Как найти проекцию поверхности на плоскость

Содержание:

Поверхностью называется совокупность последовательных положений некоторой линии

Закон перемещения линии

На Рис.8.1 закон перемещения линии задан кривой . При этом имеется в виду, что образующая скользит по направляющей , оставаясь параллельной самой себе, в точке А, принадлежащая образующей , перемещается по кривой .

Если образующая – прямая, то поверхность называется линейчатой. Если – кривая, то поверхность будет криволинейной (нелинейчатой).

В дальнейшем будем рассматривать только линейчатые поверхности с одной направляющей. К ним относятся конические, цилиндрические и многогранные поверхности.

Коническая поверхность (Рис.8.2, а) однозначно определяется прямолинейной образующей , кривой направляющей и точкой  При этом образующая пересекает направляющую и все образующие пересекаются в одной точке.

Цилиндрическая поверхность (см. Рис.8.2, б) получается в случае, когда все прямолинейные образующие пересекаются в несобственной точке

Плоскость (см. Рис.8.2, в) является частным случаем цилиндрической или конической поверхности, когда и образующая и направляющая являются прямыми и все образующие пересекаются в несобственной точке  

Что такое поверхность

Поверхность – абстрактная фигура, не имеющая толщины. Она ограничивает какое-либо тело, состоящее из металла, пластмассы и т.д. Тело – конечно, а поверхность может быть бесконечна. Например, шар ограничен сферой; боковой поверхностью конуса является коническая поверхность.

Способы задания поверхности

Существует несколько способов задания поверхности, в том числе: кинематический, аналитический и графический.

Внедрение в инженерную практику компьютерных технологий обусловило совместное использование графических и аналитических методов задания поверхностей.

С точки зрения аналитической геометрии:

Поверхность – непрерывное множество точек, координаты которых связаны в декартовой системе координат уравнением вида В начертательной геометрии поверхность задается графически, а к ее образованию подходят с точки зрения кинематики:  

Поверхность – совокупность непрерывных последовательных положений линий, движущихся в пространстве по определенному закону.

Эта движущаяся линия называется образующей, а линия, по которой она движется – направляющей.

Поверхность считается заданной, если по одной проекции точки, принадлежащей ей, можно построить вторую проекцию. Совокупность независимых условий, необходимых и достаточных для однозначного определения поверхности, называется определителем поверхности: где      – поверхность,

• (Г) – геометрическая часть определителя поверхности – совокупность геометрических фигур, образующих поверхность;
• [A] – алгоритмическая часть определителя поверхности – закон перемещения образующей.

Например, определитель конической поверхности имеет следующий вид:

где  – образующая;

• а – направляющая;
• S – точка пересечения образующих.

Алгоритмическая часть определителя читается следующим образом:

Любая образующая  пересекает направляющую а и проходит через точку

На чертеже поверхность может быть задана:

1. Набором элементов, определяющих эту поверхность.
2. Очерком поверхности.
3. Каркасом поверхности.

Очерком поверхности называется проекции контура поверхности на плоскости проекций.

Каркасный способ задания поверхности предполагает, что поверхность можно определить как двупараметрическое множество точек с одной стороны, а, с другой, поверхность – однопараметрическое множество линий.

Каркасом (точечным или линейным) называется множество точек или линий, определяющих поверхность.

Каркасным способом задаются такие сложные поверхности с образующими переменного вида, которые нельзя описать математически.

Классификация поверхностей

Существует множество различных подходов к классификации поверхностей. Однако главными из них являются следующие критерии:

1. Закон образования поверхности:

• –поверхности закономерные – если закон их образования известен и может быть выражен математически;
• – незакономерные.

2. Вид образующей:

• – поверхности линейные –образующая прямая линия;
• – поверхности нелинейные (криволинейные) –образующая кривая линия.

3. Закон движения образующей:

• – поверхности переноса – с поступательным движением образующей;
• – поверхности вращения – с вращательным движением образующей;
• – винтовые поверхности – с винтовым движением образующей.

4. Постоянность (вариабильность) формы образующей:  

• – поверхности с образующей постоянной формы;
• – поверхности с образующей переменной формы.

5. Возможность развертывания поверхности:

• – Развертываемые – поверхности, совмещаемые с плоскостью без складок и разрывов:
• – неразвертываемые.

Очевидно, что любую поверхность можно классифицировать одновременно по нескольким признакам.

Например, цилиндрическая поверхность вращения:

1. линейчатая закономерная развертываемая поверхность вращения;
2. циклическая поверхность переноса окружности постоянного радиуса;
3. алгебраическая поверхность второго порядка.

Из всего множества поверхностей в кратком курсе начертательной геометрии мы будем рассматривать только гранные поверхности и поверхности вращения.

Поверхность

Поверхность – это наружная сторона предмета, или граница, отделяющая геометрическое тело от внутреннего пространства или другого тела (толковый словарь русского языка под редакцией Д.Н. Ушакова).

Поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линий, перемещающихся в пространстве по определенному закону. Движущуюся линию в этом случае называют образующей поверхности, а линии (а иногда и точки), определяющие закон ее перемещения, – направляющими.

Виды способов задания поверхности

Аналитический

Поверхность рассматривается как геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют некоторому заданному уравнению вида F (x, y, z ) = 0 (рис. 6.1). Порядок уравнения соответствует порядку поверхности. Порядок поверхности можно определить и геометрически, как порядок кривой, по которой плоскость пересекает поверхность, или как число точек пересечения прямой с поверхностью.

Рис. 6.1. Аналитические поверхности:

Аналитический способ задания поверхности находит широкое применение в практике, особенно если требуется исследовать свойства поверхности.

Кинематический

Кинематическую поверхность можно рассматривать как непрерывную совокупность последовательных положений линии, перемещающейся в пространстве по некоторым неподвижным линиям. Таким образом, на любой кинематической поверхности можно выделить два семейства линий: семейство образующих и семейство направляющих. Направляющие и образующие обладают следующим свойством: никакие две линии одного семейства не пересекаются между собой, но каждая линия одного семейства пересекает все линии другого.

Рассмотрим формирование конической поверхности (рис. 6.2). Такая поверхность образована движением прямой образующей l, постоянно проходящей через точку S и во всех своих положениях пересекающей некоторую направляющую кривую m. Если направляющая m – окружность, каждая точка которой равноудалена от вершины S, образуется прямой круговой конус.

Совокупность точек, линий и различных условий, определяющих закон перемещения образующей, называют также определителем поверхности. Например, определителем конуса вращения могут быть ось и образующая или вершина и направляющая линия. Определителем цилиндра вращения может быть ось и образующая (прямая или кривая) или ось и направляющая (окружность). Окружность может быть и направляющей линией цилиндра и его образующей. В начертательной геометрии все поверхности рассматриваются как кинематические, то есть образованные непрерывным перемещением в пространстве какой – либо линии или поверхности.

Рис. 6.2. Образование конической поверхности:
S – вершина конической поверхности;
m – направляющая;
l₁, l₂… I_n – последовательные положения образующей

Каркасный

Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности или поверхности с произвольными образующими называются скульптурными или поверхностями произвольных форм (рис. 6.3). Такие поверхности обычно задают достаточно плотной сетью линий и точек, принадлежащих этим поверхностям. Совокупность таких линий называется каркасом поверхности. При этом точки, лежащие между линиями каркаса, определяются приближенно.

Одним из наиболее распространенных в промышленности методов конструирования поверхностей является метод конструирования с помощью непрерывного каркаса. Метод каркасного конструирования используется при изготовлении кузовов    автомобилей, самолетов и в судостроении, для выполнения штампов при изготовлении поверхностей из листового материала, в топографии, горном и дорожном деле.

Рис. 6.3. Скульптурная поверхность

Классификация поверхностей

1.    По способу задания:

• •    аналитические;
• •    кинематические;
• •    скульптурные (поверхности произвольных форм).

2.    По закону движения образующей:

• •    с поступательным движением образующей;
• •    с вращательным движением образующей;
• •    с винтовым движением образующей.

3.    По виду образующей:

• •    поверхности с прямолинейной образующей или линейчатые поверхности;
• •    поверхности с криволинейной образующей.

4.    По закону изменения формы образующей:

• •    поверхности с образующей постоянного вида;
• •    поверхности с образующей переменного вида.

5.    По признаку развертывания:

• •    развертывающиеся поверхности – можно совместить с плоскостью без разрывов и складок. Сюда относятся поверхности всех многогранников, цилиндрические, конические, торсовые.
• •    неразвертывающиеся – нельзя совместить с плоскостью без разрывов и складок. Сюда относятся все остальные поверхности.

Наибольшее распространение в технике получили поверхности вращения, сдвига и винтовые.

Поверхности вращения

Поверхности вращения – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси (рис. 6.4,а). Направляющей поверхности вращения является окружность постоянного (цилиндр) или переменного радиуса (конус, сфера). Нормальное – перпендикулярное оси вращения сечение любой поверхности вращения, представляет собой окружность с центром на ее оси.

Рис. 6.4. Поверхность вращения:
а – основные линии на поверхности вращения;
б – представление поверхности вращения в виде сети

Направляющие называют также параллелями поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны к оси поверхности. Наибольшую из параллелей называют экватором поверхности, наименьшую – горлом. Плоскости, проходящие через ось поверхности вращения, называют меридиональными, а линии, по которым они пересекают поверхность -меридианами. Поверхность вращения можно представить параллелями или меридианами поверхности, а также сетью, состоящей из параллелей и меридианов (рис. 6.4,б).

Поверхность вращения называют закрытой, если меридиональное сечение поверхности является замкнутой кривой линией, пересекающей ось поверхности в двух точках.

При вращении вокруг оси плоской или пространственной алгебраической кривой n – го порядка образуется алгебраическая поверхность вращения, в общем случае, 2n-го порядка. Если кривая второго порядка вращается вокруг своей оси, то она образует поверхность второго порядка.

В зависимости от вида образующей различают:
 

Торовые поверхности – поверхности, образованные вращением окружности или дуги окружности:

Рис. 6.5. Торовые поверхности:
а – сфера; б – открытый тор (кольцо); в – закрытый тор; г – глобоид

• Сфера образуется вращением окружности вокруг оси, проходящей через ее центр (рис. 6.5,а).
• Тор образуется вращением окружности вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр (тор является поверхностью четвертого порядка). Различают открытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 6.5, б) и закрытый тор, образованный вращением окружности вокруг оси, которая пересекает образующую окружность или касается ее (рис. 6.5,в).
• Глобоид образуется вращением окружности достаточно большого радиуса вокруг оси, которая не пересекает образующую (рис. 6.5,г).
• Эллипсоид вращения образуется вращением эллипса вокруг его оси. Если за ось вращения принята большая ось эллипса, эллипсоид вращения называют вытянутым (рис. 6.6. а),если малая – сжатым или сфероидом (рис. 6.6,б). Земной шар, например, по форме близок к сфероиду.

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси (рис. 6.7, а). Параболоиды вращения используются в качестве отражающей поверхности в прожекторах и фарах автомобилей для получения параллельного светового пучка.

Рис. 6.7. Поверхности вращения:
а – параболоид;
б – однополостной гиперболоид;
в – двуполостной гиперболоид;

Гиперболоид вращения образуется вращением гиперболы. Различают однополостный гиперболоид (рис. 6.7,б), образованный вращением гиперболы вокруг ее мнимой оси, и двуполостный гиперболоид (рис. 6.7,в), образованный вращением гиперболы вокруг ее действительной оси.

Конус вращения (прямой круговой конус) образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадающейся на две пересекающиеся прямые (рис. 6, а).

Рис. 6.8. Поверхности вращения:
а – конус; б – цилиндр

Цилиндр вращения (прямой круговой цилиндр) образуется вращением вокруг оси кривой 2-го порядка, распадающейся на две параллельные прямые (рис. 6.8,б).

Поверхности сдвига

Поверхности сдвига или так называемые поверхности экструдий -поверхности, образованные смещением произвольной образующей вдоль произвольной направляющей (рис. 6.9, 6.10). Образующие и направляющие поверхности сдвига могут быть как постоянного, так и переменного вида.

Рис. 6.9. Поверхности сдвига:
а – наклонный цилиндр; б – наклонный конус

Рис. 6.10. Поверхности сдвига, применяемые в технике:
а – коническое зубчатое колесо; б – швеллер; в – змеевик

Винтовые поверхности

Винтовые поверхности – поверхности, образованные вращением произвольной образующей вокруг неподвижной оси с одновременным смещением в осевом (поверхность цилиндрической резьбы, рис. 6.11,а) или осевом и радиальном направлении (коническая пружина, рис. 6.11,б). Направляющей винтовой поверхности является винтовая линия.

Рис. 6.11. Винтовые поверхности:
а – поверхность трапециидальной резьбы;
б – поверхность конической пружины

Изображение поверхностей на комплексном чертеже

На комплексном чертеже изображается очерк поверхности, а также наиболее важные линии и точки на поверхности.

Рис. 6.12. Образование очерка поверхности

Очерк поверхности – линия, которая ограничивает проекцию поверхности. Для получения очерка поверхности проводят множество проецирующих лучей в направлении проецирования s, касательных к данной поверхности. Точки касания поверхности и проецирующих лучей образуют линию l, называемую контурной линией. Совокупность проецирующих лучей образует проецирующую цилиндрическую поверхность, проекция которой и представляет собой очерк l’ данной поверхности на соответствующей плоскости проекций П‘ (рис. 6.12). Очерк поверхности можно определить и как проекцию контурной линии на заданную плоскость проекций. Очерк поверхности является границей видимости поверхности.

Построение очерков конических поверхностей

Фронтальный очерк поверхности наклонного конуса представляет собой равнобедренный треугольник A₂B₂S₂. Горизонтальный очерк поверхности наклонного конуса с круговым основанием состоит из дуги окружности основания и касательных, проведенных из проекции вершины конуса (рис. 6.13).

Рис. 6.13. Построение очерка поверхности наклонного конуса с круговым основанием

Для построения касательных на П₁ вершину конуса S нужно соединить с центром окружности основания O₁. Затем отрезок делится пополам и строится вспомогательная окружность радиусом O’₁S₁. Точки C₁ и D₁ пересечения вспомогательной окружности и окружности основания и являются точками касания. Угол O ₁ D ₁ S ₁ – прямой. 

Фронтальный очерк поверхности прямого кругового конуса, ось которого является фронталью, представляет собой равнобедренный треугольник A₂B₂S₂ (см. рис. 6.14).Горизонтальный очерк состоит из части эллипса и двух касательных к нему прямых. Эллипс можно построить по двум осям малой А ₁ B ₁ и большой C₁C₁‘, равной диаметру окружности основания конуса (см. пп. 12.4.1,рис. 12.11).

Рис. 6.14. Построение очерка поверхности прямого кругового конуса

Для определения прямых (SD) и (SD’), касательных к эллипсу, используется произвольная вспомогательная сфера с центром О(О₁О₂) на оси конуса, касательная к его поверхности. Из произвольной точки О(О₁О₂) на оси конуса восстанавливаются перпендикуляры (О₂M₂)и (О₂N₂) на образующие (S₂A₂)и (S₂B₂). Линия (M₂N₂)-проекция линии касания конуса и вспомогательной сферы. Затем определяются фронтальные проекции случайных точек искомых касательных K₂ и K’₂ как точки пересечения полученной линии (MN) и экватора вспомогательной сферы. Далее определяются горизонтальные проекции K₁ и K’₁ на горизонтальной проекции экватора вспомогательной сферы. Прямые (S ₁ K₁)и (S ₁ K’ ₁)касаются эллипса в точках D ₁ и D’ 1.

Построение очерков цилиндрических поверхностей 

Для построения фронтального очерка поверхности наклонного цилиндра с круговым основанием (рис. 6.15) строятся проекции верхнего и нижнего оснований – (A₂B₂) и (A’₂B’₂)u очерковые образующие (A₂A₂) и (B₂B’₂).

Для построения горизонтального очерка строят окружности верхнего и нижнего оснований, затем через центры окружностей проводятся перпендикуляры (C ₁ D ₁)и (C’ ₁ D’ ₁) к оси цилиндра.

Рис. 6.15. Построение очерка наклонного цилиндра с круговым основанием

Определение поверхности 

Поверхности в геометрии рассматриваются либо как двумерные множества точек, либо как одномерные множества линий. Второе определение наиболее соответствует конструированию поверхностей с использованием кинематического метода.

Этот подход (в соответствии с рисунком 8.1) предполагает формирование поверхности в результате перемещения одной кривой U (образующей) по другой кривой V (направляющей).

В общем случае понятия направляющей и образующей чисто условные.

Перемещение кривой V по кривой U сформирует ту же самую поверхность.

Наложение условий на форму кривых и условия перемещения позволяет формировать практически любые поверхности.

Рисунок 8.1 – Образование поверхности
Традиционно рассматривают поверхности простые, описываемые единым уравнением, и составные, состоящие из отсеков простых.

Изучение многообразия поверхностей, образуемых кинематическим способом, требует их систематизации. Это особенно важно в автоматизированном проектировании при создании информационных систем или так называемых банков данных.

Очевидно, что невозможно разработать единую, приемлемую для всех, систематизацию (классификацию) поверхностей. Сложность состоит в том, что трудно выделить единый признак классификации. Например, вполне естественно в основу систематизации положить вид образующей и закон ее перемещения.

По виду образующей различают линейчатые (образующая — прямая), циклические (образующая — окружность) и другие поверхности.

Возможна классификация и по закону перемещения образующей — поверхности вращения, параллельного переноса, винтовые и т.д. Очевидно, что при этом некоторые поверхности могут быть отнесены одновременно к различным классам. Например, цилиндрическая поверхность вращения является линейчатой и поверхностью вращения.

Все это и определило отказ от традиционного рассмотрения в пособии различного рода классификаций поверхностей.
 

Задание поверхности на чертеже

Для изображения поверхности на чертеже необходимо выяснить проекции каких элементов поверхности необходимо задать для того, чтобы получить обратимый чертеж.

Поверхность считается заданной, если относительно любой точки (на чертеже), можно дать однозначный ответ на вопрос: «Принадлежит ли эта точка рассматриваемой поверхности?». Другими словами, если по одной проекции точки, принадлежащей поверхности, можно построить ее вторую проекцию.

Поверхности на чертеже моделируются соответствиями, также как и плоскость, которая моделируется взаимнооднозначным соответствием — родством (раздел 3).

Возможны два способа задания таких соответствий: аналитический и графический.

При аналитическом задании, в общем случае, поверхность может быть определена уравнением в неявном виде F(x,y,z) = 0, в явном виде z =f(x,y), или параметрической форме х = X(u,v), у= Y(u,v), z = Z(u,v). Параметры u и v получили название криволинейных координат (рисунок 8.1).

Рисунок 8.2-Линейчатый каркас

Графическое задание также предусматривает несколько вариантов. Один из них непосредственно вытекает из аналитического способа.

Табулирование уравнений, задающих поверхность, позволяет получить либо двухпараметрическое множество точек, либо два однопараметрических семейства линий. Эти семейства определяют, так называемый каркас поверхности (точечный или линейчатый). Изображение этих каркасов на чертеже позволяет говорить о каркасном задании поверхности (рисунок 8.2).
Еще один, самый распространенный, графический способ — задание поверхности (отсека) очерками.

При проецировании произвольной поверхности на плоскость проекций некоторые из проецирующих прямых будут касаться этой поверхности и образовывать некоторую проецирующую (цилиндрическую для параллельного проецирования поверхность

Линия касания этих поверхностей называется контурной линией, а ее проекция на соответствующую плоскость – очерком.

В соответствии с рисунком 8.3 поверхность прямого кругового конуса на комплексном чертеже задана своими очерками (горизонтальным очерком и, соответственно, фронтальным Очерки дают более наглядное представление об изображаемом объекте.

Рисунок 8.3 – Прямой круговой конус

Рисунок 8.4 – Сфера

Пользуются при задании кинематических поверхностей и понятием определителя. Под определителем кинематической поверхности понимают совокупность независимых условий, однозначно определяющих эту поверхность. Условиями могут быть: задание образующей поверхности, закон ее изменения (в случае переменной образующей), закон движения образующей и др. Некоторые из них могут быть выражены графически. Например, сфера Ф может быть представлена как поверхность вращения: Ф[i,I] (рисунок 8.4).

Условиями, включенными в определитель поверхности и определяющими ее форму, могут быть также параметры формы.

Одна и та же поверхность может быть образована несколькими способами. Поэтому она может иметь разные определители.

Все рассмотренные способы задания поверхности связаны между собой и при решении многих задач приходится переходить от одного способа задания к другому.

Точка и линия на поверхности

Обобщение определений на принадлежность точки и линии плоскости позволяет утверждать следующее:

• точка лежит на поверхности, если она лежит на линии, лежащей на поверхности;
• линия лежит на поверхности в том случае, если все ее точки лежат на поверхности.

Рисунок 8.5 – Точка на конусе  

 

Рисунок 8.6 – Винтовая коническая линия
В соответствии с рисунком 8.5 и данным выше определением точка А лежит на поверхности конуса, заданного очерками Точка А лежит на окружности l, полученной пересечением конической поверхности с горизонтальной плоскостью уровня Здесь одной фронтальной проекции точки соответствуют две горизонтальные

Рисунок 8.6 иллюстрирует винтовую линию l на поверхности конуса Ф, построенную по точкам.

При построении точек, лежащих на поверхностях, выбираются такие линии, лежащие на них, которые легко могут быть построены (прямые, окружности).

Конструирование поверхностей

Как уже отмечалось выше, поверхности должны отвечать определенной совокупности независимых условий (виду образующей, закону ее изменения и движения и т.д.). Все это и определяет подход к выполнению чертежей поверхностей.

Конструирование поверхностей вращения

Поверхности вращения – одни из самых распространенных, что обусловлено простотой изображения на чертеже и воспроизведения в материале.

Поверхность вращения – это поверхность, образованная вращением линии (образующей) l вокруг прямой, называемой осью поверхности i (в соответствии с рисунком 8.7).

Рисунок 8.7 – Поверхность вращения
Обычно при изображении поверхности на чертеже ось вращения выбирается перпендикулярной одной из плоскостей проекции. Окружности, по которым перемещаются все точки образующей l, называют параллелями поверхности.

Кривые, полученные в сечении поверхности плоскостями, проходящими через ось вращения, называются меридианами. Меридиан лежащий в плоскости параллельной плоскости проекции называется главным меридианом.

Параллели и меридианы поверхности вращения образуют ее непрерывный каркас, так что через любую точку поверхности проходят единственные параллель и меридиан.

Параллель с минимальным радиусом называется горловиной или горлом, а с максимальным радиусом – эквитором.

Некоторые поверхности вращения традиционно носят свои собственные названия.

Поверхности, образованные вращением прямой линии, параллельной оси вращения, называют прямыми круговыми цилиндрами (рисунок 8.8).

Рисунок 8.8 – Прямой круговой цилиндр, конус вращения, параболоид вращения

Поверхности, образованные вращением прямой линии пересекающей ось вращения в точке S (вершине конуса), называют конусами вращения (рисунок 8.8).

Рисунок 8.9 – Сфера и тор

Другие поверхности вращения, если образующая имеет собственное название, называют по ее имени при условии, что ось вращения совпадает с осью симметрии кривой. Например, параболоид вращения (рисунок 8.8).

Особняком здесь стоит окружность. Если ось вращения совпадает с осью симметрии окружности, то такую поверхность называют сферой, если же нет, то – тором (рисунок 8.9).

Конструирование поверхностей плоскопараллельного переноса

Еще один тип поверхностей, часто используемых в практике, – это поверхности плоскопараллельного переноса. В некоторых векторных графических пакетах (AutoCAD, CorelDraw и др.) эти поверхности называют поверхностями сдвига, что не совсем верно.

Поверхность “заметается” плоской образующей l, которая перемещается в пространстве по плоской направляющей m, оставаясь параллельной самой себе (рисунок 8.10).

Рисунок 8.10-Поверхность плоскопараллельного переноса

По этой схеме могут быть получены такие поверхности, как цилиндр общего вида (рисунок 8.10), плоскость (образующая и направляющая прямые линии), параболический параболоид (рисунок 8.11) и другие.

Конструирование линейчатых поверхностей

Линейчатые поверхности образуются при движении прямой линии (образующей) по заданному закону. Закон движения обычно задается направляющими. В качестве направляющих обычно рассматривают линии. Хотя направляющими могут быть и поверхности (образующая перемещается, касаясь этой поверхности), и другие геометрические элементы.

Например, коническая поверхность образуется при движении прямолинейной образующей, проходящей через фиксированную точку (вершину) и пересекающей направляющую кривую. Коническая поверхность с несобственной вершиной называют цилиндрической поверхностью.

Из определения линейчатой поверхности следует, что ее образующая в каждый момент времени должна занимать строго определенное положение. Такое возможно только при наличии трех направляющих. Поэтому линейчатые поверхности называются еще поверхностями с тремя направляющими. Действительно, взяв на направляющей а произвольную точку A, мы можем провести через нее, по крайней мере, одну образующую l, пересекающую другие две направляющие b, с. Точка А и направляющая b определяют коническую поверхность (рисунок 8.12), которую направляющая с пересекает в нескольких точках Очевидно, что прямые пересекают направляющую b. Таким образом, при перемещении точки А по кривой а прямые опишут линейчатую поверхность.

