Как найти произведение двух комплексных чисел

В данной публикации мы рассмотрим формулы, с помощью которых можно найти произведение двух комплексных чисел, представленных в алгебраической или тригонометрической форме. Также приведены примеры для лучшего понимания теоретического материала.

• Умножение в алгебраической форме

• Произведение в тригонометрической форме

Умножение в алгебраической форме

Произведением двух комплексных чисел x = a₁ + b₁i и y = a₂ + b₂i также является комплексное число z:

z = x ⋅ y = (a₁a₂ – b₁b₂) + (a₁b₂ + b₁a₂) ⋅ i

Формула получается путем перемножения двучленов (a₁ + b₁i)(a₂ + b₂i). При этом не забываем, что i² = -1.

Пример 1
Найдем произведением комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i² = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11i.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть заданы в тригонометрической форме, например x = |x| ⋅ (cos φ₁ + i ⋅ sin φ₁) и y = |y| ⋅ (cos φ₂ + i ⋅ sin φ₂).

В этом случае формула произведения выглядит следующим образом:

x ⋅ y = |x| ⋅ |y| ⋅ [cos(φ₁ + φ₂) + i ⋅ sin(φ₁ + φ₂)]

Пример 2
Выполним умножение двух комплексных чисел: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|x| ⋅ |y| = 2 ⋅ 5 = 10
φ₁ + φ₂ = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅ sin 45°)

Содержание:

• Умножение комплексных чисел в алгебраической форме
• Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

На практике чаще всего комплексные числа перемножают как алгебраические двучлены
$left(a_{1}+b_{1} iright)left(a_{2}+b_{2} iright)$, просто раскрыв скобки, в
полученном результате надо учесть, что $i^{2}=-1$ .

Умножение комплексных чисел в геометрической форме

Если комплексные числа $z_{1}$ и
$z_{2}$ заданы в
геометрической форме:
$z_{1}=left|z_{1}right|left(cos phi_{1}+i sin phi_{1}right)$,
$z_{2}=left|z_{2}right|left(cos phi_{2}+i sin phi_{2}right)$, то произведением этих чисел есть число

$z_{1} z_{2}=left|z_{1}right| cdotleft|z_{2}right|left[cos left(phi_{1}+phi_{2}right)+i sin left(phi_{1}+phi_{2}right)right]$

То есть модуль произведения двух комплексных чисел в тригонометрической форме равен произведению
модулей сомножителей, а аргумент равен сумме аргументов сомножителей.

Читать дальше: деление комплексных чисел.

В этой статье рассмотрим правила умножения комплексных чисел. Если у вас возникают вопросы о том, что же такое комплексные числа, то обратитесь к этой статье. Правила сложения и вычитания комплексных чисел рассмотрены здесь.

Чтобы умножить комплексные числа необходимо:

Действительную часть первого комплексного числа умножить на действительную часть второго комплексного числа.

Мнимую часть первого комплексного числа умножить на 
мнимую часть второго комплексного числа.

Или в виде формулы умножения комплексных чисел:

(a + b i ) (c + d i ) = a c + a d i + b c i + b d i ²

Но поскольку i ² = −1 , то получаем:

(a + b i ) (c + d i ) = ac + ad i + b c i — b d 

Рассмотрим пример умножения комплексных чисел:

(3 + 2 i ) (1 + 7 i)= 3 · 1 + 3 · 7 i + 2 i  · 1 + 2 i  · 7 i = = 3 + 21 i + 2 i + 14 i ² = 3 + 21 i + 2 i — 14  = −11 + 23 i

Еще пример:

(1 + i ) ² = (1 + i ) (1 + i )= 1 · 1 + 1 · i + 1 · i + i ² = 1 + 2 i — 1  = 0 + 2 i = 2 i

Но можно умножать быстрее, используя формулу:

(a + b i ) (c + d i ) = (ac − bd) + (ad + bc) i

Пример применения формулы умножения комплексных чисел:

(3 + 2 i ) (1 + 7 i ) = (3 · 1 — 2 · 7) + (3 · 7 + 2 · 1) i = −11 + 23 i

Давайте попробуем i ²

Мы можем написать i с действительной и мнимой частью как 0 + i

i ² = (0 + i) ²= (0 + i) (0 + i) = (0 · 0 — 1 · 1) + (0 · 1 + 1 · 0) i = −1 + 0 i = −1

И это хорошо согласуется с определением, что i ² = -1

Так что все прекрасно работает!

