Траектория (от позднелатинского trajectories – относящийся к перемещению) – это линия, по которой движется тело (материальная точка). Траектория движения может быть прямой (тело перемещается в одном направлении) и криволинейной, то есть механическое движение может быть прямолинейным и криволинейным.
Траектория прямолинейного движения в данной системе координат – это прямая линия. Например, можно считать, что траектория движения автомобиля по ровной дороге без поворотов является прямолинейной.
Криволинейное движение – это движение тел по окружности, эллипсу, параболе или гиперболе. Пример криволинейного движения – движение точки на колесе движущегося автомобиля или движение автомобиля в повороте.
Движение может быть сложным. Например, траектория движения тела в начале пути может быть прямолинейной, затем криволинейной. Например, автомобиль в начале пути движется по прямой дороге, а затем дорога начинает «петлять» и автомобиль начинает криволинейное движение.
Путь
Путь – это длина траектории. Путь является скалярной величиной и в международной системе единиц СИ измеряется в метрах (м). Расчёт пути выполняется во многих задачах по физике. Некоторые примеры будут рассмотрены далее в этом учебнике.
Вектор перемещения
Вектор перемещения (или просто перемещение) – это направленный отрезок прямой, соединяющий начальное положение тела с его последующим положением (рис. 1.1). Перемещение – величина векторная. Вектор перемещения направлен от начальной точки движения к конечной.
Модуль вектора перемещения (то есть длина отрезка, который соединяет начальную и конечную точки движения) может быть равен пройденному пути или быть меньше пройденного пути. Но никогда модуль вектора перемещения не может быть больше пройденного пути.
Модуль вектора перемещения равен пройденному пути, когда путь совпадает с траекторией (см. разделы Траектория и Путь), например, если из точки А в точку Б автомобиль перемещается по прямой дороге. Модуль вектора перемещения меньше пройденного пути, когда материальная точка движется по криволинейной траектории (рис. 1.1).
Рис. 1.1. Вектор перемещения и пройденный путь.
На рис. 1.1:
Ещё пример. Если автомобиль проедет по кругу один раз, то получится, что точка начала движения совпадёт с точкой конца движения и тогда вектор перемещения будет равен нулю, а пройденный путь будет равен длине окружности. Таким образом, путь и перемещение – это два разных понятия.
Правило сложения векторов
Векторы перемещений складываются геометрически по правилу сложения векторов (правило треугольника или правило параллелограмма, см. рис. 1.2).
Рис. 1.2. Сложение векторов перемещений.
На рис 1.2 показаны правила сложения векторов S1 и S2:
а) Сложение по правилу треугольника
б) Сложение по правилу параллелограмма
Проекции вектора перемещения
При решении задач по физике часто используют проекции вектора перемещения на координатные оси. Проекции вектора перемещения на координатные оси могут быть выражены через разности координат его конца и начала. Например, если материальная точка переместилась из точки А в точку В, то при этом вектор перемещения 
(см.рис. 1.3).
Выберем ось ОХ так, чтобы вектор 
лежал с этой осью в одной плоскости. Опустим перпендикуляры из точек А и В (из начальной и конечной точек вектора перемещения) до пересечения с осью ОХ. Таким образом мы получим проекции точек А и В на ось Х. Обозначим проекции точек А и В соответственно Аx и Вx. Длина отрезка АxВx на оси ОХ – это и есть проекция вектора перемещения на ось ОХ, то есть
Sx = AxBx
ВАЖНО!
Напоминаю для тех, кто не очень хорошо знает математику: не путайте вектор с проекцией вектора на какую-либо ось (например, Sx). Вектор всегда обозначается буквой или несколькими буквами, над которыми находится стрелка. В некоторых электронных документах стрелку не ставят, так как это может вызвать затруднения при создании электронного документа. В таких случаях ориентируйтесь на содержание статьи, где рядом с буквой может быть написано слово «вектор» или каким-либо другим способом вам указывают на то, что это именно вектор, а не просто отрезок.
Рис. 1.3. Проекция вектора перемещения.
Проекция вектора перемещения на ось ОХ равна разности координат конца и начала вектора, то есть
Sx = x – x0
Аналогично определяются и записываются проекции вектора перемещения на оси OY и OZ:
Sy = y – y0 Sz = z – z0
Здесь x0, y0, z0 — начальные координаты, или координаты начального положения тела (материальной точки); x, y, z — конечные координаты, или координаты последующего положения тела (материальной точки).
Проекция вектора перемещения считается положительной, если направление вектора и направление координатной оси совпадают (как на рис 1.3). Если направление вектора и направление координатной оси не совпадают (противоположны), то проекция вектора отрицательна (рис. 1.4).
Если вектор перемещения параллелен оси, то модуль его проекции равен модулю самого Вектора. Если вектор перемещения перпендикулярен оси, то модуль его проекции равен нулю (рис. 1.4).
Рис. 1.4. Модули проекции вектора перемещения.
Разность между последующим и начальным значениями какой-нибудь величины называется изменением этой величины. То есть проекция вектора перемещения на координатную ось равна изменению соответствующей координаты. Например, для случая, когда тело перемещается перпендикулярно оси Х (рис. 1.4) получается, что относительно оси Х тело НЕ ПЕРЕМЕЩАЕТСЯ. То есть перемещение тела по оси Х равно нулю.
Рассмотрим пример движения тела на плоскости. Начальное положение тела – точка А с координатами х0 и у0, то есть А(х0, у0). Конечное положение тела – точка В с координатами х и у, то есть В(х, у). Найдём модуль перемещения тела.
Из точек А и В опустим перпендикуляры на оси координат ОХ и OY (рис. 1.5).
Рис. 1.5. Движение тела на плоскости.
Определим проекции вектора перемещения на осях ОХ и OY:
Sx = x – x0 Sy = y – y0
На рис. 1.5 видно, что треугольник АВС – прямоугольный. Из этого следует, что при решении задачи может использоваться теорема Пифагора, с помощью которой можно найти модуль вектора перемещения, так как
АС = sx CB = sy
По теореме Пифагора
S2 = Sx2 + Sy2
Откуда можно найти модуль вектора перемещения, то есть длину пути тела из точки А в точку В:
Ну и напоследок предлагаю вам закрепить полученные знания и рассчитать несколько примеров на ваше усмотрение. Для этого введите какие-либо цифры в поля координат и нажмите кнопку РАССЧИТАТЬ. Ваш браузер должен поддерживать выполнение сценариев (скриптов) JavaScript и выполнение сценариев должно быть разрешено в настройках вашего браузера, иначе расчет не будет выполнен. В вещественных числах целая и дробная части должны разделяться точкой, например, 10.5.
Конспект по физике для 8 класса «Перемещение и описание движения». Как определить координаты тела, движущегося равномерно и прямолинейно. Что такое уравнение движения.
Конспекты по физике Учебник физики Тесты по физике
Перемещение и описание движения
Система отсчёта используется для того, чтобы определить положение тела в пространстве в некоторый момент времени. В случае когда тело движется, возникает задача вычисления его координат в некоторые моменты времени.
ПРОЕКЦИИ ПЕРЕМЕЩЕНИЯ НА КООРДИНАТНЫЕ ОСИ
Если известен вектор перемещения тела, то при расчетах, как правило, используют не координаты вектора, как такового, а его проекции на оси координат. Если опустить перпендикуляры из начала и конца вектора перемещения s на координатную ось X, то получится отрезок sx, который называют проекцией перемещения. При этом проекция вектора на ось считается положительной, если координата конца вектора перемещения оказывается больше координаты его начала. В противном случае проекция считается отрицательной.
Если вектор и ось параллельны, то длина вектора равна его проекции на эту ось.
При решении многих задач необходимо уметь находить проекции вектора перемещения на координатные оси. Если (х0; у0) и (х; у) — координаты начала и конца вектора, то его проекции на оси абсцисс и ординат будут равны соответственно
sx = x – x0, (1)
sy = y – y0
Зная проекции вектора перемещения, можно найти его длину (модуль) по теореме Пифагора:
ОПРЕДЕЛЕНИЕ КООРДИНАТ ДВИЖУЩЕГОСЯ ТЕЛА И ЕГО ПЕРЕМЕЩЕНИЯ
Если тело движется прямолинейно, то траектория его движения совпадает с перемещением. При этом пройденный телом путь равен значению модуля вектора перемещения.
А как описать движение тела в более сложном случае? На рисунке представлен график движения самолёта. Сначала он набирал высоту, двигаясь из точки А в точку В, затем двигался на одной и той же высоте (до точки С) и, наконец, приземлился в точке D. На какой высоте проходил полёт? Высоте полёта соответствуют координаты по оси OY, значит, в точке В самолёт набрал высоту 3 км.
Теперь ответим на вопрос: какой путь проделал самолёт на этой высоте? Проекция перемещения s2x = 80 — 20 = 60 км.
Так как всё это время самолёт двигался параллельно оси ОХ, длина вектора перемещения равна его проекции на эту ось. Следовательно, модуль перемещения самолёта из точки В в точку С равен 60 км. Этому же значению равен и путь самолёта из точки В в точку С.
И наконец, определим дальность полёта самолёта. Для этого нам надо найти модуль перемещения самолёта из точки А в точку D: |s| = sx = 100 — 0 = 100 км.
Таким образом, при помощи перемещения и его проекций мы описали сложное движение самолёта.
ПЕРЕМЕЩЕНИЕ И СКОРОСТЬ ПРИ РАВНОМЕРНОМ ПРЯМОЛИНЕЙНОМ ДВИЖЕНИИ
Так как при прямолинейном движении пройденный телом путь равен значению модуля вектора перемещения, мы можем сказать, что скоростью равномерного прямолинейного движения называют векторную величину, равную отношению перемещения тела ко времени, за которое это перемещение произошло. При равномерном прямолинейном движении векторы скорости и перемещения направлены в одну сторону. Зная скорость равномерного движения, можно найти перемещение тела за любой промежуток времени:
Поскольку скорость υ является векторной величиной, её тоже можно изобразить графически. Обозначим её проекцию на координатную ось υx. Если направление координатной оси совпадает с направлением движения тела, то для расчёта перемещения тела можно использовать формулу
УРАВНЕНИЕ ДВИЖЕНИЯ
Уравнение зависимости координаты тела от времени называют уравнением движения.
Пусть тело совершило перемещение s. Направим координатную ось X по направлению перемещения тела. Обозначим начальную координату тела х0, а конечную координату тела х. Тогда по формуле (1) sx = х – х0.
Но по формуле (3) sx = υxt. Следовательно,
Таким образом, координату тела при равномерном прямолинейном движении в любой момент времени можно определить, если известны его начальная координата и проекция скорости движения на ось X.
Ранее при решении задач мы использовали формулу s = υt без стрелочек. Почему? Символом s здесь обозначался путь, пройденный телом, а символом и — модуль скорости. Теперь нам известно, что при равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения. Поэтому если нас не интересует направление движения тела, а необходимо только найти его путь, то эта формула поможет нам найти решение.
Вы смотрели Конспект по физике для 8 класса «Перемещение и описание движения».
Вернуться к Списку конспектов по физике (Оглавление).
Просмотров: 13 172
На прошлом уроке мы научились находить координаты движущегося тела в определенный момент времени. Для этого мы использовали вектор перемещения, а точнее — его проекцию: $s_x = x_2 space − space x_1$. Итак, зная проекцию вектора перемещения и начальную координату тела, мы находили интересующую нас координату $x_2$, которую тело имеет по прошествии какого-то времени: $x_2 = x_1 space + space s_x$.
Но что делать, если вектор перемещения изначально не задан? На данном уроке вы узнаете, как его определить в самом простом случае — при прямолинейном и равномерном движении тела. А также вам предстоит знакомство с графиками зависимости модуля скорости и ее проекции от времени (они помогут нам в нахождении модуля и проекции перемещения) и уравнением движения тела.
Формулы скорости и перемещения в векторной форме
Для начала вспомним определение прямолинейного равномерного движения (рисунок 1).
Прямолинейное равномерное движение — это движение, при котором тело движется по прямолинейной траектории и проходит за любые равные промежутки времени одинаковые пути.
При таком движении перемещение тела с течением времени увеличивается. Быстроту этого увеличения характеризует скорость.
Что называется скоростью равномерного прямолинейного движения?
Скорость равномерного прямолинейного движения — это постоянная векторная величина, равная отношению перемещения тела за любой промежуток времени к значению этого промежутка:
$vec upsilon = frac{vec s}{t}$.
