Как найти произведение чисел под корнем

Понятие корня

Прежде чем приступить к рассмотрению темы о умножении корней, необходимо вспомнить, что же такое корень и его основные свойства.

Понятие корня неразделимо с понятием степени.

Возведение в степень х, означает умножить число само на себя х раз.

Например. Квадратный корень из а, равен а в квадрате.

Имеет запись вида : [sqrt{mathrm{a}}=mathrm{a}^{2}]

Степень корня указывается над знаком корня слева. [sqrt[x]{a}], в данном примере х — степень. Если запись не имеет такого обозначения, значит перед нами корень квадратный.

Умножение корней

Существует несколько вариантов умножения корней, это умножение с множителем, без множителя и с разными показателями.

Умножение без множителей

Первым делом рассмотри, как умножаются корни без множителя.

Убедившись, что корни, с которыми необходимо произвести действие имеют одинаковые степени. Например квадратный корень из числа а, можно умножать на квадратный корень из d.

Рассмотрим правило на двух примерах произведения двух квадратных и двух кубических корней.

Примеры:

[sqrt{2} * sqrt{6}=] первый пример умножение квадратных корней.

[sqrt[3]{3} * sqrt[3]{18}=] второй пример умножение кубических корне.

Решение:

Для того чтобы решить данные примеры необходимо произвести умножение под корнем.

[sqrt{2} * sqrt{6}=sqrt{2 * 6}=sqrt{12}]

[sqrt[3]{18} * sqrt[3]{3}=sqrt[3]{18 * 3}=sqrt[3]{54}]

Следующим шагом полученное выражение стоит упростить. Для этого полученное число под корнем необходимо представить в виде множителей, где в зависимости от корня одно из чисел чисел это полный квадрат или куб.

[sqrt{12}=sqrt{4 * 3}=sqrt{2^{2} * 3}=2 sqrt{3}], в данном примере число 12 можно разложить на произведение чисел 4 и 3, где 4 равно двум в квадрате.  Поэтому 2 выносим за приделы корня и упрощаем выражение.

[sqrt[3]{54}=sqrt[3]{27 * 2}=sqrt[3]{(3 * 3 * 3) * 2}=3 sqrt[3]{2}] в данном случае получившееся подкоренное число 54 можно разложить на произведение двух чисел 27 и 2 , где 27 = 3³, тройку выносим за корень кубический, тем самым мы упростили выражение.

Точно также производится умножение корней других степеней, при этом не важно количество умножаемых корней, правило не изменится.

Умножение корней с множителями

В данном случае мы так же рассматриваем примеры умножения корней с одинаковыми степенями. Множителем является число, стоящее перед корнем. Если при написании множитель отсутствует, то он равен единице. Умножить корень на число значит умножить число на множитель перед корнем. Для того чтобы произвести умножение с такими корнями, необходимо перемножить множители.

Пример умножения корней:

[2 sqrt{6} * sqrt{6}=2 sqrt{6 * 6}=2 sqrt{36}=2 * 6=12] в данном примере мы сначала произвели умножение множителей 1 и 2 , затем воспользовавшись первым правилом умножения корней, произвели умножение под знаком корня чисел 6 и 6.

Следующим шагом упрощаем выражение, корень из 36, равен целому числу 6. последним действием умножаем его на полученный множитель 2. и получаем ответ 12.

Пример 2.

[2 sqrt{6} * 3 sqrt{3}=2 * 3 sqrt{6 * 3}=6 sqrt{18}=6 sqrt{9 * 2}=6 * 3 sqrt{2}=18 sqrt{2}]

В приведённом примере, мы также в начале производим умножение множителей 2 и 3, затем производим умножение подкоренных чисел 6 и 3, в результате получаем 6 корней из 18.

 После производим упрощение выражения под знаком корня, для этого разложили его на множители, таким образом чтобы одно из чисел можно было вынести за пределы знака корень такими числами стали 9 и 2, в результате получилось, что вынесенное число равно трём, так как 9 = [3^{2}] .

Теперь умножим получившийся ранее множитель 6 на вынесенное из под корня число 3, и получим ответ 18 корней из двух.

Умножение корней с разными показателями

Теперь разберём, как умножить корни если их показатели степени разные. Для этого необходимо найти наименьшее общее кратное число для этих показателей.  Таким числом является наименьшее число, которое можно разделить на оба эти показателя. Для того чтобы разобраться лучше в данном методе, приведём пример.

Пример:

[sqrt[2]{2} * sqrt[3]{5}=]

Сначала необходимо найти наименьшее общее кратное, наименьшим в данном случае является произведение 2*3 = 6. Значит для того чтобы произвести умножение корней необходимо привести их к показателю шестой степени.