Эти направляющие – а, b, с – и входят в определитель линейчатой поверхности с тремя направляющими, что символически записывается так: Ф(а, b,с).

Среди линейчатых поверхностей выделяют поверхности с плоскостью параллелизма. Их также называют поверхностями Каталана. Образующие l этих поверхностей пересекают направляющие кривые а, b и параллельны плоскости параллелизма Г— собственному представителю несобственной направляющей прямой

В зависимости от вида направляющих а, b поверхность с плоскостью параллелизма называется цилиндроидом, коноидом или косой плоскостью.

Цилиндроидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, у которой направляющие — кривые линии.

Каркас образующих цилиндроида на комплексном чертеже строится весьма просто, если в качестве плоскости параллелизма принята одна из плоскостей проекций или проецирующая плоскость. На рисунке 8.13 построен каркас образующих цилиндроида с направляющими а, b и параллельными плоскости параллелизма . Образующие являются горизонталями.

Рисунок 8.13 – Цилиндроид    

Рисунок 8.14 – Коноид

Коноидом называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма, имеющая одну криволинейную и вторую прямолинейную направляющие.

На чертеже коноид задается аналогично цилиндроиду. Построение каркаса образующих не отличается от цилиндроида.

На рисунке 8.14 приведен чертеж коноида, получившего в инженерной практике название «прямой клин». Направляющими коноида являются эллипс а и прямая /?, плоскость параллелизма zOy. Эта поверхность несет на себе каркас эллипсов в плоскостях параллельных

Косой плоскостью называется линейчатая поверхность с плоскостью параллелизма и прямолинейными направляющими (рисунок 8.15).

Она больше известна под названием гиперболического параболоида, так как несет на себе каркас не только прямых, но и гипербол и парабол. Из аналитической геометрии известно, что гиперболический параболоид содержит два семейства прямолинейных образующих, параллельных двум плоскостям параллелизма.

Линейчатая поверхность, образованная множеством касательных к пространственной кривой, получила называние торсовой или поверхностью с ребром возврата (рисунок 8.15). Направляющая кривая t поверхности называется ребром возврата. Примером торсовой поверхности может служить хорошо известная коническая поверхность, у которой ребро возврата выродилось в точку (вершину конуса).

Рисунок 8.15 – Косая плоскость и поверхность с ребром возврата

Многогранники

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими многоугольниками. Поверхность, ограничивающая многогранник, — составная. Элементами этой поверхности являются вершины, ребра и грани; совокупность всех ребер многогранника называют его сеткой. Многогранник называется выпуклым, если весь он лежит по одну сторону от плоскости любой его грани; тогда грани его — тоже выпуклые многоугольники.

Построение ограничивающей поверхности многогранника сводится к построению проекций ее сетки.

Среди всего многообразия многогранников наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды, а также правильные выпуклые многогранники.

Чертеж призмы приведен на рисунке 8.16. Гранями призмы служат четырехугольные отсеки плоскостей. Все ребра призмы параллельны между собой. Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности сводится к определению принадлежности этих элементов плоским граням.

Пирамида (рисунок 8.17) ограничена составной поверхностью, у которой грани представлены треугольниками.

Все ребра пирамиды пересекаются в одной точке S, которую называют вершиной пирамиды.

Поверхность призмы можно рассматривать, как поверхность пирамиды, у которой вершина — несобственная точка

Рисунок 8.16 – Призма

Рисунок 8.17 – Пирамида
 

Циклические и непрерывно-топографические поверхности

Циклической поверхностью называется поверхность, образованная непрерывным каркасом круговых сечений (рисунок 8.18). Циклическая поверхность несет на себе, по крайней мере, одно семейство круговых образующих. Циклическая поверхность является частным видом поверхностей подобных сечений.

Рисунок 8.18 – Поверхность подобных сечений
Для однозначного определения поверхности подобных сечений должны быть заданы три линии a,t,b где, а — линия определяющая параметрическое семейство плоскостей, перпендикулярных этой линии; t — линия центров окружностей; b – линия, определяющая величины радиусов окружностей.

Примером таких поверхностей, имеющих круговые сечения, т. е. представляющим собой разновидность циклических поверхностей, могут служить эллиптический цилиндр, конус вращения, эллипсоид, однополостной и двуполостной гиперболоиды и др.

Кинематические поверхности сложной формы традиционно называют поверхностями зависимых линий. Типичным представителем поверхностей зависимых линий являются топографические поверхности.

Топографическими называют поверхности, заданные дискретным множеством линий уровня (рисунок 8.19). Такое представление поверхностей широко распространено в топографии, строительстве, военном деле и др. На ранних этапах развития авиации, автомобилестроения и судостроения сложные поверхности самолетов, автомобилей и судов задавались также в виде дискретного множества линий уровня. Получали сетчатый каркас поверхности, состоящий из трех семейств линий уровня: батоксов (вертикальных линий), горизонталей и поперечных сечений (шпангоутов).

Рисунок 8.19 — Топографическая поверхность
Вопросы о принадлежности точки пространства для таких поверхностей решаются однозначно только на линиях каркаса поверхности.

В геометрии выделяют непрерывно топографические поверхности, образованные непрерывным множеством линий уровня. Эти поверхности широко применяют в авиации, судостроении, автомобилестроении, архитектуре и др.

Определитель, такой поверхности, состоит из проекций однопараметрического семейства линий уровня в какой-либо одной плоскости проекций и закона распределения линий семейства в пространстве (рисунок 8.20).

Рисунок 8.20 – Непрерывно топографическая поверхность

Порядок конструирования такой поверхности следующий: в одной из плоскостей проекций задается однопараметрическое семейство линий q.

Затем в пространстве выбирается распределяющая линия m.

И последнее: устанавливается взаимно однозначное соответствие между точками «распределяющей» линии т и каждой линией семейства

Пересечение поверхности плоскостью

При пересечении поверхности плоскостью получается плоская фигура, которую называют сечением. Построение сечения поверхности плоскостью целесообразно начать с пересечения многогранников плоскостью.

Многогранником называют пространственную фигуру, ограниченную рядом плоскостей, имеющих форму многоугольников. Стороны многоугольников образуют рёбра, а плоскости – грани.

Проекциями сечения многогранников в общем случае являются многоугольники, вершины которых принадлежат рёбрам, а стороны – граням многогранника. Поэтому задачу по определению сечения многогранника плоскостью можно решать способом рёбер или способом граней. Способ рёбер заключается в нахождении точек встречи прямой (ребро многогранника) с плоскостью. Способ граней сводится к построению линии пересечения двух плоскостей (грань многогранника и секущая плоскость). Какому способу отдать предпочтение, нужно решать в каждом конкретном случае отдельно. Рассмотрим примеры построения многогранников плоскостью.

Пример 1 Построить проекции сечения прямой призмы плоскостью общего положения (см. Рис.8.3).

В случае рёбра призмы ABCDEF перпендикулярны плоскости следовательно, основания призмы проецируются на неё в истинную величину. Кроме того, нижнее основание лежит в горизонтальной плоскости проекций  Из Рис.8.3 следует, что плоскость а пересекает основание DEF и ребро CF. Так как достаточно отметить горизонтальные проекции точек пересечения сторон нижнего основания с плоскостью а и найти их фронтальные проекции  Вследствие того, что  горизонтальная проекция точки пересечения этого ребра с плоскостью совпадает с горизонтальной проекцией ребра, т. е. точками и  

Фронтальная проекция точки 3 определяется из условия принадлежности её плоскости Для этого через точку проводят горизонтальную проекцию прямой, принадлежащей плоскости а, находят её фронтальную проекцию и на ней отмечают точку  Так как плоскость задана следами, то в качестве вспомогательной прямой целесообразно использовать фронталь HG (см. Рис.8.3) или горинталь.

Необходимо отметить, что если бы плоскость не пересекала основание призмы, то точки 1 и 2 на рёбрах находились бы также с помощью вспомогательных прямых.

Пример 2 Построить сечение трёхгранной пирамиды горизонтально – проецирующей плоскостью (см. Рис.8.4).

При таком расположении секущей плоскости нет необходимости в дополнительных построениях, так как горизонтальная проекция сечения должна принадлежать следу плоскости. Поэтому достаточно отметить точки  в которых горизонтальный след пересекает горизонтальные проекции рёбер пирамиды. Фронтальные проекции определяются в проекционной связи на соответствующих фронтальных проекциях рёбер пирамиды.

Пример 3 Построить проекции сечения наклонной пирамиды плоскостью общего положения (см. Рис.8.5). Определить истинную величину фигуры сечения.

В данном случае целесообразно методом перемены плоскостей проекций преобразовать плоскость общего положения в проецирующую и далее действовать так же, как ив предыдущем примере. Таким образом осуществляем переход от системы плоскостей к новой системе в которой плоскость а станет фронтально – проецирующей. Для этого новую ось проводим перпендикулярно к горизонтальному следу  Новый фронтальный след плоскости проходит через точку схода следов  Для нахождения второй точки при проведении следа  , можно взять произвольную точку и построить рассмотренным ранее способом её фронтальную проекцию на новой плоскости

Далее строим проекцию пирамиды на плоскость  Для построения проекции вершины необходимо от новой оси по линии связи, перпендикулярной к ней, отложить отрезок, равный z точки S. Точки основания будут лежать на оси , так как

Фронтальная проекция сечения пирамиды плоскостью Р принадлежит следу , поэтому отмечаем точки в которых след , пересекает фронтальные проекции   рёбер. Далее методом обратного проецирования находим горизонтальную и фронтальную проекции сечения:

Чтобы определить истинную величину фигуры сечения, необходимо произвести замену плоскости новой плоскостью параллельной секущей плоскости  Для этого проводим новую ось параллельно проецирующему следу  Далее находим проекции точек 1, 2 и 3 на плоскость следующим образом. Из точек восстанавливаем перпендикуляры к оси и откладываем на них от новой оси , отрезки, равные соответственно расстояниям от до оси  Соединив полученные точки   получим истинную величину фигуры сечения пирамиды плоскостью

При нахождении точек сечения поверхности вращения плоскостью целесообразно применять способ вспомогательных секущих плоскостей, которые пересекают поверхность по окружностям или по образующим. Построение проекций сечения начинают с отыскания проекций характерных (опорных) точек. К ним относятся точки, проекции которых расположены на проекциях контурных (очерковых) образующих поверхности, так как в этих точках изменяется видимость проекций линии пересечения. Характерными будут также точки перехода линии пересечения с боковой поверхности тела на его основание ( если плоскость пересекает основание) и точки, проекции которых являются наивысшими наинизшими. Рассмотрим некоторые приме-

Пример 4 Построить проекции сечения прямого и кругового цилиндра плоскостью общего положения (см. Рис.8.6).

Построение начнём с отыскания характерных точек. Проекции точек линии пересечения, расположенных на контурных образующих, найдём с помощью вспомогательной фронтальной плоскости  проходящей через ось цилиндра.

Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, а плоскость – по общей для них фронтали

Точка пересечения фронтальной проекции фронтали с образующей будет искомой фронтальной проекцией точки пересечения образующей с плоскостью Горизонтальная проекция точки совпадает с точкой, в которую проецируется на плоскость образующая (точка на горизонтальной проекции фронтали).

Вторая контурная образующая в пределах заданной поверхности с плоскостью не пересекается. Следовательно, плоскость пересекает нижнее основание цилиндра. Точки перехода линии пересечения с боковой поверхности цилиндра на его основание отмечаем без дополнительных построений. Горизонтальные проекции и   этих точек будут в точках пересечения следа с горизонтальной проекцией основания цилиндра. Их фронтальные проекции находим на оси ох, так как основание принадлежит плоскости

Наивысшая и наинизшая точки проекции сечения на плоскости а определяются с помощью вспомогательной горизонтально – проецирующей плоскости перпендикулярной к плоскости и проходящей через ось цилиндра. Эта плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, горизонтальные проекции которых совпадают с точками пересечения следа  , с горизонтальной проекцией основания цилиндра (точка 4 ). Фронтальная проекция   расположена на фронтальной проекции линии пересечения плоскостей и  

Промежуточные точки 5 и 6 линии сечения строим с помощью вспомогательной плоскости перпендикулярной к оси цилиндра Она пересекает поверхность цилиндра по окружности, а плоскость – по общей для них горизонтали Горизонтальные проекции и точек сечения получаем в пересечении с окружностью основания. Фронтальные их проекции и расположены на следе

Соединяя фронтальные проекции точек плавной кривой, получаем фронтальную проекцию линии пересечения. Пример 5 Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса плоскостью, параллельной двум образующим (Рис.8.7).

В нашем случае (см. Рис.8.7) плоскость является горизонтально – проецирующей плоскостью. Поэтому горизонтальная проекция сечения (гиперболы) совпадает с горизонтальным следом Горизонтальные проекции и точек перехода линии сечения с боковой поверхности конуса на основание находятся в пересечении с горизонтальной проекцией основания. Фронтальные проекции и   расположены на оси ох. Для нахождения наивысшей точки 3 сечения воспользуемся вспомогательной горизонтально-проецирующей плоскостью проходящей через ось конуса перпендикулярно плоскости  Горизонтальная проекция искомой точки лежит в пересечении горизонтальных следов и  а фронтальная проекция – на фронтальной проекции , образующей SB, по которой плоскость пересекает поверхность конуса. Горизонтальная проекция точки 4, разделяющей фронтальную проекцию сечения на видимую и невидимую части, лен-жит в пересечении горизонтальной проекции образующей и следа Фронтальная проекция расположена на Дополнительные точки 5 и 6 сечения находим с помощью произвольной вспомогательной горизонтальной плоскости  пересекающей поверхность конуса по окружности.

Пример 6 Построить проекции сечения поверхности прямого кругового конуса плоскостью общего положения (см. Рис.8.8).

Построение начинаем с нахождения точек 1 и 2, расположенных на очерковых образующих. Для этого проводим вспомогательную плоскость параллельную фронтальной плоскости и проходящую через ось конуса.

Она пересекает плоскость по фронтали а поверхность конуса – по очерковой образующей. На пересечении фронтальной проекции фронтали и очерковых образующих находим точки   и   Горизонтальные проекции и   точек расположены на Далее проводим плоскость горизонтально – проецирующую и перпендикулярную к плоскости , проходящую через ось конуса. Эта плоскость пересекает коническую поверхность по образующим SA и SB, а плоскость – по линии   Ha пересечении фронтальных проекций  образующих и прямой находим точки 3 и 4 . Горизонтальные проекции точек и   лежат в проекционной связи с на следе Необходимо отметить, что прямая 3-4 является большой осью эллипса, получающегося в сечении. Для нахождения малой оси эллипса через середину F отрезка 3-4 проводим вспомогательную плоскость перпендикулярную к оси конуса и проходит через  Она пересекает поверхность конуса по окружности радиуса  а плоскость – по горизонтали

На пересечении с окружностью радиуса находим горизонтальные проекции и точек, ограничивающих малую ось эллипса. Фронтальные проекции   и   этих точек лежат на фронтальной проекции горизонтали. Соединяя плавной кривой точки получим горизонтальную проекцию сечения, представляющего собой эллипс. Фронтальную проекцию сечения получим в результате соединения плавной кривой точек 

Пример 7 Построить проекции сечения поверхности конуса плоскостью, проходящей через его вершину (Рис.8.9).

Факт принадлежности точки S (вершина конуса) плоскости устанавливается при помощи горизонтали  проведённой через эту точку. Поскольку в нашем примере основание конуса лежит в плоскости то точки и находятся в пересечении горизонтального следа с окружностью основания. Фронтальные проекции и   точек лежат на оси ох. Таким образом, плоскость пересекает поверхность конуса по образующим SA и SB.

Пример 8 Построить проекции сечения поверхности сферы горизонтально-проецирующей плоскостью Горизонтальная проекция сечения ( эллипса) совпадает с горизонтальным следом  (см. Рис.8.10).

Горизонтальные проекции точек 1 и 2 – малой оси эллипса находятся на пересечении горизонтальной проекции сферы со следом aФронтальные проекции этих точек находим на фронтальной проекции диаметра сферы   Две характерные точки 3 и 4, в которых на фронтальной проекции видимая часть эллипса переходит в невидимую, на горизонтальнои проекции получаем в пересечении диаметра со следом  Вертикальные проекции этих точек находим на фронтальной проекции сферы. Промежуточные точки 5 и 6 находим, проводя произвольную вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость  Она пересекает сферу по окружности радиуса Горизонтальные проекции точек находим на пересечении фронтального следа со следом Фронтальные проекции точек находим в проекционной связи на фронтальной проекции окружности радиуса Аналогично находим другие промежуточные точки (7, 8) и т. д.

Пример 9 Построить проекции сечения поверхности сферы плоскостью общего положения (см. Рис.8.11). Применив метод перемены плоскостей проекций ( пункт 6,2, Рис.6.19) преобразуем задачу в вариант аналогичный примеру 10.

Развёртка поверхностей

Рассмотрим развёртки поверхностей вращения и многогранников. Под развёрткой многогранной поверхности понимают плоскую фигуру, составленную из граней этой поверхности, совмещённых с одной плоскостью. Существуют три способа построения развёртки многогранных поверхностей:

1. способ нормального сечения
2. способ раскатки
3. способ треугольников Рассмотрим все три способа на примерах.

Пример 10 Построить развёртку поверхности прямой трёхгранной призмы ABCDEF (Рис.8.12).

Построение начинаем с пересечения призмы ABCDEF плоскостью перпендикулярной к боковым рёбрам

Так как плоскость  горизонтальная, то фронтальная проекция сечения  совпадает со следом  а на плоскость сечение 1, 2, 3 проецируется в истинную величину и совпадает с горизонтальной проекцией призмы.

Для построения развёртки необходимо определить истинную величину рёбер и сторон треугольника, получившегося в сечении призмы плоскость . В нашем случае дополнительных построений не требуется, так как призма прямая. Рёбра AD, BE и CF параллельны плоскости   и потому проецируются на эту плоскость без искажения.

Далее в свободном месте чертежа проводим прямую и от произвольной точки взятой на этой прямой, откладываем отрезки  равные сторонам треугольника 1, 2, 3. Через точки проводим прямые, перпендикулярные к прямой и откладываем на них отрезки равные длинам боковых рёбер, соответственно, Плоская фигура представляет собой развёртку боковой поверхности призмы. Для получения полной развёртки поверхности призмы необходимо к любой из сторон достроить методом засечек основания  предварительно определив их истинные размеры.

На развёртку нанесена точка К из условия:

Пример 11 Построить развёртку поверхности наклонной призмы с основанием в плоскости и рёбрами, параллельными плоскости (Рис.8.13).

Развёртку боковой поверхности заданной призмы будем строить последовательным вращением всех её граней, которое представляет перекатывание призмы по фронтальной плоскости, проходящей через одно из рёбер призмы. Во избежание наложения развёртки на изображение призмы начинаем вращать её вокруг ребра FC. При вращении грани FCBE вокруг ребра FC точки В и Е перемещаются по окружности в плоскостях, перпендикулярных к ребру FC. Фронтальные проекции и этих точек перемещаются по перпендикулярам, опущенным из и на фронтальную проекцию ребра FC. Когда грань FCBE совместится с фронтальной плоскостью, проходящей через ребро FC, она спроецируется на плоскость в истинную величину, и отрезки изобразятся без искажения. Изображения точек и получаем, засекая перпендикуляры, опущенные из точек и отрезками соответственно равными их истинным длинам Построенный таким образом параллелограмм представляет истинную величину грани FCBE. При дальнейшем перекатывании призмы она будет вращаться вокруг ребра (в новом его положении) до совмещения грани BEDA с плоскостью, параллельной плоскости Точки и получаем с помощью засечек перпендикуляров, опущенных из точек  отрезками и равными их истинным длинам  Соединяя прямыми точки и  получаем развёртку грани BADE. Аналогичным построением находим развёртку грани ADFC. Полную развёртку поверхности призмы получаем, достраивая методом засечек оба её основания (пристраиваются к любой грани).

Изображение точки К на боковой поверхности построено из условия: 

Если рёбра призмы не параллельны ни одной из плоскостей проекций, то этот общий случай методом перемены плоскостей проекций приводят к рассмотренному ранее частному случаю.

Пример 12 Построить развёртку поверхности трёхгранной пирамиды с основанием в плоскости  (Рис.8.14).

В данном случае в истинную величину проецируется на плоскость основание ABC пирамиды, а на плоскость её ребро SB. Рёбра SA и SC – прямые общего положения. Их истинные длины определены вращением вокруг оси, перпендикулярной к плоскости и проходящей через точку S  Построение развёртки начинаем с построения любой грани, например грани SAB.

Для этого на произвольной прямой откладываем отрезок  равный истинной длине сторон АВ основания  и строим точку в пересечении засечек, сделанных из точек и дугами окружностей радиусов Соединяя прямыми точку с точками и  , получаем изображение грани SAB. Изображения граней пирамиды, а также её основания достраиваем к изображению грани также методом засечек. Для построения на развёртке точки необходимо предварительно определить истинное расстояние её до вершины пирамиды, например методом вращения прямой . Затем на стороне основания развёртки отложить отрезок и на прямой найти точку

Развёртка поверхности вращения является чаще всего приближённой. Это объясняется тем, что при развёртке поверхности последнюю, как правило, аппроксимируют поверхностями вписанных или описанных многогранников. Поэтому при графическом выполнении развёртки приходится спрямлять кривые, принадлежащие поверхности, что ведёт к потере точности.

Пример 13 Построить развёртку поверхности прямого кругового конуса

В данном случае развёртка боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей  а центральный угол , где r– радиус основания. Для получения полной развёртки конуса необходимо достроить основание.

Пример 14 Построить развёртку боковой поверхности наклонного конуса с круговым основанием (Рис.8.16).

Окружность основания заменяем многоугольником со сторонами   и т.д., а коническую поверхность поверхностью пирамиды с треугольными гранями и т. д. В развёрнутом положении поверхность представляет собой совокупность этих треугольников.

Определив способом вращения длину отрезка – отрезок и длину отрезка – отрезок  строим треугольник по трём его сторонам (хорда), затем строим второй треугольник  для чего определяем способом вращения длину отрезка  отрезок  и берём хорду и т. д.

Соединив построенные точки и т. д. плавной кривой, получаем развёртку боковой поверхности наклонного конуса. Для получения полной развёртки поверхности конуса необходимо достроить его основание.

Пересечение линии с поверхностью

В общем случае для решения задачи по определению положения точек пересечения (встречи) линии с поверхностью необходимо выполнить ряд построений:

• заключить данную линию во вспомогательную поверхность ( плоскость);
• определить линии пересечения вспомогательной поверхности (плоскости) с заданной;
• отметить точки, в которых пересекаются полученные линии с заданной.

С целью упрощения записи целесообразно использовать символику, приведённую в таблице:

Пример 15 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I прямой призмы (Рис.8.17).

В соответствии с записанным ранее алгоритмом заключаем прямую MN в горизонтально проецирующую плоскость  Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает со следом и горизонтальной проекцией прямой. Далее отмечаем точки – горизонтальная проекция пересечения граней призмы с плоскостью . Фронтальные проекции точек расположены на соответствующих сторонах основания. Соединив фронтальные проекции точек прямыми, получаем фронтальную проекцию, линии пересечения граней с плоскостью , т.е.  Затем отмечаем точки К и L пересечения заданной прямой MN с полученными линиями  Горизонтальные проекции точек пересечения   и   расположены на горизонтальной проекции прямой  

Пример 16 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I наклонной призмы (Рис.8.18).

Решение начинаем с заключения прямой MN во фронтально – проецирующую плоскость Фронтальная проекция линии пересечения совпадает со следом поэтому сразу отмечаем точки пересечения фронтальных проекций рёбер призмы со следом  I наклонной призмы (Рис.8.18).

Горизонтальные проекции точек определяем на соответствующих горизонтальных проекциях рёбер  Соединяя точки прямыми , получаем горизонтальную проекцию линии пересечения граней призмы с плоскостью Отмечаем горизонтальные проекции и точек пересечения прямых с прямой По горизонтальным проекциям этих точек находим их фронтальные проекции  

Пример 17 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I пирамиды (Рис.8.19).

Заключаем прямую MN во фронтально -проецирующую плоскость Определим линию пересечения плоскости с гранями пирамиды. При этом её фронтальная проекция совпадает со следом  По фронтальным проекциям точек находим их горизонтальные проекции  Соединив точки прямыми, получаем горизонтальную проекцию линии пересечения плоскости с гранями пирамиды. Далее отмечаем точки и   в которых  и  По горизонтальным проекциям точек и   определяем их фронтальные проекции и лежащие на

Пример 18 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью  прямого кругового конуса (Рис.8.20).

Заключаем прямую MN в плоскость , проходящую через вершину S конической поверхности. Для этого через вершину S и произвольную точку проводим вспомогательную прямую SF. Таким образом, плоскость  задана пересекающимися прямыми MN и SF. Определяем горизонтальный след плоскости  предварительно найдя горизонтальные следы и прямых MN и SF. Отмечаем точки и   пересечения горизонтального следа с основанием конуса. Проводим горизонтальные проекции образующих  по которым боковая поверхность I конуса пересекается плоскостью . Точки находим как точки пересечения горизонтальных проекций

Фронтальные проекции   и   расположены на фронтальной проекции прямой

Пример 19 Определить точки пересечения прямой MN с поверхностью I наклонного цилиндра (Рис.8.21).

