В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.
Проецирование, виды проецирования
Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.
Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.
Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.
Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.
Плоскость проекции – это плоскость, в которой строится изображение.
Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное.
Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.
Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.
Проекция точки на плоскость
Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.
Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.
Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем – плоскость α и точка М1, не принадлежащая плоскости α. Начертим через заданную точку М1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α. Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H1, она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость α. 
В случае, если задана точка М2, принадлежащая заданной плоскости α, то М2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α.
Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.
Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры
Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат Oxyz, плоскость α, точка М1(x1, y1, z1). Необходимо найти координаты проекции точки М1 на заданную плоскость.
Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.
Обозначим проекцию точки М1 на плоскость α как Н1. Согласно определению, H1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a, проведенной через точку М1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α.
Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:
– получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;
– определить уравнение прямой a, проходящей через точку М1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);
– найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М1 на плоскость α.
Рассмотрим теорию на практических примерах.
Определите координаты проекции точки М1 (-2, 4, 4) на плоскость 2х – 3y + z – 2 = 0.
Решение
Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.
Запишем канонические уравнения прямой a, проходящей через точку М1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a. Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2х – 3y + z – 2 = 0. Таким образом, a→ = (2, -3, 1) – направляющий вектор прямой a.
Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М1 (-2, 4, 4) и имеющей направляющий вектор a→ = (2, -3, 1):
x+22=y-4-3=z-41
Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x+22=y-4-3=z-41 и плоскости 2х-3y + z – 2 = 0. В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
x+22=y-4-3=z-41⇔-3·(x+2)=2·(y-4)1·(x+2)=2·(z-4)1·(y-4)=-3·(z+4)⇔3x+2y-2=0x-2z+10=0
Составим систему уравнений:
3x+2y-2=0x-2z+10=02x-3y+z-2=0⇔3x+2y=2x-2z=-102x-3y+z=2
И решим ее, используя метод Крамера:
∆=32010-22-31=-28∆x=220-100-22-31=0⇒x=∆x∆=0-28=0∆y=3201-10-2221=-28⇒y=∆y∆=-28-28=1∆z=32210-102-32=-140⇒z=∆z∆=-140-28=5
Таким образом, искомые координаты заданной точки М1 на заданную плоскость α будут: (0, 1, 5).
Ответ: (0, 1, 5).
В прямоугольной системе координат Oxyz трехмерного пространства даны точки А(0, 0, 2); В(2, -1, 0); С (4, 1, 1) и М1(-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М1 на плоскость АВС
Решение
В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
x-0y-0z-02-0-1-00-24-01-01-2=0⇔xyz-22-1-241-1=0⇔⇔3x-6y+6z-12=0⇔x-2y+2z-4=0
Далее рассмотрим еще один вариант решения, отличный от того, что мы использовали в первом примере.
Запишем параметрические уравнения прямой a, которая будет проходить через точку М1 перпендикулярно плоскости АВС. Плоскость х – 2y + 2z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами (1, -2, 2), т.е. вектор a→= (1, -2, 2) – направляющий вектор прямой a.
Теперь, имея координаты точки прямой М1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:
x=-1+λy=-2-2·λz=5+2·λ
Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2y + 2z – 4 = 0 и прямой
x=-1+λy=-2-2·λz=5+2·λ
Для этого в уравнение плоскости подставим:
x=-1+λ, y=-2-2·λ, z=5+2·λ
Теперь по параметрическим уравнениям x=-1+λy=-2-2·λz=5+2·λ найдем значения переменных x, y и z при λ=-1: x=-1+(-1)y=-2-2·(-1)z=5+2·(-1)⇔x=-2y=0z=3
Таким образом, проекция точки М1 на плоскость АВС будет иметь координаты (-2, 0, 3).
Ответ: (-2, 0, 3).
Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.
Пусть задана точки М1(x1, y1, z1) и координатные плоскости Oxy, Оxz и Oyz. Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x1, y1, 0), (x1, 0, z1) и (0, y1, z1). Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:
Cz+D=0⇔z=-DC, By+D=0⇔y=-DB
И проекциями заданной точки М1 на эти плоскости будут точки с координатами x1,y1, -DC, x1, -DB, z1 и -DA, y1, z1.
Продемонстрируем, как был получен этот результат.
В качестве примера определим проекцию точки М1(x1, y1, z1) на плоскость Ax+D=0 . Остальные случаи – по аналогии.
Заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и i→= (1, 0, 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz. Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:
x=x1+λy=y1z=z1
Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение Аx+ D = 0 равенства: x=x1+λ, y=y1, z=z1 и получим: A·(x1+λ)+D=0⇒λ=-DA-x1
Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ=-DA-x1:
x=x1+-DA-x1y=y1z=z1⇔x=-DAy=y1z=z1
Т.е., проекцией точки М1(x1, y1, z1) на плоскость будет являться точка с координатами -DA, y1, z1.
Необходимо определить координаты проекции точки М1(-6, 0, 12) на координатную плоскость Oxy и на плоскость 2y-3=0 .
Решение
Координатной плоскости Oxy будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0. Проекция точки М1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты (-6, 0, 0).
Уравнение плоскости 2y-3=0 возможно записать как y=322 . Теперь просто записать координаты проекции точки M1(-6, 0, 12) на плоскость y=322 :
-6, 322, 12
Ответ: (-6, 0, 0) и -6, 322, 12
Проекция точки на плоскость онлайн
С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на заданную плоскость. Дается подробное решение с пояснениями. Для построения проекции точки на данную плоскость введите координаты точки и коэффициенты уравнения плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку “Решить”.
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Проекция точки на плоскость − теория, примеры и решения
Для нахождения проекции точки M0 на плоскость α, необходимо:
- построить прямую L, проходящую через точку M0 и ортогональной плоскости α.
- найти пересечение данной плоскости α с прямой L(Рис.1).
Общее уравнение плоскости имеет вид:
где n(A,B,C)− называется нормальным вектором плоскости.
Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:
Для того, чтобы прямая (2) была ортогональна плоскости (1), направляющий вектор q(l, m, n) прямой (2) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (1)(Рис. 1). Следовательно, в качестве направляющего вектора прямой (2) можно взять нормальный вектор плоскости (1) .
Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональной плоскости (1) имеет следующий вид:
Для нахождения точку пересечения прямой L с плоскостью α, проще всего рассматривать параметрическое уравнение прямой. Составим ее
Выразим переменные x, y, z через рараметр t.
Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим относительно t.
Подставляя значение параметра t в выражения (4), находим проекцию M1 точки M0 на плоскость (1).
Пример 1.Найти проекцию M1 точки M0(4, -3, 2) на плоскость
Решение.
Нормальный вектор плоскости имеет вид:
т.е. A=5, B=1, C=−8.
Координаты точки M0: x0=4, y0=−3, z0=2.
Подставляя координаты точки M0 и нормального вектора плоскости в (5), получим:
Из выражений (7) находим:
Ответ:
Проекцией точки M0(4, -3, 2) на плоскость (6) является точка:
При решении геометрических задач в пространстве часто возникает проблема определения расстояния между плоскостью и точкой. В некоторых случаях это необходимо для комплексного решения. Эту величину можно вычислить, если найти проекцию на плоскость точки. Рассмотрим этот вопрос подробнее в статье.
Уравнение для описания плоскости
Перед тем как перейти к рассмотрению вопроса касательно того, как найти проекцию точки на плоскость, следует познакомиться с видами уравнений, которые задают последнюю в трехмерном пространстве. Подробнее – ниже.
Уравнением общего вида, определяющим все точки, которые принадлежат данной плоскости, является следующее:
A*x + B*y + C*z + D = 0.
Первые три коэффициента – это координаты вектора, который называется направляющим для плоскости. Он совпадает с нормалью для нее, то есть является перпендикулярным. Этот вектор обозначают n¯(A; B; C). Свободный коэффициент D однозначно определяется из знания координат любой точки, принадлежащей плоскости.
Далее в статье будем использовать записанное уравнение. Оно требуется, чтобы найти проекцию точки на плоскость.
Понятие о проекции точки и ее вычисление
Предположим, что задана некоторая точка P(x1; y1; z1) и плоскость. Она определена уравнением в общем виде. Если провести перпендикулярную прямую из P к заданной плоскости, то очевидно, что она пересечет последнюю в одной определенной точке Q (x2; y2; z2). Q называется проекцией P на рассматриваемую плоскость. Длина отрезка PQ называется расстоянием от точки P до плоскости. Таким образом, сам PQ является перпендикулярным плоскости.
