Как найти прогиб сечения

 Определить прогиб и угол поворота в сечении В 

Сначала построим грузовую эпюру от заданной нагрузки. Площадь грузовой эпюры — это прямоугольный треугольник — равна:

Теперь снимем с балки нагрузку и приложим в точке, где необходимо определить перемещение единичную силу для определения прогиба и единичный момент для определения угла поворота. Строим эпюры от единичных нагрузок.

Ординаты единичных эпюр напротив центра тяжести грузовой эпюры : 

Теперь по формуле правила Верещагина  определяем:

сначала прогиб 

  затем угол поворота:

В знаменателе формул — жесткость сечения. Знаки перемещений положительны ,так как эпюры — грузовая и единичные — одного знака (все отрицательные).

Определить прогиб и угол поворота в сечении В 

Сначала построим грузовую эпюру от заданной нагрузки. Площадь грузовой эпюры — это прямоугольник — равна:

Теперь снимем с балки нагрузку и приложим в точке, где необходимо определить перемещение единичную силу для определения прогиба и единичный момент для определения угла поворота. Строим эпюры от единичных нагрузок.

Ординаты единичных эпюр напротив центра тяжести грузовой эпюры : 

Теперь по формуле правила Верещагина   определяем:

сначала прогиб  

Знак «минус» в формуле потому, что грузовая эпюра положительна, а единичная  – отрицательна. Значит прогиб направлен в сторону, направленную противоположно действию единичной силы ,т.е. вверх.

затем угол поворота:

, знак «минус» в формуле потому, что грузовая эпюра положительна, а единичная  – отрицательна. Значит угол поворота направлен противоположно направлению действия единичного момента, т.е. против часовой стрелки.

В знаменателе формулы — жесткость сечения.

 Найти прогиб конца консоли.

1. Определяем опорные реакции А и В:

2. Помещаем начало координат на правой опоре (т.0).

3. Ось у направляем вверх, а ось z – вдоль балки влево.

4. Условия закрепления балки в принятой системе координат:

при z=0:       y_В=0        (1),

при z=6м:    y_А=0       (2).

Реализуем эти условия с помощью универсальной формулы прогибов:

(1): 0=ЕIу_{0 ,}  откуда у₀=0,

(2): 

откуда :

тогда 

Итак, начальные параметры: у₀=0, ЕIφ₀=-106,7 кНм² 

5. Определяем прогиб конца консоли (z=7м) по универсальной формуле прогибов:

Знак «плюс» показывает направление прогиба (по оси у, то есть вверх).

Замечание: если бы начало координат (т.0) выбирали в крайнем левом сечении балки, то пришлось бы определять начальные параметры решением системы из двух уравнений.

Найти значения прогибов и углов поворота в трёх сечениях балки D, К и С.

1. Задаёмся направлениями опорных реакций А и В и находим их из двух уравнений статики:

2. Помещаем начало координат в крайнее левое сечение балки К

3. Ось у направляем вверх, а ось z – вдоль балки вправо.

4. Условия закрепления балки:

при z=1м:       y_А=0      (1),

при z=4м:       y_В=0    (2).

Для их реализации используем универсальную формулу прогибов:

Эти два уравнения составляют систему совместных уравнений с двумя неизвестными:  ЕIу₀ и  ЕIφ_0 . Найдём их:

5. Определение перемещений в заданных сечениях балки

а) прогиб сечения К (при z=0) по формуле прогибов:

EIу_к= EIy₀=52,5  [кН·м3] (вверх)

б) угол поворота сечения К по формуле углов поворота:

EIφ_к= EIφ₀=-52,5  [кН·м3] (по часовой стрелке)

в) прогиб сечения С (при z=1+1,5=2,5м) по формуле прогибов:

г) угол поворота сечения С по формуле углов поворота

д) прогиб сечения D (при z=5м) по формуле прогибов:

е) угол поворота сечения D по формуле углов поворота:

Покажем изогнутую ось балки:

Найти прогиб середины пролета у_D 

1)                 Находим опорные реакции действительного состояния   .

2)                 Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3)                 Выбираем вспомогательное состояние для определения у_D.

4)                 Определяем опорные реакции вспомогательного состояния

5)                 Строим эпюру моментов вспомогательного состояния  :

I участок  

II участок  

Из-за перелома одной из эпюр получается два участка и соответственно два слагаемых в формуле Симпсона:

Найти прогиб середины пролета у_D 

1) Определяем опорные реакции действительного состояния 

Реагируем на знак «минус».

