Проекции скорости и ускорения
Для выполнения
расчетов скоростей и ускорений необходимо
переходить от записи уравнений в
векторной форме к записи уравнений в
алгебраической форме.
Векторы начальной
скорости
и ускорения
могут иметь различные направления,
поэтому переход от векторной записи
уравнений к алгебраической может
оказаться весьма трудоемким.
Известно, что
проекция суммы двух векторов на какую-либо
координатную ось равна сумме проекций
слагаемых векторов на ту же ось.
|
|
Поэтому для Проекцию |
|
|
вектора скорости
на произвольную ось OX нужно найти
и
на ту же ось.
График скорости
Из уравнения
следует, что графиком зависимости
проекции скорости равноускоренного
движения от времени является прямая.
Если проекция начальной скорости на
ось OX равна нулю, то прямая проходит
через начало координат.
|
|
|
Основные
виды движения
-
аn
= 0, a
= 0 –
прямолинейное равномерное движение; -
аn
= 0, a
= const
– прямолинейное равнопеременное
движение; -
аn
= 0, a
0 – прямолинейное
с переменным ускорением; -
аn
= const,
a
= 0 – равномерное
по окружности -
аn
= const,
a
= const
– равнопеременное по окружности -
аn
const,
a
const
– криволинейное с переменным ускорением.
Вращательное движение твердого тела.
Вращательное
движение твердого тела относительно
неподвижной оси
– движение, при котором все точки
твердого тела описывают окружности,
центры которых лежат на одной прямой,
называемой осью
вращения.
Равномерное движение по окружности
Рассмотрим наиболее
простой вид вращательного движения, и
уделим особое внимание центростремительному
ускорению.
При равномерном
движении по окружности значение скорости
остается постоянным, а направление
вектора скорости
изменяется в процессе движения.
|
|
За |
.
и
в точкахA
и
равен углу между радиусамиOA
и определим отношение изменения
Из подобия
треугольников OAB и BCD следует
Если интервал
времени ∆t
мал, то мал и угол .
При малых значениях угла
длина хорды AB примерно равна длине дуги
AB, т.е.
.
Т.к.
,
,
то получаем
.
Поскольку
,
то получаем
Период и частота
Промежуток времени,
за который тело совершает полный оборот
при движении по окружности, называется
периодам
обращения
(Т).
Т.к. длина окружности равна 2R,
период обращения при равномерном
движении тела со скоростью v
по окружности радиусом R
равняется:
Величина, обратная
периоду обращения, называется частотой.
Частота показывает, сколько оборотов
по окружности совершает тело в единицу
времени:
(с-1)
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
01.06.2015304.13 Кб31KP.doc
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
- Уравнение прямолинейного равномерного движения
- Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
- График движения x=x(t)
- Как найти уравнение движения по графику движения?
- График скорости vx=vx(t)
- Как найти путь и перемещение по графику скорости?
- Задачи
п.1. Прямолинейное равномерное движение на координатной прямой
Система отсчета, с помощью которой можно описать прямолинейное движение состоит из:
1) тела отсчета; 2) координатной прямой; 3) часов для отсчета времени.
Пусть телом отсчета будет дом.
В начальный момент времени машина стоит в 20 м справа от дома.
Рассмотрим движение машины со скоростью 10 м/с вправо.
Направим координатную прямую параллельно вектору скорости, вправо.
Составим таблицу перемещений за первые 4 секунды:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
Стартуя с точки x0=20, машина каждую секунду удаляется от дома еще на 10 м.
Пройденный путь за 2 секунды – 10·2=20 м, за 3 секунды – 10·3=30 м, за t секунд s=vt метров. Значит, для произвольного времени t можем записать координату x в виде: begin{gather*} x=x_0+s=x_0+vt\ x=20+10t end{gather*}
Если при тех же начальных условиях и направлении координатной прямой машина будет двигаться влево, получим таблицу:
| t, c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
| x, м | 20 | 10 | 0 | -10 | -20 |
В этом случае координата x в любой момент времени t имеет вид: begin{gather*} x=x_0-st=x_0-vt\ x=20-10t end{gather*} Если же машина никуда не едет, её скорость v=0, и координата x=x0 в любой момент времени t.
