Как найти проекцию вектора на ось вектор – Сайт, где вы сможете решить свои вопросы

Ось – это направление. Значит, проекция на ось или на направленную прямую считается одним и тем же. Проекция бывает алгебраическая и геометрическая. В геометрическом понимают проекцию вектора на ось как вектор, а алгебраическом – число. То есть применяются понятия проекция вектора на ось и числовая проекция вектора на ось.

Если имеем ось L и ненулевой вектор AB→, то можем построить вектор A1B1⇀, обозначив проекции его точек A1 и B1.

A1B→1 будет являться проекцией вектора AB→ на L.

Определение 1

Проекцией вектора на ось называют вектор, начало и конец которого являются проекции начала и конца заданного вектора. npLAB→→ принято обозначать проекцию AB→ на L. Для построения проекции на L опускают перпендикуляры на L.

Проекция вектора на ось и числовая проекция

Пример 1

Пример проекции вектора на ось.

На координатной плоскости Оху задается точка M1 (x1, y1). Необходимо построить проекции на Ох и Оу для изображения радиус-вектора точки M1. Получим координаты векторов (x1, 0) и (0, y1).

Проекция вектора на ось и числовая проекция

Если идет речь о проекции a→ на ненулевой b→ или проекции a→ на направление b→, то имеется в виду проекция a→на ось, с которой совпадает направление b→. Проекция a→ на прямую, определяемая b→, имеет обозначение npb→a→→. Известно, что когда угол междуa→ и b→, можно считать npb→a→→ и b→ сонаправленными. В случае, когда угол тупой, npb→a→→ и b→противоположно направлены. В ситуации перпендикулярностиa→ и b→, причем a→ – нулевой, проекция a→ по направлению b→ является нулевым вектором.

Числовая проекция вектора на ось

Числовая характеристика проекции вектора на ось – числовая проекция вектора на заданную ось.

Определение 2

Числовой проекцией вектора на ось называют число, которое равно произведению длины данного вектора на косинус угла между данным вектором и вектором, который определяет направление оси.

Числовая проекция AB→ на L имеет обозначениеnp LAB→, а a→ на b→ – npb→a→.

Исходя из формулы, получим npb→a→=a→·cosa→, b→^, откуда a→ является длиной вектора a→, a⇀, b→^ – угол между векторами a→ и b→.

Получим формулу вычисления числовой проекции: npb→a→=a→·cosa→, b→^. Она применима при известных длинах a→ и b→ и угле между ними. Формула применима при известных координатах a→ и b→, но имеется ее упрощенный вид.

Пример 2

Узнать числовую проекцию a→ на прямую по направлению b→ при длине a→ равной 8 и углом между ними в 60 градусов. По условию имеем a⇀=8, a⇀, b→^=60°. Значит, подставляем числовые значения в формулу npb⇀a→=a→·cosa→,b→^=8·cos 60°=8·12=4.

Ответ: 4.

При известном cos(a→, b→^)=a⇀, b→a→·b→, имеем a→, b→ как скалярное произведение a→ и b→. Следуя из формулы npb→a→=a→·cosa⇀, b→^, мы можем найти числовую проекцию a→ направленную по вектору b→ и получим npb→a→=a→, b→b→. Формула эквивалента определению, указанному в начале пункта.

Определение 3

Числовой проекцией вектора a→ на ось , совпадающей по направлению с b→, называют отношение скалярного произведения векторовa→ иb→ к длине b→. Формула npb→a→=a→,b→b→ применима для нахождения числовой проекции a→ на прямую, совпадающую по направлению с b→, при известных a→ и b→ координатах.

Пример 3

Задан b→=(-3, 4). Найти числовую проекцию a→=(1, 7) на L.

Решение

На координатной плоскости npb→a→=a→, b→b→ имеет вид npb→a→=a→, b→b→=ax·bx+ay·bybx2+by2, при a→=(ax, ay) и b→=bx, by. Чтобы найти числовую проекцию вектора a→ на ось L, нужно: npLa→=npb→a→=a→,b→b→=ax·bx+ay·bybx2+by2=1·(-3)+7·4(-3)2+42=5.

