Как найти проекцию силы на плоскость

П

Рис. 1.25

усть линия действия силыF
лежит в плоскости OXY
(рис. 1.25).

По
правилу параллелограмма разложим эту
силу на составляющие силы F_ОХ,
F_OY
по координатным осям OX
и OY.
Силы F_OX,
F_OY
называют компонентами
силы F
по координатным
осям OX
и OY.
Очевидно векторное равенство

F
= F_OX
+ F_OY.

Спроецируем
компоненты F_OX,
F_OY
силы F
на координатные оси и получим скалярные
величины F_OX,
F_OY,
которые называют проекциями
силы на оси OX
и OY.

Компоненты
силы и её проекции на координатные оси
связаны равенствами: F_OX
= iF_OX;
F_OY
= jF_OY.

Проекция
силы на ось –
скалярная величина, равная взятой со
знаком плюс или минус длине отрезка,
заключённого между проекциями на ось
начала и конца силы.

Из
определения следует, что проекции данной
силы на любые параллельные оси равны
друг другу: F_OX
= F_O1X1,
F_OY
= F_O1Y1,
где F_O1X1,
F_O1Y1
– проекции силы F
на координатные оси системы отсчёта
O₁X₁Y₁.

П

Рис. 1.26

усть в пространстве в
системе отсчёта OXYZ задана силаF,
(рис. 1.26).

Используя
правило параллелепипеда, разложим силу
F
на компоненты F_OX,
F_OY,
F_OZ.
По правилу сложения векторов справедливо
равенство

F
= F_OX
+ F_OY
+ F_OZ.

Компоненты
F_OX,
F_OY,
F_OZ
силы F
связаны с их проекциями F_OX,
F_OY,
F_OZ
на координатные оси соотношениями: F_OX
= iF_OX;
F_OY
= jF_OY;
F_OZ
= kF_OZ.
Следовательно, справедливо равенство

F
= i·F_OX
+ j·F_OY
+ k·F_OZ.

Последнее
равенство представляет собой формулу
разложения силы на составляющие силы
по координатным осям.

Проекция
силы на координатную ось
равна произведению модуля силы на
косинус угла, составленного направлениями
силы и оси.

F_OX
= Fcos(F,
i);
F_OY
= Fcos(F,
j);
F_OZ
= Fcos(F,
k).

Модуль
силы через её проекции определяют по
формуле

.

Направляющие
косинусы,
используемые для определения направления
силы, находят по формулам:

cos(F,
i)
= F_OX/F;
cos(F,
j)
= F_OY/F;
cos(F,
k)
= F_OZ/F.

Если
рассматривается сила, лежащая в плоскости
OXY, то применяются формулы:

F
= F_OX
+ F_OY;

;

cos(F,
i)
= F_OX/F;
cos(F,
j)
= F_OY/F.

П

Рис. 1.27

ри определении проекции
силы на ось возможны следующие частные
случаи (рис. 1.27).

Анализ
частных случаев определения проекции
силы на ось позволяет сделать следующие
выводы: 1) если сила и ось направлены в
одну полуплоскость, то проекция силы
на ось положительна; 2) если сила и ось
направлены в разные полуплоскости, то
проекция силы на ось отрицательна; 3)
если сила и ось взаимно перпендикулярны,
то проекция силы на ось равна нулю; 4)
если сила и ось параллельны, то сила
проецируется на ось в натуральную
величину с соответствующим знаком.

При
решении задач статики рекомендуется
вычислять абсолютное значение проекции
как произведение модуля силы на косинус
острого угла между линией действия силы
и осью, определяя знак проекции
непосредственно по чертежу.

В

Рис. 1.28

инженерной практике
принято использовать заданный угол и
выражать через него проекции силы на
оси (рис. 1.28).

Проекцией
силы на плоскость OXY
называется вектор
F_OXY,
заключенный между проекциями начала и
конца силы F
на эту плоскость (рис.
1.29).

Таким
образом, в отличие от проекции силы на
ось, проекция
силы на плоскость есть величина векторная,
так как она характеризуется не только
модулем, но и направлением по плоскости
OXY. По модулю F_ОXY
= F·cos(),
где 
– угол между направлением силы F
и её проекцией F_OXY,

Рис. 1.29

В
некоторых случаях для нахождения
проекции силы на ось бывает удобнее
найти сначала её проекцию на плоскость,
в которой эта ось лежит, а затем найденную
проекцию силы на плоскость спроецировать
на данную ось. Тогда:

F_OX
= F_OXY·sinα
= F·cos·sinα;

F_OY
= F_OXY·cosα
= F·cos·cosα;

F_OZ
= F·sin(.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задачи по динамике.

I и II закон Ньютона.

Ввод и направление осей.

Неколлинеарные силы.

Проецирование сил на оси.

Решение систем уравнений.

Самые типовые задачи по динамике

---

Начнем с I и II законов Ньютона.

Откроем учебник физики и прочтем. I закон Ньютона: существуют такие инерциальные системы отсчета в которых… Закроем такой учебник, я тоже не понимаю. Ладно шучу, понимаю, но объясню проще.

I закон Ньютона: если тело стоит на месте либо движется равномерно (без ускорения), сумма действующих на него сил равна нулю.