Записываем новое полученное выражение [sqrt[6]{2} * sqrt[6]{5}=]

Теперь находим числа на которые нужно умножить показатели, чтобы найти наименьшее общее кратное

Для первого корня это деление 62 = 3, для второго 63 =2

Следующим шагом нужно возвести подкоренное число в степень, которая ровна числам найденным ранее, при нахождении НОК, то есть [sqrt[6]{2^{3}} * sqrt[6]{5^{2}}=]

Далее имея одинаковые показатели производим действия по умножению корней, так как делали это в предыдущих правилах. Производим действия под корнем.

[sqrt[6]{2^{3}} * sqrt[6]{5^{2}}=sqrt[6]{2^{3} * 5^{2}}=sqrt[6]{8 * 25}=sqrt[6]{200}]

Если полученное выражение можно упростить, то упрощаем его. В данном случае это невозможно.

Как мы видим произвести умножение корней не так и сложно, главное запомнить основные правила и формулы умножения корней и пользоваться ними.

Умножение корней: основные правила

19 января 2017

Приветствую, котаны! В прошлый раз мы подробно разобрали, что такое корни (если не помните, рекомендую почитать). Главный вывод того урока: существует лишь одно универсальное определение корней, которое вам и нужно знать. Остальное — брехня и пустая трата времени.

Сегодня мы идём дальше. Будем учиться умножать корни, изучим некоторые проблемы, связанные с умножением (если эти проблемы не решить, то на экзамене они могут стать фатальными) и как следует потренируемся. Поэтому запасайтесь попкорном, устраивайтесь поудобнее — и мы начинаем.:)

Урок получился довольно большим, поэтому я разделил его на две части:

1. Сначала мы разберём правила умножения. Кэп как бы намекает: это когда есть два корня, между ними стоит знак «умножить» — и мы хотим что-то с этим сделать.
2. Затем разберём обратную ситуацию: есть один большой корень, а нам приспичило представить его в виде произведения двух корней попроще. С какого перепугу это бывает нужно — вопрос отдельный. Мы разберём лишь алгоритм.

Тем, кому не терпится сразу перейти ко второй части — милости прошу. С остальными начнём по порядку.

Основное правило умножения

Начнём с самого простого — классических квадратных корней. Тех самых, которые обозначаются $sqrt{a}$ и $sqrt{b}$. Для них всё вообще очевидно:

Правило умножения. Чтобы умножить один квадратный корень на другой, нужно просто перемножить их подкоренные выражения, а результат записать под общим радикалом:

[sqrt{a}cdot sqrt{b}=sqrt{acdot b}]

Никаких дополнительных ограничений на числа, стоящие справа или слева, не накладывается: если корни-множители существуют, то и произведение тоже существует.

Примеры. Рассмотрим сразу четыре примера с числами:

[begin{align} & sqrt{25}cdot sqrt{4}=sqrt{25cdot 4}=sqrt{100}=10; \ & sqrt{32}cdot sqrt{2}=sqrt{32cdot 2}=sqrt{64}=8; \ & sqrt{54}cdot sqrt{6}=sqrt{54cdot 6}=sqrt{324}=18; \ & sqrt{frac{3}{17}}cdot sqrt{frac{17}{27}}=sqrt{frac{3}{17}cdot frac{17}{27}}=sqrt{frac{1}{9}}=frac{1}{3}. \ end{align}]

Как видите, основной смысл этого правила — упрощение иррациональных выражений. И если в первом примере мы бы и сами извлекли корни из 25 и 4 без всяких новых правил, то дальше начинается жесть: $sqrt{32}$ и $sqrt{2}$ сами по себе не считаются, но их произведение оказывается точным квадратом, поэтому корень из него равен рациональному числу.

Отдельно хотел бы отметить последнюю строчку. Там оба подкоренных выражения представляют собой дроби. Благодаря произведению многие множители сокращаются, а всё выражение превращается в адекватное число.

Конечно, не всегда всё будет так красиво. Иногда под корнями будет стоять полная лажа — непонятно, что с ней делать и как преобразовывать после умножения. Чуть позже, когда начнёте изучать иррациональные уравнения и неравенства, там вообще будут всякие переменные и функции. И очень часто составители задач как раз и рассчитывают на то, что вы обнаружите какие-то сокращающиеся слагаемые или множители, после чего задача многократно упростится.

Кроме того, совсем необязательно перемножать именно два корня. Можно умножить сразу три, четыре — да хоть десять! Правило от этого не поменяется. Взгляните:

Примеры.