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Пусть x и y — произвольные действительные числа.

Множеством комплексных чисел называется множество всех возможных пар (x, y) действительных чисел, где операции сложения, вычитания и умножения определены в соответствии с описанными ниже правилами.

Множество комплексных чисел является расширением множества действительных чисел, так как множество действительных чисел содержится в нем в виде пар (x, 0).

Комплексные числа, заданные парами (0, y), называются чисто мнимыми числами.

Для комплексных чисел существует несколько форм записи: алгебраическая запись, тригонометрическая запись и экспоненциальная (экспоненциальная) запись.

Алгебраическая форма — это форма записи комплексных чисел, в которой комплексное число z, заданное парой действительных чисел (x, y), записывается как

где используется символ i, называемый мнимой единицей.

Число x называется действительной (вещественной) частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Re z.

Число y называется мнимой частью комплексного числа z = x + iy и обозначается Im z.

Комплексные числа с Im z = 0 являются действительными числами.

Комплексные числа с Re z = 0 — чисто мнимые числа.

Тригонометрическая и экспоненциальная формы записи комплексных чисел будут рассмотрены чуть позже.

Умножение в алгебраической форме

Произведение двух комплексных чисел x = a1 + b1i и y = a2 + b2i также является комплексным числом z:

z = x ⋅ y = (a1a2 – b1b2) + (a1b2 + b1a2) ⋅ i

Формула получается путем умножения биномов (a1 + b1i)(a2 + b2i). При этом не забываем, что i2 = -1.

Пример 1
Найдем произведение комплексных чисел: x = 3 + 7i и y = 2 – i.

Решение:
x ⋅ y = (3 + 7i)(2 – i) = 3 ⋅ 2 – 3 ⋅ i + 7i ⋅ 2 – 7i ⋅ i = 6 – 3i + 14i – 7i2 = 6 + 11i – 7 ⋅ (-1) = 13 + 11и.

Произведение в тригонометрической форме

Комплексные числа могут быть представлены в тригонометрической форме, например, x = |x| ⋅ (cos φ1 + i ⋅ sin φ1) и y = |y| ⋅ (cos φ2 + i ⋅ sin φ2).

В этом случае формула продукта выглядит так:

х ⋅ у = | х | ⋅ |у| ⋅ cos(φ1 + φ2) + i ⋅ sin(φ1 + φ2)

Пример 2
Перемножим два комплексных числа: x = 2 ⋅ (cos 15° + i ⋅ sin 15°) и y = 5 ⋅ (cos 30° + i ⋅ sin 30°).

Решение:
|х| ⋅ |у| = 2 ⋅ 5 = 10
φ1 + φ2 = 15° + 30° = 45°
x ⋅ y = 10 ⋅ (cos 45° + i ⋅ sin 45°)

Читайте также: Шар, вписанный в цилиндр

Свойство операции умножения

Операция умножения обладает следующим неочевидным свойством.

Это означает, что при перемножении двух чисел их аргументы (углы) складываются, а длина умножается.

Посмотрите еще раз внимательно на умножение. Я специально пометил вершины, чтобы было видно, что при умножении вершины действительно складываются.

Допустим, у нас есть число X. Когда мы умножаем его на другое число Y, мы, таким образом, расширяем число X до |Y| раз и повернуть на угол Arg(Y).

Кстати, операции поворота и растяжения коммутируют друг с другом. Им неважно, в каком порядке мы их выполняем. Они как бы бегут одновременно.

