Как найти проекцию диагонали в параллелограмме

Задача 1 Разложить вектор По векторам и .

Пусть , т. е. ;

След., вектор .

Задача 2 Найти длину диагонали параллелограмма, построенного на векторах , если

Рассм. диагонали параллелограмма ;

Вычислим ;

;

Задача 3 Показать, что точки Являются вершинами параллелограмма и найти проекцию одной из диагоналей на большую сторону параллелограмма.

Рассм.

, след. – параллелограмм (так как две противоположные стороны параллельны и равны);

Рассм. Рассм. ; ,

След. – большая сторона параллелограмма ; рассм. диагональ ;

Вычислим Вычислим ;

.

Задача 4 Длина гипотенузы прямоугольного треугольника равна . Вычислить

Задача 5 Найти момент силы, приложенной в точке относительно точки, а также модуль и направляющие косинусы вектора силы

1) , где ; ;

;

2) ;

Направл. косинусы вектора : ; ; .

Задача 6 Треугольник построен на векторах Найти длину высоты , если векторы взаимно перпендикулярны и по модулю равны

Рассм. векторы рассм. ;

;

;

;

Задача 7 Найти координаты вершины тетраэдра, если известно, что она лежит на оси , объём тетраэдра равен , .

Пусть искомая вершина тетраэдра (т. к. т. );

Рассм. в-ры: ;

Рассм. смешанное произв-е:

Рассм. объём тетраэдра : ; ; ;

; ; ; след., возможные положения искомой т.: ; .

Задача 8 В треугольнике известны координаты двух вершин: И точки пересечения медиан . Составить уравнение высоты треугольника, проведённой из вершины .

1) Определим координаты точки Как середины отрезка :;

2) Определим координаты вершины , используя равенство , где ;

Рассм.

;

3) составим ур-е высоты : рассм. в-р ;

Рассм. т. И рассм. в-р ; тогда по условию задачи и и, след., ур-е прямой , проходящей через Перпендикулярно в-ру , можно записать в виде: т. е. .

Задача 9 В параллелограмме известны уравнения сторон и координаты точки пересечения диагоналей Составить уравнения двух других сторон и диагоналей параллелограмма.

1) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

2) определим координаты точки из условия, что т. – середина отрезка :

;

3) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : ;

4) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку параллельно

Прямой ;

5) составим уравнение стороны как прямой, проходящей через точку Параллельно

Прямой ;

6) определим координаты точки как точки пересечения прямых :

;

7) составим уравнение диагонали как прямой, проходящей через точки : .

Задача 10 Составить уравнение плоскости, проходящей через точки

Пусть – искомая плоскость; рассм. векторы ;

Рассм. норм. вектор ;

Рассм. произв. т. и рассм. вектор ;

, т. е. ;

Задача 11 Составить уравнение прямой , которая, проходит через точку и пересекает две прямые и .

Рассм. направл. векторы прямых ;

Рассм. т.; рассм. векторы ;

Пусть – плоскость, в которой лежат прямые ; пусть – плоскость, в которой лежат прямые ; тогда искомая прямая есть линия пересечения плоскостей ;

;

;

В качестве направл. вектора прямой можно взять вектор ; выберем ;

Запишем канонические ур-я прямой Как ур-я прямой, проходящей через т. А параллельно

Вектору : ; параметрические ур-я прямой :

Задача 12 Составить уравнение геометрического места всех прямых, проходящих через точку перпендикулярно прямой .

Запишем канонич. уравнения прямой в виде: ; её направл. вектор ;

Рассм. произв. прямую , удовлетв. условию задачи; рассм. произв. точку и её направл. вектор ; , т. е. ;

Плоскость и есть искомое геометрическое место.

Задача 13 Вычислить определитель третьего порядка, пользуясь определением; результат проверить разложением

Определителя по первой строке.