Вывод: Если тело движется с постоянной скоростью или стоит на месте векторная сумма сил будет ноль.

II закон Ньютона: если тело движется равноускоренно или равнозамедленно (с ускорением), сумма сил, действующих на него, равна произведению массы на ускорение.

Вывод: Если тело двигается с изменяющейся скоростью, то векторная сумма сил, которые как-то влияют на это тело ( сила тяги, сила трения, сила сопротивления воздуха), равна массе этого тело умножить на ускорение.

При этом одно и то же тело чаще всего движется по-разному (равномерно или с ускорением) в разных осях. Рассмотрим именно такой пример.

Задача 1. Определите коэффициент трения шин автомобиля массой 600 кг, если сила тяги двигателя 4500 Н вызывает ускорение 5 м/с².

Обязательно в таких задачах делать рисунок, и показывать силы, которые дествуют на машину:

На Ось Х: движение с ускорением 

На Ось Y: нет движения (здесь координата, как была ноль так и останется, машина не поднимает в горы или спускается вниз)

Те силы, направление которых совпадает с направлением осей, будут с плюсом, в противоположном случае — с минусом.

По оси X: сила тяги направлена вправо, так же как и ось X, ускорение так же направлено вправо.

Fтр = μN, где N — сила реакции опоры. На оси Y:  N = mg, тогда в данной задаче Fтр = μmg.

Получаем, что: 

Коэффициент трения — безразмерная величина. Следовательно, единиц измерения нет.

Ответ: 0,25

Задача 2. Груз массой 5кг, привязанный к невесомой нерастяжимой нити, поднимают вверх с ускорением 3м/с². Определите силу натяжения нити.

Сделаем рисунок, покажем силы, которые дествуют на груз

T – сила натяжения нити

На ось X: нет сил

Разберемся с направлением сил на ось Y:

Выразим T (силу натяжения) и подставим числительные значения:

Ответ: 65 Н

Самое главное не запутаться с направлением сил (по оси или против), все остальное сделает калькулятор или всеми любимый столбик.

Далеко не всегда все силы, действующие на тело, направлены вдоль осей.

Простой пример: мальчик тянет санки

Если мы так же построим оси X и Y, то сила натяжения (тяги) не будет лежать ни на одной из осей. 

Чтобы спроецировать силу тяги на оси, вспомним прямоугольный треугольник.

Отношение противолежащего катета к гипотенузе — это синус.

Отношение прилежащего катета к гипотенузе — это косинус.

Сила тяги на ось Y — отрезок (вектор) BC.

Сила тяги на ось X — отрезок (вектор) AC.

Если это непонятно, посмотрите задачу №4.

Чем длинее будет верека и, соответсвенно, меньше угол α, тем проще будет тянуть санки. Идеальный вариант, когда веревка параллельна земле, ведь сила, которая действуют на ось X— это Fнcosα. При каком угле косинус максимален? Чем больше будет этот катет, тем сильнее горизонтальная сила.

Задача 3. Брусок подвешен на двух нитях. Сила натяжения первой составляет 34 Н, второй — 21Н, θ1 = 45°, θ2 = 60°. Найдите массу бруска.

Введем оси и спроецируем силы:

Получаем два прямоугольных треугольника. Гипотенузы AB и KL — силы натяжения. LM и BC — проекции на ось X, AC и KM — на ось Y.

Ответ: 4,22 кг

Задача 4. Брусок массой 5 кг (масса в этой задаче не нужна, но, чтобы в уравнениях все было известно, возьмем конкретное значение) соскальзывает с плоскости, которая наклонена под углом 45°, с коэффициентом трения μ = 0,1. Найдите ускорение движения бруска? 

Когда же есть наклонная плоскость, оси (X и Y) лучше всего направить по направлению движения тела. Некоторые силы в данном случае ( здесь это mg) не будут лежать ни на одной из осей. Эту силу нужно спроецировать, чтобы она имела такое же направление, как и взятые оси.
Всегда ΔABC подобен ΔKOM в таких задачах (по прямому углу и углу наклона плоскости).

Рассмотрим поподробнее ΔKOM: 

Получим, что KO лежит на оси Y, и проекция mg на ось Y будет с косинусом. А вектор MK коллинеарен (параллелен) оси X, проекция mg на ось X будет с синусом, и вектор МК направлен против оси X (то есть будет с минусом).

Не забываем, что, если направления оси и силы не совпадают, ее нужно взять с минусом!

Из оси Y выражаем N и подставляем в уравнение оси X, находим ускорение:

Ответ: 6,36 м/с²

Как видно, массу в числителе можно вынести за скобки и сократить со знаменаталем. Тогда знать ее не обязательно, получить ответ реально и без нее.
Да-да, в идеальных условиях (когда нет силы сопротивления воздуха и т.п.), что перо, что гиря скатятся (упадут) за одно и тоже время. 

Задача 5. Автобус съезжает с горки под уклоном 60° с ускорением 8 м/с²  и с силой тяги 8 кН. Коэффициент трения шин об асфальт равен 0,4. Найдите массу автобуса.

Сделаем рисунок с силами:

Введем оси X и Y. Спроецируем mg на оси:

Запишем второй закон Ньютона на X и Y:

Ответ: 6000 кг

Задача 6. Поезд движется по закруглению радиуса 800 м со скоростью 72 км/ч. Определить, на сколько внешний рельс должен быть выше внутреннего. Расстояние между рельсами 1,5 м.