2) Строим эпюру моментов М действительного состояния :

I участок

II участок  

3) Выбираем вспомогательное состояние для определения уD.

4) Определяем опорные реакции вспомогательного состояния 

 5) Строим эпюру моментов вспомогательного состояния 

6) Перемножаем эпюры  по формуле Симпсона по двум участкам, поскольку обе эпюры имеют переломы, но в одном и том же месте: Так,

Найти прогиб конца консоли у_D .

Решение

1)                 Определяем опорные реакции действительного состояния 

Проверка:

2)                 Строим эпюру моментов М действительного состояния :

I участок

II участок

3)  Выбираем вспомогательное состояние для определения прогиба сечения D.

4)     Определяем опорные реакции вспомогательного состояния:

Реагируем на знак «минус», изменяя направление левой реакции на противоположное.

5)    Строим эпюру моментов вспомогательного состояния  :

I участок  

II участок  

6)                 «Перемножаем» эпюры    по формуле Симпсона по двумя участками, так как обе эпюры имеют переломы, расположенные в одном и том же месте (над правой опорой):

Знак «плюс» полученного результата означает, что прогиб сечения D происходит в направлении единичной силы, то есть вниз.

Для определения любого перемещения (линейного или углового) в методе Мора балка рассматривается в двух состояниях: действительном и вспомогательном. Вспомогательное состояние получается следующим образом: сначала всю заданную нагрузку нужно удалить, затем приложить «единичный силовой фактор» в том месте, где требуется определить перемещение, и по направлению этого искомого перемещения. Причем, когда определяем линейное перемещение (прогиб балки), то в качестве «единичного силового фактора» принимается сосредоточенная сила  , а если требуется найти угол поворота, то приложить следует сосредоточенную пару  .

Далее в одном и том же произвольном сечении обоих состояний (то есть и действительного, и вспомогательного) составляются аналитические выражения изгибающего момента, которые подставляются в формулу, называемую «интегралом Мора»:

где: знак Σ распространяется на все участки балки,

а EI – изгибная жесткость на участке.

Во многих случаях интегрирования по Мору можно избежать и применить способ «перемножения» эпюр. Одним из таких способов является способ Симпсона, по которому значение интеграла Мора на участке длиной ℓ вычисляется по следующей формуле:

Здесь обозначено: a, b и с – соответственно крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов действительного состояния М,

 – крайние и средняя ординаты эпюры изгибающих моментов, но только вспомогательного состояния .

Правило знаков: если обе «перемножаемые» ординаты в двух эпюрах расположены по одну сторону от оси эпюры (то есть они одного знака), то перед их произведением мы должны поставить знак «плюс: а если они по разные стороны от оси эпюры, то перед произведением ставим знак «минус».

Следует иметь в виду, что способы «перемножения» эпюр (кроме способа Симпсона известен еще способ Верещагина) применимы только при наличии двух условий:

1. Изгибная жесткость балки на рассматриваемом участке должна быть постоянной (EI=Const),
2. Одна из двух эпюр моментов на этом участке    должна быть обязательно линейной. При этом обе эпюры не должны в пределах данного участка иметь перелома.

При наличии нескольких участков на балке, удовлетворяющих указанным двум условиям, формула для определения перемещений принимает вид:

Если результат вычисления получается положительным, то, следовательно, направление искомого перемещения совпадает с направлением «единичного силового фактора» (  ), а если результат отрицательный, значит искомое перемещение происходит в направлении, противоположном этому фактору.

Формула Симпсона, записанная через моменты, выглядит следующим образом: перемещения (прогиб или угол поворота) равны

где  li – длина участка;

      EIi – жесткость балки на участке;

 M_F – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры,  соответственно   в начале, в середине и в конце участка;

 –  значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно  в начале, в середине и в конце участка.

При перемножении эпюр будет полезным для определения ординат эпюр изгибающих моментов:

, где

Задача 

Определить угол поворота сечения на левой опоре φ_А 

1)                 Находим опорные реакции действительного состояния  .

2)                 Строим эпюру моментов действительного состояния М.

3)                 Выбираем вспомогательное состояние для определения угла поворота φ_А.

4)                 Находим опорные реакции вспомогательного состояния

«Реагируем» на знак «минус».