[begin{align} & sqrt{2}cdot sqrt{3}cdot sqrt{6}=sqrt{2cdot 3cdot 6}=sqrt{36}=6; \ & sqrt{5}cdot sqrt{2}cdot sqrt{0,001}=sqrt{5cdot 2cdot 0,001}= \ & =sqrt{10cdot frac{1}{1000}}=sqrt{frac{1}{100}}=frac{1}{10}. \ end{align}]

И опять небольшое замечание по второму примеру. Как видите, в третьем множителе под корнем стоит десятичная дробь — в процессе вычислений мы заменяем её обычной, после чего всё легко сокращается. Так вот: очень рекомендую избавляться от десятичных дробей в любых иррациональных выражениях (т.е. содержащих хотя бы один значок радикала). В будущем это сэкономит вам кучу времени и нервов.

Но это было лирическое отступление. Теперь рассмотрим более общий случай — когда в показателе корня стоит произвольное число $n$, а не только «классическая» двойка.

Случай произвольного показателя

Итак, с квадратными корнями разобрались. А что делать с кубическими? Или вообще с корнями произвольной степени $n$? Да всё то же самое. Правило остаётся прежним:

Чтобы перемножить два корня степени $n$, достаточно перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В общем, ничего сложного. Разве что объём вычислений может оказаться больше. Разберём парочку примеров:

Примеры. Вычислить произведения:

[begin{align} & sqrt[4]{20}cdot sqrt[4]{frac{125}{4}}=sqrt[4]{20cdot frac{125}{4}}=sqrt[4]{625}=5; \ & sqrt[3]{frac{16}{625}}cdot sqrt[3]{0,16}=sqrt[3]{frac{16}{625}cdot frac{16}{100}}=sqrt[3]{frac{64}{{{25}^{2}}cdot 25}}= \ & =sqrt[3]{frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=sqrt[3]{{{left( frac{4}{25} right)}^{3}}}=frac{4}{25}. \ end{align}]

И вновь внимание второе выражение. Мы перемножаем кубические корни, избавляемся от десятичной дроби и в итоге получаем в знаменателе произведение чисел 625 и 25. Это довольно большое число — лично я с ходу не посчитаю, чему оно равно.

Поэтому мы просто выделили точный куб в числителе и знаменателе, а затем воспользовались одним из ключевых свойств (или, если угодно — определением) корня $n$-й степени:

[begin{align} & sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; \ & sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=left| a right|. \ end{align}]

Подобные «махинации» могут здорово сэкономить вам время на экзамене или контрольной работе, поэтому запомните:

Не спешите перемножать числа в подкоренном выражении. Сначала проверьте: вдруг там «зашифрована» точная степень какого-либо выражения?

При всей очевидности этого замечания должен признать, что большинство неподготовленных учеников в упор не видят точные степени. Вместо этого они перемножают всё напролом, а затем удивляются: почему это получились такие зверские числа?:)

Впрочем, всё это детский лепет по сравнению с тем, что мы изучим сейчас.

Умножение корней с разными показателями

Ну хорошо, теперь мы умеем перемножать корни с одинаковыми показателями. А что, если показатели разные? Скажем, как умножить обычный $sqrt{2}$ на какую-нибудь хрень типа $sqrt[7]{23}$? Можно ли вообще это делать?

Да конечно можно. Всё делается вот по этой формуле:

Правило умножения корней. Чтобы умножить $sqrt[n]{a}$ на $sqrt[p]{b}$, достаточно выполнить вот такое преобразование:

[sqrt[n]{a}cdot sqrt[p]{b}=sqrt[ncdot p]{{{a}^{p}}cdot {{b}^{n}}}]

Однако эта формула работает только при условии, что подкоренные выражения неотрицательны. Это очень важное замечание, к которому мы вернёмся чуть позже.

А пока рассмотрим парочку примеров:

[begin{align} & sqrt[3]{3}cdot sqrt[4]{2}=sqrt[3cdot 4]{{{3}^{4}}cdot {{2}^{3}}}=sqrt[12]{81cdot 8}=sqrt[12]{648}; \ & sqrt{2}cdot sqrt[5]{7}=sqrt[2cdot 5]{{{2}^{5}}cdot {{7}^{2}}}=sqrt[10]{32cdot 49}=sqrt[10]{1568}; \ & sqrt{5}cdot sqrt[4]{3}=sqrt[2cdot 4]{{{5}^{4}}cdot {{3}^{2}}}=sqrt[8]{625cdot 9}=sqrt[8]{5625}. \ end{align}]

Как видите, ничего сложного. Теперь давайте разберёмся, откуда взялось требование неотрицательности, и что будет, если мы его нарушим.:)

Почему подкоренные выражения должны быть неотрицательными?

Конечно, можно уподобиться школьным учителям и с умным видом процитировать учебник:

Требование неотрицательности связано с разными определениями корней чётной и нечётной степени (соответственно, области определения у них тоже разные).

