Как найти проекцию одной стороны на другую

При пересечении всех трёх средних линий образуются 4 равных треугольника, подобных (даже гомотетичных) исходному с коэффициентом 1/2.
∆MBN

Признаки

Если отрезок параллелен одной из сторон треугольника и соединяет середину стороны треугольника с точкой, лежащей на другой стороне треугольника, то этот отрезок — средняя линия.

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ABC равен сумме длин его сторон.

Формулы площади треугольника

Формула площади треугольника по стороне и высоте

Площадь треугольника равна половине произведения длины стороны треугольника на длину проведенной к этой стороне высоты.

S = 1 2 a · h a ,
S = 1 2 b · h b ,
S = 1 2 c · h c ,

где a, b, c — стороны треугольника,
h_a, h_b, h_c — высоты, проведенные к сторонам a, b, c треугольника.

Формула площади треугольника по трем сторонам

Формула Герона формула для вычисления площади треугольника S по длинам его сторон a, b, c .

S = p p – a p – b p – c ,

где p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2
a, b, c — стороны треугольника.

Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними

Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.

S = 1 2 a · b · sin γ ,
S = 1 2 b · c · sin α ,
S = 1 2 a · c · sin β ,

где a, b, c — стороны треугольника,
γ — угол между сторонами a и b ,
α — угол между сторонами b и c ,
β — угол между сторонами a и c .

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности

a, b, c — стороны треугольника,
R – радиус описанной окружности.

Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности

Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.

где S — площадь треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p — полупериметр треугольника: p = a + b + c 2

Равенство треугольников

Определение

Если два треугольника АВС и А₁В₁С₁ можно совместить наложением, то они равны.

Свойства

У равных треугольников равны и их соответствующие элементы. (В равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы, против равных углов лежат равные стороны).

Признаки равенства треугольников

По двум сторонам и углу между ними

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

По стороне и двум прилежащим углам

Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

По трем сторонам

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Подобие треугольников

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

∆MNK => α = α 1 , β = β 1 , γ = γ 1 и AB MN = BC NK = AC MK = k

где k — коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников

1. Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.
2. Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.
3. Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого, а углы, между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

S ∆АВС S ∆MNK = k 2

Прямоугольные треугольники

Прямоугольный треугольник — треугольник, в котором один угол прямой (то есть равен 90˚).

Свойства прямоугольного треугольника

Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы (гипотенуза в два раза длиннее катета, лежащего против угла в 30°).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC, в котором ∠ A — прямой, ∠ B = 30°, и значит, что ∠ C = 60°.

Докажем, что BC=2AC.
Приложим к треугольнику ABC равный ему треугольник ABD , как показано на рисунке.
Получим треугольник BCD, в котором ∠ B = ∠ D = 60° , поэтому DC = BC. Но DC = 2AC. Следовательно, BC = 2AC.

Справедливо и обратное суждение: Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы (или гипотенуза в два раза длиннее катета), то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.

Признаки равенства прямоугольных треугольников

Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами — прямой, а любые два прямых угла равны, то из общих признаков равенства треугольников для прямоугольных треугольников можно сформулировать свои признаки равенства.

1. Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
2. Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.
3. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
4. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

Свойства

Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия:

Треугольник. Формулы и свойства треугольников.

Типы треугольников

По величине углов

По числу равных сторон

Вершины углы и стороны треугольника

Свойства углов и сторон треугольника

Сумма углов треугольника равна 180°:

В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, и обратно. Против равных сторон лежат равные углы:

если α > β , тогда a > b

если α = β , тогда a = b

Сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины оставшейся стороны:

a + b > c
b + c > a
c + a > b

Теорема синусов

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

a	=	b	=	c	= 2R
sin α	sin β	sin γ

Теорема косинусов

Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон треугольника минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

a 2 = b 2 + c 2 – 2 bc · cos α

b 2 = a 2 + c 2 – 2 ac · cos β

c 2 = a 2 + b 2 – 2 ab · cos γ

Теорема о проекциях

Для остроугольного треугольника:

a = b cos γ + c cos β

b = a cos γ + c cos α

c = a cos β + b cos α

Формулы для вычисления длин сторон треугольника

Медианы треугольника

Свойства медиан треугольника:

В точке пересечения медианы треугольника делятся в отношении два к одному (2:1)

Медиана треугольника делит треугольник на две равновеликие части

Треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих треугольников.

Формулы медиан треугольника

Формулы медиан треугольника через стороны

m_a = 1 2 √ 2 b 2 +2 c 2 – a 2

m_b = 1 2 √ 2 a 2 +2 c 2 – b 2

m_c = 1 2 √ 2 a 2 +2 b 2 – c 2

Биссектрисы треугольника

Свойства биссектрис треугольника:

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника

Угол между биссектрисами внутреннего и внешнего углов треугольника при одной вершине равен 90°.

Формулы биссектрис треугольника

Формулы биссектрис треугольника через стороны:

l_a = 2√ bcp ( p – a ) b + c

l_b = 2√ acp ( p – b ) a + c

l_c = 2√ abp ( p – c ) a + b

где p = a + b + c 2 – полупериметр треугольника

Формулы биссектрис треугольника через две стороны и угол:

l_a = 2 bc cos α 2 b + c

l_b = 2 ac cos β 2 a + c

l_c = 2 ab cos γ 2 a + b

Высоты треугольника

Свойства высот треугольника

Формулы высот треугольника

h_a = b sin γ = c sin β

h_b = c sin α = a sin γ

h_c = a sin β = b sin α

Окружность вписанная в треугольник

Свойства окружности вписанной в треугольник

Формулы радиуса окружности вписанной в треугольник

r = ( a + b – c )( b + c – a )( c + a – b ) 4( a + b + c )

Окружность описанная вокруг треугольника

Свойства окружности описанной вокруг треугольника

Формулы радиуса окружности описанной вокруг треугольника

R = S 2 sin α sin β sin γ

R = a 2 sin α = b 2 sin β = c 2 sin γ

Связь между вписанной и описанной окружностями треугольника

Средняя линия треугольника

Свойства средней линии треугольника

MN = 1 2 AC KN = 1 2 AB KM = 1 2 BC

MN || AC KN || AB KM || BC

Периметр треугольника

Периметр треугольника ∆ ABC равен сумме длин его сторон

Формулы площади треугольника

Формула Герона

Равенство треугольников

Признаки равенства треугольников

Первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними

Второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам

Третий признак равенства треугольников — по трем сторонам

Подобие треугольников

∆MNK => α = α ₁, β = β ₁, γ = γ ₁ и AB MN = BC NK = AC MK = k ,

где k – коэффициент подобия

Признаки подобия треугольников

Первый признак подобия треугольников

Второй признак подобия треугольников

Третий признак подобия треугольников

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Проекция на сторону треугольника

Плоскостью называется поверхность, образуемая движением прямой линии, которая движется параллельно самой себе по неподвижной направляющей прямой .

Проекции плоскости на комплексном чертеже будут различны в зависимости от того, чем она задана. Как известно из геометрии, плоскость может быть задана: а) тремя точками, не лежащими на одной прямой; б) прямой линией и точкой, лежащей вне этой прямой; в) двумя пересекающимися прямыми; г) двумя параллельными прямыми.

На комплексном чертеже (рис. 99) проекции плоскости также задаются проекциями этих элементов, например, на рис 99, а — проекциями трех точек А, , и С, не лежащих на одной прямой; на рис. 99, б — проекциями прямой ВС и точки А у не лежащей на этой прямой; на рис. 99, в — проекциями двух пересекающихся прямых; на рис. 99, г проекциями двух параллельных прямых линий АВ и CD.

На рис. 100 плоскость задана прямыми линиями, по которым эта плоскость пересекает плоскости проекций. Такие линии называются следами плоскости.
Линия пересечения данной плоскости Р с горизонтальной плоскостью проекций Н называется горизонтальным следом плоскости Р и обозначается Р_н.
Линия пересечения плоскости Р с фронтальной плоскостью проекций V называется фронтальным следом этой плоскости и обозначается Р_v.

Линия пересечения плоскости Р с профильной плоскостью проекций W называется профильным следом этой плоскости и обозначается P_w.

Следы плоскости пересекаются на осях проекций. Точки пересечения следов плоскости с осями проекций называются точками схода следов. Эти точки обозначаются Р_x, Р_y и Р_z.

Расположение следов плоскости Р на комплексном чертеже по отношению к осям проекций определяет положение самой плоскости по отношению к плоскостям проекций. Например, если плоскость Р имеет фронтальный и профильный следы P_v и P_w, параллельные осям Ох и Оу то такая плоскость параллельна плоскости Н и называется горизонтальной (рис. 101, и). Плоскость Р со следами Р_н и P_w , параллельными осям проекций Ох и Oz (рис. 101, называется фронтальной, а плоскость Р со следами P_v и P_н параллельными осям проекций Оу и Oz, — профильной (рис. 101, в).

Горизонтальная, фронтальная и профильная плоскости, перпендикулярные к двум плоскостям проекций, называются плоскостями уровня. Если на комплексном чертеже плоскость уровня задана не следами, а какой-нибудь плоской фигурой, например, треугольником или параллелограммом (рис. 101, г, д, е), то на одну из плоскостей проекций эта фигура проецируется без искажения, а на две другие плоскости проекций — в виде отрезков прямых.

ПРОЕЦИРУЮЩИЕ ПЛОСКОСТИ И ПЛОСКОСТЬ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

Плоскость, перпендикулярная к плоскости Н (рис. 102, а),называется горизонтально-проецирующей плоскостью. Фронтальный след P_v этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а горизонтальный след Р_н расположен под углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, а)

Если горизонтально-проецирующая плоскость задана не следами, а какой-либо фигурой, например треугольником АВС (рис. 102, 6), то горизонтальная проекция этой плоскости представляет собой прямую линию, а фронтальная и профильная проекции — искаженный вид треугольника АВС.

Фронтально-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к фронтальной плоскости проекций (рис. 102, в).

Горизонтальный след этой плоскости перпендикулярен оси Ох, а фронтальный след расположен под некоторым углом к оси Ох (комплексный чертеж на рис. 102, в).

При задании фронтально-проецирующей плоскости не следами, а, например, параллелограммом ABCD фронтальная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию (рис. 102, г), а на горизонтальную и профильную плоскости проекций параллелограмм проецируется с искажением.

Профильно-проецирующей плоскостью называется плоскость, перпендикулярная к плоскости W (рис. 102, д). Следы P_v и Р_н этой плоскости параллельны оси Ох.

При задании профильно-проецирующей плоскости не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, е) профильная проекция такой плоскости представляет собой прямую линию. Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, как было сказано, называются плоскостями уровня.

Если плоскость Р не перпендикулярна ни одной из плоскостей проекций (рис. 102, ж), то такая плоскость называется плоскостью общего положения. Все три

следа P_v, Р_н и P_w плоскости Р наклонены к осям проекций.

Если плоскость общего положения задана не следами, а, например, треугольником АВС (рис. 102, з), то этот треугольник проецируется на плоскости H, V и W в искаженном виде.

ПРОЕКЦИИ ТОЧКИ И ПРЯМОЙ, РАСПОЛОЖЕННЫХ НА ПЛОСКОСТИ

Если прямая расположена на плоскости, то она должна проходить через две какие-либо точки, принадлежащие этой плоскости. Такие две точки могут быть взяты на следах плоскости — одна на горизонтальном, а другая на фронтальном. Так как следы прямой и плоскости находятся на плоскостях проекций и то следы прямой, принадлежащей плоскости, должны быть расположены на одноименных следах этой плоскости (рис. 103, а);например, горизонтальный след Н прямой — на горизонтальном следе плоскости, фронтальный след V прямой — на фронтальном следе Рv плоскости (рис. 103, б).

Для того чтобы на комплексном чертеже плоскости Р, заданной следами, провести какую-либо прямую общего положения, необходимо наметить на следах плоскости точки v’ или считать их следами искомой прямой (точнее, v’ — фронтальной проекцией горизонтального следа прямой).

Опустив перпендикуляры из v’ и на ось проекций х, находим на ней вторые проекции следов прямой: v — горизонтальную проекцию фронтального следа прямой и h’ — фронтальную проекцию горизонтального следа прямой. Соединив одноименные проекции следов, т. е. v’c h и v c h прямыми, получим две проекции прямой линии, расположенной в плоскости общего положения Р.

Очень часто требуется провести на плоскости горизонталь и фронталь, которые называются главными линиями плоскости или линиями уровня. Главные линии помогают решать многие задачи проекционного черчения.

Горизонталь и фронталь имеют в системе двух плоскостей V и Н только по одному следу (например, горизонталь имеет только фронтальный след). Поэтому, зная один след главной линии, проекцию главной линии проводят по заранее известному направлению. Это направление для горизонтали видно из рис. 104, а, где показана плоскость общего положения и горизонталь, лежащая на ней. Из рисунка видно, что горизонтальная проекция горизонтали параллельна горизонтальному следу плоскости.

Таким образом, чтобы на комплексном чертеже плоскости Р провести в этой плоскости какую-либо горизонталь, нужно наметить на следе Р_v плоскости точку v’ (рис. 104, б) и считать ее фронтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Затем через точку v’ параллельно оси х проводят прямую, которая будет фронтальной проекцией горизонтали.

Опустив перпендикуляр из точки v’ на ось x , получают точку v, которая будет горизонтальной проекцией фронтального следа горизонтали. Прямая, проведенная из точки v параллельно следу P_H плоскости, представляет собой горизонтальную проекцию искомой горизонтали. Построение проекции фронтали показано на рис. 104, в и г.

11 с редко требуется провести горизонталь и фронталь на проецирующих плоскостях. Рассмотрим, например, построение горизонтали на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 105). На следе плоскости Р_v намечаем фронтальную проекцию фронтального следа горизонтали и на оси находим его горизонтальную проекцию v (рис. 105, а). Затем через точку проводим параллельно Р_н горизонтальную проекцию горизонтали; фронтальная проекция горизонтали совпадает с точкой v’.

Если плоскость задана не следами, а пересекающимися или параллельными прямыми, то построение проекций горизонтали или фронтали, расположенных в этой плоскости, выполняется следующим образом.

Пусть плоскость задана двумя параллельными прямыми AВ и СD (рис. 105, 6). Для построения горизонтали, лежащей в этой плоскости, проводим параллельно оси х фронтальную проекцию горизонтали и отмечаем точки е’и f’ пересечения фронтальной проекции горизонтали с фронтальными проекциями параллельных прямых, которыми задана плоскость. Через точки е’и f’ проводим вертикальные линии связи до пересечения с ab и cd в точках е и f. Точки е и f соединяем прямой линией, которая и будет горизонтальной проекцией горизонтали.

Если требуется найти следы плоскости, заданной пересекающимися или параллельными прямыми, надо найти следы этих прямых и через полученные точки провести искомые следы плоскости.

Рассмотрим комплексный чертеж параллелограмма ABCD (рис. 106, a),который задает некоторую плоскость X. Отрезок DC расположен в плоскости H, следовательно, его горизонтальная проекция dc является горизонтальным следом плоскости (точнее — горизонтальной проекцией горизонтального следа плоскости).

Чтобы найти фронтальный след этой плоскости, необходимо продолжить горизонтальную проекцию dc прямой DC до пересечения с осью х в точке Р_х, через которую должен пройти искомый фронтальный след плоскости.

Второй точкой v’, через которую пройдет искомый фронтальный след плоскости, является фронтальный след прямой АВ (фронтальная проекция фронтального следа). Фронтальную проекцию фронтального следа прямой АВ находим, продолжая горизонтальную проекцию ab прямой АВ до пересечения с осью х в точке v, которая будет горизонтальной проекцией искомого фронтального следа прямой АВ. Фронтальная проекция фронтального следа этой прямой находится на перпендикуляре, восставленном из точки v к оси х, в точке v’ его пересечения с продолжением фронтальной проекции а’в’ прямой АB. Соединив точки P_x с v’, находим фронтальный след P_v плоскости.

Пример решения подобной задачи приведен на рис 106, б.

Часто на комплексных чертежах приходится решать такую задачу: по одной из заданных проекций точки, расположенной на заданной плоскости, определить две другие проекции точки. Ход решения задачи следующий.

Через заданную проекцию точки, например фронтальную проекцию n’ точки N, расположенной на плоскости треугольника АВС (рис. 107), проводим одноименную проекцию вспомогательной прямой любого направления, например m’к’.

Горизонталью плоскости называется прямая, принадлежащая этой плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций Н.

Строим другую проекцию mк вспомогательной прямой. Для этого проводим вертикальные линии связи через точки m’ и к’ до пересечения с линиями ас и вс. Из точки n’ проводим линию связи до пересечения с проекцией mк в искомой точке n.

Профильную проекцию n” находим по общим правилам проецирования.

В качестве вспомогательной прямой для упрощения построения чаще используются горизонталь или фронталь.

Чтобы найти какую-либо точку на плоскости Р, например точку А (рис. 108, а и б) надо найти ее проекции а’и а, которые располагаются на одноименных проекциях горизонтали, проходящей через эту точку. Через точку А проведена горизонталь Av’ .

Проводим проекции горизонтали: фронтальную — через v’ параллельно оси х, горизонтальную — через v параллельно следу Р_н плоскости Р. На фронтальной проекции горизонтали намечаем фронтальную проекцию а’ искомой точки и, проводя вертикальную линию связи, определяем горизонтальную проекцию а точки А.

Если точка лежит на проецирующей плоскости, то построение ее проекций упрощается. В этом случае одна из проекций точки всегда расположена на следу плоскости (точнее, на его проекции). Например, горизонтальная проекция а точки А, расположенной на горизонтально-проецирующей плоскости Р, находится на горизонтальной проекции горизонтального следа плоскости (рис. 108, в и г)

При заданной фронтальной проекции a’ точки А, лежащей на горизонтально-проецирующей плоскости , найти вторую проекцию этой точки (горизонтальную) можно без вспомогательной прямой, посредством проведения линии связи через а’ до пересечения со следом Р_Н.

Если точка расположена на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 108, д и е), то ее фронтальная проекция а’ находится на фронтальном следе Х_v плоскости Р.

ПРОЕКЦИИ ПЛОСКИХ ФИГУР

Зная построение проекций прямых и точек, расположенных на плоскости, можно построить проекции любой плоской фигуры, например, прямоугольника, треугольника, круга.

Как известно, каждая плоская фигура ограничена отрезками прямых или кривых линий, которые могут быть построены по точкам.

Проекции фигуры, ограниченной прямыми линиями (треугольника и многоугольника), строят по точкам (вершинам). Затем одноименные проекции вершин соединяют прямыми линиями и получают проекции фигур.

Проекции круга или другой криволинейной фигуры строят при помощи нескольких точек, которые берут равномерно по контуру фигуры. Одноименные проекции точек соединяют плавной кривой по лекалу.

Проекции плоской фигуры строят различными способами в зависимости от положения фигуры относительно плоскостей проекций и Наиболее просто построить проекции фигуры, расположенной параллельно плоскостям Н и V; сложнее — при расположении фигуры на проецирующей плоскости или на плоскости общего положения.

Рассмотрим несколько примеров.

Если треугольник АВС расположен на плоскости, параллельной плоскости H (рис. 109, a), то горизонтальная проекция этого треугольника будет его действительным видом, а фронтальная проекция — отрезком прямой, параллельным оси х. Комплексный чертеж треугольника АВС показан на рис. 109, 6. Такой треугольник можно видеть на изображении резьбового резца (рис. 109, в),передняя грань которого треугольная.

Трапеция ABCD расположена на фронтально-проецирующей плоскости (рис. 110, а). Фронтальная проекция трапеции представляет собой отрезок прямой линии, а горизонтальная — трапецию (рис. 110, б)

Задняя грань отрезного резца (рис. 110, в) имеет форму трапеции.

Рассматривая плоскость, параллельную горизонтальной, фронтальной или профильной плоскости проекций (плоскость уровня), можно заметить, что любая фигура, лежащая в этой плоскости, имеет одну из проекций, представляющую собой действительный вид этой фигуры; вторая и третья проекции фигуры совпадают со следами этой плоскости.

Рассматривая проецирующую плоскость, заметим, что любая точка, отрезок прямой или кривой линии, а также фигуры, расположенные на проецирующей плоскости, имеют одну проекцию, расположенную на следе этой плоскости. Например, если круг лежит на фронтально-проецирующей плоскости Р (рис. 111), то фронтальная проекция круга совпадает с фронтальным следом Pv плоскости Р. Две другие проекции круга искажены и представляют собой эллипсы. Большие оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 37. Малые оси эллипсов равны проекциям диаметра круга 15, перпендикулярного диаметру 37.

На рис. 111,6 показано колено трубы с двумя фланцами. Горизонтальная проекция контура нижнего фланца, который расположен в горизонтальной плоскости, будет действительным видом окружности. Горизонтальная проекция контура верхнего фланца изобразится в виде эллипса.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Две плоскости могут быть взаимно параллельными или пересекающимися.

Из стереометрии известно, что если две параллельные плоскости пересекают какую-либо третью плоскость, то линии пересечения этих плоскостей параллельны между собой. Исходя из этого положения, можно сделать вывод, что одноименные следы двух параллельных плоскостей Р и Q также параллельны между собой.

Если даны две профильно-проецирующие плоскости Р и К (рис. 112, а), то параллельность их фронтальных и горизонтальных следов на комплексном чертеже в системе V и Н недостаточна для того, чтобы определить, параллельны эти плоскости или нет. Для этого необходимо построить их профильные следы в системе V, Н и W (рис. 112, б). Плоскости Р и K будут параллельны только в том случае, если параллельны их профильные следы P_w и K_w.

Одноименные следы пересекающихся плоскостей Р и Q (рис. 112, в) пересекаются в точках V и H, которые принадлежат обеим плоскостям, т. е. линии их пересечения. Так как эти точки расположены на плоскостях проекций, то, следовательно, они являются также следами линии пересечения плоскостей. Чтобы на комплексном чертеже построить проекции линии пересечения двух плоскостей Р и Q, заданных следами P_v, Р_н и Q_v,Q_h, необходимо отметить точки пересечения одноименных следов плоскостей, т. е. точки v’ и h (рис. 112, г); точка v’ — фронтальная проекция фронтального следа искомой линии пересечения плоскостей Р и Q, h — горизонтальная проекция горизонтального следа этой же прямой. Опуская перпендикуляры из точек v’ и h на ось х, находим точки v и h’. Соединив прямыми одноименные проекции следов, т. е. точки v’ и h’, v и h’ получим проекции линии пересечения плоскостей Р и Q.

ПРЯМАЯ, ПРИНАДЛЕЖАЩАЯ ПЛОСКОСТИ

Для этого фронтальную проекцию отрезка m’n’ продолжаем до пересечения с отрезками a’b’ и c’d’ (проекциями сторон треугольника АВС), получаем точки (рис. 113, б).

Из точек е’к’ проводим линии связи на горизонтальную проекцию до пересечения с отрезками ab и ca , получаем точки еk. Продолжим горизонтальную проекцию mn отрезка прямой MN до пересечения с проекциями сторон bа и са, если точки пересечения совпадут с ранее полученными точками e и k то прямая MN принадлежит плоскости треугольника.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ПЛОСКОСТЬЮ

Если прямая АВ пересекается с плоскостью Р, то на комплексном чертеже точка их пересечения определяется следующим образом.

Через прямую А В проводят любую вспомогательную плоскость Q. Для упрощения построений плоскость Q обычно берется проецирующей (рис. 114, a). В данном случае проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость Q. Через горизонтальную проекцию аb прямой АВ проводят горизонтальный след Q_H плоскости Q и продолжают его до пересечения с осью x в точке Q_x . Из точки Q_x к оси х восставляют перпендикуляр Q_xQ_y , который будет фронтальным следом Q_v вспомогательной плоскости Q.