5)            Строим эпюру моментов вспомогательного состояния:

6)                «Перемножаем» эпюры 

Поскольку одна из них (а именно   ) линейна на всем пролете и не имеет перелома, а эпюра М тоже без перелома, то в формуле Симпсона будет всего один участок, и тогда

Знак «плюс» говорит о том, что сечение А поворачивается в сторону «единичного момента» 

Метод начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)

где у₀ и φ₀ – начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:

Порядок определения перемещений по универсальным формулам:

1. Определить все опорные реакции.
2. Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
3. Ось у направить вверх, ось z — вдоль балки.
4. Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
5. Зная начальные параметры у₀ и φ₀, по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.

При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:

а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.

б) Каждая внешняя сила (М_i, F_i, q_i) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.

 Задача 

Найти прогиб конца консоли.

Решение

1. Задаемся направлениями опорной реакции А и реактивного момента в заделке М_А и составляем уравнения статики:

(1) ,

откуда А = q·2 + F = 10·2 + 20 = 40кН,

(2) ,

откуда  

1. Помещаем начало координат в заделку (т.0).
2. Ось у направляем вверх, ось z – вдоль балки (вправо).
3. Формулируем условия закрепления балки при выбранном расположении начала координат:

при z = 0:  у_А = 0    (1)

φ_А= 0    (2).

Реализуем эти условия с помощью универсальных формул:

(1):  0=ЕIу₀,  откуда у₀=0,

(2):  0=ЕIφ₀,  откуда φ₀=0.

1. Учитывая найденные значения у₀ и φ₀, с помощью формулы прогибов найдём прогиб конца консоли:

при z = 4м

Знак «плюс» результата говорит о том, что прогиб конца консоли происходит в положительном направлении оси у, то есть вверх.

Для получения численного значения прогиба результат следует разделить на изгибную жёсткость балки ЕI, то есть

В этой статье будут рассмотрены основные нюансы расчета прогибов, методом начальных параметров, на примере консольной балки. А также рассмотрим пример, где с помощью универсального уравнения, определим прогиб балки и угол поворота.

Теория по методу начальных параметров

Возьмем консольную балку, нагруженную сосредоточенной силой, моментом, а также распределенной нагрузкой. Таким образом, зададимся такой расчетной схемой, где присутствуют все виды нагрузок, тем самым охватим всю теоретическую часть по максимуму.

Обозначим опорные реакции в жесткой заделке, возникающие под действием внешней нагрузки:

Выбор базы и системы координат

Для балки выберем базу с левой стороны, от которой будем отсчитывать расстояния до приложения сил, моментов, начала и конца распределенной нагрузки.

Базу обозначим буквой O и проведем через нее систему координат:

Базу традиционно выбирают с левого краю балки, но можно выбрать ее и справа. Тогда в уравнении будут противоположные знаки, это может пригодиться в некоторых случаях — упростит немного решение. Понимание, когда принимать базу слева или справа, придет с опытом использования метода начальных параметров (МНП).

Универсальное уравнение МНП

После введения базы, системы координат и обозначения расстояний а, б, в, г записываем универсальное уравнение МНП, с помощью которого, будем рассчитывать прогиб балки (вертикальное перемещение сечения K, находящегося на свободном торце балки):

Теперь поговорим об этой формуле, проанализируем, так сказать:

• E – модуль упругости;
• I – момент инерции;
• V_K – прогиб сечения K;
• V_O – прогиб сечения O;
• θ_O – угол поворота сечения О.

Не буду приводить вывод этой формулы, не хочу отпугивать читателей, продвинутые студенты могут ознакомиться с выводом самостоятельно в учебнике по сопромату. Я только расскажу об основных закономерностях этого уравнения и как записать его для любой балки постоянного сечения.

Итак, изучаем эту формулу слева направо. В левой части уравнения обознается искомый прогиб, в нашем случае V_K, который дополнительно умножается на жесткость балки — EI:

В уравнении всегда учитывается прогиб сечения балки, совпадающего с нашей базой EIV_O:

Также всегда учитывается угол поворота сечения, которое совпадает с выбранной базой. Причем произведение EIθ_O всегда умножается на расстояние от базы до сечения, прогиб которого рассчитывается, в нашем примере — это расстояние г.

Следующие компоненты этого уравнения учитывают всю нагрузку, которая находится слева от рассматриваемого сечения. В скобках расстояния от базы до сечения отнимаются расстояния от базы до соответствующей силы или момента, начала или конца распределенной нагрузки.