Ну что, стало понятнее? Лично я, когда читал этот бред в 8-м классе, понял для себя примерно следующее: «Требование неотрицательности связано с *#&^@(*#@^#)~%» — короче, я нихрена в тот раз не понял.:)

Поэтому сейчас объясню всё по-нормальному.

Сначала выясним, откуда вообще берётся формула умножения, приведённая выше. Для этого напомню одно важное свойство корня:

[sqrt[n]{a}=sqrt[ncdot k]{{{a}^{k}}}]

Другими словами, мы можем спокойно возводить подкоренное выражение в любую натуральную степень $k$ — при этом показатель корня придётся умножить на эту же степень. Следовательно, мы легко сведём любые корни к общему показателю, после чего перемножим. Отсюда и берётся формула умножения:

[sqrt[n]{a}cdot sqrt[p]{b}=sqrt[ncdot p]{{{a}^{p}}}cdot sqrt[pcdot n]{{{b}^{n}}}=sqrt[ncdot p]{{{a}^{p}}cdot {{b}^{n}}}]

Но есть одна проблема, которая резко ограничивает применение всех этих формул. Рассмотрим вот такое число:

[sqrt[3]{-5}]

Согласно только что приведённой формуле мы можем добавить любую степень. Попробуем добавить $k=2$:

[sqrt[3]{-5}=sqrt[3cdot 2]{{{left( -5 right)}^{2}}}=sqrt[6]{{{5}^{2}}}]

Минус мы убрали как раз потому, что квадрат сжигает минус (как и любая другая чётная степень). А теперь выполним обратное преобразование: «сократим» двойку в показателе и степени. Ведь любое равенство можно читать как слева-направо, так и справа-налево:

[begin{align} & sqrt[n]{a}=sqrt[ncdot k]{{{a}^{k}}}Rightarrow sqrt[ncdot k]{{{a}^{k}}}=sqrt[n]{a}; \ & sqrt[ncdot k]{{{a}^{k}}}=sqrt[n]{a}Rightarrow sqrt[6]{{{5}^{2}}}=sqrt[3cdot 2]{{{5}^{2}}}=sqrt[3]{5}. \ end{align}]

Но тогда получается какая-то хрень:

[sqrt[3]{-5}=sqrt[3]{5}]

Этого не может быть, потому что $sqrt[3]{-5} lt 0$, а $sqrt[3]{5} gt 0$. Значит, для чётных степеней и отрицательных чисел наша формула уже не работает. После чего у нас есть два варианта:

1. Убиться об стену констатировать, что математика — это дурацкая наука, где «есть какие-то правила, но это неточно»;
2. Ввести дополнительные ограничения, при которых формула станет рабочей на 100%.

В первом варианте нам придётся постоянно вылавливать «неработающие» случаи — это трудно, долго и вообще фу. Поэтому математики предпочли второй вариант.:)

Но не переживайте! На практике это ограничение никак не влияет на вычисления, потому что все описанные проблемы касаются лишь корней нечётной степени, а из них можно выносить минусы.

Поэтому сформулируем ещё одно правило, которое распространяется вообще на все действия с корнями:

Прежде чем перемножать корни, сделайте так, чтобы подкоренные выражения были неотрицательны.

Пример. В числе $sqrt[3]{-5}$ можно вынести минус из-под знака корня — тогда всё будет норм:

[begin{align} & sqrt[3]{-5}=-sqrt[3]{5} lt 0Rightarrow \ & sqrt[3]{-5}=-sqrt[3cdot 2]{{{5}^{2}}}=-sqrt[6]{25}=-sqrt[3cdot 2]{{{5}^{2}}}=-sqrt[3]{5} lt 0 \ end{align}]

Чувствуете разницу? Если оставить минус под корнем, то при возведении подкоренного выражения в квадрат он исчезнет, и начнётся хрень. А если сначала вынести минус, то можно хоть до посинения возводить/убирать квадрат — число останется отрицательным.:)

Таким образом, самый правильный и самый надёжный способ умножения корней следующий:

1. Убрать все минусы из-под радикалов. Минусы бывают только в корнях нечётной кратности — их можно поставить перед корнем и при необходимости сократить (например, если этих минусов окажется два).
2. Выполнить умножение согласно правилам, рассмотренным выше в сегодняшнем уроке. Если показатели корней одинаковые, просто перемножаем подкоренные выражения. А если разные — используем злобную формулу [sqrt[n]{a}cdot sqrt[p]{b}=sqrt[ncdot p]{{{a}^{p}}cdot {{b}^{n}}}].
3. 3.Наслаждаемся результатом и хорошими оценками.:)

Ну что? Потренируемся?