Заключаем прямую MN в плоскость , заданную двумя пересекающимися прямыми MN и FE. При этом прямую FE проводим параллельно оси цилиндра. Тогда плоскость пересечёт поверхность цилиндра по образующим. Построим горизонтальный след плоскости  предварительно определив горизонтальные следы и прямых MN и FE. Отмечаем точки и в которых плоскость пересекает нижнее основание цилиндра. Проводим горизонтальные проекции образующих, по которым цилиндрическая поверхность пересекается плоскостью . Горизонтальные проекции искомых точек пересечения К и L находим из условия  и  Их фронтальные проекции и   расположены на фронтальной проекции прямой

Взаимное пересечение поверхностей

Две поверхности пересекаются по линии, точки которой принадлежат одновременно обеим поверхностям. Способ построения линии пересечения двух поверхностей состоит в следующем:

• заданные поверхности пересекаются вспомогательной поверхностью (плоскостью), удобной для решения задачи;
• находят линии пересечения вспомогательной поверхности (плоскости) с каждой из данных;
• отмечают точки, в которых пересекаются полученные линии пересечения.

Повторив названные операции k раз, получим множество точек, образующих искомую линию пересечения двух поверхностей.

Рассмотрим примеры построения линии пересечения двух поверхностей.

Пример 20 Построить линию пересечения двух I и II, оси которых пересекаются под прямым углом (Рис.8.22).круговых цилиндров

Решение задачи начинаем с нахождения высших 1 и  низших 2 и передних 3 и , задних 4 и точек пересечения очерковых образующих цилиндров I и II. Проекции этих точек определяются как проекции пересечения соответствующих образующих. Для построения промежуточных точек введём две вспомогательные секущие плоскости и , параллельные фронтальной плоскости проекций . Плоскость пересекает поверхность цилиндра I по образующим 5 – 6 и  а поверхность цилиндра II – по образующим и  Плоскость пересекает поверхность I по образующим  и  а поверхность II – по образующим и Пересечение полученных проекций образующих определяет фронтальные проекции видимых точек 7 и 8 и невидимых точек 5 и 6. Соединяя точки и сплошной плавной линией, получаем фронтальную проекцию видимой части линии пересечения цилиндров I и II. Горизонтальная проекция линии пересечения поверхностей сливается с горизонтальной проекцией цилиндра I, а профильная проекция – с профильной проекцией цилиндра II.

Построение линии пересечения поверхностей многогранников может быть осуществлено двумя способами. По первому способу определяют точки, в которых рёбра одной поверхности пересекают грани другой и наоборот: рёбра второй поверхности пересекают грани первой. Затем через найденные точки в определённой последовательности проводят ломаную линию, представляющую собой линию пересечения данных поверхностей. Второй способ состоит в определении отрезков прямых, по которым греши одной поверхности пересекают грани другой. Эти отрезки являются звеньями ломаной линии, получаемой при пересечении заданных поверхностей между собой.

Пример 21 Построить линию пересечения прямой трёхгранной призмы I с трёхгранной пирамидой II (Рис.8.23).

При решении данной задачи применим первый способ нахождения линии пересечения. В нашем случае трёхгранная пирамида как бы «входит» в одну грань и «выходит» из другой грани. Для нахождения точек пересечения ребра SC пирамиды с гранями призмы заключаем его во вспомогательную горизонтально – проецирующую плоскость и находим линию пересечения этой плоскости с гранями призмы. Линии пересечения граней KFDL и DEML с плоскостью спроецируются на горизонтальную плоскость проекций в точке  лежащие на следе Фронтальные проекции точек расположены на фронтальной проекции прямой Аналогично находим точки 5, 6 и 3, 4 пересечения рёбер SA и SB с гранями призмы. Для получения искомой линии пересечения соединяем проекции точек прямыми, учитывая видимость отдельных отрезков. Таким образом, пирамида «входит» в грань призмы по треугольнику 2 – 4 – 6, а «выходит» из соответствующей грани по треугольнику 1 – 3 – 5.

Пример 22 Построить линию пересечения наклонной призмы I и пирамиды II (Рис.8.24).

Для определения точек пересечения рёбер пирамиды с гранями призмы заключаем рёбра во фронтально – проецирующие плоскости и  Находим точки 1 и 2 пересечения ребра SF с гранями призмы. Для этого определяем линию пересечения плоскости с поверхностью I. Так как фронтальная проекция этой линии пересечения совпадает со следом , то достаточно отметить точки  Горизонтальные проекции этих точек находим в проекционной связи на соответствующих рёбрах призмы.

Отмечаем точки   и пересечения полученной проекции линии пересечения с проекцией ребра пирамиды. Фронтальные проекции точек находим в проекционной связи на ребре пирамиды.

В такой же последовательности построены точки встречи рёбер SE и SD пирамиды с гранями призмы (точки 3, 4, 5 и 6).

С целью получения точек пересечения рёбер призмы с гранями пирамиды ребра призмы заключаем во фронтально – проецирующие плоскости и Построим проекции точек 7 и 8, в которых ребро пересекает грани пирамиды. Для этого:

– находим фронтальные проекции   точек пересечения рёбер пирамиды с плоскостью Горизонтальные проекции этих точек расположены на горизонтальных проекциях соответствующих рёбер пирамиды;

–  отмечаем точки и  , в которых горизонтальная проекция линии пересечения и II пересекается с горизонтальной проекцией ребра  Фронтальные проекции точек и   находим на фронтальной проекции ребра.

Проведя аналогичные построения для рёбер и призмы убеждаемся в том, что они не пересекаются с гранями пирамиды.

Соединяем полученные точки пересечения. При этом необходимо учитывать следующее обстоятельство. Так как каждое звено искомой пространственной ломаной является линией пересечения граней двух различных многогранников, то соединять прямыми можно лишь точки, которые одновременно принадлежат одним и тем же граням пересекающимся многогранников. Таким образом на Рис 8.22 построены замкнутые ломаные 2-8-4-6-7-2 и 1-3-5-1. При этом точки 2 и 8 первой ломаной соединены потому, что они лежат в общих для них гранях SEF пирамиды призмы. Точки 8 и 4, лежащие в общих для них гранях SEF и определяют следующее звено этой ломаной и т. д.

Отметим видимость звеньев построенной ломаной. При этом видимым будет звено, по которому пересекаются две видимые грани. Если хотя бы одна из граней невидима, то и звено искомой линии, расположенное на этой грани, будет невидимым. Поэтому звено  2-8 показано видимым, а звено 8-4 невидимым.

Пример 23 Построить линию пересечения поверхности I правильной призмы с поверхностью II кругового цилиндра (Рис.8.25).

Построения начинаем с нахождения точек   пересечения проекций рёбер призмы с крайней верхней образующей цилиндра. В проекционной связи находим горизонтальные и фронтальные  проекции этих точек.

Затем определяем точки   и пересечения проекции ребер призмы с поверхностью II цилиндра. В проекционный связи находим горизонтальные и фронтальные проекции этих точек. Для построения дополнительных точек, принадлежащих линии пересечения поверхностей I и II, вводим вспомогательные секущие плоскости и  Эти плоскости пересекают поверхность II цилиндра по образующим 5 – 6 и 7 – 8, а поверхность I призмы – по прямым, параллельным рёбрам призмы. Горизонтальные проекции точек совпадают с горизонтальными проекциями боковых граней призмы, а профильные проекции – с профильной проекцией цилиндра. Фронтальные проекции  точек находим в проекционной связи с горизонтальными и профильными проекциями.

Найденные фронтальные проекции соединяем плавными кривыми, которые являются фронтальными проекциями видимой части линии пересечения поверхностей призмы и цилиндра. Горизонтальная проекция линии пересечения совпадает с горизонтальной проекцией призмы, а профильная – с профильной проекцией цилиндра.

Геометрические тела – призма и пирамида

Многогранником называют геометрическое тело, поверхность которого ограничена плоскостями (гранями). Многогранник называют четырех-, пяти-, шестигранником и т. д. по количеству граней (включая основания), образующих его поверхность. На чертеже многогранник задают проекциями его граней и ребер (ребро – линия пересечения граней).

Рассмотрим призму и пирамиду – геометрические многогранники (тела), которые часто применяются при формообразовании различных деталей. Основанием призмы и пирамиды может быть любой многоугольник, по количеству сторон которого призму и пирамиду называют треугольной, четырехугольной и т. д. Такое название более соответствует изображению этих многогранников на чертеже, по которому определяется многоугольник основания, что позволяет создать в воображении соответствующий пространственный образ.

Призма как геометрическое тело имеет два параллельных основания, боковые грани и параллельные ребра. Призму называют правильной, если ее основаниями являются правильные многоугольники, вписанные в окружность. Призму называют прямой, если ее ребра перпендикулярны основанию, и наклонной, если ребра не перпендикулярны основанию.

Пирамида как геометрическое тело имеет одно основание и вершину, объединяющую все ее ребра. Пирамиду называют правильной, если ее основанием является правильный многоугольник, вписанный в окружность, а высота пирамиды проходит через центр этой окружности (то есть пирамида прямая).

Пирамида может быть наклонной, если основание высоты не лежит в центре окружности, в которую вписан многоугольник основания пирамиды. Пирамида со срезанной вершиной имеет два основания и называется усеченной.

Построение проекций прямой правильной призмы

На рис. 7.1 показан пример построения проекций (очерков) прямой правильной призмы высотой Н с треугольником в основании, вписанном в окружность заданного диаметра; основания призмы параллельны горизонтальной плоскости проекций Н.

Для построения проекций призмы требуется выполнить графоаналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию призмы по заданному основанию, которая представляет собой треугольник с обозначенными вершинами А’, В’ и С’, вписанный в окружность заданного диаметра .

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции призмы:

2.1. Плоскость треугольника A’B’C’ – это горизонтальные натуральные проекции совпадающих параллельных оснований призмы, которые являются горизонтальными плоскостями уровня (//H).

2.2. Боковые стороны A’B’, B’C’ и C’A’ треугольника A’B’C’ – это горизонтальные проекции боковых граней призмы, которые спроецировались (выродились) в отрезки прямых линий, так как:

• – задняя грань АВ – фронтальная плоскость (//V);
• – передние грани ВС и СА – горизонтально-проецирующие плоскости (H).

2.3. Вершины А’, В’ и С’ треугольника А’В’С’ – это горизонтальные проекции ребер, которые спроецировались (выродились) в точки, так как являются горизонтально-проецирующими прямыми ( H).

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) призмы, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

• – по заданной высоте h горизонтальными отрезками A”B”C”– проекциями оснований (//H);
• – слева – проекцией A” ребра А, построенного по вертикальной линии связи;
• – справа – проекцией B” ребра B;
• – фронтальная проекция C” ребра C – вертикальный отрезок, совпадающий с осью симметрии фронтальной проекции призмы.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной фронтальной проекции призмы:

4.1. Прямоугольники A”C”C”A” и C”B”B”C” – искаженные проекции передних видимых боковых граней призмы.

4.2. Прямоугольник A”B”B”A” – натуральная величина невидимой задней грани призмы.

5-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) призмы:

5.1. Задать на горизонтальной проекции призмы положение базовой линии, проходящей через заднюю грань АВ(А’В’), относительно которой, как от базы отсчета (б.о.), можно определить координату y для любой точки на поверхности призмы.

5.2. На поле чертежа справа от фронтальной проекции выбрать положение базовой оси z, относительно которой, как от базы отсчета (б.о.), можно построить по координатам y профильные проекции любой точки на поверхности призмы.

5.3. Профильная проекция призмы представляет собой прямоугольник, ограниченный:

• – по высоте H горизонтальными отрезками – проекциями оснований;
• – слева – вертикальным отрезком совпадающих проекций A”‘ и B”‘ ребер A и B, расположенным на выбранной базовой оси z;
• – справа – вертикальной линией С”‘ ребра C, построенного по координате y_c.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы.

6.1. Совпадающие прямоугольники A'”C'”C'”B'” и B'”C'”C'”B'” – искаженные проекции передних боковых граней призмы AC и BC.

6.2. Отрезок A'”-A'” (B'”-B'”) слева – вырожденная проекция задней грани призмы AB.

Построение горизонтальных и профильных проекций точек, лежащих на поверхности призмы

Принадлежность точек поверхности призмы определяется их принадлежностью ребрам и граням этой призмы.

На рис. 7.1 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек D, E, G и K, лежащих на боковой поверхности призмы и заданных фронтальными проекциями:

– горизонтальные проекции D’ и F’ точек D и F, лежащих на ребрах A и C совпадают с горизонтальными проекциями этих ребер – точками А(А’) и С(С’);

• – горизонтальные проекции G’ и K’ точек G и K, лежащих на гранях АС и ВС, определяются соответственно на сторонах A’ C’ и B’C’ треугольника A’B’C’, которые являются вырожденными проекциями этих граней;
• – профильные проекции точек D и E построены по их принадлежности ребрам призмы A и С: D”‘ лежит на A”‘; E”‘ лежит на C”‘;
• – профильные проекции точек G и K построены по координатам “y”: G”‘ – определяется координатой y_G; K”‘ – определяется координатой y_K и на профильной проекции невидима, поскольку лежит на невидимой грани BC (взята в скобки).

!!! Запомните характерные признаки очерков призмы на чертеже – два прямоугольника и многоугольник основания.

Построение проекций правильной пирамиды

На рис. 7.2 показан пример построения проекций правильной пирамиды высотой Н с треугольником в основании, вписанном в окружность заданного диаметра ; основание пирамиды параллельно горизонтальной плоскости проекций Н.

Для построения проекций пирамиды требуется выполнить графоаналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию пирамиды по заданному основанию, которая представляет собой треугольник, вписанный в окружность заданного диаметра , с обозначенными вершинами А’, В’ и С’; горизонтальная проекция S’ вершины пирамиды совпадает с центром этой окружности; ребра пирамиды – видимые отрезки S’A’, S’B’ и S’C’, соединяющие вершины основания с вершиной пирамиды.

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды:

2.1. Плоскость треугольника А’В’С’ – горизонтальная невидимая натуральная проекция основания пирамиды, которая является горизонтальной плоскостью уровня (//H).

2.2. Треугольники A’S’C’, A’S’B’ и B’S’C’ – горизонтальные искаженные проекции боковых граней пирамиды.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию пирамиды, которая представляет собой треугольник, ограниченный:

• – снизу – горизонтальным отрезком A”B” – проекцией основания пирамиды (//H);
• – по заданной высоте пирамиды Н – вершиной S(S”);
• – слева – проекцией ребра SA(S”A”) (прямая общего положения);
• – справа – проекцией ребра SB(S”B”) (прямая общего положения).

Фронтальная проекция ребра SC(S”C”) (профильная прямая) совпадает с осью симметрии фронтальной проекции пирамиды.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной фронтальной проекции пирамиды:

4.1. Треугольники S”A”C” и S”C”B” – искаженные видимые проекции боковых передних граней пирамиды.

4.2. Треугольник S”A”B” – искаженная невидимая проекция задней невидимой грани пирамиды.

5-е действие. Построить профильную проекцию пирамиды:

5.1. Задать на горизонтальной проекции пирамиды базовую линию на стороне А’В’ основания, относительно которой, как базы отсчета (б.о.), можно определить координату y для любой точки на поверхности пирамиды.

5.2. На поле чертежа справа от фронтальной проекции выбрать положение базовой оси Z, относительно которой, как базы отсчета (б.о.), можно построить по координатам y профильные проекции любой точки на поверхности пирамиды.

5.3. Профильная проекция пирамиды представляет собой треугольник с вершинами A”‘(≡B”‘), S”‘ и C”‘:

• – точки А и В основания лежат на базовой линии, поэтому их профильные A”‘ и B”‘ проекции совпадают с выбранной базовой осью Z;
• – вершину пирамиды S”‘ построить по координате Y_s на горизонтальной линии связи;
• – точку основания С”‘ построить по координате Y_c.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды:

6.1. Совпадающие треугольники S'”A'”C'” (видимый) и S'”B'”C'” (невидимый) – искаженные проекции передних боковых граней пирамиды (плоскости общего положения).

6.2. Отрезок S'”A'”(≡S'”B”‘) – вырожденная проекция задней грани пирамиды (профильно-проецирующая плоскость).

Построение проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды

На рис. 7.2 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек M, N, P и K, лежащих на поверхности пирамиды и заданных фронтальными проекциями M”, N”, P” и K”.

1. Построение горизонтальных проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды:

• – горизонтальная проекция M’ точки М, лежащей на ребре пирамиды SA, определяется на горизонтальной проекции S’A’ этого ребра;
• – горизонтальные проекции точек N, P и K построены на вспомогательных прямых, проведенных через их заданные фронтальные проекции N”, P” и K” параллельно основанию пирамиды.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на гранях пирамиды (на примере заданной точки P(P”)), действия которого определяются теоремами о принадлежности точки и прямой плоскости.

Графический алгоритм:

1-е действие. Провести через точку P(P”) на поверхности пирамиды вспомогательную линию d(d”), параллельную основанию пирамиды, которая пересекает ребро SA(S”A”) по вспомогательной точке 1(1″).

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию точки 1(1′) по ее принадлежности ребру SA(S’A’).

3-е действие. Через построенную точку 1(1′) провести горизонтальную проекцию d(d’) вспомогательной линии параллельно стороне A’C’ основания пирамиды.

4-е действие. Построить по линии связи горизонтальную проекцию P’ точки Р по ее принадлежности вспомогательной линии d(d’).

Повторить действия графического алгоритма и построить аналогично горизонтальные проекции N’ и K’ точек N и K.

Проекции точек на поверхности пирамиды можно строить также с помощью вспомогательных прямых, проходящих через ее вершину. Смотри построение проекции точки K(K’) с помощью вспомогательной прямой m(m”,m’) (рис. 7.2).

2. Построение профильных проекций точек, лежащих на поверхности пирамиды:

• – профильные проекции заданных точек M и N построены по их принадлежности ребрам пирамиды:
• – M”‘ – по принадлежности ребру SA(S”‘A”‘);
• – N”‘ – по принадлежности ребру SC(S”‘C”‘);
• – профильные проекции точек Р и К построены по координатам y: P”‘ – определяется координатой y_P; К”‘ – определяется координатой y_K (на профильной проекции K”” невидима, так как лежит на невидимой грани SBC (взята в скобки).

!!! Запомните характерные признаки очерков пирамиды на чертеже – два треугольника и многоугольник основания. Для усеченной пирамиды – две трапеции и многоугольник основания!

Построение проекций призмы и пирамиды со срезами плоскостями частного положения

Любая плоскость пересекает поверхность призмы и пирамиды по замкнутым ломаным линиям, вершины которых лежат в точках пересечения ребер, граней и оснований многогранника с плоскостями срезов.

Следовательно, построение срезов на проекциях гранных поверхностей сводится к построению проекций точек, лежащих на поверхности призмы или пирамиды.

Построение проекций призмы со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.3 показан пример построения проекций прямой правильной треугольной призмы высотой H со срезами, выполненными плоскостями частного положения – фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β. Для упрощения графических описаний взята призма без срезов из предыдущего примера (см. рис. 7.1), горизонтальная, фронтальная и профильная проекции которой уже построены.

Для построения проекций призмы со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить тонкими линиями на поле чертежа горизонтальную, фронтальную и профильную проекции заданной прямой правильной треугольной призмы без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции срезы плоскостями частного положения по заданному условию: фронтально-проецирующей плоскостью α(α_V) и профильной плоскостью β(β_V).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции призмы характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами, гранями и основанием призмы:

• – точки 1(1″) и 2(2″) – лежат на ребрах призмы А(A”) и С(C”);
• – совпадающие точки 3(3″) и 4(4″) – лежат на гранях призмы и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей срезов α и β;
• – совпадающие точки 5(5″) и 6(6″) – лежат на верхнем основании призмы и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости β с верхним основанием призмы.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию призмы со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза α определяет четырехугольник 1′-2′-3′-4′:

• – точка 1(1′) лежит на ребре А(A’);
• – точка 2(2′) лежит на ребре С(C’);
• – совпадающие точки 3(3′) и 5(5′) лежат на передней грани СВ(C’B’);
• – совпадающие точки 4(4′) и 6(6′) лежат на задней грани АВ(А’В’).

Четырехугольник 1′-2′-3′-4′ – искаженная по величине видимая горизонтальная проекция фронтально-проецирующей плоскости среза α.

3.2. Плоскость среза β определяет совпадающие проекции отрезков 5′-6′ и 3′-4′:

• – отрезок 5′-6′(3′-4′) – горизонтальная, вырожденная в линию, видимая проекция профильной плоскости среза β (проекция прямоугольника).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура:

4.1. Горизонтальный очерк определяет треугольник АВС(А’В’С’).

4.2. Внутренний контур определяет видимый отрезок 5′-6′(3′-4′).

5-е действие. Достроить профильную проекцию призмы, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Плоскость среза α определяет видимый и искаженный по величине четырехугольник 1″‘-2″‘-3″‘-4″‘ :

• – точка 1(1″‘) – лежит на ребре А(A”‘);
• – точка 2(2″‘) – лежит на ребре С(C”‘);
• – точка 3(3″‘) – построена по координате y₃;
• – точка 4(4″‘) – лежит на задней грани АВ(А'”В'”), которая спроецировалась в прямую.

5.2. Плоскость среза β определяет видимая натуральная проекция прямоугольника 3″‘-4″‘-6″‘-5″‘:

• – точки 3(3″‘) и 4(4″‘) – уже построены, так как линия пересечения плоскостей среза 3-4 принадлежит плоскости α и плоскости β;
• – точка 6(6″‘) – лежит на задней грани АВ;
• – точка 5(5″‘) – построена по координате y₅(≡y₃).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции призмы для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

• – слева – профильная проекция ребра В(B”‘), совпадающая с проекцией грани АВ(А”‘B”‘);
• – справа – участок C”‘2″‘ ребра С и ломаная линия 2″‘-3″‘-5″;
• – снизу – отрезок А”‘(B”‘) – C”‘ нижнего основания призмы;
• – сверху – отрезок 5″‘-6″‘ – линия пересечения плоскости β с верхним основанием призмы (участок основания).

6.2. Внутренний контур определяют видимые отрезки 1″‘-2″‘ и 3″‘-4″‘.

7-е действие. Оформить чертеж призмы, обведя сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (оставить на чертеже тонкими сплошными линиями очерки проекции призмы без срезов и линии построения).

Построение проекций пирамиды со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.4 показан пример построения проекций правильной треугольной пирамиды со срезами, выполненными плоскостями частного положения: фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β. Для упрощения графических описаний взята пирамида без срезов из предыдущего примера (см. рис. 7.2), фронтальная, горизонтальная и профильная проекции которой уже построены.

Для построения проекций пирамиды со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

1-е действие. Построить тонкими линиями на поле чертежа горизонтальную, фронтальную и профильную проекции заданной правильной треугольной пирамиды без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(α_V) и профильной плоскостью β(β_V).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с ребрами и гранями пирамиды:

• – точка 1(1″) – на ребре SА(S”A”);
• – точка 2(2″) – на ребре SС(S”C”);
• – совпадающие точки 3(3″) и 4(4″) – на гранях SАВ(S”A”B”) и SВC(S”B”C”) определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей срезов α и β;
• – точка 5(5″) – на ребре SВ(S”B”).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию пирамиды со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Плоскость среза α определяет четырехугольник 1-2′ -3′-4′:

• – точка 1(1′) – на ребре SА(S’A’);
• – точка 2(2′) – на ребре SC(S’C’) (построена на вспомогательной линии m//AC), см. рис. 7.4);
• – точки 3(3′) и 4(4′) лежат на гранях пирамиды и построены с помощью вспомогательной линии n //BC;
• – четырехугольник 1′-2′-3′-4′ – горизонтальная, искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскости α.

3.2. Плоскость среза β определяет отрезок 3′-5′-4′ – вырожденная в видимую линию горизонтальная проекция профильной плоскости β:

• – точка 5(5′) – на ребре SВ(S’B’);
• – точки 3(3′) и 4(4′) – построены.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяет треугольник A’B’C’ основания пирамиды.

4.2. Внутренний контур определяют:

• – видимый отрезок A’1′ – участок ребра SA;
• – видимый отрезок B’5′ – участок ребра SB;
• – видимый отрезок C’2′ – участок ребра SC;
• – видимый четырехугольник 1′-2′-3′-4′.

5-е действие. Достроить профильную проекцию пирамиды, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет видимый четырехугольник 1′”-2″‘-3″‘-4″‘:

• – точка 1(1″‘) – лежит на ребре SA(S”‘A'”);
• – точка 2(2″‘) – лежит на ребре SC(S”‘C”‘);
• – точка 3(3″‘) – построена по координате Y₃;
• – точка 4(4″‘) – лежит на задней грани SAB(S'”A”‘B”‘), вырожденной в линию;
• – четырехугольник 1″‘-2″‘-3″‘-4″‘ – искаженная по величине видимая проекция фронтально-проецирующей плоскостью α.