Скобка, в случае с сосредоточенными силами, возводится в 3 степень и делится на 6. Если сила смотрит вверх, то считаем ее положительной, если вниз, то в уравнении она записывается с минусом:

В случае с моментами скобка возводится во 2 степень и делится на 2. Знак у момента будет положительный, когда он направлен по часовой стрелке и отрицательным, соответственно, если против часовой стрелки:

Учет распределенной нагрузки

Теперь поговорим о распределенной нагрузке. Как уже говорилось, в уравнении метода начальных параметров должно учитываться начало и конец распределенной нагрузки. Но так как, конец распределенной нагрузки совпадает с сечением, прогиб которого мы хотим вычислить, в этом случае, в уравнении учитывается только ее начало.

Причем важно, даже если бы в этом сечении была сила или момент, их бы также не учитывали. Нас интересует все, что находится слева от рассматриваемого сечения.

Для распределенной нагрузки скобка возводится в 4 степень и делится на 24. А правило знаков такое же, как и для сосредоточенных сил.

Граничные условия

Чтобы решить уравнение, нам понадобятся еще кое-какие данные. С первого взгляда в уравнении у нас наблюдается три неизвестных: V_K, V_O и θ_O. Но кое-что мы можем почерпнуть из самой схемы. Мы знаем, в жесткой заделке не может быть никаких прогибов, и никаких поворотов, то есть V_O = 0 и θ_O = 0, это и есть так называемые начальные параметры или их еще называют граничными условиями. Теперь, если бы у нас была реальная задача, мы бы подставили все численные данные и нашли перемещение сечения K.

Если бы балка была закреплена с помощью шарнирно-подвижной и неподвижной опоры, тогда мы бы приняли прогибы в опорах равными нулю, но угол поворота в опорах был уже отличен от нуля. Более подробно об этом рассказано в другой моей статье, посвященной методу начальных параметров на примере балки на двух опорах.

Чуть не забыл про еще одну величину, которую часто требуется определять методом начальных параметров. Как известно, при изгибе, поперечные сечения балок, помимо того, что перемещаются вертикально (прогибаются) так еще и поворачиваются на какой-то угол. Углы поворота и прогибы поперечных сечений связаны дифференциальной зависимостью.
Если продифференцировать уравнение, которое мы получили для прогиба поперечного сечения K, то получим уравнение угла поворота этого сечения:

Пример расчета прогиба балки

Для закрепления пройденного материала предлагаю рассмотреть пример с заданными численными значениями всех параметров балки и нагрузок.

Условие задачи

Возьмем также консольную балку, которая жестко закреплена с правого торца. Будем считать, что балка изготовлена из стали (модуль упругости E = 2·10⁵ МПа), в сечении у нее двутавр №16 (момент инерции по сортаменту I = 873 см⁴). Рассчитывать будем прогиб свободного торца, находящегося слева.

Подготовительный этап

Проводим подготовительные действия, перед расчетом прогиба: помечаем базу O, с левого торца балки проводим координатные оси и показываем реакции, возникающие в заделке, под действием заданной нагрузки:

В методе начальных параметров есть еще одна особенность, которая касается распределенной нагрузки. Если на балку действует распределенная нагрузка, то ее конец, обязательно должен находиться на краю балки (в точке наиболее удаленной от заданной базы). Только в таком случае рассматриваемый метод будет работать.

В нашем примере, нагрузка, как видно, начинается на расстоянии 2 м от базы и заканчивается на 4 м. В таком случае нагрузка продлевается до конца балки, а искусственное продление компенсируется дополнительной, противоположно направленной нагрузкой. Тем самым в расчете прогибов будет уже учитываться 2 распределенные нагрузки:

Расчет прогиба

Записываем граничные условия для заданной расчетной схемы:

V_A = 0 при x = 6м

θ_A = 0 при x = 6м

Напомню, что нас, в этом примере интересует прогиб сечения O (V_O). Для его нахождения составим уравнение, для сечения A, в которое будет входить искомая величина:

В полученном уравнении у нас содержится две неизвестные величины: искомый прогиб V_O и угол поворота этого сечения — θ_O:

Но чтобы решить поставленную задачу, составим дополнительное уравнение, но только теперь, не прогибов, а углов поворотов, для сечения A:

Из второго уравнения найдем угол поворота:

После чего рассчитываем искомый прогиб:

Таким образом, свободный торец такой балки, прогнется практически на 6 см. Данную задачу, можно решить несколько проще, если ввести базу с правого торца. В таком случае для решения потребовалось бы лишь одно уравнение, однако, оно было бы немного объемнее, т.к. включало реакции в заделке.