Пример 1. Упростите выражение:

[begin{align} & sqrt[3]{48}cdot sqrt[3]{-frac{4}{3}}=sqrt[3]{48}cdot left( -sqrt[3]{frac{4}{3}} right)=-sqrt[3]{48}cdot sqrt[3]{frac{4}{3}}= \ & =-sqrt[3]{48cdot frac{4}{3}}=-sqrt[3]{64}=-4; end{align}]

Это самое простой вариант: показатели корней одинаковы и нечётны, проблема лишь в минусе у второго множителя. Выносим этот минус нафиг, после чего всё легко считается.

Пример 2. Упростите выражение:

[begin{align} & sqrt[4]{32}cdot sqrt[3]{4}=sqrt[4]{{{2}^{5}}}cdot sqrt[3]{{{2}^{2}}}=sqrt[4cdot 3]{{{left( {{2}^{5}} right)}^{3}}cdot {{left( {{2}^{2}} right)}^{4}}}= \ & =sqrt[12]{{{2}^{15}}cdot {{2}^{8}}}=sqrt[12]{{{2}^{23}}} \ end{align}]

Здесь многих смутило бы то, что на выходе получилось иррациональное число. Да, так бывает: мы не смогли полностью избавиться от корня, но по крайней мере существенно упростили выражение.

Пример 3. Упростите выражение:

[begin{align} & sqrt[6]{a}cdot sqrt[3]{{{a}^{4}}}=sqrt[6cdot 3]{{{a}^{3}}cdot {{left( {{a}^{4}} right)}^{6}}}=sqrt[18]{{{a}^{3}}cdot {{a}^{24}}}= \ & =sqrt[18]{{{a}^{27}}}=sqrt[2cdot 9]{{{a}^{3cdot 9}}}=sqrt{{{a}^{3}}} end{align}]

Вот на это задание хотел бы обратить ваше внимание. Тут сразу два момента:

1. Под корнем стоит не конкретное число или степень, а переменная $a$. На первый взгляд, это немного непривычно, но в действительности при решении математических задач чаще всего придётся иметь дело именно с переменными.
2. В конце мы умудрились «сократить» показатель корня и степень в подкоренном выражении. Такое случается довольно часто. И это означает, что можно было существенно упростить вычисления, если не пользоваться основной формулой.

Например, можно было поступить так:

[begin{align} & sqrt[6]{a}cdot sqrt[3]{{{a}^{4}}}=sqrt[6]{a}cdot sqrt[3cdot 2]{{{left( {{a}^{4}} right)}^{2}}}=sqrt[6]{a}cdot sqrt[6]{{{a}^{8}}} \ & =sqrt[6]{acdot {{a}^{8}}}=sqrt[6]{{{a}^{9}}}=sqrt[2cdot 3]{{{a}^{3cdot 3}}}=sqrt{{{a}^{3}}} \ end{align}]

По сути, все преобразования выполнялись лишь со вторым радикалом. И если не расписывать детально все промежуточные шаги, то в итоге объём вычислений существенно снизится.

На самом деле мы уже сталкивались с подобным задание выше, когда решали пример $sqrt{5}cdot sqrt[4]{3}$. Теперь его можно расписать намного проще:

[begin{align} & sqrt{5}cdot sqrt[4]{3}=sqrt[2cdot 4]{{{5}^{4}}cdot {{3}^{2}}}=sqrt[2cdot 4]{{{left( {{5}^{2}}cdot 3 right)}^{2}}}= \ & =sqrt[4cdot 2]{{{left( 75 right)}^{2}}}=sqrt[4]{75}. end{align}]

Ну что ж, с умножением корней разобрались. Теперь рассмотрим обратную операцию: что делать, когда под корнем стоит произведение?

Смотрите также:

1. Свойства арифметического квадратного корня
2. Корень степени N
3. Решение задач B12: №440—447
4. Материалы для подготовки к ЕГЭ по математике
5. Тест по задачам B14: средний уровень, 1 вариант
6. B15: Линейные функции и производная частного

Как происходит перемножение корней с одинаковыми основаниями

Правило применимо в том случае, когда требуется объединить различные числа под одним знаком корня, либо при необходимости представить запись выражения в виде произведения:

(sqrt{ab}=sqrt{a} cdot sqrt{b})

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Области применения теоремы:

• умножение квадратных корней;
• умножение корней, которые имеют любые другие одинаковые основания или показатели;
• умножение корня на число.