5.2. Плоскость среза β определяет видимая натуральная проекция треугольника 3″‘-4″‘-5″‘:

• – точки 3(3″‘) и 4(4′”) – уже построены (отрезок 3-4 – линия пересечения плоскостей среза α и β);
• – точка 5(5″‘) – лежит на ребре SB(S”‘B”‘);
• – отрезок 3″‘-5″‘//S”‘C”‘.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции пирамиды со срезами для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

• – слева – отрезок B”‘5″‘ – участок ребра S”‘B”‘;
• – справа – отрезок C”‘2″‘ – участок ребра S”‘C”‘ и ломаная линия 2′”-3″‘-5″;
• – снизу – горизонтальная линия проекции основания ABC(A”‘B”‘C”‘).

6.2. Внутренний контур определяют:

• – видимый отрезок 1″‘-2′”;
• – видимый отрезок 3″‘-4′” (линия пересечения плоскостей α и β).

7-е действие. Оформить чертеж пирамиды, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура каждой ее проекции (тонкими линиями оставить на чертеже очерки проекции пирамиды без срезов и вспомогательные линии построения).

Поверхности вращения

Поверхностью вращения называют поверхность, образованную вращением некоторой линии (образующей поверхности) вокруг неподвижной прямой, называемой осью вращения. При этом образующая, вращаясь вокруг оси вращения, может пересекать окружность, называемую направляющей поверхности. Образующей поверхности вращения может быть кривая или прямая линия. Поверхность вращения называют линейчатой, если ее образующей является прямая линия, и криволинейной, если образующая – кривая линия.

На рис. 7.5 показана поверхность вращения общего вида, образующая которой (кривая линия) вращается вокруг горизонтально-проецирующей оси i. Все точки образующей вращаются вокруг оси i по окружностям соответствующего радиуса, которые называют параллелями поверхности. На фронтальную и профильную проекции поверхности эти параллели проецируются в прямые линии, перпендикулярные оси вращения. На горизонтальную проекцию параллели проецируются в виде окружностей. Некоторые параллели имеют определенные общепринятые наименования:

• – горло поверхности – параллель наименьшего (минимального) радиуса; 
• – экватор – параллель наибольшего (максимального) радиуса.

Проекции поверхности вращения:

• – горизонтальная проекция, то есть ее горизонтальный очерк, определяется окружностью экватора k(k’);
• – фронтальная проекция, то есть ее фронтальный очерк, образуется замкнутой линией главного фронтального меридиана m(m”), полученного при пересечении этой поверхности фронтальной плоскостью уровня α(α_H), проходящей через ось вращения i;
• – профильная проекция, то есть ее профильный очерк, образуется замкнутой линией главного профильного меридиана n(n”‘), полученного при пересечении этой поверхности профильной плоскостью уровня β(β_H), проходящей через ось вращения i.

Построение проекций точек на поверхности вращения

Принадлежность точки поверхности вращения определяется ее принадлежностью параллели, по которой точка вращается вокруг оси вращения.

Проекции точек, лежащих на экваторе или на главных фронтальном и профильном меридианах поверхности, строятся по их принадлежности этим характерным линиям.

На рис. 7.5 показан пример построения невидимой фронтальной проекции характерной точки B (B’;B”-?), лежащей на экваторе k, по ее заданной горизонтальной проекции B (B’) и построение профильной проекции характерной точки C(C”;C”‘-?), лежащей на главном профильном меридиане “n”, по ее заданной фронтальной проекции.

Для построения проекций точки A(A”; A”-?; A”‘-?), заданной своей фронтальной проекцией и не лежащей на характерных линиях поверхности, требуется выполнить следующий графический алгоритм:

1-е действие. Провести через заданную фронтальную проекцию точки A(A”) параллель, которая имеет радиус R_A.

2-е действие. Провести на горизонтальной проекции поверхности окружность-параллель радиусом R_A.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную видимую проекцию точки A(A’) по ее принадлежности построенной параллели радиусом R_A.

4-е действие. Построить профильную проекцию точки A(A”‘) на горизонтальной линии связи по координате Y_A (лежит на невидимой части поверхности, проекция взята в скобки).

Видимость точек на проекциях поверхности вращения

На рис. 7.5 показаны границы видимости поверхности для каждой проекции по направлению взгляда на плоскости проекций H, V и W.

Видимость точек на проекциях поверхности определяется этими границами, то есть видимостью части поверхности на каждой проекции: если часть поверхности является по направлению взгляда на соответствующую плоскость проекций видимой, то точка на этой проекции будет также видимой.

На рис. 7.5 видно, что горизонтальная проекция B’ заданной точки B, лежащей на экваторе, расположена на невидимой части поверхности при взгляде на фронтальную плоскость проекций V. Следовательно, ее фронтальная проекция B” лежит на экваторе, но будет невидимой (проекция взята в скобки). Профильная проекция B”‘ точки будет видимой, так как точка лежит на видимой для профильной проекции части поверхности (см. взгляд по стрелке на плоскость W). Поскольку заданная фронтальная проекция точки C, лежащей на фронтальной проекции n(n”) главного профильного меридиана, не взята в скобки, значит, она лежит на видимой для фронтальной проекции части поверхности и профильная проекция точки C(C”‘) должна лежать на профильной проекции главного меридиана n(n”‘) справа от оси вращения. Горизонтальная же проекция точки С (на рисунке не построена) по направлению взгляда на горизонтальную плоскость проекций H будет невидима, так как расположена под экватором. Соответственно профильная проекция точки A(A”‘) будет невидимой, так как лежит на невидимой для профильной проекции части поверхности.

!!! К поверхностям вращения относятся две линейчатые поверхности с прямолинейными образующими – цилиндр и конус, а также поверхности с криволинейными образующими – сфера (образующая – окружность), эллипсоид (образующая – эллипс), одно- и двуполостные гиперболоиды (гипербола), параболоид (парабола), торовые (окружность). Все перечисленные виды поверхностей вращения, кроме торовых, являются поверхностями второго порядка (по порядку образующей или направляющей).

Торовые поверхности вращения относятся к поверхностям четвертого порядка (по произведению порядков двух окружностей – образующей и направляющей).

Геометрические тела – цилиндр конус

Цилиндрическая поверхность вращения – прямой круговой цилиндр

Цилиндрическая поверхность вращения – это линейчатая поверхность, образованная параллельным перемещением прямолинейной образующей вокруг оси вращения, которая пересекает криволинейную направляющую окружность. Геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью вращения (боковой поверхностью) и двумя параллельными секущими плоскостями (основаниями), перпендикулярными оси вращения, называют цилиндром.

Цилиндр называют круговым, поскольку направляющей является окружность, перпендикулярная оси цилиндра.

Цилиндр называют прямым, если ось вращения цилиндра перпендикулярна его основаниям.

Прямой круговой цилиндр по положению относительно плоскостей проекций называют проецирующим, если его боковая поверхность (или ось вращения) перпендикулярна какой-либо плоскости проекций:

• – горизонтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций ( H);
• – фронтально-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна фронтальной плоскости проекций ( V);
• – профильно-проецирующим, если боковая поверхность перпендикулярна профильной плоскости проекций ( W).

Построение проекций прямого кругового цилиндра 

На рис. 7.6 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра заданной высоты Н с горизонтальными основаниями заданного радиуса R.

Для построения проекций цилиндра требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке.

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию (очерк) цилиндра по заданному условию, которая представляет собой окружность заданного радиуса R.

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции цилиндра.

2.1. Окружность является горизонтальной проекцией боковой поверхности, так как образующие этого цилиндра – горизонтально-проецирующие прямые.

2.2. Круг заданного радиуса R – совпадающие горизонтальные проекции оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня.

2.3. Обозначить вырожденные в точки проекции характерных образующих цилиндра A(A’), B(B’), C(C’) и D(D’), которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций цилиндра.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) цилиндра, которая представляет собой прямоугольник, ограниченный:

• – слева и справа вертикальными отрезками – характерными очерковыми образующими A(A”) и B(B”);
• – по заданной высоте H – горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований цилиндра, лежащих в горизонтальных плоскостях уровня;
• – фронтальные проекции характерных образующих C(C”) и D(D”) совпадают с осью вращения цилиндра i(i”).

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) цилиндра.

4.1. Задать на окружности горизонтальной проекции цилиндра положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности, то есть проходящей через ось вращения i(i’).

4.2. Выбрать положение базовой оси z (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью i(i”‘) вращения на профильной проекции цилиндра.

4.3. Профильная проекция цилиндра представляет собой прямоугольник, ограниченный:

• – слева и справа вертикальными отрезками – характерными очерковыми образующими C(C”‘) и D(D”‘), построенными по координате y_D = y_c = R;
• – по заданной высоте H – горизонтальными отрезками, которые являются проекциями оснований;
• – профильные проекции характерных образующих A(A”‘) и B(B”‘) совпадают с осью вращения цилиндра i(i”‘).

!!! Запомните характерные признаки очерков прямого кругового цилиндра на чертеже – окружность и два прямоугольника.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности цилиндра

Принадлежность точки поверхности цилиндра определяется ее принадлежностью образующей этого цилиндра.

На рис. 7.6 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E, F, G и K, лежащих на образующих боковой поверхности цилиндра, по их заданным фронтальным проекциям:

Горизонтальные проекции E’, F’, G’ и K’ заданных точек лежат на окружности радиуса R, которая является проекцией его боковой поверхности.

Профильные проекции точек строятся по их принадлежности образующим цилиндра:

• – точка E(E'”) – лежит на характерной образующей A(A”‘) – видимая;
• – две точки F(F”‘) – лежат на характерных образующих D(D”‘) и C(C”‘);
• – точка G(G”‘) – построена по координате y_G, так как лежит не на характерной образующей (видимая);
• – точка K(K”‘) – построена по координате y_K (невидимая).

Цилиндрические сечения:

1. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по образующим, если она расположена параллельно оси вращения цилиндра (см. плоскость α на рис. 7.7).
2. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по эллипсу, если она расположена к оси вращения цилиндра под углом φ, отличным от прямого (см. плоскость β(β_V) на рис. 7.7).
3. Плоскость пересекает поверхность цилиндра по окружности, если она перпендикулярна оси вращения цилиндра (окружности оснований).

Построение проекций цилиндра со срезами плоскостями частного положения.

На рис. 7.7 показан пример построения проекций прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра со срезами профильной плоскостью α и фронтально-проецирующей плоскостью β.

Для построения проекций цилиндра со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному диаметру и заданной высоте горизонтальную, фронтальную и профильную проекции прямого кругового горизонтально-проецирующего цилиндра без срезов, а затем выполнить на ее фронтальной проекции заданные по условию срезы профильной плоскостью α(α_V) и фронтально-проецирующей плоскостью β(β_V).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основаниями цилиндра и выполнить графический анализ сечений.

2.1. Профильная плоскость α(α_V), проекцией которой является вертикальный отрезок, расположена параллельно оси цилиндра и пересекает его поверхность по прямоугольнику 1-2-2-1(1″-2″-2″-1″):

• – точки 1(1″) – лежат на нижнем основании цилиндра и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза α с основанием цилиндра;
• – точки 2(2″) – определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскостей среза α и β.

2.2. Фронтально-проецирующая плоскость β(β_V), проекцией которой является наклонный отрезок, расположена к оси цилиндра под углом, отличным от прямого, и пересекает его поверхность по неполному эллипсу 2-3-4(2″-3″-4″):

• – точки 3(3″) – лежат на характерных образующих D(D”) и C(C”);
• – точки 4(4″) – лежат на верхнем основании и определяют вырожденную в точку проекцию фронтально-проецирующей линии пересечения плоскости среза β с верхним основанием цилиндра.

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию цилиндра со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Плоскость среза α определяет видимый отрезок 2′-2′ вырожденной в линию проекции профильной плоскости β, обозначенные точки которой лежат на окружности боковой поверхности цилиндра.

3.2. Плоскость среза β определяет искаженный по величине неполный видимый эллипс 2-3-4(2′-3′-4′), обозначенные точки которого совпадают с окружностью боковой поверхности цилиндра.

!!! Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию относительно базовой оси (б.о.), точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции для определения ее очерка и внутреннего контур.

4.1. Горизонтальный очерк определяет часть окружности основания и отрезок 2′-2′. 4.2. Внутренний контур определяется видимым отрезком 4′-4′.

5-е действие. Достроить профильную проекцию цилиндра со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет:

• – видимая натуральная проекция прямоугольника 1″‘-2″‘-2″‘-1″‘:
• – образующие 1-2(1″‘-2″‘) – построены по координате y₁= y₂;
• – отрезок 1-1(1″‘-2″‘) – совпадает с проекцией нижнего основания цилиндра;
• – отрезок 2-2(2″‘-2″‘) – профильная проекция линии пересечения плоскостей срезов α и β.

5.2. Плоскость среза β определяет искаженная по величине видимая проекция неполного эллипса 2″‘-3″‘-4′”, ограниченная видимыми линиями пересечения плоскостей среза 2″‘-2″‘ (построена) и линией 4″‘-4″‘ пересечения плоскости среза β с верхним основанием цилиндра:

• – точки 2(2″‘) – построены;
• – точки 3(3″‘) – лежат на характерных образующих C(C”‘) и D(D”‘);
• – точки 4(4″‘) – построены по координате y₄;
• – необозначенные промежуточные точки построены по координате y.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции цилиндра для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

• – слева и справа – участки C”‘-3″‘ и D”‘-3″‘ очерковых образующих С и D и участки 3″‘-4″‘ эллипса; – снизу – проекция нижнего основания цилиндра;
• – сверху – отрезок 4″‘-4″‘ – профильная проекция линии пересечения верхнего основания с плоскостью среза β.

6.2. Внутренний контур определяют:

• – видимые участки эллипса 2″‘-3″‘;
• – отрезок 2″‘-2″‘ – видимая линия пересечения плоскостей среза α и β;
• – видимые участки 1″‘-2″‘ образующих, по которым плоскость среза α пересекает поверхность цилиндра.

7-е действие. Оформить чертеж цилиндра, выполнив сплошными толстыми линиями очерки и видимые линии внутреннего контура всех проекций цилиндра (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

На рис. 7.8 показан частный случай сечения цилиндра фронтально-проецирующей плоскостью δ(δ_V), расположенной к его оси под углом φ = 45°. В этом случае на профильную проекцию цилиндра эллипс, полученный в сечении, проецируется в виде окружности!

Коническая поверхность вращения – прямой круговой конус

Коническая поверхность вращения – это линейчатая поверхность, образованная вращением прямолинейной образующей, которая пересекает криволинейную направляющую (окружность) и проходит через неподвижную точку оси вращения, называемую вершиной.

Конусом называют геометрическое тело, ограниченное конической поверхностью и плоскостью основания, пересекающего все его образующие.

Конус называют прямым, если ось вращения перпендикулярна его основанию. Конус называют круговым, так как направляющей является окружность. Конус с двумя параллельными основаниями, то есть конус со срезанной вершиной, называют усеченным.

Построение проекций прямого кругового конуса

На рис. 7.9 показан пример построения проекций прямого кругового конуса с горизонтально-проецирующей осью вращения i, заданной высотой H и основанием радиусом R.

Для построения проекций конуса требуется выполнить графо-аналитические действия в следующем порядке:

1-е действие. Построить горизонтальную проекцию очерка прямого кругового конуса по заданному условию, которая представляет собой окружность заданного радиуса R с вершиной S(S’), совпадающей с осью вращения i(i’).

2-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса.

2.1. Круг радиуса R является невидимой проекцией основания конуса.

2.2. Круг радиуса R с вершиной конуса S(S’) является видимой проекцией боковой поверхности конуса.

2.3. Обозначить на горизонтальной проекции характерные образующие конуса SA(S’A’), SB(S’B’), SC(S’C’) и SD(S’D’), которые будут определять очерки фронтальной и профильной проекций конуса.

3-е действие. Построить фронтальную проекцию (очерк) конуса, которая представляет собой треугольник SAB(S”A”B”) заданной высоты H, ограниченный:

• – слева и справа проекциями боковых очерковых образующих S”A” и S”B”;
• – горизонтальным отрезком AB(A”B”), который является проекцией основания конуса;

Фронтальные проекции характерных образующих SC(S”C”) и SD(S”D”) совпадают с осью конуса i(i”).

4-е действие. Построить профильную проекцию (очерк) конуса:

4.1. Задать на окружности горизонтальной проекции конуса положение базовой линии (б.о.), совпадающей с горизонтальной линией оси этой окружности.

4.2. Выбрать положение базовой оси Z (б.о.), которая будет совпадать с вертикальной осью i(i”‘) вращения на профильной проекции конуса.

4.3. Профильная проекция конуса представляет собой треугольник SCD(S”‘C”‘D”‘), ограниченный:

• – слева и справа очерковыми образующими S”‘C”‘ и S”‘D”‘, построенными по координате Y_C=Y_D=R;
• – вершиной S”‘, лежащей на базовой оси Z;
• – горизонтальным отрезком – проекцией основания;
• – профильные проекции характерных образующих SA(S”‘A'”) и SB(S'”B'”) совпадают с осью вращения конуса i(i”‘).

!!! Запомните характерные признаки очерков прямого кругового конуса на чертеже – окружность основания и два треугольника.

!!! Характерные признаки очерков прямого кругового усеченного конуса – окружность основания и две равнобокие трапеции.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности конуса

Принадлежность точки поверхности конуса определяется ее принадлежностью образующей поверхности и принадлежностью круговым параллелям (окружностям), по которой точка вращается вокруг оси конуса. Следовательно, проекции точки можно строить либо по принадлежности образующей, либо по принадлежности круговой параллели.

На рис. 7.9 показан пример построения горизонтальных и профильных проекций точек E, F, G и K, заданных фронтальными проекциям E”, F”, G” и K” по их принадлежности круговым параллелям.

1. Построение горизонтальных проекций заданных точек:

• – горизонтальная проекция E’ характерной точки E, лежащей на характерной образующей конуса SA, определяется на горизонтальной проекции S’A’ этой образующей;
• – горизонтальные проекции точек F, G и K построены на вспомогательных круговых параллелях, проведенных через заданные фронтальные проекции точек.

Рассмотрим графический алгоритм для построения горизонтальных проекций точек, лежащих на боковой поверхности конуса (на примере заданной точки F (F”)), по их принадлежности круговым параллелям.

Графический алгоритм I:

1-е действие. Провести фронтальную проекцию вспомогательной круговой параллели m(m”) через заданную фронтальную проекцию точки F(F”): проекция параллели – это прямая, перпендикулярная оси конуса и параллельная его основанию.

2-е действие. Провести окружность горизонтальной проекции параллели m(m’) полученным радиусом R_F.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки F(F’) на горизонтальной проекции параллели m(m’).

Повторить действия графического алгоритма I и построить аналогично горизонтальные проекции G’ и K’ точек G и K.

Построение профильных проекций заданных точек. Точки E(E”‘) и F(F”‘) построены по принадлежности характерным образующим:

• – точка E(E”‘) – лежит на видимой характерной образующей SA(S”‘A”‘), совпадающей с осью конуса;
• – точка F(F”‘) – лежит на характерной образующей SD(S”‘D”‘);
• – точки G(G”‘) и K(K”‘) – построены по координатам y:
• – точка G(G”‘) – по координате y_G (видимая);
• – точка K(K”‘) – по координате y_K (невидимая). 

На рис. 7.10 показан пример построения горизонтальной и профильной проекции точки Р(Р’-?, Р'”-?) по ее принадлежности образующей a(a”,a’).

Построение горизонтальной проекции точки P(P’) по принадлежности образующей выполняется по графическому алгоритму II:

1-е действие. Провести через вершину конуса S(S”) и заданную невидимую фронтальную проекцию точки P(P”) вспомогательную образующую a(a”).

2-е действие. Построить горизонтальную проекцию образующей a(a’), проходящей через вершину конуса S(S’) и вспомогательную точку 1(1′), лежащую на основании конуса.

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи горизонтальную проекцию точки P(P’) по ее принадлежности образующей a(a’).

Построение профильной проекции невидимой точки P(P”‘) выполняется по принадлежности образующей a(a'”), построенной по координате y_a.

На этом же рисунке 7.10 показано построение фронтальной и профильной проекции точки T(T’, T”-?, T'”-?) по ее заданной горизонтальной проекции. Построение выполнено по приведенным алгоритмам I и II, но в обратном порядке:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции конуса радиусом RT окружность вспомогательной параллели n(n’) или вспомогательную образующую b(b’), на которых лежит горизонтальная проекция точки T(T’).

2-е действие. Построить фронтальные проекции вспомогательной параллели n(n”) или вспомогательной образующей b(b”):

• – параллель n(n”) провести через вспомогательную точку 2(2″) на образующей SA(S”A”) параллельно основанию конуса;
• – образующую b(b”) провести через вспомогательную точку 3(3″) на основании конуса и вершину конуса S(S”).

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную проекцию точки T(T”) по ее принадлежности либо параллели n(n”), либо образующей b(b”).

Конические сечения

Рассмотрим пять возможных случаев расположения секущей плоскости относительно оси конуса и его образующих, определяющих форму линии ее пересечения с поверхностью конуса (математические доказательства не приводятся).

1-й случай. Если секущая плоскость проходит через вершину конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по двум образующим S3 (фронтально-проецирующая плоскость α(α_V), рис. 7.11).

2-й случай. Если секущая плоскость расположена перпендикулярно оси конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по окружности (горизонтальная плоскость β(β_V), рис. 7.11).

3-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно одной образующей конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по параболе (фронтально-проецирующая плоскость γ(γ_V) параллельна одной образующей SA, рис. 7.12).

4-й случай. Если секущая плоскость расположена параллельно двум образующим конуса, то эта плоскость пересекает коническую поверхность по гиперболе (фронтальная плоскость δ(δ_V) параллельна двум образующим SA и SB, рис. 7.13).

5-й случай. Если плоскость пересекает все образующие конуса под углом, отличным от прямого (или иначе не параллельна ни одной образующей конуса), то эта плоскость пересекает коническую поверхность по эллипсу (фронтально-проецирующая плоскость ε(ε_V), рис. 7.14).

Рассмотрим построение на проекциях конуса линий пересечения для всех пяти случаев сечений.

1-й и 2-й случаи. На рис. 7.11 показано построение проекций прямого кругового конуса с вырезом, образованным сечениями конической поверхности фронтально-проецирующей плоскостью α(α_V), проходящей через вершину конуса (1-й случай), и горизонтальной плоскостью β(β_V), расположенной перпендикулярно оси конуса (2-й случай).

Плоскость α пересекает поверхность конуса по образующим SE, горизонтальные и профильные проекции которых строятся с помощью вспомогательной точки E, лежащей на основании конуса.

Плоскость β пересекает поверхность конуса по окружности радиуса R_β, ограниченной линией 3-3 пересечения плоскостей выреза.

Построение горизонтальной и профильной проекций конуса с вырезом и оформление очерков этих проекций видно из чертежа.

3-й случай. На рис. 7.12 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью γ(γ_V), расположенной параллельно одной образующей конуса SA.

Плоскость γ пересекает поверхность конуса по параболе, горизонтальная и профильная проекции которой строятся по отмеченным характерным точкам 1, 2 и 3 и промежуточной точке (не обозначена).

Построение проекций этих точек выполнено по их принадлежности:

• – точка 1(1′,1″) – лежит на проекциях характерной образующей SB(S’B’, S”‘B”‘);
• – точки 2(2′,2″) – лежат на проекциях характерных образующих SD и SC, горизонтальные проекции которых построены с помощью параллели радиусом R2 (алгоритм I);
• – точки 3(3′,3″) – лежат на окружности основания конуса: горизонтальные проекции этих точек определяются по линии связи на горизонтальной проекции окружности основания, а их профильные проекции построены по координате Y₃;
• – проекции промежуточной точки построены по ее принадлежности соответствующей параллели (профильные проекции – по координате Y).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

4-й случай. На рис. 7.13 показано построение проекций конуса со срезом фронтальной плоскостью δ(δ_H), расположенной параллельно двум образующим конуса SA и SB.

Плоскость δ пересекает поверхность конуса по гиперболе, фронтальная проекция которой строится по отмеченным точкам 1, 2 и 3 по их принадлежности параллелям (обратный алгоритм I), а профильная проекция гиперболы проецируется в вертикальную линию и совпадает с вырожденной проекцией плоскости среза δ(δ_W).

Оформление очерков проекций видно из чертежа. 

На рис. 7.13 на профильной проекции конуса показано положение секущей плоскости δ1(δ1_W) под углом φ₁ к оси конуса. При плоскость пересекает поверхность конуса также по гиперболе.

5-й случай. На рис. 7.14 показано построение проекций конуса со срезом фронтально-проецирующей плоскостью ε(ε_V), пересекающей все образующие конуса под углом φ к оси, отличным от прямого.

Плоскость ε пересекает поверхность конуса по эллипсу, горизонтальная и профильная проекции которого построены по проекциям отмеченных характерных точек 1, 2, 4 и промежуточных точек 3, взятых на середине отрезка 1-4, который является совпадающей проекцией эллипса и его большой оси. Точки 3 определяют проекции малой оси эллипса и построены на горизонтальной проекции конуса по радиусу параллели, а на профильной проекции по координате Y₃ (алгоритм I).