Вспомогательная плоскость Q пересекает данную плоскость Р по прямой VH, следы которой лежат на пересечении следов плоскостей Р и Q. Заметив точки пересечения следов P_v и Q_v — точку v’ и следов Q_н и P_H — точку h,опускают из этих точек на ось х перпендикуляры, основания которых — точки v’ и h’ — будут вторыми проекциями следов прямой VH. Соединяя точки v’и h’, v и h, получают фронтальную и горизонтальную проекции линии пересечения плоскостей.

Точка пересечения М заданной прямой AB и найденной прямой VH и будет искомой точкой пересечения прямой АВ с плоскостью Р. Фронтальная проекция m’ этой точки расположена на пересечении проекций a’b’ и v’h’. Горизонтальную проекцию m точки М находят, проводя вертикальную линию связи из точки m’ до пересечения с ab.

Если плоскость задана не следами, а плоской фигурой, например, треугольником (рис. 114, 6), то точку пересечения прямой MN с плоскостью треугольника АВС находят следующим образом.

Через прямую МN проводят вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость . Для этого через точки m’ и n’ проводят фронтальный след плоскости Р_у продолжают его до оси x и из точки пересечения следа плоскости Р_у с осью х опускают перпендикуляр Р_н, который будет горизонтальным следом плоскости Р.

Затем находят линию ED пересечения плоскости Р с плоскостью данного треугольника ABC. Фронтальная проекция e’d’ линии ED совпадает с m’n’. Горизонтальную проекцию ed находят, проводя вертикальные линии связи из точек е’и d’ до встречи с проекциями ab и ас сторон треугольника АВС. Точки e и d соединяют прямой. На пересечении горизонтальной проекции ed линии ED с горизонтальной проекцией прямой MN находят горизонтальную проекцию k искомой точки К. Проведя из точки k вертикальную линяю связи, на ходят фронтальную проекцию k’ Точка К — искомая точка пересечения прямой МК с плоскостью треугольника АВС.

В частном случае прямая может быть перпендикулярна плоскости Р.Из условия перпендикулярности прямой к плоскости следует, что прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим на этой плоскости (в частности, этими прямыми могут быть следы плоскости). Тогда проекции прямой АВ будут перпендикулярны одноименным следам этой плоскости (рис 115, а) Фронтальная проекция а’b’ перпендикулярна фронтальному следу Р_у, а горизонтальная проекция ab перпендикулярна горизонтальному следу Р_н плоскости Р.

Если плоскость задана параллельными или пересекающимися прямыми, то проекции прямой, перпендикулярной этой плоскости, будут перпендикулярны горизонтальной проекции горизонтали и фронтальной проекции фронтали, лежащих на плоскости.

Таким образом, если, например, на плоскость, заданную треугольником АВС необходимо опустить перпендикуляр, то построение выполняется следующим образом (рис. 115, б).

На плоскости проводят горизонталь СЕ и фронталь FA. Затем из заданных проекций d и d’ точки D опускают перпендикуляры соответственно на ce и f’a’. Прямая, проведенная из точки D будет перпендикулярна плоскости треугольника АВС.

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПЛОСКОСТЕЙ

Задачи на построение линии пересечения плоскостей, заданных пересекающимися прямыми, можно решать подобно задаче на пересечение плоскости с прямыми линиями. На рис. 116 показано построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками АВС и DEF. Прямая MN построена по найденным точкам пересечения сторон DE и EF треугольника DEF с плоскостью треугольника АВС.

Например, чтобы найти точку M, через прямую DF проводят фронтально-проецирующую плоскость Р, которая пересекается с плоскостью треугольника АВС по прямой 12. Через полученные точки 1′ и 2′ проводят вертикальные линии связи до пересечения их с горизонтальными проекциями ав и ас сторон треугольника АВС в точках 1 и 2. На пересечении горизонтальных проекций df и 12 получают горизонтальную проекцию m искомой точки М, которая будет точкой пересечения прямой DF с плоскостью АВС. Затем находят фронтальную проекцию m’ точки M. Точку N пересечения прямой EF с плоскостью АВС находят так же, как и точку М.

Соединив попарно точки m’ и n’, m и n, получают проекции линий пересечения MN плоскостей АВС и DEF.

[spoiler title=”источники:”]

http://ru.onlinemschool.com/math/formula/triangle/

http://forkettle.ru/vidioteka/tekhnicheskie-nauki/cherchenie/780-osnovy-nachertatelnoj-geometrii/8631-proetsirovanie-ploskikh-figur

[/spoiler]

Как найти проекцию

В прямоугольном треугольнике существует два вида сторон – короткая сторона «катет» и длинная сторона «гипотенуза». Если провести проекцию катета на гипотенузу, та разделится на два отрезка. Чтобы определить величину одного из них, нужно прописать набор исходных данных.

Инструкция

В исходных данных задачи может быть прописана длина гипотенузы D и длина катета N, чью проекцию требуется найти. Чтобы определить величину проекции Nd, воспользуйтесь свойствами прямоугольного треугольника. Определите длину катета A, используя тот факт, что среднее геометрическое, взятое от длины гипотенузы и проекции катета, равняется искомой величине катета. То есть N = √(D*Nd).

Учитывая, что корень из произведения означает то же самое, что и среднее геометрическое, возведите в квадрат значение N (длину искомого катета), и разделите на длину гипотенузы. То есть Nd = (N/√D)² = N²/D.В исходных данных задачи длина могут быть даны значения только катетов N и T. В этом случае длину проекции Nd находите с помощью теоремы Пифагора.

Определите длину гипотенузы D, используя значения катетов √(N²+T²) и подставьте полученное значение в формулу для нахождения проекции. Для чего Nd = N²/√(N²+T²).

Если в исходных данных содержится информация о длине проекции катета Rd и величине гипотенузы D, то длину проекции второго катета Nd вычислите с помощью простейшей формулы вычитания – Nd = D – Rd.

В ситуации, когда известно лишь значение длины гипотенузы D и дано простое соотношение длин катетов (m/h) обратитесь за помощью к формулам из первого шага и третьего шага.

Согласно формуле из первого шага примите как факт, что соотношение проекций Nd и Rd приравнивается к соотношению квадратных значений их длин. То есть Nd/Rd = m²/h². Также сумма проекций катетов Nd и Rd равняется длине гипотенузы.

Выразите значение проекции катета Rd через искомый катет Nd и подставьте в формулу суммирования. В результате вы получите Nd + Nd*m²/h² = Nd*(1 + m²/h²) = D, после чего выведите формулу нахождения Nd = D/(1 + m²/h²). Значение Nd и укажет величину искомого катета.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

Содержание:

Для обозначения геометрических фигур и их проекций, для отображения отношений между геометрическими фигурами, а также для краткости записей геометрических предложений, алгоритмов решения задач и доказательства теорем используется геометрический язык, составленный из элементов и символов.

Особое внимание уделяется символам, которые используются для обозначения проекций геометрических фигур.

В предлагаемом издании приняты следующие обозначения:

1. Точки в пространстве – прописными буквами латинского алфа­вита – А.В,С,… или цифрами – 1,2,3 ….

2. Последовательность точек (и других элементов) – подстрочными индексами:

3. Линии в пространстве – по точкам, определяющим данную линию-АВ , CD,… 4. Углы – прописными буквами греческого алфавита –

5. Плоскости – прописными буквами латинского алфавита – .

6. Поверхности – прописными буквами греческого алфавита –

7. Плоскости проекций: – горизонтальная –

• – фронтальная –
• – профильная –

8. Центр проецирования – буквой S.

9. Система координатных осей – где оси проекций обозначаются буквами:

10. Проекции точек: на горизонтальную плоскость проекций –

• на фронтальную плоскость проекций –
• на профильную плоскость проекций –

11. Проекции линии – по проекциям точек, определяющим линию – 12. Совпадение, тождество –

13. Совпадение, равенство –

14. Параллельность – //.

15. Перпендикулярность –

16. Скрещивание –

17. Отображение —

18. Принадлежность элемента (точки) множеству (прямой, плоскости и т.д.) –

19. Принадлежность подмножества (прямой) множеству (плоскости, поверхности) –

20. Пересечение множеств –

Из истории графических изображений:

Графические изображения появились на ранних ступенях развития человеческого общества. Судя по тем из них, которые дошли до нашего времени, они были тесно связаны с производством и ремеслом. Первые изображения выполнялись простейшими инструментами и в виде рисунков, отражающих только внешнюю форму предметов.

Дальнейшее развитие производственной деятельности человека потре­бовало более точного изображения пространственных предметов. Строительство крепостных укреплений и различных сооружений требовало их предварительного изображения на плоскости. Сохранившиеся остатки величественных сооружений античного мира говорят о том, что при их строительстве использовались планы и другие изображения возводимых сооружений.

Одновременно с развитием графических изображений развивалась наука, определяющая правила и теорию этого процесса. Первые труды в этом направлении появились в V – Ш вв до н. э. Это работы Гиппократа, Пифагора, Архимеда и др. Дальнейшее развитие направление получило в трудах многих выдающихся ученых. Итальянский ученый Леон Бат­тиста Альберти ( I404 – 1472) дал основы теоретической перспективы.

Гениальный итальянский художник и ученый Леонардо да Винчи (1452 – 1519) дополнил перспективу учением «Об уменьшении цветов и от­четливости очертаний». Немецкий художник и гравер Альбрехт Дюрер (1471 1528) внес большой вклад в развитие перспективы. Известен его способ построения перспективы по двум ортогональным проекциям предмета. Итальянский ученый Гвидо Убальди (1545 1607) по праву может считаться основателем теоретической перспективы, т. к. в его ра­ботах содержится решение почти всех основных задач перспективы.

Французский архитектор и математик Жерар Дезарг (1593 – 1662) впервые применил для построения перспективы метод координат, положив тем самым начало аксонометрическому методу в начертательной геометрии. В конце XVIII века французский ученый Гаспар Монж (1746 – 1818 гг.) обобщил ранее накопленный опыт по теории и практике изображений и создал стройную научную дисциплину о прямоугольных проекциях. В 1798 г. он издал свой труд «Начертательная геометрия», в котором предложил рассматривать плоский чертеж, состоящий из двух проекций, как результат совмещения двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Это совмещение достигается путем вращения плоскостей вокруг прямой их пересечения, получившей впоследствии название «оси проекций».

Интенсивно развивалась графика и в Древней Руси, причем разви­тие шло своим собственным самобытным путем. До нас дошли выпол­ненные по соответствующим правилам план города Пскова (1581), «Чертеж Московского кремля» (1600), «Чертежная книга Сибири», со­ставленная Семеном Ремезовым в 1701 г.

Большой толчок в развитии способов изображения вызвало развитие техники и связанного с ним изобретательства и открытий. В 1763 г. И.И. Ползунов изготовил чертежи изобретенной заводской паровой ма­шины. Сохранились также чертежи механика – самоучки И.П. Кулиби­ на. Например, чертежи однопролетного арочного моста через Неву (1773).

С открытием в 1810 г. в Петербурге Института корпуса инженеров путей сообщения наряду с другими дисциплинами там начал преподаваться курс начертательной геометрии. Первым профессором по курсу начертательной геометрии был назначен ученик Г. Монжа французский инженер Карл Потьс. С 1818 г. лекции по начертательной геометрии в этом институте стал читать профессор Я.А. Севастьянов (1796 1X49). В 1X21 г. он издает оригинальный курс под названием «Основания начертательной геометрии». Это был первый в России учебник по начертательной геометрии на русском языке. Дальнейшее развитие начертательной геометрии в России связано с именами М.И. Макарова (1824 1904), В.И. Курдюмова (1853 1904), Е.С. Федорова (1853 – 1919) и других ученых.

В октябре 1900 г. начались занятия в первом в Сибири техническом вузе – Томском технологическом институте (Томском политехническом университете). Первым лектором по начертательной геометрии в институте был Валентин Николаевич Джонс. В своих учебниках («Курс начертательной геометрии» и «Задачи к курсу начертательной геометрии»), изданных в Томске в 1904 г. он впервые в России применил безосные чертежи.

Значительный вклад в развитие научных исследований в области выполнения графических изображений, а также преподавания начерта­тельной геометрии и черчения сделали профессор Н.А. Рынин (1887 – 1943), профессор В.О. Гордон (1892 – 1971), академик Н.Ф. Четверухин (1891 – 1974), профессор И.И. Котов (1909 – 1976) и многие другие.

Широкое разнообразие выполняемых чертежей потребовало единых правил и условностей их изготовления. В России они регламентируются Государственными стандартами России, а чертежи, предназначенные для разных стран международными стандартами ISO.

Метод проекций

Изображения объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования.

Аппарат проецирования включает в себя проецируемый объект, проецирующие лучи и плоскость, на которой получается изображение объекта.

Центральное проецирование

Центральное проецирование представляет собой общий случай проецирования геометрических образов на заданную плоскость. Проецирование осуществляется из некоторой точки – центра проецирова­ния. Центр проецирования не должен находиться в плоскости проекций. На рис. 2.1 точка S – центр проецирования, плоскость Р – плоскость проекций. Чтобы получить центральную проекцию точки, проводят проецирующую прямую через данную точку и центр проецирования. Точка пересечения этой прямой с плоскостью проекций является центральной проекцией заданной точки на выбранную плоскость.

Точки являются центральны­ми проекциями точек А. В, С, D на плоскости Р.

Центральные проекции b и с двух различных точек В и С, лежащих на одной проецирующей прямой, совпадают. Следовательно, при заданных плоскости проекции и центре проецирования одна точка в пространстве имеет одну централь­ную проекцию. Но одна проекция точки не позволяет однозначно определить положение точки в пространстве. Для обеспечения обратимости чертежа нужны дополнитель­ные условия.

Центральным проецированием может быть построена проекция любой линии или поверхности как множество проекций всех ее точек. При этом проецирующие прямые, проведенные через все точки кривой линии, образуют проецирующую коническую поверхность (рис. 2.2) или могут оказаться в одной плоскости (рис. 2.3).

Проекция кривой линии представляет собой линию пересечения проецирующей конической поверхности с плоскостью проекций. Так на рис. 2.2 проецирующая коническая поверхность Ф пересекается с плоскостью проекций Р по кривой ab, являющейся проекцией линии АВ. Однако проекция линии не определяет проецируемую линию, так как на проецирующей поверхности может быть бесчисленное количество ли­ний, проецирующихся в одну и ту же линию на плоскости проекций.

При проецировании прямой линии, которая не проходит через центр проецирования, проецирующей поверхностью является плоскость. На рис. 2.3 проецирующая плоскость образована проецирующими прямыми SC и SD, которые проходят через точки С и D прямой CD. Плоскость пересекает плоскость проекций Р по линии cd. Эта линия яв­ляется проекцией прямой CD. Так как точка М принадлежит прямой CD, то ее проекция – точка – принадлежит проекции cd.

Для построения проекций линий, поверхностей или тел часто дос­таточно построить проекции лишь некоторых (характерных) точек. Например, при построении проекции треугольника (рис. 2.4) достаточно построить проекции трех его точек – вершин А, В, С.

Свойства централь­ного проецирования

1. При центральном проецировании:

• а) точка проецируется в точку;
• б) если прямая не проходит через центр проецирования, она проецируется в прямую (проецирующая прямая – в точку);
• в) если плоская (двумерная) фигура не принадлежит проецирующей плоскости, она проецируется в двумерную фигуру (если фигура принадлежит проецирующей плоскости, она проецируется в прямую линию);
• г) трехмерная фигура проецируется в двумерную;
• д) центральные проекции фигур сохраняют взаимную принад­лежность, непрерывность и некоторые другие геометрические свойства.

2. При заданном центре проецирования фигуры на параллельных плоскостях подобны.

3. Центральное проецирование устанавливает однозначное соответствие между фигурой и ее изображением, например изображения на киноэкране, фотопленке. Центральные проекции имеют большую наглядность, но имеют и недостатки. Они заключаются в сложности построения изображения предмета и определения его истинных размеров. Поэтому этот способ имеет ограниченное применение. Его применяют при построении перспектив зданий и сооружений, в живописи и т.д.

Параллельное проецирование

Параллельное проецирование можно рассматривать как частный случай центрального проецирования. При этом центр проецирования удален в бесконечность При параллельном проецировании применяют параллельные проецирующие прямые. Их проводят в заданном направлении относительно плоскости проекций. Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то проекции назы­вают прямоугольными или ортогональными, в других случаях – косо­угольными.

На рис. 2.5 направление проецирования указано стрелкой под углом а^90° к плоскости проекций Р.

При параллельном проециро­вании сохраняются все свойства центрального проецирования, кото­рые дополняются новыми:

1. Параллельные проекции взаимно параллельных прямых парал­лельны, а отношение длин отрезков этих прямых равно отношению длин их проекций.
2. Плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецирует­ся на эту плоскость в такую же фигуру.
3. Параллельный перенос фигуры в пространстве или плоскости проекций не изменяет вида и размеров проекции фигуры.

Применяя приемы параллельного проецирования точки и линии, можно строить параллельные проекции поверхности и тела. Параллельные проекции, как и центральные, не обеспечивают обратимости чертежа.

Способы дополнения проекционных чертежей

При проецировании на одну плоскость проекций между проецируемой фигурой и се проекцией не существует взаимооднозначного соответствия. Так, каждому проецируемому предмету при заданном его положении и выбранном направлении проецирования соответствует единственная его проекция. Однако полученная фигура может быть проекцией бесконечного множества других фигур, которые отличаются друг от друга по величине и по форме. Из рис. 2.6 видно, что пространственной точке М соответствует единственная ее проекция на плоскости Р – точка В то же время точка является проекцией множества точек, лежащих на проецирующей прямой

Прямолинейный отрезок может быть проекцией не только прямолинейного отрезка или но проекцией кривой линии и любой плоской фигуры, расположенной в проецирующей плоскости.

Следовательно, изображение пространственной фигуры является не полным. Мы можем правильно понять чертеж тогда, когда он будет сопровождаться дополнительными пояснениями.

Рассмотрим некоторые способы дополнения проекционного изображения, позволяющие сделать его «обратимым», то есть однозначно определяющим проецируемый предмет.

Способ проекций с числовыми отметками

Этот способ лежит в основе построения чертежей планов местно­сти и некоторых инженерных сооружений (плотин, дорог, дамб и т.п.). Этот способ заключается в том, что положение любой точки в про­странстве определяется ее прямоугольной проекцией на некоторую горизонтальную плоскость. Эту плоскость принимают за плоскость нулевого уровня (рис. 2.7).

Рядом с проекциями точек указывают их отметку. Отметка указывает расстояние от точки до плоскости проекций.

Способ векторных проекций

Академик Е.С. Федоров предложил изображать высоты точек при помощи параллельных отрезков на плоскости проекций. Начало этих отрезков находится в проекциях соответствующих точек. Направление всех высотных отрезков произвольно. Если точки расположены выше горизонтальной плоскости, высотные отрезки, а также числовые отметки считаются положительными. Если точки расположены ниже плоскости, – отрицательными. Положительные и отрицательные высотные отрезки в «федоровских проекциях» отличаются противоположным направлением. Чертежи в «федоровских проекциях» применяют в геоло­гии, горном деле, топографии (рис. 2.8).

Способ прямоугольных проекций

Чертеж в системе прямоугольных проекций образуется при про­ецировании предмета не на одну, а на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Этот способ является частным случаем параллельного проецирования. Направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций. Из точки опускается перпендикуляр на плоскость проекций. Основание перпендикуляра является прямоугольной (ортогональной) проекцией точки.

Осуществлять проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости впервые предложил Гаспар Монж.

Такое проецирование обеспечивает обратимость чертежа. Обрати­мость чертежа – однозначное опреде­ление положения точки в пространстве по ее проекциям.

Одну из плоскостей принято располагать горизонтально – ее называют горизонтальной плоскостью проекций Н, другую – ей перпендикулярно. Такую вертикальную плоскость называют фронтальной плоскостью про­екций V. Эти плоскости проекций пересекаются по линии, которая называется осью проекций (рис. 2.9).

Чтобы получить проекции точки на плоскости, опускаем из точки А в пространстве перпендикуляры (проецирующие лучи) до встречи с плоскостями Н и V. Проецирующие лучи образуют плоскость Р. Эта плоскость перпендикулярна плоскостям Н и V и пересекает их по прямым, перпендикулярным оси проекций, а саму ось в точке то есть прямые взаимно перпендикулярны.

Построение некоторой точки А в пространстве по двум заданным ее проекциям – горизонтальной а и фронталь­ной а’ показано на рис. 2.10. Точку А находят в пересечении перпендикуляров, проведенных из проекции а к плоскости Н и из проекции а’ к плоскости V. Проведенные перпендикуляры принадлежат одной плоскости Р, перпендикулярной плоскостям и пересекаются в един­ственной искомой точке А пространства.

Таким образом, две прямоугольные проекции точки определяют ее положение данной системы взаимно перпендикулярных плоскостей проекций в пространстве относительно

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображения (проекций) пространственных форм на плоскости и способов решения геометрических задач по заданным изображениям этих форм.

Основными требованиями, предъявляемыми к методам проецирования на плоскость, являются наглядность, точность, обратимость изображений, геометрическая равноценность оригиналу. Изображения, построенные по правилам начертательной геометрии, дают возможность решать с помощью плоских проекций общегеометрические и прикладные задачи.

Наряду с задачей отображения пространственных форм на плоскости чертежа начертательная геометрия дает возможность решать с помощью плоских изображений различные задачи в пространстве. Все задачи начертательной геометрии условно делятся на три основных класса: позиционные, метрические и комплексные.

Позиционными называются задачи на определение общих элементов геометрических фигур. Вопросы принадлежности точки или линии какому-либо геометрическому образу, задачи на пересечение и параллельность геометрических фигур относятся к классу позиционных. В позиционных задачах выясняются вопросы, связанные с взаимным расположением геометрических образов, а вопросы измерений не затрагиваются.

Метрическими называются задачи, в которых требуется определить геометрические величины: расстояния, углы, площади, объемы и т.д. К этому классу относятся задачи на определение длины отрезка прямой и углов его наклона к плоскостям проекции, расстояния между различными геометрическими образами и др.

Комплексные задачи включают в себя как вопросы взаимного расположения геометрических образов, так и вопросы их измерения.

Начертательная геометрия по своему содержанию и методам решения задач занимает особое положение среди других наук. Обогащая точные науки наглядностью и простотой решения многих проблем, начертательная геометрия находит применение в механике, кристаллографии, оптике, то есть всюду, где возникает необходимость в пространственных построениях. Многие задачи, изучаемые в аналитической геометрии, могут быть решены графическими методами начертательной геометрии.

Как и другие точные науки, начертательная геометрия развивает логическое и абстрактное мышление, пространственное воображение.

Рассмотрим метод проекций более подробно:

Принятые обозначения:

Проекции геометрических образов обозначают теми же буквами, какими обозначены их оригиналы, и добавляют подстрочный индекс, соответствующий индексу плоскости проекций:

Символы:

•   – принадлежность;
•        – параллельность;
•        – пересечение;
•         – скрещивание;
•         – перпендикулярность;
•         – совпадение;
•         – результат геометрических операций;
•        – касание;
•    – прямой угол;
•       – следует;
•      – соответствует;
•   – н.в. отрезка;
•      – соединение.

Наклонная черта (/), перечеркивающая тот или иной символ, означает отрицание данного действия:

Примеры использования символов:

Сокращения:

• н.ч. – начертательная геометрия;
• г.о. – геометрические образы;
• пл. пр. – плоскость проекций;
• г.м.т. – геометрическое место точек;
• н.в. – натуральная величина;
• т. – точка.

Что такое метод проекций

Евклидово пространство и его реконструкция:

В основе начертательной геометрии лежит метод проекций (проецирования). Слово «проекция» (projecere) – латинского происхождения. Оно означает «бросить вперед, вдаль». Таким образом, под проекцией предмета на плоскость подразумевают его изображение, «отброшенное» на эту плоскость с помощью воображаемых проецирующих лучей, подобно тому, как предмет, освещенный солнцем, отбрасывает тень на землю (рис. 1).

При проецировании решается прямая задача начертательной геометрии, т.е. трехмерные объекты (предметы, оригиналы) изображаются на плоскости, строится чертеж.