В последнем случае число возводят в степень, соответствующую показателю корня, и записывают под знаком корня, таким образом:

(a cdot sqrt[n]{b}= sqrt[n]{a^n cdot b})

Примеры решения задач

Задача 1

Вычислить корень:

(sqrt{36 cdot 64 cdot 9})

Решение:

(sqrt{36 cdot 64 cdot 9}=sqrt{36} cdot sqrt{64} cdot sqrt{9}=6 cdot 8 cdot 3 = 144)

Ответ: 144

Задача 2

Найти корень:

(sqrt{7056})

Решение:

(sqrt{7056}=sqrt{2^4+3^3+7^2}=sqrt{2^4} cdot sqrt{3^2} cdot sqrt{7^2} = 2^2 cdot 3 cdot 7 =84)

Ответ: 84

Задача 3

Определить корень:

(sqrt{25}cdot sqrt{4})

Решение:

(sqrt{25}cdot sqrt{4}=sqrt{25cdot 4}=sqrt{100}=10)

Ответ: 10

Задача 4

Вычислить корень:

(sqrt{32}cdot sqrt{2})

Решение:

(sqrt{32}cdot sqrt{2}=sqrt{32cdot 2}=sqrt{64}=8)

Ответ: 8

Задача 5

Рассчитать корень:

(sqrt{54}cdot sqrt{6})

Решение:

(sqrt{54}cdot sqrt{6}=sqrt{54cdot 6}=sqrt{324}=18)

Ответ: 18

Задача 6

Найти корень:

(sqrt{frac{3}{17}}cdot sqrt{frac{17}{27}})

Решение:

(sqrt{frac{3}{17}}cdot sqrt{frac{17}{27}}=sqrt{frac{3}{17}frac{17}{27}}=sqrt{frac{1}{9}}=frac{1}{3})

Ответ: (frac{1}{3})

Решение примеров с помощью обобщения теоремы

Решение типичных задач на применение теоремы умножения корней основано на упрощении иррациональных выражений. При извлечении корней из 32 и 2 было получено произведение, которое являлось точным квадратом, корень из которого определяется рациональным числом. Отдельно вычислить (sqrt{32}) и (sqrt{2})  не представляется возможным. В последнем примере в обоих подкоренных выражениях находятся дробные числа. С помощью произведения удалось сократить многие из множителей, что позволило оптимально преобразовать все выражение.

Умножать можно не только пары, но и несколько корней. Правило справедливо и в этом случае. Целесообразно рассмотреть применение теоремы на примерах:

(sqrt{2}cdot sqrt{3}cdot sqrt{6}=sqrt{2cdot 3cdot 6}=sqrt{36}=6)

(sqrt{5}cdot sqrt{2}cdot sqrt{0,001}=sqrt{5cdot 2cdot 0,001}= sqrt{10cdot frac{1}{1000}}=sqrt{frac{1}{100}}=frac{1}{10})

В задачах нередко встречаются корни с произвольной степенью n. При этом можно воспользоваться правилом умножения корней. Таким образом, чтобы перемножить два корня степени n, требуется перемножить их подкоренные выражения, после чего результат записать под одним радикалом.

В качестве примеров можно вычислить следующие выражения:

(sqrt[4]{20}cdot sqrt[4]{frac{125}{4}}=sqrt[4]{20cdot frac{125}{4}}=sqrt[4]{625}=5)

(sqrt[3]{frac{16}{625}}cdot sqrt[3]{0,16}=sqrt[3]{frac{16}{625}cdot frac{16}{100}}=sqrt[3]{frac{64}{{{25}^{2}}cdot 25}}= sqrt[3]{frac{{{4}^{3}}}{{{25}^{3}}}}=sqrt[3]{{{left( frac{4}{25} right)}^{3}}}=frac{4}{25})

Во втором случае в процессе умножения кубических корней была исключена десятичная дробь. В результате знаменатель принял вид произведения чисел 625 и 25. Так как данное число большое, целесообразно выделить точный куб в числителе и знаменателе, чтобы применить одно из ключевых свойств корня n-й степени:

(sqrt[2n+1]{{{a}^{2n+1}}}=a; )

(sqrt[2n]{{{a}^{2n}}}=left| a right|)

Умножение корней с разными показателями

Благодаря рассмотренной теореме, не возникает сложностей в процессе умножения корней, которые имеют одинаковые показатели. Однако встречаются произведения корней с разными показателями. Например, требуется умножить обычный (sqrt{2}) на (sqrt[7]{23}). В данном случае, чтобы умножить (sqrt[n]{a}) на (sqrt[p]{b}), достаточно выполнить следующее преобразование:

(sqrt[n]{a}cdot sqrt[p]{b}=sqrt[ncdot p]{{{a}^{p}}cdot {{b}^{n}}})

Равенство справедливо лишь в том случае, когда подкоренные выражения обладают неотрицательными значениями. Примеры решения задач:

(sqrt[3]{3}cdot sqrt[4]{2}=sqrt[3cdot 4]{{{3}^{4}}cdot {{2}^{3}}}=sqrt[12]{81cdot 8}=sqrt[12]{648})

