Как найти проекцию ускорения в интервале времени

• Равноускоренное прямолинейное движение — движение по прямой линии с постоянным ускорением (a=const).
• Ускорение — векторная физическая величина, показывающая изменение скорости тела за 1 с. Обозначается как a.
• Единица измерения ускорения — метр в секунду в квадрате (м/с²).
• Акселерометр — прибор для измерения ускорения.

Формула ускорения

Ускорение тела равно отношению изменения вектора скорости ко времени, в течение которого это изменение произошло:

v — скорость тела в данный момент времени, v₀ — скорость тела в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Пример №1. Состав тронулся с места и через 20 секунд достиг скорости 36 км/ч. Найти ускорение его разгона.

Сначала согласуем единицы измерения. Для этого переведем скорость в м/с: умножим километры на 1000 и поделим на 3600 (столько секунд содержится в 1 часе). Получим 10 м/с.

Начальная скорость состава равно 0 м/с, так как изначально он стоял на месте. Имея все данные, можем подставить их в формулу и найти ускорение:

Проекция ускорения

Проекция ускорения на ось ОХ

v_x — проекция скорости тела в данный момент времени, v_0x — проекция скорости в начальный момент времени, t — время, в течение которого изменялась скорость

Знак проекции ускорения зависит от того, в какую сторону направлен вектор ускорения относительно оси ОХ:

• Если вектор ускорения направлен в сторону оси ОХ, то его проекция положительна.
• Если вектор ускорения направлен в сторону, противоположную направлению оси ОХ, его проекция отрицательная.

При решении задач на тему равноускоренного прямолинейного движения проекции величин можно записывать без нижнего индекса, так как при движении по прямой тело изменяет положение относительно только одной оси (ОХ). Их обязательно нужно записывать, когда движение описывается относительно двух и более осей.

Направление вектора ускорения

Направление вектора ускорения не всегда совпадает с направлением вектора скорости!

Равноускоренным движением называют такое движение, при котором скорость за одинаковые промежутки времени изменяется на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела совпадают (а↑↑v).

Равнозамедленное движение — частный случай равноускоренного движения, при котором скорость за одинаковые промежутки времени уменьшается на одну и ту же величину. При этом направления векторов скорости и ускорения тела противоположны друг другу (а↑↓v).

Пример №2. Автомобиль сначала разогнался, а затем затормозил. Во время разгона направления векторов его скорости и ускорения совпадают, так как скорость увеличивается. Но при торможении скорость уменьшается, потому что вектор ускорения изменил свое направление в противоположную сторону.

График ускорения

График ускорения — график зависимости проекции ускорения от времени. Проекция ускорения при равноускоренном прямолинейном движении не изменяется (a_x=const). Графиком ускорения при равноускоренном прямолинейном движении является прямая линия, параллельная оси времени.

Зависимость положения графика проекции ускорения относительно оси ОХ от направления вектора ускорения:

• Если график лежит выше оси времени, движение равноускоренное (направление вектора ускорения совпадает с направлением оси ОХ). На рисунке выше тело 1 движется равноускорено.
• Если график лежит ниже оси времени, движение равнозамедленное (вектор ускорения направлен противоположно оси ОХ). На рисунке выше тело 2 движется равнозамедлено.

Если график ускорения лежит на оси времени, движение равномерное, так как ускорение равно 0. Скорость в этом случае — величина постоянная.

Чтобы сравнить модули ускорений по графикам, нужно сравнить степень их удаленности от оси времени независимо от того, лежат они выше или ниже нее. Чем дальше от оси находится график, тем больше его модуль. На рисунке график 2 находится дальше от оси времени по сравнению с графиком один. Поэтому модуль ускорения тела 2 больше модуля ускорения тела 1.

Пример №3. По графику проекции ускорения найти участок, на котором тело двигалось равноускорено. Определить ускорение в момент времени t₁ = 1 и t₂ = 3 с.

В промежуток времени от 0 до 1 секунды график ускорения рос, с 1 до 2 секунд — не менялся, а с 2 до 4 секунд — опускался. Так как при равноускоренном движении ускорение должно оставаться постоянным, ему соответствует второй участок (с 1 по 2 секунду).