Самое сложное – понять, какие силы куда действуют, и как угол влияет на них.

Вспомни, когда едешь по кругу на машине или в автобусе, куда тебя выталкивает? Для этого и нужен наклон, чтобы поезд не упал набок!

Угол α задает отношение разницы высоты рельсов к расстоянию между ними (если бы рельсы находились горизонтально)

Запишем какие силы действуют на оси:

Ускорение в данной задачи центростремительное!

Поделим одно уравнение на другое:

Тангенс – это отношение противолежащего катета к прилежащему:

Ответ: 7,5 см

Как мы выяснили, решение подобных задач сводится к расстановке направлений сил, проецированию их на оси и к решению систем уравнений, почти сущий пустяк.

В качестве закрепления материала решите несколько похожих задач с подсказками и ответами. 

Будь в курсе новых статеек, видео и легкого технического юмора.

Сила – это одно из важных понятий в физике. Она является причиной изменения состояния любых объектов. В данной статье рассмотрим, что собой представляет эта величина, какие силы бывают, а также покажем, как находить проекцию силы на ось и на плоскость.

Сила и ее физический смысл

В физике сила – это векторная величина, которая показывает изменение количества движения тела за единицу времени. Данное определение полагает силу динамической характеристикой. С точки зрения же статики сила в физике – это мера упругой или пластической деформации тел.

Международная система СИ выражает силу в ньютонах (Н). Что такое 1 ньютон, проще всего понять на примере второго закона классической механики. Математическая запись его следующая:

F¯ = m*a¯

Здесь F¯ – некоторая внешняя сила, действующая на тело массой m, и приводящая к ускорению a¯. Из формулы следует количественное определение одного ньютона: 1 Н – это такая сила, которая приводит к изменению скорости тела массой 1 кг на 1 м/с за каждую секунду.

Примерами динамического проявления силы являются ускорение автомобиля или свободно падающего тела в гравитационном земном поле.

Статическое проявление силы, как было отмечено, связано с явлениями деформации. Здесь следует привести следующие формулы:

F = P*S

F = -k*x

Первое выражение связывает силу F с давлением P, которое она оказывает на некоторую площадку S. Через эту формулу 1 Н можно определить как давление в 1 паскаль, прилагаемое к площадке 1 м². Например, столб атмосферного воздуха на уровне моря давит на площадку 1 м² с силой 10⁵ Н!

Второе выражение является классической формой записи закона Гука. Например, растяжение или сжатие пружины на линейную величину x приводит к возникновению противодействующей силы F (в выражении k – коэффициент пропорциональности).

Какие силы бывают

Выше уже было показано, что силы могут быть статические и динамические. Здесь скажем, что помимо этой их особенности, они могут быть силами контакта или дальнодействующие. Например, сила трения, реакции опоры – это контактные силы. Причина их появления заключается в справедливости принципа Паули. Последний гласит, что два электрона не могут занимать одно и то же состояние. Именно поэтому прикосновение двух атомов приводит к их отталкиванию.

Дальнодействующие силы появляются в результате взаимодействия тел через некоторое поле-носитель. Например, такими являются сила гравитации или электромагнитное взаимодействие. Обе силы имеют бесконечный радиус действия, однако, их интенсивность падает, как квадрат расстояния (законы Кулона и всемирного тяготения).

Сила – векторная величина

Разобравшись со смыслом рассматриваемой физической величины, можно перейти к изучению вопроса проекции силы на ось. В первую очередь заметим, что данная величина является векторной, то есть она характеризуется модулем и направлением. Покажем, как рассчитывать модуль силы и ее направление.

Известно, что любой вектор можно задать однозначно в данной системе координат, если известны значения координат его начала и конца. Предположим, что имеется некоторый направленный отрезок MN¯. Тогда его направление и модуль можно определить с помощью следующих выражений:

MN¯ = (x₂-x₁; y₂-y₁; z₂-z₁);

|MN¯| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²).

Здесь координаты с индексами 2 соответствуют точке N, с индексами 1 – точке M. Вектор MN¯ направлен из M в N.

Для общности мы показали, как находить модуль и координаты (направление) вектора в трехмерном пространстве. Аналогичные формулы без третьей координаты справедливы для случая на плоскости.

Таким образом, модуль силы – это ее абсолютная величина, выраженная в ньютонах. С точки зрения геометрии, модуль – это длина направленного отрезка.

Что такое проекция силы на ось?

Речь о проекциях направленных отрезков на координатные оси и плоскости удобнее всего вести, если предварительно расположить соответствующий вектор в начале координат, то есть в точке (0; 0; 0). Предположим, что у нас имеется некоторый вектор силы F¯. Поместим его начало в точку (0; 0; 0), тогда координаты вектора можно записать так:

F¯ = ((x₁ – 0); (y₁ – 0); (z₁ – 0)) = (x₁; y₁; z₁).

Вектор F¯ показывает направление силы в пространстве в данной координатной системе. Теперь проведем перпендикулярные отрезки из конца F¯ к каждой из осей. Расстояние от точки пересечения перпендикуляра с соответствующей осью до начала координат называется проекцией силы на ось. Не трудно догадаться, что в случае с силой F¯ ее проекции на оси x, y и z будут равны x₁, y₁ и z₁, соответственно. Заметим, что эти координаты показывают модули проекций силы (длину отрезков).