Скорость — это векторная величина: она имеет как направление, так и численное значение (ее модуль). Обратите внимание, что скорость при равномерном прямолинейном движении постоянна: не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
Теперь давайте выразим из формулы скорости искомое перемещение:
$vec s = vec upsilon t$.
Хорошо, теперь у нас есть формула для перемещения. Но она в векторной форме. С одной стороны, это дает нам возможность судить о том, как скорость и перемещение направлены относительно друг друга. Из наших формул видно, что при прямолинейном равномерном движении эти величины сонаправлены друг другу.
С другой стороны, в таком виде мы не сможем использовать формулу перемещения для расчетов. Теперь нам нужно получить формулу для проекции вектора перемещения.
Формула перемещения для практического использования
Итак, при решении задач нам понадобится формула, в которую будут входить проекции векторов на ось.
Как найти проекцию вектора перемещения тела, движущегося прямолинейно и равномерно, если известны проекция вектора скорости и время движения?
$s_x = upsilon_x t$.
Обратите внимание, что проекции $s_x$ и $upsilon_x$ могут иметь знак «минус». Это будет означать, что соответствующий проекции вектор направлен противоположно выбранной оси.
Например, если вектор скорости $vec upsilon_1$ сонаправлен оси OX (рисунок 2), то проекция скорости будет больше нуля: $upsilon_{1x} > 0$. Если же скорость $vec upsilon_2$ направлена против оси OX, то проекция этого вектора будет отрицательной: $upsilon_{2x} < 0$.
Мы не изображаем на рисунках и схемах проекцию вектора скорости подобно проекции вектора перемещения (мы рассчитываем проекцию вектора скорости по вышеприведенной формуле). Нам достаточно знать, что при равномерном прямолинейном движении вектор скорости всегда сонаправлен с вектором перемещения. Так, если тело двигалось противоположно направлению координатной оси, то проекция вектора перемещения будет отрицательной. Используя формулу $upsilon_x = frac{s_x}{t}$, мы получим отрицательную проекцию вектора скорости.
Модуль вектора перемещения и путь
Иногда мы можем встретить задачи, при решении которых нам будет неважно направление векторов перемещения и скорости. Тогда мы можем использовать уже знакомую вам формулу, в которой фигурируют модули величин:
$s = upsilon t$.
Используя эту формулу ранее, мы называли величину $s$ пройденным путем, а теперь называем ее перемещением. Ошибки здесь нет — это частный случай, когда путь равен модулю перемещения (рисунок 3).
При каком условии модуль вектора перемещения, совершенного телом за некоторый промежуток времени, равен пути, пройденному телом за тот же промежуток времени?
При движении в одном направлении модуль вектора перемещения, совершенного телом за некоторый промежуток времени, равен пути, пройденному этим телом за тот же промежуток времени.
Взгляните на рисунок 4, подтверждающий этот факт.
Если тело (автомобиль на рисунке 4) движется в одном направлении (например, из точки $O$ в точку $A$ или из точки $O$ в точку $C$), модуль вектора перемещения равен пройденному пути. Если же направление движения тела изменяется (например, при движении из точки $O$ в точку $B$ и обратно в точку $O$ или при движении по криволинейной траектории из точки $O$ в точку $D$), то путь, пройденный телом, будет больше модуля его перемещения.
График зависимости модуля вектора скорости от времени
Рассмотрим график зависимости модуля вектора скорости $upsilon$ от времени $t$. Тело при этом движется равномерно и прямолинейно (рисунок 5).
Модуль вектора перемещения $s$ в данном случае мы можем рассчитать по формуле:
$s = upsilon_1 t_1$.
А теперь взгляните на закрашенный зеленым цветом прямоугольник на рисунке 5. Его площадь $S$ по определению будет равна произведению его смежных сторон — $upsilon_1$ (длины отрезка $O upsilon_1$) и $t_1$ (длины отрезка $O t_1$).
При прямолинейном равномерном движении тела модуль вектора его перемещения численно равен площади прямоугольника (площади под графиком скорости), заключенного между графиком скорости, осью Ot и перпендикулярами к этой оси, восстановленными из точек, соответствующих моментам начала и конца наблюдения (в данном случае из точек $O$ и $t_1$).
График зависимости проекции вектора скорости от времени
И все-таки, чаще мы будем иметь дело с задачами, при решении которых нам понадобится использовать проекции векторов.
Например, обратимся к задаче с катерами из прошлого урока. Два катера двигаются в противоположных направлениях (рисунок 6). Один из них проходит $60 space км$, а другой — $50 space км$. Пусть эти перемещения совершены за время $t_1$, равное $2 space ч$.
В этом случае векторы скорости и перемещения первого катера будут сонаправлены друг другу, как и векторы скорости и перемещения второго катера. Их проекции: для первого катера они будут положительными, а для второго — отрицательными.
Проекция скорости первого катера:
$s_{1x} = upsilon_{1x} t_1$,
$upsilon_{1x} = frac{s_{1x}}{t_1}$,
$upsilon_{1x} = frac{60 space км}{2 space ч} = 30 frac{км}{ч}$.
Проекция скорости второго катера:
$upsilon_{2x} = frac{s_{2x}}{t_1}$,
$upsilon_{2x} = frac{−50 space км}{2 space ч} = −25 frac{км}{ч}$.
А теперь взгляните на графики зависимости проекций векторов скорости от времени (рисунок 7).
Какую информацию о движении двух тел можно получить по графикам, изображенным на рисунке 7?
Здесь мы видим и числовые значения проекций векторов скорости, и их знаки, а также знаки проекций перемещений, которые совершили катера за время $t_1$. Проекции этих перемещений численно равны площадям под графиками:
- проекция вектора перемещения $s_{1x}$ больше нуля и численно равна площади оранжевого прямоугольника;
- проекция вектора перемещения $s_{2x}$ меньше нуля и численно равна площади голубого прямоугольника.
Уравнение движения
Теперь получим формулу для определения координаты тела при неизвестном векторе перемещения.
Рассмотрим автомобиль, который двигается равномерно и прямолинейно по какому-то участку дороги (рисунок 8). За тело отсчета возьмем светофор и направим ось OX в сторону движения автомобиля.
Чему будет равна проекция перемещения автомобиля из точки с координатой $x_0$ в точку с координатой $x$?
По определению проекции:
$s_x = x space − space x_0$.
По определению проекции скорости:
$s_x = upsilon_x t$.
Приравняем правые части этих уравнений друг к другу:
$upsilon_x t = x space − space x_0$.
Теперь выразим отсюда искомую координату $x$ и получим кинематический закон движения или уравнение движения.
Для определения координаты движущегося тела в любой момент времени достаточно знать его начальную координату и проекцию скорости движения на ось:
$x = x_0 space + space upsilon_x t$.
Упражнения
Упражнение №1
Может ли график зависимости модуля вектора скорости от времени располагаться под осью Ot (то есть в области отрицательных значений оси скорости)?
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
График зависимости модуля вектора скорости от времени (рисунок 5) не может располагаться под осью Ot. Причина этому — само определение модуля какой-либо величины. Модуль — это всегда положительная величина.
Упражнение №2
Постройте графики зависимости проекций векторов скорости от времени для трех автомобилей, движущихся прямолинейно и равномерно, если два из них едут в одном направлении, а третий — навстречу им. Скорость первого автомобиля равна $60 frac{км}{ч}$, второго — $80 frac{км}{ч}$, а третьего — $90 frac{км}{ч}$.
Посмотреть ответ
Скрыть
Ответ:
Графики зависимости проекций векторов скорости от времени для трех автомобилей показаны на рисунке 9.
Автомобили движутся равномерно. Значит, скорость не изменяется с течением времени — графики представляют собой прямые, параллельные оси времени Ot.
Первые два автомобиля движутся в одном направлении — мы примем его за направление оси OX. Поэтому проекции векторов скорости $upsilon_{1x}$ и $upsilon_{2x}$ будут положительными. Третий автомобиль двигается в противоположную сторону. Значит, проекция его вектора скорости $upsilon_{3x}$ будет отрицательной.
Содержание:
Равномерное прямолинейное движение:
Вы изучали равномерное прямолинейное движение, познакомились с понятием «скорость». Скалярной или векторной величиной является скорость? Каковы закономерности равномерного прямолинейного движения?
Вы знаете, что движение, при котором за любые равные промежутки времени тело проходит одинаковые пути, называется равномерным. В каком случае одинаковыми будут не только пути, но и перемещения?
Проделаем опыт. Проследим за падением металлического шарика в вертикальной трубке, заполненной вязкой жидкостью (например, густым сахарным сиропом) (рис. 43). Будем отмечать положение шарика через равные промежутки времени. Опыт показывает, что за равные промежутки времени, например за 
Сделаем вывод. При равномерном прямолинейном движении тело за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения и проходит одинаковые пути.
В 7-м классе вы находили скорость равномерного движения тела как отношение пути к промежутку времени, за который путь пройден: 
Это отношение показывает, как быстро движется тело, но ничего не говорит о направлении движения. Чтобы скорость характеризовала и быстроту движения, и его направление, ее определяют через перемещение.
Скорость равномерного прямолинейного движения — это величина, равная отношению перемещения к промежутку времени, за который оно совершено:
Из равенства (1) следует, что скорость 
— векторная физическая величина. Ее модуль численно равен модулю перемещения за единицу времени, а направление совпадает с направлением перемещения (т. к. 
).
Отношение 
для всех участков движения на рисунке 43 одинаково: 
Значит, скорость 
равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
Из формулы (1) легко найти перемещение:
и путь 
(равный модулю перемещения 
):
А как определить положение равномерно и прямолинейно движущегося тела в любой момент времени 
Рассмотрим пример. Автомобиль движется с постоянной скоростью по прямолинейному участку шоссе (рис. 44).
Автомобиль рассматриваем как материальную точку. Из формулы (2) находим проекцию перемещения автомобиля на ось Ох:
Согласно рисунку 44 за время 
автомобиль совершил перемещение 
Подставляя 
в равенство (4), получим:
Приняв 
запишем формулу для координаты автомобиля:
Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени.
Зависимость координаты движущегося тела от времени называется кинематическим законом движения. Формула (5) выражает кинематический закон равномерного прямолинейного движения.
Для измерения скорости используются специальные приборы. В автомобилях имеется спидометр (рис. 45), на самолетах — указатель скорости. Эхолокаторы измеряют скорость тел, движущихся под водой, а радиолокаторы (радары) — в воздухе и по земле. Сотрудники службы дорожного движения с помощью портативного радара с видеокамерой (рис. 46) регистрируют скорость транспортных средств.
Для любознательных:
Скорости движения могут сильно отличаться. За одну секунду черепаха может преодолеть несколько сантиметров, человек — до 10 м, гепард — до 30 м, гоночный автомобиль — около 100 м.
Около 8 км за секунду пролетает по орбите спутник Земли (рис. 47). Но даже скорости космических кораблей «черепашьи» по сравнению со скоростью микрочастиц в ускорителях. В современном ускорителе (рис. 48) электрон за одну секунду пролетает почти 300 000 км!
Главные выводы:
- При равномерном прямолинейном движении за любые равные промежутки времени тело совершает одинаковые перемещения.
- Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна: с течением времени не изменяется ни ее модуль, ни ее направление.
- При равномерном прямолинейном движении тела модуль перемещения равен пути, пройденному за тот же промежуток времени.
- Координата равномерно и прямолинейно движущегося тела линейно зависит от времени.
Пример решения задачи:
Кинематический закон прямолинейного движения лодки но озеру вдоль оси Ох задан уравнением 
где 
Определите: 1) проекцию скорости лодки 
2) координату лодки 
в момент времени 
3) проекцию перемещения 
лодки на ось Ох и путь, пройденный лодкой за время от момента 
до момента 
Решение
Сделаем рисунок к задаче.
По условию задачи координата лодки линейно зависит от времени. Значит, лодка движется равномерно. Сравнив 
получим
Найдем 
Из рисунка 49: проекция перемещения
Ответ: 
Графическое представление равномерного прямолинейного движения
Зависимости между различными величинами можно наглядно изобразить с помощью графиков. Использование графиков облегчает решение научных, практических задач и даже бытовых проблем.
Например, по графику зависимости температуры пациента от времени (рис. 50) видно, что на 5-е сутки температура достигла своего максимума, затем резко упала, а еще через сутки стала приближаться к норме. График дал наглядное представление о течении болезни.