Чтобы найти ускорение в момент времени t, нужно мысленно провести перпендикулярную прямую через точку, соответствующую времени t. От точки пересечения с графиком нужно мысленно провести перпендикуляр к оси проекции ускорения. Значение точки, в которой пересечется перпендикуляр с этой осью, покажет ускорение в момент времени t.

В момент времени t₁ = 1с ускорение a = 2 м/с². В момент времени t₂ = 3 ускорение a = 0 м/с².

Алиса Никитина | Просмотров: 13.7k

Задание №1. Первое задание ЕГЭ по физике проверяет знания по разделу «Кинематика». Это задание относится к заданию базового уровня. В нём отсутствует возможность выбора ответа. Для его решения необходимо проанализировать условие задачи, внимательно рассмотреть график зависимости кинематической величины от времени (при наличии такого графика), правильно подобрать формулу, провести расчет и записать ответ в предлагаемых единицах измерения.

Определение кинематических величин по графику

1. На рисунке приведён график зависимости проекции скорости тела v_x от времени t.

Определите проекцию ускорения тела a_x в промежутке времени от 15 до 20 с.

Ответ: ___________ м/с².

На графике представлена зависимость проекции скорости от времени. На участке от 15 до 20 с скорость тела изменяется от 10 м/с до -10 м/с. Это говорит о равноускоренном движении, при котором проекция ускорения тела должна быть отрицательной. Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для определения проекции ускорения:

. Проведем расчет: (м/с²). Полученный результат подтверждает, что движение равноускоренное, причем проекция ускорения отрицательная.

Ответ: -4 м/с².

Пояснение. Долгое время движение с переменной скоростью делилось на равноускоренное (a_x > 0) и равнозамедленное (a_x < 0) Но в последнее время говорят, в основном, только о равноускоренном движении, подразумевая постоянство ускорения. И только лишь знак проекции ускорения определяет возрастание или убывание скорости движения тела.

2. На рисунке приведён график зависимости координаты тела x от времени t при его прямолинейном движении по оси x.

Определите проекцию скорости тела v_x в промежутке времени от 25 до 30 с.

Ответ: _____________ м/с.

Согласно представленному графику зависимость координаты тела от времени является линейной. Это указывает на равномерный характер движения тела. Для решения задачи необходимо воспользоваться формулой для определения скорости при равномерном движении:

. Проведем расчет:

Ответ: -2 м/с.

Пояснение. Проекция скорости получилась отрицательной, это означает, что в указанный временной интервал тело двигалось в направлении, противоположном выбранной оси Ох.

3. Автомобиль движется по прямой улице вдоль оси Ox. На графике представлена зависимость проекции его скорости от времени.

Определите путь, пройденный автомобилем за 30 с от момента начала наблюдения.

Ответ: ___________ м.

Так как по условию задачи нам дается график зависимости проекции скорости от времени, то пройденный путь будет определяться площадью геометрической фигуры под графиком. Для вычисления площади получившегося пятиугольника его можно разбить на несколько фигур, например, на две трапеции (см. рис.)

Используя известные формулы для нахождения площади трапеции, можно рассчитать путь за первые 10 с и последующие 20 с (от 10 с до 30 с).

;

S = 150 + 300 = 450 (м)

Ответ: 450 м.

Пояснение. Полученный пятиугольник можно разбить не только на две трапеции, здесь можно выделить трапецию, прямоугольник, треугольник. Тогда необходимо рассчитывать площади трех фигур и также их суммировать.

4. На рисунке приведен график зависимости проекции скорости тела, движущегося вдоль оси Ох от времени.

Определите проекцию перемещения пройденного телом, за 10 с от начала наблюдения.

Ответ: _________ м.

Так же как в задаче №3 модуль перемещения будет определяться площадью геометрической фигуры под графиком. Но проекция перемещения за время от 0 до 6 с будет положительной, а от 6 до 10 с отрицательной. Общая проекция перемещения будет определяться их суммой.

;

S = 40 + (-20) = 20 (м)

Ответ: 20 м.

Пояснение. При расчете S_2x можно получить положительное число, но надо помнить, что в интервале от 6 до 10 с, тело движется в направлении противоположном оси Ох. Это означает, что проекция перемещения будет отрицательной. Пройденный путь за указанное время от 0 до 10 с определяется суммой модулей проекций перемещений и будет равным 60 м.

