Как найти проекцию диагонали параллелепипеда на плоскости

Объект изучения

Прежде чем рассматривать формулу диагонали параллелепипеда, следует изучить подробно, что собой представляет эта фигура. Речь идет о призме, для которой характерны следующие особенности:

• основание представляет собой прямоугольник или квадрат;
• она является прямой, то есть длина любого ее бокового ребра совпадает с высотой.

Как и любой объект в пространстве, параллелепипед состоит из набора элементов. К ним относятся:

1. 8 вершин (точки, в которых пересекаются 3 ребра).
2. 12 ребер (8 из них принадлежат двум основаниям и 4 являются боковыми).
3. 6 граней (2 из них называются основаниями, остальные 4 образуют боковую поверхность). Все грани — прямоугольники. Если они являются квадратами, получается частный случай прямоугольного параллелепипеда — куб.

Фигуру можно получить, если взять плоский четырехугольник с прямыми углами и переместить его вдоль направленного отрезка, который перпендикулярен его плоскости. Длина вектора будет высотой, а исходный прямоугольник — основанием.

С прямоугольным параллелепипедом удобно работать, поскольку его форма идеально соответствует декартовой системе координат. По этой причине существует множество формул, применяя которые можно рассчитать любую геометрическую характеристику объекта.

Теорема Пифагора

Теорема справедлива для любого треугольника с прямым углом. Данные исторических архивов свидетельствуют, что греческий философ Пифагор впервые доказал, что при складывании квадратов катетов всегда получается квадрат гипотенузы, то есть стороны, которая лежит против прямого угла.

Теорема Пифагора — полезный геометрический инструмент при расчетах параметров не только треугольников, но и прямоугольников. Если 2 противоположные (несмежные) вершины четырехугольника соединить, получится отрезок, который называется диагональю. Она делит фигуру ровно на 2 половинки, каждая представляет собой треугольник с углом 90 градусов, если исходный четырехугольник является прямоугольным.

Исходя из геометрических построений можно понять, что прямоугольник имеет 2 одинаковые диагонали. Если предположить, что стороны фигуры равны a и b, диагональ c легко рассчитывается по теореме Пифагора: c = (a ² + b ² )^0,5.

В случае квадрата получается еще более простая формула: c = a*(2)^0,5.

Диагональ параллелепипеда

Особое внимание этому элементу фигуры принято уделять по причине того, что он часто используется для вычисления объема и площади поверхности, совместно с двумя другими линейными параметрами. Прямоугольный параллелепипед определяется тремя линейными характеристиками.

Геометрический элемент

Чтобы построить диагональ параллелепипеда, необходимо рассмотреть его произвольную вершину. Она соединена ребрами с тремя другими. Еще 3 можно соединить с помощью диагоналей граней. В итоге остается лишь одна вершина, которая с исходной соединяется отрезком, проходящим через весь объем фигуры. Этот отрезок называется диагональю параллелепипеда.

Из этих рассуждений несложно понять, сколько диагоналей у параллелепипеда — 4. Их особым свойством является равенство длин. Оно следует из факта симметричности фигуры.

Вывод формулы

Для определения длины диагонали параллелепипеда следует ввести некоторые обозначения. Все вершины одного основания будут A, B, C, D, а их аналоги — A1, B1, C1, D1.

Пусть следует найти диагональ AC1. Дополнительными обозначениями сторон, которые облегчат процедуру вывода формулы, будут:

• a — сторона AB;
• b — сторона AD;
• h — высота параллелепипеда, равна длине сторон AA1, BB1, CC1 и DD1.

Сначала необходимо рассмотреть треугольник ABC, который лежит в плоскости одного из оснований. В нем угол B является прямым, а сторона AC — гипотенуза. Если применить теорему Пифагора, получится следующий результат для длины AC: AC = (a ² + b ² )^0,5.

Теперь следует обратить внимание на фигуру, которая ограничена вершинами A, C и C1. Это прямоугольный треугольник, в котором стороны AC и CC1 являются катетами, а диагональ AC1 — гипотенуза. Используя введенные обозначения и снова применяя теорему греческого философа: AC1 = (AC ² + CC1 ² )^0,5 = (a ² + b ² + h ² )^0,5.

Полученное выражение является искомой формулой для диагонали. Равенство позволяет сделать умозаключение: какие бы стороны ни образовывали фигуру, и какой бы формы она ни была, ее объемная диагональ всегда больше, чем любая из диагоналей грани. Они станут равны только в случае вырождения параллелепипеда в прямоугольник на плоскости (h = 0).

