Как найти проекцию точки на прямую онлайн

Онлайн калькулятор: Системы координат в пространстве

УчебаМатематикаГеометрия

Преобразование координат из / в декартову, цилиндрическую и сферическую систему координат.

Этот калькулятор предназначен для преобразования координат в пространстве, заданных в трех системах:

• Прямоугольной (декартовой)
• Цилиндрической
• Сферической
  Прямоугольная, цилиндрическая и сферическая системы координат

Прямоугольная система координат

Определяет точку в пространстве при помощи трех чисел : x, y, z. Каждое число соответствует длине кратчайшего отрезка, проложенного параллельно одноименной оси координат до плоскости, образованной другими осями координат. Длина берется со знаком минус, если точка находится со стороны отрицательных значений шкалы координат.

Цилндрическая система координат

Определяет точку в пространстве при помощи радиуса r, угла азимута φ, и высоты z. Высота z соответствует координате z в прямоугольной системе координат. Радиус r — всегда неотрицательное число, задающее минимальное расстояние от точки в пространстве до оси z. Азимутальный угол φ — значение в диапазоне 0 ..360 градусов — определяет угол, между положительной полуосью x и радиусом, проложенным через проекцию точки на плоскость, образованную осями x и y.

Сферическая система координат

Определяет точку в пространстве при помощи радиуса ρ, азимута φ, и полярного угла θ. Азимут φ совпадает со значением азимута в цилиндрических координатах. Радиус ρ — расстояние от центра координат, до точки. Полярный угол образован положительной полуосью z и радиусом из центра координат до точки в пространстве.

Прямоугольные координаты в пространстве

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Цилиндрические координаты

Радиус (r)

Азимут (φ), градусы

Высота (z)

Сферические координаты

Радиус (ρ)

Азимут (φ), градусы

Полярный угол (θ), градусы

Формулы преобразования декартовых координат

Полярный угол:

Цилиндрические координаты

Радиус (r)

Азимут (φ), градусы

Высота (z)

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Прямоугольные координаты

Сферические координаты

Радиус (ρ)

Азимут (φ), градусы

Полярный угол (θ), градусы

Формулы преобразования цилиндрических координат

Декартовы координаты:
,

Сферические координаты

Радиус (ρ)

Азимут (φ), градусы

Полярный угол (θ), градусы

Точность вычисления

Знаков после запятой: 2

Прямоугольные координаты

Цилиндрические координаты

Радиус (r)

Азимут (φ), градусы

Высота (z)

Формулы преобразования сферических координат

Декартовы координаты:
,
,

Радиус в цилиндрической системе:

Ссылка скопирована в буфер обмена

Похожие калькуляторы

• • Переход между плоскими прямоугольными координатами Гаусса и географическими координатами и обратно
• • Прямоугольная и полярная система координат на плоскости
• • Площадь треугольника по координатам вершин
• • Расстояние между двумя координатами
• • Расчет длины отрезка и координат середины отрезка по двум точкам
• • Раздел: Геометрия ( 95 калькуляторов )

 #геометрия #координаты 3d Геометрия декартовы координаты конверторы координаты Математика система координат Системы координат сферические координаты цилиндрические координаты

 PLANETCALC, Системы координат в пространстве

Anton2020-11-03 14:19:36

Ортогональная проекция точки м на прямую.

Проекция точки на прямую, координаты проекции точки на прямую

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти проекцию точки на прямую. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления проекции точки на прямую, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку «Решить».

×

Предупреждение

Очистить все ячейки?

Закрыть
Очистить

Инструкция ввода данных.
Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Проекция точки на прямую − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1.
Пусть в двухмерном пространстве задана точка M
0 (x
0 , y
0) и прямая L
:

Алгоритм нахождения проекции точки на прямую L
содержит следующие шаги:

• построить прямую L
  1 , проходящую через точку M
  0 и перпендикулярную прямой L
  ,
• найти пересечение прямых L
  и L
  1 (точка M
  1)

Уравнение прямой, проходящей через точку M
0 (x
0 , y
0) имеет следующий вид:

Откроем скобки

Подставим значения x
и y
в (4):

где x
1 =mt»
+x»
, y
1 =pt»
+y»
.