Относительность движения

5. Из двух городов навстречу друг другу с постоянной скоростью движутся два автомобиля. На графике показана зависимость расстояния между автомобилями от времени. Скорость второго автомобиля 25 м/с. С какой скоростью движется первый автомобиль?

Формула для нахождения относительной скорости в векторной форме имеет вид:

Если два тела движутся навстречу друг другу, то в проекциях на ось OХ это уравнение преобразуется в следующий вид:

С учетом данных графика можно рассчитать относительную скорость этих автомобилей при движении навстречу друг другу. Это происходит на интервале от 0 до 60 мин.

, отсюда скорость первого автомобиля v₁ = 40 – 25 = 15 (м/c)

Ответ: 15 м/с.

Пояснение. В курсе математики при изучении движения двух тел вводятся понятия скорость сближения и скорость удаления. В первом случае скорости тел суммируются, во втором вычитаются. Эти действия основаны на знаках проекций скоростей движущихся тел. Действия с векторами и их проекциями на оси координат используются как в физике, так и в математике.

6. Два точечных тела начинают двигаться из одной точки вдоль оси OX в противоположных направлениях. На рисунке показаны графики зависимостей проекций их скоростей Vx на ось OX от времени t. Чему будет равно расстояние между этими телами через 8 секунд после начала движения?

Знак «минус» для S2x показывает, что тела движутся в противоположных направлениях. Поэтому расстояние между ними через 8 с равно сумме модулей перемещений.

Ответ: 40 м.

Пояснение. Самое главное в этой задаче – выяснить в каких направлениях двигаются тела. Для этого надо уметь извлекать информацию из графических зависимостей, другими словами, надо уметь «читать» графики. Это умения необходимы почти во всех разделах физики.

7. Катер плывёт по прямой реке, двигаясь относительно берега перпендикулярно береговой линии. Модуль скорости катера относительно берега равен 6 км/ч. Река течёт со скоростью 4,5 км/ч. Чему равен модуль скорости катера относительно воды?

Ответ: ________ км/ч

Решение задачи удобно сопроводить чертежом или рисунком. Выберем направление скорости реки вправо, тогда для движения перпендикулярно береговой линии, катеру необходимо держать курс немного левее.

Скорость катера, скорость реки и скорость катера относительно береговой линии можно связать по теореме Пифагора:

; отсюда ;

(км/ч).

Ответ: 7,5 км/ч.

Пояснение. Подобные задачи необходимо для себя представлять в виде чертежа или рисунка. Тогда указанные в условии параметры будут наглядно изображены и это поможет геометрически решить задачу.

Равномерное движение тел по окружности

8. Установленная на станке фреза равномерно вращается с частотой 600 оборотов в минуту. Чему равен модуль ускорения точек, находящихся на расстоянии 3 см от оси фрезы? Ответ округлите до целого числа.

Ответ: ___________ м/с²

Так как тело движется равномерно по окружности, то в этой задаче требуется найти центростремительное ускорение. Его можно рассчитать по формуле: Линейная скорость v связана с угловой w соотношением Подставляя это выражение в первое уравнение и проводя сокращения, получим . При частоте вращения 600 оборотов в минуту тело будет совершать 10 оборотов за секунду.

Проведем расчет: .

Ответ:

Пояснение. В теме «Равномерное движение тел по окружности» достаточно много формул, которые трудно запоминаются. Из них надо знать базовые, которые относятся к периоду, частоте, линейной скорости, угловой скорости и центростремительному ускорению. Все остальные можно получить через достаточно простые рассуждения и выводы.

9. Две шестерни, сцепленные друг с другом, вращаются вокруг неподвижных осей. Большая шестерня радиусом 20 см делает 20 оборотов за 10 секунд. Сколько оборотов в секунду делает меньшая шестерня радиусом 10 см?

Ответ: _________ Гц.

Так шетерни касаются друг друга, то это условие говорит о равенстве линейных скоростей этих тел. Выразим скорости вращения через радиусы и периоды обращения.

Приравняем скорости и проведем сокращения.