Геометрическое пространство, в котором рассматриваются трехмерные объекты и их элементарные составляющие – геометрические образы (г.о.) (точка, прямая, плоскость, поверхность), до некоторого времени именовалось евклидовым пространством. Для него справедливы описанные геометром древности Евклидом пять аксиом: сочетания, порядка, движения, непрерывности, параллельности.

Однако принятие аксиомы Евклида о параллельности приводит к трудностям, связанным с неоднородностью евклидова пространства и погруженных в него г.о., когда речь заходит о проецировании.

Действительно, пусть даны две прямые и принадлежащие плоскости (рис. 2).

В плоскости через произвольную точку проводится прямая  которая пересекает прямую в точке и прямую в точке Точка на прямой однозначно соответствует точке на прямой  Аналогично рассуждают о взаимном соответствии точек прямой  точкам  прямой

Если проводится параллельно   и  параллельно то однородность прямых  и нарушается, так как на прямой нет точки и на прямой  нет точки которые соответствовали бы точкам и Таким образом, прямые и вследствие свойств параллельности являются неоднородными, следовательно, будет неоднородным и плоское поле (евклидова плоскость), определяемое этими прямыми.

Русский математик Н.И. Лобачевский (1792-1856) предложил считать пространство (плоскость) однородным, подвергнув сомнению существование аксиомы о параллельности. Ученый дополнил плоскость бесконечно удаленными (несобственными) точками и в которых параллельные прямые и и пересекаются. Собственными элементами принято называть прямые и плоскости, расположенные в ограниченном (конечном) пространстве.

Добиться однородности трехмерного евклидова пространства можно путем добавления к нему несобственных (бесконечно удаленных) элементов.

Евклидовы плоскость и пространство, дополненные бесконечно удаленными точками, прямыми и плоскостями, называются проективными.

Для проективной плоскости справедливы утверждения:

• – через любые две различные точки проходит прямая, и только одна;
• – любые две прямые имеют общую точку, и только одну.

В проективном пространстве:

• – любые две прямые, лежащие в одной плоскости, всегда пересекаются;
• – любые две плоскости пересекаются по прямой;
• – всякая прямая, не лежащая в плоскости, всегда пересекает плоскость.

Создав пространство, в котором без всяких исключений может осуществляться операция проецирования, рассмотрим способы получения центральных и параллельных проекций.

Центральное проецирование

Центральное проецирование представляет собой один из общих случаев проецирования г.о. на плоскость. Аппарат центрального проецирования определяют плоскость проекций и вне ее точка – центр проекций. Проецирование называется центральным, если все проецирующие лучи проходят через одну и ту же точку – центр проецирования.

Чтобы спроецировать любую точку пространства на плоскость проекций через центр проекций и точку проводится проецирующий луч до пересечения с плоскостью проекций в точке (рис. 3). Так как через две точки можно провести только одну прямую, которая с плоскостью проекций  пересекается в единственной точке, то можно заключить, что любая точка пространства имеет одну вполне определенную проекцию.

Таким образом, центральной проекцией какой-либо точки пространства называется точка пересечения проецирующего луча, проходящего через центр проекций и данную точку, с плоскостью проекций.

Центральное проецирование называют также коническим, так как проецирующие лучи, проходящие через точки кривой линии (рис. 4), представляют собой коническую поверхность с вершиной в центре

Параллельное проецирование

Параллельное проецирование является частным случаем центрального проецирования, когда центр проекций находится в бесконечно удаленной точке  Аппарат параллельного проецирования определяет плоскость проекций и вектор который называют направлением проецирования (рис. 5). Проецирование называется параллельным, если все проецирующие лучи параллельны между собой.

Чтобы спроецировать точку пространства на плоскость через точку проводится проецирующая прямая  параллельная направлению проецирования  до пересечения с плоскостью проекций в точке (см. рис. 5). Любая точка пространства имеет одну вполне определенную проекцию, так как через точку можно провести параллельно вектору s один проецирующий луч, который пересекает плоскость  в единственной точке

Параллельной проекцией какой-либо точки пространства называется точка пересечения проецирующего луча, параллельного направлению проецирования, с плоскостью проекций.

Множество проецирующих лучей, проходящих через точки кривой линии образуют цилиндрическую поверхность, поэтому параллельное проецирование именуют цилиндрическим (рис. 6).

В зависимости от угла наклона проецирующего луча к плоскости проекций параллельные проекции делятся на косоугольные, если угол отличен от прямого (рис. 7), и прямоугольные, если проецирующий луч перпендикулярен плоскости проекции (рис. 8).

Прямоугольные проекции называют также ортогональными (от греческого слова «ортос» – прямой).

Инвариантные свойства проецирования

Геометрические образы проецируются на плоскость проекций в общем случае с искажением. При этом характер искажения проекции по сравнению с оригиналом зависит от аппарата проецирования и положения проецируемого предмета относительно плоскости проекций. В частности, при параллельном проецировании нарушаются метрические характеристики.

Наряду с этим между оригиналом и его проекцией существует определенная связь, заключающаяся в том, что некоторые свойства оригинала сохраняются и на его проекции. Такие свойства принято называть проективными или инвариантными (независимыми) для данного способа проецирования.

Общие свойства центрального и параллельного проецирования

Свойство 1. Проекция точки есть точка.

Это свойство следует из самого способа построения проекции точки.

Свойство 2. Проекция кривой линии есть кривая линия.

Действительно, проецирующие коническая (см. рис. 4) или цилиндрическая (см. рис. 6) поверхности, проходящие через данную кривую, пересекаются с плоскостью проекций по кривой линии.

Свойство 3. Проекция прямой есть прямая (рис. 9).

Проецирующие лучи образуют проецирующие плоскости Две плоскости пересекаются по прямой линии:  Следовательно, – прямая.

Для построения проекции прямой достаточно построить проекции двух ее точек и соединить их.

Исключение представляет собой прямая  совпадающая с проецирующим лучом. Такая прямая проецируется (вырождается) в точку (рис.10). Точка  – вырожденная проекция прямой 

Свойство 4 (это свойство известно как собирательное свойство проекций проецируемых г.о.).

Проекции любых точек принадлежащих проецирующей прямой, совпадают с ее вырожденной проекцией (рис. 11), а также проекции любых точек  прямых или кривых линий, принадлежащих проецирующей плоскости, совпадают с вырожденной проекцией этой плоскости (рис. 12).

Свойство 5. Если точка принадлежит прямой, то проекция точки принадлежит проекции прямой (рис. 13).

Проецирующий луч проходящий через точку  лежит в проецирующей плоскости и пересекает плоскость в точке  находящейся на линии пересечения двух плоскостей и 

Из свойства 5 вытекают два следующих (6, 7):

Свойство 6. Точка пересечения линий проецируется в точку пересечения проекций этих линий (рис. 14).

Свойство 7. Прямая, касательная к кривой линии, проецируется в касательную к проекции данной кривой (рис. 15).

 

Свойства параллельного (в том числе ортогонального) проецирования

Свойство 8. Проекции параллельных прямых параллельны (рис. 16). Плоскости  и параллельны. Линии пересечения их третьей плоскостью  также параллельны, т.е. 

Свойство 9. Отношение отрезков, принадлежащих параллельным прямым или одной прямой, равно отношению проекций этих отрезков.

Доказательство для двух параллельных прямых (см. рис. 16)

Проводятся  и  Из подобия и  следует:

а так как и  то  что и требовалось доказать.

Доказательство для одной прямой (рис. 17).

Известно, что длины отрезков двух прямых и заключенных между параллельными прямыми пропорциональны. Значит,

Свойство 10. Любой отрезок прямой, параллельной плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения (рис. 18).

– параллелограмм, так как и то и и

Свойство 11. При параллельном переносе плоскости проекций величина проекций не меняется (рис. 19).

– параллелограмм, так как  и  то 

       

Свойcтва ортогонального проецирования

Свойство 12. Отрезок прямой в общем случае равен гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого один катет равен его проекции на данную плоскость проекций, а другой – разности расстояний концов отрезка от этой плоскости (рис. 20).

Из чертежа модели (см. рис. 20) видно, что длину отрезка прямой можно определить из прямоугольного треугольника  в котором катет

 (проекции отрезка  на плоскость  а катет равен  -разности расстояний точек  и от плоскости  Угол в том же треугольнике определяет угол наклона отрезка прямой к плоскости проекций

Свойство 13. Любая плоская фигура, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения (рис. 21).

Если треугольник параллелен плоскости проекций то на основании свойства 10 проекции сторон равны самим сторонам треугольника, т.е.

Свойство 14. Проекция любого г.о. не может быть больше самой фигуры. Это свойство вытекает из свойств 10, 12, 13.

Свойство 15 (известно как теорема о проецировании прямого угла).

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а другая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций прямой угол проецируется без искажения (рис. 22).

Дано:  Доказать, что

Доказательство: прямая заключается в проецирующую плоскость  Так как то Но значит А так как  то и  поэтому  перпендикулярна любой прямой плоскости в том числе и  Следовательно, угол  равен 90°.

Обратимость проекционных чертежей

Выше приводились рисунки – модели однопроекционных чертежей,

где проецирование выполнялось на одну плоскость проекций. Был сделан важный вывод о том, что точка пространства имеет одну вполне определенную проекцию  (рис. 23) -прямая задача н.г.

Обратная задача – определение положения точки по заданной проекции – однозначно не решается, так как не известно, на каком расстоянии находится искомая точка от плоскости проекций. Проекции  может соответствовать любая точка пространства (см.рис.23).

По одной проекции окружности нельзя определить, какой г.о. спроецирован на  Это может быть сфера, конус, цилиндр и некоторые другие поверхности (см. рис. 23). Одна проекция не определяет форму и положение г.о. в пространстве. Необходима дополнительная информация, чтобы чертеж был обратимым, т.е. однозначно определял форму и размер предмета по чертежу.

В зависимости от способа дополнения однопроекционного чертежа существуют следующие методы:

• –  ортогональные проекции (метод Монжа);
• –  проекции с числовыми отметками;
• –  аксонометрические проекции;
• –  перспективные проекции.

В методе Монжа дополнением однопроекционного чертежа является проекция на вторую плоскость (рис. 24, 25). Более подробно этот метод изложен в разделе II.

В проекциях с числовыми отметками одну ортогональную проекцию точки дополняет числовая отметка, указывающая расстояние от точки до плоскости проекций (рис. 26).

На чертеже обязательно приводится линейный масштаб, который вместе с числовой отметкой позволяет сделать чертеж обратимым.

Проекции с числовыми отметками применяются в инженерно-строительном деле или при изображении объектов, у которых высота невелика по сравнению с длиной и шириной.

Обратимость аксонометрических проекций (рис. 27) и перспективных проекций (рис. 28) достигается благодаря так называемым вторичным проекциям  точек пространства. Более полные сведения об аксонометрических проекциях приведены в разделе IX.

Всё о методе проекций

Будущий инженер-судостроитель, работающий в конструкторском бюро, на судостроительном заводе или занимающийся проектированием судовых обводов, должен уметь отчетливо представлять себе в пространстве образ будущего судна, свободно ориентироваться в геометрии его отдельных частей. На практике такое умение означает способность выполнять чертежи судовых обводов в ортогональных и аксонометрических проекциях. В основе построения обоих типов проекций лежит операция проецирования.
 

Операция проецирования

Выберем в пространстве некоторую произвольно расположенную плоскость (рис. 1.1) и назовем ее плоскостью проекций.

Пусть S – точка пространства, не принадлежащая назовем ее центром проецирования. Выберем также в пространстве произвольную точку А, не принадлежащую плоскости , и не совпадающую с S.

Прямая, проходящая через точки S и А, называется проецирующим лучом, а точка ее пересечения с плоскостью называется проекцией точки А на плоскость соответствует удалению центра проецирования S на конечное расстояние от плоскости проекций . В случае бесконечной удаленности центра S от плоскости , все проецирующие лучи проходят в пространстве параллельно друг другу, а сам процесс проецирования называется параллельным проецированием (рис. 1.2).

Если угол, образованный направлением проецирующих лучей с плоскостью проекций , прямой, то параллельное проецирование называется прямоугольным или ортогональным (рис. 1.3).

Несобственные элементы пространства

Операция проецирования как способ образования геометрических моделей опирается на представление о геометрическом пространстве и его элементах. Элементами трехмерного геометрического пространства являются точки, прямые и плоскости, находящиеся в определенных соотношениях.

Рассмотрим, какие дополнения должны быть внесены в евклидово представление о геометрическом пространстве в связи с выполнением в нем операции проецирования. Спроецируем точки некоторой заданной прямой n из центра S на прямую (рис. 1.4). Проекцией точки F на прямой n1 является точка. Аналогично каждой точке прямой n будет соответствовать ее проекция – точка прямой . Следовательно, между точками прямых n и , устанавливается взаимно-однозначное соответствие или изоморфизм.

Имеется, однако, два случая, в которых данный изоморфизм нарушается. Укажем на прямой n точку М, лежащую на луче SМ.
Проецирующий луч SМ параллелен прямой , не имеет с ней точки пересечения и, таким образом, на прямой , отсутствует центральная проекция принадлежащей прямой n точки М.

Из вышесказанного следует, что точечное соответствие, установленное между прямыми методом центрального проецирования, обладает недостатком, без устранения которого корректное применение операции проецирования невозможно. Отмеченный недостаток является следствием основных свойств евклидова пространства и его можно устранить, дополнив это пространство так называемыми несобственными или бесконечно удаленными элементами.

Для того, чтобы определить соответствующие элементы пространства и замкнуть операцию проецирования, достаточно потребовать, чтобы две параллельные прямые считались пересекающимися, причем точку их пересечения назовем несобственной точкой.

Тогда каждой точке – оригиналу прямой n можно сопоставить ее проекцию – точку прямой , причем последняя может быть как собственной, так и несобственной. Аналогичное положение можно сформулировать и для точек прямой которым операция проецирования приводит в соответствие, точки – оригиналы прямой n.

Приведенные рассуждения о точке пересечения двух параллельных прямых справедливы для любых двух параллельных прямых пространства. Следовательно, каждая прямая пространства имеет единственную ей принадлежащую несобственную точку, называемую также бесконечно удаленной. Естественность такого определения легко прослеживается из рис. 1.4.

Выясним, что представляет собой геометрическое место несобственных точек, лежащих в произвольной плоскости. Поскольку каждая прямая такой плоскости имеет единственную несобственную точку, то она должна пересекать упомянутое геометрическое место лишь в одной точке. Геометрическим местом несобственных точек плоскости естественно поэтому считать прямую линию. Итак, на каждой плоскости имеем несобственную или бесконечно удаленную прямую.

Рассмотрим две параллельные плоскости (рис. 1.5).
Две прямые параллельные между собой и принадлежащие этим плоскостям , пересекаются в принадлежащей обеим плоскостям несобственной точке. Отсюда следует, что параллельные плоскости имеют общую несобственную прямую и, следовательно, совокупность взаимно параллельных плоскостей представляет собой пучок плоскостей с несобственной осью.

Определим теперь геометрическое место несобственных точек пространства. Дополнив каждую прямую несобственной точкой, а каждую
плоскость несобственной прямой, получим множество несобственных элементов пространства. Рассматривая это множество как некоторое геометрическое место точек, заметим, что оно имеет с каждой прямой одну общую точку и с каждой плоскостью одну общую прямую. Естественно поэтому рассматривать его как несобственную или бесконечно удаленную плоскость.
Введение бесконечно удаленных элементов пространства позволяет получить такую геометрическую модель физического мира, в котором операция проецирования осуществляется без всяких исключений. Пространство, полученное присоединением к евклидову пространству этих элементов, называется поэтому проективным пространством.

Приведем ряд утверждений, справедливых в проективном пространстве:

1. любые две прямые, лежащие в одной плоскости, пересекаются (в собственной или несобственной точке);
2. две любые плоскости пространства всегда пересекаются (по собственной или несобственной прямой);
3. прямая и плоскость всегда пересекаются (в собственной или несобственной точке).

Очевидно, что в проективном пространстве параллельное проецирование является частным случаем центрального, при этом центры проецирования – несобственные точки.
 

Метод двух изображений

Имея представление о проективном пространстве и умея использовать операцию проецирования, перейдем теперь к непосредственному конструированию плоских изображений пространственных объектов – геометрических моделей.

Вернемся к рис. 1.1. Попытаемся по проекции точки на плоскости ,однозначно определить положения течки А в пространстве. Это нам не удастся сделать, поскольку точке в пространстве соответствует бесчисленное число точек-оригиналов, лежащих на проецирующем луче SА. Как же все-таки геометрически определить положение точки в пространстве? Выберем в пространстве две плоскости проекций, и и два центра проецирования (рис. 1.6). На этом рисунке – линия пересечения плоскостей проекций и , называемая осью проекций. Спроецируем точку F из центра , на плоскость и из центра на плоскость .

Совокупность точеки можно рассматривать как некую геометрическую модель точки F, однозначно определяющую ее положение в пространстве. Действительно, при заданном взаимном положении плоскостей проекций и и центров проецирования и по расположению точек и можно зафиксировать в пространстве единственное положение точки-оригинала F относительно плоскостей проекций и . Точка F находится в пересечении прямых и

Точки пересечения прямой , соединяющей центры проецирования с плоскостями проекций и , называются исключенными. Их совокупность при заданном положении плоскостей проекций и и центров проецирования не позволяет однозначно определить положение в пространстве произвольной точки, принадлежащей прямой . Пересекаясь в точке F, проецирующие лучи и определяют некоторую плоскость b, пересекающую плоскость по прямой а плоскость p2 – по прямой . Точка
точка пересечения трех плоскостей , и p2.

Из сказанного следует, что, зная положение исключенных точек , можно задать проекции любой точки пространства, кроме точек, лежащих на прямой, соединяющей центры проецирования и на плоскостях проекций и . Действительно, выбрав произвольно точку проводим прямую фиксируем точку , затем проводим прямую и на ней произвольно задаем точку (исключая случай

Рассмотренный метод построения геометрической модели объекта называется методом двух изображений.

Недостатком построенной выше модели точки является наличие двух, связанных с пространством, произвольно ориентированных друг относительно друга плоскостей проекций, а также произвольность направления проецирующих лучей.
 

Ортогональное проецирование. Эпюр Монжа

Частным случаем метода двух изображений является широко используемый на практике метод прямоугольного (ортогонального) проецирования точек исследуемого геометрического объекта на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций и (рис. 1.7).

Плоскость располагается в пространстве горизонтально и называется горизонтальной плоскостью проекций. Перпендикулярная ей плоскость называется фронтальной плоскостью проекций. В этом случае центры проецирования– несобственные
точки. Несобственными в этом случае являются также прямая и исключенные точки

На рис. 1.7   или  или  обозначение линии пересечения называемой осью проекций; и – ортогональные проекции точки F на плоскости проекций и ; – точка пересечения плоскости, определенной проецирующими прямыми , с осью проекций .
Таким образом, пересечение перпендикуляров, восставленных в точках и к плоскостям проекций и , однозначно определит в пространстве положение точки F

Ясно, конечно, что пространственная конфигурация, состоящая из двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций, на которых строятся ортогональные проекции точек рассматриваемого объекта, громоздка и неудобна в качестве носителя информации о его геометрической форме. Поэтому информацию о геометрических характеристиках изучаемого объекта целесообразно получить на плоскости, т.е. на листе бумаги, кальки и т.д. Как же перейти от системы двух плоскостей проекций к одной?

Рассмотрим рис. 1.7. Повернем плоскость вокруг оси до совмещения с плоскостью проекций (рис. 1.8). Приведенное изображение носит название эпюра Монжа по имени французского геометра, впервые в истории предложившего метод геометрического изображения на плоскости пространственных объектов. Понятно, что плоскости проекций безграничны, и поэтому на чертеже для изображения плоской модели точки пространства вполне достаточно изобразить ось проекций и ортогональные проекции точки (рис. 1.9).

Из этого рисунка видно, что ортогональные проекции на плоскости проекций и точки располагаются на прямой, перпендикулярной оси проекций. Этот факт становится очевидным, если внимательно рассмотреть рис. 1.7.

Проецирующие точку F перпендикуляры как пересекающиеся прямые определяют в пространстве плоскость перпендикулярную к обеим плоскостям проекций

Следовательно, ось проекций x12 – линия пересечения плоскостей перпендикулярна плоскости и любой прямой, в ней лежащей, в том числе и прямым

При переходе к эпюру Монжа перпендикулярность прямых сохраняется и, проходя через одну и ту же точку на ней, они
продолжают друг друга.

Таким образом, ортогональные проекции точки на две взаимно перпендикулярные плоскости проекций располагаются на прямой, перпендикулярной направлению оcи проекций. Эта прямая называется линией связи. Положение любой точки в пространстве вполне определено тремя ее координатами Х, Y, Z. Для связи ортогональных проекций точки с тремя числами, определяющими ее положение в пространстве, рассмотрим три взаимно перпендикулярные плоскости проекций (рис. 1.10). Назовем плоскость p3 профильной плоскостью проекций, , – линиями пересечения соответствующих плоскостей проекций.

Отождествим с плоскостями проекций , систему координатных плоскостей ХОY, ХOZ и YOZ, тогда оси прямоугольной декартовой системы координат ОХ, ОY и OZ совпадут с осями проекций соответственно. Точка O – начало координат системы ОХУZ совпадает с точкой пересечения плоскостей проекций Теперь однозначно определим положение произвольной точки A A(X, Y, Z) пространства относительно плоскостей проекций.

Расстояние точки А от плоскости определится ее координатой Z, от плоскости координатой Y и от плоскости – координатой X (рис. 1.11). Приведенная система плоскостей проекций делит пространство на области, называемые координатными углами или квадрантами, которые обозначаются римскими цифрами I, II, III, IV.

В зависимости от того, положительны или отрицательны численные значения задающих точку в пространстве координат, она располагается в том или ином квадранте и, наоборот, расположение точки в соответствующем квадранте определяет знаки ее координат.

Так, если координаты Y и Z точки, называемые ординатой и аппликатой, положительны, то точка расположена в I квадранте, если Y и Z отрицательны, то точка расположена в III квадранте (рис. 1.12).

В указанном случае на эпюре Монжа ортогональные проекции точек располагаются по разные стороны от оси проекций (рис. 1.13).

Если одна из координат точки Y или Z отрицательна (при положительной абсциссе X), то точка расположена либо во II, либо в IV квадранте, а на эпюре Монжа ее ортогональные проекции располагаются по одну сторону оси проекции: либо вверх, либо вниз (рис. 1.14, 1.15).

На практике система ортогональных плоскостей проекций может располагаться по разному относительно исследуемого геометрического объекта.

На рис. 1.16 плоскости проекций жестко связаны с поверхностью судна. Плоскость является при этом плоскостью его
продольной симметрии, плоскость проходит горизонтально через самую нижнюю его точку, а плоскость – перпендикулярно посредине длины судна.

Для того, чтобы яснее представить себе положение точки исследуемого объекта, удобно воспользоваться вспомогательным изображением, которое получается на плоскости проекций, если посмотреть на всю систему плоскостей проекций и точку, заданную в ней, в направлении оси проекций (рис. 1.17, 1.18).

Из рис. 1.18 видно, что ось проекцийпроецируется на плоскость в точку, а линии пересечения плоскостей и с плоскостью обозначаются как и ранее . Приведенные на рис. 1.18 стрелки указывают направление поворота плоскости , до совмещения с , т.е. процесс образования эпюра Монжа. В то же время нужно себе четко представлять, что рис. 1.18 – это лишь вспомогательное изображение, а не сам эпюр Монжа.

Введем в рассмотрение плоскости, делящие пополам координатные углы, образованные плоскостями проекций (рис. 1.19).