Пример 1.
Найти проекцию точки M
0 (1, 3) на прямую

Т.е. m
=4, p
=5. Из уравнения прямой (6) видно, что она проходит через точку M»
(x»
, y»
)=(2, −3)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (6) получим тождество 0=0), т.е. x»
=2, y»
=-3. Подставим значения m, p, x
0 , y
0 , x», y»
в (5″):

2.
Пусть в трехмерном пространстве задана точка M
0 (x
0 , y
0 , z
0) и прямая L
:

Нахождение проекцию точки на прямую L
содержит следующие шаги:

• построить плоскость α
  , проходящую через точку M
  0 и перпендикулярную прямой L
  ,
• найти пересечение плоскости α
  и прямой L
  (точка M
  1)

Уравнение плоскости, проходящей через точку M
0 (x
0 , y
0 , z
0) имеет следующий вид:

Откроем скобки

Подставим значения x
и y
в (9):

m (mt +x» )+p (pt +y» )+l (lt +z» )−m x 0 −p y 0 −l z 0 =0

m 2 t +mx» +p 2 t +py» +l 2 t +ly» −m x 0 −p y 0 −l z 0 =0

Проекция точки на прямую линию находится достаточно просто и при выполнении некоторых операций нулевое приближение вычисляется как проекция точки на касательную прямую. Рассмотрим этот частный случай общей задачи.

Пусть дана прямая

и точка . Будем считать, что вектор прямой w имеет произвольную длину. Прямая линия проходит через точку , в которой параметр t равен нулю, и имеет направление вектора w. Требуется найти проекцию точки на прямую линию . Эта задача имеет единственное решение. Построим вектор из точки прямой в точку и вычислим скалярное произведение этого вектора и вектора прямой w. На рис. 4.5.1 показаны направляющий вектор прямой w, ее начальная точка Со и проекция ; заданной точки. Если разделим это скалярное произведение на длину вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую линию.

Рис. 4.5.1. Проекция точки на прямую линию

Если же разделим это скалярное произведение на квадрат длины вектора w, то получим длину проекции вектора на прямую в единицах длины вектора w, т. е. получим параметр t для проекции точки на прямую линию.

Таким образом, параметр проекции точки на прямую линию и радиус-вектор проекции ; вычисляются по формулам

(4. 5.3)

Если длина вектора w равна единице, то в (4.5.2) не требуется выполнять деление на Расстояние от точки до ее проекции на кривую в общем случае вычисляется как длина вектора . Расстояние от точки до ее проекции на прямую линию можно определить, не вычисляя проекцию точки, а воспользовавшись формулой

Частные случаи.

Проекция точки на аналитические кривые также может быть найдена без привлечения численных методов. Например, чтобы найти проекцию точки на коническое сечение, нужно перевести проецируемую точку в местную систему координат конического сечения, спроецировать эту точку на плоскость конического сечения и найти параметр двухмерной проекции заданной точки.

Общий случай.

Пусть требуется найти все проекции точки на кривую линию Каждая искомая точка кривой удовлетворяет уравнению

(4.5.5)

Это уравнение содержит одну неизвестную величину — параметр t. Как было уже сказано, решение этой задачи разобьем на два этапа. На первом этапе определим нулевые приближения параметров проекций точки на кривую, а на втором этапе найдем точные значения параметров кривой, определяющие проекции заданной точки на кривую линию с

В этой статье сначала дано определение проекции точки на прямую (на ось) и приведен поясняющий рисунок. Далее разобран способ нахождения координат проекции точки на прямую во введенной прямоугольной системе координат на плоскости и в трехмерном пространстве, показаны решения примеров с подробными пояснениями.

Навигация по странице.

Проекция точки на прямую – определение.

Так как все геометрические фигуры состоят из точек, а проекция фигуры представляет собой множество проекций всех точек этой фигуры, то для проецирования фигуры на прямую необходимо уметь проецировать точки этой фигуры на данную прямую.

Так что же называют проекцией точки на прямую?

Определение.

Проекция точки на прямую
– это либо сама точка, если она лежит на данной прямой, либо основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на заданную прямую.

На приведенном ниже рисунке точка H 1
является проекцией точки M 1
на прямую a
, а точка M 2
есть проекция самой точки М 2
на прямую a
, так как М 2
лежит на прямой a
.

Это определение проекции точки на прямую справедливо как для случая на плоскости, так и для случая в трехмерном пространстве.