Углы между силой и ее проекциями на координатные оси

Вычисление этих углов не является сложной задачей. Все, что требуется для ее решения, – это знание свойств тригонометрических функций и умение применять теорему Пифагора.

Например, определим угол между направлением силы и ее проекцией на ось x. Соответствующий прямоугольный треугольник будет образован гипотенузой (вектор F¯) и катетом (отрезок x₁). Второй катет – это дистанция от конца вектора F¯ до оси x. Угол α между F¯ и осью x вычисляется по формуле:

α = arccos(|x₁|/|F¯|) = arccos(x₁/√(x₁²+y₁²+z₁²)).

Как видим, для определения угла между осью и вектором необходимо и достаточно знать координаты конца направленного отрезка.

Для углов с другими осями (y и z) можно записать аналогичные выражения:

β = arccos(|y₁|/|F¯|) = arccos(y₁/√(x₁²+y₁²+z₁²));

γ = arccos(|z₁|/|F¯|) = arccos(z₁/√(x₁²+y₁²+z₁²)).

Заметим, что во всех формулах стоят модули в числители, что исключает появление тупых углов. Между силой и ее осевыми проекциями углы всегда меньше или равны 90^o.

Сила и ее проекции на плоскости координат

Определение проекции силы на плоскость не отличается от такового для оси, только в данном случае перпендикуляр следует опускать не на ось, а на плоскость.

В случае пространственной прямоугольной системы координат мы имеем три взаимно перпендикулярные плоскости xy (горизонтальная), yz (фронтальная вертикальная), xz (боковая вертикальная). Точки пересечения опущенных из конца вектора перпендикуляров к названным плоскостям равны:

(x₁; y₁; 0) для xy;

(x₁; 0 ; z₁) для xz;

(0 ; y₁; z₁) для zy.

Если каждую из отмеченных точек соединить с началом координат, то мы получим проекцию силы F¯ на соответствующую плоскость. Чему равен модуль силы, мы знаем. Чтобы найти модуль каждой проекции, необходимо применить теорему Пифагора. Обозначим проекции на плоскости как F_xy, F_xz и F_zy. Тогда для их модулей будут справедливы равенства:

F_xy = √(x₁²+y₁²);

F_xz = √(x₁²+ z₁²);

F_zy = √(y₁²+ z₁²).

Углы между проекциями на плоскость и вектором силы

В пункте выше были приведены формулы для модулей проекций на плоскость рассматриваемого вектора F¯. Эти проекции вместе с отрезком F¯ и расстоянием от его конца до плоскости образуют прямоугольные треугольники. Поэтому, как и в случае с проекциями на ось, можно воспользоваться определением тригонометрических функций, чтобы вычислить рассматриваемые углы. Можно записать следующие равенства:

α = arccos(F_xy /|F¯|) = arccos(√(x₁²+y₁²) /√(x₁²+y₁²+z₁²));

β = arccos(F_xz/|F¯|) = arccos(√(x₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁²+z₁²));

γ = arccos(F_zy/|F¯|) = arccos(√(y₁²+z₁²)/√(x₁²+y₁²+z₁²)).

Важно понимать, что угол между направлением силы F¯ и соответствующей ее проекцией на плоскость равен углу между F¯ и этой плоскостью. Если рассматривать эту задачу с точки зрения геометрии, то можно сказать, что направленный отрезок F¯ является наклонной по отношению к плоскостям xy, xz и zy.

Где используются проекции сил?

Приведенные формулы для проекций силы на оси координат и на плоскости представляют не только теоретический интерес. Они часто используются при решении физических задач. Сам процесс нахождения проекций называется разложением силы на ее составляющие. Последние представляют собой вектора, сумма которых должна дать исходный вектор силы. В общем случае можно разложить силу на произвольные составляющие, однако, для решения задач удобно пользоваться именно проекциями на перпендикулярные оси и плоскости.

Задачи, где применяются понятие проекций сил, могут быть самыми разными. Например, тот же второй закон Ньютона предполагает, что внешняя сила F¯, действующая на тело, должна быть направлена так же, как вектор скорости v¯. Если их направления различаются на некоторый угол тогда, чтобы равенство оставалось справедливым, подставлять в него следует уже не саму силу F¯, а ее проекцию на направление v¯.

Далее приведем пару примеров, где покажем, как пользоваться записанными формулами.

Задача на определение проекций силы на плоскости и на оси координат

Предположим, что имеется некоторая сила F¯, которая представлена вектором, имеющим следующие координаты конца и начала:

(2; 0; 1);

(-1; 4; -1).

Необходимо определить модуль силы, а также все ее проекции на координатные оси и плоскости и углы между F¯ и каждой ее проекцией.

Начнем решать задачу с вычисления координат вектора F¯. Имеем:

F¯ = (-1; 4; -1) – (2; 0; 1) = (-3; 4; -2).

Тогда модуль силы будет равен:

|F¯| = √(9 + 16 + 4) = √29 ≈ 5,385 Н.