Так, плоскость, делящая пополам I и III квадранты, называется плоскостью симметрии или нечетной биссекторной плоскостью и обозначается Плоскость, делящая пополам II и IV квадранты, называется плоскостью тождества или четной биссекторной плоскостью и обозначается

Координаты X и Y точки, принадлежащей плоскости симметрии, одинаковы по величине и знаку, а на эпюре Монжа ее проекции располагаются симметрично относительно оси (рис. 1.20). Координаты X и Y точки, принадлежащей плоскости тождества, равны по величине, но различаются по знаку и поэтому на эпюре Монжа ее проекции тождественно совпадают.

Ортогональные проекции прямой линии, двух прямых

В архитектурном облике современного судна отрезки прямых линий встречаются достаточно часто. Они формируют в основном контуры вырезов люков (рис. 1.21) на сухогрузных судах: контуры мачт, грузовых стрел и т.д. Поэтому умение правильно изобразить моделируемый отрезком прямой элемент соответствующей реальной конструкции очень важно для инженера-судостроителя.

Пусть в пространстве отрезок прямой АВ моделирует часть грузовой стрелы сухогруза, и нам следует определить изображение этой стрелы на горизонтальной и вертикальной плоскостях, т.е. плоскостях проекций , а также определить углы ее наклона к обеим плоскостям.

Для того чтобы построить ортогональные проекции отрезка АВ на плоскости формально следует спроецировать все точки этого отрезка на плоскости проекций (рис. 1.22), и геометрические места соответствующих проекций точек на плоскостях проекций определят проекции отрезка прямой линии. В такой длительной и утомительной процедуре, однако, нет необходимости.

Положение любой прямой в пространстве определяется, как известно, двумя принадлежащими ей точками (например А и В, рис. 1.23), поэтому для построения ортогональных проекций произвольной прямой линии на плоскостях проекций достаточно построить ортогональные проекции двух этих точек на плоскостях

Известно, что две параллельные между собой прямые определяют плоскость. На рис. 1.24 греческими буквами обозначены плоскости, заданные проецирующими точки А и В перпендикулярами

Плоскость пересекает плоскость по прямой, проходящей через точки , а плоскость e пересекает плоскость p1, по прямой, проходящей через точки. Отрезки являются, таким образом, ортогональными проекциями отрезка прямой линии АВ на плоскости проекций .

Выберем на отрезке прямой AВ точку С, расположенную между А и В (см. рис. 1.24). Основания проецирующих точку С на плоскости перпендикуляров на ортогональных проекциях отрезка . Переход от рис. 1.23 и 1.24 к эпюру Монжа приводит к изображениям (рис. 1.25).

Таким образом, если эпюре Монжа на заданы проекции отрезка прямой линии и горизонтальная проекция принадлежащей отрезку точки К, то фронтальная проекция точки найдется на пересечении проходящего через точку  направления проецирования с фронтальной проекцией отрезка (рис. 1.26).

Проанализируем теперь вопрос о том, как влияет положение оси проекций на расположение проекций отрезка AB на эпюре Монжа и самого отрезка прямой в пространстве. Сместим ось проекции параллельно самой себе вниз на расстояние K (рис. 1.27).

При этом на эпюре Монжа проекции отрезка прямой , и не изменяются (не деформируются). В пространстве также не изменились ни длина отрезка АВ, ни углы его наклона к плоскостям проекций .

Изменились лишь координаты принадлежащих отрезку точек: их ординаты уменьшились, а аппликаты увеличились на одну и ту же величину К. Это эквивалентно перемещению фронтальной плоскости проекций  по направлению оси ОY ж отрезку АВ на величину К и горизонтальной плоскости проекций вниз (по направлению оси OZ) на ту же величину К.

На рис. 1.28 иллюстрируется рассмотренное выше перемещение плоскостей проекций . Видно, что система плоскостей проекций переходит в некоторое новое положение как бы скользя по плоскости тождества, которая остается общей для обеих систем плоскостей проекций и которой принадлежат старая и новая оси проекций.

На рис. 1.29 приведены проекции точки F отрезка АВ, принадлежащей плоскости тождества. Видно, что ее положение единственно и не зависит от положения оси проекций. Приведенные соображения убедительно свидетельствуют о том, что изображения геометрического объекта не зависят от положения оси проекций на эпюре Монжа, от ее наличия или отсутствия на нем. При изображении технических объектов ось проекций не используется вообще, а определяя направление линии связи, говорят, что оно всегда перпендикулярно направлению оси проекций.

Приведенные на рис. 1.22, 1.24 варианты расположения отрезка прямой относительно плоскостей проекций характеризуют так называемую прямую общего положения, т.е. прямую, произвольным образом наклоненную к обеим плоскостям проекций.

Рассмотрим решение задачи об определении длины отрезка прямой линии (иногда вместо слова “длина” употребляют термин “истинная величина” отрезка прямой, подчеркивая, что на плоскостях проекций отрезки прямых в общем случае изображаются в искаженном виде). Практической иллюстрацией к этой задаче может служить рис. 1.30, на котором приведен фрагмент грузовой стрелы сухогруза, контуры люка в пространстве и в ортогональных проекциях. Определение истинной величины отрезка FG позволит графически найти длину грузовой стрелы судна.

Рассмотрим сначала пространственную картинку. Ортогональная система плоскостей проекций и совмещена с корпусом судна. Плоскость отождествляется с вертикальной плоскостью продольной симметрии судна, а плоскость – с палубой судна, если предположить, что она горизонтальна. Отрезок NM, принадлежащий плоскости , определяет мачту судна. Отрезок FG – фрагмент его грузовой стрелы. Прямоугольник 1234 определяет контур полувыреза палубного люка. На рис. 1.31 приведен соответствующий рис. 1.30
эпюр Монжа.

С учетом указанных построений легко видеть, что
Уяснение смысла записанных равенств очень важно.

Отрезок , представляет собой разность удалений точек G и F от плоскости , (иначе говоря, разность расстояний по вертикали конечной и начальной точек фрагмента грузовой стрелы от палубы).

Отрезок равен по длине отрезку но определен он не в пространстве, а на плоскости проекций (см. рис. 1.30), т.е. определяется информацией, имеющейся на эпюре Монжа.

Аналогично отрезок представляет собой разность удалений точек G и F от фронтальной плоскости проекций (иначе говоря, разность расстояний по горизонтали конечной и начальной точек фрагмента грузовой стрелы от вертикальной плоскости продольной симметрии судна). Равный отрезку , но определенный на плоскости – отрезок Из рис. 1.30 видно, что длина отрезка FG определяется гипотенузой прямоугольного треугольника , в котором один из катетов представляет собой горизонтальную проекцию отрезка, так как=, а другой катет определяет разность удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций p1, и может быть найден на фронтальной плоскости проекций, так как=

Для того чтобы определить длину отрезка FG на эпюре Монжа, следует восставить, например, в точке G1 перпендикуляр к горизонтальной проекции отрезка и отложить на нем от точкиотрезок, равный отрезку . Соединив точку G c точкой F, получим истинную величину отрезка FG. Если вновь обратиться к рис. 1.30, то можно заметить также, что длина отрезка FG может быть определена и как гипотенуза прямоугольного треугольника , в котором один из катетов представляет собой фронтальную проекцию отрезка, так как = , а другой катет определяет разность удалений концов отрезка от фронтальной плоскости проекций и может быть найден на горизонтальной плоскости проекций, так как

Для определения длины отрезка FG на эпюре Монжа теперь следует восставить перпендикуляр в точке , к фронтальной проекции отрезка и отложить на нем от точки отрезок, равный отрезку Соединив точку G с точкой F, получим истинную величину отрезка FG. Обозначенные на рис.1.30, 1.31 буквами углы представляют собой углы наклона отрезка FG к плоскостям проекций соответственно. Рис. 1.30 и 1.31 иллюстрируют изображения в пространстве и на эпюре Монжа отрезка прямой линии общего положения.

При решении различных типов практических задач часто приходится рассматривать ситуации, в которых геометрические конфигурации моделируются отрезками прямых, занимающих некоторое характерное частное положение относительно плоскостей проекций .

Прямые, параллельные плоскостям проекций

На рис. 1.32 приведено изображение прямой линии, параллельной горизонтальной плоскости проекций Такая прямая называется горизонталью. Любая горизонталь обозначается буквой
На эпюре Монжа изображение горизонтали характеризуется тем, что ее фронтальная проекция параллельна направлению оси проекций, горизонтальная же проекция , может располагаться произвольно в зависимости от угла наклона горизонтали к фронтальной плоскости проекций (рис. 1.33).

Длина горизонтали h в пространстве определяется длиной ее горизонтальной проекции , а угол наклона горизонтали к фронтальной плоскости проекций может быть измерен на эпюре Монжа углом, составленным ее горизонтальной проекцией с осью проекций .

Прямая, параллельная фронтальной плоскости проекций , называется фронталью и обозначается буквой (рис. 1.34).

На эпюре Монжа горизонтальная проекция фронтали параллельна направлению оси проекций, а фронтальная проекция фронтали определяет длину фронтали f в пространстве. Угол наклона фронтали f к горизонтальной плоскости проекций на эпюре

Монжа определяется углом между ее фронтальной проекцией и осью проекций (рис. 1.35).

Из приведенных выше рассуждений становится очевидным изображение на эпюре Монжа прямой, параллельной оси проекций, g (), которая является одновременно горизонталью и фронталью. Обе проекции такой прямой параллельны направлению оси проекций (рис. 1.36).

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций

Прямые, перпендикулярные плоскостям проекций, называют проецирующими (рис.1.37). Если прямая ℓ перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций то ее горизонтальная проекция вырождается в точку, а фронтальнаяпараллельна плоскости и на эпюре Монжа совпадает с направлением линии связи (рис. 1.38).

У прямой n, перпендикулярной фронтальной плоскости проекций , фронтальная проекция вырождается в точку, а горизонтальная проекция параллельна плоскости и на эпюре Монжа совпадает с направлением линии связи. Прямые ℓ и n, перпендикулярные плоскостям проекций, можно рассматривать как частные случаи так называемой профильной прямой, т.е. прямой, расположенной
в профильной плоскости проекций или в плоскости, ей параллельной (рис. 1.39).

На эпюре Монжа обе проекции любой профильной прямой m совпадают с направлением линии связи (рис. 1.40).

К другим частным положениям прямой линии следует отнести случаи их параллельности плоскостям тождества и симметрии. Так, на рис. 1.41 приведено изображение на эпюре Монжа прямой, параллельной плоскости тождества, а на рис. 1.42 – изображение прямой, параллельной плоскости симметрии.

Анализ рассмотренных частных положений прямой позволяет сформулировать вывод о том, что прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость проекций без искажения.

В соответствии с взаимной ориентацией в пространстве прямые линии могут быть: а) параллельными; б) пересекающимися; в) скрещивающимися. Наиболее характерным практическим применением перечисленных типов взаимного расположения прямых могут служить автомобильные дороги, линии электропередач высокого напряжения и т.д.
 

Пересекающиеся прямые

Для пересекающихся в пространстве прямых линий характерно наличие общей точки (рис. 1.43). Линия пересечения плоскостей, проходящих через перпендикуляры, проецирующие точки отрезков пересекающихся прямых FG и СD на какую-либо плоскость проекций, например , является перпендикуляром, проецирующим на плоскость точку пересечения R этих прямых. Рис. 1.43 иллюстрирует факт, заключающийся в том, что проекции отрезков пересекающихся прямых FG и СD также являются пересекающимися прямымиа точка их пересечения является проекцией точки R.

Из сказанного следует, что на эпюре Монжа точки в должны располагаться на одной линии связи (рис. 1.44).

Если отрезки пересекающихся прямых располагаются в плоскости, перпендикулярной какой-либо плоскости проекций, например p1, то на эпюре

Монжа их горизонтальные проекции совпадают (см.рис. 1.44).
Случай пересечения профильных прямых не является столь очевидным, как случай пересечения прямых общего положения.

Поэтому определение проекций точки пересечения двух профильных прямых на эпюре Монжа требует проведения дополнительных построений, основанных на косоугольном параллельном проецировании обеих пересекающихся профильных прямых на плоскость тождества (рис. 1.45).

На эпюре Монжа (рис. 1.46) вспомогательные прямые  пересекаясь, определяют вспомогательную принадлежащую плоскости тождества точку , положение которой позволяет определить проекцииточки пересечения К профильных прямых АВ и СD.

Параллельные прямые

Плоскости которым принадлежат перпендикуляры, проецирующие точки прямых на плоскости , параллельны между собой (рис. 1.47).

Следовательно, и линии пересечения этих плоскостей с плоскостями – ортогональные проекции прямых на плоскости параллельны друг другу. Таким образом, если две прямые линии в пространстве взаимно параллельны, то взаимно параллельны и их одноименные проекции и (рис. 1.48). Если параллельные прямые ℓ и m располагаются в некоторой плоскости, перпендикулярной какой-либо из плоскостей проекций, например,, то горизонтальные проекции этих прямых совпадут (рис. 1.49).

Прямые, принадлежащие профильной плоскости проекций, называются профильными (рис. 1.50). Независимо от взаимной ориентации профильных прямых в пространстве их проекции всегда параллельны, так как они перпендикулярны направлению оси проекций

Поэтому для выяснения вопроса о том, параллельны ли в пространстве профильные прямые, проекции которых заданы на эпюре Монжа, необходимо провести некоторые вспомогательные построения. Метод вспомогательных прямых, иллюстрируемый рис. 1.50, основан на параллельном косоугольном проецировании обеих параллельных прямых на плоскость тождества.

Рис. 1.50 иллюстрирует решение задачи о построении проекций отрезка СD, параллельного отрезку АВ на эпюре Монжа, если заданы его фронтальная проекция , горизонтальная проекция точки и требуется определить положение горизонтальной проекции точки
 

Скрещивающиеся прямые

Примерами скрещивающихся прямых могут служить случаи идущие на разных уровнях автострады, всевозможные транспортные развязки, проложенные на разных уровнях судовые системы и т.д.

Изображения скрещивающихся прямых в пространстве характеризуется отсутствием общей точки – точки их пересечения.

На эпюре Монжа одноименные проекции скрещивающихся прямых могут пересекаться, но точки их пересечения не лежат на одной линии связи (рис. 1.51).

Задание плоскости на эпюре Монжа

Плоскость определяется тремя точками, не лежащими на одной прямой. На рис. 1.52 и 1.53 приведены примеры задания плоскости тремя точками в пространстве и на эпюре Монжа.

К другим возможным способам задания плоскости, являющимся следствием указанного выше, следует отнести задание плоскости прямой линией и точкой вне ее (рис. 1.54,а), пересекающимися прямыми (рис. 1.54,б) и параллельными прямыми (рис. 1.54,в).

Плоскости, образующие произвольные углы с плоскостями проекций называются плоскостями общего положения. На рис. 1.54 приведены различные примеры задания плоскостей общего положения на эпюре Монжа.

Если плоскость перпендикулярна какой-либо плоскости проекций, она называется проецирующей. Плоскость, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, называется горизонтально проецирующей (рис. 1.55), а плоскость, перпендикулярная фронтальной плоскости проекций – фронтально проецирующей (рис. 1.56).

Рассматривая, например, на судне пространственное расположение продольных и поперечных переборок, делящих судно на отсеки,
легко представить себе, что они расположены в горизонтально проецирующих плоскостях.

Проецирующая плоскость обладает тем свойством, что одна из проекций любого лежащего в ней геометрического образа совпадает с линией пересечения этой плоскости с соответствующей плоскостью проекций (рис. 1.57).

На эпюре Монжа проецирующая плоскость, как правило, задается линией ее пересечения с соответствующей плоскостью проекций, называемой следом данной проецирующей плоскости. След проецирующей плоскости на плоскости проекций обозначается какой-либо греческой буквой, используемой для названия плоскости и подстрочного индекса, которым является обозначение плоскости проекций. Например, – след фронтально проецирующей плоскости a на плоскости проекций (см. рис. 1.56), – след горизонтально проецирующей плоскости на плоскости проекций(см. рис. 1.55). На рис. 1.58 приведены примеры различной ориентации следов проецирующих плоскостей на эпюре Монжа.

Для решения самых различных задач, связанных с определением тех или иных геометрических элементов плоскости, приходится использовать прямые, лежащие в плоскости и параллельные плоскостям проекций . Эти прямые называются главными линиями
плоскости или прямыми уровня.

Так, прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная горизонтальной плоскости проекций , называется горизонталью плоскости, а прямая, принадлежащая заданной плоскости и параллельная плоскости называется фронталью плоскости.

Для того чтобы более наглядно оценить ориентацию главных линий плоскости в пространстве, их можно представить как линии пересечения этой плоскости с плоскостями, соответственно параллельными плоскостям проекций и .

Заметим, что каждой плоскости принадлежит бесчисленное множество фронталей и горизонталей, однако через произвольную точку
плоскости можно провести лишь одну фронталь и одну горизонталь.
Рассмотрим примеры построения главных линий плоскости на эпюре Монжа. Пусть плоскость задана проекциями треугольника (рис. 1.59). Построение следует проводить на основании известного положения геометрии о том, что прямая, принадлежащая плоскости, имеет с ней две общие точки либо одну общую точку и параллельна прямой, лежащей в плоскости.

Итак, построим проекции горизонтали и фронтали принадлежащих плоскости треугольника FGH и проходящих через его вершину F. Фронтальная проекция горизонтали как и. горизонтальная проекция фронтали параллельны направлению оси проекций (как проекции прямых, параллельных плоскостям проекций , см. раздел 1.3).
Обозначим через точку пересечения фронтальной проекции горизонтали h с продолжением – фронтальной проекции стороны GH треугольника.

Горизонтальная проекция точки найдется на продолжении горизонтальной проекциистороны треугольника FGH, определяя тем самым горизонтальную проекцию горизонтали – Аналогично находятся на эпюре горизонтальная и фронтальная проекции точки М – точки пересечения фронтали треугольника FGН, проходящей через его вершину F со стороной треугольника GН.

На рис. 1.60 приведены примеры построения горизонталей и фронталей проецирующих плоскостей, различным образом ориентированных относительно плоскостей проекций.

Заметим, что понятие следа плоскости на плоскости проекций характерно не только для проецирующих плоскостей. Под следом в общем случае понимается линия пересечения любой плоскости, в том числе и плоскости общего положения с другой интересующей нас плоскостью.

Выше (см. раздел 1.3) было показано, что при переносе оси проекций плоскость тождества не изменяет своего положения в пространстве. Эта неизменность ее положения относительно рассматриваемых геометрических образов позволяет включать в состав элементов, задающих произвольную плоскость, линию пересечения последней с плоскостью тождества.

На рис. 1.61 на эпюре Монжа плоскость задана проекциями треугольника. Продолжая фронтальные и горизонтальные проекции сторон треугольника до взаимного их пересечения, найдем проекции точек пересечения сторон FG и GH с плоскостью тождества –

Отрезок РL определит линию пересечения плоскости треугольника FGH с плоскостью тождества. Положение этой прямой единственно и не
зависит от положения плоскостей проекций . Очевидно, что плоскость, определяемую проекциями треугольника можно перезадать ее следом на плоскости тождества – отрезком РL и, например, любой из вершин треугольника (см. рис. 1.61).

Позиционные задачи

Позиционные задачи – это задачи, в процессе решения которых определяются общие элементы различных геометрических фигур.

К их числу относят задачи на взаимную принадлежность (инцидентность) – определение точки или линии, принадлежащей данной плоскости, проведение прямой через заданную точку, плоскости через заданные точку или прямую, а также задачи на пересечение различных геометрических образов – определение точки пересечения прямой с плоскостью или линии пересечения двух плоскостей.

Характерной особенностью позиционных задач является то, что в процессе их решения не учитываются метрические свойства фигур те их свойства, которые могут быть выявлены лишь в результате измерения.

В настоящем параграфе рассматриваются основные позиционные задачи, иллюстрирующие решение значительного большинства задач этого класса.
 

Задача 1.

Построить прямую К, лежащую в данной плоскости. Эта задача уже рассматривалась косвенно при построении главных линий плоскости (раздел 1.4).

Итак, прямая лежит в плоскости, если она имеет с ней две общие точки (рис. 1.62) или одну общую точку и параллельна некоторой другой прямой, лежащей в той же плоскости (рис. 1.63).

Задача 2.

Построить точку L, лежащую в заданной плоскости. Известно, что точка принадлежит плоскости, если она принадлежит любой прямой, лежащей в этой плоскости. Поэтому, если, например, задана фронтальная проекция точки или горизонтальная ее проекция (рис. 1.64), то недостающие их проекции легко достроить, построив проекции произвольной прямой, лежащей в плоскости и проходящей через точку L. Удобно в качестве такой произвольной прямой выбрать горизонталь или фронталь плоскости.
Построение точек, лежащих в проецирующих плоскостях, иллюстрируется рис. 1.65. Так, в частности, точка может рассматриваться как некоторая точка, лежащая в плоскости продольной переборки судна, а точка – в плоскости поперечной переборки.

Прежде чем перейти к рассмотрению более сложных позиционных задач, остановимся на некоторых моментах, важных с точки
зрения задания на эпюре Монжа плоских фигур.

В разделе 1.4 были приведены общие способы задания плоскости на эпюре, которые позволили перейти к определению плоскости простейшими геометрическими фигурами, такими как треугольник или четырехугольник: параллельными сторонами.

Если же речь идет о задании плоскости многоугольником с произвольно расположенными сторонами, число которых больше трех, то для получения на эпюре Монжа проекций действительно плоской в пространстве фигуры следует выполнить дополнительные построения, убеждающие в принадлежности всех вершин многоугольника одной плоскости. На рис. 1.66 задана фронтальная проекция пятиугольника и горизонтальные проекции вершин соответственно.

Требуется достроить горизонтальную проекцию пятиугольника в предположении, что он является плоской фигурой.

Построив проекции диагонали –, задаем фактически на эпюре Монжа треугольник КLР. Затем строим проекции диагоналей КМ и КN пятиугольника и убеждаемся в том, что их концы -точки М и N принадлежат плоскости треугольника КLР (поскольку диагонали КМ и КN имеют две точки, принадлежащие плоскости а, следовательно, все пять вершин многоугольника лежат в одной плоскости.

Рассмотренный пример убеждает в том, что любая плоская фигура может быть использована для задания плоскости; если же фигура ограничена кривыми линиями, то на эпюре Монжа она может быть построена с помощью вспомогательных прямых, лежащих в ее плоскости и пересекающих заданные кривые.

Задание плоскости плоской фигурой иначе называется заданием плоскости отсеком, под которым понимается часть плоскости, ограниченная некоторым контуром.
 

Задача 3.

Определить точку F пересечения прямой ℓ и горизонтально проецирующей плоскости . Предварим решение этой задачи рассмотрением двух рисунков.

Так, на рис. 1.67 показаны проекции отрезка АВ прямой, лежащей в горизонтально проецирующей плоскости Видно, что горизонтальная проекция отрезка совпадает со следом плоскости , а фронтальная его проекция определяется расположением отрезка АВ в плоскости.

Отмеченное обстоятельство позволит нам строить через прямые проецирующие их плоскости.

Рис. 1.68 иллюстрирует расположение отрезка СD некоторой прямой, расположенной параллельно фронтально проецирующей плоскости . Очевидно при этом, что фронтальная – проекция отрезка СD на эпюре Монжа параллельна следу , а горизонтальная проекция может располагаться произвольно.

Рассмотренные примеры позволяют теперь уяснить условие и ход решения задачи 3. На рис. 1.69 приведена пространственная интерпретация ее условия и найденного решения, позволяющая сформулировать правило определения проекций точки пересечения произвольной прямой с проецирующей плоскостью на эпюре Монжа (рис. 1.70).

Горизонтальная проекция точки пересечения F прямой ℓ, с горизонтально проецирующей плоскостьюсовпадает с точкой пересечения горизонтальной проекции прямой со следом плоскости . Положение фронтальной проекции точки определяется взаимным расположением прямой ℓ и плоскости 

Сформулированное положение справедливо и для случая фронтально проецирующей плоскости (рис. 1.71). В этом случае фронтальная проекция точки пересечения прямой ℓ, с плоскостью совпадает с точкой пересечения фронтальной проекции прямой ℓ со
следом плоскости .