п.2. Уравнение прямолинейного равномерного движения
Основная задача механики – уметь определять положение тела в пространстве в любой момент времени.
Зависимость координаты тела от времени в механике называют уравнением движения.
Если уравнение движения известно, то мы можем решить основную задачу механики.
Назовем проекцией вектора скорости (overrightarrow{x}) на параллельную ему ось координат OX величину (v_x=pm|overrightarrow{v}|=pm v).
Знак проекции определяется следующим правилом:
- если направление вектора (overrightarrow{v}) совпадает с направлением оси OX, то (v_x=vgt 0)
- если направление вектора (overrightarrow{v}) противоположно направлению оси OX, то (v_x=-vlt 0)
В любой момент времени t координата тела x(t) при прямолинейном равномерном движении описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ где (x_0) – координата в начальный момент времени, (v_x) – проекция вектора скорости движения.
Проекция перемещения (overrightarrow{r}) на параллельную ему ось координат OX в любой момент времени t определяется формулой: $$ triangle x=x(t)-x_0 $$ Знак (triangle x) указывает на направление совершенного перемещения:
- если (triangle xgt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло в направлении оси OX;
- если (triangle xlt 0), перемещение (overrightarrow{r}) произошло противоположно направлению оси OX.
п.3. Удобная система отсчета для решения задачи о прямолинейном движении
При решении задачи можно выбрать различные тела отсчета и связать с ними различные системы координат. Как правило, некоторая система отсчета является наиболее удобной для решения данной задачи в том смысле, что в ней уравнение движения выглядит и решается проще, чем в других системах.
При решении задач на прямолинейное движение телом отсчета может быть неподвижная поверхность (земля, пол, стол и т.п.), само движущееся тело или другое тело.
При этом системой координат является координатная прямая, параллельная направлению движения (вектору перемещения) тела, уравнение движения которого мы хотим получить.
Прямолинейное движение описывается с помощью координатной прямой, параллельной направлению движения тела.
Проекции скорости и перемещения на координатную прямую могут быть положительными, равными нулю или отрицательными. Величины скорости и перемещения будут равны длинам соответствующих проекций.
п.4. График движения x=x(t)
Сравним полученное уравнение движения (x(t)=x_0+v_x t) с уравнением прямой (y(x)=kx+b) (см. §38 справочника по алгебре для 7 класса).
В уравнении движения роль углового коэффициента (k) играет проекция скорости (v_x), а роль свободного члена (b) – начальная координата (x_0).
В осях (t) и (x) график (x(t)=x_0+v_x t) является прямой.
Эта прямая:
- возрастает, если (v_xgt 0)
- убывает, если (v_xlt 0)
- постоянна (параллельна оси (t)), если (v_x= 0)
 |
Построим графики зависимости координаты от времени для нашего примера:
x=20+10t – машина движется вправо (в направлении оси OX) |
п.5. Как найти уравнение движения по графику движения?
Шаг 1. Выбрать на прямой любые две точки (A(t_1,x_1)) и (B(t_2,x_2)).
Шаг 2. Найти проекцию скорости как отношение: $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{triangle x}{triangle t} $$ Шаг 3. Найти начальную координату по одной из формул: $$ x_0=x_1-v_x t_1 text{или} x_0=x_2-v_x t_2 $$ Шаг 4. Записать найденное уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t $$
п.6. График скорости vx=vx(t)
В осях (t) и (x) график (v_x(t)=v_x=const) является прямой, параллельной оси (t).
Эта прямая:
- расположена над осью (t), если (v_xgt 0)
- расположена под осью (t), если (v_xlt 0)
- совпадает с осью (t), если (v_x=0)
Для рассмотренного примера:
Внимание!
В отличие от алгебры, в физике масштабы на осях, как правило, разные.