Случай куба

Все рассуждения касательно вывода формулы диагонали параллелепипеда остаются верными для куба. Поскольку фигура обладает высокой симметрией в пространстве, для однозначного определения всех ее параметров необходимо знать лишь одну-единственную сторону квадрата. Пусть это будет a. Общая формула для длины диагонали имеет вид: AC1 = (a ² + b ² + h ² )^0,5.

Если подставить сюда вместо b и h длину стороны a, получается следующее простое равенство: AC1 = a*(3)^0,5.

В кубе его объемная диагональ приблизительно в 1,225 раза больше, чем аналогичный отрезок для грани.

Объем и площадь поверхности

Полученная формула для диагонали не является исключительно теоретической. Ее можно применять для расчета важных для практики величин, например, объема фигуры и площади ее поверхности.

Объем V и площадь поверхности S вычисляются по таким формулам:

• V = a*b*h;
• S = 2*(a*b + a*h + b*h).

V и S однозначно определяются, если знать 3 линейных параметра фигуры. Одним из них может являться длина объемной диагонали, которая зависит от тех же величин, что V и S.

При решении задач, в которых необходимо найти какой-либо объемный параметр или характеристику площади через известные диагонали, потребуется выполнять вычисления с квадратными и кубическими уравнениями.

Косоугольная фигура

Параллелепипед бывает не только прямоугольным, но и наклонным или косоугольным. Основной его отличительной чертой является, что боковое ребро наклонено к плоскости прямоугольного основания под некоторым углом, который отличается от 90 градусов. В таком случае высота фигуры оказывается меньше длины этого ребра.

Наклонный параллелепипед также имеет 4 диагонали в объеме, однако они не всегда имеют одинаковую длину. В этом случае не существует какой-либо конкретной формулы для расчета длины. Для решения подобных сложных задач можно воспользоваться двумя методами:

1. Если известны двугранные углы, определяющие наклоны боковых граней по отношению к основаниям, можно воспользоваться знаниями тригонометрии для вычисления диагоналей. Метод является достаточно сложным, поскольку требует знания других теорем.
2. Если известны координаты вершин параллелепипеда в прямоугольной декартовой системе координат, можно воспользоваться достаточно простым методом вычисления длин отрезков. Для этого следует найти разности соответствующих координат выбранных вершин, возвести каждую из разностей в квадрат, взять сумму полученных трех слагаемых и возвести ее в степень ½. Это обычный метод нахождения длины отрезка по координатам его концов.

Пример решения задачи

Пусть дан прямоугольный параллелепипед, основаниями которого являются прямоугольники ABCD и A1B1C1D1. Известны следующие его параметры:

• диагональ грани бокового четырехугольника AD1 = 5 см;
• высота AA1 = 4 см;
• объем V = 64 см.

Необходимо найти объемную диагональ этой фигуры.

Пусть AB = a, AD = b, AA1 = h. Для решения задачи сначала необходимо выписать известные равенства, выраженные через параметры a, b, h:

• V = a*b*h = 64;
• AD1 ² = a ² + h ² = 5 ² = 25.

Из выражения для AD1 и h = 4 см получается значение a = 3 см. При подстановке его в формулу для V, получается значение стороны b = 5,33 см.

Теперь остается подставить значения a, b, h и рассчитать по формуле значение AC1. Получается число: AC1 = (a ² + b ² + h ² )^0,5 = (3 ² + 5,33 ² + 4 ² )^0,5 = 7,31 см.

Таким образом, все диагонали прямоугольного параллелепипеда равны между собой. Для определения их длины необходимо сложить квадраты длин всех сторон объемной фигуры и взять квадратный корень от полученной суммы.

Длины трёх рёбер, имеющих общую вершину, называются измерениями прямоугольного параллелепипеда.