Оформление очерков проекций видно из чертежа.

!!! Количество взятых промежуточных точек должно быть минимальным, но достаточным, чтобы построить на проекциях конуса формы кривых второго порядка (параболы, гиперболы и эллипса), которые выполняют на чертеже по построенным характерным и промежуточным точкам с помощью лекала.

Построение проекций прямого конуса со срезами плоскостями частного положения

На рис. 7.15 показан пример построения проекций прямого кругового конуса со срезами фронтально-проецирующей плоскостью α и профильной плоскостью β.

Для построения проекций конуса со срезами следует выполнить графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач.

Графический алгоритм:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданному радиусу основания R и высоте H фронтальную, горизонтальную и профильную проекции конуса без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции заданные срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(α_V) и профильной плоскостью β(β_V).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки пересечения плоскостей срезов с образующими и основанием конуса и выполнить графический анализ сечений.

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(α_V) параллельна одной образующей конуса SA(S”A”) и пересекает его поверхность по участку параболы 1-2-3(1″-2″-3″), которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3(3″-3″) плоскостей срезов α и β.

2.2. Профильная плоскость β(β_V) параллельна двум образующим конуса SC(S”C”) и SD(S”D”) и пересекает его поверхность по участку гиперболы 3-4(3″-4″), которая проецируется в отрезок и ограничена вырожденными в точки фронтально-проецирующими линиями пересечения плоскостей срезов α и β(3-3) и плоскости β с основанием конуса (4-4).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

3.1. Плоскость среза α определяет видимая горизонтальная проекция участка параболы 1-2-3(1′-2′-3′), построенной по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

• – точка 1(1′) лежит на образующей SB (S’B’);
• – точки 2(2′) и 3(3′) построены по принадлежности соответствующим параллелям (алгоритм I).

3.2. Плоскость среза β определяет вертикальный видимый отрезок 4′-4′ вырожденной в линию проекции профильной плоскости, точки 4(4′) которой лежат на очерковой окружности основания конуса.

!!! Поскольку горизонтальная проекция имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной ее половине (нижней).

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют участок окружности и отрезок 4′-4′. 4.2. Внутренний контур определяет видимый участок параболы 3′-2′-1′.

5-е действие. Достроить профильную проекцию конуса со срезами, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек, и определить видимость плоскостей срезов.

5.1. Плоскость среза α определяет видимый участок параболы 1-2-3(1′”2″‘-3″‘), построенный по профильным проекциям обозначенных точек:

• – точка 1(1′”) – лежит на характерной образующей SB(S'”B”‘);
• – точки 2(2′”) – лежат соответственно на характерных образующих SC(S'”C”‘) и SD(S'”D”‘);
• – точки 3(3′”) – построены по координате y₃.

5.2. Плоскость среза β определяют видимые участки гиперболы 3-4(3″‘-4″‘), ограниченные видимым отрезком 3″‘-3″‘ (построен) и видимым отрезком 4-4(4″‘-4″‘), точки которого построены по координате y₄.

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции конуса для определения ее очерка и внутреннего контура.

6.1. Профильный очерк определяют:

• – слева – участок C”‘-2″‘ образующей SC;
• – справа – участок D”‘-2″‘ образующей SD;
• – сверху – участок параболы 1″‘-3″‘;
• – снизу – проекция основания конуса.

6.2. Внутренний контур определяют:

• – видимые участки параболы 2″‘-3″‘;
• – видимый отрезок 3″‘-3″‘ пересечения плоскостей срезов α и β;
• – видимые участки гиперболы 3″‘-4″‘.

7-е действие. Оформить чертеж конуса выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой его проекции (оставить сплошными тонкими линиями полные очерки проекций и линии построения).

Сферическая поверхность – шар

При вращении окружности вокруг ее диаметра образуется поверхность вращения, называемая сферой. Сферическая поверхность – геометрическое место точек, равноудаленных от ее центра. Сфера – единственная геометрическая поверхность, которая имеет бесконечное число осей, проходящих через ее центр, что удобно использовать при построении проекций точек на ее поверхности и при решении различных позиционных задач с геометрическими формами, в образование которых входит сфера.

Геометрическое тело, ограниченное сферой, называют шаром.

• Чертежи на заказ

Проекции шара и проекции его очерковых окружностей

Все три очерка шара – фронтальный, горизонтальный и профильный – представляют собой окружности одного диаметра с центром в точке О(О’,О”,О”‘) – это характерный признак проекций шара на чертеже (рис. 7.16). Каждая точка на поверхности шара описывает вокруг соответствующей оси окружности, называемые параллелями.

Фронтальный очерк шара – окружность n(n”) – называется главным фронтальным меридианом, который лежит во фронтальной плоскости уровня β(β_H), и его горизонтальная проекция n’ – это горизонтальная прямая, а профильная проекция n”‘ – вертикальная прямая, проходящие через центр шара.

Горизонтальный очерк шара – это окружность k(k’), то есть экватор шара, лежащий в горизонтальной плоскости уровня α(α_V), и его фронтальная k” и профильная k”‘ проекции – горизонтальные прямые, проходящие через центр шара.

Профильный очерк шара – это окружность m(m”‘) главного профильного меридиана, лежащего в профильной плоскости δ(δ_H), и его фронтальная m” и горизонтальная m’ проекции – вертикальные прямые, проходящие через центр шара.

!!! Запомните характерные признаки шара на чертеже – три очерковые окружности одного диаметра.

Построение проекций точек на поверхности шара

На рис. 7.16 показаны примеры построения проекций точек, лежащих на характерных очерковых окружностях шара.

Точка A(A”), заданная своей фронтальной проекцией, лежит на главном фронтальном меридиане n(n”); ее горизонтальная проекция A’ и профильная проекция A”‘ определяются на соответствующих проекциях этого меридиана по линиям связи.

Точки B₁(B₁‘) и B₂(B₂‘), заданные своими горизонтальными проекциями, лежат на экваторе шара k(k’); фронтальные проекции точек совпадают и определяются на фронтальной проекции экватора k(k”) по линии связи (B₂” – невидимая), а профильные проекции B₁“‘ и B₂“‘ построены по координатам y_B1 = y_B2 и лежат на профильной проекции k (k”‘) экватора.

Точка C(C”‘), заданная своей профильной проекцией, лежит на главном профильном меридиане m(m'”); ее фронтальная проекция C(C”) определяется по линии связи на фронтальной проекции m(m”) профильного меридиана, а горизонтальная невидимая проекция C(C’) построена по координате y_C и лежит на горизонтальной проекции профильного меридиана m(m’).

!!! Видимость проекций точки на проекциях шара определяется видимостью той части поверхности шара, на которой лежит точка, и определяется указанными границами видимости при взгляде на каждую плоскость проекций.

На рис. 7.17 показаны примеры построения проекций точек D и E, лежащих на поверхности шара, недостающие проекции которых построены с использованием различных осей вращения (без координат y).

Точка D задана видимой фронтальной проекцией D”. 

Для построения ее горизонтальной проекции D(D’) нужно использовать горизонтально-проецирующую ось вращения i₁ и выполнить следующие графические действия (алгоритм I):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки D(D”) прямую, перпендикулярную оси i(i”) – это проекция круговой параллели радиусом RD, по которой точка D вращается вокруг оси i₁.

2-е действие. Провести горизонтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом R_D с центром в точке O(O’).

3-е действие. Построить по линии связи горизонтальную (видимую) проекцию точки D(D’) на этой параллели.

Точка E задана невидимой горизонтальной проекцией E’. 

Для построения ее фронтальной проекции E(E”) нужно использовать фронтально-проецирующую ось i₂ и выполнить следующие графические действия (алгоритм II):

1-е действие. Провести через горизонтальную проекцию точки E(E’) прямую, перпендикулярную оси i₂(i₂‘) – это проекция круговой параллели радиусом R_E, по которой точка E вращается вокруг оси i₂.

2-е действие. Провести фронтальную проекцию этой параллели: окружность радиусом R_E с центром в точке O(O”).

3-е действие. Построить по вертикальной линии связи фронтальную видимую проекцию точки E(E”) на этой параллели. 

Для построения профильных проекций заданных точек D и E нужно использовать профильно-проецирующую ось i₃ и выполнить следующие графические действия (алгоритм III):

1-е действие. Провести через фронтальную проекцию точки D(D”) и горизонтальную проекцию точки E(E’) прямые, перпендикулярные оси i₃(i₃“,i₃‘), – это проекции круговых параллелей с радиусами R_D1 и R_E1 (расположены вертикально), по которым точки D и E вращаются вокруг оси i₃.

2-е действие. Провести профильные проекции этих параллелей: окружности радиусами R_D1 и R_E1 с центром в точке O(O”‘).

3-е действие. Построить по горизонтальным линиям связи профильные проекции точек D(D'”) и E(E”‘) на соответствующих параллелях (профильная проекция точки D(D'”) невидимая).

Построение проекций шара со срезами плоскостями частного положения

Всякая плоскость пересекает поверхность шара по окружностям (круговым параллелям). В зависимости от расположения секущих плоскостей относительно плоскостей проекций H, V и W окружности сечений могут проецироваться либо в окружности, либо в эллипсы. 

На рис. 7.18 показан пример построения проекций шара со срезами горизонтальной плоскостью α(α_V) и профильной плоскостью β(β_V).

Окружность сечения шара горизонтальной плоскостью α(α_V) проецируется в окружность (круговую параллель) радиусом R_α на горизонтальную проекцию шара, а профильная проекции этой окружности – горизонтальная прямая. В качестве оси вращения для построения горизонтальной проекции окружности сечения взята горизонтально-проецирующая ось i₁.

Окружность сечения шара профильной плоскостью β проецируется в окружность (круговую параллель) радиусом R_β на профильную проекцию шара (невидимая окружность), а горизонтальная проекция этой окружности – вертикальная прямая. В качестве оси вращения для построения параллели R_β взята профильно-проецирующая ось i₃.

На этом же рисунке показано расположение проекции характерных точек 1, 2, 3, 4, 5 и 6, лежащих в плоскостях сечений на характерных очерковых окружностях шара:

• – точки 1, 3, 4 и 6 лежат на главном фронтальном меридиане шара n и их проекции определяются на проекциях этого меридиана;
• – точки 5 лежат на экваторе шара k и их проекции определяются на проекциях экватора;
• – точки 2 лежат на профильном меридиане m и их проекции определяются на проекциях этого меридиана.

Оформление очерков проекций ясно из чертежа. 

На рис. 7.19 показан пример построения проекций шара со срезом фронтально-проецирующей плоскостью γ(γ_V). Фронтальная проекция окружности сечения шара плоскостью γ совпадает с вырожденной в линию фронтальной проекцией плоскости γ, а на горизонтальную и профильную проекции шара эта окружность сечения проецируется в эллипсы.

Проекции шара со срезом построены по проекциям точек, обозначенных на фронтальной проекции сечения.

Горизонтальная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по горизонтальным проекциям обозначенных точек:

• – точки 1(1′) и 5(5′) – лежат на проекции n(n’) главного фронтального меридиана;
• – точки 2(2′) – лежат на проекции m(m’) профильного меридиана и построены на параллели радиусом R2 (ось вращения i1, алгоритм I);
• – точка 4(4′) – лежит на проекции k(k’) экватора;
• – точки 3 – отмечены на перпендикуляре к плоскости сечения γ и определяют положение большой оси эллипса 3-3; точки 3(3′) построены по принадлежности своей параллели (алгоритм I); малая ось эллипса – линия 5′-1′.

Построенные видимые горизонтальные проекции точек соединить плавной кривой эллипса с помощью лекала.

Очерк горизонтальной проекции определяет его экватор вправо от точек 4(4′).

Профильная проекция шара со срезом в виде эллипса построена по профильным проекциям обозначенных точек:

• – точки 1(1″‘) и 5(5″‘) – лежат на n(n'”) главного меридиана;
• – точки 2(2″‘) – лежат на проекции m(m”‘) профильного меридиана;
• – точки 3 (3″‘) и 4(4″‘) – построены или по принадлежности соответствующим относительно оси вращения i₃ параллелям (алгоритм III, отмечена параллель R₄).

Построенные видимые проекции точек соединить плавной кривой эллипса.

Очерк профильной проекции определяет профильный меридиан m(m”‘) от точек 2(2″‘) вниз.

Торовая поверхность – тор

Поверхность, получаемая при вращении образующей окружности m (или ее дуги) вокруг оси i, лежащей в плоскости этой окружности, но не проходящей через ее центр, называется торовой. Образующая окружность m вращается вокруг оси тора i по направляющей окружности радиусом R (рис. 7.20, а, б, в, г).

Геометрическое тело, ограниченное торовой поверхностью, называют тором.

Тор называют открытым (круговое кольцо), если образующие окружности m в осевом сечении не пересекаются и не касаются друг друга, то есть . Проекции открытого тора с горизонтально-проецирующей осью вращения i показаны на рис. 7.20, а.

Тор называют замкнутым, если образующие окружности m касаются, то есть R = r. Проекции замкнутого тора показаны на рис. 7.20, б.

Тор называют самопересекающимся, если образующие окружности пересекаются, то есть . Проекции самопересекающегося тора показаны на рис. 7.20, в. Выделенную часть самопересекающегося тора называют тороидом и часто используют в графических условиях различных задач.

На рис. 7.20, г показаны проекции глобоида – это геометрическое тело, образованное как открытый тор, но материализующее полость (отверстие) в открытом торе.

Построение проекций открытого тора 

На рис. 7.21 показан пример построения фронтальной, горизонтальной и профильной проекций половины открытого тора с фронтально-проецирующей осью i.

Фронтальную проекцию (очерк) тора определяют:

• – максимальная и минимальная круговые окружности-параллели n₁(n₁“) и n₂(n₂“), по которым диаметральные точки N₁ и N₂ образующей окружности m вращаются вокруг оси тора i;
• – окружности-параллели t₁(t₁“) и t₂(t₂“) диаметральных точек T₁ и T₂, которые совпадают между собой и совпадают с проекцией направляющей окружности радиусом R тора (выполняются на чертеже тонкой штрихпунктирной линией);
• – две горизонтальные прямые m(m”) – проекции образующих окружностей m, полученных в сечениях тора горизонтальной плоскостью α(α_V), проходящей через ось вращения тора.

Горизонтальную проекцию (очерк) тора определяют:

• – совпадающие проекции n₁(n₁‘) и n₂(n₂‘) окружностей-параллелей фронтального очерка проецируются в прямую линию, перпендикулярную оси i(i’) тора, и совпадают с горизонтальной осью симметрии проекции;
• – две образующие окружности m(m’), лежащие в плоскости среза α(α_V), которые проецируются в натуральную величину и видимыми являются только их половины;
• – две горизонтальные линии, в которые проецируются окружности параллели t₁(t₁‘) и t₂(t’), полученные при вращении диаметральных точек T₁ и T₂ (перпендикулярны оси вращения i(i’).

Профильную проекцию(очерк) тора определяют:

• – совпадающие проекции n₁(n₁“‘) и n₂(n₂“‘) окружностей-параллелей фронтального очерка проецируются в прямую вертикальную линию и совпадают с осью симметрии проекции;
• – окружность m_β, лежащая в профильной плоскости β (половина ее – невидимая);
• – прямая горизонтальная линия совпадающих проекций образующих окружностей m(m”‘), лежащих в плоскости среза α(α_V);
• – две вертикальные прямые – проекции окружностей-параллелей t₁(t₁“‘) и t₂(t₂“‘).

!!! Запомните характерные признаки проекций открытого тора на чертеже.

Построение проекций точек, лежащих на поверхности тора

Точки на поверхности тора лежат на круговых параллелях, по которым они вращаются вокруг его оси i.

1. Точки, лежащие на характерных очерковых окружностях тора n₁ и n₂, t₁ и t₂ и m строятся по их принадлежности этим окружностям.

На рис. 7.21 показаны примеры построения проекций точек по одной заданной проекции.

Например, горизонтальные и профильные проекции точек A и B, заданных своими фронтальными проекциями A” и B”, лежат на очерковых окружностях n₁ и n₂ и определяются на проекциях этих окружностей (горизонтальные проекции точек совпадают); профильная проекция B(B”‘) – невидимая.

Горизонтальные и профильные проекции точек C₁ и C₂, заданных своими фронтальными совпадающими проекциями, лежат на окружностях t₁ и t₂ и определяются на проекциях этих окружностей.

2. Проекции точек D1 и D2 (невидимая), заданных своими совпадающими фронтальными проекциями D₁” и D₂” и не лежащие на характерных окружностях тора, строятся по следующему графическому алгоритму (алгоритм I):

1-е действие. Провести вспомогательную круговую параллель радиусом R_D через заданные фронтальные проекции точек D₁(D₁“)≡D₂(D₂“) .

2-е действие. Провести горизонтальные прямые – проекции этих параллелей – перпендикулярно оси вращения i(i’), используя вспомогательные точки 1(1″,1′), лежащие на проекциях образующей окружности m(m₁“,m₂‘).

3-е действие. Построить по линии связи видимые горизонтальные проекции точек D(D₁‘) и D(D₂‘) на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные видимые проекции точек D₁(D₁‘”) и D₂(D₂‘”) построить по координатам y_D.

Проекции точек E1 и E2 (невидимая), заданных своими совпадающими горизонтальными проекциями E1(E1′) ≡E2(E2′) и не лежащие на характерных окружностях тора, строятся по “обратному” алгоритму II:

1-е действие. Провести на горизонтальной проекции тора прямую, перпендикулярную оси вращения тора i(i’) – это горизонтальные совпадающие проекции вспомогательных круговых параллелей радиусами R_E1 и R_E2 для точек E1 и E2.

2-е действие. Построить радиусами R_E1 и R_E2 фронтальные проекции этих параллелей: R_E2 – параллель на внутренней поверхности тора, а R_E1 – параллель на наружной поверхности тора.

3-е действие. Построить по линии связи фронтальные проекции точек E₁(E”₁) и E₂(E”₂) на проекциях этих вспомогательных параллелей.

4-е действие. Профильные невидимые проекции точек E₁(E”₁) и E₂(E”₂) построить по координатам y_E.

Сечения тора плоскостями частного положения

Тор является поверхностью вращения 4-го порядка (образующая и направляющая окружности 2-го порядка – порядки умножаются) и кривые его сечений также являются кривыми 4-го порядка (кроме круговых сечений).

Тор имеет две системы круговых сечений:

• – первая система парных круговых сечений получается во всех плоскостях, проходящих через ось i, тора на той его проекции, на которую ось i проецируется в точку – смотри сечение во фронтально-проецирующей плоскости α(α_V) на фронтальной проекции тора (сечение по образующим окружностям m);
• – вторая система круговых сечений получается в плоскостях β(β_H), перпендикулярных оси тора – смотри сечение во фронтальной плоскости уровня β_H на горизонтальной проекции тора (сечение по круговым параллелям тора).

Тор имеет также третью систему сечений плоскостями уровня, параллельными оси его вращения i. 

На рис. 7.22 показаны формы кривых в различных сечениях открытого тора плоскостями уровня (ось тора i V). 

На рис. 7.22, а сечения проведены параллельно оси тора i(i”) на его фронтальной проекции и являются горизонтальными плоскостями уровня.

В зависимости от расстояния t секущей плоскости до оси тора на его поверхности получается 4 вида кривых, объединенных общим названием – кривые Персея (геометр древней Греции).

1-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t₁ от оси тора образует на его поверхности кривую линию – овал с двумя осями симметрии (для плоскостей между точками A и B, то есть ).

2-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t₂ от оси тора образует на его поверхности волнообразную кривую (для плоскостей между точками B и C, то есть ).

3-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t₃ от оси тора образует на его поверхности двухлепестковую кривую (для плоскости, проходящей через точку C, то есть t₃ = R₁).

4-е сечение. Плоскость сечения на расстоянии t₄ от оси тора образует на его поверхности два овала с одной осью симметрии (для плоскостей ниже точки C и не проходящих через ось вращения тора i(i”), то есть когда ). 

На рис. 7.22, б изображена фронтальная и горизонтальная проекции открытого тора, у которого R = 2r (частный случай). Кривые сечений этого тора называют овалами Кассини, а двухлепестковая кривая в сечении 3 называется лемнискатой Бернулли.

Построение проекций открытого тора со срезами плоскостями частного положения 

На рис. 7.23 показан пример построения проекций отрытого тора с комбинированным срезом фронтально-проецирующей плоскостью α(α_V) и горизонтальной плоскостью β(β_V).

Для построения проекций тора со срезами следует выполнить предлагаемый графический алгоритм, определяющий порядок действий при решении всех подобных задач:

1-е действие. Построить на чертеже тонкими линиями по заданным размерам фронтальную, горизонтальную и профильную проекции тора без срезов, а затем выполнить на его фронтальной проекции (или любой другой) заданные по условию срезы фронтально-проецирующей плоскостью α(α_V) и горизонтальной плоскостью β(β_V).

2-е действие. Обозначить на фронтальной проекции характерные точки и выполнить графоаналитический анализ сечений:

2.1. Фронтально-проецирующая плоскость α(α_V) пересекает поверхность тора по участку волнообразной кривой 1-2-3 (сечение 2), часть которой ограничена вырожденной в точку фронтально-проецирующей линией пересечения 3-3 плоскостей среза α и β.

2.2. Горизонтальная плоскость β(β_V) пересекает поверхность тора по участку двухлепестковой кривой 3-4-5 (сечение 3).

!!! Поскольку горизонтальная проекция тора имеет вертикальную симметрию, точки обозначены на одной его половине (нижней).

3-е действие. Достроить горизонтальную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по горизонтальным проекциям отмеченных точек и определить видимость плоскостей срезов.

3.1. Горизонтальная проекция видимого участка волнообразной кривой в плоскости α построена по проекциям обозначенных точек 1(1′), E(E’), 2(2′) и 3(3′) по их принадлежности характерным n₁, t₁ и t₂ (точки 1 и 2) и вспомогательным (точки Е и 3) параллелям.

3.2. Горизонтальная проекция видимого участка двухлепестковой кривой в плоскости β построена по проекциям обозначенных точек 3(3′), 4(4′), D(D’) и 5(5′) по их принадлежности характерным t₁, t₂ и n₁ (точки 4 и 5) и вспомогательным (точки D) параллелям (точки 3(3′) уже построены).

3.3. Видимый отрезок 3-3(3′-3′) – горизонтальная проекция линии пересечения плоскостей срезов α и β, ограничивающая участки кривых в плоскостях срезов.

4-е действие. Выполнить графический анализ построенной горизонтальной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура.

4.1. Горизонтальный очерк определяют:

• – видимые половины окружностей m(m’);
• – участки очерковых параллелей t₁(t₁‘) и t₂(t₂‘), не существующие между точками 4(4′) и 2(2’);
• – участки кривых 4′-3′ и 3′-2′.

4.2. Внутренний контур определяют:

• – невидимые половины окружностей m(m’);
• – видимые участки кривых 4’D’-5′ и 2’E’-1′;
• – видимый отрезок 3′-3′ пересечения плоскостей срезов α и β.

5-е действие. Достроить профильную проекцию тора, построив проекции плоскостей срезов по профильным проекциям обозначенных точек и определить видимость плоскостей срезов:

5.1. Профильная проекция видимого участка волнообразной кривой построена по проекциям обозначенных точек 1(1′”), E(E”‘), 2(2′”) и 3(3′”) по их принадлежности характерным параллелям n₁, t₁ и t₂ (точки 1(1′”) и 2(2′”)) и по координатам y (точки E(E”‘) – yE, 3(3′”) – y3).

5.2. Профильная проекция горизонтальной плоскости среза β проецируется в видимый горизонтальный отрезок 4″‘-4″‘ (точки 4(4″‘) – на очерковых линиях t₁ и t₂).

6-е действие. Выполнить графический анализ построенной профильной проекции тора для определения ее очерка и внутреннего контура:

6.1. Профильный очерк определяют:

• – слева и справа – проекции очерковых параллелей t₁(t₁‘) и t₂(t₂‘) до точек 2(2′”);
• – сверху – видимый участок 2′”-E”‘-1′” волнообразной кривой;
• – снизу – видимые совпадающие проекции образующих окружностей m(m'”).

6.2. Внутренний контур определяют:

• – видимый горизонтальный отрезок 4″‘-4′” (проекция плоскости среза β);
• – видимые участки 2″‘-4′” волнообразной кривой;
• – невидимая часть окружности m_W(m_W“‘) между точками 2″‘.

7-е действие. Оформить чертеж тора, выполнив толстыми сплошными линиями очерки и видимый внутренний контур каждой проекций (оставить тонкими линиями полные очерки проекций и линии построений).

Структуризация материала седьмой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 7.24 (лист 1). На последующих листах 2–6 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении (рис. 7.25–7.29).

Поверхности и частные случаи гранных и кривых поверхностей

Геометрические тела

Гранные поверхности

Прямая правильная призма

Правильная пирамида

Поверхности вращения

Прямой круговой цилиндр

Прямой круговой конус. Конические сечения.

Шар.

Тор.

Замкнутый тор.