Поэтому обязательно нужно:
1) указывать обозначения и единицы измерения физических величин, которым соответствуют оси графика;
2) подбирать масштабы так, чтобы с графиком было удобно работать.
п.7. Как найти путь и перемещение по графику скорости?
Пусть тело движется прямолинейно равномерно, зависимость его координаты от времени описывается уравнением: $$ x(t)=x_0+v_x t $$ Тогда в некоторый момент времени (t_1) координата равна (x_1=x_0+v_x t_1).
Несколько позже, в момент времени (t_2gt t_1) координата равна (x_2=x_0+v_x t_2).
Если (v_xgt 0), то пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) путь равен разности координат: $$ s=x_2-x_1=(x_0+v_x t_2)-(x_0+v_x t_1)=x_0-x_0+v_x (t_2-t_1)=v_x triangle t $$ В общем случае, т.к. (v_x) может быть и отрицательным, а путь всегда положительный, в формуле нужно поставить модуль: $$ s=|v_x|triangle t $$
Изобразим полученное соотношение на графике скорости: 
На графике скорости путь, пройденный за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади прямоугольника, длина которого равна (triangle t), а ширина (triangle |v_x|): $$ s=|v_x|triangle t $$
Проекция скорости (v_x) может быть не только положительной, но и отрицательной.
Если учитывать знак, то произведение: $$ triangle x=v_x triangle t $$ дает проекцию перемещения на ось OX. Знак этого произведения указывает на направление перемещения.
На графике скорости проекция перемещения на ось OX за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равна площади (v_xtriangle t), с учетом знака: $$ triangle x=v_xtriangle t $$
Проекция перемещения может быть как положительной, так и отрицательной или равной 0.
п.8. Задачи
Задача 1. Спортсмен бежит по прямолинейному участку дистанции с постоянной скоростью 8 м/с. Примите (x_0=0) и запишите уравнение движения.
а) Постройте график движения (x=x(t)) и найдите с его помощью, сколько пробежит спортсмен за (t_1=5 с), за (t_2=10 с);
б) постройте график скорости (v=v(t)) и найдите с его помощью, какой путь преодолеет спортсмен за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1)?
По условию (x_0=0, v_x=8).
Уравнение движения: (x=x_0+v_x t=0+8t=8t)
а) Строим график прямой (x=8t) по двум точкам:
По графику находим: begin{gather*} x_1=x(5)=8cdot 5=40 text{(м)}\ x_2=x(10)=8cdot 10=80 text{(м)} end{gather*}
б) Скорость (v_x=8) м/с – постоянная величина, её график:
$$ t_1=5 с, t_2=10 с $$ Пройденный путь за промежуток времени (triangle t=t_2-t_1) равен площади заштрихованного прямоугольника: $$ s=v_x triangle t=8cdot (10-5)=40 text{(м)} $$ Ответ: а) 40 м и 80 м; б) 40 м
Задача 2. Космический корабль движется прямолинейно с постоянной скоростью.
Известно, что через 1 час после старта корабль находился на расстоянии 38 тыс.км от астероида Веста, а через 2 часа после старта – на расстоянии 56 тыс.км.
а) постройте график движения корабля, найдите по графику уравнение движения.
б) на каком расстоянии от астероида находился корабль в начальный момент времени?
в) на каком расстоянии от астероида будет находиться корабль через 4 часа после старта?
г) чему равна скорость корабля в километрах в секунду?
а) Будем откладывать время в часах, а расстояние в тыс.км
Отмечаем точки A(1;38) и B(2;56), проводим через них прямую.
Полученная прямая и есть график движения (x=x(t)).
Найдем скорость корабля (v_x): $$ v_x=frac{x_2-x_1}{t_2-t_1}=frac{56-38}{2-1}=18 (text{тыс.км/ч}) $$ Найдем начальную координату (x_0): $$ x_0=x_1-v_x t_1=38-18cdot v_1=20 (text{тыс.км/ч}) $$ Получаем уравнение движения: $$ x(t)=x_0+v_x t, x(t)=20+18t $$ где (x) – в тыс.км, а (t) – в часах.