1) Непосредственное вычисление:

2) Разложение по 1-й строке:

Задача 14 Решить систему линейных уравнений по правилу Крамера и с помощью обратной матрицы:

Запишем данную систему уравнений в матричной форме: , (1) , где ; ; ;

Рассм. опред-ль матрицы : ,

След., матр. – невырожденная и можно применять формулы Крамера и вычислять обратную матр. ;

1) решим с – му ур – й (1) по правилу Крамера, т. е. с помощью формул: , , , где ;

;

;

; , , ;

реш–е с–мы ур–й (1) в коорд. форме: вектор–решение с-мы (1): ;

2) получим реш–е с–мы ур–й (1) с помощью обратной матр. :

, след., матр.– невырожденная и существует обратная матр. ;

Умножим рав-во (1) слева на матрицу : , ; вычислим обратную матр. :

Находим алгебр. дополнения для всех эл-тов матрицы и составим из них м-цу :

Транспонируем м-цу и получим «присоединённую» м-цу

Разделим все эл-ты присоедин. м-цы на опр-ль и получим обратную матр. :

Находим теперь вектор-решение :

Задача 15 Установить, являются ли векторы линейно зависимыми.

Вычислим ранг системы векторов методом Гаусса, т. е. выпишем матрицу их координат и приведём её к ступенчатому виду:

ранг матрицы , след. данная система векторов линейно независима.

Задача 16 Исследовать систему линейных уравнений на совместность и в случае совместности найти её решение методом Гаусса.

Выпишем расширенную матрицу данной системы ур-й и приведём её к ступенчатому виду:

имеем ;

Так как , то по теореме Кронекера – Капелли данная система уравнений совместна, а так как , то система имеет бесконечное множество решений; объявим свободной переменной и выпишем общее решение системы в координатной форме:

общее решение системы имеет вид:

Задача 17 Найти матрицу преобразования, выражающего Через , если

Запишем данные преобразования в матричной форме: , где матрицы и

Вектор – столбцы имеют вид:

Рассм. ;

Вычислим матрицу .

Задача 18 Найти собственные числа и собственные векторы линейного преобразования, заданного матрицей

1) Находим собств. значения линейного преобразования , т. е. корни характеристического уравнения :

Рассм.

– собств. значения (действ.) лин. преобр-я ;

2) находим собств. векторы линейного преобразования , соотв. собств. значениям :

А) рассм.

Рассм. Пусть , тогда вектор ;

Б) рассм.

Рассм.

Пусть , тогда , вектор ;

Пусть , тогда , вектор ;

След. собств. векторы линейного преобразования суть:

; ; .

< Предыдущая

Плоскость а проведена через сторону AD параллелограмма ABCD.Найдите проекции сторон параллелограмма на эту плоскость, если BC=19 и проекции диагоналей параллелограмма на плоскость а равны 20 и 22.  

АС1 находить нет нужды, она по условию равна 22. 
Рассмотрим данный к задаче рисунок. и проекции АВ1 и В1С1 сторон АВ и ВС параллелограмма ABCD  на плоскость α.
Так как

ВС

параллельна прямой АD, лежащей на плоскости α, она

параллельна

и самой

плоскости α

.
 Поэтому проекция В1С1 стороны ВС на плоскость равна 19. 
Проекции диагоналей на плокость равны диагоналям параллелограмма АВ1С1D со сторонами АД=В1С1=19. 
Нарисуем этот параллелограмм AB1C1D. 
По формуле Герона найдем площадь треугольника АОD
 Полупериметр треугольника АОД=(11+10+19):2=20 
S=√1800=30√2 
Из площади треугольника АОД найдем его высоту ОК к основанию АД по формуле площади  треугольника:
S=аh:2
2S= 60√2 
ОК=60√2:19=4,4659…..≈ 4,466 

Продлим АД

до пересечения с высотой С1Н, опущенной из С1, 
и получим

прямоугольный треугольник АС1Н. 

С1Н=2ОК= ≈ 8,93 
Найдем в нем сторону АН по т. Пифагора. 
АН=√(АС1²-НС1²)≈ √(22²-8,93²)=√(484-79,7449)=≈20,1 
Отсюда ДН=20,1-19=1,1 
Из треугольника ДНС1 найдем длину ДС1, она равна также и АВ1.
ДС1=√(НС1²+НД²)=√(79,7449+1,21)=√80,9549=8,9974≈9

Примеры решения задач

Задача 1.
Определить длины диагоналей параллелограмма,
построенного на векторах

и

,
где

таковы, что

.