Самопересекающийся тор (тороид).

Глобоид.

 Сечения открытого тора. Кривые Персея.

Построение сечений поверхности открытого тора плоскостями частного положения

Прочие поверхности вращения

Однополостной гиперболоид

Двухполостной гиперболоид

а

 Вытянутый/сжатый эллипсоид

Параболоид

Поверхности и способы их образования

Поверхности, к которым нельзя применить математические закономерности, обычно задают достаточно плотной сетью линий, принадлежащих этим поверхностям. Совокупность таких линий называют дискретной (состоящих из отдельных элементов) сетью, или дискретным каркасом поверхности.

При кинематическом способе задания поверхность рассматривается как совокупность всех положений движущейся линии. Линию, производящую поверхность, в каждом ее положении называют образующей. Образующая линия может быть прямой или кривой Кинематическая поверхность представляет собой геометрическое место линий, движущихся в пространстве по некоторому закону. Следовательно, для задания поверхности могут быть использованы три основных способа: аналитический, каркасный и кинематический.

Поверхность, которая может быть образована прямой линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчатая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий. Поверхность, для которой только кривая линия может быть образующей, называется нелинейчатой поверхностью.

Пример линейчатой поверхности дан на рис. 9.1. Поверхность образована прямой линией  которая, оставаясь постоянно параллельной прямой  скользит по некоторой неподвижной линии  называемой направляющей.

Примером нелинейчатой поверхности может быть сфера (шаровая поверхность).

Поверхности вращения

В числе кривых поверхностей – линейчатых и нелинейчатых – имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, полученную от вращения какой-либо образующей линии  вокруг неподвижной прямой  – оси поверхности (рис.9.2)

При вращении вокруг оси каждая точка образующей  описывает окружность, которую называют параллелью поверхности вращения. Плоскости параллелей перпендикулярны оси поверхности. Наибольшую из параллелей поверхности вращения называют экватором поверхности, а наименьшую – горлом (шейкой).

Линии, получаемые при пересечении поверхности вращения плоскостями, проходящими через ось, называют меридианами поверхности. Меридиан, расположенный во фронтальной плоскости  называется главным меридианом.

Различают поверхности вращения с прямолинейной и криволинейной образующей.

К поверхностям вращения с прямолинейной образующей относятся цилиндрическая и коническая поверхности вращения.

Наиболее распространенными поверхностями вращения с криволинейной образующей являются поверхности вращения второго порядка, т.е. получаемые при вращении алгебраических кривых, описываемых уравнениями второй степени, вокруг их осей. Это сфера, эллипсоид, параболоид и гиперболоид вращения.

Цилиндрической поверхностью вращения называется поверхность, образованная прямой линией (образующей), которая перемещается, оставаясь параллельной оси вращения. Боковая поверхность прямого кругового цилиндра (рис. 9.3) образована движением отрезка  вокруг вертикальной оси 

Коническая поверхность вращения представляет собой поверхность, образующая прямая которой пересекает ось вращения в точке, называемой вершиной конуса. Боковая поверхность прямого кругового конуса (рис. 9.4) образована вращением образующей  вокруг оси конуса по направляющей – окружности.

Сферой называется поверхность, образованная вращением окружности вокруг одного из ее диаметров. На все плоскости проекций сфера проецируется в круг с радиусом, равным радиусу сферы (рис. 9.5).

Эллипсоидом вращения называется поверхность, образованная вращением эллипса вокруг одной из его осей.

Параболоид вращения образуется вращением параболы вокруг ее оси

Однополостной гиперболоид вращения образуется при вращении гиперболы вокруг ее мнимой оси, а двухполостной – при вращении вокруг действительной оси.

Тором называется поверхность, образованная вращением вокруг оси, лежащей в плоскости этой окружности и не проходящей через ее центр. Тор относится к поверхностям вращения четвертого порядка.

Точки и прямые линии, принадлежащие поверхности

Положение точки на поверхности вращения определяется при помощи окружности, проходящей через эту точку на поверхности вращения

Это не исключает возможности применения прямолинейных образующих в случае линейчатых поверхностей вращения.

Если на одной из проекций поверхность проецируется в линию, построение проекций точек, принадлежащих этой поверхности, производится с помощью линий связи.

Примеры построения проекций точек, принадлежащих поверхностям прямого кругового цилиндра, конуса н сферы показаны на рис. 9.6,9.7, 9.8.

Определение недостающих проекций точек  расположенных на поверхности цилиндра, по одной заданной, например, фронтальной, производится в следующей последовательности. Учитывая, что горизонтальная проекция цилиндра является линией, горизонтальные проекции точек  можно найти, проведя из заданных точек  линии связи до их пересечения с окружностью в искомых точках  Профильные проекции точек  строят также с помощью линий связи.

Если на поверхности конуса задана одна проекция точки  (например, фронтальная проекция на рис. 9.7, а), то горизонтальную проекцию этой точки определяют с помощью вспомогательных линий, расположенных на поверхности конуса и проведенных через точку  – образующей или окружности, лежащей в плоскости, параллельной основанию конуса.

В первом случае (рис. 9.7, а) проводят фронтальную проекцию  вспомогательной образующей. Пользуясь вертикальной линией связи, проведенной из точки  расположенной на фронтальной проекции окружности основания, находят горизонтальную проекцию  этой образующей, на которой с помощью линии связи, проходящей через точку  находят искомую точку  Во втором случае (рис. 9.7, б) вспомогательной линией, проходящей через точку  будет окружность  расположенная на конической поверхности и параллельная плоскости  Фронтальная проекция этой окружности изображается в виде отрезка горизонтальной прямой. Искомая горизонтальная проекция  точки  находится на пересечении линии связи, проведенной из точки  с горизонтальной проекцией вспомогательной окружности 

Если заданная фронтальная проекция  точки  расположена на контурной (очерковой) образующей, то горизонтальную проекцию точки находят без вспомогательных построений при помощи линии связи.

Если точка  принадлежащая сферической поверхности, задана ее фронтальной проекцией  (рис. 9.8), то вспомогательная линия  проведенная через эту точку для построения горизонтальной проекции  точки  должна быть окружностью, расположенной в плоскости, параллельной плоскости проекций  На горизонтальной проекции  вспомогательной окружности, которая соответствует натуральной величине этой окружности, с помощью линии связи находят искомую горизонтальную проекцию  точки  Точка  находится на экваторе сферы, поэтому ее вторую проекцию  можно определить по линии связи.

Линию на поверхности можно рассматривать как множество точек. Поэтому построение проекций линии, принадлежащей поверхности, сводится к построению проекций ряда точек, принадлежащих этой линии.

Пересечение плоскости и линии с поверхностью

В пересечении поверхностей вращения плоскостью получаются различные плоские кривые линии, проекции которых строятся по проекциям ряда точек, определяемых соответствующими способами. При этом следует стремиться определить, прежде всего, так называемые характерные (опорные) точки фигуры сечения – верхние и нижние, т.е. точки, наиболее и наименее удаленные от плоскостей проекций, и левые н правые, т.е. точки, лежащие на крайних образующих поверхностей. После этого определяется ряд промежуточных точек, которые затем соединяются с характерными плавной кривой линией.

В пересечении кругового цилиндра плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получаться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения цилиндра (рис. 9.9); эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси цилиндра под углом, отличным от прямого (рис. 9.10); прямоугольник, если секущая плоскость параллельна оси цилиндра (рис. 9.11).

Проекции фигуры сечения цилиндра плоскостью могут быть построены аналогично проекциям фигуры сечения призмы плоскостью. Для этого в цилиндр вписывается многогранная призма, находятся точки встречи ребер этой призмы с секущей плоскостью, которые соединяются плавной кривой линией. В случае, когда цилиндр прямой, построение проекций фигуры сечения может быть выполнено по-другому.
На рис. 9.12 показано построение проекций фигуры сечения прямого кругового цилиндра плоскостью общего положения  заданной треугольником 

Так как цилиндр прямой, горизонтальные проекции фигуры сечения и самого цилиндра будут совпадать. Как отмечалось выше, в сечении будет получаться эллипс. Для нахождения точек, ограничивающих большую ось эллипса (нижшей и высшей), необходимо в плоскости треугольника  построить горизонталь  т.к. большая ось совпадает с линией ската плоскости.

Затем через ось цилиндра перпендикулярно  проводим линию ската плоскости и заключаем ее в горизонтально-проецирующую плоскость  Плоскость  пересечет плоскость треугольника  по линии  а цилиндр – по прямоугольнику. Точки, общие для линии пересечения плоскостей и сечения цилиндра плоскостью  – и будут искомыми. Точки, ограничивающие малую ось эллипса –  и  – определим, проведя через ось цилиндра линию перпендикулярно горизонтальной проекции большой оси –  – и заключая ее в плоскость Дальнейшие построения аналогичны приведенным выше. Точки, лежащие на крайних образующих и определяющие границы видимости –   – определим при помощи фронтальной плоскости уровня  а ближнюю и дальнюю точки линии сечения  – с помощью плоскостей проведя их касательно к цилиндру через ближнюю и дальнюю образующие. Промежуточные точки, принадлежащие линии пересечения определены с помощью горизонтальной плоскости уровня 

В пересечении кругового конуса плоскостью в зависимости от положения секущей плоскости могут получиться: окружность, если секущая плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (рис. 9.13); эллипс, если секущая плоскость наклонена к оси вращения конуса под углом, отличным от прямого и пересекает все образующие конуса (рис. 9.14); гипербола, если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса (рис. 9.15); парабола, если секущая плоскость параллельна одной образующей конуса (рис. 9.16); треугольник, если секущая плоскость проходит через вершину конуса (рис. 9.17).

Проекции фигуры сечения конуса плоскостью можно построить ана логично проекциям фигуры сечения пирамиды плоскостью (в конус в пи сывается многогранная пирамида, рис. 9.18).

Построение линии пересечения плоскости с конической поверхностью выполняется в следующем порядке. Основание конуса делится на равномерное число частей, в нашем примере 12, проводятся горизонтальные проекции  образующих и строятся их фронтальные и профильные проекции. На фронтальной проекции отмечаются фронтальные проекции точек пересечения построенных образующих на видимой поверхности конуса с секущей плоскостью  а также крайних точек Горизонтальные проекции строятся в проекционной связи на соответствующих проекциях образующих. На профильную проекцию точки переносятся также по линиям связи. Горизонтальная проекция точки  строится после того, как она построена на профильной проекции.

На фронтальной проекции большая ось эллипса  – линии пересечения фронтально-проецирующей плоскости с конусом – проецируется в натуральную величину. Малая ось  эллипса перпендикулярна большой и проецируется в точку  в середине фронтальной проекции  большой оси.

Построение горизонтальной проекции малой оси эллипса выполнено с помощью горизонтальной плоскости уровня  проведенной через малую ось эллипса. Плоскость  пересекла конус по окружности радиуса  точки  по линиям связи перенесены на горизонтальную проекцию окружности.

На рис. 9.19 показано построение сечения конуса плоскостью общего положения, заданной следами.

Построение проекций сечения начато с нахождения точек, ограничивающих большую ось эллипса (высшая и низшая точки сечения). Для этого проведена вспомогательная секущая плоскость  горизонтально-проецирующая, перпендикулярная следу  и проходящая через ось конуса. Плоскость  пересекает конус по образующим  а плоскость  – по линии  Точки  получающиеся в пересечении образующих  с прямой  будут искомыми точками. Отрезок  является большой осью эллипса, получающегося при пересечении данного конуса плоскостью  Проекция  является большой осью эллипса – горизонтальной проекции фигуры сечения. Разделив  пополам, получим положение малой оси эллипса – точку  Точки  ограничивающие малую ось эллипса, определим, воспользовавшись горизонтальной плоскостью уровня  проведенной через точку  Она пересекает поверхность конуса по окружности, а плоскость  – по горизонтали. Точки на пересечении этих линий и будут искомыми.

Точки, лежащие на очерке фронтальной проекции конуса и определяющие границы видимости линии пересечения, получены при помощи вспомогательной секущей плоскости  проведенной через ось конуса параллельно  Плоскость  пересекает плоскость  по фронтали, а конус -по двум образующим. Точки  получающиеся при пересечении фронтали с образующими, принадлежат искомой линии пересечения конуса с плоскостью 

Промежуточные точки линии пересечения удобно построить, использовав горизонтальные секущие плоскости, аналогично построению точек, ограничивающих малую ось эллипса.

Задачу можно решить, использовав метод замены плоскостей проекций, с помощью которого можно привести условие к виду, приведенному на рис. 9.1S.

Для построения точек пересечения прямой с какой-либо поверхностью необходимо провести через данную прямую вспомогательную секущую плоскость; затем найти линию пересечения вспомогательной плоскости с данной поверхностью и, наконец, определить точки пересечения линии с данной прямой. Эти точки и будут искомыми точками пересечения прямой с поверхностью.

Вспомогательную плоскость, проводимую через прямую при пересечении ею какой-либо поверхности, следует выбирать так, чтобы получались простейшие сечения.

В некоторых случаях показ вспомогательной плоскости излишен. Например, точки встречи прямой 1 с поверхностью прямого кругового цилиндра, имеющего вертикальную ось (рис. 9.20), определяют следующим образом

Горизонтальная проекция цилиндрической поверхности представляет собой окружность, поэтому горизонтальные проекции всех точек, расположенных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек встречи, будут расположены на этой же окружности

Фронтальные проекции  искомых точек встречи определяют проведением через точки  вертикальных линий связи до пересечения с фронтальной проекцией  прямой 1.

На рис. 9.21 построена точка пересечения горизонтально-проецирующей прямой с поверхностью кругового конуса. В этом случае также нет необходимости применять вспомогательную плоскость. Горизонтальная проекция  искомой точки совпадает с горизонтальной проекцией  данной прямой. Фронтальная проекция точки  определяется с помощью образующей  конуса.

На рнс. 9.22 показано построение точек встречи прямой общего положения 1 с конической поверхностью.

В данном случае целесообразно через прямую 1 провести вспомогательную плоскость общего положения, проходящую через вершину конуса, которая пересечет поверхность по образующим. Такую плоскость зададим следующим образом. Через произвольно взятую на прямой 1 точку  и вершину конуса  проведем прямую  Две пересекающиеся прямые  определяют плоскость  Находим горизонтальные следы  прямых  через которые пройдет горизонтальный след вспомогательной секущей плоскости  Отметим точки  в которых след  пересекает основание конуса, построим их фронтальные проекции и при их помощи найдем две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью  На пересечении этих образующих с фронтальной проекцией  прямой 1 отметим фронтальные проекции точек пересечения  Горизонтальные проекции точек  и построим при помощи линий связи.

На рис. 9.23 показано построение точек пересечения поверхности наклонного цилиндра с круговым основанием с прямой линией 1. Для этого через прямую 1 проведем вспомогательную плоскость  параллельно образующим цилиндра. Такая плоскость может быть задана двумя пересекающимися прямыми  проведенными через точку  (прямую  проводим параллельно образующим цилиндра).

Возьмем небольшую часть поверхности и точку на ней. Если через эту точку на поверхности проведем кривые и касательные к ним прямые, то последние оказываются в одной плоскости Эту плоскость называют касательной к плоскости в данной ее точке.

Рассмотрим несколько примеров построения касательной плоскости к поверхностям

На рис. 9.24 показано построение плоскости, касательной к сфере в точке 

Плоскость, касательная к сфере, перпендикулярна радиусу, проведенному в точке касания. Поэтому, проведя радиус  строим плоскость, задавая ее горизонталью  и фронталью  Эти прямые определяют плоскость, касательную к сфере в ее точке 

В рассмотренном примере касательная плоскость имеет с поверхностью одну общую точку.

На рис. 9.25 показано построение плоскости, касательной к цилиндру в точке  Здесь плоскость касается поверхности не в одной точке, а во всех точках на образующей.

Данная поверхность линейчатая. Поэтому через точку  можно провести образующую  которая является одной из двух пересекающихся, определяющих касательную плоскость. В качестве второй прямой можно взять касательную 1 к окружности – горизонтальному следу цилиндрической поверхности. Прямые  определяют искомую касательную плоскость. Прямая 1 является горизонтальным следом этой плоскости.

Способ вспомогательных секущих плоскостей

Линия пересечения двух поверхностей есть линия, принадлежащая обеим поверхностям. Следовательно, для построения линии пересечения поверхностей необходимо найти общие точки для данных поверхностей.

Линию пересечения поверхностей можно построить, применяя вспомогательные секущие плоскости (посредники), пересекающие данные поверхности по каким-либо линиям Взяв достаточное количество вспомогательных поверхностей, можно найти достаточное количество точек искомой линии.

Сформулируем общее правило построения линии пересечения поверхностей:

• –    выбираем вид вспомогательных поверхностей;
• –    строим линии пересечения вспомогательных поверхностей с заданными поверхностями;
• –    находим точки пересечения построенных линий и соединяем их между собой.

В качестве вспомогательных поверхностей выбирают такие, линии пересечения которых с заданными поверхностями проецируются в графически простые линии – прямые, окружности, т.к. при этих условиях задача решается проще и точнее. В качестве вспомогательных поверхностей можно использовать плоскости или сферы

Рассмотрим применение вспомогательных секущих плоскостей на примере построения линии пересечения сферы с конусом вращения (рис. 10.1). При построении точек линии пересечения поверхности вначале находят те точки, которые называют характерными или опорными. Основания заданных поверхностей, представленных окружностями, принадлежат горизонтальной плоскости проекций  В пересечении окружностей основания получаем опорные точки  По линии связи переносим эти точки на фронтальную проекцию.

Проведенная фронтальная плоскость уровня  проходящая через ось конической поверхности и центр сферы, пересекает коническую поверхность по контурным образующим  а сферу – по окружности, совпадающей с проекцией главного меридиана. В пересечении контурной образующей  и главного меридиана получим опорную точку  – наивысшую точку линии пересечения.

Промежуточные точки найдем при помощи горизонтальных плоскостей уровня  которые пересекают заданные поверхности по окружностям. При взаимном пересечении этих окружностей получают промежуточные точки искомой линии. Вначале находим горизонтальные проекции  точек на пересечении окружностей  получающихся от пересечения плоскостью  конуса и сферы Затем, используя линии связи и принадлежность этих точек плоскости  находим их фронтальные проекции 

Число вспомогательных секущих плоскостей, а, следовательно, и промежуточных точек линии пересечения зависит от требуемой точности решения

Относительно горизонтальной плоскости проекций видимой является заданная половинка сферы и коническая боковая поверхность. Следовательно, видима и вся горизонтальная проекция линии пересечения этих поверхностей.

Относительно фронтальной плоскости проекций видимой является часть 1, 4, 3, 2, фронтальная проекция линии пересечения, расположенная на видимых (передних) участках заданных поверхностей, а часть  невидима.

Заданные поверхности симметричны относительно фронтальной плоскости уровня  проходящей через оси их вращения, следовательно, симметрична и линия их пересечения относительно этой же плоскости. Значит, на фронтальной плоскости проекций  проекции видимой и невидимой частей линии пересечения совпадут и будут кривой второго порядка.

На чертеже одноименные проекции точек   соединяем плавной сплошной основной линией и получаем искомые проекции линии пересечения.

Как отмечалось выше, для нахождения промежуточных точек, принадлежащих линии пересечения, были использованы горизонтальные плоскости уровня.

Фронтальные плоскости уровня, кроме проходящей через ось конической поверхности плоскости  пересекают эту плоскость по сложным кривым (гиперболам). Значит, их не следует применять в качестве вспомогательных секущих поверхностей.

Проецирующие плоскости будут давать в пересечении сложные для построения на чертеже линии, поэтому их также нецелесообразно применять в качестве вспомогательных секущих плоскостей. Например, горизонтально-проецирующие плоскости, проходящие через ось заданной конической поверхности, будут пересекать ее по образующим, а сферу – по окружностям. Но эти окружности будут проецироваться на плоскость  в эллипсы.

После сравнения всех возможных вариантов в качестве вспомогательных секущих плоскостей были выбраны горизонтальные плоскости уровня, т.к. их применение дает наиболее простые графические построения на чертеже.

На рис. 10.2 приведено построение линии пересечения кругового конуса с вертикальной осью с фронтально-проецирующим цилиндром.

Характерные точки  определены непосредственно на эпюре. Характерные точки  находящиеся на контурной образующей цилиндра и определяющие границу видимости линии пересечения, а также точки  определены с помощью вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня  которые пересекают конус вращения по окружности, а цилиндр – по прямолинейным образующим. На пересечении горизонтальных проекций полученных окружностей и образующих получают общие точки, принадлежащие искомой линии пересечения. На плоскость проекций  линия пересечения проецируется на основание цилиндра.

На рис. 10.3 приведено построение линии пересечения кругового цилиндра с вертикальной осью и сферы

Ход решения задачи аналогичен описанному выше. В качестве вспомогательных секущих плоскостей использованы фронтальные плоскости уровня, которые пересекают сферу по окружностям, а цилиндр – по прямолинейным образующим. Опорные точки  лежащие на главном меридиане сферы, на фронтальной проекции построены при помощи линий связи

Способом вспомогательных секущих плоскостей можно воспользоваться для построения линии взаимного пересечения многогранной поверхности с поверхностью вращения.

На рис. 10.4 приведено построение линии пересечения трехгранной призмы и конуса.

В качестве вспомогательных секущих плоскостей приняты горизонтальные плоскости уровня Каждая секущая плоскость пересекает конус по окружности, радиус которой равен расстоянию от оси до образующей. Строим горизонтальные проекции окружностей и на их пересечении с проекциями ребер призмы находим проекции  опорных точек. Промежуточные точки находим с помощью плоскостей  и  Плоскости пересекают грани призмы по прямым линиям Их горизонтальные проекции при пересечении с соответствующей окружностью (проекцией линии пересечения плоскостей  с конусом) дают проекции промежуточных точек  Как видим на рис. 10.4, фронтальная проекция линии пересечения совпадает с проекцией основания призмы

Линией пересечения грани  призмы с поверхностью конуса являются ветви окружности, т.к. эта грань параллельна основанию конуса.

На рис. 10.5 приведено построение линии пересечения конуса и трехгранной призмы, грани которой являются горизонтально-проецирующими плоскостями.

Боковые грани призмы пересекаются с поверхностью конуса по гиперболам Построим точки, принадлежащие линиям пересечения, на каждой грани. Ребра  проецируются на окружность – проекцию основания конуса. Отметим точки  – эти точки будут принадлежать линии пересечения. Чтобы определить точку пересечения ребра 

которое пересекает боковую поверхность конуса, проведем через ребро  образующую  Точка пересечения фронтальной проекции  с ребром  дает искомую точку  пересечения ребра  с поверхностью конуса. Чтобы определить высшие точки линии пересечения, построим на боковой поверхности конуса образующие  перпендикулярно граням призмы Горизонтальные проекции точек пересечения образующих с гранями –  – будут искомыми. По линиям связи находим их фронтальные проекции –  Отметим точки  – точки, лежащие на крайних образующих конуса. Фронтальные проекции этих точек  будут определять границы видимости линий пересечения в гранях  Промежуточные точки определим при помощи вспомогательной секущей плоскости  – горизонтальной плоскости уровня. Плоскость  пересекает конус по окружности  а призму – по треугольнику, совпадающему с горизонтальной проекцией призмы Горизонтальные проекции точки, общие для линий пересечения  будут искомыми. Фронтальные проекции этих точек по линиям связи переносим на след секущей плоскости –   Соединяем плавной кривой точки, лежащие на одной грани, имея в виду, что точки  определяют границы видимости линий пересечения в гранях  Фронтальная проекция линии пересечения на грани  будет невидимой, т.к. находится на невидимой грани.

При помощи плоскости  находим линию пересечения конуса и верхнего основания призмы – окружности 

Частные случаи пересечения поверхностей второго порядка

При взаимном пересечении поверхностей второго порядка получается в некоторых случаях распадение .шиш пересечения на две плоские кривые второго порядка. Это бывает в тех случаях, когда обе пересекающиеся поверхности вращения (цилиндр и конус, два конуса и т.п.) описаны вокруг общей для них сферы В примерах, приведенных на рис. 11.1, а и 11.1, б, пересечение происходит по эллипсам

На рис. 11.2 показаны два цилиндра равного диаметра с пересекающимися осями. Из точки пересечения осей может быть проведена сфера, вписанная в оба цилиндра. Обе поверхности пересекаются по линии, состоящей из двух эллипсов.

Изображенные на рис. 11.1 и 11.2 кривые пересечения поверхностей проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямолинейных отрезков, т.к. общая плоскость симметрии для каждой пары рассмотренных поверхностей расположена параллельно плоскости 

Указанные выше построения основаны на следующих положениях:

1. поверхности второго порядка, имеющие двойное соприкосновение, пересекаются между собой по двум кривым второго порядка, причем плоскости этих кривых проходят через прямую, определяемую точками прикосновения;
2. две поверхности второго порядка, описанные около третьей поверхности второго порядка (или в нее вписанные), пересекаются между собой по двум кривым второго порядка. Это положение известно под названием теоремы Монжа.

Соосные поверхности вращения (т.е. поверхности с общей осью) пересекаются по окружностям. На рис. 11.3 даны три примера: а) цилиндр и сфера (см рис. 11.3, а); б) конус и сфера (см рнс. 11.3, б); в) две сферы (см рис 11.3, в).