Частным случаем пересечения прямой с проецирующей плоскостью является ситуация, когда прямая перпендикулярна проецирующей плоскости. Этот случай может быть проиллюстрирован большим количеством практических примеров: прохождением различных трубопроводов и кабелей сквозь полотнище поперечной переборки судна и целым рядом других.
Следует заметить, что прямая, перпендикулярная соответствующей проецирующей плоскости – либо горизонталь, либо фронталь, что заставляет соответствующим образом изобразить их проекции на эпюре Монжа (рис. 1.72, 1.73).

Задача 4.

Определить точку пересечения прямой К общего положения ℓ, с произвольной плоскостью

Составим, прежде всего, алгоритм решения поставленной задачи, рассматривая пространственную картинку (рис. 1.74), соответствующую условиям задачи.

1. Проведем через прямую ℓ произвольную плоскость. На рис. 1.74 из соображений общности проведено три плоскости:
2. Проведенная плоскость пересекает заданную плоскость w по некоторой прямой (m или n, или p).
3. Точка пересечения полученной прямой (m или n, или p ) с заданной прямой ℓ и определяет точку К пересечения заданной прямой ℓ с плоскостью

Реализуем установленный алгоритм на эпюре Монжа. Найдем проекции точки пересечения прямой ℓ с плоскостью , заданной треугольником FGH (рис. 1.75).

1. Через прямую ℓ проводим горизонтально проецирующую плоскость a, след которой на горизонтальной плоскости проекций – –.
2. Построим проекции линии пересечения m плоскости a с плоскостью треугольника FGH

Определим проекции точек пересечения сторон треугольника GH и FН с горизонтально проецирующей плоскостью a. Горизонтальная проекция стороны пересекается со следом в точке , горизонтальной проекции точки 1, фронтальная проекция которой 12
принадлежит фронтальной проекции стороны GН треугольника.

Горизонтальная проекция стороны пересекается со следом  в точке – горизонтальной проекции точки 2, фронтальная проекция которой принадлежит фронтальной проекции стороны FH треугольника. Отрезки определяют соответственно горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения m (рис. 1.75) плоскости a с плоскостью треугольника FGH. Заметим, что горизонтальная проекция отрезка , принадлежащего прямой m – линии пересечения плоскостей a и w, совпадает со следом плоскости , поскольку отрезок 12 лежит в горизонтально проецирующей плоскости a.

3. Отрезок пересекает фронтальную проекцию заданной прямой – фронтальной проекции точки К пересечения прямой ℓ с плоскостью треугольника FGH . Горизонтальная проекция точкинаходиться на горизонтальной проекции отрезка 12-

Алгоритм решения задачи 4 описывает, по сути дела, исследование вопроса о взаимном положении произвольных прямой ℓ и плоскости . Действительно, на эпюре Монжа в этом случае нет явных указаний на то, пересекается ли прямая с плоскостью или параллельна ей.

Приведенный выше алгоритм составлен в предположении, что прямая и плоскость пересекаются в собственной или несобственной точке К. В последнем случае прямая m – линия пересечения вспомогательной плоскости a и заданной параллельна заданной прямой ℓ (рис. 1.76). Проекции прямой соответственно параллельны проекциям заданной прямой на эпюре Монжа (рис. 1.77). Если же прямая ℓ принадлежит плоскости то ее проекции на эпюре тождественно совпадают с проекциями прямой .

Задача 5.

Определить линию пересечения двух плоскостей  Решение указанной задачи будем отыскивать для трех случаев.

1. Определить линию ℓ пересечения проецирующих плоскостей Рис. 1.78(а, б) иллюстрирует задание на эпюре Монжа проецирующих плоскостей одного наименования. Если обе пересекающиеся плоскости горизонтально проецирующие, то линией их пересечения является прямая ℓ, перпендикулярная горизонтальной плоскости проекций, т.е. горизонтально проецирующая прямая (см. рис. 1.78,а).

Ее горизонтальная проекция вырождается в точку пересечения следов плоскостей , а фронтальная проекция задается отрезком
произвольной длины.

Если плоскости фронтально проецирующие, то линия их пересечения ℓ – фронтально проецирующая прямая (см. рис. 1.78,б). Реальным примером, иллюстрирующим пересечение проецирующих плоскостей, является пересечение набора двойного дна – днищевых стрингеров и флоров.

Их плоскости перпендикулярны основной плоскости судна (ОП), отождествляемой с плоскостью , а линии их пересечения – горизонтально проецирующие прямые.

Если проецирующие плоскости являются плоскостями разных наименований, например, – фронтально проецирующая, а – горизонтально проецирующая (рис. 1.79), то на эпюре Монжа проекции линии их пересечения ℓ, располагаются на соответствующих следах: фронтальная проекция на следе плоскости , а горизонтальная – на следе плоскости .

2. Определить линию ℓ пересечения проецирующей плоскости с плоскостью общего положения . В этом случае определение линии пересечения сводится к двукратному использованию метода решения задачи 3.

Действительно, плоскость общего положения может быть задана, например, пересекающимися или параллельными прямыми (рис. 1.80), поэтому пара точек, определяющая линию ℓ ее пересечения с плоскостью , находится как результат пересечения двух каких-либо принадлежащих прямых с проецирующей плоскостью . Проекции точек 1 и 2 целиком и полностью определяют проекции линии пересечения плоскостей

3. Определить линию ℓ пересечения плоскостей общего положения

Составим аналогично задаче 4 алгоритм нахождения решения и рассмотрим пространственную иллюстрацию условия (рис. 1.81).

Известно, что три пересекающиеся плоскости, не проходящие через одну прямую или через параллельные прямые, определяют в пространстве точку, принадлежащую линиям пересечения каждых, двух плоскостей. Поэтому для задания линии пересечения плоскостей  следует определить, по крайней мере, пару принадлежащих ей точек. Для их нахождения естественно пересечь плоскости парой вспомогательных плоскостей. Для упрощения решения задачи целесообразно плоскости выбрать проецирующими.
Как видно из рис. 1.81, плоскости пересекаясь, определяют в пространстве точку F, принадлежащую, в частности, искомой линии ℓ пересечения плоскостей . Точка F является точкой пересечения прямых m и n – линий пересечений плоскости с плоскостями соответственно.

Аналогично плоскостии , пересекаясь, определяют в пространстве точку G, которая также принадлежит искомой линии пересечения ℓ плоскостей (точка G является точкой пересечения прямых k и p – линий пересечения плоскости с плоскостям соответственно).

Таким образом принципиально прямая ℓ, определена в пространстве, поскольку определено положение двух принадлежащих ей точек F и G.
Перейдем теперь к решению задачи на эпюре Монжа. Зададим плоскость парой пересекающихся прямых р и s, а плоскость -параллельными прямыми q и r.

В соответствии с приведенными выше рассуждениями для нахождения точекопределяющих положение линии пересечения плоскостей , построим две вспомогательные плоскости w и e. Для упрощения решения положим, что плоскости w и e фронтально проецирующие и параллельны между собой. Последнее обстоятельство определяет параллельность линий пересечения вспомогательных плоскостей с плоскостями соответственно.

Итак, линия пересечения m плоскости w с заданной плоскостью определяется на эпюре Монжа проекциями отрезка , а линия пересечения n плоскости с заданной плоскостью – проекциями отрезка(рис. 1.82). Вертикальные проекции прямых m и n тождественно совпадают друг с другом и со следом плоскости . Горизонтальные же проекции прямых m и n пересекаются в точке – горизонтальной проекции точки F.

Фронтальная проекция точки располагается на следе плоскости

Аналогично нахождение линий пересечения k и р плоскости с плоскостями соответственно позволяет определить проекции
точки G – второй точки, принадлежащей линии пересечения заданных плоскостей. В качестве вспомогательных плоскостей w и e можно выбирать проецирующие плоскости не только не параллельными, но и различных наименований, что, однако, усложнит решение
задачи.

При решении позиционных задач весьма важно сделать чертеж по возможности более наглядным или, как иначе говорят, указать видимость геометрических элементов.

Будем считать, что направление лучей зрения совпадает с направлением проецирующих лучей, т.е. перпендикулярно плоскостям проекций  Пусть точки М и L лежат на пути луча зрения (рис. 1.83). Стрелкой отмечено направление рассматривания чертежа перпендикулярно плоскости . Видимой на горизонтальной плоскости проекций считается точка, удаленная от нее на больше расстояние, т.е. в рассматриваемом случае точка М. Точка L точкой М закрыта от наблюдателя. Аналогично решается вопрос о видимости и на других плоскостях проекций.

Возвращаясь к задаче 4 (см. рис. 1.75), покажем невидимую часть прямой ℓ, пересекающей плоскость треугольника FGH. Для определения
видимости прямой ℓ на горизонтальной плоскости проекций p1 рассмотрим точки: М, принадлежащую прямой ℓ , и 2, принадлежащую стороне FН треугольника . Горизонтальные проекции этих точек совпадают и, следовательно, в пространстве точки лежат народной горизонтально проецирующей прямой

Иногда точки, аналогичные точкам 2 и М, называют конкурирующими. Считая, как было предложено выше, что направление луча зрения совпадает с направлением проецирования на плоскость , видим, что точка М лежит по отношению к плоскости выше точки 2. Это означает, что на плоскости точка М видима, а точка 2 ею закрыта. Следовательно, на плоскости отрезок прямой ℓ является видимым и поэтому должен быть изображен сплошной линией. На фронтальной плоскости проекций видимость прямой ℓ можно определить, рассматривая конкурирующие точки N, принадлежащую стороне FH треугольника, и Р, принадлежащую прямой ℓ. Проекции этих точек на плоскость совпадают Точка Р отстоит от плоскости на меньшее расстояние, чем точка N, следовательно, на плоскости она невидима, равно как и часть прямой ℓ, определяемая отрезком
 

Метрические задачи

В отличие от рассмотренных выше позиционных задач, связанных лишь с относительным расположением фигур в пространстве, задачи, в которых определяются геометрические величины: длины отрезков, углы, площади, объемы и т.д. – называются метрическими. Решение многих метрических задач требует построения взаимно перпендикулярных прямых и плоскостей.
Нужно поэтому установить соотношения, в соответствии с которыми следует строить на эпюре Монжа проекции прямых и плоскостей,
перпендикулярных друг другу в пространстве.

Исследуем сначала вопрос о том, какой угол является ортогональной проекцией прямого угла. Напомним, что при ортогональном проецировании плоскости, проецирующие расположение в пространстве стороны прямого угла на плоскости проекций , будут
к ним перпендикулярны, и поэтому угол между ними будет равен углу между проекциями лежащих в них сторон угла (рис. 1.84).

Если стороны прямого угла произвольно ориентированы относительно плоскости проекций, то плоскости, их проецирующие, могут составлять между собой как острый, так и тупой углы и, следовательно, проекция исходного прямого угла на плоскость проекций может быть как острым, так и тупым углом (рис. 1.85, 1.86).

Спроецируем на плоскость , прямой угол КМN, одна из сторон которого МN параллельна плоскости (рис. 1.87).

Пусть прямая KM в точке пересекается с плоскостью . Очевидно, что горизонтально проецирующая плоскость содержащая отрезки прямых КМ и , перпендикулярные к стороне MN прямого угла КМN, перпендикулярна к любой плоскости, проходящей
через отрезок МN, в том числе и к горизонтально проецирующей плоскости

Таким образом, двугранный угол, образованный плоскостями и а, т.е. угол образованный проекциями сторон угла КМNИтак, можно сформулировать следующее положение: прямой угол проецируется без искажения на плоскость проекций, если, по крайней мере, одна его сторона параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна.

На рис. 1.88 приведены различные варианты проекций прямого угла в тех случаях, когда он проецируется на плоскость без искажения.
Полученные выводы можно распространить и на скрещивающиеся прямые, учитывая, что углом между ними (например, прямыми m
и n, рис. 1.89) называется угол, измеренный между прямыми, проведенными из произвольной точки пространства соответственно параллельно двум данным скрещивающимся прямым.

Из стереометрии известно, что прямая перпендикулярна к плоскости, если она перпендикулярна к двум пересекающимся прямым
этой плоскости. Пусть некоторая прямая, заданная отрезком FG,перпендикулярна произвольной плоскости a и G – точка их пересечения  (рис. 1.90).

Построим на плоскости a, горизонталь GH, а затем проекции отрезков FG и GН на плоскость Поскольку одна из сторон прямого угла FGН – GН параллельна горизонтальной плоскости проекций , то на эту плоскость проекцийпроецируется без искажения. Иначе говоря,и, следовательно,Если плоскость проекций заменить на отрезок GH будет фронталью плоскости a и на плоскости угол между перпендикуляром FG к a и фронталью GH этой плоскости изобразится без искажения, т.е.

Таким образом, условия перпендикулярности прямой к плоскости можно сформулировать так: если в пространстве прямая линия ℓ
перпендикулярна некоторой плоскости a, то на эпюре Монжа горизонтальная проекция этой прямой  перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали плоскости, а фронтальная проекция прямой перпендикулярна фронтальной проекции фронтали плоскости
a.
 

Задача 1.

Из точки К опустить перпендикуляр на плоскость, определяем треугольником LМN, и определить точку встречи его с этой
(рис. 1.91).

Прежде всего построим главные линии плоскости треугольника LMN: фронталь L1 и горизонталь 12. В соответствии с сформулированным выше условием перпендикулярности прямой и плоскости определим направление проекций перпендикуляра, проведенного из точки К, к плоскости. Направление его фронтальной проекции определится лучом проведенным из точки перпендикулярно а горизонтальной – лучом , проведенным из точки  перпендикулярно 

Первый этап решения задачи завершен – определены направления проекций перпендикуляра к плоскости, и заключительная часть решения задачи целиком повторяет ход решения позиционной задачи 4.
Действительно, проведем фронтально проецирующую плоскость a, содержащую в себе перпендикуляр к плоскости треугольника LMN. Направление ее следа на фронтальной плоскости проекций  естественно, совпадает с направлением фронтальной проекции перпендикуляра

Найдем линию пересечения плоскости a с плоскостью и зададим ее отрезком 34 (рис. 1.92), здесь 3 и 4 – точки пересечения плоскости a с продолжениями фронтали L1 и стороны LN соответственно. Пересечение этого отрезка с перпендикуляром, опущенным из точки К на плоскость DLMN, и определит точку его встречи (основание) с плоскостью ).

Сначала находится горизонтальнаяпроекция точки а затем и фронтальная

Располагая теперь фронтальной и горизонтальной проекциями расстояния от точки К до плоскости  можно определить истинную величину расстояния от точки К до нее в пространстве.
 

Задача 2.

Определить кратчайшее расстояние от точки К до прямой р (опустить перпендикуляр из точки К на прямую р). Поскольку предполагается, что р – прямая общего положения, то прямой угол между нею и перпендикуляром, провиденным к ней из точки К, будет проецироваться на обе плоскости проекций с искажением. Поэтому непосредственно построить проекции перпендикуляра к прямой р
нельзя.

Для отыскания решения целесообразно провести в пространстве через точку К плоскость , перпендикулярную к р, и найти точку встречи Q прямой р с этой плоскостью . Тогда расстояние от точки К до прямой р определится отрезком КQ (рис. 1.93). Реализуем предложенный алгоритм решения на эпюре Монжа (рис. 1.94). Проекции плоскости , перпендикулярной прямой р, определяются построением через точку К ее главных линий горизонтали и фронтали, причем фронтальная проекция фронтали  проводится перпендикулярно фронтальной проекции прямой , а горизонтальная проекция горизонтали h1 перпендикулярно горизонтальной проекции прямой Далее для нахождения решения, как и в метрической задаче 1,следует использовать последовательность операций, приведенных в позиционной задаче 4. Надо определить точку встречи прямой р с плоскостью . Горизонтально проецирующая плоскость e, проведенная через прямую р, пересекает плоскость  по прямой ℓ, заданной отрезком , что дает возможность определить точку пересечения Q прямой р с плоскостью .

Сначала находится фронтальная  проекция точки Q, а затем ее горизонтальная проекция . Нахождение проекций точки  определяет проекции  кратчайшего расстояния от точки К до прямой р, а следовательно, и его истинную величину.

Начертательная геометрия и метод проецирования

Начертательная геометрия по праву считается одной из основных общепрофессиональных дисциплин, изучаемых в высшей школе по многим инженерным специальностям.

Предметом начертательной геометрии является теоретическое обоснование и изложение методов построения пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Правила построения изображений основаны на методе проекций. Поэтому проекционный метод построения изображений является основным методом начертательной геометрии.

Изучение курса начертательной геометрии всегда связано с определенными трудностями, обусловленными своеобразием предмета, сложностью геометрических преобразований, а также отсутствием у многих учащихся опыта пространственного представления и воображения. Последнее обстоятельство предопределяет оторванность проекционного чертежа от реального пространства и геометрического объекта в этом пространстве, что затрудняет восприятие предмета. Поэтому изучение начертательной геометрии ставит целью:

• –    знать методы изображения пространственных форм на плоскости, т.е. научить составлять технический чертёж;
• –    развить способность по представленным проекциям мысленного воспроизведения объекта в пространстве, т.е. научить читать чертёж;
• –    освоить методы графического решения задач, связанных с пространственными формам.

В настоящем учебном пособии в упрощенной форме представлен курс начертательной геометрии для самостоятельного изучения на основе использования большого количества пространственных чертежей, исключения из курса малоприменяемых в производстве тем и подкрепления теоретического материала различными примерами и задачами.

Настоящее учебное пособие предназначено для студентов дневной, вечерней и заочной формы обучения. Оно может быть также полезно для аспирантов и преподавателей графических дисциплин.

Ортогональное проецирование точки

Для отображения геометрической фигуры на чертеже применяют операцию проецирования. Она заключается в том, что через точку пространства проводят проецирующую прямую до пересечения с плоскостью проекций. Точку пересечения проецирующей прямой с плоскостью проекций называют проекцией данной точки на данную плоскость проекций.

Различают следующие методы проецирования:    

• центральное,
• параллельное    (косоугольное    и ортогональное),    перспективное,
• аксонометрическое и др.

Центральное и перспективное проецирование нашло широкое применение    в архитектуре и строительстве,    ортогональное (прямоугольное) и аксонометрическое – в машино- и приборостроении.

Чертежи, построенные по методу проецирования, называются проекционными.

Центральное проецирование

Механизм отображения объектов на плоскости по методу центрального проецирования показан на рисунке 1.1а. В качестве аппарата центрального проецирования используются: Н – плоскость проекций; А,В,С – геометрические объекты; SA, SB, SC – проецирующие прямые; S -центр проекций; – центральные проекции точек А, В, С на плоскость проекций Н. Центральное проецирование заключается в проведении через объекты проецирующих прямых, исходящих из одного центра проекций S, до пересечения с плоскостью проекций. Основными свойствами центрального проецирования являются:

1. Каждой точке пространства соответствует одна единственная проекция;
2. Каждой проекции соответствует множество точек пространства, располагаемых на проецирующей прямой;
3. Проекцией прямой, совпадающей с проецирующей прямой, является точка.

Следствием второго свойства является то, что по одной проекции точки невозможно однозначно указать положение точки в пространстве. Для этого требуется иметь две проекции точки, полученные двумя

проецирующими прямыми, проведенными из разных центров проекций (рисунок 1.16).

Параллельное проецирование

Параллельное проецирование осуществляется не из центра проекций, а параллельно направлению проецирования S (рисунок 1.2). В этом случае проекции точек называют параллельными проекциями.

Параллельное проецирование подразделяется на косоугольное (угол между проецирующей прямой и плоскостью проекций не равен 90 градусов) и прямоугольное или ортогональное (угол равен 90 градусов). Свойства параллельного проецирования аналогичны свойствам центрального проецирования.

Ортогональное проецирование на одну плоскость проекций

Ортогональное проецирование является частным случаем параллельного проецирования. Оно заключается в проведении проецирующей прямой через объект перпендикулярно плоскости проекций

Н (рисунок 1.26). Кроме вышеуказанных свойств центрального проецирования можно привести дополнительно следующие свойства ортогонального проецирования:

1. Прямая и плоскость, параллельные плоскости проекций, проецируются на неё в натуральную величину (НВ);
2. Проекции прямой и плоскости, не параллельных плоскости проекций, всегда меньше самих прямой и плоскости;
3. Проекции прямой и плоскости, перпендикулярных плоскости проекций, отображаются соответственно в точку и прямую.

Ортогональное проецирование на две плоскости проекций

В связи с тем, что одна проекция точки однозначно не определяет положение точки в пространстве, применяется проецирование на две плоскости проекций (рисунок 1.3). При проецировании на две плоскости проекций в аппарат проецирования вводятся дополнительно линии связи . Плоскости проекций располагаются под углом 90 градусов друг к другу. Плоскость проекций Н назовем горизонтальной плоскостью проекций, а плоскость V – фронтальной плоскостью проекций.

В системе двух плоскостей проекций Н и V выделяют оси проекций: ОХ – ось абсцисс, 0Y – ось ординат, 0Z – ось аппликат. Направление оси

ОХ влево, оси 0Y к наблюдателю, оси 0Z вверх приняты за положительные. Обратные направления приняты за отрицательные.

Проекция точки на горизонтальную плоскость проекций называется горизонтальной проекцией, а проекция на фронтальную плоскость – фронтальной проекцией.

Две проекции точки однозначно определяют положение точки в пространстве.

Преобразуем пространственный макет, представленный на рисунке 1.3а) в плоскостной. Для этого удалим саму точку, оставим лишь её проекции и линии связи. Плоскость проекций Н повернем вокруг оси ОХ так, как показано на рисунке 1.3а), до совмещения с плоскостью V (рисунок 1.36). Далее удалим плоскости проекций и будем их только подразумевать. В результате преобразований получится плоскостной чертеж (рисунок 1.3в), который называют комплексным чертежом точки или эпюром Монжа. На эпюре указаны координаты точки, по которым можно определить положение точки в пространстве.

Ортогональное проецирование на три плоскости проекций

В некоторых случаях требуется проецирование на три плоскости проекций, если, например, геометрический объект имеет сложную конструкцию.

Введем в систему двух плоскостей проекций третью плоскость проекций – профильную плоскость W (рисунок 1.4). Геометрический объект в системе трех плоскостей проекций проецируют на плоскости Н, V и W и получают три проекции одной точки – горизонтальную, фронтальную и профильную.

Если все три плоскости проекций продолжить в геометрическом пространстве во все стороны, то оно разделится тремя плоскостями на восемь частей, называемых октантами (рисунок 1.5). Октанты характеризуются различными знаками координат по осям OX, 0Y и 0Z. Знаки координат точки в различных октантах представлены в таблице.

На рисунке 1.6 представлена трансформация пространственной модели первого октанта вместе с проекциями точки в эпюр:

• Убирают геометрический объект, но сохраняют его проекции вместе с линиями связи (см. рисунок 1.66);
• Мысленно “разрезают” октант вдоль оси 0Y и разворачивают плоскости Н и W так, как показано на рисунке 1.6в;
• Получают плоскостную систему трех плоскостей проекций с осями, линиями связи и проекциями точки (см. рисунок 1.6г);
• Удаляют плоскости проекций и сохраняют лишь оси. В результате преобразований получают комплексный чертеж точки или эпюр Монжа на три плоскости проекций (рисунок 1.6д). Следует заметить, что на эпюре образовалось две оси 0Y: одна ось относится к плоскости Н, другая, помеченная звездочкой *, относится к плоскости W.

Эпюр точки в трех проекциях положен в основу начертательной геометрии и технического черчения.

Рассмотрим свойства эпюра Монжа, которые вытекают из пространственного чертежа ортогонального проецирования на три плоскости проекций и эпюра:

1. Горизонтальная проекция точки Л определяется координатами X и Y, причем для её построения координата Y откладывается вдоль вертикальной оси 0Y;
2. Фронтальная проекция точки А определяется координатами X и Z;
3. Профильная проекция точки Л определяется координатами Z и Y, причем координата Y откладывается вдоль горизонтальной оси 0Y*;
4. Горизонтальная и фронтальная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси ОХ;
5. Фронтальная и профильная проекции точки находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси 0Z;
6. Отрезки на линиях связи равны как одна и та же координата Y. Такой же вывод следует из рассмотрения пространственного макета;
7. Из предыдущего свойства следует фундаментальное свойство эпюра Монжа – по двум проекциям точки можно построить третью.

