Как найти проекции вектора на координатные оси

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

1. Эти векторы коллинеарны.
2. Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

1. Они сонаправлены;
2. Их длины равны (рис. 5).

Постройте геометрическую проекцию $overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Решение.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A’$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B’$ (рис. 7).

Полученный на оси $l$ вектор $overline{A’B’}$ и будет искомой геометрической проекцией.

Найти числовую проекцию вектора $overline{F} на сонаправленную ему ось $x$, если угол между ними равняется $α$ (рис. 8). (рис. 8).

Решение.

Введем на рисунке следующие обозначения:

Видим, что длина вектора геометрической проекции, равняется длине $XY$. Из определения косинуса получим, что

$XY=|overline{F}|cosα$

где $|overline{F}|$ – длина вектора $overline{F}$. Это и будет искомая алгебраическая проекция на ось.

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

• Путь и перемещение
• Равномерное прямолинейное движение
• Прямолинейное неравномерное движение 
• Прямолинейное равноускоренное движение
• Колебательное движение
• Физический и математический маятники
• Пружинные и математические маятники
• Скалярные и векторные величины и действия над ними

Замечание. На плоскости (в двумерном пространстве) можно также задать прямоугольную систему координат Oxy. С помощью введенной системы координат любую точку или ее радиус-вектор можно представить парой чисел (x, y). Все соотношения, полученные нами ранее для координат векторов и точек трехмерного пространства, будут справедливы и на плоскости с той лишь разницей, что из них нужно всюду убрать третью координату z. Аналогичные рассуждения можно повторить и для произвольной прямой (одномерного пространства).

Определение 9.1. Осью называется прямая с лежащим на ней единичным вектором (ортом), задающим положительное направление на прямой.

На рисунке ось будем изображать в виде направленной прямой. Пусть в пространстве задана ось l и точка А, не принадлежащая оси.

Определение 9.2. Основание перпендикуляра, опущенного из точки А на пря-

мую l, точка A‘ называется проекцией (ортогональной проекцией) точки на ось.

В случае, если точка А принадлежит оси l, то проекция точки на ось совпадает с самой точкой А.

Пусть задан некоторый вектор a AB . Находя проекции начала и конца вектора a на ось l, получим вектор a‘ A‘ B‘ , где A‘, B‘ — соответственно проекции точек А, В на ось l.

Определение 9.3. Проекцией вектора a на ось l будем называть положительное число, равное a‘ , если вектор a‘ и ось l направлены одинаково (см. рис. 12) и отрица-

тельное число a‘ , если вектор a‘ и ось l направлены противоположно (см. рис. 13).

Следствие 9.1. Проекция вектора на ось есть число положительное, если уголмежду вектором и осью острый, и отрицательное, если угол тупой. Если уголпрямой, то проекция вектора на ось равна нулю.

Следствие 9.2. Проекции равных векторов на одну и ту же ось равны между

собой.

Свойства проекций векторов на ось

Таким образом, линейные операции над векторами сводятся к соответствующим линейным операциям над проекциями этих векторов.

Замечание. Все рассуждения, приведенные выше, будут также справедливы, если вместо оси l рассматривать произвольный ненулевой вектор. Проекцию (ортого-

нальную проекцию) вектора a на вектор b (на направление вектора b ) будем обо-

значать прb a .

Теорема 9.2. Декартовы прямоугольные координаты a1 , a2 , a3 вектора a рав-

ны соответственно проекциям этого вектора на оси Ox, Oy и Oz.

Можно дать еще одно определение координат вектора.

Определение 9.4. Координатами вектора a в прямоугольной декартовой системе координат Oxyz называются проекции этого вектора на соответствующие координатные оси.

Рассмотрим задачу о нахождении длины вектора по его координатам.

Задача. Пусть дан вектор a , который относительно прямоугольного декар-

тового базиса {i, j, k} имеет координаты: a {a1 , a2 , a3}. Найдем длину вектора a .

Решение. Найдем проекции вектора a OA на координатные оси и обозначим их OA1,OA2 иOA3 . Согласно теореме 9.2, OA1 a1 , OA2 a2 , OA3 a3 . Построим пря-

моугольный параллелепипед так, что его три измерения равны OA1,OA2 иOA3 . Вектор

a в построенном параллелепипеде совпадает с диагональю (см. рис. 9). Так как квадрат диагонали в прямоугольном параллелепипеде равен сумме квадратов его сторон, то

Таким образом, длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат этого вектора.

Замечание. Длина вектора AB , где A(x1 , y1 , z1 ) , B(x2 , y2 , z2 ) , согласно формулам (8.2), (9.2), находится по формуле

Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Для вектора

v→

 геометрическая проекция на оси (t) — это вектор

vt→

.

Для вектора

n→

 геометрическая проекция на оси (y) — это вектор

ny→

.

Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.

Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).

at=3bt=−5ct=0dt=0