Ответ: 5.

Пример 4

Найти проекцию a→ на L, совпадающей с направлением b→, где имеются a→=-2, 3, 1 и b→=(3, -2, 6). Задано трехмерное пространство.

Решение

По заданнымa→=ax, ay, az и b→=bx, by, bz вычислим скалярное произведение: a⇀, b→=ax·bx+ay·by+az·bz. Длину b→ найдем по формуле b→=bx2+by2+bz2. Отсюда следует, что формула определения числовой проекции a→ будет: npb→a⇀=a→, b→b→=ax·bx+ay·by+az·bzbx2+by2+bz2.

Подставляем числовые значения: npLa→=npb→a→=(-2)·3+3·(-2)+1·632+(-2)2+62=-649=-67.

Ответ: -67.

Просмотрим связь междуa→ на L и длиной проекции a→ на L. Начертим ось L, добавив a→ и b→ из точки на L, после чего проведем перпендикулярную прямую с конца a→ на L и проведем проекцию на L. Существуют 5 вариаций изображения:

Числовая проекция вектора на ось

Первый случай при a→=npb→a→→ означает a→=npb→a→→, отсюда следует npb→a→=a→·cos(a,→b→^)=a→·cos0°=a→=npb→a→→.

Второй случай подразумевает применение npb→a→⇀=a→·cosa→,b→, значит, npb→a→=a→·cos(a→,b→)^=npb→a→→.

Третий случай объясняет, что при npb→a→→=0→ получаем npb⇀a→=a→·cos(a→,b→^)=a→·cos90°=0, тогда npb→a→→=0 и npb→a→=0=npb→a→→.

Четвертый случай показывает npb→a→→=a→·cos(180°-a→,b→^) = -a→·cos(a →, b→^), следует npb→a→=a→·cos(a→,b→^)=-npb→a→→.

Пятый случай показывает a→=npb→a→→, что означаетa→=npb→a→→, отсюда имеем npb→a→=a→·cosa→,b→^=a→·cos180°=-a→=-npb→a→.

Определение 4

Числовой проекцией вектора a→ на ось L, которая направлена как и b→, имеет значение:

длины проекции вектора a→ на L при условии, если угол между a→ и b→ меньше 90 градусов или равен 0: npb→a→=npb→a→→ с условием 0≤(a→,b→)^<90°;
ноля при условии перпендикулярности a→ и b→: npb→a→=0, когда (a→, b→^)=90°;
длины проекции a→ на L, умноженной на -1, когда имеется тупой или развернутый угол векторов a→ и b→: npb→a→=-npb→a→→ с условием 90°<a→,b→^≤180°.

Пример 5

Дана длина проекцииa→ на L, равная 2. Найти числовую проекциюa→ при условии, что угол равен 5π6 радиан.

Решение

Из условия видно, что данный угол является тупым: π2<5π6<π. Тогда можем найти числовую проекцию a→ на L: npLa→=-npLa→→=-2.

Ответ: -2.

Пример 6

Дана плоскость Охyzс длиной вектора a→ равной 63,b→(-2, 1, 2) с углом в 30 градусов. Найти координаты проекции a→ на ось L.

Решение

Для начала вычисляем числовую проекцию вектораa→: npLa→=npb→a→=a→·cos(a→,b→)^=63·cos30°=63·32=9.

По условию угол острый, тогда числовая проекция a→= длине проекции вектора a→: npLa→=npLa→→=9. Данный случай показывает, что векторы npLa→→ и b→ сонаправлены, значит имеется число t, при котором верно равенство: npLa→→=t·b→. Отсюда видим, что npLa→→=t·b→, значит можем найти значение параметра t: t=npLa→→b→=9(-2)2+12+22=99=3.

Тогда npLa→→=3·b→ с координатами проекции вектора a→ на ось L равны b→=(-2,1, 2), где необходимо умножить значения на 3. Имеем npLa→→=(-6, 3, 6). Ответ: (-6, 3, 6).