б) В начальный момент времени корабль находился на расстоянии (x_0=20) тыс.км от астероида.
в) Через 4 часа после старта корабль будет находиться на расстоянии $$ x(4)=20+18cdot 4=92 (text{тыс.км}) $$
г) Переведем скорость в км/с: $$ 18000frac{text{км}}{text{ч}}=frac{18000 text{км}}{1 text{ч}}=frac{18000 text{км}}{3600 text{c}}=5 text{км/c} $$ Ответ:
а) (x(t)=20+18t) ((x) в тыс.км, (t) в часах); б) 20 тыс.км; в) 92 тыс.км; г) 5 км/с
Равномерное прямолинейное движение — это такое движение, при котором тело совершает за любые равные промежутки времени равные перемещения.
Скорость при прямолинейном равномерном движении
Если тело движется равномерно и прямолинейно, его скорость остается постоянной как по модулю, так и по направлению. Ускорение при этом равно нулю.
Векторный способ записи скорости при равномерном прямолинейном движении:
s — вектор перемещения, ΔR— изменение радиус-вектора, t — время, а ∆t — его изменение.
Проекция скорости на ось ОХ:
sx — проекция перемещения на ось ОХ, ∆x — изменение координаты точки (ее абсциссы).
Знак модуля скорости зависит от направления вектора скорости и оси координат:
Основная единица измерения скорости — 1 метр в секунду. Сокращенно — 1 м/с.
Дополнительные единицы измерения
- 1 км/ч (километр в час) = 1000 м/3600 с.
- 1 км/мин (километр в минуту) = 1000 м/60 с.
- 1 км/с (километр в секунду) = 1000 м/с.
- 1 м/мин (метр в минуту) = 1 м/60 с.
- 1 см/с (сантиметр в секунду) = 0,01 м/с.
Спидометр — прибор для измерения модули скорости тела.
График зависимости скорости от времени представляет собой прямую линию, перпендикулярную оси скорости и параллельную оси времени. Выглядит он так:
Определение направления движения по графику скорости
- Если график скорости лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
- Если график скорости лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
- Если график скорости совпадает с осью времени, тело покоится.
Чтобы сравнить модули скоростей на графике, нужно оценить их удаленность от оси времени. Чем дальше график от оси, тем больше модуль.
Пример №1. Найти модуль скорости и направление движения тела относительно оси ОХ. Выразить скорость в км/ч.
График скорости пересекает ось в точке со значением 10. Единица измерения — м/с. Поэтому модуль скорости равен 10 м/с. График лежит выше оси времени. Это значит, что тело движется по направлению оси ОХ. Чтобы выразить скорость в км/ч, нужно перевести 10 м в километры и 1 с в часы:
Теперь нужно разделить километры на часы:
Перемещение и координаты тела при равномерном прямолинейном движении
Геометрический смысл перемещения заключается в том, что его модуль равен площади фигуры, ограниченной графиком скорости, осями скорости и времени, а также линией, проведенной перпендикулярно оси времени.
При прямолинейном равномерном движении эта фигура представляет собой прямоугольник. Поэтому модуль перемещения вычисляется по следующей формуле:
Вектор перемещения равен произведению вектора скорости на время движения:
Внимание!
При равномерном прямолинейном движении путь и перемещение совпадают. Поэтому путь, пройденный телом, можно найти по этим же формулам.
Формула проекции перемещения:
График проекции перемещения
График проекции перемещения показывает зависимость этой проекции от времени. При прямолинейном равномерном движении он представляет собой луч, исходящий из начала координат. Выглядит он так:
Определение направления движения по графику проекции перемещения
- Если луч лежит выше оси времени, тело движется в направлении оси ОХ.
- Если луч лежит ниже оси времени, тело движется против оси ОХ.
- Если луч совпадает с этой осью, тело покоится.
Чтобы по графику проекции перемещения сравнить модули скоростей, нужно сравнить углы их наклона к оси sx.Чем меньше угол, тем больше модуль. Согласно рисунку выше, модули скорости тел, которым соответствуют графики 1 и 3, равны. Они превосходят модуль скорости тела 2, так как их угол наклона к оси sx меньше.