Из рисунка 1.7 видно, что если точка принадлежит какой-либо плоскости проекций, то две её проекции будут находиться на осях (рисунок 1.7а,б). Если точка принадлежит какой-либо оси проекций, то две её проекции будут находиться на осях, а третья проекция – в точке О (рисунок 1.7в).

На рисунке 1.8 представлена связь эпюра Монжа с проекционным черчением и методом проецирования, принятым в курсе технического черчения в соответствие с Единой системой конструкторской документации (ЕСКД).

Пример 1.1.

Построить горизонтальную проекцию точки А. Определить № октанта, в котором расположена точка (рисунок 1.9а).

Решение: На рисунке 1.9в представлен пространственный макет задачи (его полезно делать при решении любой задачи). Решение задачи на эпюре показано на рисунке 1.96.

1)    Так как проекции находятся на одной линии связи, перпендикулярной оси ОХ, то через точку проводим линию связи и получаем точку

2)    Так как точка строится по координатам X, Y, то от точки откладываем координату Y, которую берем с профильной проекции точки

(отрезок ” – это координата Y со знаком ” – “). Координату Y откладываем вверх в сторону отрицательных значений оси Y. Получаем точку А’.

3)    Определяем знаки координат точки: А(+, – , – В соответствие с таблицей знаков точка находится в третьем октанте. Номер октанта можно определить еще методом исключений, анализируя знаки координат: если координата X имеет положительное значение, то это могут быть только I, II, III или IV октанты. Координата Y с минусом может быть только в октантах II или III. Координата Z с минусом может быть в третьем октанте.

Образование чертежа по Г. Монжу

Проекции точки

Метод проекций предполагает наличие плоскости проекций, объекта проецирования и проецирующих лучей. Проекции могут быть центральными и параллельными. Если все проецирующие лучи проходят через одну точку, называемую центром проекций S, то проекции называются центральными. Если проецирующие лучи параллельны между собой, то проекции называются параллельными.

На рис. 1.1, а показано построение центральных проекций точек A и B (объекты проецирования) на некоторую плоскость проекций H. Проецирующие лучи, проведенные через центр проекций точку S и заданные точки A и B, пересекаются с плоскостью проекций H и определяют центральные проекции А’ и В’ точек A и B.

На рис. 1.1, б показано построение параллельных проекций точек А и В (объекты проецирования) по заданному направлению проецирующих лучей S на некоторую плоскость проекций H. В результате проецирования на плоскости проекций α построены параллельные проекции А’ и В’ взятых в пространстве точек А и В.

Запомните! Проекцией точки называется точка пересечения проецирующего луча с плоскостью проекций.

Соединив прямой линией взятые точки А и В мы получим отрезок АВ, а соединив прямой линией построенные проекции точек мы получим центральную (рис. 1.1, а) и параллельную (рис. 1.1, б) проекции отрезка АВ на плоскости проекций H.

Параллельные проекции могут быть прямоугольными (ортогональными) или косоугольными:

• если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций, то проекции (или проецирование) называются прямоугольными (ортогональными);
• если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций (угол проецирования не равен 90°), то проекции называются косоугольными.

Отметим некоторые свойства параллельного проецирования:

• проекцией точки является точка;
• проекцией прямой линии в общем случае является прямая;
• если отрезок прямой делится точкой в определенном отношении, то проекции прямой делятся проекцией точки в том же отношении;
• если прямые в пространстве параллельны, то их одноименные проекции на чертеже также параллельны.

Точка в системе плоскостей проекций H, V и W. Проекции точки в системе прямоугольных координат x, y, z.

Для получения изображений предметов на чертежах французский геометр Гаспар Монж предложил следующий метод – метод параллельного прямоугольного проецирования на взаимно перпендикулярные плоскости проекций.

На рис. 1.2, а показано наглядное изображение трех взаимно перпендикулярных плоскостей проекций:

• фронтальная плоскость проекций V;
• горизонтальная плоскость проекций H;
• профильная плоскость проекций W.

Плоскости проекций, пересекаясь в пространстве, делят пространство на восемь частей, которые называют октантами. Слева от плоскости проекций W располагаются 1, 2, 3 и 4 октанты, пронумерованные против часовой стрелки. Для получения изображений предмет располагают в 1-м октанте (европейская система) между наблюдателем и плоскостью проекций и проецируют его на каждую из взаимно перпендикулярных плоскостей проекций H, V и W, построив соответственно горизонтальную, фронтальную и профильную проекции предмета.

В качестве объекта проецирования на рис. 1.2, а взята точка А и построены ее прямоугольные проекции на каждую плоскость проекций:

• – A’ – горизонтальная проекция точки;
• – A” – фронтальная проекция точки;
• – A'” – профильная проекция точки.

Плоскости проекций пересекаются между собой по линиям, которые называют осями проекций: ось x, ось y и ось z.

Оси проекций принимают за оси координат, определяющих положение точки в пространстве, и называют системой прямоугольных координат x, y и z. Оси проекций пересекаются в точке О – это точка начала координат.

Расстояния точки А от каждой плоскости проекций определяют ее положение в пространстве и называются ее прямоугольными координатами:

• – координата x_А(OAx) – расстояние от плоскости проекций W (абсцисса);
• – координата y_А(AxA’) – расстояние от плоскости проекций V (ордината);
• – координата z_А(AxA”) – расстояние от плоскости проекций Н (аппликата).

Чтобы перейти от наглядного изображения системы трех плоскостей проекций H, Y и W и получить чертеж (эпюр), плоскости проекций первого октанта повертывают относительно координатных осей и совмещают с фронтальной плоскостью проекций V следующим образом:

• – фронтальная плоскость проекций V сохраняет свое положение;
• – горизонтальную плоскость проекций Н поворачивают относительно оси проекций x вниз;
• – профильную плоскость проекций W поворачивают относительно оси проекций z вправо. На чертеже (см. рис. 1.2, б) координатные оси проекций располагают следующим образом:
• – ось x – горизонтально;
• – ось z – вертикально;
• – ось y – раздваивается и проводится как продолжение осей z и y от точки О – начала координат.

Чертеж предмета содержит изображения проекций этого предмета.

Проекции предмета строятся как проекции совокупного множества точек, определяющих и задающих поверхность этого предмета. Точки объединяются в более общие известные из геометрии элементы: прямые, плоскости и различные поверхности (гранные, цилиндрические, конические и т. д.).

Чертеж точки содержит ее проекции, которые строятся по координатам этой точки.

На рис. 1.2, б показано построение чертежа произвольной точки А, заданной на рис. 1.2, а, положение которой в пространстве определяют координаты x_A, y_A и z_A. Для построения чертежа этой точки выполнены следующие графические действия:

• – влево от точки О по оси x отложен отрезок ОA_x – координата x_A;
• – вниз от точки A_x отложен отрезок A_xA’ – координата y_A (отрезок A_xA’ на чертеже в 2 раза больше, чем на наглядной картине) и построена горизонтальная проекция А’ точки А.
• – вверх от точки A_x отложен отрезок A_xA” – координата z_A и построена фронтальная проекция А” точки А.

!!! Запомните! Горизонтальная A’ и фронтальная A” проекции точки лежат на одной вертикальной линии, перпендикулярной оси x, которая называется линией связи.

Чтобы построить профильную A'” проекцию точки, следует провести горизонтальную линию связи, перпендикулярную оси проекций z, и отложить от полученной точки A_z отрезок A_zA'”, равный координате y_A (или отложить от точки О вправо по оси y отрезок OA_y = y_A и провести вертикальную линию до пересечения с линией связи от фронтальной проекции точки А(A”).

!!! Запомните! Фронтальная A” и профильная A'” проекции точки лежат на одной горизонтальной линии связи, перпендикулярной оси проекций z.

На рис. 1.3 показано построение чертежа точки В(20,10,25) по заданным (в скобках) координатам x, y и z в миллиметрах. Выполнены следующие графические построения:

• – проведены оси координат x, y и z на поле чертежа;
• – от точки О влево отложен отрезок OВ_x – координата x = 20 мм и через точку В_x проведена вертикальная линия связи;
• – вниз от точки В_x по линии связи отложен отрезок В_xВ’ – координата y = 10 мм и построена горизонтальная проекция B’ точки В;
• – вверх от точки B_x по линии связи отложен отрезок B_xB” – координата z = 25 мм и построена фронтальная проекция B” точки В;
• – проведена горизонтальная линия связи от фронтальной проекции B”;
• – от точки B_z отложен вправо отрезок B_zB”‘ = 10 мм, равный координате y_B, и построена профильная проекция B”‘ точки В.

Структуризация материала первой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 1.4 (лист 1). На последующих листах 2 и 3 повторно приведены иллюстрации к этой схеме, способствующие закреплению изученного материала и его быстрому визуальному повторению (рис. 1.5 и 1.6). 

Метод проекций. Образование чертежа по Г. Монжу.

Проекции точки :

Аппарат проецирования: объект проецирования; плоскость проекций; направление проецирующих лучей.

Проекции называют центральными, если проецирующие лучи исходят из одной точки, называемой центром проекций S.

Проекции называют параллельными, если проецирующие лучи параллельны (центр проекций удален в бесконечность).

Параллельные проекции могут быть:

• Косоугольными, если проецирующие лучи не перпендикулярны плоскости проекций. 
• Прямоугольными, если проецирующие лучи перпендикулярны плоскости проекций. 

На чертеже:

Точки обозначаются прописными буквами латинского алфавита A, B, C, … и т.д., или арабскими цифрами 1, 2, 3, … и т.д. Проекции точек обозначаются теме же буквами, или цифрами, но со штрихами: A(A’,A”,A”’)  и т.д.; 1(1′,1”,1”’),  2(2′,2”,2”’) и т.д.

Линии обозначаются строчными латинскими буквами: l, k, m, n и т.д. Их проекции 
обозначаются теме же буквами, но со штрихами: l(l’,l”,l”’), k(k’,k”,k”’) и т.д.

Плоскости обозначаются греческими буквами: α, β, φ, δ и т.д. Их проекции обозначаются теме же буквами, но со штрихами: α(α’,α”,α”’), β(β’,β”,β”’) и т.д.

Центральное проецирование

Параллельное проецирование

Косоугольное параллельное проецирование имеет место при φ≠90° 

Прямоугольное (ортогональное) параллельное проецирование имеет место при φ=90°

Метод Г. Монжа: 
прямоугольное (ортогональное) параллельное проецирование на взаимоперпендикулярные плоскости проекций

Основные понятия метода проекций

Начертательная геометрия и техническое черчение входят в число дисциплин, составляющих основу инженерного образования. Курс начертательной геометрии сводится к изложению методов решения различных геометрических задач, используя основные положения начертательной геометрии. В каждой задаче студент должен самостоятельно наметить ход решения задачи и дать ему нужное графическое оформление. Необходимые навыки приобретаются в процессе самостоятельной работы. Настоящее пособие содержит материал, необходимый при подготовке к практическим занятиям по начертательной геометрии для студентов 1 курса инженерных специальностей, изучающих курсы “Инженерная графика и начертательная геометрия”, “Инженерная и машинная графика”. Поскольку все задачи решаются графически, оформление должно быть тщательным. Степень точности решения задач определяется точностью графических построений.

Автор настоящего методического пособия постарался отразить в нем те разделы начертательной геометрии, которые предусмотрены учебной программой курса “Инженерная графика” и изложить их как можно более доступно и компактно. Введем основные понятия метода проекций как основного при получении изображений на чертежах.

Метод проекций. К основные формообразующим элементам пространства относятся точка, прямая и плоскость. Ими определяются простые трехмерные фигуры, из которых создаются более сложные объекты пространства. Между элементами пространства существуют следующие отношения: тождественность (совпадение)  инцидентность (принадлежность) –  параллельность –  перпендикулярность – 

Над элементами пространства можно выполнять операции соединения  и пересечения – 

Изображения объектов трехмерного пространства на плоскости получают методом проецирования. Аппарат проецирования включает в себя проецирующие лучи, проецируемый объект (оригинал) и плоскость, на которой получается изображение. Все лучи, проецирующие предмет, исходят из одной точки, называемой центром проекций. Если точка находится на определенном расстоянии от плоскости проекций, то такое проецирование называется центральным. Если центр проекций удален в бесконечность, то все лучи становятся параллельными и проецирование называется параллельным. Параллельное проецирование является косоугольным, если проецирующие лучи наклонены к плоскости проекций под углом, отличным от прямого. В противном случае проецирование является – ортогональным.

Основные свойства проекций:

1. Проекция точки есть точка.
2. Проекция прямой есть прямая. При параллельном проецировании проекции параллельных прямых есть параллельные прямые.
3. Проекцией плоскости является плоскость проекций.
4. При ортогональном проецировании длина проекции отрезка меньше либо, в частном случае, равна длине самого отрезка.

Проецированием на одну плоскость проекций получается изображение, которое не позволяет однозначно определить его форму и размеры. Наличие одной проекции создает неопределенность изображения. В таких случаях говорят о необратимости чертежа, т.е. по такому чертежу невозможно воспроизвести оригинал. На практике применяют различные способы дополнения однопроекционного чертежа. В курсе начертательной геометрии, главным образом, рассматриваются чертежи, получаемые ортогональным проецирование на две или более взаимно перпендикулярные плоскости проекций (комплексные чертежи или эпюры). Другим способом получение обратимого чертежа является перепроецирование вспомогательной проекции предмета на основную аксонометрическую плоскость проекций аксонометрические чертежи, способы получения которых в данном пособии не рассмотрены.

Эпюр точки

Пусть дана в пространстве точка  Введем три взаимно перпендикулярные плоскости проекций  (рис.1). Положение точки в пространстве (только в том случае, если введена система координат) однозначно определяется тремя, например, декартовыми (прямоугольными) координатами  численные значения которых равны расстояниям, на которые точка удалена от плоскостей проекций, если они совмещены с координатными плоскостями выбранной системы координат. Чтобы определить эти расстояния, необходимо , используя метод ортогонального проецирования, через точку  провести лучи, перпендикулярные плоскостям проекций (называемые проецирующими лучами), затем построить точки  пересечения прямых с плоскостями проекций и измерить длины отрезков  Эпюр Монжа, или комплексный чертеж получают путем совмещения плоскостей проекций   (рис.2) в результате поворота их относительно осей называемых также осями проекций.

При этом в начертательной геометрии приняты следующие обозначения и наименования:

Линии, связывающие пары проекций, называются линиями связи. Чертеж, изображенный на рис.2, называется трехпроекционным чертежом точки. Можно заметить, что:

Так как для описания положения точки в пространстве с помощью комплексного чертежа вполне достаточно двух ее проекций (обычно горизонтальной и фронтальной), в задачах начертательной геометрии используют двухпроекционное изображение точки на эпюре (рис.3).

• Чертежи на заказ

Пример решения задачи на построение эпюра точки

Построить ортогональные (эпюр, двухпроекционный чертеж) и аксонометрические проекции точек   а также:

Аксонометрические проекции точек следует строить во фронтальной диметрической проекции – ГОСТ 2.317-69.

Решение

Для построения на эпюре точки  проведем ось  От точки  откладываем координату  полученную точку обозначаем  (рис.4). Через точку проводим линию связи, перпендикулярную оси  Вдоль линии связи откладываем координаты  мм – выше оси  (т.к. значение положительно),  мм выше оси  (т.к. значение  отрицательно). В результате координата  определит положение фронтальной проекции  точки  а  – горизонтальной проекции  Для построения аксонометрической проекции точки  нужно известные координаты отложить вдоль соответствующих осей и далее выполнять построения, очевидные по рис.4. Так как в качестве аксонометрической выбрана прямоугольная диметрия, то координата у при построениях уменьшается вдвое.

Для определения искомых координат точек, симметричных относительно геометрических объектов заданным, удобно использовать аксонометрическое изображение плоскостей  под другим углом зрения (рис.5) (вдоль оси  ось  направлена на нас). На рис.5, например, можно видеть построение точки  симметричной т. относительно оси 

Подобное представление удобно для установления связи координат искомых точек  необходимых для построения их эпюров.

В истинности выражений (1) предлагается убедиться самостоятельно.

Эпюр прямой

Прямая линия вполне определена двумя своими точками (не совпадающими). Проекциями прямой линии в общем случае являются также прямые линии (рис.10).

Виды прямых. Прямая, произвольно расположенная в пространстве, носит название прямой общего положения. Прямые, определенным образом расположенные по отношению к плоскостям проекций носят название прямых частного положения, среди которых следует выделить (рис.11):

Принадлежность точки прямой линии. Если точка принадлежит прямой в пространстве, то проекции этой точки на эпюре будут принадлежать одноименным проекциям прямой (точка С на рис.11). При ортогональном проецировании сохраняется свойство пропорциональности длин: в каком отношении точка делит отрезок прямой в пространстве, в таком же отношении ее проекции делят одноименные проекции отрезка.

Только для горизонтальных, фронтальных, а также проецирующих прямых длину отрезка и углы его наклона к плоскостям проекций можно определить по эпюру. Прямая, параллельная плоскости проекций, проецируется на эту плоскость без искажения.

Для определения длины отрезка прямой общего положения, а также профильной прямой используют метод прямоугольного треугольника, согласно которому величина отрезка прямой определяется гипотенузой прямоугольного треугольника, одним из катетов которого является одна из проекций отрезка, а вторым – разность удаления концов отрезка от той плоскости на которой взята проекция.

Взаимное положение прямых. Прямые в пространстве могут быть параллельными, пересекающимися и скрещивающимися, если прямые в пространстве параллельны, то на эпюре одноименные проекции этих прямых параллельны. Если прямые пересекаются, то на эпюре одноименные проекции прямых пересекаются и проекции точки пересечения лежат на одной линии связи. Если две прямые в пространстве скрещиваются, то их одноименные проекции могут пересекаться в точках, не лежащих на одной линии связи.
Прямой угол проецируется без искажения, если хотя бы одна из сторон прямого угла параллельна плоскости проекций (теорема о проецировании прямого угла).

Пример №1

Определить натуральную величину отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций (метод прям угольного треугольника).

Строим прямоугольный треугольник, взяв за один катет горизонтальную (или фронтальную) проекцию отрезка – проекцию  (рис.12), а за другой -разность удалений концов отрезка от горизонтальной плоскости проекций  (или соответственно от фронтальной плоскости проекций –  Величину  можно определить, проведя вспомогательную линию через один из концов отрезка перпендикулярно линии связи. Гипотенуза прямоугольного треугольного треугольника  и будет равна истинной величине отрезка  Угол между гипотенузой и катетом, равным горизонтальной проекции отрезка, определяет величину угла наклона  заданного отрезка к горизонтальной плоскости проекций. Для определения угла наклона  к фронтальной плоскости проекций необходимо еще раз построить истинную величину отрезка с помощью прямоугольного треугольника  При этом  Если по условию задачи требуется определить только истинную величину отрезка прямой, достаточно построить прямоугольник на одной из проекций.

Пример №2

Разделить отрезок  точкой  в отношении  (рис.13). 

Для того, чтобы построить точку  делящую отрезок в заданном отношении, достаточно одну из проекций отрезка (на рис. 13 горизонтальная проекция) разделить в этом отношении, а затем построить вторую проекцию искомой точки, используя линию связи. Деление проекции  произведено с помощью теоремы Фалеса. Для этого из любого конца проекции  например из точки  проводим луч под произвольным углом, на котором откладываем равных отрезков произвольной длины. Соединяем точки  затем проводим через  прямую 

Пример №3

Достроить отрезок  если длина его равна 50 мм (рис.14). Задача является обратной к определению истинной величины отрезка прямой.

Для того чтобы достроить фронтальную проекцию точки  необходимо знать разность удалений концов отрезка  от плоскости  значение которой можно узнать, построив прямоугольной треугольник, взяв за один из катетов известную горизонтальную проекцию отрезка  Треугольник построен по известному катету и гипотенузе (известной истинной величине отрезка  Из прямоугольного треугольника  находим, что Задача имеет два решения (две точки 

Пример №4

На прямой  от точки  отложить отрезок  длиной 30 мм (рис.15).

На прямой  зададимся произвольным отрезком  С помощью прямоугольного треугольника  определим истинную величину отрезка  Далее от точки  откладываем вдоль гипотенузы заданный отрезок 30 мм. Определяем искомую точку  используя положение о пропорциональности деления отрезка, при этом 

Пример №5 (Задача на профильные прямые).

Достроить прямую  параллельную прямой  (рис.16).

Замечание. Задачи на профильные прямые могут быть решены различными методами, в частности, с помощью построения третьей проекции этих прямых, либо с помощью методов косоугольного параллельного проецирования путем построения, так называемых, вспомогательных прямых. К этому типу задач следует отнести задача по определению взаимного положения профильных прямых, построения точки пересечения профильных прямых, а также ряд позиционных задач, связанных с построением точек пересечения профильной прямой и плоскости. Приведем решение задачи на профильные прямые методом построения вспомогательных прямых.

Для того, чтобы построить недостающую фронтальную проекцию  точки  воспользуемся методом вспомогательных прямых. Суть его заключается в следующем. Для исходных профильных прямых методом косоугольного проектирования строятся вспомогательные прямые. По взаимному положению вспомогательных прямых судят о взаимном положении соответствующих им профильных прямых: если вспомогательные прямые параллельны, то параллельны соответствующие профильные прямые, если вспомогательные пересекаются, то исходные прямые или пересекаются или скрещиваются. Построим вспомогательную прямую для прямой  Для этого из точек проведем лучи произвольного направления до пересечения в точке  Точка  – является вспомогательной для точки  Аналогично строим точку  – вспомогательную для точки  При этом  Прямая  является вспомогательной для прямой  Так как точка  принадлежащая второй профильной прямой определена однозначно (известны обе ее проекции), построим вспомогательную ей точку  при построении которой должна быть соблюдена параллельность проецирующих лучей на соответствующих проекциях:  Так как исходные прямые должны быть параллельны, поэтому через построенную точку  зададим направление вспомогательной прямой  параллельно прямой  Для нахождения точки  проведем проецирующий луч из точки  параллельно лучам на горизонтальной проекции до пересечения с прямой, проведенной из точки  Точка пересечения  будет являться вспомогательной для точки  с помощью которой отыскивается неизвестная фронтальная проекция  точки 

Плоскость

Плоскость в пространстве однозначно определена тремя точками, не лежащими на одной прямой. В связи с этим существует несколько способов задания плоскости на эпюре, среди которых отметим следующие (рис.31):

1. тремя точками, не принадлежащими одной прямой (рис.31,а);
2. любой плоской фигурой, например, треугольником (рис.31,6);
3. прямой, и не принадлежащей ей точкой (рис.31,в);
4. двумя пересекающимися прямыми (рис.31,г);
5. двумя параллельными прямыми (рис.31,д).

Виды плоскостей. Плоскость, произвольно расположенная в пространстве (по отношению к плоскостям проекций), называется плоскостью общего положения. Все плоскости, изображенные на рис.31 являются плоскостями общего положения.

Плоскость, перпендикулярная одной или двум плоскостям проекций, называется плоскостью частного положения, причем плоскость перпендикулярная одной из плоскостей проекций носит название проецирующей плоскости: горизонтально проецирующей, если  или фронтально-проецирующей  (рис.32). На эпюрах проецирующие плоскости задаются своим следом на соответствующей плоскости проекций.

Прямая принадлежит плоскости, если:

• а) имеет, по крайней мере, две общие с плоскостью точки (прямая  рис.33);
• б) когда она имеет одну общую точку и параллельна какой-либо прямой в этой плоскости (прямая  рис.33).

Через любую точку плоскости можно провести главные линии плоскости – фронталь и горизонталь, прямые, лежащие в плоскости и параллельные либо либо  соответственно. Таких линий в плоскости можно провести сколько угодно.