Как найти длину диагонали прямоугольного параллелепипеда ? По какой формуле найти диагональ параллелепипеда ? Диагональ прямоугольного параллелепипеда – это отрезок, соединяющий его противоположные вершины . Итак, у нас есть прямоугольный параллелепипед с диагональю d и со сторонами a, b, c . Одно из свойств параллелепипеда гласит, что квадрат длины диагонали d равен сумме квадратов трёх его измерений a, b, c. Отсюда вывод, что длина диагонали может быть легко рассчитана по следующей формуле : Также : Как найти высоту параллелепипеда? модератор выбрал этот ответ лучшим Nonse­nse [63.5K] 7 лет назад  Прямоугольным параллелепипедом (ПП) является ни что иное, как призма, основанием у которой прямоугольник. У ПП все диагонали равны, значит любая его диагональ рассчитывается по формуле: где а, в — стороны основания ПП; с — его высота. Можно дать и другое определение, рассматривая декартову прямоугольную систему координат: Диагональ ПП это радиус-вектор любой точки пространства, заданной координатами x, y и z в декартовой системе координат. Этот радиус вектор к точке проводится из начала координат. А координатами точки будут проекции радиус-вектора (диагонали ПП) на координатные оси. Проекции совпадают с вершинами данного параллелепипеда. Zolot­ynka [551K] 8 лет назад  Если у прямоугольного параллелепипеда известны длина, высота и ширина (a,b,c) то формула для расчета диагонали будет выглядеть таким образом: Обычно учителя не предлагают своим ученикам “голую” формулу, а прилагают усилия, чтобы те могли самостоятельно ее вывести, задавая наводящие вопросы: что нужно узнать, какими данными мы располагаем? какие свойства имеет прямоугольный параллелепипед? применима ли здесь Теорема Пифагора? Как? достаточное ли данных для применения теоремы Пифагора, или нужны еще какие-то расчеты? Обычно после ответа на поставленные вопросы, ученики без труда самостоятельно выводят данную формулу. Лолоч­ка611 [15.4K] 8 лет назад  Прямоугольный параллелепипед это один из так званных многогранников, который состоит из 6 граней, каждая из которых является прямоугольником. А диагональ – это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Если длину, ширину и высоту прямоугольного параллелепипеда принять за a, b, c соответственно, то формула его диагонали ( D ) будет выглядеть следующим образом: D^2=a^2+b^2+c^2. дольф­аника [379K] 8 лет назад  Нашлась в интернете неплохая схема-таблица с полным перечислением всего, что есть в параллепипеде. Есть формула, чтобы найти диагональ, которая обозначается d. Есть изображение грани, вершины и других важных для параллепипеде вещей. Багир­а999 [4.8K] 8 лет назад  Прямоугольный параллелепипед – это разновидность многогранника, состоящая из 6 граней, в основании которого — прямоугольник. Диагональ – это отрезок, который соединяет противоположные вершины параллелограмма. Формула нахождения длины диагонали – квадрат диагонали равен сумме квадратов трех измерений параллелограмма. Koluc­hiy [12.3K] 8 лет назад  Диагонали прямоугольного параллелепипеда равны. Также как и диагонали его противоположных граней. Длину диагонали можно вычислить, зная длину рёбер параллелограмма, исходящих из одной вершины. Эта длина равна корню квадратному из суммы квадратов длин его рёбер. ДРЕСС­ИРОВЩ­ИК [56.5K] 9 лет назад  Квадрат диагонали, квадратного параллилепипеда (смотрите свойства квадратного параллепипеда) равна сумме квадратов трёх его разных сторон (ширине, высоте, толщине), а соответственно диагонали квадратного параллепипеда равна корню из этой суммы. haler­on [8.8K] 8 лет назад  Насколько мне известно еще со школьной программы, класс 9 если не ошибаюсь, и если не изменяет память , то диагональ прямоугольного параллелепипеда ровна корню квадратному суммы квадратов его всех трех сторон. [поль­зоват­ель забло­киров­ан] [-93] 8 лет назад  квадрат диагонали равен, сумме квадратов ширины , высоты и длинны , исходя с этой формулы получаем ответ , диагональ равно корню квадратному с суммы его трех разных измерений , буквами они позначаюnсz abc Космо­с111 [6.8K] 7 лет назад  Вспоминаю школьную программу по геометрии, можно сказать так: диагональ параллелепипеда равняется корню квадратному полученному из суммы его всех трех сторон (обозначаются они маленькими буквами a, b, c). Никол­ай Л [10K] 10 лет назад  Длина диагонали прямоугольного параллепипеда равна корню квадратному из суммы квадратов его сторон. Знаете ответ?

Параллелепипед – это частный случай призмы, в основании которой лежит прямоугольник с длиной a и шириной b. Двигаясь по вертикальной или наклонной оси на определенную высоту c, данный прямоугольник создает объемное тело, именуемое параллелепипедом.