В какую сторону отмерять углы?

Есть некоторая неоднозначность в измерении углов. Например, числовой аргумент на изображении равен -45 градусов. Но мы могли бы также сказать, что угол +315 градусов.

числовой аргумент равен -45 или +315 числовой аргумент равен -45 или +315

Хитрость в том, что для операции умножения не имеет значения, как мы измеряем углы.

Например, когда мы умножаем два числа единичной длины на аргумент -45, мы получаем угол -90 градусов. Таким образом, мы получаем число, равное минус мнимое.

Если отложить углы в обратную сторону и считать, что аргументы этих чисел не -45, а +315. Итак, когда мы складываем углы, мы получаем +630. Это то же самое, что -90. И снова получаем минус мнимой единицы.

Хотя у нас есть некоторая неопределенность в измерении углов, это никак не влияет на результат операции умножения. Умножение совершенно уникально.

Модуль и Аргумент комплексного числа

Если рассматривать комплексное число как вектор, то можно найти его модуль, т.е длину вектора. Для этого воспользуемся обычной теоремой Пифагора.

модуль комплексного числа Модуль комплексного числа

Мы также можем определить так называемый аргумент для комплексных чисел. Аргументом является угол между положительным направлением действительной оси и вектором.

Если комплексное число расположено в верхней полуплоскости, аргумент считается положительным, в противном случае — отрицательным. Таким образом, аргумент принимает значения от -Пи до Пи радиан (или от -180 до 180 градусов).

По сути, модуль и аргумент — это просто еще одно представление комплексного числа. Это его полярные координаты. Если мы знаем модуль и аргумент, то это число определяет само себя.

Примеры

Лучший способ понять теорию — посмотреть на достаточное количество примеров. Это то, что мы собираемся сделать.

Все наши примеры будут связаны с операцией умножения, потому что она самая интересная.

Умножение на нуль

Если модуль одного из аргументов равен нулю, модуль результата также будет равен нулю при умножении. В результате получаем известное тождество

Умножение на действительное число

Я уже говорил, что умножение на комплексное число рождает сразу два эффекта: вращение и растяжение. Мы можем получить каждый из этих эффектов отдельно.

Например, умножение любого числа X на действительное число Y (аргумент равен 0) просто увеличивает число X в Y раз. И мы получаем операцию растяжения без вращения.

синий вектор имеет то же направление, что и красный, но другую длину синий вектор имеет то же направление, что и красный, но другую длину

Умножение на число единичной длины

Наоборот, мы можем получить операцию поворота без растяжения, если умножим число X на комплексное число Y единичной длины. Тогда число X просто поворачивается на угол, равный аргументу числа Y.

синий вектор имеет ту же длину, что и красный вектор, но повернут относительно него на угол, заданный зеленым вектором

Умножение на мнимую единицу

Умножение на воображаемую единицу дает поворот на 90 градусов.

синий вектор повернут на 90 градусов против часовой стрелки относительно красного вектора синий вектор повернут на 90 градусов против часовой стрелки относительно красного

А умножение на минус мнимой единицы дает поворот на 90 градусов в противоположном направлении.

синий вектор повернут на 90 градусов по часовой стрелке относительно красного вектора синий вектор повернут на 90 градусов по часовой стрелке относительно красного вектора

Умножение на действительную единицу

Самый банальный вариант — умножение на действительную единицу. Нам нужно повернуть фигуру X на нулевой угол и растянуть ее 1 раз. Другими словами, мы получим число X без изменений.

синий вектор равен красному синий вектор равен красному

Это именно то, к чему мы привыкли со школы. Умножение любого числа на единицу должно дать одно и то же число.

Умножение мнимой единицы на мнимую единицу

Аргумент мнимой единицы равен 90 градусам, а модуль равен единице. Это означает, что когда мы возводим воображаемую единицу в квадрат, мы получаем количество единиц длины, повернутых на 180 градусов. А именно -1.