В физике роль графиков чрезвычайно велика. Умение строить и читать графики помогает быстрее и глубже понять физические явления.
Рассмотрим простой пример из кинематики. Леша и Таня идут навстречу друг другу (рис. 51). Они движутся равномерно и прямолинейно. Модуль скорости Леши 
Тани 
Как представить графически характеристики их движения?
Выберем координатную ось Ох и зададим начальные положения участников движения (см. рис. 51). Пусть при 
координата Леши 
Тани 
Построим графики зависимости проекции скорости 
проекции перемещения 
пути S и координаты X от времени t.
График проекции скорости
Согласно условию и рисунку 52 для проекций скорости движения Тани и Леши на ось Ох получим: 
Так как проекции 
постоянны, то графики их зависимости от времени t — прямые, параллельные оси времени (прямые I и II на рисунке 52).
Графики показывают: проекция скорости при равномерном прямолинейном движении с течением времени не изменяется.
График проекции перемещения
Проекция перемещения 
совершенного за время t, определяется формулой 
(см. § 6).
Зависимость проекции перемещения от времени для Леши 
или 
График 
— наклонная прямая I (рис. 53).
Для Тани 
или 
График 
— наклонная прямая II, изображенная на рисунке 53.
Из графиков и формул следует, что при равномерном прямолинейном движении проекция перемещения прямо пропорциональна времени.
График пути
Путь — величина положительная при любом движении тела. При равномерном прямолинейном движении путь равен модулю перемещения: 
Поэтому при 
график пути совпадает с графиком проекции перемещения (прямая I), а при 
график пути (прямая III) является «зеркальным отражением» графика II (проекции перемещения) от оси времени.
Графики пути показывают: при равномерном прямолинейном движении пройденный путь прямо пропорционален времени.
График координаты
Его называют также графиком движения.
По формуле 
, используя данные из условия задачи и рисунок 51, находим зависимости координаты 
Леши и 
Тани от времени 
Графики этих зависимостей — прямые I и II на рисунке 54. Они параллельны соответствующим графикам проекций перемещения на рисунке 53.
Графики движения показывают: при равномерном прямолинейном движении координата тела линейно зависит от времени.
По точке пересечения графиков I и II (точке А) (рис. 54) легко найти момент и координату места встречи Леши и Тани. Определите их самостоятельно.
Что еще можно определить по графикам?
По графику проекции скорости можно найти проекцию перемещения и пройденный путь
Рассмотрим прямоугольник ABCD на рисунке 52. Его высота численно равна 
а основание — времени t. Значит, площадь прямоугольника равна 
Таким образом, проекция перемещения численно равна площади прямоугольника между графиком проекции скорости и осью времени. При 
проекция перемещения отрицательна, и площадь надо брать со знаком «минус».
Докажите самостоятельно, что площадь между графиком проекции скорости и осью времени численно равна пройденному пути.
По углу наклона графика проекции перемещения можно оценить скорость движения
Рассмотрим треугольник АВС на рисунке 53. Чем больше угол наклона а графика проекции перемещения, тем больше скорость тела. Объясните это самостоятельно.
Главные выводы:
Для равномерного прямолинейного движения:
- График проекции скорости — прямая, параллельная оси времени.
- Графики проекции перемещения и координаты — прямые, наклон которых к оси времени определяется скоростью движения.
- Площадь фигуры между графиком проекции скорости и осью времени определяет проекцию перемещения.
Пример №1
Мотоциклист едет из города по прямолинейному участку шоссе с постоянной скоростью 
Через время 
после проезда перекрестка он встречает едущего в город велосипедиста, движущегося равномерно со скоростью 
Определите расстояние между участниками движения через время 
после их встречи, если 
Запишите кинематические законы движения мотоциклиста и велосипедиста, постройте графики проекции и модуля скорости, проекции перемещения, координаты и пути для обоих участников движения.
Решение
Изобразим координатную ось Ох, вдоль которой идет движение (рис. 55). Начало системы координат О свяжем с перекрестком.
В начальный момент времени мотоциклист находился на перекрестке, а велосипедист в точке В. Значит, кинематический закон движения мотоциклиста имеет вид:
Найдем координату 
велосипедиста в начальный момент времени. Пусть точка С на оси Ох — место встречи участников движения (рис. 56).
Тогда
Кинематический закон движения велосипедиста имеет вид:
Расстояние между мотоциклистом и велосипедистом через время 
после их встречи равно сумме путей, которые они проделают за это время. Значит,
Пример №2
Построим графики проекций и модулей скорости. Для мотоциклиста графики проекции скорости 1 и модуля скорости 
совпадают (рис. 56). Для велосипедиста график проекции скорости — прямая 2, а модуля скорости — прямая 
Объясните причину несовпадения.
Графиками пути s, проекции 
и модуля перемещения 
(рис. 57) будут прямые, выражающие прямую пропорциональную зависимость от времени t.
Для мотоциклиста:
Графики пути, модуля и проекции перемещения мотоциклиста совпадают (прямая 1).
Для велосипедиста:
Прямая 2 является графиком пути и модуля перемещения велосипедиста. Прямая 
— графиком проекции его перемещения.
Графики координат представлены на рисунке 58. Они выражают зависимости 
(прямая 1) и 
(прямая 2). Точка А определяет время встречи и координату места встречи.
Ответ: 
Прямолинейное равномерное движение и скорость
Из курса Физики VII класса вам известно, что равномерное прямолинейное движение является самым простым видом механического движения.
Прямолинейное равномерное движение — это движение по прямой линии, при котором материальная точка за равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
При прямолинейном равномерном движении модуль и направление скорости с течением времени не изменяются:
Скорость при прямолинейном равномерном движении является постоянной физической величиной, равной отношению перемещения материальной точки ко времени, за которое это перемещение было совершено: 
Так как отношение 
в формуле является положительной скалярной величиной, то направление вектора скорости 
совпадает с направлением вектора перемещения 
Единица измерения скорости в СИ – метр в секунду:
Если скорость известна, то можно определить перемещение s материальной точки за промежуток времени 
при прямолинейном равномерном движении:
При прямолинейном равномерном движении пройденный телом путь равен модулю перемещения:
Так как уравнение в векторном виде можно заменить алгебраическими уравнениями в проекциях векторов, то для вычисления перемещения используют не формулу, выраженную через векторы, а формулу, содержащую в себе проекции векторов на координатные оси. При прямолинейном движении положение материальной точки определяется одной координатой X, определяются проекции векторов скорости и перемещения материальной точки на эту ось и уравнение решается в этих проекциях. Поэтому выражение (1.2) можно записать в проекциях перемещения и скорости на ось ОХ:
Можно получить формулу для вычисления координаты точки 
в произвольный момент времени (см.: тема 1.2):
Выражение (1.5) является уравнением прямолинейного равномерного движения тела. Если материальная точка движется по направлению выбранной координатной оси ОХ, то проекция скорости считается положительной (b), если же движется против направления координатной оси, то проекция скорости считается отрицательной (с).
Из формулы (1.5) определяется выражение для проекции скорости:
Из формулы (1.6) становится ясным физический смысл скорости: проекция скорости на ось равна изменению проекции соответствующей координаты за единицу времени.
Пройденный путь и координата материальной точки при прямолинейном равномерном движении являются линейной функцией от времени (d). Скорость же является постоянной величиной, поэтому график скорость – время будет представлять собой линию, параллельную оси времени — скорость такого движения не зависит от времени (е):
График координата-время при равномерном движении образует определенный угол с осью времени. Тангенс этого угла равен проекции (модулю) скорости по оси ох (f): 
Пример №3
Два велосипедиста одновременно начали движение навстречу друг другу вдоль прямой линии из пунктов А и В, расстояние между которыми 90 км. Скорость первого велосипедиста 
скорость второго велосипедиста 
(g)?
Определите: а) координату и время 
встречи велосипедистов; b) пройденные велосипедистами пути и совершенные ими перемещения к моменту встречи; с) время 
прошедшее с начала движения до момента, когда расстояние между ними стало 10 км.
Дано:
Решение:
a) При решении задачи соблюдается следующая последовательность действий:
I действие. Выбирается система координат ОХ с началом координат в точке А и рисуется схема (h).
II действие. Уравнение движения записывается в общем виде: 
III действие. На основании условия задачи уравнения движения велосипедистов записываются в общем виде: 
IV действие. Координаты велосипедистов при встрече равны: 
Это равенство решается для 
V действие. Для определения координат 
и 
встречи велосипедистов необходимо решить уравнения их движения для времени 
Так как 
то 
b) Так как по условию задачи велосипедисты движутся прямолинейно и без изменения направления движения, то пройденный путь равен проекции (модулю) перемещения:
c) Время 
прошедшее с начала движения до момента, когда между ними осталось 10 км, вычисляется по нижеприведенному равенству:
или 
Скорость при равнопеременном прямолинейном движении
Из формулы (1.14) видно, что если известны ускорение 
и начальная скорость тела 
то можно определить его скорость в любой момент времени:
или ее проекцию на ось 
Если начальная скорость равна нулю 
то:
Из этих выражений видно, что скорость при равнопеременном движении является линейной функцией от времени. График зависимости скорости от времени – прямая линия, проходящая через начало координат (или через 
Эта линия, в соответствии с увеличением или уменьшением скорости, направлена вверх или вниз (с).
Перемещение при равнопеременном прямолинейном движении
Формулу для определения перемещения при равнопеременном движении можно вывести на основе графика скорость-время. Проекция перемещения равна площади фигуры между графиком 
и осью времени.
На приведенных графиках — это заштрихованная фигура трапеции (см: с):
или в векторной форме:
Если в последнюю формулу вместо 
подставить выражение (1.18), то получим
обобщенную формулу перемещения для равнопеременного движения:
Таким образом, формула проекции перемещения (например, на ось 
при равнопеременном прямолинейном движении будет:
а формула координаты:
(1.23) является формулой перемещения при равнопеременном движении в векторной форме, а (1.24) и (1.25) обобщенными формулами координаты и проекции перемещения, соответственно. Если материальная точка начинает движение из состояния покоя 
то:
Как видно из формулы, проекция перемещения при прямолинейном равнопеременном движении пропорциональна квадрату времени 
и его график представляет собой параболу, проходящую через начало координат (d).
В некоторых случаях возникает необходимость определить перемещение материальной точки, не зная время 
прошедшее от начала движения. Такую задачу можно решить тогда, когда известны ускорение, начальное и конечное значения скорости. Для получения этой формулы из выражения (1.19) получаем 
Это выражение подставляется в формулу (1.21):
После простых преобразований получаем:
Для проекции конечной скорости получаем: 
Если движение начинается из состояния покоя 
то проекции перемещения и скорости будут равны:
Равноускоренное и равнозамедленное движения
Равнопеременное движение по характеру может быть или равноускоренным, или же равнозамедленным.
При равноускоренном движении векторы 
и 
имеют одинаковые направления. В этом случае знаки у обеих проекций 
и 
или положительные, или же отрицательные. Если материальная точка начнет движение из состояния покоя 
то независимо от направления движения, оно во всех случаях будет равноускоренным.
При равнозамедленном движении векторы 
и имеют противоположные направления. В этом случае проекции 
и 
имеют противоположные знаки, если один из них отрицательный, то другой – положительный.
В таблице 1.3 даны формулы и соответствующие графики равноускоренного и равнозамедленного прямолинейного движения.
Таблица 1.3.
| Прямолинейное равноускоренное движение | |
 |
 |
|
Примечание: так как
Это соотношение иногда называется “правило путей”. |
|
| Прямолинейное равнозамедленное движение | |
 |
|
то отношение проекций перемещения равно отношению квадратов соответствующих промежутков времени:
Кинематика прямолинейного движения
Физические величины бывают скалярные и векторные. Скалярные физические величины характеризуются только численным значением, тогда как векторные определяются и числом (модулем), и направлением. Скалярными физическими величинами являются время, температура, масса, векторными — скорость, ускорение, сила.
Мир вокруг нас непрерывно изменяется, или движется, т. е. можно сказать, что движение (изменение) есть способ существования материи.
Простейшая форма движения материи — механическое движение — заключается в изменении взаимного расположения тел или их частей в пространстве с течением времени. Наука, изучающая механическое движение, называется механикой (от греческого слова 
— подъемная машина).