График координаты
График координаты представляет собой график зависимости координаты от времени. Выглядит он так:
Так как график координаты представляет собой график линейной функции, уравнение координаты принимает вид:
Определение направления движения тела по графику координаты
- Если с течением времени координата увеличивается (график идет снизу вверх), тело движется в направлении оси ОХ. На картинке выше этому соответствуют графики тел 1 и 2.
- Если с течением времени координата уменьшается (график идет сверху вниз), тело движется противоположно направлению оси ОХ. На картинке выше этому соответствует график тела 3.
- Если координата не изменяется, тело покоится.
Чтобы сравнить модули скоростей тел по графику координат, нужно сравнить углы наклона графика к оси координат. Чем меньше угол, тем больше модуль скорости. На картинке выше наибольший модуль скорости соответствует графику 1. У графиков 2 и 3 модули равны.
Чтобы по графику координат найти время встречи двух тел, нужно из точки пересечения их графиков провести перпендикуляр к оси времени.
Пример №2. График зависимости координаты тела от времени имеет вид:
Изучите график и на его основании выберите два верных утверждения:
- На участке 1 скорость тела постоянна, а на участке 2 равна нулю.
- Проекция ускорения тела на участке 1 положительна, а на участке 2 — отрицательна.
- На участке 1 тело движется равномерно, а на участке 2 оно покоится.
- На участке 1 тело движется равноускорено, а на участке 2 оно движется равномерно.
- Проекция ускорения тела на участке 1 отрицательна, а на участке 2 — положительна.
На участке 1 координата растет, и ее график представляет собой прямую. Это значит, что на этом участке тело движется равномерно (с постоянной скоростью). На участке 2 координата с течением времени не меняется, что говорит о том, что тело покоится. Исходя из этого, верными утверждениями являются номера 1 и 3.
Пример №3. На рисунке изображен график движения автомобиля из пункта А (х=0 км) в пункт В (х=30 км). Чему равна минимальная скорость автомобиля на всем пути движения туда и обратно?
Согласно графику, с начала движения до прибытия автомобиля в пункт 2 прошло 0,5 часа. А с начала движения до возвращения в пункт А прошло 1,5 часа. Поэтому время, в течение которого тело возвращалось из пункта В в пункт А, равно:
1,5 – 0,5 = 1 (час).
Туда и обратно автомобиль проходил равные пути, каждый из которых равен 30 км. Поэтому скорость во время движения от А к В равна:
Скорость во время движения от В к А равна:
Минимальная скорость автомобиля на всем пути движения составляет 30 км/ч.
Задание EF17553
На рисунке представлены графики зависимости пройденного пути от времени для двух тел. Скорость второго тела v2 больше скорости первого тела v1 в n раз, где n равно…
Алгоритм решения
- Выбрать любой временной интервал.
- Выбрать для временного интервала начальные и конечные пути для каждого из графиков.
- Записать формулу скорости и вычислить ее для 1 и 2 тела.
- Найти n — отношение скорости второго тела к скорости первого тела
Решение
Рассмотрим графики во временном интервале от 0 до 4 с. Ему соответствуют следующие данные:
- Для графика 1: начальный путь s10 = 0 м. Конечный путь равен s1 = 80 м.
- Для графика 2: начальный путь s20 = 0 м. Конечный путь равен s2 = 120 м.
Скорость определяется формулой:
Так как начальный момент времени и скорость для обоих тел нулевые, формула примет вид:
Скорость первого тела:
Скорость второго тела:
Отношение скорости второго тела к скорости первого тела:
Ответ: 1,5
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18768
На рисунке приведён график зависимости координаты тела от времени при прямолинейном движении тела по оси Ox.
Какой из графиков соответствует зависимости от времени для проекции υx скорости этого тела на ось Ox?
Алгоритм решения
- Записать уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении.
- Выразить из уравнения проекцию скорости.
- Определить начальную и конечную координаты, а также время, в течение которого двигалось тело.
