
является невидимой проекцией основания конуса.
- Круг радиуса
с вершиной конуса
является видимой проекцией боковой поверхности конуса.
- Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса
и
которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.
3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник заданной высоты
, ограниченный:
4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:
- ‘Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.
- Выбрать положение базовой оси
(б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью
вращения на профильной проекции конуса.
- Профильная проекция конуса представляет собой треугольник
ограниченный:
слева и справа очерковыми образующими и
построенными по координате
:
вершиной , лежащей на базовой оси
; горизонтальным отрезком проекцией основания;
профильными проекциями характерных образующих и
, которые совпадают с осью вращения конуса
.
!!! Запомните характерные признаки очерков прямого круговою конуса на чертеже — окружность основания и два треугольника.
!!! Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса окружность основания и две равнобокие трапеции.
Построение проекции точек, лежащих на поверхности конуса
Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.
На рис. 4.71 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек и
, заданных фронтальными проекциям
и
но их принадлежности круговым параллелям.
Посфоение горизонтальных проекций заданных точек:
горизонтальные проекции точек и
построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.
Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекции точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки , по их при надежности круговым параллелям:
Графический алгоритм I:
1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели через заданную фронтальную проекцию точки
: проекция параллели — это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.
2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели полученным радиусом
.
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки на горизонтальной проекции параллели
Повторить действия графического алгоритма 1 и построить аналогично горизонтальные проекции и
точек
и
.
Построение профильных проекций заданных точек. Точки и
построены по принадлежности характерным образующим:
точка лежит на видимой характерной образующей
, совпадающей с осью конуса;
На рис. 4.72 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки по ее принадлежности образующей
.
- Построение горизонтальной проекции точки
по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:
1-е действие. Провести через вершину конуса и заданную невидимую фронтальную проекцию точки
вспомогательную образующую
2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей проходящей через вершину конуса
и вспомогательную точку
, лежащую на основании конуса.
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки по ее принадлежности образующей
.
- Построение профильной проекции невидимой точки
выполняется по принадлежности образующей
, построенной но координате
.
На рис. 4.72 показано построение фронтальной и профильной проекции точки по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:
1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом окружность вспомогательной параллели
или вспомогательную образующую
, на которых лежит горизонтальная проекция точки
.
2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели или вспомогательной образующей
:
параллель провести через вспомогательную точку
на образующей
параллельно основанию конуса;
образующую провести через вспомогательную точку
на основании конуса и вершину конуса
3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки по ее принадлежности либо параллели
, либо образующей
.
Конические сечения
Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся):
1-й случаи. Гели секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим (фронтально-проецирующая плоскость
, рис. 4.73).
2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность но окружности (горизонтальная плоскость рис. 4.73).
3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей
, рис.4.74).
4-и случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость параллельна двум образующим —
и
, рис.4.75).
5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе, не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ), рис 4.76).
Рассмотрим построение на проекциях конуса линии пересечения для всех пяти случаев сечений.
1-й и 2-й случаи. На рис. 4.73 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью , проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью
, расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).
Плоскость пересекает поверхность конуса по образующим
, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки
лежащей на основании конуса.
Плоскость пересекает поверхность конуса по окружности радиуса ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.
Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.
3-й случай. На рис. 4.74 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью , расположенной параллельно одной образующей конуса
.
Плоскость пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена)
Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:
- проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции — по координате
).
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
4-й случай. На рис. 4.75 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью , расположенной параллельно двум образующим конуса
и
.
Плоскость пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1. 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
На рис 4 75 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости под углом
к оси конуса. При
плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.
5-й ыучай. На рис. 4.76 показано построение проекции конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью пересекающей все образующие конуса под углом
к оси, отличным от прямого.
Плоскость пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и про-межуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Почки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции но координате
(алгоритм I).
Оформление очерков проекций видно из чертежа.
!!! Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.
Построении проекции прямого конуса со срезами плоскостями частного положения
На рис. 4.77 показан пример построения проекций прямого круговою конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью и профильной плоскостью
.
Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.
1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания и высоте
фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью
и профильной плоскостью
;
2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выпол-иить графический анализ сечений:
1. Фронтально-проецирующая плоскость параллельна одной образующей конуса
и пересекает его поверхность по участку параболы
, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения
плоскостей срезов
и
.