Даже самое простое движение тела оказывается достаточно сложным для изучения и исследования. Соответственно, для того чтобы в сложном явлении «увидеть» главное, в физике строится его адекватная упрощенная модель.
В механике широко используется простейшая модель реального тела, называемая материальной точкой (МТ). Под материальной точкой понимают тело, размерами и формой которого можно пренебречь при описании данного движения. Хотя МТ представляет собой абстрактное понятие, упрощающее изучение многих физических явлений, она, подобно реальному телу, «имеет» массу, энергию и т. д.
Кроме материальной точки, в механике используется модель абсолютно твердого тела. Под абсолютно твердым телом понимают модель реального тела, в которой расстояние между его любыми двумя точками остается постоянным. Это означает, что размеры и форма абсолютно твердого тела не изменяются в процессе его движения. В противном случае говорят о модели деформируемого тела.
В классической (ньютоновской) механике рассматривается движение тел со скоростями, намного меньшими скорости света в вакууме
Классическая механика состоит из трех основных разделов: кинематики, динамики и статики. В кинематике (от греческого слова 
— движение) изучается механическое движение тел без учета их масс и действующих на них сил. В динамике (от греческого слова 
— сила) рассматривается влияние взаимодействия между телами на их движение. В статике (от греческого слова 
— искусство взвешивать) исследуются законы сложения сил и условия равновесия твердых, жидких и газообразных тел.
Всякое движение тела можно представить в виде двух основных видов движения — поступательного и вращательного.
Поступательным называется движение тела, при котором прямая, соединяющая в этом теле любые две точки, при перемещении остается параллельной самой себе (рис. 1).
Вращательным называется движение абсолютно твердого тела вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на этой оси (рис. 2).
Основными задачами кинематики являются:
описание совершаемого телом движения с помощью математических формул, графиков или таблиц;
определение кинематических характеристик движения (перемещения, скорости, ускорения).
Движение тела можно описать только относительно какого-либо другого тела. Тело, относительно которого рассматривается исследуемое движение, называют телом отсчета (ТО). Для описания движения используются формулы, графики и таблицы, выражающие зависимость координат, скоростей и ускорений от времени.
Основным свойством механического движения является его относительность: характер движения тела зависит от выбора системы отсчета (СО).
Систему отсчета, выбираемую для описания того или иного движения, образуют: тело отсчета, связанные с ним система координат (СК) и прибор для измерения времени (часы) (рис. 3).
Система координат и часы необходимы для того, чтобы знать, как с течением времени изменяется положение тела относительно выбранного тела отсчета.
Для описания движения материальной точки в пространстве вводятся такие понятия, как траектория, перемещение, путь.
Линию, которую описывает материальная точка в процессе движения по отношению к выбранной СО, называют траекторией (от латинского слова trajectorus — относящийся к перемещению). Если траектория является прямой линией, то движение называется прямолинейным, в противном случае — криволинейным.
Длина участка траектории, пройденного МТ в процессе движения, называется путем (s).
Термин «скаляр», происходящий от латинского слова scalarus — ступенчатый, введен У. Гамильтоном в 1843 г.
Термин «вектор» произошел от латинского слова vector — несущий и введен У. Гамильтоном в 1845 г.
Перемещением называют вектор 
направленный из точки, заданной радиус-вектором 
где МТ находилась в начальный момент времени, в точку, заданную радиус-вектором 
где МТ находится в рассматриваемый момент времени (рис. 4):
Для количественного описания механического движения тел (МТ) вводятся физические величины, характеризующие пространство и время: длина l, время t.
Длина l определяется как расстояние между двумя точками в пространстве. Основной единицей длины в Международной системе единиц (СИ) является метр (1м).
Время t между двумя событиями в данной точке пространства определяется как разность показаний прибора для измерения времени, например часов. В основе работы прибора для измерения времени лежит строго периодический физический процесс. В СИ за основную единицу времени принята секунда (1с).
В зависимости от вида движения могут выбираться следующие системы координат: одномерная (на прямой линии) (рис. 5), двухмерная (на плоскости) (рис. 6), трехмерная (в пространстве) (рис. 7).
Произвольное движение материальной точки может быть задано одним из трех способов: векторным, координатным, траекторным (естественным).
При векторном способе описания положение движущейся МТ по отношению к выбранной системе отсчета определяется ее радиус-вектором 
Радиус-вектор 
всегда проводится из начала координат О в текущее положение материальной точки (рис. 8). При движении положение МТ изменяется. Закон движения в этом случае задается векторным уравнением 
При координатном способе описания положение точки относительно СО определяется координатами х, у, z, а закон движения — уравнениями х = х(t), у = y(t), z = z(t) (см. рис. 8). Исключив из этих уравнений время /, можно найти уравнение траектории движения точки.
Траекторный (естественный) способ описания движения применяется, когда известна траектория движения материальной точки по отношению к выбранной СО (рис. 9).
Текущее положение материальной точки в данном случае определяется расстоянием s, измеренным вдоль траектории от выбранного на ней начала отсчета (точка О на рисунке 9). Кинематический закон движения МТ при этом задается уравнением s = s(t).
Если положить в основу классификации движений характер изменения скорости, то получим равномерные и неравномерные движения, а если вид траектории, то — прямолинейные и криволинейные.
Для того чтобы описать быстроту изменения положения тела (МТ) и направление движения относительно данной СО, используют векторную физическую величину, называемую скоростью 
Чтобы охарактеризовать неравномерное движение тела (МТ), вводят понятие средней скорости 
движения как отношение перемещения 
тела к промежутку времени 
за который это перемещение произошло (рис. 10):
Средней путевой скоростью 
называется отношение длины отрезка пути As (см. рис. 9) к промежутку времени 
его прохождения:
Средняя путевая скорость 
в отличие от средней скорости 
является скалярной величиной.
Однако средняя скорость 
характеризует движение тела (МТ) на определенном участке траектории, но не дает информации о его движении в определенной точке траектории или в определенный момент времени. Кроме того, средняя скорость дает лишь приближенное понятие о характере движения, так как движение в течение каждого малого промежутка времени заменяется равномерным движением. В рамках этой модели скорость тела (МТ) меняется скачком при переходе от одного промежутка времени к другому.
Для того чтобы отразить характер движения в данной точке траектории или в данный момент времени, вводится понятие мгновенной скорости 
— это скорость тела (МТ), равная производной перемещения по времени:
Вектор мгновенной скорости 
в любой точке траектории направлен по касательной к ней (см. рис. 10).
В СИ основной единицей скорости является метр в секунду 
Простейший вид движения — равномерное. Равномерным называется движение МТ, при котором она за любые равные промежутки времени совершает одинаковые перемещения.
При прямолинейном движении в одном направлении модуль перемещения 
равен пройденному пути s. Скорость 
равномерного движения равна отношению перемещения тела 
ко времени 
за которое это перемещение произошло:
При равномерном движении скорость постоянна 
и равна средней скорости 
определяемой выражением (2).
Зависимость перемещения от времени имеет вид 
Вследствие того, что 
— радиус-вектор, задающий положение МТ в начальный
момент времени 
получаем кинематическое уравнение движения в векторном виде
При проецировании радиус-вектора, например, на ось Ох получаем кинематическое уравнение для координаты при равномерном движении:
Здесь 
— координата тела (МТ) в начальный момент времени 
Если начальный момент времени 
уравнение принимает вид
Для наглядности описания механического движения удобно представлять зависимости между различными кинематическими величинами графически.
Скорость МТ при равномерном движении постоянна, поэтому график зависимости проекции скорости 
от времени представляет собой отрезок прямой линии, параллельной оси времени Ot (рис. 11). Отрезок прямой l на рисунке 11 соответствует движению материальной точки в положительном направлении оси 
а 2 — в отрицательном 
Площади 
закрашенных прямоугольников численно равны модулям перемещений МТ с проекциями скоростей 
за промежуток времени 
График зависимости координаты материальной точки, движущейся равномерно прямолинейно, от времени x(t) — линейная функция (рис. 12).
На рисунке отрезок / прямой соответствует равномерному движению в положительном направлении оси Ох; отрезок 2 прямой — покою материальной точки; отрезок 3 прямой — равномерному движению в отрицательном направлении оси Ох.
Проекция скорости движения численно равна угловому коэффициенту этой прямой линии: 
т. е. тангенсу угла наклона (tga) этой прямой к оси времени.
График зависимости пути (модуля перемещения|
от времени s(t) при равномерном движении представляет собой прямую линию, проходящую через начало координат (рис. 13).
Угловой коэффициент (tga) этой прямой численно равен модулю скорости движения v. Поэтому на рисунке большей скорости у, соответствует больший угловой коэффициент (tg
).
Для тел (МТ), участвующих в нескольких движениях одновременно, справедлив принцип независимости движений:
если тело (МТ) участвует в нескольких движениях одновременно, то его результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений за то же время в отдельных движениях:
Как следует из принципа независимости движений, конечное перемещение тела не зависит от порядка (последовательности) суммирования перемещений при отдельных движениях.
Пусть, например, при переправе через реку, скорость течения которой 
мы движемся на лодке со скоростью 
относительно воды. В этом случае результирующее перемещение 
(рис. 14) лодки относительно берега будет складываться из собственного перемещения 
относительно воды и перемещения 
вместе с водой вследствие течения реки: 
- Заказать решение задач по физике
На основе принципа независимости движений формулируется классический закон сложения скоростей:
результирующая скорость 
тела (МТ), участвующего в нескольких движениях одновременно, равна векторной сумме скоростей 
отдельных движений (рис. 15):
Этот закон справедлив только при условии, что скорость каждого отдельного движения мала по сравнению со скоростью света 
Так, для рассмотренного примера (см. рис. 14) результирующая скорость лодки 
Равномерное движение по прямой линии в повседневной жизни встречается сравнительно редко. Например, различные транспортные средства (автомобиль, автобус, троллейбус и т. д.) равномерно и прямолинейно движутся лишь на небольших участках своего пути, в то время как на остальных участках их скорость изменяется как по величине, так и по направлению.
Для измерения мгновенной скорости движения на транспортных средствах устанавливается прибор — спидометр.
- Прямолинейное неравномерное движение
- Прямолинейное равноускоренное движение
- Сложение скоростей
- Ускорение в физике
- Пружинные и математические маятники
- Скалярные и векторные величины и действия над ними
- Проекция вектора на ось
- Путь и перемещение
Равномерное прямолинейное движение
Всё в мире находится в движении.
Каждый день, когда мы выходим из дома, мы стараемся рассчитать, насколько быстро доберемся до школы или работы.
Может, однажды мы захотим научиться чему-то новому и купим машину.
А физика объяснит тебе, как не попасть в аварию и как всюду успевать.
Приступим!
Равномерное прямолинейное движение — коротко о главном
Сегодня ты узнал:
- Как решить основную задачу механики в общем виде;
- Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения;
- Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло;
- Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна;
- Как решить основную задачу механики для равномерного прямолинейного движения;
- Как строить и анализировать графики равномерного прямолинейного движения;
- Графиком равномерного прямолинейного движения является прямая;
- Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают;
- Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела;
- Как строить траекторию движения тела;
- Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено;
- Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден;
- Траектория движения тела зависит от выбора системы отсчета;
- Как доказать закон сложения скоростей;
- Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей;
А еще ты научился решать задачи разного уровня сложности!
Ой, я что, не сказал? Там сложные были!
Ты, наверное, и не заметил 😉
О том, как решить основную задачу механики
Мы помним, что основная задача механики – указать положение тела в пространстве в любой момент времени, не только в настоящем, но и в будущем.
Мы узнали это, когда только начали изучать кинематику.
Итак, что нужно знать для того, чтобы найти положение тела в пространстве?
Неплохо было бы знать, где оно находилось в начале своего движения, его начальные координаты. Ведь нам важно, откуда мы выдвигаемся в путь.
Зависят ли начальные координаты тела от времени? Совсем нет: мы просто принимаем то, что тело где-то есть.
А еще нам важно знать, как далеко оказалось тело от своего начального положения и куда вообще двигалось. Важно знать перемещение этого тела.
Давай опробуем свои силы! Думаю, мы уже готовы решить главную задачу!
Рассмотрим какое-то тело. Оно подвигалось, изменило свое положение, оказалось в другой точке.
Назовем ее конечной и постараемся найти ее координаты, то есть узнать положение тела после совершенного им перемещения.