квадрат мнимой единицы равен -1 квадрат мнимой единицы равен -1

Мы также уже знаем это свойство, потому что приняли его за определение мнимой единицы

определение воображаемой единицы определение воображаемой единицы

Умножение отрицательного действительного числа на положительное действительное число

Отрицательное число имеет аргумент 180 градусов. А положительный — аргумент 0. При умножении аргументы складываются и получается угол 180 градусов. В результате снова получается отрицательное число.

минус раз плюс дает минус минус раз плюс дает минус

Это правило известно нам как «минус, умноженный на плюс, дает минус».

Умножение двух отрицательных действительных чисел

Когда мы добавляем аргументы к двум отрицательным числам (два раза по 180), мы получаем полный поворот на 360 градусов. Результат — положительное число.

минус раз минус дает плюс минус раз минус дает плюс

И мы знаем это правило как «минус, умноженный на минус, дает плюс».

Мне очень интересно, как вышеуказанные правила выражаются через добавление углов :).

Что такое комплексные числа и их умножение

В математических науках часто применяют при решении задач не только натуральные, рациональные и вещественные числа, но и комплексные.

Рассмотреть комплексное число можно на доказательстве примера. Если записать обычное множество в виде z = a + ib, то под мнимой единицей будет подразумеваться выражение (i = sqrt{-1}). Числа (a,b in mathbb{R}) являются вещественными числами.

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

В том случае, когда b = 0, комплексное число трансформируется в вещественное число. Исходя из этого, можно сделать вывод, что действительные числа являются частным случаем комплексных чисел. Запись данного заключения будет иметь следующий вид подмножества:

(mathbb{R} subset mathbb{C})

Следует отметить, что также допустимо равенство:

a = 0

Согласно принятым правилам, мнимая часть комплексного числа записывается в виде:

Im(z) = b

Действительная часть комплексного числа представляет собой выражение:

Re(z) = a

Рассмотрев множество на примере, можно представить формулировку комплексно-сопряженных чисел.

Разница между записанными числами заключается в неодинаковых знаках перед действительным и мнимым компонентом чисел.

В математической науке для данных чисел предусмотрено несколько форм. Таким образом, одинаковые числа достаточно просто записать разными методами:

1. Алгебраическая форма: (z = a+ib).
2. Показательная форма: (z = |z|e^{ivarphi}).
3. Тригонометрическая форма: (z = |z|cdot(cos(varphi)+isin(varphi))).

С помощью несложных манипуляций одну форму числа можно перевести в другой вариант записи. Алгебраическая запись является более распространенной. Однако допустимо изображать комплексные числа на плоскости. В итоге получим числа (a,b in mathbb{R}) расположенные на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число z = a+ib можно представить в качестве вектора (overline{z}). При этом для обозначения аргумента можно использовать запись (varphi). При определении модуля |z| используют длину вектора (overline{z}) и соответствующую формулу:

(|z| = sqrt{a^2+b^2})

С помощью различных уравнений, выбор которых определяется полуплоскостью, в котором расположено само число, определяют аргумент комплексного числа (varphi).

Справедливы следующие закономерности:

1. a>0, то (varphi = arctgfrac{b}{a}).
2. a<0, b>0, то (varphi = pi + arctgfrac{b}{a}).
3. a<0, b<0, то (varphi = -pi + arctgfrac{b}{a}).

Умножить комплексные числа в алгебраической форме можно, таким образом:

(z_1 cdot z_2 = (a_1+ib_1) cdot (a_2+ib_2) = (a_1 a_2 – b_1 b_2)+i(a_1 b_2 + a_2 b_1))

Операция умножения комплексных чисел, записанных в показательном варианте, имеет следующий вид:

(z_1 cdot z_2 = |z_1|e^{ivarphi_1} cdot |z_2|e^{ivarphi_2} = |z_1|cdot|z_2|cdot e^{i(varphi_1 + varphi_2)})

Разновидности формул умножения в зависимости от формы записи

Благодаря наличию специальных формул, можно оперативно выполнять различные операции с комплексными числами, включая примеры из тригонометрии. Теоретический порядок действий при умножении зависит от того, в какой форме записано комплексное число.

