Как найти произведение двух одночленов

Алгебра

7 класс

Урок № 16

Произведение одночленов

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Алгебраические выражения.
• Одночлен.
• Противоположные одночлены.
• Произведение одночленов.
• Свойства одночленов.

Тезаурус:

Произведение одночленов равно одночлену, множителями которого являются все множители данных одночленов.

Свойства одночлена:

1) Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна та же буква, соответствующей степенью этой буквы.

2) Если перед одночленом поставить знак плюс, то получится одночлен, равный исходному.

3) А если поставить перед одночленом знак минус, то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число (-1).

Противоположные одночлены – это одночлены, которые отличаются лишь знаками.

Основная литература:

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

Дополнительная литература:

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

«Упрощать сложное – во всех отраслях знания самый существенный результат», – однажды сказал английский историк Генри Бокль.

Эта фраза, как нельзя лучше, описывает, то, чем мы будем заниматься сегодня, а именно, упрощать одночлены, используя как новые, так и ранее изученные их свойства.

Вспомним уже известные нам свойства одночленов.

1) Два одночлена считаются равными, если они отличаются друг от друга лишь порядком множителей.

Например:

(-12,3)асх = а(-12,3)хс

2) Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой некоторых его числовых множителей их произведением.

Например,

-24kx = 6·х·(-4) · k

3) Одночлен считается равным нулю, если среди его множителей есть число ноль. Такой одночлен называется нулевым.

Например:

2х·0с = 0 – нулевой одночлен.

4) Два одночлена считаются равными, если один получен из другого путём опускания множителя 1.

Например:

7у·1а = 7уа

Добавим к ним ещё несколько свойств. Но в начале, введём новое понятие – произведение одночленов. Это не что иное, как одночлен, множителями которого являются все множители данных одночленов.

Например: 4ас · асх = 4асасх

Видно, что буква а повторяется 2 раза. Поэтому удобно воспользоваться следующими свойствами степеней, изученными нами ранее, для дальнейшего упрощения полученного одночлена.

1) а^m·aⁿ= a^m+n

При умножении степеней с одинаковыми основаниями, показатели складываются, а основание остается неизменным.

2) (ab)ⁿ= aⁿ·bⁿ.

При возведении в степень произведения надо возвестикаждый множитель в эту степень и результаты перемножить.

3) (a^m)ⁿ= a^mn. При возведении степени в степень показатели перемножаются, а основание остается прежним.  

Где m, n– натуральные числа.

Теперь настало время рассмотреть ещё несколько свойств одночленов.

4) Два одночлена считаются равными, если один из них получен из другого заменой произведения множителей, каждый из которых есть одна та же буква, соответствующей степени этой буквы.

Например:

4ас · асх = 4асасх = 4а²с²х

-5 а с⁴х⁸с³ = -5 а с⁷х⁸

5) Если перед одночленом поставить знак плюс, то получится одночлен, равный исходному.

Например:

+ас = ас

6) Если поставить перед одночленом знак минус, то получится одночлен, равный исходному, умноженному на число (-1).

Например:

-ас = (-1)ас.

Теперь рассмотрим ещё два одночлена.

4а²х⁵ и -4а²х⁵

Можем ли мы их назвать равными?

Нет, т.к. они отличаются знаками. Такие одночлены называются противоположными. Противоположные одночлены – это одночлены, которые отличаются лишь знаками.

Итак, сегодня мы получили представление о новом понятии – противоположные одночлены и рассмотрели некоторые свойства одночленов.

Дополнительный материал.

Научимся упрощать сложные одночлены.

Давайте рассмотрим, что значит упростить одночлен.

Для этого мы должны воспользоваться свойствами степеней и свойствами одночленов, сформулированными ранее.

Возьмём произведение одночленов в степень, получим из него равный произведению:

-(-17)aaa·2,4(b⁴c⁵)³ · (-3)ccc·(2k)⁵

Для начала возведём все числа и буквы в степени, используя свойства степеней.

-(-17)aaa · 2,4(b⁴c⁵)³ · (-3)ccc · (2k)⁵ = -(-17)а³ · 2,4 b¹²c¹⁵ · (-3)c³ · 32k⁵ =

Далее найдём произведение чисел с учетом знаков «+» и «–», получается -3916,8. Теперь посмотрим на буквы и, используя свойства степеней, упростим выражение.

Получается, что произведение одночленов равно такому выражению:

-( -17)aaa · 2,4 (b⁴c⁵)³ · (-3)ccc · (2k)⁵ = -3916,8а³b¹²c¹⁸k⁵

Разбор заданий тренировочного модуля.

1. Найдите одночлен, равный произведению одночленов

5ас · 2ах.

Варианты ответа:

10а²сх

а²сх

10асх

Решение.

Для решения, нужно воспользоваться свойствами степени и свойствами одночленов. Посмотрим внимательно на произведение одночленов, в каждом из них есть числа, которые мы перемножим между собой, и буква а в первой степени, которая повторяется 2 раза. Поэтому, в результате преобразований, получится одночлен 10а²сх.

Ответ: 10а²сх.

2) Представьте одночлен 125с⁶х⁹в виде куба другого одночлена.

Варианты ответа:

125(с²х³)³

(5с²х³)³

(5с³х⁷)³

Решение.

Для решения задания, нужно вспомнить, что куб – это третья степень числа или буквы в нашем одночлене.

Число 125 = 5³,

Буквы с⁶ = (с²)³, х⁹ = (х³)³

Соединим все наши рассуждения вместе, и получим одночлен, соответствующий условию задания: 125с⁶х⁹ = (5с²х³)³.