Помним, что перемещение – вектор, поэтому изобразим его:
Уже сейчас мы можем указать начальные координаты тела! Нет чисел – не пугаемся, используем буквы:
Нам нужно узнать конечное положение тела. Отметим координаты тела в конце, их нам и нужно найти, чтобы определить положение тела в конце:
Но как найти эти координаты, зная лишь начальное положение тела и его перемещение? Как нам попасть из ({{x}_{0}}) в (x) и из ({{y}_{0}}) в (y) ?
Все очень просто! Если есть вектор, то какая-нибудь проекция-то найдется, правда?
Отметим их:
Теперь ответить на вопрос, как добраться из начала в конец становится очень легким: просто нужно прибавить к начальной точке проекцию перемещения для нужной оси!
То есть положение точки в любой момент времени можно записать так:
(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}}) — для оси Х
(y={{y}_{0}}+{{S}_{y}}) — для оси Y
Поздравляю! Мы только что решили основную задачу механики!
Правда, сделали это в общем виде… Но перемещение ведь может быть очень разнообразным! Как вообще его найти? Не всегда же оно будет дано!
Это зависит от движения тела.
Равномерное прямолинейное движение
Определение равномерного прямолинейного движения
Самым простым движением по праву считается равномерное прямолинейное движение. Мы начнем с него.
Давай попробуем дать ему определение.
Всегда стоить помнить, что знать определения наизусть вовсе не обязательно. Главное – научиться строить его самостоятельно.
Успех любого хорошего определения заключается в правильной его структуре.
Равномерное прямолинейное движение – это движение. Мы нашли главное слово нашего определения. Давай развивать его.
Мы уже знаем, что такое движение. Давай дополним это определение.
Что значит равномерное? Равная мера… Но что является этой самой равной мерой?
Тело проходит равные пути. Логично, что происходит это за какие-то промежутки времени.
А за какие промежутки? За равные. За секунду, за минуту, за час. Не обязательно за ОДНУ секунду, ОДНУ минуту, ОДИН час. Равными промежутками времени могут быть, например, три часа или две секунды.
Но что значит прямолинейное? Можно сказать, что это движение по прямой. Но давайте объясним это, исходя из уже знакомых нам понятий.
Представь: какое-то тело движется, у нас в руках секундомер.
Прошла секунда – тело переместилось на метр. Еще секунда – еще метр. В том же направлении.
То есть тело совершает равные перемещения!
Поэтому…
Равномерное прямолинейное движение — такое движение, при котором тело за любые равные промежутки времени совершает равные перемещения.
С перемещением намного проще объяснить, почему за равные промежутки времени можно принимать абсолютно любое количество единиц времени.
Пусть тело совершает за 1 секунду перемещение (vec{S}).
Тогда за две секунды совершает перемещение (2vec{S}):
Будет ли тело все еще совершать равные перемещения за каждые 2 секунды? Конечно! Давай посмотрим:
Скорость
Равномерное прямолинейное движение тоже бывает разным: быстрым и медленным. Чтобы охарактеризовать его, существует скорость.
Чем большее перемещение совершает тело за промежуток времени, тем больше его скорость. Это очевидно: за одно и то же время гепард преодолевает расстояние во много раз большее, чем термит.
То есть скорость прямо пропорциональна перемещению!
А еще мы помним, что нам действительно важно направление скорости, ведь нам важно направление движения. То есть скорость – величина векторная. Давай убедимся в этом.
Скорость равномерного прямолинейного движения есть физическая величина, равная отношению вектора перемещения ко времени, за которое оно произошло.
Запишем это в виде формулы:
(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})
Векторы с обеих сторон, верно, но… Мы ведь учились умножать векторы, а не делить их. При делении тоже вектор получается?
Да. Ведь любое деление можно представить в виде умножения, смотри:
(vec{V}=frac{1}{t}cdot vec{S})
Время – скалярная величина. Оно не имеет направления. Поэтому можно сказать, что скорость есть перемещение, умноженное на скаляр, то есть тоже вектор! Более того, вектор перемещения и скорости сонаправлены.
Подробнее о свойствах векторов можно прочитать в Большой теории по векторам.
Помнишь, мы чуть выше выясняли, будет ли тело все так же совершать одинаковые перемещения за 2 секунды, а не за одну? Причем эти перемещения сами будут в два раза больше. Значит отношение останется прежним, вот так:
(vec{V}=frac{2vec{S}}{2t}=frac{{vec{S}}}{t})
Отсюда делаем вывод:
Скорость равномерного прямолинейного движения постоянна.
Как это записать? Кажется, очевидно, но это «задачка со звездочкой». Вот так:
(vec{V}=overrightarrow{const})
Мы не можем приравнять векторную величину к скалярной. Поэтому над константой тоже нужно ставить вектор.
Решение основной задачи механики для равномерного прямолинейного движения
Из уравнения скорости можно легко выразить перемещения, что сделает нас на шаг ближе к конкретному решению основной задачи. Давай сделаем это:
(vec{S}=vec{V}cdot t)
Из свойств векторов мы помним, что это будет справедливо и для проекций:
({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)
({{S}_{y}}={{V}_{y}}cdot t)
Стоп-стоп-стоп… Мы что, можем уже с помощью этого определить положение точки?
Да, почему нет? Просто подставим это вместо проекций перемещения туда, где мы решали основную задачу механики в общем виде:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)
Обычно в задачах по физике мы стараемся выбрать оси так, чтобы было проще работать с проекциями. Мы стараемся расположить их так, чтобы как можно больше векторов располагалось параллельно один осям и перпендикулярно другим, вот так:
Проекция перемещения на ось Y будет равняться нулю, мы можем не обращать на нее внимания.
По оси Y тело вообще не меняло своего положения, верно?
Именно поэтому в задачах чаще всего мы будем использовать упрощенный вариант нахождения конечного положения тела. Его координата будет описана лишь одним числом.
То есть используем лишь одну ось:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Работаем с проекциями. Настораживаемся. Вспоминаем о знаках.
Здесь все просто: если проекция скорости положительна, тело движется вдоль оси. Если она отрицательна, тело движется против оси.
Помни, что работаем мы с координатной осью! Начальное положение тела тоже может быть отрицательным. Это зависит лишь от того, как расположено тело относительно начала координат:
Графики равномерного прямолинейного движения
Построение графика
Очень важно уметь описывать движение графиком. Это может значительно упростить решение задачи.
Давай посмотрим, как с помощью графика описать равномерное прямолинейное движение.
Любой график – множество точек, который показывает зависимость одного значения от другого. Эта зависимость определяется каким-то уравнением.
Например, когда мы строим параболу, мы руководствуемся уравнением (y={{x}^{2}}). Как еще это можно записать?
Вот так: (f(x)={{x}^{2}}). Это показывает, что функция (f) зависит от значения (x).
Давай аналогично составим график движения тела. Вспомним то главное уравнение:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Иными словами, это график зависимости координаты тела от времени. Давай так и запишем:
(x(t)={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Начинаем работать с уравнением. Предположим, что нам известна проекция скорости и начальное положение тела. Работать с конкретными числами удобнее.
Пусть: ({{V}_{x}}=0.5)м/с и ({{x}_{0}}=3)м
Тогда уравнение имеет вид: (x=3+0.5cdot t)
Нарисуем оси и обозначим их. Так как у нас даны единицы измерения (метры и секунды), мы обязательно должны подписать их рядом с названиями осей!
Теперь можем взять и рассмотреть положение тела в любую секунду: хоть в первую, хоть в двенадцатую!
Отметим точки и соединим их. Получим график движения.
А теперь вопрос на засыпку: может ли время быть отрицательным?
Могу ли я указать положение тела в минус третью секунду? Могу.
Для этого стоит помнить, что «нулевая» секунда – момент, когда мы запускаем секундомер, когда мы только начинаем наблюдать за телом. Но оно могло двигаться и до того, как мы включили таймер, верно?
Давай покажем движение тела до наших наблюдений пунктирной линией:
Зачастую точки пересечения графика с осями несут в себе очень важную информацию!
Например, когда мы только включили секундомер ((t=0)с), тело находилось в начальном положении (({{x}_{0}}=3)м), и это видно по графику!
А когда координата тела была равна нулю?
Все очень просто: за 6 секунд до того, как мы включили секундомер! Прямая пересекает ось времени в точке -6.
Итак, мы выяснили, что…
График равномерного прямолинейного движения представляет собой прямую.
Точка пересечения ее с осью Х есть координата в начальный момент времени.
Точка пересечения с осью времени показывает ту секунду, когда тело находится в начале координат.
И действительно, само уравнение (x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t) уже напоминает стандартное уравнение прямой, которое мы изучаем на математике: (y=kx+m), где (m) — точка пресечения графика с осью Х, а (k) — коэффициент наклона прямой.
В нашем случае роль коэффициента наклона играет проекция скорости.
Зависимость графика от проекции скорости
Давай изобразим несколько графиков в общем виде, то есть без каких-либо конкретных значений. Например, пусть у нас есть два движущихся тела, вот так:
Чем отличаются движения этих двух тел?
Ну, прежде всего, у них разные начальные положения. Ладно.
А что насчет проекции скорости?
Рассмотрим первое тело. С течением времени оно все больше удаляется от начала координат. А вот второе к нему приближается: оно даже достигает начала координат через некоторое время (когда пересекает ось).
Значит, первое тело идет вдоль оси, а второе против нее, то есть к началу! Мы помним, что это определяет знак проекции скорости.
А именно: проекция скорости первого тела положительна. Проекция скорости второго тела отрицательна.
Со знаками разобрались. А как быть, если попросят узнать, какая проекция скорости больше?
Рассмотрим следующий график. Чтобы было легче его анализировать, представим, что два тела имеют одинаковое положение, когда мы включаем секундомер:
Чтобы понять, чья скорость больше, рассмотрим определенный промежуток времени, отделим его вертикальной пунктирной линией. А еще обозначим начальную и конечную координаты тел в этот промежуток времени:
Теперь посмотрим, чем отличаются графики. Ну так, навскидку. Они отличаются наклоном.
График движения второго тела расположен к оси Х значительно ближе. Что это значит?
Рассмотрим, какое расстояние прошло первое тело, обозначим его на рисунке. Оно численно равно проекции перемещения, убедимся с помощью формулы:
(Delta {{x}_{1}}={{x}_{1}}-{{x}_{01}}={{S}_{x}}_{1})
Теперь рассмотрим расстояние, которое преодолело второе тело:
(Delta {{x}_{2}}={{x}_{2}}-{{x}_{02}}={{S}_{x}}_{2})
Видим, что за одинаковый промежуток времени второе тело прошло значительно большее расстояние! Это значит, что его скорость больше.
Чем ближе к оси Х расположена прямая, тем больше скорость движения тела.
А что будешь делать с таким графиком?
Координата тела с течением времени не меняется. Значит ли это, что тело не движется вовсе?
Нет. Тело не движется лишь по этой оси. Но по какой-нибудь другой оси оно двигаться может.
Например, вот так:
Тело не меняет координаты по оси Х, однако движется по оси Y.
Если мы видим такой график, мы можем лишь утверждать, что проекция скорости равна нулю. О самой скорости говорить не можем.
Встреча
Помнишь самый первый рисунок с двумя телами? Вот этот:
В нем есть одна интересная деталь. Графики движения тел пересекаются.
Со временем все понятно: оно для всех идет одинаково, ничего не поделаешь.
А вот с координатой интереснее: ведь мы можем утверждать, что в какой-то момент тела встретились. То есть в какой-то момент их координаты на оси Х стали равны. Обозначим момент встречи и координату («место») встречи:
Встреча – такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Это еще один момент, о котором стоит помнить при решении задач на графики.
А еще стоит обратить внимание на то, что координаты тел должны совпадать в один момент времени! Если в лесу мимо дуба пробежала лань, а через несколько дней мимо этого же дуба пробежал енот, мы не можем сказать, что они встретились.
Просто у них совпала траектория.
График зависимости проекции скорости от времени. Нахождение проекции перемещения
Рассмотрим несколько другой график. График зависимости проекции скорости от времени при равномерном прямоли…
Стоп, чего? Какой зависимости? Скорость ведь постоянная и не меняется со временем.
Ты абсолютно прав. А график-то начертить можем, вот так:
Скучный график. Просто прямая, параллельная оси времени. Проекция скорости не меняется, а время всё идет и идет.