Способ сфер

С помощью вспомогательных сферических поверхностей удобно строить линии пересечения двух поверхностей вращения с общей плоскостью симметрии, параллельной одной из плоскостей проекций.

При этом возможны два случая:

1. если оси поверхностей вращения пересекаются, то для построения линии пересечения этих поверхностей применяют семейство концентричных сфер;
2. если оси поверхностей вращения не пересекаются, то используют эксцентрические сферы

План решения задачи способом концентрических сфер следующий:

1. принимая точку пересечения осей заданных поверхностей за центр, строим вспомогательные сферы – посредники;
2. определяем окружности, по которым пересекаются сферы-посред-ники с каждой из заданных поверхностей;
3. находим общие точки пересечения полученных окружностей.

Эти точки и принадлежат искомой линии пересечения поверхностей.

На рис. 11.4 построена линия пересечения двух конусов вращения, оси которых пересекаются, образуя общую фронтальную плоскость симметрии.

В данном случае применены вспомогательные сферы, проведенные из одного и того же центра – точки  пересечения осей конусов. Диапазон радиусов сфер определяется минимальным и максимальным радиусами. Минимальный радиус секущей сферы назначается из условия касания сферы одной и пересечения другой пересекающейся поверхности. Максимальным радиусом является отрезок прямой от цетнра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерков пересекающихся поверхностей. Окружности, по которым сферы пересекают одновременно две поверхности, проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде прямолинейных отрезков.

Точки пересечения фронтальных проекций очерковых образующих являются высшими и низшими точками линии пересечения Точки  на фронтальной проекции, наиболее близко расположенные к оси вертикального конуса, определены с помощью сферы радиуса  вписанной в этот конус. Промежуточные точки  получены при помощи сферы радиуса  очерк которой на фронтальной проекции изобразится в виде окружности этого же радиуса. Сфера радиуса  пересечет горизонтальный конус по окружности диаметра  а вертикально расположенный конус – по окружности  В пересечении полученных проекций окружностей – отрезков  – получаем искомые точки  линии пересечения

Изменяя радиус  вспомогательной секущей сферы, можно получить последовательный ряд точек линии пересечения Недостающие горизонтальные проекции точек линии пересечения определяют на соответствующих параллелях вертикального конуса. Точки  в которых происходит разделение горизонтальной проекции линии пересечения на видимую и невидимую ветви, определены с помощью горизонтальной плоскости проходящей через ось горизонтального конуса.

Пример построения линии пересечения двух поверхностей вращения способом эксцентрических сфер приведен на рис. 11.5 (открытый тор пересекается с конусом вращения).

Поверхности имеют одну общую плоскость симметрии. Оси пересекающихся поверхностей вращения между собой не пересекаются. Поверхности заданы фронтальными отрезками.

При построении линии пересечения поверхностей прежде всего определяем точки 1 и 2 пересечения очерковых образующих поверхностей. Затем через ось вращения тора проводим фронтально-проецирующую плоскость  Она пересекает тор по окружности. Центры сфер, пересекающих тор по окружности, находятся на перпендикуляре, восстановленном в центре окружности к плоскости  Пересечение этого перпендикуляра с осью конуса вращения даст центр  вспомогательной секущей сферы с радиусом  Такая сфера пересекает как тор, так и конус вращения по окружностям, фронтальные проекции которых – отрезки  прямых. Точки  пересечения окружностей принадлежат фронтальной проекции линии пересечения поверхностей.

Аналогично определяют другие промежуточные точки линии пересечения поверхностей. Вспомогательные сферы имеют различные центры, находящиеся на оси конуса вращения.

Построение развертки поверхности простейших геометрических тел

Построение разверток имеет большое практическое значение, так как позволяет изготавливать разнообразные изделия из листового материала путем изгибания.

Разверткой поверхности называется фигура, полученная совмещением поверхности без складок и разрывов с плоскостью чертежа.

Не все поверхности можно совместить с плоскостью чертежа, поэтому те поверхности, которые можно совместить без разрывов и складок с плоскостью, называются развертывающимися, а поверхности, которые не могут быть совмещены с плоскостью, называются неразвертывающимися

К развертывающимся поверхностям относятся все многогранники, конические и цилиндрические поверхности.

Построение развертки поверхностей прямых призмы, цилиндра, конуса выполняется просто, без применения каких-либо специальных приемов. Для построения их разверток надо знать натуральную величину ребер, образующих и оснований

На рис. 12.1 – 12.4 показано построение разверток поверхностей простейших геометрических тел.

Развертка поверхности прямой трехгранной призмы (см. рис. 12.1) состоит из трех прямоугольников, которые являются боковыми гранями, и двух треугольников – оснований призмы.

Развертка поверхности прямого кругового цилиндра (см. рис. 12.2) состоит из прямоугольника, высота которого равна высоте цилиндра, а ширина – длине окружности, равной окружности оснований цилиндра.

Развертка поверхности трехгранной пирамиды (см. рис. 12.3) представляет собой три треугольника – боковые грани – и еще один треугольник – основание пирамиды

Натуральную величину ребер находят одним из методов преобразования. В данном случае применяется способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекций  и проходящей через вершину пирамиды – точку 

Развертка поверхности прямого кругового конуса (см. рис. 12.4) представляет собой сектор, радиус которого равен длине образующей конуса.

Угол 

где  – диаметр окружности основания,  – длина образующей конуса).

Построение развертки наклонных призматических, цилиндрических и конических поверхностей

Дня построения развертки наклонных поверхностей применяют различные способы:

• а) способ раскатки;
• б) способ нормального сечения;
• в) способ триангуляции (треугольников).

Способ раскатки используют в том случае, когда основание призмы или цилиндра на одной из плоскостей проекций изображается в натуральную величину, а ребра или образующие поверхностей параллельны другой плоскости проекций, т.е. также имеют натуральную величину.

Способ раскатки основан на последовательном совмещении всех граней призмы с плоскостью проекций. Для определения натуральной величины граней используется вращение грани вокруг одной из ее сторон как линии уровня.

На рис. 12.5 дано построение развертки поверхности наклонной трехгранной призмы способом раскатки.

Ребра призмы параллельны плоскости проекций  поэтому на эту плоскость они проецируются в натуральную величину. Основание призмы принадлежит горизонтальной плоскости проекций и на нее проецируется в натуральную величину.

Дня построения развертки необходимо повернуть каждую грань призмы вокруг бокового ребра до положения, при котором она станет параллельной фронтальной плоскости проекций.

Раскатка боковой поверхности призмы начата с грани  Чтобы повернуть ее вокруг ребра  как оси вращения, до положения, параллельного плоскости проекций  из точек  проводят перпендикуляры и на них из точек  делают засечки раствором циркуля, равным натуральной величине стороны  основания призмы, т.е. ее горизонтальной проекции Параллелограмм  является натуральной величиной грани 

Далее вращают следующую грань  призмы. За новую ось вращения принимают ребро  Для этого из точек  проводят перпендикуляры и на них из точек  делают засечки раствором циркуля, равным 

Параллелограмм  – натуральная величина грани  Натуральная величина грани  построена аналогично. Соединив точки  прямыми, получают развертку боковой поверхности и к ней пристраивают основания. Их строят как треугольники, по трем сторонам.

На рис. 12.6 дано построение развертки наклонного цилиндра способом раскатки.

Так как образующие цилиндра занимают общее положение и поэтому не имеют натуральную величину, то необходимо выполнить следующие построения:

1. сначала заменяют фронтальную плоскость проекций  на новую  выбирая ее так, чтобы образующие цилиндра на новую плоскость проекций проецировались в натуральную величину. Для этого новую ось проекций проводят параллельно образующим цилиндра;
2. делят окружность основания цилиндра на  равных частей (см. рис. 12.6);
3. заменяют цилиндрическую поверхность призматической, т.е. вписывают в цилиндр восьмигранную призму. Для этого через точки деления окружности основания проводят прямолинейные образующие цилиндра – ребра призмы;
4. за плоскость развертки принимают фронтальную плоскость, проходящую через ребро  призмы, которое будет являться осью вращения граней призмы Дальнейшие построения аналогичны выполненным на рис. 12.5.

Способ нормального сечения применим в том случае, когда ребра призмы или образующие цилиндра параллельны одной из плоскостей проекций, т.е. проецируются на нее в натуральную величину.

На рис. 12.7 дано построение развертки поверхности трехгранной наклонной призмы способом нормального сечения

Построения выполняют в следующем порядке:

1. призму пересекают нормальной (перпендикулярной к ее ребрам) плоскостью  Так как ребра призмы параллельны фронтальной плоскости проекций и на нее проецируются в натуральную величину, то нормальная плоскость будет являться фронтально-проецирующей плоскостью;
2. строят проекции и определяют натуральную величину нормального сечения. На рис. 12.7 фронтальная проекция фигуры нормального сечения  совпадает со следом плоскости  Натуральную величину фигуры сечения  строят способом плоскопараллельного перемещения. Для этого плоскость  располагают параллельно горизонтальной плоскости проекций, чтобы фигура сечения проецировалась на плоскость проекций  в натуральную величину;
3. натуральную величину фигуры нормального сечения на свободном поле чертежа разворачивают в прямую линию  и через вершины сечения перпендикулярно линии  проводят прямые;
4. на перпендикулярах по обе стороны откладывают длины соответствующих отрезков ребер призмы Их величины измеряют от линии сечения до оснований в обе стороны и откладывают на перпендикулярах. Полученные точки  соединяют отрезками прямых;
5. пристраивают к полученной фигуре основания. Их строят по трем сторонам.

На рис. 12.8 построена развертка поверхности наклонного цилиндра с круговым основанием.

Образующие цилиндра параллельны плоскости проекций  поэтому и в этом примере применяют способ нормального сечения Для этого выполняют следующие построения:

1. делят основание цилиндра на 12 частей;
2. проводят через точки деления основания образующие;
3. проводят плоскость  перпендикулярную к образующим цилиндра;
4. находят натуральную величину нормального сечения. В данном примере она найдена способом плоскопараллельного перемещения;
5. на свободном попе чертежа натуральную величину линии сечения разворачивают в прямую линию 
6. через точки деления проводят перпендикулярно прямой  отрезки, на которых откладывают длины образующих от линии сечения до оснований. Длину образующих берут на фронтальной плоскости проекций;
7. полученные точки соединяют плавной кривой. Образованная фигура является разверткой боковой поверхности наклонного цилиндра.

Сущность способа триангуляции (треугольников) состоит в том, что каждая грань многогранника разбивается диагональю на два треугольника, далее определяют натуральную величину всех сторон треугольников, которые последовательно в натуральную величину вычерчиваются на свободном поле чертежа.

На рис. 12.9 дано построение развертки поверхности наклонной призмы

Построение выполняют в следующем порядке:

1. каждую грань  разбивают диагоналями на два треугольника. Затем определяют натуральную величину всех сторон треугольников, одной из сторон любого треугольника будет являться ребро призмы, второй – диагональ, а третьей -сторона основания наклонной призмы. Основание призмы принадлежит плоскости проекций  поэтому проецируется на нее в натуральную величину;
2. все ребра призмы одинаковые, поэтому находят натуральную величину одного из ребер  призмы любым из способов преобразования В данном случае применяют способ вращения вокруг прямой, перпендикулярной плоскости проекций  и проходящей через точку 
3. находят натуральную величину диагоналей способом плоско параллельного перемещения;
4. на свободном попе чертежа последовательно в натуральную величину вычерчиваются треугольники  по трем сторонам;
5. для построения полной развертки поверхности наклонной призмы клюбой грани пристраивают два основания

На рис. 12.10 дано построение развертки поверхности наклонного конуса.

Построение развертки конической поверхности выполняется так же. как в случае построения развертки боковой поверхности пирамиды – способом триангуляции (треугольников).

Для этого заменяют поверхность конуса вписанной восьмигранной или двенадцатигранной пирамидой. Определяют длину всех образующих любым из методов преобразования, а затем строят треугольники в определенном порядке так, чтобы они примыкали друг к другу. Фигура  является приближенной разверткой поверхности наклонного конуса.

Для построения развертки боковой поверхности наклонного усеченного конуса (рис. 12.11) выполняют следующие построения:

1. вписывают в конус многогранную усеченную пирамиду;
2. разбивают диагоналями каждую грань вписанной пирамиды на два треугольника;
3. определяют натуральную величину всех сторон треугольников (натуральную величину ребер и диагоналей) способом плоскопараллельного перемещения. Нижнее и верхнее основания конуса на горизонтальную плоскость проекций проецируются в натуральную  величину.  

Построение развертки поверхности сферы

Построение развертки поверхности сферы выполняется способом вспомогательных цилиндров (рис. 12.12). Этот способ заключается в следующем: заданная поверхность сферы разбивается с помощью меридианов на равные между собой части или доли. Каждая доля заменяется цилиндрической поверхностью, которая касательна к поверхности сферы в точках главного меридиана доли.

Развертка поверхности сферы выполняется в следующем порядке:

1. поверхность сферы деляг на 6 частей горизонтально-проецирующими плоскостями, которые являются меридианами;
2. описывают вокруг сферы цилиндрическую поверхность, ось которой проходит через центр сферы перпендикулярно  таким образом, часть сферы заменяют частью цилиндрической поверхности. На горизонтальную плоскость проекций она проецируется в виде треугольника  а на фронтальную – в виде дуги окружности;
3. делят фронтальную проекцию дуги окружности на 6 равных частей Величина отрезков  будет натуральной на плоскости проекций  Строят горизонтальные проекции образующих, проходящих через соответствующие точки деления;
4. находят натуральную величину образующих  на плоскости проекций  так как образующие параллельны горизонтальной плоскости проекций;
5. для построения развертки главный меридиан разворачивают в прямую линию и на ней откладывают вверх и вниз отрезки, равные  а через полученные точки откладывают вправо и влево отрезки, равные 
6. соединив плавной кривой концы отрезков, получают развертку одной доли, т.е.  части поверхности сферы. Полная развертка поверхности сферы будет состоять из шести одинаковых долей.

Поверхности и позиционные задачи

Вопрос о принадлежности точки и линии поверхности был рассмотрен выше. Остановимся на задачах по определению линии пересечения поверхностей и точек пересечения линии с поверхностью.

Сечение поверхности плоскостью

Начнем с рассмотрения пересечения многогранника плоскостью.

Для построения сечения существуют два подхода: фиксируются точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью или определяются линии пересечения граней с секущей плоскостью.

Рисунок 8.21 – Сечение призмы плоскостью

Рисунок 8.22 -Сечение пирамиды плоскостью   

В сечении четырехгранной призмы плоскостью получается четырехугольник (рисунок 8.21). Вершины этого четырехугольника можно рассматривать, как точки пересечения ребер призмы с плоскостью Р.

В силу того, что призма занимает положение проецирующей поверхности, все ее ребра суть проецирующие прямые (в соответствии с рисунком 8.21 – горизонтально – проецирующие). И задача сводится к отысканию точек пересечения (1, 2, 3 и 4) проецирующих прямых (ребер) с плоскостью Р. Объединение соответствующих проекций позволяет получить проекции плоского сечения.

Аналогично может быть получено сечение пирамиды плоскостью. Например, пирамиды ABCS плоскостью общего положения Р (рисунок 8.22).

В силу того, что ребра пирамиды являются линиями общего (BS и CS) и частного (AS) положения, задача сводится к отысканию точек пересечения прямых с плоскостью Р.

Объединение соответствующих проекций позволяет получить проекции плоского сечения

Представление поверхностей вращения, как многогранников с бесчисленным числом сторон, приводит к мысли о том, что сечение поверхности вращения плоскостью может быть получено аналогичным же образом.

Сечением такого цилиндра плоскостью будет эллипс, в случае прохождения плоскости через ось вращения вырожденный (две параллельные прямые).

Рисунок 8.23 – Сечение цилиндра плоскостью общего положения

Рассмотрим возможность построения сечения проецирующего цилиндра плоскостью общего положения Р (рисунок 8.23). В силу начальных условий, одна проекция сечения уже определена В этом случае задача сводится к отысканию точек сечения, лежащих на поверхности цилиндра.

Большая ось эллипса лежит в горизонтально проецирующей плоскости Q проходящей через ось вращения.

Варианты вида линий пересечения конуса плоскостью рассмотрены выше (в разделе 7.4). Здесь (рисунок 8.24) рассматривается механизм построения линии на поверхности конуса. Пусть конус вращения пересекается плоскостью общего положения Р. В соответствии с рисунком 7.5, в сечении должна получиться замкнутая кривая — эллипс.

Крайние точки кривой (3,4), лежат на очерковых образующих, и могут быть найдены, как точки их (образующих) пересечения с плоскостью Р.

Большая ось эллипса (1,2) определится аналогично предыдущей задаче. Она лежит в горизонтально-проецирующей плоскости Q проходящей через ось вращения конуса, на линии пересечения Q и Р — линии MN.

Рисунок 8.24 – Сечение конуса плоскостью общего положения
Промежуточные точки определятся во вспомогательных плоскостях перпендикулярных оси вращения.

Сопряженная ’’малая” ось эллипса 56 может быть получена в плоскости R, проходящей через точку О, середину отрезка 12 (большая ось эллипса).

В общем случае промежуточные точки могут быть найдены и другим способом.

Подводя итог рассмотренным решениям, можно отметить, что линии пересечения строятся по точкам, которые на поверхности можно зафиксировать, введя дополнительные плоскости. Этот подход и определяет общую методику построения линии пересечения поверхностей.

Способ секущих плоскостей

Этот способ применяют для построения линии пересечения поверхностей, позволяющих получать (одновременно) во вводимых секущих плоскостях, графически простые линии (прямые или окружности). Это утверждение может быть проиллюстрировано на примере пересечения цилиндра и конуса Ф рисунок 8.25.

Рисунок 8.25 – Метод секущих плоскостей

Здесь в качестве вспомогательных секущих плоскостей выступают горизонтальные плоскости уровня На поверхности конуса (в силу того, что они перпендикулярны оси вращения) эти плоскости выделяют окружности, а на поверхности цилиндра – параллельные прямые (образующие).

Характерные точки А, В линии пересечения определяют в пересечении фронтальных очерков. Текущие точки линии пересечения определятся как результат пересечения соответствующих окружностей и прямых в секущих плоскостях Sj.

Способ секущих сфер

Этот способ базируется на том, что две соосные поверхности вращения пересекаются по окружности, лежащей в плоскости, перпендикулярной общей оси вращения.

Сфера будет соосна с любой поверхностью вращения, если ее центр ле-

жит на оси вращения этой поверхности (рисунок 8.26). Это и определяет возможность использовать сферу в качестве вспомогательной секущей поверхности.

Условиями применения сферы в этом качестве следующие: рассматриваются поверхности вращения, их оси должны пересекаться в одной точке – центре секущих сфер.

При этом желательно, чтобы плоскость, образованная пересечением осей, была бы параллельна одной из плоскостей проекции.

Линия пересечения двух цилиндров Ф и А может быть найдена с помощью метода секущих сфер. Это определяется тем, что выполняются все поставленные выше условия.

Линия пересечения распадается на две ветви, нижнюю и верхнюю, построение которых аналогично (рисунок 8.27).

Фронтальные проекции характерных точек линии пересечения и определятся в результате пересечения фронтальных очерков горизонтальные определятся по принадлежности этих точек цилиндру Ф.

Низшая точка линии пересечения (3) определяется введением сферы которая пересечет цилиндр Ф по окружности l (фронтальная проекция этой окружности совпадет с фронтальной проекцией оси вращения цилиндра

С цилиндром эта же сфера пересечется по окружности m Точка 3 и есть результат пересечения окружностей l и m. Промежуточные точки определятся аналогично, как пересечение окружностей, получающихся в пересечении произвольных сфер с цилиндрами Фронтальные проекции точек линии пересечения определяются как пересечения отрезков прямых, в которые вырождаются окружности, перпендикулярные оси вращения, а горизонтальные проекции находятся по принадлежности одной из поверхностей. В данном случае – поверхности Ф.

Пересечение многогранников

Построение линии пересечения многогранников можно свести к двум вариантам: определению точек пересечения ребер одного из многогранников с гранями другого и определению линий пересечения граней обоих многогранников.

Рассмотрим построение линии пересечения двух призм: прямой призмы Ф и наклонной призмы (рисунок 8.28).

Грани прямой призмы Ф представляют собой проецирующие плоскости, что позволяет однозначно определить горизонтальную проекцию линии пересечения, точки  Фронтальные проекции и этих точек находятся на сответствующих фронтальных проекциях ребер наклонной призмы.

Точки 7 и 8 определятся введением через точку Е дополнительной секущей плоскости параллельной ребрам наклонной призмы

Пересечение линии и поверхности

Задача формулируется так: построить точки пересечения кривой t с поверхностью Ф.

Решение для частного случая рассматривалось выше в (разделе 4.3), как задача по определению точки пересечения прямой и плоскости.

В общем случае выполняется следующее:

Проиллюстрируем все это на примере построения точек пересечения прямой t с конической поверхностью Ф (рисунок 8.29).

Прямую t целесообразно отнести к плоскости общего положения Г проходящей через вершину S конической поверхности Ф. Тогда Г пересечёт Ф по образующей /??, что значительно упрощает решение.

На первом этапе строится линия 12 пересечения плоскости Г с плоскостью основания конической поверхности. Затем определяется положение линии т.

Пересечение образующей m и линии t и определит решение – точку К.

Для общего случая решение задачи на пересечение цилиндроида с пространственной кривой выглядит следующим образом (рисунок 8.30).

Кривая t заключается во фронтально проецирующую цилиндрическую поверхность Г’ которая пересекает цилиндроид Ф по кривой т. Так как то ее фронтальная проекция совпадает с вырожденной проекцией вспомогательной поверхности Г.

Горизонтальная проекция линии пересечения т строится по точкам из условия принадлежности цилиндроиду Ф. Линии t и m, принадлежащие поверхности Г, пересекаются в искомых точках L и L’.

Приведенное решение является типовым. В ряде случаев для более точного построения линии пересечения данной и вспомогательной поверхностей или для упрощения построений целесообразно использовать другие виды вспомогательных поверхностей.

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

7.1. Поверхности. Образование и задание поверхности на чертеже

Поверхности составляют широкое многообразие объектов трехмерного пространства. Инженерная деятельность человека связана непосредственно с проектированием, конструированием и изготовлением различных поверхностей. Большинство задач прикладной геометрии сводится к автоматизации проектно-конструкторского процесса и воспроизведения сложных поверхностей. Способы формообразования и отображения поверхностей составляют основу инструментальной базы трехмерного моделирования современных систем автоматизированного проектирования.

Рассматривая поверхности как непрерывное множество точек, между координатами  которых может быть установлена зависимость, определяемая уравнением вида F(x,y,z)=0, можно выделить алгебраические поверхности (F(x,y,z)— многочлен n-ой степени и трансцендентные (F(x,y,z)— трансцендентная функция.

Если алгебраическая поверхность описывается уравнением n-й степени, то поверхность считается поверхностью n-го порядка. Произвольно расположенная секущая плоскость пересекает поверхность по кривой того же порядка (иногда распадающейся или мнимой), какой имеет исследуемая поверхность. Порядок поверхности может быть определен также числом точек её пересечения с произвольной прямой, не принадлежащей целиком поверхности, считая все точки (действительные и мнимые).

Поверхность можно рассматривать, как совокупность последовательных положений l₁,l₂… линии l перемещающейся в пространстве по определенному закону (Рисунок 7.1). В процессе образования поверхности линия l может оставаться неизменной или менять свою форму — изгибаться или деформироваться. Для наглядности изображения поверхности на эпюре Монжа закон перемещения линии l целесообразно задавать графически в виде одной линии или целого семейства линий (m, n, p…).

Подвижную линию принято называть образующей (l_i), неподвижные – направляющими (m). Такой способ образования поверхности принято называть кинематическим.

Примером такого способа могут служить все технологические процессы обработки металлов режущей кромкой, когда поверхность изделия несёт на себе «отпечаток» режущей кромки резца, т.е. её поверхность можно рассматривать как множество линий конгруэнтных профилю резца.

Рисунок 7.1 — Кинематическая поверхность

По виду образующей различают поверхности линейчатые и нелинейчатые, образующая первых – прямая линия, вторых – кривая.

Линейчатые поверхности в свою очередь разделяют на развертывающиеся, которые можно без складок и разрывов развернуть на плоскость и неразвертывающиеся.

Значительный класс поверхностей формируется движением окружности постоянного или переменного радиуса. Такие поверхности носят название циклические (Рисунок 7.2).

 
Рисунок 7.2 — Циклическая поверхность

Если  группировать поверхности по закону движения образующей линии, то большинство встречающихся в технике поверхностей можно разделить на:

• поверхности вращения;
• винтовые поверхности;
• поверхности с плоскостью параллелизма;
• поверхности параллельного переноса.

Особое место занимают такие нелинейные поверхности, образование которых, не подчинено ни какому закону. Оптимальную форму таких поверхностей определяют теми физическими условиями, в которых они работают и устанавливают форму экспериментально (поверхности лопастей турбин, обшивка каркасов морских судов и самолетов).