Проекции на оси координат равны соответствующим координатам вектора F¯. Рассчитаем углы между ними и направлением F¯. Имеем:

α = arccos(|-3 |/5,385) ≈ 56,14^o;

β = arccos(|4|/5,385) ≈ 42,03^o;

γ = arccos(|-2|/5,385) ≈ 68,20^o.

Поскольку координаты вектора F¯ известны, можно рассчитать модули проекций силы на плоскости координат. Пользуясь приведенными выше формулами, получаем:

F_xy = √(9 +16 ) = 5 Н;

F_xz = √(9 + 4 ) = 3,606 Н;

F_zy = √(16 + 4 ) = 4,472 Н.

Наконец, остается вычислить углы между найденными проекциями на плоскость и вектором силы. Имеем:

α = arccos(F_xy /|F¯|) = arccos(5/5,385) ≈ 21,8^o;

β = arccos(F_xz/|F¯|) = arccos(3,606/5,385) ≈ 48,0^o;

γ = arccos(F_zy/|F¯|) = arccos(4,472/5,385) ≈ 33,9^o.

Таким образом, вектор F¯ ближе всего наклонен к координатной плоскости xy.

Задача со скользящим бруском по наклонной плоскости

Теперь решим физическую задачу, где необходимо будет применить концепцию проекции силы. Пусть дана деревянная наклонная плоскость. Угол ее наклона к горизонту равен 45^o. На плоскости находится деревянный брусок, имеющий массу 3 кг. Необходимо определить, с каким ускорением будет перемещаться этот брусок по плоскости вниз, если известно, что коэффициент трения скольжения равен 0,7.

Для начала составим уравнение движения тела. Поскольку на него будут действовать всего две силы (проекция силы тяжести на плоскость и сила трения), то уравнение примет вид:

F_g – F_f = m*a =>

a = (F_g – F_f)/m.

Здесь F_g, F_f – проекция силы тяжести и сила трения, соответственно. То есть задача сводится к вычислению их значений.

Поскольку угол, под которым плоскость наклонена к горизонту, равен 45^o, то несложно показать, что проекция силы тяжести F_g вдоль поверхности плоскости будет равна:

F_g = m*g*sin(45^o) = 3*9,81/√2 ≈ 20,81 Н.

Эта проекция силы стремится вывести из состояния покоя деревянный брусок и придать ему ускорение.

Согласно определению, сила трения скольжения равна:

F_f = μ*N

Где μ = 0,7 (см. условие задачи). Сила реакции опоры N равна проекции силы тяжести на ось, перпендикулярную наклонной плоскости, то есть:

N = m*g*cos(45^o)

Тогда сила трения равна:

F_f = μ*m*g*cos(45^o) = 0,7*3*9,81/√2 ≈ 14,57 Н.

Подставляем найденные силы в уравнение движения, получаем:

a = (F_g – F_f)/m = (20,81 – 14,57)/3 = 2,08 м/с².

Таким образом, брусок будет спускаться по наклонной плоскости, увеличивая за каждую секунду свою скорость на 2,08 м/с.

Содержание:

Условия равновесия системы сходящихся сил в аналитической форме:

Проекцией силы на ось называют скалярную величину, равную произведению модуля силы на косинус угла между положительным направлением оси и направлением силы

Проекция силы на ось

C только что рассмотренным понятием «составляющая силы по оси» тесно соприкасается другое важное понятие—«проекция силы на ось». 

Изобразим силу

ab = AB’ = AB cos а.

Для получения проекции мы умножали на cos а не вектор, а его модуль, его абсолютную величину. Проекция силы на ось не является вектором, поскольку она не имеет собственного направления, а вполне определяется направлением оси, величиной проекции (длиной ab) и знаком « + » или «—». Проекция ab силы AB положительна (+ab), если направление вектора силы составляет с положительным направлением оси острый угол (рис. 14, а), и отрицательна (—ab), если—тупой (рис. 14, б). Мы подчеркиваем, что проекция вектора на ось не имеет своего направления, тем не менее условимся, что положительная проекция «направлена» в сторону положительного направления оси, а отрицательная — в противоположную сторону, и иногда на чертежах будем изображать стрелками проекции вектора на ось.

Рис. 14

Напомним, что всякую величину, определяемую числом и только числом, называют скаляром. Например, плотность, температура, масса являются скалярами. Скалярами первого рода называют величины, не зависящие от направления осей координат. Если же число, определяющее рассматриваемую величину, меняет знак при перемене направления осей координат на обратные, то скаляр является скаляром второго рода (см., например, Аппель. Теоретическая механика). Следовательно, проекция силы на ось есть скаляр второго рода.

Направляющим косинусом называют косинус угла между положительным направлением оси и направлением вектора; он выражается отношением проекции вектора на эту ось к модулю вектора и по знаку совпадает со знаком проекции

Направляющий косинус

Знак проекции определяется знаком косинуса угла между направлением вектора и положительным направлением оси, этот косинус называют направляющим косинусом. Если этот угол острый, то направляющий косинус положителен и проекция вектора на ось положительна, если же угол тупой, то направляющий косинус отрицателен и проекция вектора на ось тоже отрицательна.

Часто требуется по заданным проекциям вектора на координатные оси определять величины и знаки направляющих косинусов. Как видно из предыдущего равенства, выражения является существенно положительной величиной. В дальнейшем мы не всегда будем ставить эти вертикальные черточки, помня, что знаменатель в выражении направляющего косинуса является положительным.