(sqrt{2}cdot sqrt[5]{7}=sqrt[2cdot 5]{{{2}^{5}}cdot {{7}^{2}}}=sqrt[10]{32cdot 49}=sqrt[10]{1568})

(sqrt{5}cdot sqrt[4]{3}=sqrt[2cdot 4]{{{5}^{4}}cdot {{3}^{2}}}=sqrt[8]{625cdot 9}=sqrt[8]{5625})

Перед умножением корней следует преобразовать подкоренные выражения, чтобы они приняли неотрицательные значения. Например, число (sqrt[3]{-5}) можно избавить от знака минус из-под корня. Дальнейшие действия:

(sqrt[3]{-5}=-sqrt[3]{5})

(sqrt[3]{-5}=-sqrt[3cdot 2]{{{5}^{2}}}=-sqrt[6]{25}=-sqrt[3cdot 2]{{{5}^{2}}}=-sqrt[3]{5})

Наиболее правильным и надежным методом умножения корней является следующий алгоритм:

1. Устранение минусов из-под радикалов. Минусы можно встретить только в корнях нечетной кратности. Такие минусы допустимо подставлять перед корнем и при необходимости сокращать, например, если этих минусов окажется два.
2. Выполнить умножение по рассмотренным ранее правилам. При одинаковых показателях корней следует перемножить подкоренные выражения. В том случае, когда показатели корней разные, целесообразно воспользоваться формулой: (sqrt[n]{a}cdot sqrt[p]{b}=sqrt[ncdot p]{{{a}^{p}}cdot {{b}^{n}}}.)

Задача 1

Необходимо упростить выражение:

(sqrt[3]{48}cdot sqrt[3]{-frac{4}{3}})

Решение:

При одинаковых и нечетных показателях корней сложность в решении задачи заключается в наличии минуса у второго множителя. После вынесения знака минус выражение достаточно легко преобразовать:

(sqrt[3]{48}cdot sqrt[3]{-frac{4}{3}}=sqrt[3]{48}cdot left( -sqrt[3]{frac{4}{3}} right)=-sqrt[3]{48}cdot sqrt[3]{frac{4}{3}} =-sqrt[3]{48cdot frac{4}{3}}=-sqrt[3]{64}=-4)

Ответ: -4

Задача 2

Требуется упростить выражение:

(sqrt[4]{32}cdot sqrt[3]{4})

Решение:

В данном случае не получится избавиться от корня полностью, но с помощью стандартного алгоритма действий выражение приобретает упрощенный вид:

(sqrt[4]{32}cdot sqrt[3]{4}=sqrt[4]{{{2}^{5}}}cdot sqrt[3]{{{2}^{2}}}=sqrt[4cdot 3]{{{left( {{2}^{5}} right)}^{3}}cdot {{left( {{2}^{2}} right)}^{4}}}= sqrt[12]{{{2}^{15}}cdot {{2}^{8}}}=sqrt[12]{{{2}^{23}}})

Ответ: (sqrt[12]{{{2}^{23}}})

Задача 3

Нужно упростить выражение:

(sqrt[6]{a}cdot sqrt[3]{{{a}^{4}}})

Решение:

(sqrt[6]{a}cdot sqrt[3]{{{a}^{4}}}=sqrt[6cdot 3]{{{a}^{3}}cdot {{left( {{a}^{4}} right)}^{6}}}=sqrt[18]{{{a}^{3}}cdot {{a}^{24}}}= sqrt[18]{{{a}^{27}}}=sqrt[2cdot 9]{{{a}^{3cdot 9}}}=sqrt{{{a}^{3}}} )

Ответ: (sqrt{{{a}^{3}}} )

Тема в математике «Корень и его свойства» нередко вызывает затруднения у школьников, особенно при решении примеров. В данной статье описаны основные свойства корней, а также правила сложения, вычитания, умножения и деления. Наглядные примеры помогаю понять, как решать задания с корнями.

Определение «Корень»

 Корень второй степени (квадратный корень) из числа a — это число, которое становится равным a, если число a возвести во вторую степень (в квадрат).
Например, √64 = 8 (√64 равно числу 8).

Формула: √a² = a

Число, стоящее под знаком корня, называется подкоренным числом. Если под знаком корня стоит целое выражение, то его называют подкоренным выражением.
Свойство квадратного корня: для действительных чисел не существует квадратный корень из отрицательного числа, так как возведение числа в квадрат будет всегда неотрицательным числом.

Извлечение корней: примеры

Извлечь корень — значит найти значение корня (то есть найти число, при возведении которого в степень, получается подкоренное значение).
Например, извлечь корень из 64 – значит найти √64.