Для графического изображения поверхности на чертеже используется её каркас.

Множество линий, заполняющих поверхность так, что через каждую точку поверхности проходит в общем случае одна линия этого множества, называется каркасом поверхности.

Поверхность может быть задана и конечным множеством точек, которое принято называть точечным каркасом.

Проекции каркаса могут быть построены, если задан определитель поверхности – совокупность условий, задающих поверхность в пространстве и на чертеже.

Различают две части определителя: геометрическую и алгоритмическую.

Геометрическая часть определителя представляет собой набор постоянных геометрических элементов (точек, прямых, плоскостей и т.п.), которые могут и не входить в состав поверхности.

Вторая часть – алгоритмическая (описательная) – содержит перечень операций, позволяющий реализовать переход от фигуры постоянных элементов к непрерывному каркасу.

Например, циклическая поверхность, каркас которой состоит из восьмиугольников (Рисунок 7.3), может быть задан следующим образом:

• Геометрическая часть определителя: три направляющих l, m, n.

• Алгоритмическая часть: выбираем плоскость α; находим точки А, В, С, в которых α пересекает соответственно направляющие l, m, n. Строим восьмиугольник, определяемый тремя найденными точками. Переходим к следующей плоскости и повторяем построение

Рисунок 7.3 –Образование циклической поверхности

7.2. Поверхности вращения

Поверхностями вращения называются поверхности, полученные вращением образующей вокруг неподвижной оси (Рисунок 7.5).

Цилиндрическая и коническая поверхности бесконечны (т.к. бесконечны образующие); сферическая, торовая поверхности — конечны.

Сферическая поверхность – частный случай торовой поверхности. При вращении окружности вокруг осей б, в, г (Рисунок 7.4, а) получим торовую поверхность (Рисунок 7.4, б), а вокруг оси а – сферическую.

Рисунок 7.4 – Образование поверхностей вращения

Рисунок 7.5 – Элементы поверхности вращения

Каждая точка образующей линии при вращении вокруг оси описывает окружность, которая располагается в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Эти окружности называются параллелями (Рисунок 7.5).

Наименьшая параллель называется горлом, наибольшая – экватором.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящей через ось, называется меридианом.

Линия пересечения поверхности вращения плоскостью, проходящая через ось, параллельно фронтальной плоскости проекций, называется главным меридианом.

7.3. Цилиндрическая поверхность

Цилиндрическая поверхность образуется движением прямой линии, которая в любом своём положении параллельна данному направлению и пересекает криволинейную направляющую (Рисунок 7.6).

Цилиндр – геометрическое тело, ограниченное замкнутой цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими все образующие данной поверхности.

Взаимно параллельные плоские фигуры, ограниченные цилиндрической поверхностью, называются основаниями цилиндра.

Если нормальное сечение (плоскость сечения перпендикулярна образующим) имеет форму окружности, то цилиндрическая поверхность называется круговой.

Если образующие цилиндрической поверхности перпендикулярны к основаниям, то цилиндр называется прямым, в противном случае – наклонным.

Рассмотрим проецирование прямого кругового цилиндра  и принадлежащей ему точки F.

Условимся, что фронтальная проекция точки F – невидима (Рисунок 7.6).

Рисунок 7.6 – Проецирование цилиндра на плоскости проекций

Горизонтальная и профильная проекции точки F будут видимы.

При определении видимости, образующие, которые находятся на части, обращённой к наблюдателю и обозначенной на π₁ сплошной зелёной  линией – на плоскости проекции π₂ видны, а которые находятся на части, обозначенной толстой штриховой линией – видны на π₃.

Пусть точка А на π₂ видима (Рисунок 7.7). Тогда на π₁ она будет видима, а на π₃ невидима.

Рисунок 7.7 – Эпюр прямого кругового цилиндра и принадлежащих ему точек

7.4. Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Для построения точек пересечения прямой линии с поверхностью прямого кругового цилиндра не требуется дополнительных построений. На горизонтальной плоскости проекций точки пересечения (1 и 2) находятся сразу. Фронтальные проекции строим по линиям связи.

Но в общем случае, алгоритм решения рассмотрим на следующем упражнении.

Рисунок 7.8 – Пересечение прямой с поверхностью прямого кругового цилиндра

Упражнение

Заданы: прямой круговой цилиндр с осью вращения, перпендикулярной плоскости проекций π₁ и прямая а общего положения (Рисунок 7.8).

Построить точки пересечения прямой а с поверхностью цилиндра.

Решение:

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

1. Заключить прямую во вспомогательную секущую плоскость частного положения σ (горизонтально-проецирующую).
2. Построить фигуру пересечения поверхности цилиндра горизонтально-проецирующей плоскостью: результат пересечения — четырехугольник (на π₂ условно заштрихован).
3. Найти точки «входа» и «выхода» прямой: на пересечении её фронтальной проекции с фронтальными проекциями сторон четырёхугольника (они же — проекции образующей цилиндра);

Прямая а пересекается со сторонами сечения в двух точках – 1 и 2.

Определим видимость участков прямой: очевидно, что между точками 1-2 прямая невидима, а на плоскости проекций π₂ будет ещё невидим участок прямой от точки 1 до левой крайней образующей.

7.5. Пересечение прямой с поверхностью наклонного цилиндра

Упражнение

Заданы: наклонный круговой цилиндр с осью вращения, наклонной к плоскости проекций π₁ и прямая mобщего положения (Рисунок 7.9).

Построить точки пересечения прямой mс поверхностью цилиндра.
Решение:

Для построения точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра необходимо:

Рисунок 7.9 – Пересечение прямой с наклонным цилиндром

1. Заключить прямую m во вспомогательную плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру – четырехугольник (σ параллельна оси цилиндра или образующим). Эту плоскость зададим двумя пересекающимися прямыми m∩(1M);
2. Построить горизонтальный след плоскости σ (прямую пересечения σ с плоскостью проекций π₁) как проходящую через горизонтальные следы прямых m и (1M) (точки пересечения прямых с плоскостью проекций π₁ (основания)) – (MN);
3. Найти точки пересечения MN с окружностью основания цилиндра. Через эти точки провести образующие r, по которым плоскость σ пересекает боковую поверхность цилиндра:

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с наклонным цилиндром.

7.6. Сферическая поверхность

Сферическая поверхность – поверхность, образованная вращением окружности вокруг отрезка, являющегося её диаметром.

Шаром называется тело, ограниченное сферической поверхностью.

Экватор – это окружность, которая получается пересечением сферы горизонтальной плоскостью, проходящей через ее центр (Рисунок 7.10).

Меридиан – это окружность, которая получается пересечением сферы плоскостью, перпендикулярной плоскости экватора и проходящей через центр сферы.

Параллелями называются окружности, которые получаются пересечением сферы плоскостями, параллельными плоскости экватора.

Рисунок 7.10 – Проецирование сферической поверхности

Прямоугольная проекция шара (сферы) на любую плоскость – есть окружность, которую часто называют очерковой.

Рисунок 7.11 – Эпюр сферы и принадлежащих ей точек

Упражнение

Заданы: сферическая поверхность тремя проекциями (Рисунок 7.11) и фронтальные проекции точек 1, 2, 3, 4.

Необходимо построить горизонтальные и профильные проекции заданных точек.

Решение.

• Проанализируем их расположение на поверхности сферы. Точки 1, 2, 3 лежат на очерковых образующих сферы.
• Точка 1 принадлежит главному меридиану (очерковой окружности на π₂), проекция которого на π₁ совпадает с проекцией горизонтальной оси, на π₃ – с проекцией вертикальной оси.
• Недостающие проекции точки 1 находим посредством линий проекционной связи. Все проекции точки 1 видимы.
• Рассмотрим положение точки 2. Точка 2 принадлежит экватору (очерковой окружности на π₁), проекции которого на π₂ и π₃ совпадают с проекцией горизонтальной оси. Горизонтальная проекция точки 2 строится посредством линии проекционной связи, для построения профильной проекции необходимо измерить расстояние, отмеченное дугой, и отложить его по линии связи от точки О₃ вправо. Профильная проекция точки 2 невидима.
• Точка 3 принадлежит очерковой окружности на π₃, которая также является меридианом, проекции которого на π₂ и π₁ совпадают с проекцией вертикальной оси. Профильная проекция точки строится посредством линии проекционной связи. Для построения горизонтальной проекции точки 3 необходимо расстояние, отмеченное на π₃ двумя засечками,  отложить на π₁ вверх от точки О₁. Горизонтальная и профильная проекции точки 3 видимы.
• Для построения проекций точки 4 необходимо ввести вспомогательную секущую плоскость (зададим плоскость σ//π₁ и σ⊥π₂). Плоскость σ пересекает поверхность сферы по окружности радиусом r. На π₁ строим данное сечение и по линии проекционной связи находим 4₁. Для построения профильной проекции необходимо расстояние, отмеченное засечкой, отложить по линии проекционной связи на π₃ вправо от оси. Все проекции точки 4 видимы.

7.7. Пересечение прямой с поверхностью сферы

Упражнение

Заданы: сфера и  прямая общего положения АВ.

Найти: точки пересечения прямой с поверхностью сферы (точки «входа» и «выхода»).

Чтобы найти точки пересечения прямой с поверхностью сферы необходимо:

1. Заключить прямую во вспомогательную плоскость, пересекающую поверхность сферы так, чтобы получались простые фигуры (например, круг, ограниченный окружностью);
2. Построить фигуру пересечения сферы вспомогательной плоскостью;
3. Найти общие точки прямой и контура фигуры (окружность): так как прямая и окружность лежат в одной плоскости, то они, пересекаясь, образуют точки, общие для прямой и сферы, которые и будут являться искомыми точками (Рисунок 7.12).

Решение

• Через прямую проводим плоскость σ. Пусть σ⊥π₁ и пересекает сферу по окружности радиусом r. С – центр окружности сечения ОС⊥σ:

Рисунок 7.12 – Пересечение прямой с поверхностью сферы

• Введём π₃⊥π₁ и π₃//σ₁. Построим проекцию окружности сечения на π₃ и проекцию А₃В₃.
• Находим точки их пересечения 1₂ и 2₃.
• Определим видимость участков прямой.
• На π₁ точки 1 и 2 находятся на переднем полушарии, следовательно, на π₂ они видимы.

7.8. Коническая поверхность

Коническая поверхность образуется движением прямой линии (образующей), которая в любом своем положении проходит через неподвижную точку и пересекает криволинейную направляющую (имеет две полости).

Тело, ограниченное замкнутой конической поверхностью вершиной и плоскостью, называется конусом.

Плоская фигура, ограниченная конической поверхностью, называется основанием конуса.

Часть конической поверхности, ограниченная вершиной и основанием, называется боковой поверхностью конуса.

Если основание конуса является кругом, то конус называется круговым.

Если вершина конуса расположена на перпендикуляре к основанию, восстановленному из его центра, то конус называется прямым круговым.

Перемещая точку A» — можно изменять диаметр основания конуса;
перемещая точку O’ — можно менять положение точки на поверхности конуса.

Рисунок 7.13 – Принадлежность точки конической поверхности

Рассмотрим вопрос принадлежности точки А поверхности конуса.
Дана фронтальная проекция точки А и она видима (Рисунок 7.13).

1 способ. Для построения ортогональных проекций точки, расположенной на поверхности конуса,  построим проекции образующей, проходящей через данную точку. При таком положении точки А все её проекции – видимы.

2 способ. Точка А лежит на параллели конуса радиусом r. На π₁ строим проекцию окружности (параллели) и по линии проекционной связи находим А₁. По двум проекциям точки строим третью.

7.9. Пересечение прямой с поверхностью конуса

Пусть задан прямой круговой конус и прямая общего положения m (Рисунок 7.14). Найти точки «входа» и «выхода» прямой с поверхностью конуса.

1. Через прямую m проводим вспомогательную секущую плоскость σ, дающую в сечении наиболее простую фигуру.
2. Применение в качестве вспомогательной секущей плоскости проецирующей плоскости в данном случае нецелесообразно, так как в сечении получится кривая второго порядка, которую нужно строить по точкам.

Наиболее простая фигура – треугольник. Для этого секущая плоскость σ должна пройти через вершину S. Плоскость зададим с помощью двух пересекающихся прямых σ=SM∩MN или, что, то же самое,  (σ=SM∩m).

1. Возьмем на прямой m точку А и соединим её с вершиной. Прямая SA пересечёт плоскость основания в точке М.
2. Построим горизонтальные проекции этих объектов.
3. Продлим фронтальную проекцию прямой m до пересечения с плоскостью основания в точке N.

Рисунок 7.14 – Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

1. Построим её горизонтальную проекцию.
2. Соединим точки M₁N₁, на пересечении с окружностью основания получим точки 1 и 2.
3. Строим треугольник сечения конуса плоскостью σ, соединив точки 1 и 2 с вершиной S.
4. На пересечении образующих 1-S и 2-S с прямой m получим искомые точки K и L.
5. Определим видимость прямой относительно поверхности конуса.

На анимации ниже представлена последовательность построения точек пересечения прямой с поверхностью конуса.

7.10. Пересечение цилиндра плоскостью

Пусть плоскость сечения γ – фронтально-проецирующая (Рисунок 7.15).

1. Если плоскость сечения γ параллельна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по четырехугольнику.
2. Если плоскость сечения γ перпендикулярна оси цилиндра, то она пересекает цилиндр по окружности.
3. Если плоскость сечения γ не параллельна и не перпендикулярна оси цилиндра в сечении эллипс.

Рассмотрим алгоритм построения сечения – эллипс (Рисунок 7.15):

Рисунок 7.15 – пересечение цилиндра плоскостью

1. Находим и строим характерные точки (точки, не требующие дополнительных построений) – в нашем случае, точки принадлежащие крайним образующим – 1, 3, 5, 7. Одновременно с этим, данные точки определяют величину большой и малой оси эллипса.
2. Для построения участка эллипса необходимо построить не менее 5-ти точек (так как лекальная кривая второго порядка определяется как минимум пятью точками). Для построения точек 2, 4, 6, 8 возьмем на π₁ произвольно расположенные образующие цилиндра, которые проецируются на данную плоскость проекции в точки.
3. Построим вторые проекции данных образующих. Из точек пересечения вторых проекций образующих с проекцией плоскости сечения γ проводим линии связи к π₃. Для построения третьей проекции, например, точки 6 измеряем расстояние Δ₁ и откладываем его по соответствующей линии связи на π₃. Симметрично ей, относительно оси вращения, строим точку 4. Аналогично строятся другие точки.

7.11. Пересечение сферы плоскостью

Плоскость пересекает поверхность сферы всегда по окружности. Задачу пересечения плоскости со сферой мы рассматривали при решении задачи построения точек пересечения прямой с поверхностью сферы (см. выше).

7.12. Пересечение конуса плоскостью

Рассмотрим пять возможных вариантов расположения плоскости относительно поверхности прямого кругового конуса. Пусть плоскость сечения перпендикулярна плоскости проекций π₂ (Рисунок 7.16).

Рисунок 7.16

1. Если плоскость проходит через вершину (1) – в сечении две образующие и прямая пересечения с плоскостью основания.
2. Если плоскость перпендикулярна оси вращения конуса (2) – в сечении окружность.
3. Если плоскость не параллельна ни одной образующей (пересекает все образующие (3)) – в сечении эллипс.
4. Если плоскость параллельна одной образующей конуса – в сечении парабола (на примере – плоскость сечения (4) параллельна крайней образующей конуса).
5. Если плоскость параллельна двум образующим (пересекает обе полости конической поверхности (5)) – в сечении гипербола (рисунок 7.17).

Рисунок 7.17. Плоскость сечения параллельна двум образующим конуса

Ниже, на моделях, представлены варианты положения секущей плоскости относительно поверхности конуса, при которых получаются сечения в виде эллипса, параболы и гиперболы.

Рисунок 7.18 – Сечение конической поверхности плоскостью (а — эллипс, б — парабола, в — гипербола)

Рассмотрим пример построения сечения конической поверхности плоскостью.

Рисунок 7.19 – Построение пересечения конической поверхности плоскостью

Пусть задана секущая проецирующая плоскость σ⊥π₂ (Рисунок 7.19). Если продлить коническую поверхность и проекцию плоскости, то видно, что плоскость пересекает вторую ветвь конической поверхности, следовательно, в сечении получится гипербола.

1. Построим характерные точки. Это точки, лежащие на крайних образующих и на окружности основания конуса (1, 2, 3). Их проекции строятся по линиям проекционной связи.
2. Для построения промежуточных точек, воспользуемся методом вспомогательных секущих плоскостей. Введём плоскость α⊥π₂ и перпендикулярно оси вращения, что даст в сечении окружность радиусом r. Строим эту окружность на π₁. Плоскость α пересекает и заданную плоскость сечения по прямой, проекции которой на π₁ и π₃ совпадают с линиями проекционной связи.
3. На пересечении этих двух сечений на плоскости проекций π₁ строим точки 4, 5. Профильные проекции этих точек строим по линии проекционной связи, откладывая расстояние от оси вращения конуса, равное Δ.
4. Аналогично строим точки 6, 7. Плавно соединим построенные точки, образуя гиперболу.
5. Обведём то, что осталось от конуса после такого среза с определением видимости. В нашем примере все проекции построенной кривой будут видимы.

На анимации ниже представлена последовательность построения пересечения конической поверхности плоскостью.

7.13. Задачи для самостоятельной работы

1. Достроить проекции сферы с заданным вырезом (Рисунок 7.20).

Рисунок 7.20
2-3. Построить три проекции конуса с призматическим отверстием (Рисунки 7.21, 7.22).

Рисунок 7.21

Рисунок 7.22
4. Построить точки «входа» и «выхода» прямой при пересечении её с поверхностью полусферы (Рисунок 7.23).

Рисунок 7.23

По вопросам репетиторства по начертательной геометрии, вы можете связаться любым удобным способом в разделе Контакты. Возможно очное и дистанционное обучение по Skype: 1250 р./ак.ч.

В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.

Проецирование, виды проецирования

Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.

Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.

Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.

Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.

Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.

Проекция точки на плоскость

Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.

Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.

Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем – плоскость α и точка М1, не принадлежащая плоскости α. Начертим через заданную точку М1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α. Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H1, она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М1 на плоскость α.

В случае, если задана точка М2, принадлежащая заданной плоскости α, то М2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α.

Проекция точки на плоскость – это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.

Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры

Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат Oxyz, плоскость α, точка М1(x1, y1, z1). Необходимо найти координаты проекции точки М1 на заданную плоскость.

Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.

Обозначим проекцию точки М1 на плоскость α как Н1. Согласно определению, H1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a, проведенной через точку М1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α.

Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:

– получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;

– определить уравнение прямой a, проходящей через точку М1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);

– найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М1 на плоскость α.

Рассмотрим теорию на практических примерах.

Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.

Пусть задана точки М1(x1, y1, z1) и координатные плоскости Oxy, Оxz и Oyz. Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x1, y1, 0), (x1, 0, z1) и (0, y1, z1). Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:

Cz+D=0⇔z=-DC, By+D=0⇔y=-DB

И проекциями заданной точки М1 на эти плоскости будут точки с координатами x1,y1, -DC, x1, -DB, z1 и -DA, y1, z1.

Продемонстрируем, как был получен этот результат.

В качестве примера определим проекцию точки М1(x1, y1, z1) на плоскость Ax+D=0 . Остальные случаи – по аналогии.

Заданная плоскость параллельна координатной плоскости Oyz и i→= (1, 0, 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости Oyz. Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:

x=x1+λy=y1z=z1

Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение Аx+ D = 0 равенства: x=x1+λ, y=y1, z=z1 и получим: A·(x1+λ)+D=0⇒λ=-DA-x1

Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ=-DA-x1:

x=x1+-DA-x1y=y1z=z1⇔x=-DAy=y1z=z1

Т.е., проекцией точки М1(x1, y1, z1) на плоскость будет являться точка с координатами -DA, y1, z1.

Существуют различные способы задания поверхности.

1. Аналитический способ

Поверхность в этом случае описана математическим выражением и представляется как геометрическое место точек или линий, удовлетво­ряющих уравнению F(x, у, z) = 0.

Например, поверхность шара задана уравнением: х²+у²+z²=г².

1. Задание поверхности каркасом.

Этот способ используется при задании сложных поверхностей. По­верхность задается семейством линий, принадлежащих поверхности (каркасом). Каркасы могут быть сетчатые, линейчатые, точечные.

При задании поверхности каркасом необходимо иметь ряд ее па­раллельных сечений, которые можно рассматривать как положения обра­зующей переменного вида. Такой способ применяется при изготовлении кузовов автомобилей, в самолетостроении и судостроении.

Способ задания поверхности каркасом с помощью линий пересе­чения поверхности плоскостями уровня применяется в топографии, гор­ном и дорожном деле. Проекции линии уровня на плоскость проекций с соответствующими отметками представляют собой карту рельефа мест­ности. Поверхность, отнесенная к земной поверхности, называется топо­графической (рис. 1).

1. Кинематический способ

В начертательной геометрии поверхности рассматриваются как множество последовательных по­ложений движущейся линии. Та­кой способ образования поверх­ности называется кинематиче­ским.

Линия (кривая или прямая) движется в пространстве и созда­ет поверхность. Она называется образующей. Как правило, образующая движется по второй линии. Эта линия называется направляющей (рис. 2).

Классификация поверхностей

Поверхности можно разделить на несколько классов в зависимости от формы образующей, а также от формы, числа и расположения направ­ляющих:

1. Поверхности закономерные и незакономерные.
2. Линейчатые (образованные перемещением прямой линии) и не­линейчатые (криволинейные) поверхности.
3. Поверхности развертывающиеся (или торсы) и неразвертываю- щиеся.

Развертывающиеся поверхности — поверхности, которые после разреза их по образующей могут быть односторонне совмещены с плос­костью без наличия разрывов и складок.

Неразвертывающиеся поверхности — поверхности, которые не мо­гут быть совмещены с плоскостью без наличия разрывов и складок.

1. Поверхности с образующей постоянной формы и поверхности с образующей переменной формы.
2. Поверхности с поступательным, вращательным или винтовым движением образующей.

Задание поверхности на чертеже

Чтобы задать поверхность на комплексном чертеже, достаточно иметь на нем такие элементы поверхности, которые позволяют постро­ить каждую ее точку. Совокупность этих элементов называется определи­телем поверхности.

Определитель поверхности состоит из двух частей:

• геометрической части,

включающей постоянные геометри­ческие элементы (точки, линии), ко­торые участвуют в образовании по­верхности;

• алгоритмической! части,

задающей закон движения зующей, характер изменения ее формы.

Когда какая-нибудь поверх­ность С! проецируется с помощью параллельных лучей на плоскость проекций Р, то проецирующие пря­мые, касающиеся поверхности О, образуют цилиндрическую поверхность (рис. 3).

Эти проецирующиеся прямые касаются поверхности Ω в точках, образующих некоторую ли­нию т, которая называется контурной линией.

Проекция контурной линии m на плоскость Р, m_р, называется очер­ком поверхности.

Чтобы сделать чертеж более наглядным строят очерк поверхности, а также ее наиболее важные линии и точки.

Линейчатые поверхности

Гранные поверхности

Гранной поверхностью называется поверхность, образованная пе­ремещением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. Гранные поверхности можно разделить на два вида: пирамидальные (рис. 4, а) и призматические (рис. 4, б).

Пирамидальной называется поверхность, образованная перемеще­нием прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят через некоторую неподвижную точку S. Опре­делитель поверхности — ломаная направляющая т и точка S.

Призматической называется поверхность, образованная переме­щением прямолинейной образующей по ломаной направляющей. При этом все образующие проходят параллельно некоторому заданному на­правлению I. Определитель поверхности — ломаная направляющая т и направление I.

Точка на поверхности

Точка принадлежит поверхности, если она принадлежит какой-нибудь линии, принадлежащей поверхности.

Линия принадлежит поверхности, если она проходит через точки, принадлежащие поверхности.

Следовательно, если точка принадлежит поверхности, то ее проек­ции принадлежат одноименным проекциям линии этой поверхности.

Точки М и N принадлежат соответственно пирамидальной и приз­матической поверхностям, так как принадлежат прямым, расположен­ным на этих поверхностях.

Часть пространства, ограниченная со всех сторон поверхностью, называется телом.

Многогранники

Многогранником называется тело, ограниченное плоскими много­угольниками. Рассмотрим два многогранника — пирамиду и призму.

Пирамида представляет собой многогранник, у которого одна грань — основание (произвольный многоугольник). Остальные грани (бо­ковые) — треугольники с общей вершиной S, называемой вершиной пи­рамиды.

Для задания на чертеже пирамиды достаточно задать ее основание и вершину. Чтобы построить проекции точки на поверхности пирамиды, нужно через эту точку провести вспомогательную прямую, принадлежа­щую поверхности пирамиды (рис. 5).

Призмой называется многогранник, у которого основания — равные многоугольники с соответственно параллельными сторонами. Боковые грани призмы — параллелограммы. Если ребра боковых граней перпен­дикулярны основанию, то призму называют прямой (рис. 6), если нет — наклонной (рис. 7).

Для задания призмы достаточно задать одно ее осно­вание и боковое ребро. Чтобы построить недостающую проекцию точки, лежащей на грани призмы, нужно через эту точку провести прямую.