; ;

с учетом того, что период и частота величины обратные, запишем следующее равенство:

Проведем расчет:

Ответ: 4 Гц.

Пояснение. В задачах подобного типа всегда надо искать физическую величину, которая является общей для нескольких тел. В этой задаче – это скорость вращения обеих шестерней. Но надо иметь ввиду, что частоты их вращения и угловые скорости различны.

Определим вначале время падения волчка с высоты 5 м. Так как он падает свободно, то начальную скорость надо принять равной 0. Тогда высота и время падения будут связаны формулой отсюда Проведем расчет времени падения =1 (с). Так как волчок вращается с частотой 20 с^-1, то это означает, что за 1 секунду он делает 20 оборотов. Так как время падения составляет 1 с, то количество оборотов также равно 20.

Ответ: 20.

Пояснение. Эта задача является комбинированной. В ней связаны два раздела кинематики: «Равноускоренное движение» и «Равномерное движение тел по окружности». Надо знать, что суть формул при движении тел с ускорением по горизонтали или по вертикали под действием силы тяжести не меняется. Главное – не ошибиться со знаками проекций для скорости и ускорения.

См. продолжение статьи

Перейти к содержанию

Основные определения

Ускорение — физическая величина, характеризующая быстроту изменения скорости тела. Иногда его определяют как скорость изменения скорости. Проще говоря, ускорение показывает, на какую величину изменяется скорость за 1 секунду.

Прямолинейное равноускоренное движение — это прямолинейное движение, при котором скорость тела изменяется на одну и ту же величину за равные промежутки времени. Под «изменяется» мы подразумеваем не только ускорение (т. е. увеличение скорости), но и замедление. Торможение также относится к движению с постоянным ускорением.

Несколько примеров равноускоренного движения:

• разгон самолета перед взлетом;

• торможение лыжника на горном склоне;

• свободное падение в результате прыжка с парашютом;

• велосипедист, спускающийся с горки;

• мальчишки, играющие в догонялки.

Кстати, уже известное нам равномерное прямолинейное движение является частным случаем равноускоренного движения, при котором ускорение равно нулю.

Формула ускорения при равноускоренном движении

,

где a — ускорение тела [м/с²],
V — мгновенная скорость [м/с],
V₀ — начальная скорость [м/с],
t — время [с].

Во время движения тела ускорение остается постоянным. График зависимости ускорения от времени имеет следующий вид:

При прямолинейном равноускоренном движении скорость тела в момент времени t численно равна площади фигуры под графиком зависимости ускорения от времени.

Если из формулы ускорения выразить мгновенную скорость, т. е. скорость в момент времени t, то мы получим уравнение скорости при равноускоренном движении:

V(t) = V₀ + at,
где V(t) — скорость в момент времени t [м/с],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

Задача 1

Арсений, двигавшийся на электросамокате со скоростью 6 м/с, начал разгоняться на горке. Чeму будeт paвнa его cкopocть чepeз 10 с, ecли уcкopeниe пpи разгоне paвнo 0,5 м/с²?

Решение.

По условию задачи Арсений ускоряется, следовательно, его скорость увеличивается. Подставим числа в закон изменения скорости при равноускоренном движении:

V(10) = 6 + 0,5 · 10 = 11 м/с.

Ответ: за 10 с Арсений разгонится до скорости 11 м/с.

Важно запомнить, что ускорение — это векторная величина. А взаимное расположение векторов ускорения и начальной скорости определяет характер движения. Рассмотрим анимацию.

Как мы видим, оранжевый автомобиль увеличивает свою скорость, т. е. совершает разгон. В то же время синий автомобиль уменьшает скорость и тормозит. В случае а движение называется равноускоренным. Вектор ускорения сонаправлен с вектором начальной скорости. Следовательно, мгновенная скорость растет с течением времени. В случае б движение называется равнозамедленным. Ускорение и начальная скорость имеют противоположные направления. Следовательно, мгновенная скорость со временем уменьшается.

Зачастую в задачах мы будем работать с проекцией ускорения на координатные оси. Если проекция ускорения на ось положительна, тело увеличивает свою скорость, а если отрицательна — уменьшает.