Давай хоть что-то найдем по графику. Хоть площадь под ним. Обозначим эту область:
Получили прямоугольник. Его площадь ищем путем перемножения двух соседних сторон, то есть мы берем проекцию скорости и умножаем еще на время.
Где-то мы это слышали.
Верно, ведь именно так ищется проекция перемещения!
({{S}_{x}}={{V}_{x}}cdot t)
Совпадение? Не думаю.
Искать проекцию перемещения таким способом можно не только для равномерного прямолинейного движения, но и для других его видов!
Проекция перемещения тела численно равна площади под графиком скорости тела.
Решение простейших задач и задач на графики равномерного прямолинейного движения
Текстовые задачи
Задача 1. Охарактеризуйте движение соседки, которая спускается по лестнице и одновременно с этим закатывает рукава, услышав в 11 часов вечера громкую музыку из квартиры снизу, если уравнение ее движения: (x=2cdot t), а ось направлена вниз по лестнице.
Решение:
Итак, для начала вспомним уравнение движения в общем виде:
(x={{x}_{0}}+{{S}_{x}})
Соответствует ли уравнение движения соседки уравнению выше? Конечно!
Почему? По глазам вижу, догадываешься! Потому что его можно записать так:
(x=0+2cdot t)
Начальная координата соседки равна нулю: соседка двигалась из начала координат. С этим разобрались. Осталось определить тип ее движения.
Она движется вниз по лестнице. Значит, идет по прямой в одном направлении. Это прямолинейное движение.
Она свирепеет и ускоряется? Нет. Она движется равномерно. Давай вспомним уравнение движения для равномерного прямолинейного движения:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
И еще раз посмотрим на наше:
(x=0+2cdot t)
Сопоставляем их и понимаем, что рядом с временем расположена проекция скорости. Она, как видим, положительна и равна 2 м/с. Соседка двигается вдоль оси. Ось направлена вниз и соседка движется туда же!
Подробно мы разбирали зависимость направления от знака проекции в Большой теории по векторам.
Таким образом, соседка совершает равномерное прямолинейное движение вдоль оси из начала координат, а проекция ее скорости на эту ось равняется 2 м/с.
Задача 2. Таракан Вася совершает равномерное прямолинейное движение вдоль линейки (соответствующей оси Х) на столе семиклассника Вовы, который, старательно уча уроки, уже неделю не выносит из комнаты мусор. Проекция скорости таракана на эту ось 0.1 м/с. Вова берет секундомер и начинает отсчет в тот момент, когда таракан находится на втором сантиметре линейки.
На каком сантиметре линейки окажется таракан через две секунды?
Решение:
Первое правило решающих физику: увидеть тему и писать формулы по теме.
Второе правило решающих физику: увидеть тему и писать ВСЕ формулы по теме. Могут пригодиться.
Знаем тип движения! Равномерное прямолинейное!
Знаем уравнение равномерного прямолинейного движения! Пишем:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
Делов-то! Начнем подставлять известные величины для таракана. Из задачи знаем, что в начале отсчета таракан находится на втором сантиметре линейки…
Стоп. «Сантиметре…»
Никогда не теряй бдительность, боец. Всегда проверяй величины.
Переведем все, что есть, в СИ. Скорость – в м/с. Отлично, уже есть. Как быть с линейкой? Просто перевести сантиметры в метры!
Таракан был на втором сантиметре, а значит на 0.02 метре линейки!
Теперь можем записать уравнение его движения:
(x=0.02+0.1cdot t)
Чтобы узнать, где окажется таракан через 2 секунды, просто подставим цифру 2 в это уравнение:
(x=0.02+0.1cdot 2=0.22)м
На 0.22 метре линейки! Получили ответ. Но в задаче спрашивается, на каком сантиметре будет находится таракан. Переводим наш ответ в сантиметры и получаем, что таракан будет находится на 22-ом сантиметре линейки!
Задача 3. По коридору мчится восьмиклассник Петя, уравнение его движения можно описать следующим уравнением: (x=6+2cdot t). За ним несётся разъяренный директор Максим Михайлович, уравнение его движения: (x=3+3cdot t).
Догонит ли директор Петю и, если догонит, когда и на каком метре коридора это произойдет? Скорость измерять в м/с, время в секундах.
Решение:
Итак, давай разберемся. Что вообще значит «догонит»? То же самое, что «встретит», верно?
Мы знаем, что такое встреча. Это такое событие, при котором координаты тел в один и тот же момент времени совпадают.
Чтобы понять, встретятся ли они вообще, давай построим графики движения Пети (П) и директора (Д):
Видим, что прямые пересекаются. В какой-то момент времени их координаты действительно одинаковы.
Но как узнать, в какой?
Что-что? Видно по графику? Ну уж нет! Думаешь, там координата 12? А вдруг там 11.999?
Всегда нужно проверять себя аналитически.
Запишем два уравнения:
({{x}_{P}}=6+2cdot t) — Пети
({{x}_{D}}=3+3cdot t) — директора
При встрече у них одинаковые координаты: ({{x}_{P}}={{x}_{D}})
Да… Наверное, другие части уравнений приравнять будет полезнее:
(6+2cdot t=3+3cdot t)
Отсюда легко вычислить время встречи:
(t=3) c
Значит, через три секунды после начала отсчета их координаты будут одинаковы, они встретятся. Найдем место встречи, просто подставив время в одно из двух (какое больше нравится 🙂 ) уравнений:
({{x}_{B}}=6+2cdot 3=12) м
Директор догонит Петю через 3 секунды. Это произойдет на 12-ти метрах от начала коридора.
Задачи на графики
Задача 4. Написать уравнение движение тела, если график этого движения:
Решение:
Какое это движение? Видим, что графиком движения является прямая. Значит, это равномерное прямолинейное движение.
Удивительно, но начнем с уравнения:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
График очень информативный. По крайней мере мы уже знаем начальную координату: ({{x}_{0}}=8) м
Имеем:
(x=8+{{V}_{x}}cdot t)
Как найти проекцию скорости? Ну, давай ее выразим для начала.
({{V}_{x}}=frac{x-8}{t}) м/с
Дальше все очень просто: сделаем так, чтобы она осталось единственной неизвестной. Подставим в уравнение координату и время из графика, абсолютно любую пару, вот так:
Считаем:
({{V}_{x}}=frac{6-8}{2}=-1) м/с
Проекция скорости отрицательна. И правда: с течением времени тело приближается к началу координат, то есть движется против оси.
Подставим в уравнение:
(x=8-t) — уравнение движения тела.
Задача 5. Тело движется вдоль оси Х. Описать движение на каждом участке графика. Найти проекции скоростей. Построить графики проекции скорости и пройденного пути от времени.
Решение:
Опишем движение. Какое оно?
«Ха! Это не прямая, — скажешь ты, — а ломаная!»
И будешь абсолютно прав.
А я скажу: «А что такое ломаная? Это просто соединенные между собой отрезки! А отрезки — части прямых!»
Поэтому давай рассматривать этот график частями!
С первым отрезком все понятно: равномерное прямолинейное движения, ведь эта часть графика – прямая. С течением времени тело приближается к началу координат, значит движется против оси.
Найдем проекцию скорости.
Для начала, что есть скорость?
Мы помним, что скорость – отношение перемещения к промежутку времени.
(vec{V}=frac{{vec{S}}}{t})
Знаем, что это справедливо и для проекций:
({{V}_{x}}=frac{{{S}_{x}}}{t})
Ну, время у нас есть. А проекцию перемещения откуда взять?
Давай вспомним, что это такое. Перемещение – вектор, проведенный из начального положения тела в конечное. А проекция перемещения – проекция этого вектора. Логично, правда? То есть:
({{S}_{x}}=x-{{x}_{0}})
Подробнее о проекциях можно узнать в Большой теории по векторам.
Вот и нашли проекцию скорости:
({{V}_{x}}=frac{x-{{x}_{0}}}{t})
Подставим в уравнение выше значения необходимых величин:
({{V}_{x}}=frac{4-10}{2}=-3) м/с
Проекция скорости на первом участке графика равна -3м/с.
Второй отрезок необычнее: тело не меняет координату. Тело на этом участке неподвижно.
Так как в условии сказано, что тело движется именно вдоль оси Х, модуль проекции скорости на эту ось равен длине вектора скорости.
Так как тело не меняет координату, проекция его перемещения равна нулю. А значит и проекция скорости равна нулю.
Третий отрезок описывает равномерное прямолинейное движение. Тело отдаляется от начала координат и движется туда же, куда направлена ось.
Найдем проекцию скорости на третьем участке:
({{V}_{x}}=frac{9-4}{12-7}=1) м/с
Так. Давай разберемся, почему там 12-7.
Помнишь, мы считаем отношение проекции перемещения к ПРОМЕЖУТКУ времени. А от 7 до 12 секунды промежуток времени составляет 5 секунд.
Проекция скорости на третьем участке равна 1м/с.
Всё нашли, осталось лишь построить графики! Начнем с графика зависимости проекции скорости от времени. Начертим и обозначим оси, обязательно обозначив единицы измерения и помня, что проекция может быть отрицательна:
Работаем с первой частью:
Мы выяснили, что в течение первых двух секунд проекция скорости была постоянна (как-никак, равномерное прямолинейное движение 🙂 ) и равна -3 м/с.
Давай нарисуем!
На втором участке проекция скорости равна нулю, а на третьем – единице.
Избавимся от вспомогательных линий и получим:
Что-то мне подсказывает, что на графике пути тоже будет три участка. Приступим.
Нарисуем оси и обозначим их:
Логично будет утверждать, что, пока тело не начало двигаться, оно и путь никакой не прошло. Отметим это точкой на графике:
Первые две секунды тело двигалось равномерно со скоростью 3 метра в секунду. Значит, за две секунды тело прошло (3cdot 2=6) метров! Отметим это!.. Нет, не так, на графике отметим:
Движемся дальше. Мы знаем, что на втором участке тело было неподвижно, а значит путь никакой не проходило. За промежуток времени второго участка тело не прошло никакой путь.
Однако суммарно за всё свое движение тело все так же прошло 6 метров:
На третьем участке тело движется. Значит, суммарно пройденный путь увеличится. Оно двигалось со скоростью 1м/с. Посмотрим сколько оно прошло за 5 (12-7) секунд.
Оно пройдет 5 метров.
Добавим их к нашим уже пройденным 6 метрам и получим 11 метров:
Остается только соединить точки прямой:
Задача 6. Найти проекцию перемещения тела по графику
Решение:
Определимся, из чего вообще складывается то, что нам нужно найти. В разные промежутки времени тело двигалось с разными постоянными скоростями.
Значит, проекция перемещения складывается из проекций перемещения в разных промежутках времени! Их 6:
({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}}+{{S}_{x3}}+{{S}_{x4}}+{{S}_{x5}}+{{S}_{x6}})
Попробуем найти первую проекцию. Помнишь, мы знаем, что проекция перемещения есть площадь под графиком?
«Под графиком» означает «между графиком и осью», то есть вот эта:
Что ж, давай найдем перемещение:
Проекция скорости есть -2м/с, а промежуток времени – 3с.
Поэтому: ({{S}_{x1}}=-2cdot 3=-6)м
Попробуем найти площадь второго прямоугольника:
Сразу обрати внимание на то, что промежуток времени – с третьей по пятую секунду, то есть 2 секунды!
({{S}_{x2}}=2cdot 2=4)м
Аналогично для остальных:
({{S}_{x3}}=3cdot 3=9)м
({{S}_{x4}}=2cdot 1=2)м
({{S}_{x5}}=1cdot 1=1)м
({{S}_{x6}}=-3cdot 2=-6)м
Посмотрим, чему равна проекция перемещения:
({{S}_{x}}=-6+4+9+2+1-6=4)м
Тяжело в учении – легко в бою. Давай поднажмём и составим график зависимости проекции перемещения от времени.
Когда мы включили таймер, она была равна нулю:
В конце первого промежутка времени она становится равна -6м:
А, ну дальше-то все легко: отмечаем 4, потом отмечаем 9… Нет!
Мы ведь работаем с ОБЩЕЙ проекцией. А общая проекция есть сумма.
Тогда в конце второго промежутка проекция будет равна:
({{S}_{x}}={{S}_{x1}}+{{S}_{x2}})
Дальше – больше слагаемых.
Следующая точка: (-6+4=-2) м
А после нее:(-6+4+9=7) м и т.д.