Как можно найти координаты проекции точки на плоскость? Сделать это не сложно. Для начала следует составить уравнение прямой, которая будет перпендикулярна плоскости. Ей будет принадлежать точка P. Поскольку вектор нормали n¯(A; B; C) этой прямой должен быть параллелен, то уравнение для нее в соответствующей форме запишется так:
(x; y; z) = (x1; y1; z1) + λ*(A; B; C).
Где λ – действительное число, которое принято называть параметром уравнения. Изменяя его, можно получить любую точку прямой.
После того как записано векторное уравнение для перпендикулярной плоскости линии, необходимо найти общую точку пересечения для рассматриваемых геометрических объектов. Ее координаты и будут проекцией P. Поскольку они должны удовлетворять обоим равенствам (для прямой и для плоскости), то задача сводится к решению соответствующей системы линейных уравнений.
Понятие проекции часто используется при изучении чертежей. На них изображаются боковые и горизонтальные проекции детали на плоскости zy, zx, и xy.
Вычисление расстояния от плоскости до точки
Как выше было отмечено, знание координат проекции на плоскость точки позволяет определить дистанцию между ними. Используя обозначения, введенные в предыдущем пункте, получаем, что искомое расстояние равно длине отрезка PQ. Для его вычисления достаточно найти координаты вектора PQ¯, а затем рассчитать его модуль по известной формуле. Конечное выражение для d расстояния между P точкой и плоскостью принимает вид:
d = |PQ¯| = √((x2 – x1)2 + (y2 – y1)2 + (z2 – z1)2).
Полученное значение d представлено в единицах, в которых задается текущая декартова координатная система xyz.
Пример задачи
Допустим, имеется точка N(0; -2; 3) и плоскость, которая описывается следующим уравнением:
2*x – y + z + 4 = 0.
Следует найти точки проекцию на плоскость и вычислить между ними расстояние.
В первую очередь составим уравнение прямой, которая пересекает плоскость под углом 90o. Имеем:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + λ*(2; -1; 1).
Записывая это равенство в явном виде, приходим к следующей системе уравнений:
x = 2*λ;
y = -2 – λ;
z = λ + 3;
2*x – y + z + 4 = 0.
Подставляя значения координат из первых трех равенств в четвертое, получим значение λ, определяющее координаты общей точки прямой и плоскости:
2*(2*λ) – (-2 – λ) + λ + 3 + 4 = 0 =>
6*λ + 9 = 0 =>
λ = 9/6 = 3/2 = 1,5.
Подставим найденный параметр в уравнение прямой и найдем координаты проекции исходной точки на плоскость:
(x; y; z) = (0; -2; 3) + 1,5*(2; -1; 1) = (3; -3,5; 4,5).
Для вычисления дистанции между заданными в условии задачи геометрическими объектами применим формулу для d:
d = √((3 – 0 )2 + (-3,5 + 2 )2 + (4,5 – 3 )2) = 3,674.
В данной задаче мы показали, как находить проекцию точки на произвольную плоскость и как вычислять между ними расстояние.
Решать можно в зависимости от уровня знаний и проходимого материала.
Изначально понимаем, что проекция точки, это точка, лежащая в плоскости и прямая проходящая через точку и проекцию точки будет перпендикулярна любой прямой (достаточно двум пресекающимся) из этой плоскости.