График зависимости скорости от времени при равноускоренном движении

Из уравнения скорости следует, что зависимость скорости автомобиля от времени описывается линейной функцией, график которой — прямая.

На анимации мы видим разгон автомобиля с некоторой начальной скоростью. Проекция ускорения на ось Ox положительна. На графике этому соответствует монотонно возрастающая прямая, выходящая из точки (0; V₀).

При равнозамедленном движении прямая на графике будет убывать.

С помощью графика скорости можно определить ускорение тела как тангенс угла наклона графика к оси времени:

.

Из графика скорости получим формулу пути при равноускоренном движении тела.

Пройденный телом путь при равноускоренном движении численно равен площади фигуры под графиком зависимости скорости от времени. Вычислим площадь трапеции как сумму площадей прямоугольника V₀t и треугольника

.

Формула пути при равноускоренном движении

,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

В случае равноускоренного движения с неизвестным временем движения, но с заданными начальной и конечной скоростями пройденный путь можно найти с помощью следующей формулы:

,
где S — путь, пройденный за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
V — скорость в момент времени t [м/с],
a — ускорение тела [м/с²].

Задача 2

Таксист Роман получил заказ и начал движение с ускорением 0,1 м/с² после долгой остановки. Ha кaкoм paccтoянии oт нaчaлa движeния его cкopocть cтaнeт paвнoй 15 м/с?

Решение.

1. По условию задачи таксист начал движение из состояния покоя, следовательно, начальная скорость равна нулю.

2. Поскольку время движения неизвестно, то определим путь по второй формуле:

3. Подставим числа и выполним расчет:

   м.

Ответ: на расстоянии 1 125 м от начала движения скорость такси станет равной 15 м/с.

Перемещение при равноускоренном движении

Важно напомнить разницу между путем и перемещением тела.

Путь — длина траектории. Если тело движется в любом направлении, то его путь увеличивается. Шагомер в вашем телефоне или смарт-часах измеряет именно путь. Для расчета пути по графику скорости необходимо найти площади отдельных фигур и сложить их, как было показано выше.

Перемещение — вектор, соединяющий начальное и конечное положение тела. Чтобы по графику скорости найти перемещение, необходимо взять площади над осью времени со знаком «+», под осью — со знаком «−», а затем найти их сумму.

Например, на этом графике путь тела равен S₁ + S₂, а перемещение — S₁ − S₂.

Уравнение перемещения при равноускоренном движении

,
где S — перемещение за время t [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

Вы, скорее всего, заметили удивительное сходство формул расстояния при равноускоренном движении. Так и есть, только помните, что проекция перемещения может принимать отрицательное значение, а путь — нет. В некоторых задачах путь и перемещение могут совпадать, но далеко не всегда.

Важнейшая задача кинематики — определение положения тела относительно других тел с течением времени. Для ее решения вам понадобится знать зависимость координаты от времени (уравнение движения).

Уравнение равноускоренного движения

,
где x(t) — координата в момент времени t [м],
x₀ — начальная координата [м],
V₀ — начальная скорость [м/с],
a — ускорение тела [м/с²],
t — время [с].

Задача 3

Лыжник подъехал со скоростью 3 м/с к спуску длиной 36 м и съехал с него за несколько секунд, при этом его конечная скорость составила 15 м/с. Определите местонахождение лыжника спустя 2 с после начала движения из начала координат.

Решение.

1. Поскольку скорость лыжника увеличивается, он движется с положительным ускорением. Начальная скорость V₀ = 3 м/с. Начальная координата равна нулю.

2. Найдем ускорение из формулы пути при равноускоренном движении:

   м/с².

3. Составим уравнение движения лыжника:

   .

4. По уравнению определим координату лыжника в момент времени t = 2 с:

   м.

Ответ: через 2 с после начала движения координата лыжника будет равна 12 м.

Графики равноускоренного движения

Математически зависимость координаты от времени при равноускоренном движении представляет собой квадратичную функцию, ее график — парабола.

Обратите внимание, что, когда проекция скорости меняет знак, автомобиль совершает разворот и движется в противоположном направлении.

Вся наша жизнь — в движении, а онлайн-уроки физики в Skysmart помогут вам ускориться на пути к освоению теории и покорению самых разнообразных задач!