- Профильная плоскость
параллельна двум образующим конуса
и
и пересекает его поверхность по участку гиперболы
, которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов
и
и плоскости
с основанием конуса (4-4).
3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:
1. Плоскость среза определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы
построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:
- Плоскость среза
определяет вертикальный видимый отрезок
вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки
которой лежат на очерковой окружности основания конуса.
!!! Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).
4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура:
- Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок
.
- Внутренний контур определяет видимый участок параболы
.
5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, пост-роив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:
1. Плоскость среза а определяет видимый участок параболы , построенный по профильным проекциям обозначенных точек:
- Плоскость среза
определяют видимые участки гиперболы
, ограниченные видимым отрезком
(построен) и видимым отрезком
. точки которого построены но координате
.
6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.
- Профильный очерк определяют:
- Внутренний контур определяют:
7-е действие. Оформить чертеж конуса, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).
Эта теория взята со страницы задач по начертательной геометрии:
- Решение задач по начертательной геометрии
Возможно эти страницы вам будут полезны:
Точка, принадлежащая поверхности
Точка принадлежит поверхности, если
она принадлежит линиям, составляющим
каркас поверхности, а также любым линиям
принадлежащим поверхности.
Рассмотрим построение проекций точек,
принадлежащих поверхности конуса
(рис.2), когда одна проекция точки задана.
Проекция А2 принадлежит очерковой
образующей, следовательно проекция А1
строится переносом по линии связи. На
фронтальной проекции основания конуса
расположена проекция точки В2,
горизонтальных проекций можно построить
две, на передней и задней стороне конуса,
поэтому рассматриваем конкурирующие
точки В и В`.
На фронтальной проекции конуса
зададим проекцию точки D2
и D2`.
Для того чтобы построить вторые
горизонтальные проекции точек необходимо
использовать вспомогательные линии:
параллель или образующие. Воспользуемся
параллелью, для построения горизонтальной
проекции параллели, радиус
отмеряется всегда от оси вращения
до очерковой образующей. Для
построения фронтальной проекции точки
С использована образующая, которую
провели через заданную проекцию.
Положение образующей на основании
отмечено крестиком.
Рисунок 2. Построение точек, принадлежащих
поверхности конуса.
Пересечение
поверхности плоскостью.
Конические сечения.
В зависимости от положения плоскости
по отношению к плоскостям проекций,
сложность решения задачи, по определению
линии пересечения ее с поверхностью
существенно меняется. Наиболее простым
представляется случай, когда плоскость
проецирующая. Рассмотрим решение задачи
по определению линии пересечения конуса
фронтально – проецирующей плоскостью
(рис.3). На фронтальной плоскости проекций
линия пересечения определена, требуется
построить ее вторую горизонтальную
проекцию.
Линия пересечения плоскости с поверхностью
имеет форму кривой, для ее построения
определим основные и вспомогательные
точки. Основные точки :
– верх и низ кривой;
– принадлежащие очерковым образующим;
– принадлежащие основанию, экватору.
Вспомогательные точки служат для
уточнения формы кривой, их следует
располагать приблизительно на равном
расстоянии между основными.
Рисунок 3.Построение линии пересечения
конуса
с фронтально-проецирующей плоскостью.
Точки 1 и 4 являются основными точками,
их горизонтальные проекции строятся
без вспомогательных построений по
принципу принадлежности. Точки 2 и 3 –
вспомогательные, для их построения
использованы параллели. После того как
будут построены горизонтальные проекции
точек соединим их плавной симметричной
относительно горизонтальной оси конуса
линией, которая по форме является
параболой.
Рассмотрим сечение конуса
горизонтально-проецирующей плоскостью
(рис.4). На горизонтальной плоскости
проекций линия пересечения определена,
чтобы построить вторую проекцию этой
линии пересечения, обозначим основные
(1, 4 и 6) и вспомогательные точки ( 3, 2).
Точки 6 и 1 принадлежат основанию конуса
их вторые проекции построить легко.