На плоскости, чтобы построить проекцию точки М 1
на прямую a
нужно провести прямую b
, которая проходит через точку М 1
и перпендикулярна прямой a
. Тогда точка пересечения прямых a
и b
является проекцией точки М 1
на прямую a
.

В трехмерном пространстве проекцией точки М 1
на прямую a
является точка пересечения прямой a
и плоскости , проходящей через точку М 1
перпендикулярно к прямой a
.

Нахождение координат проекции точки на прямую – теория и примеры.

Начнем с нахождения координат проекции точки на прямую, когда проецируемая точка и прямая заданы в прямоугольной системе координат Oxy на плоскости. После этого покажем, как находятся координаты проекции точки на прямую в прямоугольной системе координат Oxyz
в трехмерном пространстве.

Координаты проекции точки на прямую на плоскости.

Пусть на плоскости зафиксирована Oxy
, задана точка , прямая a
и требуется определить координаты проекции точки М 1
на прямую a
.

Решим эту задачу.

Проведем через точку М 1
прямую b
, перпендикулярную прямой a
, и обозначим точку пересечения прямых a
и b
как H 1
. Тогда H 1
– проекция точки М 1
на прямую a
.

Из проведенного построения логически следует алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a
:

Разберемся с нахождением координат проекции точки на прямую при решении примера.

Пример.

На плоскости относительно прямоугольной системы координат Oxy
заданы точка и прямая a
, которой соответствует общее уравнение прямой вида

Решение.

Уравнение прямой a
нам известно из условия, так что можно переходить ко второму шагу алгоритма.

Получим уравнение прямой b
, которая проходит через точку М 1
и перпендикулярна прямой a
. Для этого нам потребуются координаты направляющего вектора прямой b
.Так как прямая b
перпендикулярна прямой a
, то нормальный вектор прямой a
является направляющим вектором прямой b
. Очевидно, нормальным вектором прямой является вектор с координатами , следовательно, направляющим вектором прямой b
является вектор . Теперь мы можем написать каноническое уравнение прямой b
, так как знаем координаты точки , через которую она проходит, и координаты ее направляющего вектора: .

Осталось найти координаты точки пересечения прямых a
и b
, которые дадут искомые координаты проекции точки М 1
на прямую a
. Для этого сначала перейдем от канонических уравнений прямой b
к ее общему уравнению: . Теперь составим систему уравнений из общих уравнений прямых a
и b
, после чего найдем ее решение (при необходимости обращайтесь к статье ):

Таким образом, проекция точки на прямую имеет координаты .

Ответ:

Пример.

На плоскости в прямоугольной системе координат Oxy
заданы три точки . Найдите координаты проекции точки М 1
на прямую АВ
.

Решение.

Для нахождения координат проекции точки М 1
на прямую АВ
будем действовать по полученному алгоритму.

Напишем уравнение прямой, проходящей через две заданные точки и :
.

Теперь можно от полученного канонического уравнения прямой АВ
перейти к общему уравнению прямой АВ
и продолжить решение по аналогии с предыдущим примером. Но давайте рассмотрим другой способ нахождения уравнения прямой b
, проходящей через точку М 1
перпендикулярно прямой АВ
.

Из канонического уравнения прямой АВ
получим уравнение прямой с угловым коэффициентом : . Угловой коэффициент прямой АВ
равен , а угловой коэффициент прямой b
, которая перпендикулярна прямой АВ
, равен (смотрите условие перпендикулярности прямых). Тогда уравнение прямой b
, проходящей через точку и имеющей угловой коэффициент , имеет вид .

Чтобы определить координаты проекции точки на прямую АВ
осталось решить систему уравнений :

Ответ:

Давайте еще отдельно остановимся на нахождении координат проекции точки на координатные прямые Ox
и Oy
, а также на прямые, им параллельные.

Очевидно, что проекцией точки на координатную прямую Ox
, которой соответствует неполное общее уравнение прямой вида , является точка с координатами . Аналогично, проекция точки на координатную прямую Oy
имеет координаты .

Любая прямая, параллельная оси абсцисс, может быть задана неполным общим уравнением вида , а прямая, параллельная оси ординат, — уравнением вида . Проекциями точки на прямые и являются точки с координатами и соответственно.

Пример.

Какие координаты имеют проекции точки на координатную прямую Oy
и на прямую .

Решение.