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости.

Две плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой. Если параллельны две проецирующие плоскости, то на эпюре параллельны из одноименные следы.

Две плоскости пересекаются по прямой линии. Для построения линии пересечения двух плоскостей достаточно построить две точки, принадлежащей одновременно двум заданным плоскостям. Для построения линии пересечения двух плоскостей общего положения обычно используют метод вспомогательных секущих плоскостей.

Пример №6

Достроить плоский четырехугольник (рис.34).

Решение задачи сводится к построению недостающей проекции точки принадлежащей плоскости, заданной точками  Зададим эту плоскость треугольником  для чего соединим точки  прямой линией на обеих проекциях. Проведем фронтальную проекцию диагонали четырехугольника  Затем достроим вторую ее проекцию, для чего из точки пересечения фронтальных проекций диагоналей (точка  опустим линию проекционной связи на прямую  Прямая  задаст направление диагонали четырехугольника на горизонтальной проекции. Пересекаем Прямую  с соответствующей линией связи (из  получаем искомую проекцию точки  Точка  принадлежит плоскости треугольника  т.к. принадлежит прямой  лежащей в этой плоскости. Прямая принадлежит плоскости треугольника  т.к. имеет с ней две общие точки  Следовательно, достроенный четырехугольник – плоский.

Пример №7

Достроить точку  если она принадлежит плоскости  (рис.35). 

Точка принадлежит плоскости, если она принадлежит какой-либо прямой, лежащей в этой плоскости. Через известную проекцию точки  – точку проводим произвольную прямую. Строим вторую проекцию введенной прямой, которая должна лежать в заданной плоскости. Для этого фиксируем точки пересечения  со сторонами треугольника  Отыскиваем горизонтальные проекции точек 1 и 2 на соответствующих сторонах горизонтальной проекции треугольника  Строим горизонтальную проекцию прямой  пересечение которой с линией связи из точки  определит искомую проекцию точки 

Пример №8

Через заданную точку  с помощью главных линий построить плоскость  параллельно заданной плоскости  Построенную плоскость задать параллельными прямыми (рис.36).

Построим вначале главные линии плоскости  Построение главных линий начинают с проведения тех проекции, направление которых всегда известно (у горизонтали – это ее фронтальная проекция  у фронтали – ее горизонтальная проекция  На рис. 36 главные линии плоскости проведены через точку  произвольно выбранной в плоскости  Проведя затем через точку  параллельные прямые  найдем искомую плоскость  Для того, чтобы перезадать плоскость  параллельными прямыми, достаточно через любую точку плоскости, например, через выбранную произвольно точку  провести прямую  параллельно любой прямой, лежащей в этой плоскости (в данном примере  при этом  Плоскость  теперь задана параллельными прямыми 

Пример №9

Построить линию пересечения двух плоскостей: плоскости общего положения  и фронтально-проецирующей плоскости  (рис.37). 

Линия пересечения двух плоскостей в данном случае определяется двумя точками пересечения следа фронтально-проецирующей плоскости  с двумя прямыми  в плоскости  При этом прямая  -дополнительная, проведенная произвольно в плоскости, но так, чтобы точка  линии пересечения получилась в поле заданного чертежа. Точки  являются общими для двух заданный плоскостей, а , следовательно, и определяют искомую линию пересечения: 

Пример №10

Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения:  (рис.38).

При решении этой задачи используется метод секущих плоскостей. Так как две плоскости пересекаются по прямой линии, определяемой двумя точками, для построения необходимо ввести две дополнительные секущие плоскости. Порядок решения задачи:

1.    Вводим дополнительную секущую плоскость  В качестве секущей плоскости выбрана фронтально-проецирующая плоскость, заданная своим следом на фронтальной плоскости проекций. (В качестве секущей плоскости может быть выбрана произвольная проецирующая плоскость).

2.    Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости  с плоскостью общего положения  (см. пример 4): 

3.    Строим линию пересечения фронтально-проецирующей плоскости  с плоскостью общего положения 

4.    Строим точку  как точку пересечения прямых  Вторая проекция точки  точка  отыскивается на следе вспомогательной секущей плоскости  с помощью лини проекционной связи. Точка  является искомой точкой, поскольку принадлежит одновременно трем плоскостям: вспомогательной  и заданных  и, следовательно, является точкой, принадлежащей линии пересечения двух исходных плоскостей.

5.    Аналогично строится вторая точка, принадлежащая линии пересечения  Для этого вводится еще одна вспомогательная секущая плоскость Плоскость  также является фронтально-проецирующей плоскостью, кроме того, параллельной плоскости  Это является необязательным, поскольку вспомогательные плоскости могут быть выбраны совершенно произвольно.

6.    После построения точки  проводим прямую  которая является искомой линией пересечения двух исходных плоскостей.

Пример №11

Построить линию пересечения двух плоскостей общего положения  (рис.39).

Задача решается аналогично предыдущей. Для уменьшения количества вспомогательных построений в качестве секущих введены плоскости  и  через прямые, принадлежащие одной из плоскостей  следы секущих плоскостей совпадают соответствующими проекциями этих прямых.

Взаимное положение прямой и плоскости

Прямая может лежать в плоскости, пересекаться о плоскостью и быть параллельна плоскости.

Если прямая параллельна проецирующей плоскости, то на эпюре будут параллельны одноименные проекции прямой и следа плоскости.

Если прямая параллельна плоскости общего положения, то она должна быть параллельна какой-либо прямой в этой плоскости.

Точка пересечения прямой и проецирующей плоскости на эпюре определяется как точка пересечения одноименных проекций и следа плоскости.

Точка пересечения прямой и плоскости общего положения определяется с помощью метода вспомогательных секущих плоскостей в следующем порядке:

• а)    через прямую нужно провести вспомогательную проецирующую плоскость;
• б)    построить линию пересечения вспомогательной плоскости с заданной;
• в)    точка пересечения заданной прямой и построенной линии и будет искомой.

Если прямая перпендикулярна плоскости, то она должна быть перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, например, главным линиям плоскости, горизонтали  и фронтали  Тогда проекции прямой перпендикулярной плоскости, будут перпендикулярны соответствующим проекциям главных линий плоскости: 

Две плоскости взаимно перпендикулярны, если в одной из них можно провести прямую, перпендикулярную другой плоскости.

Две прямые взаимно перпендикулярны, если одна из них лежит в плоскости, перпендикулярной второй прямой.

Пример №12

Найти точку пересечения прямой  с плоскостью треугольника  (рис.51). Определить видимость, прямой относительно заданной плоскости.

Через прямую  строится вспомогательная фронтально-проецирующая плоскость  (можно взять и горизонтально-проецирующую плоскость). В этом случае след на эпюре будет совмещен с проекцией прямой  Далее строится линия пересечения  положение которой определится точками 1 и 2, полученными от пересечения следа  со сторонами треугольника. Точка пересечения построенной линии с заданной прямой  и будет искомой точкой встречи. Для определения видимости выбирается по паре конкурирующих точек на каждой проекции чертежа, например, точки 1, 3 конкурируют относительно  Точка 1 (точка, принадлежащая плоскости) ближе к нам, так как дальше удалена от  поэтому она и с ней отрезок закрывают прямую  часть которой  будет невидима на фронтальной проекции. В точке пересечения прямой и плоскости видимость сменится и после точки  на фронтальной проекции прямая будет видима. Аналогично определяют видимость прямой и плоскости относительно  используя, например, конкурирующие точки 4-5.

Пример №13

Построить перпендикуляр к плоскости  длиной 30 мм (рис.52).

Для восстановления перпендикуляра к плоскости нужно построить главные линии плоскости – горизонталь  и фронталь 

Перпендикуляр 1 к плоскости можно восстанавливать из любой ее точки, например, из точки  – точки пересечения горизонтали и фронтали 

Для того, чтобы отложить на отрезке 1 заданную длину 30 мм, первоначально задаются произвольной отрезком  (точка 5 выбирается произвольно на перпендикуляре  определяют его натуральную величину помощью треугольника  После этого от точки  вдоль  откладывают заданную длину перпендикуляра и отыскивают проекцию  С помощью линий проекционной связи отыскивают вторую проекцию точки 

Пример №14

Определить расстояние от точки  до плоскости  (рис.53).

Задача решается в три этапа:

1. из точки  задать направление перпендикуляра к плоскости с помощью главных линий плоскости;
2. найти точку пересечения перпендикуляра и плоскости (пример 1).
3. с помощью прямоугольного треугольника определяем истинную величину отрезка перпендикуляра между заданной плоскостью и точкой встречи перпендикуляра и плоскости. Истинная величина этого отрезка -искомое расстояние между точкой и плоскостью.

Пример №15

Через точку  построить плоскость, перпендикулярную прямой  (рис.54).

Через точку  нужно провести фронталь  и горизонталь  так, чтобы  В этом случае прямая  будет перпендикулярна плоскости, заданной пересекающимися главными линиями 

Метод перемены плоскостей проекций

Суть метода состоит в том, что при неизменном положении рассматриваемого объекта в пространстве, заменой одной или последовательно двух плоскостей проекций можно перевести геометрический объект в частное положение и тем самым облегчить решение задач.

С помощью данного метода, путем замены одной плоскости проекций можно:

• прямую общего положения перевести в частное (фронталь или горизонталь). Для этого необходимо произвести замену плоскости проекций таким образом, чтобы ось новой системы плоскостей была параллельна соответствующей проекции прямой;
• прямую частного положения можно перевести в проецирующую, если новую плоскость проекций выбрать перпендикулярно прямой. Ось новой системы плоскостей проекций будет расположена под прямым углом той проекции прямой, которая является ее натуральной величиной.
• плоскость общего положения перевести в частное (горизонтально, фронтально-проецирующую), если новую плоскость проекций расположить перпендикулярно горизонтальной проекции горизонтали или фронтальной проекции фронтали.
• проецирующую плоскость преобразовать в плоскость, параллельную плоскости проекций. Ось новой системы плоскостей в этом случае будет параллельная следу заданной плоскости.

Большинство метрических и позиционных задач достаточно просто решаются с использованием метода перемены плоскостей проекций.

Пример №16

Определить натуральную величину отрезка прямой и углы его наклона к плоскостям проекций  (рис.71).

Произведем замену  Ось новой системы плоскостей  Из точек  строим линии связи перпендикулярно оси  В старой системе плоскостей  замеряем расстояния от оси  Полученные значения откладываем вдоль новых линий связи от оси  Проекция определит натуральную величину отрезка  угол  – угол наклона к плоскости  Для определения угла наклона к плоскости  необходимо повторить построения, произведя замену  при этом новая ось проекций  Следует отметить, что проекция  также определит натуральную величину отрезка 

Пример №17

Определить расстояние от точки  до плоскости 

Чертеж преобразовывается таким образом, чтобы плоскость  стала проецирующей. Для этого производим замену  Ось проекций  Проводим линии проекционной связи для всех геометрических перпендикулярно новой оси проекций. Замеряем расстояния от старой оси и откладываем в новой системе плоскостей. Так как плоскость стала занимать частное положение, перпендикуляр, опущенный их точки  на след  определит искомое расстояние от точки до плоскости.

Пример №18

Определить натуральную величину треугольника  (рис.73).

Для решения задач подобного типа необходимо выполнить две замены:

В результате первой замены плоскость переводится в частное положение и спроецируется в линию  Вторая замена переведет плоскость в плоскость уровня, а проекция треугольника  определит его натуральную величину.

Поверхности. Сечение поверхностей плоскостями частного положения

Поверхность представляет собой множество последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве. Эту линию называют образующей. Закон перемещения образующей может быть задан тоже линиями. Эти линии называются направляющими. Гранные поверхности образуются перемещением прямолинейной образующей  по ломаной направляющей. Поверхности вращения образуются вращением образующей  вокруг прямой оси вращения, при этом направляющими обычно являются окружностями.

Вид поверхности зависит от формы образующей линии и от закона перемещения ее в пространстве вдоль направляющей. Точку на гранной поверхности можно построить с помощью образующей, проходящей через эту точку (рис.82).

Каждая точка образующей поверхности вращения описывает окружность, плоскость которой перпендикулярна оси вращения. Такие окружности называются параллелями. Кривые на поверхности вращения, образующиеся в результате пересечения поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Строить точки на поверхности вращения удобнее всего с помощью параллелей (рис.83).

Линия сечения поверхности проецирующей плоскостью строится по точкам пересечения образующих поверхности или ее параллелей с плоскостью. Для гранных тел линией сечения будет ломаная, построенная на эпюре по точкам пересечения следа проецирующей плоскости с ребрами гранной поверхности. Если даны тела вращения, то для решения задачи нужно выбрать несколько, принадлежащих следу секущей плоскости, точек, провести через выбранные точки параллели (или образующие), определить точки пересечения их со следом секущей плоскости; построить по ним лекальную кривую сечения. При этом в первую очередь следует определить характерные точки линии сечения на очерковых образующих (наиболее близкие, наиболее удаленные и др.).

Пример №19

Построить сечение пирамиды  заданной горизонтально проецирующей плоскостью  и определить натуральную величину сечения методом перемены плоскостей проекций (рис.84).

Искомое сечение – пятиугольник  вершины которого на эпюре определяются точками пересечения следа плоскости  с ребрами пирамиды. Натуральную величину сечения можно определить методом перемены плоскостей проекций, для чего проводим новую ось плоскостей проекций параллельно следу секущей плоскости.

Пример №20

Построить сечение конуса фронтально-проецирующей плоскостью в трех проекциях (рис.85).

Секущая плоскость пересекает две образующие конуса, поэтому в сечении получится эллипс (часть его). Характерные точки сечения получатся в результате пересечения очерковой образующей конуса со следом секущей плоскости (точка 1), и окружностью основания. Дополнительные точки сечения можно получить, выбрав ряд точек, принадлежащих следу секущей плоскости, построив их затем на поверхности конуса с помощью образующих или с помощью параллелей. Для эллипса сечения необходимо также определить

Пример №21

Построить в трех проекциях геометрическое тело с вырезом части (рис.86).

При решении задач подобного типа необходимо предварительно проанализировать вид секущих плоскостей. Если вырез строится для гранного тела, то необходимо строить точки пересечения следов секущих плоскостей с ребрами гранного тела, а также точки пресечения следов секущих плоскостей между собой (эти точки обычно принадлежат граням тела). Для удобства построения точки желательно пронумеровать по порядку. После построения точек, принадлежащих либо граням, либо ребрам тела на всех проекциях, точки соединяют в необходимой последовательности прямыми линиями. После этого необходимо оформить чертеж окончательно, учитывая видимость и невидимость вновь образованных ребер.

Если вырез строится для тела вращения, необходимо выяснить, какая кривая будет являться результатом сечения той или иной плоскостью заданного тела. Необходимо, прежде всего, строить точки пересечения следов секущих плоскостей, а затем ряд дополнительных точек, принадлежащих следам. После построения выбранных точек на всех проекциях, их плавно соединяют. Затем необходимо окончательно оформить чертеж, учитывая видимость вновь

Взаимное пересечение поверхностей вращения

Линия пересечения двух поверхностей в общем виде представляет собой пространственную кривую, которая может распадаться на две части и более. Обычно линию пересечения поверхностей строят по отдельным точкам. Сначала определяют опорные точки в пересечении контурных линий каждой поверхности с другой. Опорные точки позволяют видеть, в каких пределах расположены проекции линии пересечения и где между ними имеет смысл определить промежуточные точки. При этом нужно иметь в виду, что проекции линии пересечения всегда располагаются в пределах площади наложения одноименных проекций пересекающихся поверхностей.

Общим способом построения точек линии пересечения двух поверхностей является метод вспомогательных секущих плоскостей. Суть метода состоит в следующем. Вводятся вспомогательные секущие проецирующие плоскости. Вспомогательная плоскость пересекает данные поверхности по линиям (желательно, графически наиболее простым). В пересечении этих линий получаются точки, принадлежащие обеим поверхностям, т.е. точки их линии пересечения. Секущие плоскости обычно выбираются частного положения.

Пример №22

Построить линию пересечения поверхности конуса и сферы методом вспомогательных секущих плоскостей (рис.91).

Сначала отмечаем очевидные общие точки двух поверхностей  -точки пересечения их очерковых образующих. Эти опорные точки являются наивысшей и наинизшей точками линии пересечения, а также точками смены видимости на фронтальной поверхности. Графически простые линии (окружности параллелей) на данных поверхностях получаются от пересечения их горизонтальными плоскостями, параллельными  Выбираем плоскость  Эта плоскость пересекает конус по параллели  а сферу по параллели  Строим эти параллели на горизонтальной проекции. В пересечении этих параллелей находим пару точек, принадлежащих искомой линии пересечения. Аналогично производится построение всех остальных точек линии пересечения. Следует особо отметить вспомогательную плоскость  которая проходит на уровне экватора сферы, в пересечении параллелей этой плоскости находятся точки видимости линии пересечения на горизонтальной проекции. После построения необходимых точек, принадлежащих линии пересечения, соединяем их с учетом видимости плавными кривыми.

Пример №23

Построить линию пересечения поверхности конуса и сферы методом вспомогательных секущих плоскостей (рис.92).

Определение наивысшей и наинизшей точек линии пересечения

Если пересекающиеся поверхности вращения не имеют общей фронтальной плоскости симметрии, то опорные точки (наивысшую и наинизшую) линии пересечения этих поверхностей можно определить, используя метод перемены плоскостей проекций, как показано на рис. 92. При этом происходит замена плоскости  параллельной осевой плоскости  Новая ость проекций параллельна следу  Далее можно построить линию пересечения в системе плоскостей  затем построить ее фронтальную проекцию, замеряя высоты точек на проекции  так как это показано для точек  (рис.92).

Начертательная геометрия – это наука о методах построения изображений пространственных форм на плоскости.

Начертательная геометрия и ее методы находят применение в различных областях науки н техники: в машиностроении, архитектуре, строительстве, изобразительном искусстве.

Основным методом проецирования является ортогональное проецирование. Этот метод основан на проецировании пространственного объекта на две взаимно перпендикулярные плоскости лучами, перпендикулярными (ортогональными) к этим плоскостям.

В строительстве и машиностроении применяется также аксонометрическое проецирование. Изображения (чертежи), полученные с помощью такого проецирования, имеют высокую наглядность и простые построения

При проектировании крупногабаритных инженерных сооружений (строительных площадок, каналов, плотин, откосов железных и автомобильных дорог, насыпей и выемок на кривых и прямых участках пути), при изыскании и трассировании дорог, для определения границ и объемов земляных работ при строительстве этих сооружений, то есть когда длина сооружения намного превышает высоту, применяют метод проекций с числовыми отметками.

В строительстве и архитектуре при изображении проектируемых промышленных и жилых зданий, городских площадей и улиц, железнодорожных вокзалов, интерьеров станций метрополитенов и пассажирских залов, мостов и путепроводов, различных дорог широко используются перспективные проекции.

Эти проекции дают возможность получить наглядные изображения инженерных сооружений, которые наиболее точно передают реальное зрительное восприятие человека.

В начертательной геометрии чертежи являются тем инструментом, с помощью которого осуществляется непосредственное изучение геометрических форм предмета и выполняется решение пространственных задач. Поэтому к чертежам предъявляют следующие требования:

1. чертеж должен быть наглядным, т.е. он должен вызывать пространственное представление об изображаемом предмете;
2. чертеж должен быть обратимым, т.е. он должен точно определять форму, размеры и положение изображаемого предмета;
3. чертеж должен быть простым для его графического выполнения;
4. изображение предмета должно быть удобным для чтения размеров.

Чертежи, выполненные методом проецирования, называются проекционными.

Начертательная геометрия возникла в глубокой древности. Потребность в изображениях пространственных форм на плоскости, развитие изобразительного искусства, техники пред определили появление начертательной геометрии.

Ученые всего мира внесли большой вклад в развитие методов построения изображений пространственных форм на плоскости. Это великий греческий геометр Эвкпид (Ш в. до н.э.), римский архитектор Витрувий (I в. до н.э.).

Значительные труды по методам изображений были написаны в эпоху Возрождения: итальянскими архитекторами Леоном Батиста Альберти (1404 -1472 гг.), Леонардо да Винчи (1455 – 1519 гг.), немецким живописцем и архитектором Альбрехтом Дюрером (1471 – 1528 гг.).

Математическую трактовку перспективы дал итальянский ученый Гвидо Убальди (1545 -1607 гг.), а французский архитектор Жерар Дезарг (1593 – 1662 гг.) в своем труде заложил теоретический фундамент перспективы

В России практические приемы построения графических изображений были известны еще в давние времена. Рисунки домов, крепостей в различных древних летописях сохранили для нас достаточно совершенные для своего времени примеры изображений.

Работы таких великих русских мастеров, как иконописец Рублев, меха ник-самоучка И.П. Кулибин, зодчие Д.В. Ухтомский, В.И. Баженов, М.Ф. Казаков и многие другие, являются образцами правильных проекционных изображений.

Таким образом, методы построения графических изображений постоянно развивались в различных странах независимо друг от друга, но только французский инженер и ученый Гаспар Монж (1746 -1818 гг.) смог сформулировать главные элементы теории построения графических изображений, используя прямоугольное проецирование на две взаимно перпендикулярные плоскости.

В 1798 году Гаспар Монж опубликовал свой главный научный труд «Начертательная геометрия».

В России курс начертательной геометрии впервые стал изучаться в 1810 году. Первым русским профессором начертательной геометрии и крупным ученым в этой области стал ЯЛ. Севастьянов (1796 -1849 гг.).

Значительный вклад в развитие начертательной геометрии внесли русские ученые: Н.И. Макаров, В.И. Курдюмов, Н.А. Рынин, А.И. Добряков, Н.Ф. Четверухин и многие другие.

Позднее продолжили свои исследования такие ученые, как В.О. Гордон, С.А. Фролов, А.В. Бубенников, Н.Н. Крылов и др.
 

Пример центрального проецирования

Пусть в пространстве задана плоскость  которую будем называть плоскостью проекций.

Выберем какую-либо точку  не лежащую на плоскости проекций. Эту точку будем называть центром проецирования.

Заданную точку  пространства будем проецировать на плоскость проекций  Для этого через точку  из центра проекций  проведем прямую 1. Эта прямая будет называться проецирующей прямой. Затем находим точку пересечения  проецирующей прямой  с плоскостью проекций  Точка будет называться проекцией точки  (рис 1.1). Аналогично выполним построение проекции  точки 

Очевидно, что каждой точке пространства будет однозначно соответствовать своя собственная проекция. Однако на рис 1.2 мы видим, что проекцией точки  и точки  является точка пересечения их общей проецирующей прямой с плоскостью проекций.

Следовательно, такое изображение не является взаимно однозначным, и судить о положении точек  в пространстве по одной проекции нельзя, потому что одним из требований, предъявляемых к чертежам, является точное определение положения пространственного объекта по его изображению, по его проекциям.

Пример параллельного проецирования

Если центр проецирования  удален в бесконечность (рис. 1.3), то проецирующие лучи станут параллельны друг другу. Такое проецирование называется параллельным.

Проецирующие лучи, исходящие из бесконечного далека, могут быть наклонены под любым углом к плоскости проекций.

При заданном аппарате проецирования можно построить параллельную проекцию любой точки пространства. Для этого через заданную точку  проведем проецирующую прямую, параллельную направлению  и найдем точку  – точку пересечения этой прямой с плоскостью проекций 

Через точку  параллельно заданному направлению в пространстве можно провести только одну прямую, следовательно, каждая точка пространства имеет одну и только одну параллельную проекцию.

Точки  принадлежат одному и тому же проецирующему лучу, параллельному направлению s (рис. 1.4). Поэтому проекции этих точек  и  совпадают. Отсюда следует, что по одной заданной проекции положение в пространстве точек  определить невозможно.

Пример ортогонального (прямоугольного) проецирования

Ортогональное (прямоугольное) проецирование является частным случаем параллельного проецирования, при котором направление проецирования  выбирается перпендикулярным плоскости проекций   т.е. (рис 1.5).