Теперь соединяем точки по порядку:
Задача 7. Постройте траекторию движения колибри, если начальное положение его по оси Х – 1 м, по оси Y – 3 м, а проекция его скорости на оси, расположенные перпендикулярно друг другу, описывается следующими графиками:
Решение:
Увидел сложную задачу – пиши всё, что знаешь! Зачем? Так надо! Пиши!
Скорость изменяется скачками, но на отдельных промежутках она постоянна. Тело движется равномерно.
Тело изменяет свое положение в пространстве. Изменяет свою координату.
Вспомним, как записывается уравнение координаты тела при равномерном прямолинейном движении:
(x={{x}_{0}}+{{V}_{x}}cdot t)
(y={{y}_{0}}+{{V}_{y}}cdot t)
Мы учились делать это раньше. Построим графики зависимости координаты от времени.
Итак, по оси Х у нас 3 участка, обозначим их вспомогательными линиями на нашем новом графике:
Начнем с первого участка. Знаем проекцию скорости и даже начальную координату! Подарок судьбы.
(x=1+2cdot t)
Строим его на первом промежутке:
Теперь координата тела – 17м и тело начинает двигаться с другой скоростью. Из координаты 17 тело движется со скоростью… А, ни с какой скоростью. Проекция скорости на эту ось равна нулю, поэтому:
(x=17+0cdot t)
Координата не меняется. Рисуем:
Тело на 17 м. Оттуда продолжаем движение с проекцией скорости -2 м/с. Тогда: (x=17-2cdot t)
Аналогично строим график для оси Y. Теперь у нас есть два графика:
Построим траекторию движения в плоскости. Для этого нам нужны оси Х и Y одновременно!
Давай построим их:
Всегда бери длину с запасом! Чтобы потом не перечерчивать оси. Наибольшее значение по Х – 17м. По Y – 15м. На всякий случай будем брать 20Х20.
Давай будем анализировать по секундам. Каковы были координаты тела в момент начала отсчета? Давай посмотрим.
В начальный момент времени координата по Х равна 1м, по Y – 3м. В конечный момент по Х координата равна 13, по Y – 15м.
Отметим эти точки:
Дальше будем рассматривать «переломные моменты». Для первого графика это 8 и 10с, для второго – 4 и 6с.
То есть секунды: 4, 6, 8, 10.
Запишем координаты точек для нужных нам секунд:
4: (9;15)
6: (13; 9)
8: (17;11)
10: (17;13)
Отметим их и соединим прямой, укажем последовательность:
Задача решена!
Теперь ты знаешь, как работать с графиками равномерного прямолинейного движения и их уравнениями! Движемся дальше. Иронично звучит 🙂
Средняя скорость по перемещению. Средняя путевая скорость
Хочешь, покажу фокус?
Смотри.
Из горной пещеры вылетает дракон, а за ним в ту же секунду выбегает доблестный рыцарь. Дракон хочет разрушить замок, находящийся от пещеры на расстоянии 7 километров. Задача рыцаря – добраться до замка первым и остановить дракона.
Рыцарь скачет на лошади прямо к замку по равнине в течении 20 минут. Он обнаруживает, что мост через реку на пути к замку разрушен, поэтому решает переплыть реку, и (спасибо его хорошей подготовке) у него уходит лишь 5 минут на то, чтобы снять с себя доспехи и сделать это. Затем в течении 10 минут он продолжает движение к замку.
Дракон после вылета из пещеры движется вперед и вверх, на это у него уходит 15 минут. На какой-то высоте он останавливается, потому что видит стаю пролетающих мимо уток. Драконы, динозавры, птицы… Смекаешь, да? Он решает поиграться со своими «родственниками», на что у него уходит 15 минут. Затем он вспоминает о замке и стремительно пикирует к нему на протяжении 5 минут.
Давай всё это изобразим для наглядности:
Дракон и рыцарь совершили одинаковые перемещения, так? 7 км, ведь они оказались у замка, двигаясь из пещеры.
Давай посчитаем время каждого в пути. И для дракона, и для рыцаря оно составило 35 минут. Они прибыли к замку одновременно.
Так что ж получается… Они совершили одинаковое перемещение за одинаковый промежуток времени.
Но их траектории были очень различны! И двигались они по-разному!
Для того, чтобы описать это, существует средняя скорость по перемещению.
Средняя скорость тела – векторная физическая величина, равная отношению перемещения тела на определенном участке траектории ко времени, за которое оно совершено.
Можно в виде формулы: ({{vec{V}}_{cp}}=frac{{vec{S}}}{t})
Средняя скорость дракона и рыцаря по перемещению одинакова, ведь они пришли одновременно в одно и то же место.
Есть подвох, о котором тебе на математике не рассказали. Ты все время работал не с этой средней скоростью. А с этой:
Средняя путевая скорость — это отношение длины пути, пройденного телом, ко времени, за которое этот путь был пройден.
Понял, да? Путевая – про путь, а не про перемещение. Средняя путевая скорость совпадает (по модулю) со средней скоростью по перемещению только в том случае, если тело двигалось по прямой в одном направлении.
Средняя путевая скорость дракона сильно отличается от средней путевой скорости рыцаря.
Если не помнишь, в чем отличие пути от перемещения, советую посмотреть основные определения кинематики!
Относительность движения. Операции над скоростями
Давай вспомним одну из важнейших вещей, когда мы говорим про движение. Мы давали ему определение, когда говорили о кинематике в целом.
Это тело отсчета. То тело, относительно которого мы рассматриваем движение.
Мы уже знаем, что относительно одного тела тело может нестись с бешеной скоростью, а относительно другого не двигаться вовсе.
От системы отсчета зависит изменение положения тела. А что еще от нее зависит? Траектория зависит?
Оказывается, да!
Однажды человек изобрел колесо и изменил мир. Давай воспользуемся этим изобретением для того, чтобы найти ответ на вопрос выше.
Возьмем какую-то точку на колесе и пусть оно катится по дороге! Как движется эта точка относительно оси колеса? По кругу.
А относительно Земли?
Вот так:
Круто, да?
Эта кривая называется циклоида. И она точно отличается от траектории движения точки относительно оси колеса.
Сегодня мы научимся определять и связывать скорости в разных системах отсчета.
А еще на относительности основан главный закон скоростей – закон об их сложении.
Поступим как настоящие ученые. Готовые формулы – для слабаков. Мы будем выводить их сами.
Рассмотрим ситуацию.
По реке плывет плот (П) со спортсменом (С). На берегу реки сидит рыбак (Р) и наблюдает за этим. В какой-то момент пловец прыгает с плота и движется к другому берегу реки. Их несёт течение реки.
Давай изобразим это:
Давай нарисуем вектор перемещения спортсмена относительно плота и назовем его относительным перемещением:
Теперь нарисуем вектор перемещения плота, которого несет течение. Назовем этот вектор переносным:
А теперь посмотрим, как спортсмен двигался относительно рыбака, и назовем вектор этого перемещения абсолютным:
Ты только посмотри! У нас тут треугольник!
Нет, оставь свои теории заговора и иллюминатов. Не тот треугольник. Треугольник суммы векторов!
Переносное перемещение и относительное в сумме дают абсолютное!
({{vec{S}}_{a}}={{vec{S}}_{n}}+{{vec{S}}_{o}})
Как связать перемещение со скоростью? Нужно поделить его на время!
Та-а-ак… А его откуда брать?
Оно для всех течёт одинаково. Смело делим:
(frac{{{{vec{S}}}_{a}}}{t}=frac{{{{vec{S}}}_{n}}}{t}+frac{{{{vec{S}}}_{o}}}{t})
И получаем:
({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})
А теперь давай разбираться.
Что такое абсолютная скорость? В нашем случае это скорость пловца относительно берега.
Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета.
Что такое переносная скорость? Скорость плота, скорость течения реки относительно берега.
Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Что такое относительная скорость? Это скорость спортсмена относительна плота.
Относительная скорость – скорость движения тела относительно подвижной системы отсчета.
Таким образом,
Скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчёта равна векторной сумме скорости этого тела относительно движущейся системы отсчета и скорости движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
Иначе говоря:
Абсолютная скорость есть векторная сумма относительной и переносной скоростей.
Чем хороши векторные уравнения? Они не заставляют тебя думать о знаках.
Знаки ты определишь в проекциях. Это будет зависеть от условия задачи.
Внимание, практика!
Решение задач на среднюю скорость и действия со скоростями
Задача 8 (продолжение задачи 3 🙂 ). Поймавший Петю директор пишет замечание в его дневник, его ручка движется по листу бумаги со скоростью 0.05 м/с. Через 3 секунды Петя взмолится перед Максимом Михайловичем, его ручка станет двигаться со скоростью 0.03 м/с на протяжении 4 секунд.
А если бедному ученику повезёт и ручка начнет плохо писать, то, чтобы расписать ее, директор будет давить на нее сильнее в течение 5 секунд и скорость ее станет равна 0.01 м/с.
Найдите среднюю путевую скорость ручки. Зная, что длина красноречивого замечания равна 24 см, найдите среднюю скорость ручки по перемещению.
Решение:
Если в задаче много букв – составляй ее план. Давай это сделаем и переведем все в СИ, если необходимо.
3с – 0.05 м/с
4с – 0.03 м/с
5с – 0.01 м/с
24см=0.24м
Что значит «длина замечания»? Фактически, расстояние от начала до конца, то есть это кратчайшая ПРЯМАЯ. Запишем ее как вектор – получим перемещение.
Ведь перемещение есть вектор, проведенный из начального положение в конечное.
Давай посчитаем, сколько времени директор писал замечание:
(3+4+5=12) с
Значит, мы уже можем найти среднюю скорость по перемещению!
Сделаем это:
({{V}_{cp}}=frac{0.24}{12}=0.02) м/с
Почему там не вектор? Помни: мы не можем приравнивать векторные величины к скалярным. Когда нам сказали, чему равно перемещение, нам дали ДЛИНУ вектора перемещения. А длина есть величина скалярная.
Приступим к средней путевой скорости. Для начала нам нужно найти путь, время у нас уже есть.
Путь будет состоять из трёх участков, в которых тело двигалось с разными скоростями:
(L={{L}_{1}}+{{L}_{2}}+{{L}_{3}})
Каждый из них можно найти умножением скорости на участке на время движения с этой скоростью. Вот так:
(L={{V}_{1}}cdot {{t}_{1}}+{{V}_{2}}cdot {{t}_{2}}+{{V}_{3}}cdot {{t}_{3}})
Давай подставим:
(L=0.05cdot 3+0.03cdot 4+0.01cdot 5=0.32)
А теперь можем найти среднюю путевую скорость:
({{V}_{cpL}}=frac{0.32}{12}approx 0.027) м/с
Задача решена!
Задача 9. В небе летят два вертолёта. Скорость одного из них – 350 км/ч, другого – 400 км/ч. Найти скорость второго вертолёта относительно первого.
Решение:
Вот тебе дело: найди одно очень важное потерянное условие.
Дело в том, что в задаче не сказано, летят ли они в одном направлении или в разных. Рассмотрим оба случая.
Случай 1. Вертолеты движутся в одном направлении.
Давай вспомним главное уравнение:
({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})
Мы ищем скорость одного вертолета относительно другого. Скорость одного движущегося тела относительно другого движущегося тела называется относительной. Выразим ее:
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}})
Помним, что с векторами рука об руку идут их проекции. Давай начертим схему задачи и построим ось, на которую будем проецировать векторы скорости:
Всё это, конечно, здорово, но какая скорость абсолютная, а какая переносная?
Давай разбираться.
Переносная скорость – скорость движущейся системы отсчета относительно неподвижной.
В система отсчета, которую требует задача, все происходит относительно первого вертолета. Он – тело отсчета.
Значит, переносная скорость – скорость первого вертолета относительно земли.
Абсолютная скорость – скорость движения тела относительно неподвижной системы отсчета. То есть это скорость второго вертолета, данная в задаче.
Вернемся к уравнению и запишем его по-новому:
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{a}}-{{vec{V}}_{n}})
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}})
Мы помним, что с векторами рука об руку идут проекции. Давай запишем это уравнение в проекции на ось Х.
Обе этих скорости направлены по направлению оси. Значит, их проекции положительны:
({{V}_{ox}}={{V}_{2x}}-{{V}_{1x}})
Мы выбрали ось так, чтобы векторы были ей параллельны, поэтому мы смело можем утверждать, что проекции по модулю равны длинам векторов:
({{V}_{o}}={{V}_{2}}-{{V}_{1}})
Считаем:
({{V}_{o}}=400-350=50) км/ч
Случай 2. Вертолеты движутся в разных направлениях.