Формула умножения в алгебраической форме

В данном случае для того чтобы умножить комплексные числа, необходимо перемножить их компоненты, поочередно раскрывая скобки, согласно формуле. При этом следует учитывать, что (i^2 = -1).

В итоге получим:

(z_1 cdot z_2 = (x_1+y_1i) cdot (x_2 + y_2i) = (x_1 cdot x_2 – y_1 cdot y_2) + (x_1 cdot y_2 + x_2 cdot y_1)i)

Формула умножения в показательной форме

Если требуется найти произведение комплексных чисел, которые записаны в показательной форме, то целесообразно воспользоваться способом прямого перемножения всех элементов:

(z_1 cdot z_2 = r_1e^{varphi_1 i} cdot r_2e^{varphi_2 i} = r_1cdot r_2 cdot e^{(varphi_1+varphi_2)i})

Формула умножения в тригонометрической форме

Найти произведение комплексных чисел, записанных с помощью тригонометрической формы, можно, таким образом:

(z_1 cdot z_2 = r_1 cdot r_2 cdot (cos(varphi_1+varphi_2) + isin(varphi_1+varphi_2)))

Примеры решения задач с комплексными числами

Задача 1

Необходимо представить алгебраическую форму комплексного числа в виде тригонометрической и показательной записи. Комплексное число:

z = 4-4i

Решение

В первую очередь следует определить модуль комплексного числа:

(|z| = sqrt{4^2 + (-4)^2} = sqrt{16 + 16} = sqrt{32} = 4sqrt{2})

Далее целесообразно найти аргумент:

(varphi = arctg frac{b}{a} = arctg frac{-4}{4} = arctg (-1) = -frac{pi}{4})

В результате можно составить тригонометрическую форму комплексного числа, которое дано в условии задачи:

(z = 4sqrt{2}bigg(sin(-frac{pi}{4}) + isin(-frac{pi}{4}) bigg))

Таким же способом можно представить комплексное число в показательной форме:

(z = 4sqrt{2} e^{-frac{pi}{4}i})

Ответ: (z = 4sqrt{2}bigg(sin(-frac{pi}{4}) + isin(-frac{pi}{4}) bigg)), (z = 4sqrt{2} e^{-frac{pi}{4}i})

Задача 2

Требуется найти произведение пары комплексных чисел:

(z_1 = 3+i)

(z_2 = 2-3i)

Решение

В первую очередь следует записать выражение:

(z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (2-3i))

Затем целесообразно приступить к раскрытию скобок и перемножить множители поэлементно:

(z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (2-3i)= (3 cdot 2 + 3 cdot (-3i) + i cdot 2 + i cdot (-3i))

Полученное равенство можно упростить. Для этого нужно учитывать, что:

(i^2 = -1)

Запишем готовое выражение:

(6 – 9i + 2i + 3 = 9 – 7i)

Ответ: (z_1 cdot z_2 = 9 – 7i)

Задача 3

Даны комплексные числа:

(z_1 = 3e^{frac{pi}{2}i})

(z_2 = 2e^{frac{pi}{3}i})

Необходимо найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Вначале требуется записать выражение:

(z_1 cdot z_2 = 3e^{frac{pi}{2}i} cdot 2e^{frac{pi}{3}i})

Путем перегруппировки множителей и применения свойства степени:

(e^x cdot e^y = e^{x+y})

Преобразуем выражение:

(3 cdot 2 cdot e^{(frac{pi}{2} + frac{pi}{3})i} = 6e^{frac{5pi}{6}i})

Ответ: (z_1 cdot z_2 = 6e^{frac{5pi}{6}i})

Задача 4

Даны комплексные числа:

(z_1 = 2bigg (cosfrac{pi}{3} + isin frac{pi}{3} bigg ))

(z_2 = 4 bigg (cosfrac{pi}{4} + isin frac{pi}{4} bigg ))

Требуется найти произведение этих комплексных чисел.