Такое проецирование является наиболее простым и удобным из всех других существующих видов проецирования. Оно обеспечивает простоту определения проекций геометрических объектов, а также позволяет сохранить на проекциях их форму и размеры.

Прямоугольное проецирование имеет те же недостатки, что и центральное и параллельное проецирование: одна прямоугольная проекция не дает возможности определить положение геометрического объекта в пространстве.

Для того чтобы получить так называемый «обратимый чертеж», который позволит определить любые геометрические параметры объекта, надо иметь хотя бы две связанные между собой прямоугольные проекции.

Пример проекции точки

Проецирование будем вести на три взаимно перпендикулярные плоскости (рис. 1.6):

•  – горизонтальная плоскость проекций;
•  – фронтальная плоскость проекций;
•  – профильная плоскость проекций.

Линии пересечения этих плоскостей называют осями проекций (координатными):

•  – ось абсцисс;
•  – ось ординат;
•  – ось аппликат

и рассматривают как систему прямоугольных декартовых координат с центром 

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: 

Для получения прямоугольных проекций точки  необходимо из этой точки опустить перпендикуляры на плоскости проекций. Основания перпендикуляров и будут являться проекциями данной точки:

•  – горизонтальная проекция точки;
•  – фронтальная проекция точки;
•  – профильная проекция точки.

Для получения более удобного чертежа необходимо совместить плоскости проекций  вместе с изображением на них данной точки  с плоскостью проекций  поворотом их вокруг осей  в направлении, указанном стрелкой (рис. 1.6). Такой совмещенный чертеж называется эпюром (от франц. epurer- очищенный) (рис. 1.7).

Из чертежа видно, что горизонтальная и фронтальная проекции точки лежат на одном перпендикуляре к оси  а фронтальная и профильная проекции – на одном перпендикуляре к оси 

Прямая, которая соединяет на чертеже две проекции одной и той же точки, называется линией связи.

Расстояния от заданной точки  до плоскостей проекций определяются ее координатами:

Каждая проекция точки определяется двумя координатами:  а две любые проекции определяются тремя координатами, следовательно, для задания точки достаточно двух проекций.

Если все три координаты точки отличны от нуля, точка находится в пространстве (см. рис. 1.6 и рис. 1.7).

Если одна из координат равна нулю, точка находится в плоскости проекций, например, точка  лежит в плоскости  поэтому координата  (рис. 1.8).

Если точка лежит на оси , то нулю равны две ее координаты (точка  лежит на оси  см. рис. 1.8). Координаты  равны 0.

Если все три координаты равны нулю, точка совпадает с началом координат.

По двум известным проекциям всегда можно построить третью (рис. 1.9).

Например, чтобы построить профильную проекцию  точки  по данным горизонтальной  и фронтальной  проекциям, необходимо:

1. из точки  провести прямую, перпендикулярную  до пересечения с ней в точке 
2. из точки  провести прямую под углом  к оси проекций  до пересечения с осью 
3. из полученной точки  восстановить перпендикуляр к оси 
4. из фронтальной проекции  провести прямую, перпендикулярную оси  и продолжить ее до пересечения с построенной ранее прямой из точки  На пересечении этих прямых находится искомая проекция  точки  Проекцию  можно найти так, как показано на рис. 1.10, т.е. отложить от точки  отрезок, равный координате 

На рис. 1.11 построена горизонтальная проекция  точки  с помощью постоянной прямой чертежа, когда известны фронтальная и профильная проекции точки  Ее проводят под углом  к вертикальной или горизонтальной линии связи (см. рис. 1.10 и рис. 1.11).

Часто для решения задач бывает достаточно иметь на чертеже только две прямоугольные проекции предмета. В этом случае для получения чертежа берут две взаимно перпендикулярные плоскости проекций – горизонтальную  и фронтальную  Такой метод был изложен Г. Монжем, поэтому иногда называется методом Монжа.

Пересекаясь между собой, плоскости  делят пространство на четыре части, которые называются четвертями. Их нумеруют в порядке, указанном на рис. 1.12.

Ось проекций делит каждую из плоскостей проекций на две полуплоскости (полы): плоскость проекций  – на переднюю и заднюю полы, плоскость  – на верхнюю и нижнюю полы. Фронтальная проекция точки  находящейся в первой четверти, окажется над осью  горизонтальная -под осью  (рис. 1.13).

При переходе от пространственного изображения к эпюру, т.е. при совмещении горизонтальной плоскости с фронтальной передняя пола плоскости  будет перемещаться на  вокруг оси  вниз, а задняя пола – вверх. Поэтому фронтальная и горизонтальная проекции точки, находящейся во второй четверти, окажутся над осью  (рис. 1.14).

Фронтальная проекция точки, находящейся в третьей четверти, окажется под осью  а горизонтальная – над осью  (рис. 1.15), фронтальная и горизонтальная проекции точки, находящейся в четвертой четверти, – под осью  (рис. 1.16).

Три плоскости проекций делят пространство на восемь октантов. Нумерация октантов дана на рис. 1.17.

Совмещая плоскости проекций так же, как было показано ранее, можно получить чертеж точки, расположенной в любом из восьми октантов (рис. 1.18).

Считают, что наблюдатель, рассматривающий предмет, находится в 1-ом октанте.

Приняв для отсчета координат точки систему, показанную на рис. 1.17, составляют таблицу знаков координат во всех восьми октантах (табл.).

Любая точка пространства  заданная координатами, будет обозначаться: 

Пусть задана точка  Эта запись означает, что положение точки  в пространстве определяется координатами: 

Построение изображения самой точки и ее проекций на пространственной модели осуществляют следующим образом: на осях координат от точки  откладывают отрезки, соответственно равные 6, 4, 5 единицам длины (рис. 1.19). На этих отрезках  как на ребрах, строят параллелепипед. Вершина его, противоположная началу координат, определяет положение заданной точки  Из рис. 1.19 видно, что для определения положения точки  достаточно построить только три ребра параллелепипеда, например, 

Эпюр точки представлен на рис. 1.20.

На рис. 1.21 – 1.23 представлены наглядные изображения и эпюры точек, которые расположены во II, III, IV октантах.

Виды проецирования

Правила построения изображений, излагаемые и инженерной графике, основаны на методе проекций, в том, что луч SA (рис.1), выходя из точки S, пересекает плоскость πi в точке Ai (SA∩ πi= А).

Точка S – центр проецирования;
SA – проецирующий луч;
πi – плоскость проекций;
Ai – проекция точки А на плоскость проекций πi.

Рисунок 1

Проецированием называется процесс построения изображений путем проведения через характерные точки предмета проецирующих прямых до их пересечения с плоскостью проекций.

В зависимости от положения центра проецирования по отношению к плоскости проекций проецирование может быть центральным (коническим) или параллельным (цилиндрическим).

При центральном проецировании все проецирующие лучи, при проецировании системы точек или какой-либо фигуры, проходят через одну и ту же точку, называемую центром проекций. 

Изображение треугольника A_i B_i C_i на плоскости π_i  называют центральной проекцией треугольника АВС (рис.2, а).

Изображение, полученное по способу центрального проектирования, называют перспективным изображением или перспективой.

Достоинством центрального проектирования является его большая наглядность, объясняемая свойством глаза, устроенного по принципу центрального проектирования (оптический центр хрусталика глаза — центр проекций, сетчатка — плоскость проекций).

Однако изображение предметов по методам центрального проектирования весьма сложно, при этом затрудняется простановка размеров, ухудшается возможность воспроизведения формы и размеров изображаемого предмета. Поэтому при составлении технических чертежей получил распространение метод параллельно­го проектирования.

Параллельное проецирование рассматривают как частный случай центрального проецирования, при котором центр проецирования удален в бесконечность.

Проекция называется параллельной, если все проецирующие лучи при проецировании системы точек или какой-либо фигуры параллельны какому-то заданному направлению S.

Изображение треугольника Ai Bi Ci на плоскости π_i  называют параллельной проекцией треугольника АВС (рис. 2,б). 

Параллельные проекции бывают прямоугольные и косоугольные. 

Если направление проецирования составляет с плоскостью проекций прямой угол, проекция будет прямоугольной (ортогональной); если этот угол острый, то она будет косоугольной. 

Все чертежи выполняют по правилам прямоугольного (ортогонального проецирования).

Рисунок 2

Основные свойства параллельных проекций

1.    Проекцией точки является точка (рис. 3).

Доказательство: проецирующий луч – прямая, а прямая пересекает плоскость только в точке.

2.    Прямая проецируется в прямую (рис. 3).

Доказательство: прямая CD и проецирующие    лучи CC_i, DD_i определяют плоскость, а плоскости пересекаются по прямой линии. Частный случай: Если прямая (EF) параллельна направлению проецирования (рис. 3), то ее проекцией является точка (точка E_i=F_i). Точки E и F, расположенные на одном проецирующем луче, называют конкурирующими точками.

Рисунок 3

3. Если точка принадлежит прямой (точка К принадлежит прямой АВ), то ее проекция принадлежит проекции этой прямой (К_i принадлежит A_iB_i) (рис.4)

Доказательство: прямая АВ и проецирующие лучи AAi, ВВ_i образуют плоскость AAiВВi, точка КеАВ KeAAi ВВ i. Проецирующий луч KKi и проекция отрезка AiВi также принадлежат     плоскости AAi ВВ i, следовательно, они пересекутся в точке Кi, принадлежащей проекции AiВi прямой AВ.

Рисунок 4

4. Если две прямые параллельные, то их проекции параллельны между собой (рис. 5).

Доказательство:    т.к. AB||CD иAA_i||ВВ_i||CC_i||DD_i, то плоскость    AВВ_iA_i параллельна плоскости CDD_iC_i . Поэтому в пересечении этих плоскостей с плоскостью πi получаются прямые, параллельные между собой (A_iB_i|| C_iD_i).

5.    Отношение отрезков прямой линии равно отношению их проекций, т. е. АВ/АМ= A_iB_i/A_iM_i (рис. 5).

Доказательство: треугольники ВМВ_i и AMA_i подобны, т.к. AA_i||ВВ, следовательно AВ/AM = AiВ1 /AiMi.

6.    Отношение отрезков двух параллельных прямых равно отношению их проекций (рис. 5).

Доказательство: так, AB||CD по условию, следовательно, ΔMВВ_i ~ ΔNDD_i, так как сходственные стороны их параллельны. Учитывая свойство п.5, имеем AB/ CD = A_iB_i / C_iD_i.

Рисунок 5

Понятие о методе Г. Монжа

Французский математик Гаспар Монж (1746-1818г.г.), систематизировав и обобщив накопленные к тому времени знания по теории и практике построения изображений предметов пространства, предложил получать их изображения путем проецирования на две или три взаимно перпендикулярные плоскости проекций. Этот метод является основным методом при выполнении технических чертежей.

Требования, предъявляемые к чертежу:

1. Обратимость. Чертеж называют обратимым, если по изображениям фигуры можно восстановить ее форму, размеры и положение точек в пространстве.
2. Точность. Графические операции, выполненные на чертеже, должны давать достаточно точные результаты.
3. Простота. Изображение должно быть простым по построению и должно допускать однозначное описание объекта в виде последовательности графических операций.
4. Наглядность – чертеж должен создавать пространственное представление о форме предмета.

Проецирование точки на две плоскости проекций

На рис. 6 изображены две взаимно перпендикулярные плоскости π₁ и π₂ .
π ₁    – горизонтальная плоскость проекций;
π ₂    – фронтальная плоскость проекций;
Х = π ₁ ∩ π₂    – ось проекций;

А – некоторая точка в пространстве; A₁ – ее горизонтальная проекция;    A₂ – фронтальная.

Плоскости проекций π₁ и π₂ образуют систему плоскостей π₁ / π₂.

Рисунок 6

Для того, чтобы получить прямоугольные (ортогональные) проекции некоторой точки A в системе π1 / π2, т. е. проекции на две плоскости проекций, надо из точки A провести проецирующие прямые, перпендикулярные плоскостям проекций π1 и π2, и точки пересечения этих прямых с плоскостями проекций дадут проекции точки A в системе

π 1 /  π₂, т. е. если AA₂  J. π2, и AA₁   A. π 1, то A₂   — фронтальная проекция точки А, А1 — горизонтальная проекция точки А.

Плоскость AA2AxA1, проведенная через проецирующие прямые AA1 и AA2 перпендикулярна к плоскости π2 и к плоскости π1, так как она содержит перпендикуляры к этим плоскостям. Поэтому она перпендикулярна и к линии их пересечения, т. е. к оси проекций x. Эта плоскость пересекает плоскости π 1 /π 2 по двум взаимно перпендикулярным прямым A₁A_x и A₂A_x, пересекающимся в точке Ах на оси проекций.

Следовательно, проекции некоторой точки А в системе π1 / π2 располагаются на прямых, перпендикулярных к оси проекций и пересекающих эту ось в одной и той же точке.

Повернув плоскость π 1 вокруг оси x на угол 90° до совмещения с плоскостью π₂, получим изображение (рис. 7), на котором проекции точки А — А₁ и А₂ окажутся на одном перпендикуляре к оси x — на линии проекционной связи.

Рисунок 7

Такое изображение, т. е. изображение, полученное при совмещении плоскостей проекций с плоскостью чертежа, называется эпюром (от французского слова epure — чертеж). На эпюре: A₂A_x — расстояние точки А от плоскости π 1, A₁A_x— расстояние точки A от плоскости π 2.

Проецирование точки на три плоскости проекций

Для суждения об относительном положении точки в пространстве необходимо и достаточно иметь проекции этих точек на две плоскости проекций (двухкартинный чертеж). Но на практике, в частности при изображении деталей машин, приходится прибегать к проецированию предмета на три плоскости проекций (трехкартинный чертеж).

На рис. 8 изображены три взаимно перпендикулярные плоскости проекций: π1, π2, π3.

• π 1 _– горизонтальная плоскость;
• π2 — фронтальная плоскость;
• π3 – профильная плоскость.

Три взаимно перпендикулярные плоскости проекций образуют систему плоскостей π1, π2 , π3. 

Линия пересечения двух каждых двух плоскостей называется осью проекций: ось X, ось Y и ось Z. Буквой О обозначается точка пересечения осей проекций. 

Точка А – проецируемый объект. 

Наглядное изображение на рис. 8 содержит горизонтальную А1, фронтальную А2 и профильную А3 проекции некоторой точки А. 

Линии:

АА1, АА2, АА3 – проецирующие лучи;
A₁A_x, А2Ах, A₁AY, A₃Ay, A₂AZ, A₃AZ – линии проекционной связи.

Для получения чертежа (эпюра) точки А совмещаем плоскости проекций π1, π3 с плоскостью π2, (повернем плоскости π1, π3. на угол 90° в направлении, указанном стрелками на рис. 8). При этом ось y (рис. 9) как бы раздвоилась: одна ее часть с плоскостью π1 опустилась вниз (на чертеже обозначена буквой y), а вторая с плоскостью π3 ушла вправо (на чертеже обозначена буквой y1).

Рисунок 8

Рисунок 9

Все проекции связаны между собой линиями проекционной связи.

Отрезки проецирующих лучей от точки А до плоскостей проекций называют координатами точки А:

• Za = AA1 = A2Aχ
• Ya = AA2 = AiAx
• ХА = AA3 = 0Ax

Так как положение точки в пространстве полностью определяется ее проекциями на две взаимно перпенди­кулярные плоскости проекций, то по двум проекциям точки всегда может быть построена ее третья проекция.

Положение профильной проекции по двум заданным горизонтальной и фронтальной может быть определено (рис. 10):

• с помощью дуги радиуса ОАу (ОАу1);
• с помощью ломаной А₁ А’А₃ с вершиной А ’ на биссектрисе угла, образованного осями Y и Y₁. Биссектрису ОА ’ называют постоянной прямой k эпюра Монжа.

Рисунок 10

Задание и изображение прямой. Положение прямой относительно плоскостей проекций

Для построения эпюра отрезка прямой АВ достаточно построить проекции двух точек — точек А и В, и одноименные прое­кции соединить линиями (рис. 11).

• А1В1 – горизонтальная проек­ция отрезка АВ,
• А2В2 –   фронтальная проекция,
• А3В3 – профильная проекция.

Рисунок 11

Относительно плоскостей проекций прямая может занимать различные положения:

1. Прямая общего положения – прямая не параллельна ни одной из плоскостей проекций. 

На рис. 11 дан эпюр отрезка прямой общего положения, т.к. точки А и В данного отрезка находятся на разных расстояниях от плоскостей проекций. 

2. Прямая частного положения – прямая, занимающая особое положение по отношению к плоскостям проекций. К таким прямым относят прямые, параллельные одной или двум плоскостям проекций. 

Прямая, параллельная какой-либо плоскости проекций называется прямой уровня. Горизонтальная прямая (горизонталь) параллельна плоскости π₁. Фронтальная прямая (фронталь) параллельна плоскости π₂. Профильная прямая параллельна плоскости π₃.

Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (перпендикулярная третьей) называется проецирующей прямой.  Горизонтально – проецирующая прямая перпендикулярна плоскости π_1. Фронтально – проецирующая прямая перпендикулярна плоскости π2. Профильно – проецирующая прямая перпендикулярна плоскости π3.

В таблице 1 приведены чертежи прямых частного положения.

Положение прямой	Наглядное изображение	Эпюр	Характеристика проекций прямой
Параллельна плоскости π1	Горизонталь	А2В2 ǁǁ Х  А3В3 ǁǁ Y  А1В1 –натуральная величина отрезка  АВ; β- угол наклона прямой к фронтальной плоскости проекций
Параллельна плоскости π2	Фронталь	А1В1 ǁǁ Х  А3В3 ǁǁ Z  А2В2 –натуральная величина отрезка  АВ; α– угол наклона  прямой к  горизонтальной  плоскости  проекций
Параллельна плоскости π3	Профильная прямая	А2В2 ǁǁ Z А1В1 ǁǁ Y  А3В3  – натуральная величина отрезка  АВ;  α, β-углы наклона  отрезка АВ к горизонтальной и фронтальной плоскостям соответственно
Перпендикулярна плоскости π1	Горизонтально – проецирующая  прямая	А2В2,  А3В3 ǁǁZ  А1В1 – проецируется в точку
Перпендикулярна плоскости π2	Фронтально – проецирующая  прямая	А1В1,  А3В3 ǁǁ Y  А2В2 – проецируется в точку
Перпендикулярна плоскости π3	Профильно – проецирующая  прямая	А2В2,  А1В1 ǁǁ Х  А3В3 – проецируется в точку

Определение угла между прямой и плоскостями проекций и истинной величины отрезка методом прямоугольного треугольника

Угол между прямой и плоскостью проекций — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.

На рис. 12 изображена в пространстве плоскость проекций π1 и отрезок прямой АВ. A1B1  –  проекция отрезка АВ на плоскость π 1, — угол между отрезком АВ и плоскостью проекций π_1. Проводим АВ0 параллельно A1B1, получаем прямоугольный треугольник АВВ₀, где гипотенуза АВ – отрезок АВ в пространстве, катет АВ0 =A₁B₁, катет ВВ0 равен разности расстояний от концов отрезка до плоскости π ₁ : ВВ0 = ВВ1 — АА1.

Рисунок 12

Прямоугольный треугольник, равный треугольнику АВВ0 можно построить на эпюре (рис. 13,а). Одним катетом этого треугольника будет горизонтальная проекция отрезка АВ, другой равен разности расстояний концов отрезка АВ от плоскости π₁ (B₁B₀=B₂I= B₂Bx -A₂Ax). При этом гипотенуза A1B0 построенного треугольника – истинная величина отрезка АВ, угол α – угол между прямой и плоскостью проекций π1.

Рисунок 13

Аналогичные построение выполняем для нахождения угла между прямой и плоскостью проекций π2 (угла β) (рис. 13,б): на фронтальной проекции прямой, как на катете следует построить прямоугольный треугольник, вторым катетом которого будет разность расстояний концов отрезка от плоскости π₂ (B₂B₀ = B₁2=B₁B_x – A₁A_x). Гипотенуза A₂B₀ построенного треугольника — истинная величина отрезка АВ.

Следы прямой линии

Следами прямой линии называются точки пересечения этой прямой с плоскостями проекций.

В зависимости от того, с какой плоскостью пересекается прямая, следы обозначают и называют:

• М- горизонтальный след прямой, M₁, M₂ – соответственно горизонтальная и фронтальная проекции горизонтального следа прямой.
• N – фронтальный след прямой, N1, N2 – соответственно горизонтальная и фронтальная проекции фронтального следа прямой.

Горизонтальный след М прямой АВ (рис. 14) точка, принадлежащая как прямой АВ, так и плоскости π 1 (ZM =    0, поэтому M₂ C оси Х) Фронтальный след N прямой АВ – точка, принадлежащая  как прямой В, так и плоскости π ₂ (YM=0, N1 C Х)

    Рисунок 14     

Для построения на эпюре фронтального следа прямой АВ необходимо (рис. 15):

1. продлить горизонтальную проекцию этой прямой до пересечения с осью x (точка N 1);
2. из точки пересечения провести прямую перпендикулярно оси x;
3. пересечение перпендикуляра с продолжением фронтальной проек­ции прямой укажет положение фрон­тального следа прямой АВ (точка N2 ).

Рисунок 15

Аналогично для построения горизонтального следа прямой АВ (рис.15) надо продлить до пере­сечения с осью x ее фронтальную проекцию (точка M2) и из точки пере­сечения  восстановить перпендикуляр до пересечения с продолжением горизонтальной проекции прямой (точка M1 ).

Взаимное положение двух прямых 

Прямые в пространстве могут быть: параллельными, пересекающимися (имеющими одну общую точку), скрещивающимися (не пересекающимися и не параллельными).

Рисунок 16

а) Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точках, которые являются проекциями точки пересечения прямых (рис. 16,а).

a ∩ b= М a₁ ∩ b₁ = М1; а₂ ∩ b₂= М_2; М1 M₂x

Если в системе π 2 /π 1 одна из рассматриваемых прямых профильная, то для однозначного определения положения прямых следует построить их профильные проекции.

б) Параллельные прямые. По свойству параллельных проекций проекции двух параллельных прямых параллельны между собою; поэтому одноименные проекции таких прямых попарно параллельны между собой (рис. 16,б).

с||dc₂||d₂ и c1|d₁

в) Скрещивающиеся прямые. Если одноименные проекции двух прямых пересекаются, но точка их пересечения не лежит на одной линии связи (рис. 16,в), то это будут скрещивающиеся прямые. Точки пересечения горизонтальных и фронтальных проекций двух скрещиваю­щихся прямых являются совпадающими проекциями двух различных точек. Такие точки называют конкурирующими и применяют для определения видимости при рассмотрении взаимного положения двух фигур. На π2 точка В закрывает собой точку А, так как она расположена ближе к наблюдателю (ее горизонтальная проекция B1 расположена дальше от оси x). Аналогично на π1 точка С закрывает точку D, так как точка С расположена выше точки D (точка С расположена дальше от оси x).

О проекциях плоских углов

1. Плоский угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину в том случае, когда его стороны параллельны плоскости проекций (в соответствии с теоремой о равенстве углов с параллельными и одинаково направленными сторонами).

2. Прямой угол проецируется на плоскость проекций в натуральную величину, если хотя бы одна из его сторон параллельна этой плоскости проекций.

Докажем это (рис. 17). Пусть, π 1 — некоторая плоскость проекций, a ABC — прямой, причем ВС || π 1, B₁C₁ — проекция стороны  ВС  угла на плоскость π₁. Так как ВС ||1, то B₁C₁1|| ВС .Пусть сторона АВ угла пересекает плоскость проекций π 1 в точке К. Проведем KL || B₁C₁. Прямая KL будет также параллельна и ВС. Следовательно, B BKL прямой. Но тогда BIKiKL тоже прямой (теорема о трех перпендикулярах), а значит, и C C₁B₁K тоже прямой угол, что и требовалось доказать.

Рисунок 17.