Решение.
Диагонали параллелограмма есть векторы

и

.
Вычислим длину вектора

:

.

Аналогично
вычисляется длина вектора

.

Задача 2.
Найдите вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

.

Решение.
Обозначим вектор

,
тогда из условий задачи

или

,

тогда

.
Итак:

.

Задача 3.
Найти проекцию вектора

на направление вектора

.

Решение.

.
По формуле проекции вектора на ось будет
иметь место равенство

.

Задача 4.
Даны векторы:

.

П
роверить,
есть ли среди них коллинеарные. Найти

.

Решение.
Условие коллинеарности имеет вид

.
Этому условию удовлетворяют векторы

.
Следовательно, они коллинеарны. Найдем
длины

векторов

:

.

Угол между векторами
определяется по формуле

.

Т

огда

,

.

Используя формулу

,
получим

.

Задача 5.
На материальную точку действуют силы

.
Найти работу равнодействующей этих сил

при перемещении точки из положения

в положение

.

Решение.
Найдем силу

и вектор перемещения

.

,
тогда искомая работа

.

Задачи

1. Векторы

взаимно перпендикулярны, а вектор

образует с ними углы

.
Зная, что

,
найти: 1)

;
2)

.

2. Вычислить длину
диагоналей параллелограмма, построенного
на векторах

,
если известно, что

.

3. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

.

4. Зная, что

,
определить, при каком значении коэффициента

векторы

окажутся перпендикулярными.

5. Даны вершины
четырехугольника:

.
Доказать, что его диагонали взаимно
перпендикулярны.

6. Найти острый
угол между диагоналями параллелограмма,
построенного на векторах

.

7. Даны силы

.
Найти работу их равнодействующей при
перемещении точки из начала координат
в точку

.

8. Даны вершины
треугольника:

.
Найти проекцию вектора

на вектор

.

9. Найти вектор

,
перпендикулярный векторам

,
если известно, что его проекция на вектор

равна единице.

10. Сила, определяемая
вектором

,
разложена по трем направлениям, одно
из которых задано вектором

.
Найти составляющую силы

в направлении вектора

.

11. Даны вершины
треугольника:

.
Найти его внутренний угол при вершине
А и внешний угол при вершине В.

12. Даны три
последовательные вершины параллелограмма:

.
Найти его четвертую вершину D
и угол между векторами

.

13. На оси

найти точку, равноудаленную от точек

.

14. Доказать, что
треугольник с вершинами

прямоугольный.

Домашнее задание

1. Вычислить
скалярное произведение двух векторов

,
зная их разложение по трем единичным
взаимно перпендикулярным векторам

;

.

2. Найти длину
вектора

,
зная, что

– взаимно перпендику-

лярные орты.

3. Векторы

попарно образуют друг с другом углы,
каждый из которых равен

.
Зная, что

,
определить модуль вектора

.

4. Доказать, что
вектор

перпендикулярен к вектору

.

5. Даны векторы

,
совпадающие со сторонами треугольника
АВС. Найти разложение вектора, приложенного
к вершине В этого треугольника и
совпадающего с его высотой BD
по базису

.

6. Вычислить угол
между векторами

,
где

–
единичные взаимно перпендикулярные
векторы.

7. Даны силы

,
приложенные к одной точке. Вычислить,
какую работу производит равнодействующая
этих сил, когда ее точка приложения,
двигаясь прямолинейно, перемещается
из положения

в положение

.

8. Даны вершины
треугольника

.
Определить его внутренний угол при
вершине В.

9. Вычислив
внутренние углы треугольника с вершинами

,

,
убедиться, что этот треугольник
равнобедренный.

10. Найти вектор

,
зная, что он перпендикулярен векторам

и

.

11. Найти вектор

,
коллинеарный вектору

и удовлетворяющий условию

,
где

.

12. Вычислить
проекцию вектора

на ось вектора

.

13. Даны векторы

.
Вычислить

.

14. Даны точки

.
Вычислить проекцию вектора

на ось вектора

.

Ответы к задачам

1) -7, 13. 2) 15,

.
4)

.
6)

.
7) 2. 8) -1/3.