Проекцией точки на прямую Oy
является точка с координатами .

Перепишем уравнение прямой как . Теперь хорошо видно, что проекция точки на прямую имеет координаты .

Ответ:

И .

Координаты проекции точки на прямую в трехмерном пространстве.

Теперь переходим к нахождению координат проекции точки на прямую относительно прямоугольной системы координат Oxyz
, введенной в трехмерном пространстве.

Пусть в пространстве зафиксирована прямоугольная система координат Oxyz
, задана точка , прямая a
и требуется найти координаты проекции точки М 1
на прямую a
.

Решим эту задачу.

Построим плоскость , которая проходит через точку М 1
перпендикулярно к прямой a
. Проекцией точки М 1
на прямую a
является точка пересечения прямой a
и плоскости . Таким образом, получаем алгоритм, позволяющий найти координаты проекции точки на прямую a
:

Рассмотрим решение примера.

Пример.

В прямоугольной системе координат Oxyz
задана точка и прямая a
, причем прямую a
определяют канонические уравнения прямой в пространстве вида . Найдите координаты проекции точки М 1
на прямую a
.

Решение.

Для определения координат проекции точки М 1
на прямую a
воспользуемся полученным алгоритмом.

Уравнения прямой a
нам сразу известны из условия, так что переходим ко второму шагу.

Получим уравнение плоскости , которая перпендикулярна к прямой a
и проходит через точку . Для этого нам нужно знать координаты нормального вектора плоскости . Найдем их. Из канонических уравнений прямой a
видны координаты направляющего вектора этой прямой: . Направляющий вектор прямой a
является нормальным вектором плоскости, которая перпендикулярна к прямой a
. То есть, — нормальный вектор плоскости . Тогда уравнение плоскости , проходящей через точку и имеющей нормальный вектор , имеет вид .

Осталось найти координаты точки пересечения прямой a
и плоскости — они являются искомыми координатами проекции точки на прямую a
. Покажем два способа их нахождения.

Первый способ.

Из канонических уравнений прямой a получим уравнения двух пересекающихся плоскостей , которые определяют прямую a:

Координаты точки пересечения прямой и плоскости мы получим, решив систему линейных уравнений вида . Применим (если Вам больше нравиться или какой-нибудь другой метод решения систем линейных уравнений, то применяйте его):

Таким образом, точка с координатами является проекцией точки М 1
на прямую a
.

Второй способ.

Зная канонические уравнения прямой a
, легко записать ее параметрические уравнения прямой в пространстве : . Подставим в уравнение плоскости вида вместо x
, y
и z
их выражения через параметр:

Теперь мы можем вычислить искомые координаты точки пересечения прямой a
и плоскости по параметрическим уравнениям прямой a
при :

1-12. о подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки
Р».

ЗАМЕЧАНИЕ.
Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат проекции точки на прямую.

ПРИМЕР.
Найти координаты проекции Р » точки Р(1,2,-1) на плоскость Зж — 2/4-22: — 4 = 0.

1. Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р
пер­ пендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляю­ щего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: а = п =

	Гл. 1. Ансиитическая геометрия
= {3, -1,2}. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид
		У-2 _ z-hl
	2. Найдем координаты ТОЧЮЙ пересечения Р» этой прямой с задан­
ной плоскостью. Положим
	х-~1 __ у-2 __ Z + 1 _
Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

3.
на плос-

4х + бу -f 4z —

2х + 6у»-2г–11

4 х — 5 2 / — г — 7

ж-f-42/+ З2: 4-5 = 0.

2х -h Юу + lOz —

2х -МО2/ -f- lOz —

Ответы. 1.(2,3/2,2). 2. (-3/2,-3/2,-1/2). 3.(2,-1/2,-3/2). 4. (-1/2,1,1). 5.(1,-1/2,-1/2). z
в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра t = to, при котором происходит пересе­ чение прямой и плоскости;

в) найденное значение to подставляем в параметрические уравне­ ния прямой и получаем искомые координаты точки Р».

2. Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан­ ной прямой, определяем из условий (1). Получаем

XQ
= 2хр/ — Хр, yq = 2ур» — ур,
ZQ
= 22;р/ — zp.

ЗАМЕЧАНИЕ.
Аналогично решается задача о нахождении коорди­ нат точки, симметричной данной, относительно плоскости.