Решение

Если необходимо умножить комплексные числа, представленные в тригонометрической форме, то целесообразно сложить их аргументы и перемножить модули:

(z_1 cdot z_2 = 2 cdot 4 cdot bigg ( cos (frac{pi}{3} + frac{pi}{4}) + isin (frac{pi}{3} + frac{pi}{4}) bigg ) = 8 bigg (cos frac{7}{12} + isin frac{7}{12} bigg ))

Ответ: (z_1 cdot z_2 = 8 bigg (cos frac{7}{12} + isin frac{7}{12} bigg ))

Задача 5

Необходимо выполнить несколько действий с комплексными числами:

(z_1 = 3+i)

(z_2 = 5-2i)

Требуется найти их сумму и разность.

Решение

В первую очередь следует сложить комплексные числа. В этом случае нужно найти сумму соответствующих мнимых частей комплексных чисел:

(z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 – i)

Аналогичным способом можно найти разность комплексных чисел:

(z_1 – z_2 = (3+i) – (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i)

Ответ: (z_1 + z_2 = 8 – i; z_1 – z_2 = -2 + 3i)

Задача 6

Даны комплексные числа:

(z_1 = 3+i)

(z_2 = 5-2i)

Необходимо найти их произведение и выполнить деление комплексных чисел.

Решение

Вначале нужно записать выражение:

(z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (5-2i))

Далее требуется раскрыть скобки и выполнить приведение подобных слагаемых с учетом, что:

(i^2 = -1)

Таким образом, получим:

(15 – 6i + 5i -2i^2 = 15 – i – 2cdot(-1) = 15 – i + 2 = 17 – i)

Затем необходимо поделить первое число на второе:

(frac{z_1}{z_2} = frac{3+i}{5-2i})

Принцип деления заключается в исключении комплексного числа, которое расположено в знаменателе. Для того чтобы получить результат, необходимо домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю. По итогу следует раскрыть все скобки:

(=frac{(3+i)(5+2i)}{(5-2i)(5+2i)} = frac{15 + 6i + 5i + 2i^2}{25 + 10i – 10i -4i^2} =)

(= frac{15 + 11i -2}{25 + 4} = frac{13 + 11i}{29})

Поделив числитель на 29, можно записать дробь алгебраическим способом:

(frac{z_1}{z_2} = frac{13}{29} + frac{11}{29}i)

Ответ: (z_1 cdot z_2 = 17 – i; frac{z_1}{z_2} = frac{13}{29} + frac{11}{29}i)

Задача 7

Дано комплексное число:

z = 3+3i

Данное число требуется возвести в степени:

• n=2
• n=7

Решение

В первом варианте:

(n = 2)

Комплексное число достаточно просто возвести в квадрат, если умножить его само на себя:

(z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)cdot (3+3i) =)

Применяя формулу, справедливую для умножения, следует раскрыть скобки и привести подобные:

(=9 + 9i + 3icdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i – 9 = 18i)

В итоге получим:

(z^2 = (3+i)^2 = 18i)

Во втором варианте:

n = 7

Данный пример отличается повышенной сложностью вычислений, по сравнению с первым примером, где потребовалось лишь возвести комплексное число в квадрат. Если пойти стандартным путем и умножать комплексное число само на себя 7 раз, то вычисления могут занять неопределенное время. Упростить задачу легко, если применить к решению формулу Муавра. Данная закономерность справедлива в случае операций с комплексными числами, которые записаны в тригонометрической форме. По условиям задачи число представлено в алгебраическом виде. Поэтому в первую очередь целесообразно перевести его в тригонометрическую форму.