- Вычислить проекцию скорости.
- Выбрать соответствующий график.
Решение
Уравнение координаты при равномерном прямолинейном движении имеет вид:
Отсюда проекция скорости равна:
Начальная координата xo = 10 м, конечная x = –10 м. Общее время, в течение которого двигалось тело, равно 40 с.
Вычисляем проекцию скорости:
Этому значению соответствует график «в».
Ответ: в
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Задание EF18831
На рисунке представлен график зависимости модуля скорости υ автомобиля от времени t. Определите по графику путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1=20 с до t2=50 с.
Алгоритм решения
- Охарактеризовать движение тела на различных участках графика.
- Выделить участки движения, над которыми нужно работать по условию задачи.
- Записать исходные данные.
- Записать формулу определения искомой величины.
- Произвести вычисления.
Решение
Весь график можно поделить на 3 участка:
- От t1 = 0 c до t2 = 10 с. В это время тело двигалось равноускоренно (с положительным ускорением).
- От t1 = 10 c до t2 = 30 с. В это время тело двигалось равномерно (с нулевым ускорением).
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с. В это время тело двигалось равнозамедленно (с отрицательным ускорением).
По условию задачи нужно найти путь, пройденный автомобилем в интервале времени от t1 = 20 c до t2 = 50 с. Этому времени соответствуют два участка:
- От t1 = 20 c до t2 = 30 с — с равномерным движением.
- От t1 = 30 c до t2 = 50 с — с равнозамедленным движением.
Исходные данные:
- Для первого участка. Начальный момент времени t1 = 20 c. Конечный момент времени t2 = 30 с. Скорость (определяем по графику) — 10 м/с.
- Для второго участка. Начальный момент времени t1 = 30 c. Конечный момент времени t2 = 50 с. Скорость определяем по графику. Начальная скорость — 10 м/с, конечная — 0 м/с.
Записываем формулу искомой величины:
s = s1 + s2
s1 — путь тела, пройденный на первом участке, s2 — путь тела, пройденный на втором участке.
s1 и s2 можно выразить через формулы пути для равномерного и равноускоренного движения соответственно:
Теперь рассчитаем пути s1 и s2, а затем сложим их:
s1 + s2 = 100 + 100 = 200 (м)
Ответ: 200
pазбирался: Алиса Никитина | обсудить разбор
Алиса Никитина | Просмотров: 13.5k
Как найти проекцию скорости
Вектор скорости характеризует движение тела, показывая направление и быстроту перемещения в пространстве. Скорость как функция является первой производной от уравнения координаты. Производная от скорости даст ускорение.
Инструкция
Сам по себе заданный вектор ничего не дает в плане математического описания движения, поэтому его рассматривают в проекциях на координатные оси. Это может быть одна координатная ось (луч), две (плоскость) или три (пространство). Чтобы найти проекции, нужно опустить перпендикуляры из концов вектора на оси.
Проекция представляет собой как бы «тень» вектора. Если тело движется перпендикулярно рассматриваемой оси, проекция выродится в точку и будет иметь нулевое значение. При движении параллельно координатной оси проекция совпадает с модулем вектора. И когда тело движется так, что его вектор скорости направлен под некоторым углом φ к оси x, проекция на ось x будет отрезком: V(x)=V•cos(φ), где V – модуль вектора скорости. Проекция положительна, когда направление вектора скорости совпадает с положительным направлением координатной оси, и отрицательна в обратном случае.
Пусть движение точки задано координатными уравнениями: x=x(t), y=y(t), z=z(t). Тогда функции скорости, спроецированной на три оси, будут иметь вид, соответственно, V(x)=dx/dt=x'(t), V(y)=dy/dt=y'(t), V(z)=dz/dt=z'(t), то есть для нахождения скорости нужно взять производные. Сам вектор скорости будет выражаться уравнением V=V(x)•i+V(y)•j+V(z)•k, где i, j, k – единичные векторы координатных осей x, y, z. Модуль скорости можно вычислить по формуле V=√(V(x)^2+V(y)^2+V(z)^2).