Точка 5 принадлежит очерковой образующей
и является границей видимости кривой
на фронтальной проекции, ее построение
не представляет трудности. Вершина
кривой это точка ( 4), которая находится
ближе всего к вершине конуса (в предыдущей
задачи она определялась на фронтальной
проекции), то есть на перпендикуляре,
опущенном из вершины конуса. Точки 3 и
2 являются вспомогательными. Для
построения точек 4, 3 и 2 воспользуемся
параллелями. Чтобы построить фронтальные
проекции параллелей обозначим их
пересечение с очерковой образующей
крестиками и перенесем их на фронтальную
проекцию образующей. После того как
будут построены все проекции точек,
соединим их плавной линией, при этом
участок 6-5 будет невидимым, поэтому его
следует провести пунктирной линией.
Полученная кривая имеет форму гиперболы.
Рисунок 4. Построение линии пересечения
конуса
с горизонтально-проецирующей плоскостью
В зависимости от положения секущей
плоскости линиями сечения конической
поверхности могут быть (рис.5): эллипс,
парабола, гипербола, окружность и
треугольник.
Если плоскость Ф пересекает все
образующие поверхности конуса вращения,
т.е. если φ>α, то
линией сечения является эллипс
(рис.5). В этом случае секущая плоскость
не параллельна ни одной из образующих
поверхности конуса.
В случае, когда плоскость перпендикулярна
оси вращения конуса, в сечении получается
окружность.
Если плоскость Ф параллельна
одной образующей поверхности конуса,
т.е. φ=α, то линией
пересечения является парабола
(рис.5). В случае, когда плоскость
проходит через вершину конуса, линия
пересечения совпадает с образующими.
В сечении получается треугольник.
Если секущая плоскость параллельна
оси вращения, в сечении – гипербола.
Рисунок 5. Конические сечения.
Проекции точек на поверхностях геометрических тел
Вы уже знаете, как построить проекции предмета или объекта. Часто при изготовлении изделий необходимо по заданным проекциям определить геометрическую форму предметов и их частей. Предмет можно рассматривать как комбинацию различных геометрических элементов: вершин, ребер, граней и т. д.
Укажите количество вершин, ребер и граней изображенного предмета.
Для точного построения изображений ряда деталей необходимо уметь находить проекции отдельных точек. Чтобы построить проекции точки, принадлежащей поверхности геометрического тела, необходимо понять, на какой поверхности или на каком элементе поверхности (ребре, вершине, грани) находится эта точка. Представив любую деталь как совокупность геометрических тел, можно легко найти проекцию точки. |
|
Рассмотрим проекции точки на геометрических телах. Проецирование точек на поверхности цилиндра Последовательность проецирования точек 1. Находят горизонтальные проекции точек а′ и b′. Так как горизонтальная проекция боковой проекции цилиндра отображается в виде круга, то проекции точек а′ и b′ будут находиться на нем. Для их нахождения проводят вертикальные линии связи из проекций точек а″ и b″ до пересечения с окружностью. 2. Проекции точек а′″ и b′″ находят на пересечении линий проекционной связи. |
Направление взгляда на плоскости проекций H, W помогает определить видимость проекций точек на горизонтальной и профильной плоскости проекций. Например, проекции а′ и b′ на плоскости H видны. Проекция а′″ на плоскости W не видна (показана в скобках), проекция b′″ видна (показана без скобок).
Определите, какая из горизонтальных проекций на рисунке является проекцией наглядного изображения головки винта.
Проецирование точек на поверхности призмы Последовательность проецирования точек 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′. Для ее нахождения проводят вертикальную линию связи из проекции точки а″ до пересечения с шестиугольником (горизонтальная проекция призмы). 2. Проекцию точки а′″ находят на пересечении линий проекционной связи. |
Опишите последовательность проецирования точки, находящейся на ребре призмы. Выполните это построение.
Проецирование точек на поверхности пирамиды
Построение проекции точки, лежащей на ребре
Если точка находится на ребре предмета, то сначала необходимо выполнить проекцию ребра, а затем при помощи линий проекционной связи найти проекции точки, лежащей на ребре.
Как вы считаете, можно ли таким способом спроецировать точку, находящуюся не на ребре, а на грани четырехгранной пирамиды? Свои предположения проверьте на практике.
Общий метод определения точки, лежащей на поверхности геометрического тела, заключается в следующем: через точку на поверхности проводят вспомогательную прямую, проекции которой легко определяются на данной поверхности.
Построение проекции точки, лежащей на грани
Задана фронтальная проекция а″ точки А, лежащая на боковой поверхности четырехгранной пирамиды.
Проекции точек можно определить несколькими способами. Рассмотрим каждый из них.