ПРИМЕР.
Найти координаты точки Q, симметричной точке Р(2, -1,2) относительно прямой

X — 1 _ у __ Z –1

Р
ЕШЕНИЕ.

1.
Найдем проекцию точки
Р
на данную прямую, т.е. точку Р». Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р
пер­ пендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора п
этой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: n = a = {1,0,-2}. Тогда

Подставляя эти выражения для х, у и z в
уравнение плоскости, на­ ходим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости: to = -1;

в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное значение to = -1, получаем

жр/ = О, г/р/ = О, zpr
= 1. носителъно заданной прямой.

геометрия — Как найти проекцию точки на плоскость

спросил
10 лет, 10 месяцев назад

Изменено
1 год, 4 месяца назад

Просмотрено
67 тысяч раз

$begingroup$

Допустим, у меня есть точка $(x, y, z)$ и плоскость с нормалью $(a, b, c)$ с точкой $(d, e, f)$. Я пытаюсь использовать это в программировании $3D$. Благодарю вас! 92}.$$

Подставьте это в $(x+ta,y+tb,z+tc)$ и получите результат.

$endgroup$

$begingroup$

Возьмем вектор смещения из точки на плоскости в заданную точку:
$$
{ bf v} = (xd, ye, zf)
$$
и пусть ${bf w}$ — вектор нормали к плоскости.

Мы можем описать ${bf v}$ как сумму двух векторов; один перпендикулярен вектору нормали ${bf w}$ (обозначается ${bf v}_perp$), а другой параллелен вектору нормали ${bf w}$ (обозначается $ {bf v}_parallel$). 92} { бф ш}
$$

Отсюда искомая точка равна $(d,e,f)+{bf v}_perp$.

$endgroup$

1

$begingroup$

Обозначим вашу точку как $(x_0,y_0,z_0)$ вместо $(x,y,z)$ и проекцию как $(x’_0,y’_0,z’_0)$

Параметрическое уравнение линии, проходящей через точку, и ее проекция определяется как:

$x’_0=x_0+acdot t$

$y’_0=y_0+bcdot t$

$z’_0=z_0+ccdot t$

Уравнение плоскости:

$a cdot(x-d)+bcdot(y-e )+ccdot(z-f)=0$

Теперь , так как точка $(x’_0,y’_0,z’_0)$ принадлежит плоскости, то в уравнение плоскости вместо $ нужно подставить ее координаты x,y,z$ и вычислить параметр $t$ .

$endgroup$

$begingroup$

Вы должны провести параллельную прямую вектору нормали в точке $(x,y,z)$, и проекция будет пересечением этой прямой с плоскостью.

$endgroup$

линейная алгебра — Ортогональная проекция точки на плоскость

спросил
4 года, 4 месяца назад

Изменено
4 года, 4 месяца назад

Просмотрено
10 тысяч раз

$begingroup$

Даны точка и плоскость: точка $P(-4, -9, -5)$ и плоскость, заданная тремя точками: $A(0, 1, 3)$, $B(-3, 2, 4)$ и $C(4, 1, -2)$. Пока мне удалось вычислить уравнение этой плоскости $5x + 11y + 4z = 23$. Как вычислить координаты ортогональной проекции этой точки $P$ на плоскость?

• линейная алгебра
• векторные пространства

$endgroup$

$begingroup$

Вы просили другой способ сделать это, так что вот парочка. Проекция $P$ — это пересечение плоскости, определяемой тремя точками, и прямой, проходящей через $P$, ортогональной плоскости — параллельной нормали к плоскости. Поскольку вы уже нашли уравнение плоскости, вы можете использовать его для прямого вычисления этой точки несколькими способами. 9Т$. Подставляя эти значения в приведенное выше выражение, мы получаем $$left([5,11,4,-23]cdot[5,11,4,0]right)[-4,-9,-5,1 ]-влево([5,11,4,-23]cdot[-4,-9,-5,1]вправо)[5,11,4,0] = 162[-4,-9, -5,1]+162[5,11,4,0] = [162,324,-162,162].$$ Дегомогенизируйте это, разделив на последнюю координату, чтобы получить точку $(1,2,-1)$. Конечно, вы могли бы создать систему параметрических или неявных декартовых уравнений и решить их для пересечения прямой и плоскости, но этот метод позволяет вычислить ее напрямую.