Нарисуем схему снова:
Нетрудно догадаться, что теперь проекция уравнения на ось будет иметь другой вид. Проекция скорости первого вертолета будет отрицательна: она направлена против оси.
({{vec{V}}_{o}}={{vec{V}}_{2}}-{{vec{V}}_{1}})
({{V}_{o}}={{V}_{2}}-(-{{V}_{1}})={{V}_{2}}+{{V}_{1}})
Скорости складываются. И правда: оба вертолета стремятся отдалиться друг от друга, никто никого не догоняет.
({{V}_{o}}=400+350=750) км/ч
Таким образом, скорость второго вертолета относительно первого равна 50 км/ч, если они движутся в одном направлении, и 750 км/ч, если движутся в разных.
Задача 10. Дядя Стэн, с уверенностью открыв сезон рыбалки, мчится на моторной лодке против течения реки в течение 3 ч и преодолевает 4 км, пока не вспоминает, что забыл дома свой любимый сборник анекдотов. Скорость течения реки – 2.5 км/ч.
Сколько времени понадобится Стэну, чтобы преодолеть то же самое расстояние, возвращаясь обратно?
Решение:
Давай сделаем рисунок. Это в большинстве случаев упрощает задачу!
Сначала нарисуем реку с течением:
А теперь лодку Стэна, которая плывет против течения. Обозначим ее собственную скорость.
Давай посмотрим, как мы можем связать эти две скорости с путем и временем.
Для начала вспомним формулу:
({{vec{V}}_{a}}={{vec{V}}_{n}}+{{vec{V}}_{o}})
Пройденный путь и время будет определять абсолютная скорость – та, что характеризует движение тела относительно неподвижной системы отсчета. В нашем случае – берега.
Можно объяснять проекциями, а можно просто понять. Куда легче плыть? По течению или против? Конечно, по течению! Оно подгоняет тебя.
В нашей ситуации Стэн сначала плывет против течения. Абсолютная скорость будет меньше собственной скорости лодки, ведь ее тормозит течение.
Давай запишем:
({{V}_{a1}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}) или (frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}}), где ({{t}_{1}}) — время против течения.
Хорошо. Посмотрим, что может дать нам вторая часть задачи.
Здесь лодка идет по течению. Уравнение имеет вид:
(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}}), где ({{t}_{2}}) — время по течению
Таким образом, у нас есть система уравнений:
(frac{L}{{{t}_{2}}}={{V}_{L}}+{{V}_{T}})
(frac{L}{{{t}_{1}}}={{V}_{L}}-{{V}_{T}})
Нам неизвестна собственная скорость лодки. А нам она и не нужна! Вычтем одно уравнение из другого и получим:
(frac{L}{{{t}_{2}}}-frac{L}{{{t}_{1}}}=2cdot {{V}_{T}})
Отсюда нужно выразить время по течению:
({{t}_{2}}=frac{L}{2cdot {{V}_{T}}+frac{L}{{{t}_{1}}}})
Считаем:
({{t}_{2}}=frac{4}{2cdot 2.5+frac{4}{3}}approx 0.6) ч
36 минут потребуется Стэну, чтобы приплыть обратно.
Задача 11. По узкой лесной тропе колонной длиной в 30 метров идут туристы со скоростью 5 км/ч. Замыкающий посылает одного туриста в начало строя, чтобы тот передал гиду карту местности. Турист бежит в начало строя со скоростью 8 км/ч и, выполнив поручение, тут же бежит обратно с той же скоростью.
Сколько времени потребуется туристу, чтобы добежать до начала строя и вернуться обратно?
Решение:
Начнем с рисунка. Есть колонна определенной длины (пусть будет l), она движется с определенной скоростью. Из начала выходит турист (Т) и движется с другой скоростью:
Смотри. Пока турист движется, колонна тоже движется. Значит туда он пробежит путь больше, чем обратно:
Выглядит сложно.
Ну да, конечно! Это как идти в школу в соседнем дворе и для этого каждый раз покупать билет в Антарктиду.
Нужно выбрать удобную систему отсчета!
Сделаем так, чтобы колонна была неподвижна. Будем рассматривать все относительно нее. Можно даже представить, что ты один из туристов 🙂
Сделаем другую картинку!
Если ты один из туристов, будет очевидно, что туда и обратно «посыльный» будет двигаться с разной скоростью.
Например, когда ты едешь по шоссе, кто кажется быстрее: машины, которые обгоняют твою или машины, которые едут на встречу? Очевидно, что те, кто едут навстречу.
Теперь осталось определить, с какой скоростью турист движется туда и обратно.
Изначально он движется с колонной в одном направлении, то есть пытается ее обогнать. Результирующая скорость будет меньше его собственной:
({{V}_{1}}={{V}_{T}}-{{V}_{K}})
({{V}_{1}}=8-5=3) км/ч
Когда он движется обратно, колонна будет идти ему навстречу. Результирующая скорость будет больше:
({{V}_{2}}={{V}_{T}}+{{V}_{K}})
({{V}_{2}}=8+5=13) км/ч
Слишком быстро? Посиди и подумай. Мне не удастся просто вложить знания в твою голову. Ты сам тоже должен стараться!
Итак, из чего складывается время, затраченное туристом? Из времени туда и обратно!
(t={{t}_{1}}+{{t}_{2}})
Время в пути есть путь, деленный на скорость. Давай подставим:
(t=frac{l}{{{V}_{1}}}+frac{l}{{{V}_{2}}}=frac{l}{{{V}_{T}}-{{V}_{K}}}+frac{l}{{{V}_{T}}+{{V}_{K}}})
Теперь можем посчитать!
(t=frac{0.03}{3}+frac{0.03}{13}approx 0.0123)ч
Или приблизительно 44 секунды!
Задача решена! Оказывается, она очень простая, если верно выбрать систему отсчета.
Задачи в плоскости
Задача 12. Индейцы переплывают реку. Один из них, Красный Джо, встает напротив маленького причала и прыгает в воду, начиная плыть в его сторону со скоростью 2 м/с. Расстояние от причала до берега – 120 м. Течение реки имеет скорость 3 км/ч.
Куда на самом деле приплывет Красный Джо, позабывший духовную (и не только) связь своей скорости с рекой, и сколько времени на это уйдет?
Решение.
Итак, в мыслях индейцах он плыл бы так:
И это было бы верно, если бы он плыл в стоячей воде! Но течение изменяет его движение:
Он движется вперед и его еще переносит река! Обозначим расстояние, на которое его перенесет от причала, за Х. Его и нужно найти.
Еще нам дано расстояние до причала. Покажем на рисунке:
Как можно найти Х? Давай посмотрим, как движется тело по горизонтали. Оно просто смещается со скоростью течения, верно?
Значит, Х можно найти самым простым уравнением пути, которое мы знаем еще с пятого класса!
(X={{V}_{T}}cdot t)
Но как найти время?
Для этого нужно понять, что сносить его будет ровно столько времени, сколько он движется вперед.
То есть это то же время, что он затратил бы в стоячей воде, чтобы переплыть реку!
(t=frac{l}{{{V}_{K}}})
Подставим в уравнение выше:
(X={{V}_{T}}cdot frac{l}{{{V}_{K}}})
Теперь можем ответить на все вопросы задачи! Только не забудь перевести все в единую систему единиц измерения.
В задачах на движение не особенно важно (если не сказано иное), какие использовать единицы измерения. Главное, чтобы везде в решении они были одинаковые, например, везде километры или везде метры, везде часы или везде секунды. Как тебе удобно.
3 км/ч примерно равняется 0.83 м/с.
Подставляем значения в формулы:
(X=0.83cdot frac{120}{2}=49.8)м
Найдем время:
(t=frac{120}{2}=60)c
Таким образом, Красному Джо потребуется 1 минута на то, чтобы переплыть реку и оказаться на расстоянии 49.8 метров от причала.
Но есть и другой способ решения, если этот кажется тебе подозрительно легким 🙂
Попробуем решить эту задачу геометрией!
Вектор скорости течения параллелен отрезку Х, который нам нужно найти. Давай используем параллельный перенос и поставим его в более удобное место:
Сумма векторов скорости Красного Джо и течения даст нам абсолютную скорость – скорость, с которой тело движется относительно берега.
Вектор абсолютной скорости будет лежать на пунктире, конец которого – положение Джо после преодоления реки.
А теперь рассмотрим подобные треугольники:
Теперь запишем для них уравнение подобия, используя известные нам величины:
(frac{l}{{{V}_{K}}}=frac{X}{{{V}_{T}}})
Отсюда можем легко найти Х:
(X=frac{lcdot {{V}_{T}}}{{{V}_{K}}})
У нас получилась та же самая формула!
Задача 13. При скорости ветра 12 м/с капли дождя падают под углом 30 градусов к вертикали. При какой скорости ветра они будут падать под углом 45 градусов?
Решение:
Приятно и легко смотреть на дождь в окне. А еще легче решить эту задачу.
Если в физике видишь углы, ты точно будешь использовать тригонометрию. От нее не убежишь.
Начертим рисунок. Прежде всего, у нас есть вектор скорости ветра и какая-то вертикаль:
Как бы падали капли без ветра? Просто вниз:
Для удобства будем рассматривать одну каплю.
В этой задаче ветер можно сравнить с течением реки! Давай сделаем рисунок по этому сравнению!
Но где тут угол? Все просто: это будет угол вектора суммы!
Именно этот вектор принадлежит абсолютной скорости – той, что описывает движение капли относительно земли (и вертикали)
Давай разбираться. Скорость капли при отсутствии ветра нам неизвестна.
Не пугайся. Надежда на то, что неизвестные сократятся, всегда умирает последней.
Нам известна скорость ветра. И угол.
Рассмотрим получившийся у нас треугольник: он прямоугольный, его гипотенуза – абсолютная скорость. Она тоже неизвестна.
Давай попробуем с помощью угла связать два катета этого треугольника! Здесь поможет тангенс. Это отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть:
(tgalpha =frac{{{V}_{B}}}{{{V}_{K}}})
Без векторов, потому что мы рассматриваем их длины и работаем с треугольником!
Давай выразим скорость капли в безветренную погоду, она ведь не изменится, она просто дана (вообще-то не дана, ну ладно) нам как факт.
({{V}_{K}}=frac{{{V}_{B}}}{tgalpha })
То есть когда скорость ветра и угол изменятся, мы все еще можем записать:
({{V}_{K}}=frac{{{{{V}’}}_{B}}}{tgbeta })
Давай приравняем:
(frac{{{V}_{B}}}{tgalpha }=frac{{{{{V}’}}_{B}}}{tgbeta })
Нужно найти новую скорость ветра. Выразим ее:
(frac{{{V}_{B}}cdot tgbeta }{tgalpha }={{V}_{B}}^{prime })
Можем подставить значения:
({{{V}’}_{B}}=frac{12cdot tg{{45}^{o}}}{tg{{30}^{o}}}=frac{12cdot 3}{sqrt{3}}approx 20.8) м/с
Задача решена!
Подготовка к ЕГЭ на 90+ в мини-группах
Алексей Шевчук — ведущий мини-групп
математика, информатика, физика
+7 (905) 541-39-06 — WhatsApp/Телеграм для записи
alexei.shevchuk@youclever.org — email для записи
- тысячи учеников, поступивших в лучшие ВУЗы страны
- автор понятного всем учебника по математике ЮКлэва (с сотнями благодарных отзывов);
- закончил МФТИ, преподавал на малом физтехе;
- репетиторский стаж — c 2003 года;
- в 2021 году сдал ЕГЭ (математика 100 баллов, физика 100 баллов, информатика 98 баллов — как обычно дурацкая ошибка:);
- отзыв на Профи.ру: «Рейтинг: 4,87 из 5. Очень хвалят. Такую отметку получают опытные специалисты с лучшими отзывами».
Заключение
Мы разобрались с самым простым видом движения.
Необходимо очень хорошо разбираться даже в тех вещах, которые кажутся очевидными.
Дальше будет легче, ведь у нас уже есть хорошая база! Теперь будут меняться лишь характеристики движения.
Надеюсь, тебе понравились задачи 🙂
Все ли было понятно? Узнал ли ты что-то, о чем не рассказывали в школе?