По этой формуле можно определять не только направляющие косинусы вектора силы, но и направляющие косинусы всякого другого вектора (скорости, ускорения и πp.). Во всех отделах нашего курса направляющим косинусам отведена значительная роль.

Углы, составляемые каким-либо вектором с осями х, y и z, мы будем обозначать соответственно буквами α, β и γ с индексом вектора. Например, углы, составляемые вектором F с осями координат, будем обозначать α_F, β_F, γ_F∙. Если проекции силы на оси координат обозначать через X, Y и Z, то

 (3)

Практически при решении задач для определения проекции силы на ось обычно умножают модуль силы на косинус острого угла между осью (ее положительным или отрицательным направлением) и линией действия силы и приписывают проекции знак «+» или «—» в зависимости от того, «направлена» ли проекция в сторону положительного или в сторону отрицательного направления оси.

Проекция вектора на плоскость является вектором

Проекция силы на плоскость

В отличие от проекции силы на ось проекция силы на плоскость является вектором и имеет собственное направление на плоскости.

Чтобы спроецировать силу на плоскость, надо опустить на плоскость перпендикуляры Ab и Bb (рис. 15) из начала А и из конца В вектора силы; полученный вектор , лежащий в плоскости, является проекцией силы на плоскость:

=пp. .

Модуль проекции равен произведению модуля силы на косинус угла наклона вектора силы к плоскости:

αb = AB cos a.

Проекция равнодействующей равна сумме проекций составляющих сил

Теорема о проекции равнодействующей

Покажем, что проекция равнодействующей на плоскость равна геометрической сумме проекций составляющих.

Дан пучок сил, представленный силовым многоугольником OAEKL, и дана некоторая плоскость (рис. 16). Опуская перпендикуляры Oo, Aa, Ее, Kk и Ll на плоскость из вершин силового многоугольника, найдем проекции составляющих сил на плоскость: проекция  проекция  проекция проекция . Складывая все проекции, получим . Но вектор является проекцией равнодействующей OL на ту же плоскость: проекция .

Сопоставляя между собой два последних равенства, найдем, что проекция равнодействующей на плоскость равна сумме проекций составляющих на ту же плоскость. Проекция сил на плоскость — вектор, поэтому сумма геометрическая.

Напротив, проекции силы на ось—скалярные величины, а потому проекция равнодействующей на ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось. Пусть дан пучок сил, представленный силовым многоугольником OAEKL, и дана ось (рис. 17). Опуская перпендикуляры Oo, Aa, Ее, Kk и Ll на ось из вершин силового многоугольника, найдем проекции составляющих сил на ось: проекция ; проекция ; проекция ; проекция  . Складывая все проекции, получим . Но ol является проекцией равнодействующей на ту же ось: проекция . Остается лишь сопоставить между собой два последних равенства.

Рис. 16

Рис. 17

Величину и направление равнодействующей пучка сил можно определить по суммам проекций составляющих на взаимно перпендикулярные оси.

Если угол, составляемый равнодействующей с данной осью, известен, то, поделив сумму проекций составляющих на косинус этого угла, можно определить численную величину равнодействующей. Если же, как это обычно и бывает, направление равнодействующей неизвестно, то для определения равнодействующей составляют суммы проекций всех составляющих на пересекающиеся (обычно взаимно перпендикулярные) оси.

Пусть дана система сил, сходящихся в одной точке. Для простоты рассуждений предположим, что все эти силы лежат в одной плоскости. Проведем в этой плоскости декартову систему координат хОу и спроецируем все силы на оси Ox и Оу.

Обозначим проекцию силы на ось абсцисс через X₁, а на ось ординат—через Y₁; проекции силы  обозначим теми же буквами с индексом 2 и т. д. Сумму проекций всех сил на ось абсцисс обозначим символом , a на ось ординат—. Проекция равнодействующей на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих на ту же ось, и мы можем написать равенства

     (4)

где R_x и R_y означают проекции равнодействующей на оси координат. Теперь мы можем найти величину равнодействующей:

или 

      (5^/)

Направление равнодействующей можно определить по направляющим косинусам:

    (6^/)

Если силы системы не лежат в одной плоскости, то, спррецировав силы на три координатные оси, получим

       (5)

    (6)

Знак направляющего косинуса определяется знаком числителя. Возведя равенства (6) или (6′) в квадрат и сложив, убедимся, что сумма квадратов направляющих косинусов равна единице:

    (7)

Задача №1

Найти равнодействующую двух сил и по Зн каждая, направленных под углом 120° друг к другу (см. рис. 3, в).

Решение. Примем точку приложения сил за начало координат, направим ось Ox по силе Q, а ось Oy к ней —перпендикулярно. Как видно из чертежа, направляющие косинусы складываемых сил таковы:

Найдем проекции равнодействующей по формулам (4) и модуль равнодействующей по (5′):

Ее направление определим по направляющим косинусам (6′):

Ответ.R = 3н и направлена под углом 60° к силам.