Требуется найти модуль:

(|z| = sqrt{3^2 + 3^2} = sqrt{9 + 9} = sqrt{18} = 3sqrt{2})

Далее следует вычислить аргумент:

(varphi = arctg frac{3}{3} = arctg(1) = frac{pi}{4})

Можно записать комплексное число в тригонометрической форме:

(z = 3sqrt{2}(cos frac{pi}{4} + isin frac{pi}{4}))

Возведение в степень n = 7 будет выглядеть следующим образом:

(z^7 = (3sqrt{2})^7 (cos frac{7pi}{4} + isin frac{7pi}{4}) =)

Представить наглядный ответ лучше в алгебраической форме. Для этого необходимо выполнить ряд манипуляций:

(=(3sqrt{2})^7 (frac{1}{sqrt{2}}-ifrac{1}{sqrt{2}}) = 3^7 sqrt{2}^7 (frac{1}{sqrt{2}}-ifrac{1}{sqrt{2}}) = 3^7 sqrt{2}^6 (1-i) = 3^7 cdot 8(1-i) =)

(= 2187 cdot 8 (1-i) = 17496(1-i))

Ответ: (z^2 = (3+i)^2 = 18i; ) (z^7 = 17496(1-i)).

Задача 8

Необходимо извлечь корень (sqrt[3]{-1}) над множеством (mathbb{C}.)

Решение

Следует преобразовать комплексное число в тригонометрическую форму. Для этого необходимо найти значение модуля и аргумента:

(|z| = sqrt{(-1)^2 + 0^2} = sqrt{1+0} = sqrt{1}=1)

(varphi = arctg frac{0}{-1} +pi = arctg 0 + pi = pi)

В результате получим выражение:

(z = (cos pi + isin pi))

С помощью формулы Муавра представляется возможным найти значение корней какой-либо степени:

(z^frac{1}{n} = r^frac{1}{n}bigg(cos frac{varphi + 2pi k}{n}+isin frac{varphi + 2pi k}{n}bigg))

(k=0,1,…,n-1)

По условию степень соответствует n = 3. Таким образом, согласно формуле:

k = 0,1,2

В результате получим:

(z_0 = sqrt[3]{1} (cos frac{pi}{3}+isin frac{pi}{3}) = frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2})

(z_1 = sqrt[3]{1} (cos frac{3pi}{3}+isin frac{3pi}{3}) = -1)

(z_2 = sqrt[3]{1} (cos frac{5pi}{3}+isin frac{5pi}{3}) = frac{1}{2} – ifrac{sqrt{3}}{2})

Ответ: (z_0 = frac{1}{2}+ifrac{sqrt{3}}{2};) (z_1 = -1); (z_2 = frac{1}{2} – ifrac{sqrt{3}}{2})

Задача 9

Необходимо найти решение для квадратного уравнения:

(x^2 + 2x + 2 = 0) над (mathbb{C})

Решение

Найти ответ на данную задачу следует, используя общую формулу. Для начала необходимо вычислить дискриминант:

(D = b^2 – 4ac = 2^2 – 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4)

В результате получим:

(D=-4<0)

Однако на этом решение задачи не заканчивается. По условию требуется определить уравнение над комплексным множеством. Получение в итоге отрицательного дискриминанта говорит только о том, что в выражении отсутствуют вещественные корни. Это утверждение не отменяет наличие комплексных корней. Таким образом, следует их найти:

(x_{1,2} = frac{-bpm sqrt{D}}{2a} = frac{-2pm sqrt{-4}}{2} =)

Можно отметить, что:

(sqrt{-4} = 2sqrt{-1} = 2i)

Далее следует продолжить вычисления:

(= frac{-2 pm 2i}{2} = -1 pm i)

В результате получаются комплексно-сопряженные корни:

(x_1 = -1 – i)

(x_2 = -1 – i)

Ответ: (x_1 = -1 – i;) (x_2 = -1 – i)