Найти корень из числа можно одним из следующих способов:

• Использование таблицы квадратов, таблицы кубов и т.д. В данном случае нужно просто найти нужное число в таблице и посмотреть, какому значению оно соответствует.

• Разложение подкоренного выражения (числа) на простые множители.
  Порядок нахождения корня в этом случае будет следующим:
  1. Разложение подкоренного значения на простые множители,
  2. Объединение одинаковых множителей и их представление в виде степени с необходимым показателем.
  Например, √144 = √2х2х2х2х3х3 = √(2х2)х(2х2)х(3х3) = √2²х2²х3² = √12² = 12
  3. В случае, если невозможно найти корень из числа, то можно упростить подкоренное выражение (число). В этом случае применяется следующее правило: корень из произведения чисел равен произведению корней этих чисел.
  Например, √72 = √2х2х2х3х3 = √(2х2)х2х(3х3) = √2²х2х3² = √6²х2 = 6√2
• Когда невозможно получить два одинаковых числа под знаком корня, это значит, что упростить такой корень нельзя.
  Например, √130=√13х5х2 – упростить нельзя.

• Извлечение корня из дроби. В этом случае применяются следующие правила:
  1. дробное число должно быть записано в виде обыкновенной дроби;
  2. корень из дроби равен частному от деления корня числителя на корень знаменателя.
  Например, √3,24 = √324/100 = √81/25 = √81 / √25 = 9/5 = 1,8.
• Извлечение нечетной степени из отрицательных чисел. Чтобы извлечь корень нечетной степени из отрицательного числа необходимо извлечь его из положительного числа и поставить перед ним знак минус.
  Например, чтобы найти корень третьей степени из (-125), нужно найти корень третьей степени из 125 (будет 5) и подставить знак минуса (будет -5).

Приведение корней с разными показателями

Для того, чтобы упростить выражение с корнями, которое содержит корни разных степеней, необходимо привести все корни к одной степени.

Для этого воспользуемся следующим свойством дроби: a = ⁿ√aⁿ.

Например, есть квадратный корень (второй степени √2 ) и кубический корень (третьей степени ³√3).
Во-первых, необходимо найти наименьшее общее кратное (НОК) для степеней. В нашем примере НОК=6 (2х3).
Во-вторых, применим свойство a = ⁿ√aⁿ: √2 = ²√2 = ⁶√2³ = ⁶√8; ³√3 = ⁶√3² = ⁶√9
Получилось два корня одинаковой степени, с которыми можно совершать различные математические действия.

Корень: сложение и вычитание корней

Основное правила сложения и вычитания квадратных корней: сложение и вычитание квадратного корня возможны только при условии одинакового подкоренного выражения. 

Примеры:
2√3 + 3√3 = 5√3
2√3 + 2√4 – не выполняется.

При этом, нужно рассмотреть возможность упростить выражения.
Пример: 2√3 + 3√12 = 2√3 + 3√2х2х3 = 2√3 + 3√ 2²х3 = 2√3 + 6√3 = 8√3.

Алгоритм действия:
1. Упростить подкоренное выражение путем разложения на простые множители.
2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. 
3. После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа!

Корень: умножение

Умножение корней без множителей

Произведение корней из чисел равно корню из произведения этих чисел.
√a*b=√a*√b
Важно: между собой можно умножать только одинаковые степени корней, то есть можно умножить один квадратный корень на другой, но нельзя умножить квадратный корень на корень кубической степени.
Примеры:
√2 х √3 = √6
√6 х √3 = √18 = √3х3х2 = 3√2

Умножение корней с множителями

При умножении корней с множителями нужно отдельно перемножить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно перемножать между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени (см. умножение корней без множителей). В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Примеры:
3√2 х √5 = (3х1) √(2*5) = 3√10
4√2 х 3√3 = (3х4) √(2х3) = 12√6

Корень: деление

Основной правило деления —  подкоренные выражения делятся на подкоренные выражения, а множители на множители.
√a:b=√a:√b
В процессе деления квадратных корней дроби упрощаются.

Деление корней без множителей

Частное корней из чисел равно корню из частного этих чисел.
Важно: между собой можно делить только одинаковые степени корней, то есть можно делить один квадратный корень на другой, но нельзя делить квадратный корень на корень кубической степени.
Пример. √21:√3=√21:3=√7

Деление квадратных корней с множителями

При делении корней с множителями нужно отдельно разделить множители и подкорневые выражения (числа). Подкорневые числа можно делить между собой только в том случае, если они имеют одинаковые степени. В случае отсутствия множителя, он равен единице.
Пример. 12√32 : 6√16 = (12:6) √(32:16) = 2√2.

Примеры для практики

Была ли эта статья полезной?