Ответ: 125с⁶х⁹ = (5с²х³)³.

Итак, мы с вами уже разобрались в том, чем является одночлен, а также попробовали их вычитать и складывать. Теперь нам предстоить понять, как умножать между собой одночлены. На самом деле, здесь нет ничего сложного, а, возможно, даже легче, чем сложение или вычитание.

Одночлен — это перемножение числовых и буквенных коэффициентов, в котором опущены знаки умножения. Следовательно, чтобы умножить одночлен на одночлен, нужно перемножить между собой каждый из его множителей.

Возьмем в пример следующее выражение:

$$3x^{2}y^{3}cdot4xy^{2}z$$

Для удобства запишем одночлены со знаками умножения:

$$textcolor{blue}{3}cdottextcolor{green}{x^{2}}cdottextcolor{lightblue}{y^{3}}cdottextcolor{blue}{4}cdottextcolor{green}{x}cdottextcolor{lightblue}{y^{2}}cdottextcolor{orange}{z}$$

Воспользуемся сочетательным и переместительным свойством умножения, а также правилом умножения степеней с одинаковыми основаниями:

$$textcolor{blue}{3}cdottextcolor{blue}{4}cdottextcolor{green}{x^{2}}cdottextcolor{green}{x}cdottextcolor{lightblue}{y^{3}}cdottextcolor{lightblue}{y^{2}}cdottextcolor{orange}{z}=$$

$$=textcolor{blue}{12}textcolor{green}{x^{3}}textcolor{lightblue}{y^{5}}textcolor{orange}{z}$$

Таким образом, мы с вами получили произведение двух одночленов.

Алгоритм выполнения

Для того чтобы умножить одночлен на одночлен правильно и не допустить ошибок в расчетах, нужно придерживаться определенной схемы:

1. Перемножить числовые коэффициенты;
2. Перемножить буквенную часть (Важно: каждую часть нужно умножать по отдельности).

Разберем на примере. У нас дано выражение:

$$ textcolor{coral}{1,5} textcolor{purple}{p^{2}}textcolor{orange}{t^{3}}cdottextcolor{coral}{frac{2}{3}}textcolor{purple}{p^{4}}textcolor{orange}{t^{5}}$$

Первым делом перемножим числовые коэффициенты $color{coral}1,5$ и $color{coral}frac{2}{3}$. Получится $color{coral}1$.

Следующим шагом перемножим первую буквенную часть: $color{purple}p^{2}$ и $color{purple}p^{4}$. Получится $color{purple}p^{6}$.

Последним шагом остается перемножить оставшиеся буквенные значения: $color{orange}t^{3}$ и $color{orange}t^{5}$. Получится $color{orange}t^{8}$.

Теперь осталось соединить все шаги и записать готовый ответ в стандартном виде: $textcolor{purple}{p^{6}}textcolor{orange}{t^{8}}$. Обратите внимание, что так как числовой коэффициент равен $ textcolor{coral}1$, то эту единицу можно опустить.

Произведение более двух одночленов

Помимо умножения двух одночленов нам могут встретиться задачи, в которых нужно найти произведение трех, четырех или даже пяти одночленов. В таком случае мы придерживаемся алгоритма, перемножая множители сразу всех одночленов. Рассмотрим пример:

$$textcolor{purple}{2}textcolor{coral}{n^{5}}textcolor{blue}{q^{3}}cdottextcolor{purple}{3}textcolor{coral}{n^{2}}textcolor{blue}{q^{4}}cdottextcolor{purple}{5}textcolor{coral}{n^{3}}textcolor{blue}{q^{2}}$$

По алгоритму выполняем следующие действия:

1. $textcolor{purple}{2}cdottextcolor{purple}{3}cdottextcolor{purple}{5}=textcolor{purple}{30}$.
2. $textcolor{coral}{n^{5}}cdottextcolor{coral}{n^{2}}cdottextcolor{coral}{n^{3}}=textcolor{coral}{n^{10}}$.
3. $textcolor{blue}{q^{3}}cdottextcolor{blue}{q^{4}}cdottextcolor{blue}{q^{2}}=textcolor{blue}{q^{9}}$.

В ответе получаем $textcolor{purple}{30}textcolor{coral}{n^{10}}textcolor{blue}{q^{9}}$.

Похоже, вы используете блокировщик рекламы. Наш сайт существует и развивается
только за счет дохода от рекламы.

Пожалуйста, добавьте нас в исключения блокировщика.

на главную

Умножение одночленов

Поддержать сайт

Вопросы
занятия:

· 
познакомить с правилом перемножения двух одночленов и возведения их в степень.

Материал
урока

Давайте
возьмём два одночлена:

Это
одночлены стандартного вида, так как у них на первом месте располагаются
числовые множители, а за ними следуют степени переменных.

Запишем
произведение этих одночленов.

Таким
образом, мы умножили один одночлен на другой и в результате получили одночлен,
который представили в стандартном виде.

Следовательно,
для того, чтобы перемножить два одночлена, надо:

1.  найти
их произведение;

2.    представить
полученное произведение в стандартном виде.

Теперь
давайте возведём в степень одночлен стандартного вида:

Таким
образом, возведя одночлен в степень, мы также получили одночлен, причём
стандартного вида.

Следовательно,
для того, чтобы возвести одночлен в степень надо:

1.   представить
эту степень в виде одночлена стандартного вида.

Закрепим
новый материал.

Пример.

Пример.

Пример.