Необходимо повторить ранее изученную информацию об условии коллинеарности векторов.

Ирина Мальцевская

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Проекция вектора на ось. Проекция вектора на вектор

Навигация по странице:

Определение проекции вектора на ось
Определение проекции вектора на вектор
Формула вычисления проекции вектора на вектор
Примеры задач на проекцию вектора
- плоские задачи
- пространственные задачи

Определение. Проекцией вектора AB на ось l называется число, равное величине отрезка A₁B₁ оси l, где точки A₁ и B₁ являются проекциями точек A и B на ось l. (рис. 1).

рис. 1

Определение. Проекцией вектора a на направление вектора b , называется число, равное величине проэкции вектора a на ось проходящую через вектор b.

Формула вычисления проекции вектора на вектор

Для вычисления проекции вектора a на направление вектора b из определения скалярного произведения получена формула:

Примеры задач на проекцию вектора

Примеры вычисления проекции вектора для плоских задач

Пример 1. Найти проекцию вектора a = {1; 2} на вектор b = {3; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 3 + 2 · 4 = 3 + 8 = 11

Найдем модуль вектора b

|b| = √3² + 4² = √9 + 16 = √25 = 5

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	11	= 2.2
\|b\|	5

Ответ: Пр _ba = 2.2.

Примеры вычисления проекции вектора для пространственных задачи

Пример 2. Найти проекцию вектора a = {1; 4; 0} на вектор b = {4; 2; 4}.

Решение:

Найдем скалярное произведение этих векторов

a · b = 1 · 4 + 4 · 2 + 0 · 4 = 4 + 8 + 0 = 12

Найдем модуль вектора b

|b| = √4² + 2² + 4² = √16 + 4 + 16 = √36 = 6

Найдем проекцию вектора a на вектор b

Пр _ba =	a · b	=	12	= 2
\|b\|	6

Ответ: Пр _ba = 2.

Источник

В математике существуют два определения:

1) геометрическая проекция вектора — вектор;

2) проекция вектора на ось — число.

Геометрическая проекция вектора — это вектор, который можно получить, если провести перпендикуляры от концов вектора до выбранной оси. Проекция начала вектора соответствует началу геометрической проекции, а проекция конца вектора соответствует концу геометрической проекции.

Ваш браузер не поддерживает HTML5 видео

Для вектора

v→

геометрическая проекция на оси (t) — это вектор

vt→

Для вектора

n→

геометрическая проекция на оси (y) — это вектор

ny→

Проекция вектора на ось — это скалярная величина (число), равная длине геометрической проекции вектора, если направление оси и геометрической проекции совпадают; или число, противоположное длине геометрической проекции вектора, если направления геометрической проекции и оси — противоположные.

векторы-проекция.png

ax=4bx=−3

Если длина вектора

a→

равна

a→

— это острый угол, созданный вектором и осью (x), то скалярная проекция вектора вычисляется по формуле:

ax=a→⋅cosα

Знак проекции вектора выбирается в зависимости от направления оси.

векторы-проекция-треугольник.png

На рисунке видно, что эту формулу можно получить из соотношения в прямоугольном треугольнике:

cosα=прилежащий катетгипотенуза=ax→a→

Обрати внимание!

Если вектор и ось проекций параллельны, то скалярная проекция на этой оси — число, которое равно длине вектора, если направления вектора и оси совпадают, или число, противоположное длине вектора, если направления вектора и оси — противоположные.

Если вектор и ось проекций перпендикулярны, то проекция вектора на этой оси равна (0).

at=3bt=−5ct=0dt=0

Источник

Анна Кирпиченкова

Эксперт по предмету «Геометрия»

Задать вопрос автору статьи

Для понятия проекции вектора на ось или какой-либо другой вектор существуют понятия ее геометрической проекции и числовой (или алгебраической) проекции. Результатом геометрической проекции будет вектор, а результатом алгебраической – неотрицательное действительное число. Но перед тем, как перейти к этим понятиям вспомним необходимую информацию.