9)

.
10)

.
11)

.

12)

.
13)

.

Ответы к домашнему
заданию

1) 9. 2) 5. 3) 10. 5)

.
6)

.
7) 13. 8)

.

10)

.
12) 6. 13) 5. 14) 3.

Занятие 3

Векторое
произведения векторов. Смешанное
произведение векторов

Определение1.
Тройка
некомпланарных векторов

называется правой (левой) если, находясь
внутри телесного угла, образованного
приведенными к общему началу векторами

и от него к

,
човершающимся против часовой стрелки
(по часовой стрелке)

Тройка правая
Тройка левая

Определение
2. Векторным
произведением вектора

на вектор

называется вектор

,
длина и направление которого определяются
условиями:

1.

,
где

– угол между

.

2.

.

3.

– правая тройка векторов.

Свойства
векторного произведения

1.

(свойство антиперестановочности
сомножителей);

2.

(распределительное относительно суммы
векторов);

3.

(сочетательное относиельно числового
множителя);

4.

(равенство нулю векторного произведения
означает коллинеарность векторов);

5.

,
т. е. момент сил равен векторному
произведению силы на плечо.

Если вектор

,
то

.

Определение
3. Смешанным
произведением

трех векторов называется число,
определяемое следующим образом:

.
Если векторы заданы своими координатами:

,
то

~

.

Свойства
смешанного произведения

1. Необходимым и
достаточным условием компланарности
векторов

является равенство

= 0.

2. Объем
параллелепипеда, построенного на
векторах

:

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти диагональ параллелограмма, если даны стороны

Параллелограмм – это четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны. Прямые, соединяющие его противоположные углы, называются диагоналями. Их длина зависит не только от длин сторон фигуры, но и от величин углов в вершинах этого многоугольника, поэтому без знания хотя бы одного из углов вычислить длины диагоналей можно только в исключительных случаях. Таковыми являются частные случаи параллелограмма – квадрат и прямоугольник.

Инструкция

Если длины всех сторон параллелограмма одинаковы (a), то эту фигуру можно назвать еще и квадратом. Величины всех его углов равны 90°, а длины диагоналей (L) одинаковы и могут быть рассчитаны по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника. Умножьте длину стороны квадрата на корень из двойки – результат и будет длиной каждой из его диагоналей: L=a*√2.

Если о параллелограмме известно, что он является прямоугольником с указанными в условиях длиной (a) и шириной (b), то и в этом случае длины диагоналей (L) будут равны. И здесь тоже задействуйте теорему Пифагора для треугольника, в котором гипотенузой является диагональ, а катетами – две смежные стороны четырехугольника. Искомую величину рассчитайте извлечением корня из суммы возведенных в квадрат ширины и высоты прямоугольника: L=√(a²+b²).

Для всех остальных случаев знания одних только длин сторон хватит лишь для определения величины, включающей в себя длины сразу обеих диагоналей – сумма их квадратов по определению равна удвоенной сумме квадратов длин сторон. Если же в дополнение к длинам двух смежных сторон параллелограмма (a и b) известен еще и угол между ними (γ), то это позволит рассчитать длины каждого отрезка, соединяющего противоположные углы фигуры. Длину диагонали (L₁), лежащей напротив известного угла, найдите по теореме косинусов – сложите квадраты длин смежных сторон, от результата отнимите произведение этих же длин на косинус угла между ними, а из полученной величины извлеките квадратный корень: L₁ = √(a²+b²-2*a*b*cos(γ)). Для нахождения длины другой диагонали (L₂) можно воспользоваться свойством параллелограмма, приведенным в начале этого шага – удвойте сумму квадратов длин двух сторон, от результата отнимите квадрат уже рассчитанной диагонали, а из полученного значения извлеките корень. В общем виде эту формулу можно записать так: L₂ = √(a²+b²- L₁²) = √(a²+b²-(a²+b²-2*a*b*cos(γ))) = √(a²+b²-a²-b²+2*a*b*cos(γ)) = √(2*a*b*cos(γ)).

Источники:

• как найти длину диагонали параллелограмма

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?