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнялись нулю суммы проекций всех сил на оси координат

Условия равновесия пучка сил в аналитической форме. Как было показано в § 3, при равновесии системы сходящихся сил ее равнодействующая равна нулю. Если пучок сил является плоским, то из (5′) следует

Сумма квадратов двух величин может равняться нулю только в случае, если равна нулю каждая из этих величин, а потому

     (8)

Эти равенства называют условиями равновесия плоской системы сходящихся сил в аналитической форме. Они являются необходимыми и достаточными условиями.

Если же пучок сил не лежит в одной плоскости, но является уравновешенной системой, то путем аналогичных рассуждений мы выведем условия равновесия пространственной системы сходящихся сил в аналитической форме:

     (9)

Если условия равновесия (8) и (9) содержат неизвестные величины, то их называют уравнениями равновесия сходящихся сил.

• Заказать решение задач по теоретической механике

Задача №2

Нить с грузами P и Q на концах перекинута через блоки А и В, находящиеся на одной горизонтали (рис. 18, α). В точке О нити, находящейся между блоками, привязан груз G = 27,3 н. При равновесии системы ветвь OA образует с горизонталью угол 60°, а ветвь OB— угол 45°. Пренебрегая трением в блоках, определить величину грузов P и Q.

Решение. Равновесие какого объекта надо рассмотреть для решения задачи? Ответим на этот вопрос. Требуется определить веса грузов P и Q. Веса грузов приложены к этим грузам и направлены вертикально вниз. Каждый груз натягивает нить силой, равной своему весу. Блок меняет направление нити, а следовательно, и направление силы натяжения нити, не меняя ее величины. Силы, по модулю равные P и Q и направленные по OA и OB, пересекаются в точке 0, где приложена и заданная сила G (рис. 18, б). Поэтому для решения задачи надо рассмотреть равновесие точки О.

Какие же силы действуют на точку О? На нее действуют сила G; натяжение P ветви OA-, натяжение Q ветви OB. Веса грузов PhQ, приложенные к этим грузам, учитывать не надо, потому что они не приложены к точке О.

Рис. 18

Для изучения равновесия сил, приложенных к точке О, можно построить силовой многоугольник или составить уравнения равновесия. Выберем второй путь. Построим систему координат с началом в точке О (рис. 18, в), спроецируем силы на оси и составим уравнения равновесия.
Для проекций на ось Ox имеем

Знак проекции Q положительный, потому что она направлена в положительном направлении оси Ox (вправо). Знак у проекции P отрицательный, так как она направлена в отрицательном направлении оси Ох. Проекция силы G на ось Ox равна нулю.
Аналогично получаем

Проекции P и Q на ось Oy положительны, так как направлены в положительном направлении оси. Проекция G отрицательна, так как направлена вниз. Подставляя числовые значения и решая уравнения, получаем ответ.
Ответ. P = 20 н, Q = 14,1 н.

Задача №3

Земляная насыпь подпирается вертикальной каменной стеной АВ. Найти необходимую толщину стены а, предполагая, что давление земли на стену направлено горизонтально, приложено на 1/3 ее высоты и равно 6 тонн на метр длины стены; удельный вес кладки 2 Г/см³. Стена должна быть рассчитана на опрокидывание вокруг ребра А (рис. 19, а).

Решение. Первый вопрос: равновесие какого тела надо рассмотреть?
Нужно рассмотреть равновесие каменной стены АВ.

Второй вопрос: какие силы действуют на рассматриваемое тело?

На стену действуют следующие силы (рис. 19, б):
а) вес G стены, приложенный в ее центре тяжести, направленный по вертикали вниз и равный произведению объема стены на удельный вес кладки. Обозначим высоту, длину и ширину стены в метрах соответственно h,l и а. Удельный вес кладки 2 Г/см³, или, что то же, 2 Т/м³, следовательно,
G = 2hla Т;

б) давление P земляной насыпи, приложенное на 1/3 высоты стены, направленное горизонтально от насыпи к стенке и равное (в Т)
P =6l;

в) реакция R опоры. При решении подобных задач, называемых задачами на опрокидывание, нужно иметь в виду, что реакция связи бывает только в той опоре, вокруг которой опрокидывается тело, реакции же связей в опорах, в которых связь нарушится при опрокидывании тела, равны нулю.

Определив точку приложения реакции опоры, найдем направление реакции. Стена находится в равновесии под действием трех сил, а следовательно, линии действия всех трех сил должны пересекаться в одной точке, поэтому реакция опоры направлена под углом а к горизонтальной оси, причем

Рис. 19

Проецируя все приложенные к стене силы на горизонтальную и на вертикальную оси (рис. 19, в) и приравнивая нулю суммы проекций, найдем

Легко находим, что наименьшая толщина стены a= м = 1,41 м. Чем толще стена, тем устойчивее ее равновесие. При значении а, меньшем найденного нами, силы не пересекутся в одной точке и равновесие невозможно, стена опрокинется.

В условии задачи использованы различные единицы измерений (тонна, грамм, метр, сантиметр). При решении мы выразили все величины в тоннах и метрах. Решим эту же задачу в СИ или MKC (м, кг, сек), для чего выразим в этих единицах все величины, заданные в условии задачи.

Давление земли на один метр длины стены
6 Т∕м = 6000 кГ/л = 6000 ^. 9,81 н/м.

Если длина стены I м, то давление на всю стену
P = 6000 ^. 9,81 ^. 1н.