А дальше:
Решение 1
Пусть проекция точки P₀ (x₀;y₀;z₀)
Берем любые 2 точки плоскости (удовлетворяют уравнению): Например (0;0;7) и (0;-7;0)
Они образуют вектор a (0-0; 0-(-7); 7-0) = a (0;7;7)
Тогда вектор p = PP₀ (x₀-2;y₀-2;z₀+5) будет перпендикулярен вектору a
А значит скалярное произведение ap = 0
то есть 0•(x₀-2) + 7•(y₀-2) + 7•(z₀+5) = 0
или y₀ + z₀ + 3 = 0
Точно так же нужна вторая прямая, то есть другой вектор плоскости, но неколлинеарный. возьмем еще точку плоскости, например (-4;-1;0) и получим вектор b (0-(-4); -7-(-1); 0-0) = b (4;-6;0) – не коллинеарный a
Так же, скалярное произведение bp = 0
то есть 4•(x₀-2) – 6•(y₀-2) + 0•(z₀+5) = 0
или 2x₀ – 3y₀ + 2 = 0
При этом точка P₀ (x₀;y₀;z₀) лежит в плоскости, а значит удовлетворяет уравнению
3x₀ + 2y₀ – 2z₀ + 14 = 0
Получаем систему из 3 уравнений:
{0x₀ + 1y₀ + 1z₀ = -3
{2x₀ – 3y₀ + 0z₀ = -2
{3x₀ + 2y₀ – 2z₀ = -14
Можно составить матрицу и решить методом Крамера или методом Гаусса. Если эти темы не знаем, то тут простая система в первом уравнении выражаем z₀ = -y₀-3; во втором уравнении выражаем х₀ = 3y₀/2 – 1
И подставив в 3-е
9y₀/2 – 3 + 2y₀ + 2y₀ + 6 = -14
17y₀ = -34
y₀ = -2
тогда х₀ = -2•3/2 – 1 = -4
z₀ = 2 – 3 = -1
Ответ: точка P₀ (-4; -2; -1)
Если нигде арифметически не ошибся. (Все же ошибся (знак перед 14 вначале потерял), но уже исправил)
Решение 2
Состоит в том, что сразу знаем координаты ортогонального (нормаль) вектора к плоскости с уравнением 3x+2y-2z+14=0. Это вектор p (3;2;-2)
Тогда уравнение прямой проходящей через точку P в направлении вектора p:
(x-2)/3 = (y-2)/2 = (z+5)/-2
Отсюда получим несколько равенств
2(x-2) = 3(y-2)
-2(y-2) = 2(z+5)
-2(x-2) = 3(z+5)
Пересечение этой прямой с плоскостью и будет искомой точкой. Значит она удовлетворяет уравнению. 3x+2y-2z+14=0
Можно снова составить систему уравнений и решить её каким либо методом.
Я снова выражу х из (1): 2х-4 = 3y-6 или х = 3y/2 – 1
И выражу z из (2): -2y + 4 = 2z + 10 или z = -y – 3
И теперь это можно подставить в уравнение плоскости.
Но все это я проделал в решении 1 (повторятся не буду)
Ответ: точка P₀ (-4; -2; -1)
Проецирование плоских фигур
- Подробности
- Категория: Основы начертательной геометрии
ИЗОБРАЖЕНИЕ ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ
Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой .
Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.
На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а — проекциями трех точек А, , и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б — проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.
На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Рн.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Рv.
Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается Pw.
Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Рx, Рy и Рz.
Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы Pv и Pw, параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Рн и Pw , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами Pv и Pн параллельными осям проекций Оу и Oz, — профильной (рис. 101, в).
Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.
ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ
Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след Pv этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Рн расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)
Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.
Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).
Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).
При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.
Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы Pv и Рн этой плоскости параллельны оси Ох.
При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.
Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три
следа Pv, Рн и Pw плоскости Р наклонены к осям проекций.
Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.
ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ
Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).
Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).
Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.
Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.
Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.
Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Рv плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.
Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу PH плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.
11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Рv намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Рн горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.
Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.
Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.
Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.
Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).
Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Рх, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.
Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки Px с v’, находим фронтальный след Pv плоскости.
Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.
Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.
Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.
Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.
Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.
Профильную проекцию n” находим по общим правилам проецирования.
В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.
Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а’и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av’ .
Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Рн плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.
Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)
При заданной фронтальной проекции a’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости , найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом РН.
Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Хv плоскости Р.
ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР
Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.
Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.
Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.
Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.
Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.
Рассмотрим несколько примеров.
Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.
Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)
Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.
Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.
Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.
На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.
ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.
Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.
Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы Pw и Kw.
Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами Pv, Рн и Qv,Qh, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.
ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ
Дана плоскость, заданная треугольником АВС, и прямая, заданная отрезком MN. На рис. 113, а треугольник АВС и отрезок MN заданы горизонтальными и фронтальными проекциями. Требуется определить, лежит ли прямая в плоскости данного треугольника.
Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).
Из точек е’к’ проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ
Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.
Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след QH плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Qx . Из точки Qx к оси х восставляют перпендикуляр QxQy , который будет фронтальным следом Qv вспомогательной плоскости Q.
Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов Pv и Qv — точку v’ и следов Qн и PH — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.
Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.
Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.
Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Для этого через точки m’ и n’ проводят фронтальный след плоскости Ру продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Ру с осью х опускают перпендикуляр Рн, который будет горизонтальным следом плоскости Р.
Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.
В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Ру, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Рн плоскости Р.
Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.
Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).
На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f’a’. Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.
ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ
Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.
Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.
Соединив попарно точки m’ и n’, m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.