Через направляющие косинусы вектора скорости и единичные отрезки координатных осей можно задать направление вектору, отбросив его модуль. Для точки, которая движется в плоскости, достаточно двух координат, x и y. Если тело совершает движение по окружности, направление вектора скорости непрерывно изменяется, а модуль может как сохраняться постоянным, так и меняться во времени.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Решение задачи (РГР) К1 «Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям ее движения» по разделу «кинематика» теоретической механики.
Пример определения для заданного момента времени положения точки на траектории, скорости, полного, касательного и нормального ускорения, радиуса кривизны траектории и вида траектории движения точки, если движение точки задано уравнениями.
Задача
Движение точки M задано уравнениями:
Требуется:
Установить вид траектории движения точки M, и для момента времени t = t1 = 0,5 с найти:
- положение точки на траектории,
- скорость, полное, касательное и нормальное ускорения,
- радиус кривизны траектории.
Другие примеры решений >
Помощь с решением задач >
Решение
Расчет траектории движения точки
Уравнения движения можно рассматривать как параметрические уравнения траектории точки.
Другие видео
Чтобы узнать вид траектории в координатной форме, надо получить прямую зависимость между переменными x и y, для этого избавимся от параметра времени t, выразив его, например, из первого уравнения и подставив во второе.
Получилось квадратное уравнение. То есть точка движется по параболе.
Построим траекторию движения, рассчитав несколько её точек.
Положение точки на траектории
Определим положения точки в начале движения и в заданный момент времени.
Для этого в исходные уравнения подставляем соответственно сначала 0
а затем, половину секунды.
Положение точки на ее траектории в заданный момент обозначим буквой M, и все остальные параметры будем рассчитывать для неё.
Расчет скорости точки
Направление и величину скорости точки определим как векторную сумму её проекций на оси координат.
Здесь i, j — орты осей x и y.
vx, vy — проекции вектора скорости на оси координат.
Проекции вектора скорости получим, взяв первые производные по времени t от соответствующих заданных уравнений движения точки.
Далее выбрав масштаб, из точки M последовательно и с учетом знака, откладываем оба вектора.
Сам вектор скорости получим, соединив точку M с концом второго вектора и направив его по ходу движения точки.
Здесь надо отметить, что вектор скорости всегда должен располагаться по касательной к траектории. Любое другое положение будет указывать на ошибки в расчетах.
Рассчитаем модуль вектора скорости
Расчет ускорений точки
Проекции полного ускорения точки на оси координат определяются как вторая производная от исходных уравнений движения точки.
Здесь, ax, ay – проекции ускорения точки на оси координат.
В этом примере, горизонтальная проекция ускорения оказалась равной нулю, поэтому его модуль и направление будут совпадать с вертикальной.
Касательная составляющая полного ускорения это производная скорости точки по времени.
Ее можно рассчитать по этой формуле.
Вектор касательного ускорения всегда направлен по линии вектора скорости.
Положительная величина говорит об ускоренном движении точки и тогда направления скорости и касательного ускорения совпадают.
В противном случае они разнонаправлены, и движение точки замедляется.
Модуль нормального ускорения определим по формуле Пифагора, так как векторы касательного и центростремительного ускорений всегда взаимно перпендикулярны.
Расчет радиуса кривизны траектории
Осталось найти только радиус кривизны траектории в точке M, который равен отношению квадрата скорости к модулю нормального ускорения.
Результаты расчетов
Результаты вычислений для заданного момента времени t1=0,5c приведены в таблице:
На рисунке показано положение точки M в заданный момент времени и векторы скорости и ускорений в выбранном масштабе.
Вектор v строим по составляющим vx и vy, причем этот вектор должен по направлению совпадать с касательной к траектории.
Вектор a строим по составляющим ax и ay и затем раскладываем на составляющие векторы aτ и an. Совпадение величин aτ и an, найденных из чертежа, с их значениями, полученными аналитически, служит критерием правильности решения.
Другие примеры решения задач >