Удельный вес кладки
2 Г∕cм³ = 2000 кГ/л» = 2000 ^. 9,81 н/м³.

Тогда вес стены
G = 2000 ^. 9,81 ^. hla н.

Составляя и решая уравнения равновесия всех сил, приложенных к стене, получим тот же ответ.
Ответ: a 1,41 л.

Задача №4

На катеты равнобедренного прямоугольного треугольника АВС, сделанного из проволоки и установленного в вертикальной плоскости так, что гипотенуза AB горизонтальна (рис. 20, а), нанизаны два шарика: P весом G_l = 3 н и Q весом G₂ = 4 н, связанные нерастяжимой нитью. Найти положение равновесия (Угол CPQ = а), реакции катетов и натяжение нити, считая, что проволока Не прогибается и трение отсутствует.

Решение. Равновесие какого объекта надо рассмотреть, чтобы определить угол а натяжение нити T и две реакции катетов? Если рассматривать равновесие шарика Р, получим два уравнения равновесия ( и ) для трех неизвестных (угол а, натяжение T нити и реакция R_А катета АС). Если рассматривать равновесие шарика Q, то получим два других уравнения с тремя неизвестными (угол а, натяжение T нити и реакция Rb катета ВС), но две из этих неизвестных величин входят в уравнения равновесия шарика Р.

Для решения задачи надо: 1) рассмотреть равновесие шарика P и составить уравнения равновесия; 2) рассмотреть равновесие шарика Q и составить уравнения равновесия; 3) решить совместно все четыре уравнения и найти из них четыре неизвестных α, Т, R_А и R_В.

1)    Равновесие шарика P. На шарик P действуют силы: его вес 3 н, направленный вниз, натяжение T нити, направленное к Q, и реакция R_А катета АС.

Рис. 20

Катет (проволока АС) осуществляет связь шарика Р. Эта связь допускает перемещение шарика лишь по АС. Реакция направлена перпендикулярно виртуальным перемещениям, т. е. перпендикулярно АС.
Построим систему координат с началом в центре шарика Р, направив ось Ox по катету к точке C (рис. 20, б).

Заметим, что мы вправе выбирать направления осей так, как это представляется целесообразным для упрощения выкладок. Мы свободны также в выборе начала координат.

Составляем уравнения равновесия системы сил, приложенных к шарику Р:

2)    Равновесие шарика Q. На шарик Q действуют вес 4 н, направленный вниз, сила T натяжения нити, направленная к шарику P (по принципу равенства действия и противодействия), и реакция R_В катета ВС, направленная перпендикулярно виртуальному перемещению шарика Q.

Нет необходимости строить новую систему координат, и мы можем проецировать силы, приложенные к шарику Q, на уже имеющиеся координатные оси. Получаем два новых уравнения:

3)    Решая совместно четыре уравнения, находим четыре неизвестных.
Ответ.

Задача №5

К шарниру кронштейна ABCD (рис. 21, а) приложена сила p= 6000 н. Кронштейн состоит из трех стержней АВ, AC и AD равной длины; крепления А, В, C и D шарнирные, плоскость ABC горизонтальна и BC=4D= =2 OD. Найти усилия в стержнях.

Решение. Рассматриваем равновесие точки А, в которой сходятся все неизвестные силы.

На точку А действует пространственный пучок сил: вес P = 6000 н, направленный вниз, усилия в стержнях АВ, AC и AD. Усилием в стержне называют силу, действующую вдоль стержня и растягивающую или сжимающую его; если стержень растянут, то на шарнир действует сила, направленная к стержню, если сжат, то от стержня. Не всегда бывает просто без предварительных расчетов определить, сжат данный стержень или растянут. Иногда этому помогает следующий прием: если от замены стержня нитью равновесие не нарушается, то стержень растянут, а если нарушается, то сжат. В данной задаче стержень AD, очевидно, можно заменить нитью, следовательно, он растянут и сила F_D, приложенная к шарниру А, направлена так, как тянула бы его нить, т. е. к D. Стержни AB и AC нитями заменить нельзя, так как кронштейн потеряет жесткость, следовательно, силы, приложенные к шарниру А, направлены от В и от С. Существует и другой способ, требующий предварительных расчетов: силы, действующие на шарнир со стороны стержней, при предварительном расчете считать растягивающими и всегда направлять от шарнира к стержням, составлять и решать уравнения равновесия, и если в результате решения этих уравнений для сил получаются положительные значения, то стержни растянуты, а если отрицательные, то сжаты. Этот способ мы применим в данной задаче и будем считать, что, кроме вертикальной нагрузки Р, на шарнир А действуют усилия в стержнях АВ, AC и AD, направленные условно от А к В, C и D.

Рис. 21

Построим пространственную систему координат с началом в точке О (рис. 21,6), направив оси, как показано на чертеже. Из условия задачи следует, что ,ABO= ACO = 60°, OAB = OAD = 30°. Составляем уравнения равновесия пространственного пучка сил:

Решая эти уравнения, находим ответ.

Ответ. Стержень AB сжат, F_В=-6000 н; стержень AC сжат, F_c=—6000 н; стержень AD растянут, F_D=12000 н (рис. 21,в).

Для отличия сжимающую силу условимся писать (в некоторых задачах) c отрицательным знаком. Этот знак сжимающим силам приписывают условно.