Предварительные сведения

Основное понятие – непосредственно понятие вектора. Для того, чтобы ввести определение геометрического вектора вспомним, что такое отрезок. Введем следующее определение.

Определение 1

Отрезком будем называть часть прямой, которая имеет две границы в виде точек.

Отрезок может иметь 2 направления. Для обозначения направления будем называть одну из границ отрезка его началом, а другую границу – его концом. Направление указывается от его начала к концу отрезка.

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Определение 2

Вектором или направленным отрезком будем называть такой отрезок, для которого известно, какая из границ отрезка считается началом, а какая его концом.

Обозначение: Двумя буквами: $overline{AB}$ – (где $A$ его начало, а $B$ – его конец).

Одной маленькой буквой: $overline{a}$ (рис. 1).

а) вектор $overline{a}$. б) вектор $overline{AB}$

Введем еще несколько понятий, связанных с понятием вектора.

Определение 3

Два ненулевых вектора будем называть коллинеарными, если они лежат на одной и той же прямой или на прямых, параллельных друг другу (рис.2).

«Проекция вектора на ось. Как найти проекцию вектора» 👇

Определение 4

Два ненулевых вектора будем называть сонаправленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они будут направлены в одну сторону (рис. 3).

Обозначение: $overline{a}↑↑overline{b}$

Определение 5

Два ненулевых вектора будем называть противоположно направленными, если они удовлетворяют двум условиям:

Эти векторы коллинеарны.
Если они направлены в разные стороны (рис. 4).

Обозначение: $overline{a}↑↓overline{d}$

Определение 6

Длиной вектора $overline{a}$ будем называть длину отрезка $a$.

Обозначение: $|overline{a}|$

Перейдем к определению равенства двух векторов

Определение 7

Два вектора будем называть равными, если они удовлетворяют двух условиям:

Они сонаправлены;
Их длины равны (рис. 5).

Геометрическая проекция

Как мы уже сказали ранее, результатом геометрической проекции будет вектор.

Определение 8

Геометрической проекцией вектора $overline{AB}$ на ось будем называть такой вектор, который получается следующим образом: Точка начала вектора $A$ проецируется на данную ось. Получаем точку $A’$ – начало искомого вектора. Точка конца вектора $B$ проецируется на данную ось. Получаем точку $B’$ – конец искомого вектора. Вектор $overline{A’B’}$ и будет искомым вектором.

Рассмотрим задачу:

Пример 1

Постройте геометрическую проекцию $overline{AB}$ на ось $l$, изображенные на рисунке 6.

Решение.

Проведем из точки $A$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $A’$. Далее проведем из точки $B$ перпендикуляр к оси $l$, получим на ней точку $B’$ (рис. 7).

Полученный на оси $l$ вектор $overline{A’B’}$ и будет искомой геометрической проекцией.

Замечание 1

Заметим, что если угол между вектором и осью острый, то проекция сонаправлена с осью, а если тупой, то проекция противоположно направлена с осью.

Числовая проекция

Как мы уже знаем, результатом алгебраической проекции будет неотрицательное действительное число.

Определение 9

Числовой (алгебраической) проекцией на ось будем называть неотрицательное число, равное длине вектора геометрической проекции.

Рассмотрим это понятие на примере задачи:

Пример 2

Найти числовую проекцию вектора $overline{F} на сонаправленную ему ось $x$, если угол между ними равняется $α$ (рис. 8). (рис. 8).

Решение.

Введем на рисунке следующие обозначения:

Видим, что длина вектора геометрической проекции, равняется длине $XY$. Из определения косинуса получим, что

$XY=|overline{F}|cosα$

где $|overline{F}|$ – длина вектора $overline{F}$. Это и будет искомая алгебраическая проекция на ось.

Другие случаи можете видеть на рисунке 9.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

В данной публикации мы рассмотрим, что такое проекция вектора на ось или на другой вектор, и приведем формулу, с помощью которой можно найти значение этой проекции. Также разберем примеры решения задач по этой теме.