Способ I. 1. Находят горизонтальную проекцию точки а′: вспомогательной прямой соединяют заданную проекцию точки а″ с проекцией вершины пирамиды s″ и продлевают ее до пересечения с основанием в точке f″. |
|
Способ II. 1. Через проекцию а″ точки А проводят вспомогательную прямую и получают точки пересечения с ребрами пирамиды 1″ и 2″. |
На ваш взгляд, изменится ли положение проекции точки, если вспомогательную прямую провести не параллельно, а наклонно к горизонтальной плоскости?
Проецирование точек на поверхности конуса. На поверхности конуса проекции точек можно также определить двумя способами. Способ I заключается в определении проекций точки с помощью вспомогательной линии — образующей, расположенной на поверхности конуса и проведенной через точку А. |
Здравствуйте! Мы продолжаем учиться создавать ассоциативный чертеж по 3d модели и находить недостающие проекции точек на нем. Сегодня мы построим чертежи цилиндра и конуса.
Создание ассоциативных чертежей цилиндра и конуса
Процесс создания ассоциативных чертежей цилиндра и конуса, такой же как и призмы, и пирамиды. Поэтому детали я опущу, подробнее о построении можете прочитать здесь — Как создать ассоциативный чертеж по 3d модели и найти проекции точек на пирамиде и призме?
Хочу только отметить следующее. Вы уже успели заметить, что созданные виды на чертеже, находятся в проекционной связи, т. е. перемещать их можно только вдоль границ главного вида. И только, начав перемещение главного вида, можно сдвинуть вверх или вниз и остальные.
комплексный (ассоциативный) чертеж цилиндра
Для того чтобы получить возможность перемещать каждый вид по отдельности нужно отменить проекционную связь. Для этого нажимаем левой кнопкой мыши по габаритному прямоугольнику вида (при этом, он подсветится зеленым), затем правой кнопкой вызываем контекстное меню и снимаем выделение с команды «Проекционная связь».
Находим недостающие проекции точек на комплексных чертежах цилиндра и конуса
Ассоциативные чертежи в «Инженерной графике» называют комплексными.
Как найти недостающие проекции точек на комплексном чертеже цилиндра?
находим недостающие проекции точки m цилиндре
Построение недостающих проекций точек на цилиндре аналогично нахождению их на призме. Принцип тот же, только вместо граней, здесь окружность. Для нашего цилиндра недостающие проекции точек К и М находятся, как показано на рисунке при помощи вертикальных и горизонтальных линий связи.
Подробнее о процессе построения смотрите на уроке как найти проекции точек на пирамиде и призме
Как найти недостающие проекции точек на комплексном чертеже конуса?
находим проекции точек на конусе
Необходимо построить недостающие проекции точек К и М на комплексном чертеже конуса.
Точка М задана фронтальной проекцией m’, точка К – горизонтальной проекцией k.
построения при нахождении горизонтальной проекции точки
Построим горизонтальную проекцию m. Для этого:
- через точку m’ и вершину конуса s проводим вспомогательную прямую до пересечения ее с основанием в точке a.
- Затем через полученную точку а проводим вертикальную линию связи до пересечения с окружностью основания конуса в точке b.
- Через полученную точку b и вершину конуса s проводим прямую.
- Опускаем вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с прямой bs.
- Горизонтальная проекция m найдена.
Профильная проекция m’’ находится обычным образом по линиям связи.
Фронтальная проекция (k’) находится таким же, вышеописанным образом. Вот рисунок
строим фронтальную проекцию точки k
Профильную проекцию (k’’) находим по линиям связи.
Окончательно комплексные чертежи цилиндра и конуса выглядят так.
готовый комплексный чертеж конуса
готовый комплексный чертеж цилиндра
Для лучшего понимания материала рекомендую посмотреть видеоурок.
Скачать чертежи бесплатно можно здесь
Надеюсь урок “Строим ассоциативные чертежи цилиндра и конуса, находим на них недостающие проекции точек” был вам полезен.
The following two tabs change content below.
- Bio
- Latest Posts
Рада приветствовать Вас в своем блоге! Я создала его с целью помочь всем желающим освоить программу Компас 3d. Мы пройдем весь путь от азов черчения до создания серьезных сборок. Присоединяйтесь!
Вы можете пропустить чтение записи и оставить комментарий. Размещение ссылок запрещено.